Resistência dos
Materiais 2
PROF.: KAIO DUTRA
Transformação no Estado Plano de
Tensões
◦O estado geral de tensão em um ponto é caracterizado por seis componentes independentes de tensões normal e de cisalhamento.
◦Esse estado de tensão, entretanto, não é encontrado com frequência na prática de engenharia.
Transformação no Estado Plano de
Tensões
◦Fazendo-se uma simplificação, atribuindo apenas tensões em um plano, teremos um estado plano de tensões
Transformação no Estado Plano de
Tensões
◦O estado geral plano de tensões em um ponto é representado, portanto, pela combinação de dois componentes de tensão normal e um componente de tensão de cisalhamento.
Transformação no Estado Plano
de Tensões
◦É possível transformar as componentes de tensão modificando o ângulo de referência de estudo, conforme apresentado na figura.
◦As duas orientações representam o mesmo estado de tensão, porém os valores das tensão mudaram, conforme a orientação.
Transformação no Estado Plano
de Tensões
◦Para calcular o estado as tensões resultantes da transformação de tensão basta resolver a equação de equilíbrio apresentada na figura.
Transformação no Estado Plano de Tensões
Exemplo 9.1
Transformação no Estado Plano de Tensões
Exemplo 9.1
Transformação no Estado Plano de Tensões
Exemplo 9.1
Transformação no Estado Plano de Tensões
Exemplo 9.1
Equações Gerais de Transformação de
Tensão Para o Estado Plano
◦Para geração de equações gerais, primeiramente é importante adotar uma convenção de sinais.
◦Desta forma, a tensão normal positiva atua para fora de todas as faces e a tensão de cisalhamento positiva atua para cima na face direita do elemento.
Equações Gerais de Transformação
de Tensão Para o Estado Plano
◦Dado um estado plano de tensões a orientação do pano inclinado no qual devem ser determinados os componentes das tensões normal e de cisalhamento será definida pelo ângulo
θ.
Equações Gerais de Transformação de
Tensão Para o Estado Plano
◦O diagrama de corpo livre produzido esta mostrado na figura. Aplicando as equações de equilíbrio é possível determinar as tensões na nova orientação.
Equações Gerais de Transformação de
Tensão Para o Estado Plano
Equações Gerais de Transformação de
Tensão Para o Estado Plano
Equações Gerais de Transformação de
Tensão Para o Estado Plano
Exemplo 9.2
Equações Gerais de Transformação de
Tensão Para o Estado Plano
Exemplo 9.2
Tensões Principais e Tensão de
Cisalhamento Máxima no Plano
◦Conforme mostrado pelas equações, as tensões dependem da orientação do plano. Na prática de engenharia, em geral, é importante determinar a orientação dos planos que fazem a tensão normal chegar ao valor máximo e mínimo, bem como a orientação dos planos que fazem a tensão de cisalhamento chegar ao máximo.
Tensões Principais e Tensão de
Cisalhamento Máxima no Plano
◦Para determinar a tensão normal máxima e mínima podemos diferenciar a equação abaixo e igualar a 0.
Tensões Principais e Tensão de
Cisalhamento Máxima no Plano
Tensões Principais e Tensão de
Cisalhamento Máxima no Plano
◦Desta forma é possível obter uma equação que apresenta os valores máximos e mínimos de tensões (tensões principais).
Prof.: Kaio Dutra
Tensões Principais e Tensão de
Cisalhamento Máxima no Plano
◦Para determinar a orientação de um elemento cujas faces atua a tensão de cisalhamento máxima, deriva-se a equação da tensão cisalhante em relação ao ângulo e iguala-se a zero.
Tensões Principais e Tensão de
Cisalhamento Máxima no Plano
◦Resolvendo a equação da tensão normal para a posição de cisalhante máxima, obtém-se:
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento
Máxima no Plano
Exemplo 9.3
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento
Máxima no Plano
Exemplo 9.3
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento
Máxima no Plano
Exemplo 9.3
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento
Máxima no Plano
Exemplo 9.5
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento
Máxima no Plano
Exemplo 9.5
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento
Máxima no Plano
Exemplo 9.5
Equações Gerais de Transformação de
Tensão Para o Estado Plano
Exemplo 9.2
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
◦As equações de transformação para o estado plano de tensões tem uma solução gráfica que, em geral, é mais fácil de usar e lembrar.
◦Além disso, essa abordagem permite visualizar como os componentes das tensões normal e de cisalhamento variam conforme orientação do plano em que atuam.
Prof.: Kaio Dutra
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
◦As equações da tensão podem ser reescritas da seguinte forma:
◦Elevando as duas equações ao quadrado e somando-as, teremos:
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
◦Desse modo, a equação pode ser reescrita de forma mais compacta:
◦Se estabelecermos um eixo em que a tensão normal seja positiva para direita e a tensão de cisalhamento positiva para baixo, veremos que a representação da equação simplificada encontrada forma um círculo.
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
◦Esse círculo é chamado de circulo de Mohr.
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
Exemplo 9.7
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
Exemplo 9.7
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
Exemplo 9.7
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
Exemplo 9.9
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
Exemplo 9.9
Círculo de Mohr
–
Estado Plano de Tensões
Exemplo 9.9
Tensão Em Eixos Que se Deve à Carga Axial e
à Torção
◦Ocasionalmente, os eixos circulares são submetidos a efeitos combinados de carga axial e torção. As tensões principais são determinadas tanto pelas equações de transformação de tensão como pelo círculo de Mohr.
Tensão Em Eixos Que se Deve à Carga Axial e à
Torção
Exemplo 9.12
Tensão Em Eixos Que se Deve à Carga Axial e à
Torção
Exemplo 9.12
Tensão Em Eixos Que se Deve à Carga Axial e à
Torção
Exemplo 9.12
Variação de Tensão ao Longo de Uma Viga
◦Em geral, em uma seção arbitrária a-a ao longo do
eixo da viga, o
cisalhamento interno V e o momento M desenvolvem-se a partir de uma distribuição parabólica da tensão de cisalhamento e de uma distribuição linear da tensão normal.
Variação de Tensão ao Longo de Uma Viga
Exemplo 9.13
Variação de Tensão ao Longo de Uma Viga
Exemplo 9.13
Variação de Tensão ao Longo de Uma Viga
Exemplo 9.13
Tensão de Cisalhamento Máxima
Absoluta
◦Quando determinado ponto em um corpo é submetido a um estado geral de tensões tridimensional, sobre cada face de um elemento do material atuam um componente de tensão normal e dois
componentes de tensão de
cisalhamento.
◦Neste caso é possível representar três círculos de Mohr, um para cada plano.
Tensão de Cisalhamento Máxima
Absoluta
◦Voltando para um estado plano de tensões, o caso aplsentado na figura envolve tensão que podem ser representados no plano x-y.
◦Porém também é possível respresentar o círculo de Mohr para os planos y e z-x.
Tensão de Cisalhamento Máxima
Absoluta
Tensão de Cisalhamento Máxima
Absoluta
◦De forma geral a
tensão de
cisalhamento máxima absoluta poderá ser determinada pela seguinte equação:
Tensão de Cisalhamento Máxima
Absoluta
◦De forma geral a
tensão de
cisalhamento máxima absoluta poderá ser determinada pela seguinte equação:
