Recuperación de Matemáticas 1º ESO 3. DIVISIBILIDAD

3. DIVISIBILIDAD

a

divisible

b

a

b

Es decir :

Si a es divisible por b, diremos que:

● a es

múltiplo

● b es

divisor

Un número es

primo

Eratóstenes

1.- Escribe 5 múltiplos de:

a) 3: ……….. b) 4: ……….. c) 5: ……….

2.- Escribe los múltiplos comprendidos entre 300 y 350 de:

a) 10: ………...

b) 20: ………

c) 3: ………..

d) 25: ………...

e) 6: ………..

f) 40: ……….

3.- Escribe los divisores de :

a) Div(12)= ……….

b) Div(20)= ……….

c) Div(24)= ………..

d) Div(120)= ………

e)Div(100)= ……….

f) Div(39)= ………...

4.- Escribe los números del 50 al 100 que sean divisibles por:

a) 3: ………..

b) 5: ………..

c) 10: ……….

d) 4: ………..

e) 11: ……….

5.- Rodea con un círculo los números primos :

6.- Calcula el primer múltiplo de 33 que sea mayor que 500.

7.- Escribe todos los divisores de 2 cifras del número 350

8.- Clasifica los siguientes números en primos y compuestos. Para ello calcula sus divisores:

DIVISORES : DIVISORES: DIVISORES:

TIPO: TIPO: TIPO:

DIVISORES:

TIPO: DIVISORES: DIVISORES:

TIPO: TIPO:

9.- Escribe los números primos comprendidos entre 70 y 90

10.- Completa con los siguientes números:

● ______ es múltiplo de 5, y 5 es divisor de _____

● 8 es múltiplo de ____ y ____ es divisor de _____

REGLAS DE DIVISIBILIDAD

Un número es divisible por 2 ( número par) si la última cifra es 0,2,4,6,8

Un número es divisible por 3 sumamos todas sus cifras y el resultado es un número múltiplo de 3

Un número es múltiplo de 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible por 4

Un número es divisible por 5 si su última cifra es un 0 o un 5

Un número es divisible por 10 si su última cifra es un 0

Un número es divisible por 11 si después de sumar sus cifras en posición par por un lado y las cifras en posición impar por otro , restamos las dos cantidades obtenidas y resulta 0 o un múltiplo de 11

1.- Indica si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 4, 5, 10 y 11.

Número 2 3 4 5 10 11

12528

5610

11111

3495

2.- Escribe la cifra que falta para que el número correspondiente sea divisible entre 3:

a) 39___2 b) 522___ c) 1___11___2

DESCOMPOSICIÓN EN PRODUCTO DE FACTORES. MCD y

MCM.

Si escribimos 28 = 4 ∙7, diremos que hemos descompuesto 28 en producto de dos factores, 4 y 7.

Pero no es la única descomposición posible de 28. También podríamos haber escrito 28 = 2 ∙ 2 ∙ 7 . En este caso habríamos descompuesto 28 en producto de tres factores.

1.- Descompón en producto de 2 factores los números:

a) 45 = b) 24 = c) 130 = d) 156 =

2.- Descompón en producto de 3 factores los números:

a) 45 = b) 24 = c) 130 = d) 156 =

3.- Descompón cada número en el número máximo de factores (no necesariamente distintos todos ellos):

a) 120 =

b) 90 =

c) 325 =

Diremos que

a

∙

a

∙ . ∙

..

a

a

  ,

a

  , .. ,

.

a

a =

a

∙

a

∙ . ∙

..

a

Para realizar la descomposición de un número en producto de factores primos procederemos con el siguiente algoritmo:

IMPORTANTE:

4.- Realiza la descomposición en factores primos de los números:

a) 64 =

b) 120 =

c) 242 =

d) 1014 =

e) 1260 =

Utiliza el algoritmo anterior.

5.- Intenta descubrir qué página de un libro estoy leyendo si la página de su derecha sumada con la página en la que estoy da 149.

6.- Calcula qué números tienen las siguientes descomposiciones factoriales:

a) 2 2_{∙ 3} = 

b) 5 3_{∙ 2 ∙ 3}2   = c) 2 ∙ 3 ∙ 7 2∙ 11   = d) 2 4∙ 3 3∙ 5  =

Llamamos

mínimo común múltiplo (mcm)

menor de los múltiplos comunes de dichos números.

Llamamos

máximo común divisor (mcd)

Si quisiéramos calcular el mcm ( 24 , 36 ) deberíamos elaborar una lista de los múltiplos de cada uno y de los comunes, elegir el más pequeño:

24 → 24 , 48 ,

72

72 , 108 , 140 ,

Por tanto mcm ( 24 , 36 ) =

72

El procedimiento para calcular el mcd es similar. Vamos a calcular el mcd (24,36). En primer lugar calculamos todos los divisores de ambos números, para elegir el mayor de los que sean comunes:

Divisores de 36 → 2 , 3 , 4 , 6 , 9 ,

12 ,

Por tanto el mcd ( 24 , 36 ) =

12

Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes números:

9 y 12

36 y 28

12, 34 y 15

21 y 28

14, 36 y 49

ALGORITMO DE CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN

MÚLTIPLO

1º Descomponemos los números en factores primos.

2º Tomamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. 3º Multiplicamos dichos factores

Ejemplo:

m.c.m (12, 30, 21)

1º 12 = 22 _{· 3} 30 = 2 · 3 · 5 21 = 3 · 7

22 _{, 3, 5 y 7}

3º Multiplicamos los factores: 22 _{∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 420} 

m.c.m (12, 30, 21) = 420

ALGORITMO DE CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

1º Descomponemos los números en factores primos.

2º Tomamos los factores comunes con el menor exponente. 3º Multiplicamos dichos factores

Ejemplo:

m.c.d (12, 30, 21)

1º 12 = 22 _{· 3} 30 = 2 · 3 · 5 21 = 3 · 7

2º Tomamos los factores comunes con el menor exponente: 3

3º Multiplicamos los factores:  3 = 3 

m.c.d (12, 30, 21)=3

1.­ Los autobuses de las líneas 25 y 34 salen de la misma parada. Pero sus frecuencias no son las mismas: el autobús 25 sale cada 10 minutos y el autobús 34 sale cada 35 minutos. Son las 7 y cuarto de la mañana y acaba de salir un autobús de la línea 25 y otro de la línea 34. ¿ Cuándo volverán a coincidir?

2.- Calcula:

mcm ( 4 , 18 )= mcd ( 60 , 200 )= mcm ( 365 , 30 )=

mcd ( 45 , 60 )= mcm ( 35 , 45 , 150 )= mcd ( 24 , 60 , 80 )=

mcm ( 6 , 15 , 18 )= mcd ( 18 , 24 , 30 )= mcm ( 4 , 6 , 21 , 27 )=

3.- Tengo entre 30 y 40 CD’s. Puedo contarlos de 2 en 2, de 4 en 4 y de 6 en 6, sin que en ningún caso me sobre ningún CD. ¿ Cuántos CD’s tengo?

5.- En mi clase podemos hacer equipos de 2, de 4 o de 7 alumnos, sin que sobre ni falte ningún alumno. Si somos menos de 32 alumnos en clase, ¿cuál es el número exacto de alumnos que hay?

6.- Cuatro amigos van a una pizzería. Las pizzas están divididas en 6 porciones cada una y todos van a tomar el mismo número de porciones. ¿Cuántas pizzas deben pedir como mínimo?

7.- Ana tiene 49 periódicos y los quiere repartir en montones iguales. ¿De qué forma puede realizar Ana ese reparto? 

Recuperación de Matemáticas 1º ESO por Francisco Javier García, Juan José López, Alicia Marín y Olga Pereda se distribuye bajo una licencia Creative Commons