Poincaré y el problema de tres vórtices

Poincar´e y el problema de tres v´

ortices

Martin Celli

Departamento de Matem´aticas

Universidad Aut´onoma Metropolitana-Iztapalapa Av. San Rafael Atlixco, 186. Col. Vicentina. Del. Iztapalapa.

C. P. 09340. M´exico, D.F. [email protected]

En memoria del Dr. Ernesto Lacomba

Pregunt´emosle a un matem´atico acerca de contribuciones de Henri Poincar´e al estudio de las ecuaciones diferenciales. Con frecuencia, pen-sar´a primero en teoremas generales sobre los sistemas din´amicos, o en la mec´anica celeste [5]. El presente art´ıculo quiere ser un homenaje a importantes trabajos de Poincar´e en mec´anica de fluidos, relativos a las interacciones entre v´ortices [12].

Se puede mostrar que un fluido plano incompresible sin viscosidad es, con una buena aproximaci´on, un conjunto de remolinos o v´ortices. En el caso de un v´ortice fijo, la trayectoria de cualquier part´ıcula de fluido es una circunferencia, de centro el v´ortice. Su velocidad depende de su distancia al v´ortice, y de una cantidad caracter´ıstica del v´ortice, llamada vorticidad. Si la vorticidad es positiva, la part´ıcula recorre la circunferencia en el sentido trigonom´etrico. Si la vorticidad es negativa, la part´ıcula recorre la circunferencia en el sentido de las manecillas de un reloj. DenotemosP1(t), . . . , PN(t) las posiciones deN v´ortices en el

instante t y Γ1, . . . ,ΓN sus vorticidades, constantes. Se puede mostrar

que el movimiento de los v´ortices es una soluci´on de las ecuaciones diferenciales de Helmholtz:

P_i0 =R X

j6=i

Γj −−→

PjPi

PjPi2

!

,

dondeRes la rotaci´on de ´angulo 90 grados. El estudio de estas ecuacio-nes permite entender sistemas tan diversos como un hurac´an o el helio superfluido.

y B la posici´on del segundo v´ortice. Si Γ2 = −Γ1, los v´ortices tienen

misma velocidad, ya que:

A0 =R Γ2

−→

BA BA2

!

=R −Γ1

−→

BA BA2

!

=R Γ1

−→

AB AB2

!

=B0.

As´ı, el vector −→AB es constante. Por lo tanto, las velocidades A0 y B0 tambi´en son constantes: los v´ortices tienen un movimiento de traslaci´on con velocidad uniforme.

Ahora, supongamos: Γ2 6=−Γ1. Entonces se puede definir un punto

llamado centro de vorticidad, aqu´ı denotado Ω, del siguiente modo:

−→

OΩ = 1 Γ1+ Γ2

(Γ1

−→

OA+ Γ2

−−→

OB)·

Es f´acil ver que esta ecuaci´on define un ´unico punto Ω, que no depende del punto O elegido. Adem´as, tenemos:

Ω0 = Γ1 Γ1+ Γ2

A0+ Γ2 Γ1+ Γ2

B0

= Γ1 Γ1+ Γ2

R Γ2

−→

BA BA2

!

+ Γ2 Γ1+ Γ2

R Γ1

−→

AB AB2

!

=~0.

As´ı, el centro de vorticidad no se mueve. Por otro lado:

(AB2)0 = (−→AB·−→AB)0 = 2AB−→·(B0−A0) = 2−→AB·R Γ1

−→

AB AB2 −Γ2

−→

BA BA2

!

= 2(Γ1+ Γ2)

−→

AB·R(−→AB) AB2 = 0,

ya que los vectores−→AB y R(−→AB) son perpendiculares. As´ı, la distancia entre los v´ortices es constante, y cada v´ortice recorre una circunferencia cuyo centro es el centro de vorticidad.

Ahora, examinemos el caso de N = 3 v´ortices. Denotemos A la posici´on del primer v´ortice, B la posici´on del segundo v´ortice y C la posici´on del tercer v´ortice. Para simplificar nuestros c´alculos, vamos a estudiar el caso particular con vorticidades iguales Γ1 = Γ2 = Γ3 = 1.

Sin embargo, los argumentos que exponemos son v´alidos para cualquier valor de las vorticidades. Definimos las dos siguientes cantidades:

La cantidadI se llamamomento de inerciade la configuraci´on. La can-tidadP se puede interpretar como la exponencial de la energ´ıa cin´etica del fluido. Vamos a mostrar que I y P son constantes a lo largo del movimiento (se dice que son integrales primeras):

I0 =2(−→AB·−→AB0 +−BC−→·−BC−→0+−→CA·−→CA0)

=2 −→AB·R

−→

AB AB2 +

−−→

CB CB2 −

−→

BA BA2 −

−→

CA CA2

!

+−BC−→·R

−→

AC AC2 +

−−→

BC BC2 −

−→

AB AB2 −

−−→

CB CB2

!

+−→CA·R

−→

BA BA2 +

−→

CA CA2 −

−→

AC AC2 −

−−→ BC BC2 !! . Como _−→

AB·R(−→AB) = −BC−→·R(−BC) =−→ −→CA·R(−→CA) = 0, tenemos:

I0 = 2 −→AB·R

−−→

CB CB2 −

−→

CA CA2

!

+−BC−→·R

−→

AC AC2 −

−→

AB AB2

!

+−→CA·R

−→

BA BA2 −

−−→

BC BC2

!!

= 0.

Por otro lado:

(log(P2))0 =(log(AB2))0 + (log(BC2))0 + (log(CA2))0

=2

−→

AB·(B0−A0) AB2 +

−−→

BC·(C0−B0) BC2 +

−→

CA·(A0−C0) CA2

!

=2

−→

BA BA2 +

−→

CA CA2

!

·A0+

−→

AB AB2 +

−−→

CB CB2

!

·B0+

−−→

BC BC2 +

−→

AC AC2

!

·C0

!

=2(R−1(A0)·A0+R−1(B0)·B0+R−1(C0)·C0) = 0.

los v´ortices era constante. Para N = 3, la sola conservaci´on de I y P nos va a proporcionar el movimiento del tri´angulo formado por los v´ortices. Cabe mencionar que aqu´ı, s´olo estamos interesados en la forma de este tri´angulo, no contemplamos su traslaci´on o rotaci´on. Conocer esta forma es equivalente a conocer los tres lados AB, BC, AC del tri´angulo o, de modo parecido, a conocer los cuadradosAB2_,BC2_,AC2

de estos lados. As´ı, podemos visualizar el movimiento como una curva trazada en el espacio (de dimensi´on 3), donde el eje (Ox) corresponde al cuadradoAB2_{, el eje (Oy) corresponde al cuadrado BC}2_{, el eje (Oz)}

corresponde al cuadrado AC2_{. Cada punto de la curva corresponde}

al tri´angulo formado por los v´ortices en un instante dado. Sus tres coordenadas son los cuadrados de las longitudes de los tres lados de este tri´angulo. En la gr´afica de la izquierda, se pueden observar algunas de estas trayectorias caracterizadas como intersecciones de una superficie I = constante y de una superficie P = constante. La elecci´on de las coordenadas AB2_{, BC}2_{, AC}2 _{en vez de AB, BC, AC, permite ver la}

superficie I = AB2 +BC2 +CA2 = constante como un plano. Las trayectorias trazadas corresponden al mismo valor de I (por eso est´an en el mismo plano), pero parece claro que encontrar´ıamos el mismo tipo de curvas en otro plano de ecuaci´on I = constante. En la gr´afica de la derecha, se aplic´o una rotaci´on a estas trayectorias (y a otras del mismo plano), para que se puedan visualizar con m´as facilidad.

0 1

2 3

4 BC^2

0 1

2 3

4 AC^2

0 1 2 3 4

AB^2

0 1

2 3

4 BC^2

0 1

2 3

4 AC^2

-2 -1 1 2

-2 -1 1 2

Podemos trazar estas curvas aplicando el siguiente teorema que ser´a, sobre todo, el pretexto de un bonito razonamiento geom´etrico:

Teorema. Todas las curvas {I =I0 =constante, P =P0 =constante}

son cerradas y tienen el punto (I/3, I/3, I/3) en su interior.

pasara, la constante I ser´ıa infinita. Adem´as, ninguna curva se puede detener en uno de los planos de ecuaci´on:AB2 = 0,BC2 = 0 oAC2 = 0. Si esto se pudiera, como la curva no puede((ir al infinito)), tendr´ıamos: P = constante = 0. As´ı, en cada instante, uno de los lados del tri´angulo valdr´ıa 0: a lo largo del movimiento, dos v´ortices tendr´ıan la misma posici´on, lo que es imposible. Por lo tanto, cada curva es cerrada, o sus puntos extremos son puntos cr´ıticos de la funci´on P(AB2_{, BC}2_{, AC}2₎

en el plano de ecuaci´on: I(AB2, BC2, AC2) = constante.

Estos posibles puntos cr´ıticos, donde las derivadas parciales se anu-lan, corresponden a movimientos de equilibrio relativo: las distancias entre los v´ortices ser´ıan constantes. Los puntos cr´ıticos se calculan me-diante la t´ecnica de los multiplicadores de Lagrange: en estos puntos, los gradientes de las funciones I y P tienen que ser colineales. Es f´acil checar que:

∇I =

 

1 1 1



, ∇P =

1 2P

 

BC2AC2 AB2_AC2

AB2BC2

 ·

Estos vectores s´olo pueden ser colineales cuandoAB2 =BC2 =AC2 = I/3, es decir cuando el tri´angulo de los v´ortices es equil´atero. As´ı, s´olo hay un punto cr´ıtico. Por lo tanto, aunque la curva tenga puntos cr´ıticos en sus extremidades, es cerrada ya que estos puntos cr´ıticos coinciden. En el plano de ecuaci´on: I = constante, sea ¯D el conjunto formado por una curva cerradaγ de ecuaci´on: P = constante y por el interiorD de esta curva. En el conjunto cerrado y acotado ¯D, la funci´on continua P tiene un m´aximo y un m´ınimo. Como, enγ, la funci´onP es constante, no puede alcanzar a la vez su m´aximo y su m´ınimo en esta curva. Su-pongamos, por ejemplo, que la funci´on P alcance su m´aximo en un punto de D. Entonces este punto es un punto cr´ıtico de P. As´ı, s´olo se puede tratar del punto (I/3, I/3, I/3): acabamos de mostrar que el punto (I/3, I/3, I/3) est´a en el interior de la curvaγ. El teorema queda demostrado.

De hecho, los argumentos de esta demostraci´on implican que no se pueden encontrar dos trayectorias cerradas con un punto de inter-secci´on. En particular, ninguna trayectoria puede tener la forma de un ((ocho)). En efecto, el punto de intersecci´on ser´ıa un punto cr´ıti-co. Pero vimos que s´olo pod´ıa haber un punto cr´ıtico, de coordenadas (I/3, I/3, I/3), que se encontraba en el interior de las trayectorias.

Entre todas las trayectorias en el espacio de los (AB2_{, BC}2_{, AC}2_),

para el cual:AB+BC < AC. Esto equivale a examinar s´olo el dominio delimitado por la curva de los ((tri´angulos))colineales, de ´area 0. Por la f´ormula de Her´on, estos tri´angulos se caracterizan por la ecuaci´on:

1 4

p

(AB2 _+BC2_+AC2₎2_−2(AB4_+BC4_+AC4₎

= 1 4

p

I2_−2(AB4_+BC4_+AC4_{) = 0,}

equivalente a:

(AB2)2+ (BC2)2 + (AC2)2 = constante.

¡La curva que forman es la intersecci´on de una esfera y de un plano, es decir una circunferencia! Cabe mencionar que las trayectorias que tocan esta circunferencia se recorren en ambos sentidos: corresponden a movimientos peri´odicos de ida y vuelta entre dos configuraciones co-lineales.

As´ı, se pueden conocer todos los movimientos de un sistema de tres v´ortices. De hecho, estos movimientos se podr´ıan expresar mediante f´ormulas: se dice que el problema de tres v´ortices esintegrable. Tal como un sistema de dos o tres v´ortices, un sistema de dos (y s´olo dos) planetas o un resorte son ejemplos de sistemas integrables. Pero esta situaci´on es muy particular: con argumentos geom´etricos, Poincar´e mostr´o que la mayor parte de los sistemas diferenciales no era integrable.

Temas conexos

El problema que se resolvi´o aqu´ı es la intersecci´on privilegiada de varias ´

areas de las matem´aticas que, muchas veces, regalan problemas elemen-tales y accesibles a todos: estudiantes, investigadores, amateurs. Este art´ıculo tambi´en quisiera ser una invitaci´on a (re)descubrir estas ´areas.

La geometr´ıa

Los argumentos de la demostraci´on del teorema anterior permiten tra-zar las curvas de nivel de otras funciones, cl´asicas en geometr´ıa, tales como el producto de las distancias a los v´ertices de un tri´angulo, o su suma. Esta ´ultima funci´on aparece en el problema hist´orico de los puntos de Fermat-Torricelli [4].

El problema de N v´ortices

Para saber m´as acerca de este problema, se puede consultar el libro [9], que describe los resultados y las t´ecnicas m´as importantes. El art´ıculo [1] presenta los problemas m´as recientes. En [2], se demuestran resulta-dos acerca de los equilibrios relativos (movimientos donde las distancias entre los v´ortices son constantes a lo largo del tiempo). Un problema parecido al de tres v´ortices consiste en estudiar las interacciones de dos pol´ıgonos regulares conc´entricos, con el mismo n´umero de v´ortices, y vorticidades uniformes en cada pol´ıgono. En efecto, las simetr´ıas e inte-grales primeras observadas para tres v´ortices tambi´en permiten integrar este problema. ¡Los sistemas formados de dos pol´ıgonos de v´ortices pro-porcionan una descripci´on del ojo de un hurac´an! En [6], se estudian sus equilibrios relativos. Los sistemas de v´ortices son un ejemplo de modelo usado en mec´anica de fluidos, para el caso plano, incompresible y sin viscosidad. Pero el movimiento de un fluido general es soluci´on de las ecuaciones diferenciales parciales de Navier-Stokes, mucho m´as complejas que las ecuaciones de Helmholtz [13].

Las ecuaciones diferenciales

Existen muchas analog´ıas entre el problema deN v´ortices en mec´anica de fluidos y el problema deN cuerpos en mec´anica celeste, relacionado con las ecuaciones diferenciales de Newton:

P_i00 =X

j6=i

mj −−→

PiPj

Sus soluciones son posibles movimientos de planetas en interacci´on gra-vitacional [5,7,11]. Aqu´ı,P1, . . . , PN son las posiciones de los planetas,

m1, . . . , mN son sus masas. Sistemas de ecuaciones semejantes aparecen

en electrost´atica, qu´ımica, relatividad. Todos pertenecen a una clase de sistemas diferenciales llamados los sistemas hamiltonianos. Para cada sistema hamiltoniano, se puede definir una ((energ´ıa)), que es una inte-gral primera del movimiento. Adem´as, existe una correspondencia entre las simetr´ıas y las integrales primeras. En el caso del problema de tres v´ortices estudiado aqu´ı, la energ´ıa es el logaritmo de la integral primera P. La ordenada del centro de vorticidad (o de su an´alogo vectorial si la suma de las vorticidades es cero) es la integral primera asociada a las traslaciones horizontales. La abscisa del centro de vorticidad es la integral primera asociada a las traslaciones verticales. El momento de inercia I es la integral primera asociada a las rotaciones. El libro [3] puede ser una buena introducci´on a estos problemas.

La geometr´ıa diferencial

En nuestra resoluci´on del problema de tres v´ortices, no demostramos que una ((trayectoria)) (definida aqu´ı por un sistema de dos ecuacio-nes en el espacio de dimensi´on 3) sin punto cr´ıtico era un segmento o una recta ((deformados)) (con dos extremidades) o una circunferen-cia ((deformada)), sin punto doble. Aunque visualmente este resultado parezca natural, su prueba es dif´ıcil. Primero, habr´ıa que mostrar que una trayectoria sin punto cr´ıtico es localmente un segmento deforma-do (sin punto deforma-doble). Los objetos que tienen esta propiedad se llaman variedades de dimensi´on 1 (las variedades de dimensi´on 2 son las su-perficies, etc). Luego, se tratar´ıa de mostrar que todas las variedades conexas de dimensi´on 1 son globalmente segmentos, rectas o circunfe-rencias ((deformados)). Estos dos teoremas, que se estudian al fin de la licenciatura o en posgrado, son los pilares de la geometr´ıa diferencial.

El an´alisis complejo

Aunque no fue necesario aqu´ı para resolver el problema de tres v´ortices, se puede notar que el campo de velocidades generado porN v´ortices es el conjugado de un campo holomorfo:

v(z) =i

N

X

j=1

Γj

z−Pj |z−Pj|2

=i

N

X

j=1

Γj

¯ z−P¯j

·

campo de velocidades como el ´unico que cumple con las siguientes con-diciones:

Se anula cuando |z| es infinito.

Su divergencia vale cero en todo _C (lo que incluye los v´ortices). Esta condici´on expresa que el fluido es incompresible.

Su rotacional es una ((funci´on)) (el t´ermino t´ecnico es (( distribu-ci´on))) que vale cero en todo_C, excepto en los v´ortices, pero cuya integral en _C vale. . . ¡la suma de las vorticidades! La referencia [10] propone una introducci´on a las propiedades muy peculiares de las distribuciones.

En [8], se estudian varios aspectos de la holomorf´ıa de las ecuaciones de Helmholtz.

Agradecimientos

Este trabajo fue parcialmente financiado por el proyecto CONACYT 128790.

Bibliograf´ıa

1. H. Aref, ((Point vortex dynamics: a classical mathematics playground)),

J. Math. Phys., vol. 48, 2007, 65401.1–65401.23.

2. H. Aref, P. K. Newton, M. A. Stremler, T. Tokieda y D. L. Vainchtein, ((Vortex crystals)),Adv. Appl. Mech., vol. 39, 2002, 1–79.

3. V. I. Arnold, V. V. Kozlov y A. I. Neishtadt, Mathematical aspects of classical and celestial mechanics (Encyclopaedia of Mathematical Sciences, volume 3: Dynamical systems III), Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 2006.

4. S. C´ardenas,((El punto de Fermat)),Misc. Matem., n´um. 40, 2004, 77–85. 5. M. Celli, ((Coreograf´ıas para ballet de estrellas)), Misc. Matem., n´um.

50, 2010, 1–10.

6. M. Celli, E. Lacomba y E. P´erez-Chavela,((On polygonal relative equili-bria in the N-vortex problem)),J. Math. Phys., vol. 52, 2011, 10310.11– 10310.18.

7. A. Garc´ıa, ((Euler y la mec´anica celeste)),Misc. Matem., n´um. 45, 2007, 67–86.

9. P. K. Newton, The N-vortex problem: analytical techniques, Springer-Verlag, New York, 2001.

10. J. A. P´erez,((La distribuci´on Delta)),Misc. Matem., n´um. 38, 2003, 1–14. 11. E. P´erez-Chavela, ((Caos en el sistema solar)), Misc. Matem., n´um. 26,

1997, 59–70.

12. H. Poincar´e, Th´eorie des tourbillons, Gauthier-Villars, Paris, 1893. 13. F. M. White,Mec´anica de fluidos, McGraw Hill, Madrid, 2008, traducido