Ejercicios de Vectores y Trigonometría
1) Suma los siguientes vectores gráficamente.
2) Suma gráficamente los tres vectores siguientes.
3) Suma estos dos vectores paralelos y de igual sentido. Determina módulo dirección y sentido.
4) Suma estos dos vectores paralelos y de sentidos opuestos. Determina módulo dirección y sentido.
5) Suma estos dos vectores perpendiculares. Determina el módulo, la dirección y el sentido.
a
b
a
b c
a
b a=5,0
b=3,3
a
b a=5,0
b=3,3
a b
6) Suma estos dos vectores que forman un ángulo de 40º. Determina el módulo, la dirección y el sentido.
7) Suma estos dos vectores que forman un ángulo de 130º. Halla el módulo dirección y sentido.
8) Dado los dos vectores de abajo, realiza la siguiente operación gráficamente: 3⃗a−⃗b
2 .
9) Suma el vector ⃗a=2̂i+5̂j con el vector ⃗b=−̂i+ 3̂j. Determina su módulo y el ángulo que forma con el eje X.
10) Una barca, se mueve a 5 m/s con respecto al agua de un río. Pero el agua del río se mueve a 2 m/s río abajo. Si la barca pone un rumbo perpendicular a la orilla, ¿a qué velocidad se estará moviendo con respecto a la orilla? ¿Cuánto se desvía?
Hay que tener en cuenta, que mientras que la barca avanza perpendicularmente a la orilla, es arrastrada por el agua.
11) Si queremos que la barca del ejercicio anterior se mueva perpendicularmente a la orilla, ¿qué rumbo debe tomar? ¿A qué velocidad neta se moverá con respecto a la orilla?
a
b
a=6,0
b=3,0
a
b
a=4,4
b=3,2
a b
Respuestas
1) Podemos sumar estos dos vectores de la siguiente manera:
Y también así:
Se obtiene el mismo resultado.
2) Podemos sumarlos directamente por el primer método.
Los vectores se pueden sumar en el orden que queramos, por ejemplo.
Si quisiéramos, podríamos sumar dos vectores, y al resultado sumarle el tercer vector. Por supuesto, da igual el orden en el que lo hagamos.
a
b s
s=ab
a
b s
s=ab
a
b
c s
s=abc
a
b
c s
3) Al sumar los dos vectores gráficamente, podemos ver que el vector suma también será un vector paralelo y con el mismo sentido que ellos dos. El módulo es la suma de los módulos.
El vector suma lo he desplazado un poco para que no tape a los otros dos.
4) Al sumar los dos vectores gráficamente, vemos que el vector suma es un vector paralelo a los dos y con el sentido del de mayor módulo. El módulo del vector suma es igual a la diferencia de
módulos (el módulo mayor menos el módulo menor).
El vector suma lo he desplazado un poco para que no tape a los otros dos.
5) Al sumar gráficamente estos dos vectores, vamos a obtener un triángulo rectángulo, y podremos determinar el módulo del vector suma con el Teorema de Pitágoras. También podemos determinar un ángulo con respecto a un vector de los que se suman, aplicando la función tangente.
a
b c
s s=at=abc t
t t=bc
a
b a=5,0
b=3,3
s
s=ab
s=ab=5,03,3=8,3
a
b a=5,0
b=3,3
s s=ab
s=a−b=5,0−3,3=1,7
a
b
a=3,2 b=5,3
s
s=ab
s=
a2b2=
3,225,32≈6,2=arctana
b=arctan
3,2
situación es la siguiente.
Como vemos, obtenemos el mismo resultado trabajando con coordenadas.
6) Vamos a colocar el eje Y haciéndolo coincidir con el vector ⃗a, pero con el sentido cambiado. Descomponemos el vector b en b⃗
x más b⃗y.
El vector es ⃗b=(1,9;−2,3), mientras que ⃗a=(0;−6,0). Sumamos los dos vectores utilizando las coordenadas.
⃗s=⃗a+ ⃗b=(0;−6,0)+ (1,9;−2,3)=(1,9;−8,3)
Ahora represento el vector suma también.
a
⃗ b
a=6,0 b=3,0
40º
⃗ bx
⃗
by
bx=bsin 40º=3,0 sin 40º≈1,9 ⃗
b= ⃗bx+ ⃗by
a
b a=3,2
b=5,3
s
⃗s=⃗a+ ⃗b=(3,2,0)+ (0,−5,3)=(3,2,−5,3)
s=
√
3,22+5,32
≈6,2
α=arctan(3,2
5,3)≈31,1º
Y
X
Coordenadas de los vectores
⃗
a=(3,2,0) ⃗
b=(0,−5,3)
El módulo de la suma es
Y el ángulo α es
Y
X
7) Coloco el eje Y haciéndolo coincidir con el vector ⃗a.
Y ahora, descomponemos el vector b en b⃗
x más b⃗y.
El vector es ⃗b=(2,5;−2,1), mientras que ⃗a=(0;4,4).
Sumamos los dos vectores utilizando las coordenadas.
⃗s=⃗a+ ⃗b=(0;4,4)+ (2,5;−2,1)=(2,5;2,3) ⃗
a
⃗ b
a=4,4
b=3,2
⃗
bx
⃗ by
⃗
b= ⃗bx+ ⃗by
50º
a
s
a=6,0
b=3,0
⃗ b
s=
√
1,92+8,32≈8,5α=arctan1,9
8,3≈12,9º
Y
X
Coordenadas de los vectores
⃗
a=(0;−6,0) ⃗
b=(1,9;−2,3)
⃗s=⃗a+ ⃗b=(0;−6)+ (1,9;−2,3)=(1,9;−8,3)
El módulo de la suma es
Y el ángulo α es
Y
X
bx=bsin 50º=3,2 sin 50º≈2,5
by=bcos50º=3,2 cos50º≈2,1
8) Tenemos que realizar la siguiente suma de vectores gráficamente: 3a−1
2 b.
El vector 3a es un vector de igual dirección y sentido que a, y cuyo módulo es tres veces mayor. Por otra parte, el vector −1/2b es un vector con igual dirección que b, pero de sentido opuesto, y
cuyo módulo es la mitad.
9) Colocamos el sistema de referencia y dibujamos los vectores. Ahora, simplemente sumamos sus coordenadas, o sus componentes. ⃗s=⃗a+ ⃗b=2̂i+5̂j−̂i+3̂j=̂i+8̂j
Ahora representamos gráficamente el vector. 3a
−1 2 b
a=2,7
b=6,5 s
s=3a−1
2b
a=4,4
b=3,2
Y
X
Coordenadas de los vectores
El módulo de la suma es
Y el ángulo α es
⃗
a
⃗ b
⃗
a=(0;4,4) ⃗
b=(2,5;−2,1)
⃗s=⃗a+ ⃗b=(0;4,4)+ (2,5;−2,1)=(2,5;2,3)
s=
√
2,52+ 2,32
≈3,4
α=arctan2,5
2,3≈47,4º
Determinemos el módulo y el ángulo.
s=
√
12+82≈8,06α=arctan8
1≈82,87º
10) La barca está sometida a dos velocidades con respecto al suelo. Tiene una velocidad
perpendicular a la orilla de 5 m/s y otra perpendicular (río abajo) de 2 m/s. La velocidad neta a la que está moviéndose la barca, es la suma vectorial de las dos velocidades.
Hemos representado en el dibujo, por va a la velocidad del agua con respecto al suelo, por vb a la
velocidad de la barca con respecto al agua, y por v, a la velocidad resultante de la barca con respecto al suelo.
El módulo de v es,
v=
va2vb2
=
2252
=5,39m
s
Y el ángulo que se desvía es,
θ=arctanva
vb
=arctan2
5=21,8º
11) En esta nueva situación la barca debe tomar un rumbo de φ grados corriente arriba, para que al sumarle la velocidad del agua a la velocidad de la barca, nos de una velocidad perpendicular a la orilla.
A diferencia del ejercicio anterior, el módulo de la velocidad neta, es un cateto del triángulo que se forma.
v=
vb2−va2
=
52−22
=4,58m
s
Y el ángulo que hay que desviarse es,
vb
va
v
θ
vb
va
v
