FJC 2009
Optica
Un dioptrio es una superficie de separación entre dos medios de diferente índice de refracción. Vamos a estudiar dos: el esférico y el plano.Dioptrio esférico
Vamos a trabajar con rayos paraxiales: rayos próximos a los ejes, con ángulos pequeños de forma que se confundan el arco, el seno y la tangente.
Criterio de signos:
Distancias: Eje óptico y dioptrio como si fueran ejes X e Y
Ángulos: Positivos si el camino más corto para hacerlo coincidir con el eje óptico va en sentido antihorario. ¡Ojo,
σ
es negativo!Supongamos un rayo paraxial que sale del punto P se refracta en el punto A y llega al punto P’. Aplicando la ley de Snell tenemos:
1 2
n seni n senr
=
y al ser rayos paraxialesn i n r
1=
2 (1)En el triángulo PAC:
−σ + β +
(
180 i
− =
)
180
luego i= β − σ En el triángulo CAP’:σ + +
′
r
(
180
− β =
)
18
0
luego r = β − σ′ Sustituyendo en la expresión (1) tenemos:(
)
(
)
1 2
n
β − σ =
n
β − σ
′
(2)Teniendo en cuenta que estamos en zona paraxial:
h
tg
s
σ ≅
σ =
;tg
h
s
′
′
σ ≅
σ =
′
;h
tg
R
β ≅
β =
Sustituyendo en (2):
1 2
1 2
h
h
h
h
n
n
R
s
R
s
⎛
⎞
⎛
−
=
−
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎠
o lo que es lo mismo 1 1 2 21
1
1
1
n
n
R
s
R
s
⎛
⎞
⎛
−
=
−
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎞
⎟
⎠
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2 1 2
2 1
n
n
n
n
s
s
R
1
−
−
=
Focos del dioptrio
Foco Imagen F’
f
2Foco Objeto F
f
1Todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico se refractan y pasan por un punto al
que vamos a llamar foco imagen.
Todos los rayos que pasan por un punto al que vamos a llamar foco objeto salen paralelos al eje óptico. A ese punto le vamos a llamar foco
objeto.
Ecuación del dioptrio con
s
1= −∞
y
s
2=
f
2 Ecuación del dioptrio cons
1=
f y s
1 2=
∞
2 1 2
2
n n n n
f R − − = −∞ 1 2 2 2 1 n f R n n = −
2 1 2
1
n n n n
f R
−
− =
∞
Si sumamos las distancias focales:
1 1 1 2 1 n f R n n = − − 1 2
f
f
=
R
Si las dividimos: 1 12 2
f n
f = −n
+
Si la ecuación del dioptrio la dividimos entre el segundo miembro obtenemos una nueva ecuación del dioptrio, más sencilla:
2 1 2 1 2 1
2 1 2 2 1 1 2 1
n n n n n R n R
; 1
s s R s (n n ) s (n n )
− − = − − − = ; 2 1 2 1 f f 1
s +s = Ecuación de Gauss (¡otra vez!)
Formación de imágenes en un dioptrio
a. Rayo que va paralelo al eje óptico pasa por el foco F2.
b. Rayo que pasa por el centro no se desvía c. Rayo que pasa por el foco F1 sale paralelo al eje óptico.
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Aumento de un dioptrio
El aumento es la relación entre los tamaños de
eni n senr
=
al estari=tgi:
1 2
n tg i n tgr
la imagen y del objeto.
Si aplicamos Snell:
n s
1 2en zona paraxial seni=
=
1 21 2
1 2
y y
; n n
s = s ;
y el aumento será 2 1
1 2
y n s A
y n s
= = 2
1
Lentes
Una lente es un conjunto de dos dioptrios, al menos uno esférico. Vamos
.
rgente (R2>R1 y los dos a trabajar solo con lentes delgadas; en las que la anchura es despreciable frente al radio de curvatura.
Convergentes: Son más gruesas en el centro Biconvexa (R1>0 y R2<0), menisco conve positivos), plano convexa (R1>0 y R2=
∞
)ntes: Son más gruesas en los extremos. Diverge
nte (R1>R2 y los dos Bicóncava (R1<0 y R2>0), menisco diverge
positivos), plano cóncava (R1=
∞
y R2>0).Para deducir la fórmula de las lentes solo tenemos que tener en cuenta que se trata de dos
Dioptrio 1: 2
n
=
n
dioptrios en el aire:
1
n
=
1
1 1
n 1 n 1
s s R
−
− =
′ al sustituir en la ecuación del dioptrio:
Dioptrio 2: 1 2
n
n
n
1
=
=
al sustituir en la ecuación del dioptrio: 2 21 n 1 n
s s R
−
− =
′
Si sumamos las dos expresiones, tenemos:
(
)
2 1 1 2
1 1 n 1 1 1
s s R R
⎛ ⎞
− = − ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ (3)
Todos los rayos que llegan paralelos al eje óptico pasan por el foco. Para calcular la distancia focal: 1 2 2
s
s
f
= −∞
=
2(
)
21 n 1 1
f R
⎛ ⎞
= − ⎜ − ⎟
⎝ 1⎠
1
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Comparando las expresiones (3) y (4) tenemos la fórmula de las lentes:2 1 2
1 1 1
s −s = f
Aumento de una lente:
El aumento de la lente viene dado por una semejanza de triángulos:
2 2
1 1
y s
A
y s
= =
Se define la potencia de una lente como la inversa de la distancia focal. Se mide en dioptrías (m-1)
2
Lente convergente P 0 1
P
Lente divergente P 0 f
> ⎧
= ⎨
< ⎩
Formación de imágenes:
Para formar las imágenes, igual que en el dioptrio esférico: 1. Rayo paralelo al eje óptico sale por el foco.
2. Rayo que pasa por el centro no se desvía.
3. La imagen se forma desde el punto de corte hasta el eje óptico. Lentes convergentes:
Hay cinco posibilidades dependiendo de la posición del objeto:
Si el objeto está La imagen se forma y el tipo de imagen es
antes de 2F entre F2 y 2F2 menor, real, invertida
en 2F en 2 F2 igual, real, invertida
entre 2F y F entre 2F2 y
∞
mayor, real, invertidaen F no hay no hay imagen
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Lentes divergentes:Sólo hay una posibilidad. La imagen siempre es virtual y menor que el objeto.
Espejos
Vamos a considerar un espejo como un dioptrio esférico en el que el índice de refracción n2 es igual y de sentido contrario al n1. El rayo llega se refleja y vuelve por el primer medio pero en sentido contrario.
La ecuación del dioptrio es: 2 1 2 2 1
n n n n
s s R
1 −
− =
si
n
2= −
n
1 entonces tenemos que: 1 1 12 1
n n n n
s s R
1
− − −
− = o bien:
2 1
1 1 2
s +s = R
que es la fórmula de los espejos. ¡Cuidado con los signos de los radios! Los espejos cóncavos tienen radio negativo y los convexos positivo.
De la fórmula del espejo podemos deducir inmediatamente que la distancia focal es la mitad del radio.
Formación de imágenes:
1. Rayo paralelo al eje óptico se refleja pasando por el foco.
2. Rayo que pasa por el foco se refleja y sale paralelo al eje óptico. 3. Rayo que pasa por el centro no se desvía.
Espejos cóncavos:
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Espejos convexos:
Sólo hay una posibilidad. La imagen siempre es menor, derecha y virtual.
Aumento de un espejo:
En la fórmula del aumento de un dioptrio, recordando que en los espejos
2 2
2 1
1 1
y s
n n ; tenemos : A
y s
= − = = −
Instrumentos ópticos
El ojo
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Esclerótica: membrana blanca, opaca y resistente. Termina en la córnea por la parte anterior. Coroides: Recubre la parte interior del ojo excepto la cornea.Retina: membrana situada en el fondo del ojo llena de células nerviosas en la que se proyectan las imágenes. En la retina hay dos tipos de células: conos y bastones. Los bastones detectan la intensidad de luz y los conos los colores. Hay tres tipos de conos en función del color al que son sensibles: rojo, verde y azul. Cualquier color se forma por combinación de esos tres. La mácula es la zona en la que hay mayor concentración de conos.
Cristalino: Lente biconvexa elástica. Está sujeto al globo ocular por los músculos ciliares que permiten modificar el radio de curvatura.
El conjunto pupila/iris selecciona la cantidad de luz que entra en el ojo. Un ojo normal tiene el punto próximo a 25 cm y el punto lejano en el infinito.
Defectos de la visión Miopía.
Se debe a un alargamiento del ojo. Se ven bien los objetos cercanos pero la imagen de objetos lejanos se forma por delante de la retina por lo que se ven borrosos. Se corrige con lentes divergentes.
Hipermetropía.
Es lo contrario de la miopía. Se ven bien los objetos lejanos pero no los cercanos porque la imagen se forma por detrás de la retina. Se corrige con lentes convergentes.
Astigmatismo.
La cornea normal tiene forma esférica. Si la cornea tiene forma elipsoidal se produce el astigmatismo y los rayos paralelos no coinciden en el mismo foco. Se pone de manifiesto porque dificulta la visión clara y simultánea de dos rectas perpendiculares, de los radios de una bicicleta. Se corrige con lentes cilíndricas.
Presbicia.
También se llama vista cansada y aparece a partir de los 40 años. Se debe a la pérdida de flexibilidad de los músculos ciliares o del cristalino. Consiste en un alejamiento del punto próximo. Los que lo padecen ver bien de lejos pero mal de cerca, necesitan alejar el texto que van a leer para verlo con claridad. Este defecto se corrige con lentes convergentes (o bien con cristales bifocales o progresivos).
Cataratas.
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Daltonismo.Es un defecto genético de la vista que impide distinguir ciertos colores; generalmente el rojo y el verde. Se debe a la deficiencia de conos en la retina.
