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Texto completo

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE ESTUDIOS INGENIERÍA CIVIL PLAN 2001

Carrera

TODAS LAS ESPECIALIDADES

MAC 00 10

CALCULO (10001)

T =4 E =4 L =0

Requisitos

Ingreso

Ciencia Básica

DICTA DEPARTAMENTO

: Matemática

Autor

: Gladys Bobadilla

Versión

20/03/2001

Resolución Facultad de Ingeniería

CAPACIDADES GENERALES DEL CURSO:

Al final del curso el alumno tendrá la capacidad de:

1.- Expresar analíticamente (en ecuaciones) una sentencia (texto).

2.- Formular, analizar y resolver problemas mediante el calculo diferencial y calculo integral.

RESUMEN DE UNIDADES TEMÁTICAS (Teoría y Laboratorio)

UNIDAD

TITULO

Nº Horas

1

LIMITES Y CONTINUIDAD.

56

2

LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES.

80

3

INTEGRACIÓN

56

4

INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

24

5

CURVAS EN ELPLANO Y EN EL ESPACIO

24

6

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

32

Total

34 Semanas

272

PRINCIPALES TEXTOS DE REFERENCIA:

1. Billeke,J. Bobadilla, G. “Cálculo 1”. Facultad de Ciencia, Universidad de Santiago,1999. 2. Larson, R.E; Hostetler R.P. y Edwards, B.H.: Cálculo y Geometría Analítica. Mc Graw Hill,1999.

3. Stein S.K. y Barcellos A: Cálculo y Geometría Analítica. Volúmenes I y II. Mc Graw Hill,1999. 4. Stewart, J.: Cálculo Multivariable. Thompson, 1999.

5. Stewart, J.: Cálculo. Thompson,1999

6. Smith, R.T y Minton, R.B.: Cálculo. Tomo I. Mc Graw Hill, 2000.

7. De Burgos, J.: Cálculo Infinitesimal de una Variable. Mc Graw Hill, 1994. 8. De Burgos, J.: Cálculo Infinitesimal de Varias Variables. Mc Graw Hill, 1995. 9. Apostol T.M.: Caculus. Reverté S.A 1982.

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1.

UNIDAD TEMÁTICA UNO: LIMITES Y CONTINUIDAD

CAPACIDADES A DESARROLLAR:

1. Calcular limites de sucesiones

2. Calcular limites de funciones analíticas 3. Analizar la continuidad de funciones analíticas

4. Expresar y graficar funciones en coordenadas cartesianas.

CONTENIDOS

1.1. Orden en R. - Axiomas de orden. - Desigualdades. - Valor Absoluto. - Axioma del Supremo

- Definición de la recta real completada.

1.2. Sucesiones de números reales

- Limites de sucesiones - Sucesiones Monótonas. - El número e.

1.3. Limites de funciones. - Límites de funciones y operatoria. - Existencia de asíntotas.

- Continuidad.

- Propiedades de las funciones continuas: teoremas de los valores extremos, del valor intermedio y continuidad de la función inversa. - Límites y continuidad de las funciones trigonométricas.

- Análisis del comportamiento de funciones. Gráficos.

TÓPICOS A SER EVALUADOS

Resolución de problemas que involucran:

• Inecuaciones; valor absoluto, límites de sucesiones.

• Análisis de funciones analíticas elementales (algebraicas, racionales, trigonométricas): dominio, recorridos, ceros, asíntotas, gráficos en el plano cartesiano.

• Cálculo de límites de funciones analíticas (algebraicas, racionales, trigonométricas)

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2.- UNIDAD TEMÁTICA DOS: LA DERIVADA Y SUS APLICACIONES.

CAPACIDADES A DESARROLLAR:

1. Interpretar geométricamente la función derivada como razón de cambio de la función original. 2. Usar tablas y formulas para resolver derivadas.

3. Trazar la curva de una función analítica, determinando máximos, mínimos, puntos de inflexión, asíntotas.

4. Aplicar el concepto de diferencial para realizar cálculos aproximados en diferentes sistemas de coordenadas (físicas y geométricas)

5. Obtener las derivadas de funciones implícitas y funciones definidas paramétricamente. 6. Aplicar la regla de L´Hopital.

CONTENIDOS

2.1. Definición y fórmulas básica de la derivada.

- Definiciones básicas. - Formulas elementales.

- Las derivadas de las funciones trigonométricas. - Las derivadas de orden superior

2.2. Propiedades de las funciones derivables.

- El Teorema de Rolle y el teorema del Valor Medio. Consecuencias de los teoremas.

- Derivadas de las inversas de las funciones trigonométricas. - Crecimiento, convexidad, concavidad, puntos críticos: máximos, mínimos, inflexiones de una función.

- Análisis del comportamiento de una función. Gráficos.

2.3. Aplicaciones de la derivada. - Problemas geométricos de máximo y mínimo.

- Física del movimiento y ecuaciones paramétricas en el plano. - Razón de cambio y diferenciales.

- La regla de L´Hopital. Cálculo de límites de formas indeterminadas. - Derivación implícita.

TÓPICOS A SER EVALUADOS

Resolución de problemas que involucran:

• Calcular derivadas mediante el uso de las reglas de derivación. • Derivadas de orden superior.

• Calcular derivadas de funciones implícitas y funciones definidas paramétricamente. • Aplicación del teorema de Rolle y el teorema del valor medio.

• El trazado de curvas determinando máximos, mínimos, puntos de inflexión, asintotas, etc. • Calcular límites de formas indeterminadas mediante L´Hopital.

• Aplicación del calculo diferencial a problemas geométricos y físicos. Uso de tablas.

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3.- UNIDAD TEMÁTICA TRES: INTEGRACIÓN

CAPACIDADES A DESARROLLAR:

1. Calcular integrales indefinidas.

2. Interpretar geométricamente la integral definida.

3. Calcular mediante integrales: áreas, volúmenes y longitudes de curvas.

4. Traducir un enunciado físico-geométrico en el lenguaje del cálculo diferencial e integral. 5. Analizar y graficar las funciones exponenciales, logarítmicas, e hiperbólicas.

6. Expresar y graficar funciones en coordenadas, polares y en forma paramétrica, semilog y log-log. 7. Interpretar el teorema fundamental del cálculo.

CONTENIDOS

3.1. La integral de Riemann. - Propiedades elementales de la integral de Riemann. - Integral de una función continua.

- Teorema del valor medio.

- Primer y segundo teorema fundamental del cálculo. - Integración por partes y sustitución.

- Formulas de reducción.

- Integración de funciones racionales. - Integración de funciones trigonométricas. 3.2. Las funciones logaritmo

natural y exponencial.

- Propiedades elementales de las funciones logaritmo natural y exponencial.

- Límites de referencia de la función exponencial y logaritmo con base cualquiera.

- Análisis de gráficos que involucren funciones exponenciales y logaritmo. Gráficos Semi Lógico y Lógico Log.

- Las funciones hiperbólicas y sus inversas. - Integración usando sustituciones hiperbólicas.

3.3. Aplicaciones Geométricas de la integral.

- Coordenadas polares. - Áreas de superficies planas. - Longitudes de curvas planas.

- Volúmenes de revolución: método del disco y de la corteza. - Áreas de superficies de revolución.

3.4. Aplicaciones físicas de la integral

- Trabajo realizado por una fuerza. - Centro de gravedad.

- Momento de inercia.

TÓPICOS A SER EVALUADOS

Resolución de problemas que involucran:

• Calculo de integrales indefinidas mediante: tablas; sustituciones básicas, integración por partes; indefinidas; formulas de reducción.

• Aplicaciones geométricas de la integral. • Aplicaciones físicas de la integral.

• Funciones exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas. Uso de coordenadas polares. • Aplicaciones del teorema fundamental del cálculo.

• Dada la ley de un fenómeno, expresarlo en las ecuaciones respectivas.

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4.- UNIDAD TEMÁTICA CUATRO: INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

CAPACIDADES A DESARROLLAR:

1. Determinar convergencia de integrales impropias. 2. Calcular integrales impropias.

3. Aplicar las propiedades de funciones notables definidas por integrales impropias (la función gamma y la función beta)

4. Obtener y manejar el desarrollo de Taylor y Mac Laurin de funciones analíticas.

CONTENIDOS

4.1. Integral impropia -Intervalo de integración no acotado. -La función integrando no es agotada.

-Integral impropia mixta. Función gamma y función beta.

4.2. Series

- Series numéricas. Convergencia y divergencia.

- Series positivas: criterios de comparación y de la integral. - Convergencia absoluta.

- Series alternativas: criterio de Leibniz.

- Series de potencias. Funciones definidas por series de potencias, criterio de Abel.

- Producto de series numéricas y de potencias.

- Derivación e integración de series de potencias. Serie Binomial. - Teorema de Taylor. Series de Taylor y de Mac Laurin.

TÓPICOS A SER EVALUADOS

Resolución de problemas que involucran:

• Cálculo de integrales impropias.

• Aplicación de los test estándar para determinar convergencia de series

• Manejo de series notables como: desarrollo binomial, series geométricas, el desarrollo de Taylor. • Determinación de deformaciones unitarias y esfuerzos axiales a partir de ensayes de laboratorio

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5.- UNIDAD TEMÁTICA CINCO: CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

CAPACIDADES A DESARROLLAR:

1. Identificar geométricamente los parámetros de las ecuaciones de rectas, planos y esferas en el espacio R3.

2. Identificar geométricamente los puntos de las ecuaciones de la recta; plano y esfera en R3. 3. Determinar los vectores de velocidad y aceleración de una curva definida por sus ecuaciones parámetricas.

4. Analizar las curvas notables en el plano. 5. Calcular longitudes de curvas.

CONTENIDOS

5.1. Curvas en RxR y en RxRxR - Esferas, planos y rectas.

- Ecuaciones parámetricas de curvas

- Derivación de curvas parámetricas; interpretación física. - Vectores de posición, velocidad y aceleración.

- Estudio geométrico de curvas. Parametrización con respecto a la longitud de arco.

- Análisis de gráficos de curvas en el plano.

TÓPICOS A SER EVALUADOS

Resolución de problemas que involucran:

• Cálculo de longitudes de curvas.

• Ecuaciones de rectas, planos y esferas en el espacio R3.

• Vectores de velocidad y aceleración de una curva definida por sus ecuaciones parámetricas. • Graficar curvas notables en el plano.

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6.- UNIDAD TEMÁTICA SEIS: DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES REALES DE

VARIAS VARIABLES

CAPACIDADES A DESARROLLAR:

1. Calcular límites y derivadas parciales de funciones de varias variables.

2. Interpretar en forma geométrica de las derivadas parciales y la derivada direccional. 3. Calcular derivadas parciales de funciones implícitas.

4. Determinar valores extremos en funciones de varias variables. 5. Manejar y aplicar las propiedades del gradiente.

6. Calcular planos tangentes a superficie.

7. Calcular máximos y mínimos empleando multiplicadores de Lagrange.

CONTENIDOS

6.1. Definiciones. - Definiciones, ejemplos y teoremas elementales de límites y continuidad.

6.2. Polinomios de grado uno en dos variables.

- Análisis y representación geométrica.

6.3. Derivación parcial. - Definiciones y propiedades básicas. - El gradiente.

- Diferenciación. - Regla de la cadena.

6.4. El Teorema de la función implícita.

- Derivación implícita.

- El método de multiplicadores de Lagrange.

6.5. Derivadas de orden superior y valores extremos.

- Derivadas de orden superior. - Máximos y mínimos.

TÓPICOS A SER EVALUADOS

Resolución de problemas que involucran: • Cálculo de límites y derivadas parciales.

• Cálculo de derivadas parciales de funciones implícitas.

• Cálculo de máximos y mínimos de funciones de varias variables. • Propiedades del gradiente

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DATOS GENERALES SOBRE EL PROGRAMA

El presente programa fue confeccionado por el

Departamento

de

Ingeniería

en

Obras

Civiles

perteneciente a la Facultad de Ingeniería de la

Universidad de Santiago de Chile mediante el trabajo de

los Profesores:

Gladys Bobadilla.

El programa fue revisado por el Comité de Carrera de la

Facultad de Ingeniería formada por los Profesores

Eduardo Barra

Oscar Bustos

Heriberto Carrasco

Max Chacón

Horacio Correa

Omar Gallardo

Ramón Hernández

Víctor Herrera

Ricardo Hinojosa

Oscar Páez Rivera, Vicedecano,

presidente de la comisión

El actual programa fue aprobado en la reunión ordinaria

del Comité de Carrera de la Facultad de Ingeniería del

27-03-2001

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Referencias

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