Tema 2 ECUACIONES EN DIFERENCIAS

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ECUACIONES EN

DIFERENCIAS

Las ecuaciones en diferencias permiten modelizar la evoluci´on en el tiempo de un sistema din´amico, tratando el tiempo n como una variable discreta.

2.1. Introducci´

on

Un ejemplo sencillo para entender lo que es una ecuación en diferencias lo encontramos en los clásicos problemas de interés compuesto:

Ejemplo 2.1. Supongamos que abrimos una cuenta en un banco con un inter´es del 10 % anual y sea an la cantidad de dinero en dicha cuenta en el a˜no n. Entonces, la

ecuación que describe la variación año a año de esta variable será an+1 =an+ 0,1an,

es decir:

an+1 = 1,1an (2.1)

Esta ecuaci´on, que tambi´en se puede expresar como an+1−an = 0,1an, es lo que

se conoce como una “ecuaci´on en diferencias”, ya que en el lado izquierdo aparece la diferencia entre los valores que toma la variable an en dos instantes distintos (las

ecuaciones en diferencias, as´ı como las ecuaciones diferenciales que veremos en el Tema 2, nos dan información sobre la variación de una o más variables en función del tiempo).

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Ahora, supuesto que hemos abierto la cuenta, por ejemplo, con 1000∈, tendr´ıamos:

a0 = 1000

a1 = 1,1a0 = 1100 a2 = 1,1a1 = 1210

· · ·

Obsérvese que no decimos nada de lo que ocurre en los instantes intermedios, por ejemplo n = 0,5, pues la ecuación no nos da ninguna información al respecto. En general, la solución de una ecuación en diferencias será una función A :Z+ →R, es decir, una sucesión de números reales. Decimos que manejamos el tiempo “de forma discreta” por el hecho de que se considera n ∈ Z+. En el Tema 2 veremos que la solución de una ecuación diferencial va a ser una función R→R. Diremos en ese caso que manejamos el tiempo ”de forma continua”.

Volviendo al caso que nos ocupa, para conocer completamente la solución de la ecuación debemos calcular el término general de la sucesión correspondiente, en este caso ak = 1000(1,1)k. Ahora, si quisiéramos saber cuanto dinero vamos a tener

en la cuenta dentro de 14 a˜nos s´olo tendr´ıamos que calcular: a14 = 1000(1,1)14 = 3797,498∈.

Obsérvese también que si fuese a0 = 2000, tendr´ıamos a1 = 2200, a2 = 2420, etc. Es decir, la ecuación 2.1 no tiene una única solución, sino que existe una solución distinta por cada valor que tome a0. En general, dado a0, tendremos que la solución correspondiente viene dada por la sucesiónak =a0(1,1)k. Esta solución, que se conoce como “solución general”, no está completamente determinada pues depende de la constantea0. Sin embargo, s´ı lo estará si añadimos una “condición inicial” que asigne un valor concreto a a0. En este caso, la ecuación tendrá una única solución que llamaremos “solución particular” para dicha condición inicial.

Otro comentario que podemos hacer sobre el ejemplo anterior es que el mismo ra-zonamiento se puede aplicar para cualquier interésI que utilice el banco. En general, la solución de la ecuación será ak = a0(1 +I)k. Decimos en este caso que I es un parámetro de la ecuación. Un interesante problema en el estudio de sistemas dinámi-cos es, dada una ecuación que contiene un parámetro, analizar como afecta el valor de dicho parámetro a las soluciones de la ecuación.

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debida al hecho de que l´ımk→∞(1,1)k = ∞ mientras que l´ımk→∞(0,95)k = 0. Esto

implica que en el primer caso, en que el banco nos da un interés del 10 %, nuestro dinero en la cuenta crecerá más y más sin l´ımite; sin embargo, en el segundo caso, en que el banco nos quita un 5 % cada año, nuestro dinero irá disminuyendo con el tiempo y a largo plazo tendremos una cuenta vac´ıa. Es decir, el comportamiento a largo plazo del sistema cambia radicalmente dependiendo de que el parámetro I sea mayor o menor que cero.

Una de las caracter´ısticas más importantes a estudiar en un sistema dinámico es el comportamiento a largo plazo (“comportamiento asintótico”) de sus soluciones. Más adelante veremos sistemas no lineales para los que no podemos conocer sus soluciones pero s´ı tenemos herramientas para estudiar su comportamiento asintótico.

Veamos otro ejemplo de problema de inter´es compuesto:

Ejemplo 2.2. Supongamos ahora que el banco nos ha concedido un cr´edito de 3000∈

a un inter´es mensual del 6 %. Si ahora definimos an como el dinero que debemos al

banco en el mes n, tenemos que an+1 =an+ 0,06an = 1,06an. Supongamos tambi´en

que estamos pagando una letra mensual de 210∈; en ese caso la ecuaci´on del modelo ser´a:

an+1 = 1,06an−210 (2.2)

Más adelante veremos que la solución general de esta ecuación es la sucesión ak =

(a0−3500)(1,06)k+ 3500 y, por tanto, la solución particular para la condición inicial a0 = 3000 será ak = 3500−500(1,06)k.

Nótese que l´ımk→∞ak=−∞, lo cuál implica que en algún momentoak dejará de ser

positivo y por tanto habremos acabado de pagar la deuda. Es m´as, si despejamos k de la inecuaci´on 3500−500(1,06)k_≤_{0, tenemos que} _k _≥_33,395_{. . ., es decir,} _k _≥_34,

lo cual significa que necesitaremos 34 meses para acabar de pagar la deuda.

Por otro lado, si en el ejemplo anterior hubiésemos pedido un crédito inicial de a0 = 4000 ∈, tendr´ıamos que la solución de la ecuación es ak = 3500 + 500(1,06)k y por

tanto l´ımk→∞ak = ∞, luego nunca acabar´ıamos de pagar la deuda sino que ´esta

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crece sin l´ımite. Este ejemplo ilustra la importancia que puede tener el estudio del comportamiento asint´otico de un sistema din´amico.

A lo largo de este tema haremos breve recorrido por toda la teor´ıa desarrollada en torno al estudio de las ecuaciones en diferencias. Empezaremos, en la sección 2.2 por identificar y clasificar los principales tipos de ecuaciones en diferencias que nos podemos encontrar. En la sección 1.3 veremos como calcular soluciones en los casos más sencillos. La sección 1.4 está dedicada al estudio del comportamiento asintótico de los sistemas no lineales, la mayor´ıa de los cuales no sabemos resolver y, por último, en la sección 1.5 veremos cómo se pueden utilizar todos estos conceptos a la hora de estudiar la evolución en el tiempo de una población de seres vivos.

2.2. Clasificaci´

on de las ecuaciones en diferencias

La forma de estudiar y resolver (cuando se pueda) una ecuaci´on en diferencias depende del tipo de ecuaci´on a que nos enfrentemos. Por eso, antes que nada es importante que sepamos identificar los distintos tipos de ecuaciones que podemos encontrarnos.

La forma general de una ecuaci´on en diferencias es:

an+1 =f(an, an−1, . . . , an−k+1, n) (2.3) En esta ecuación hace referencia a los valores an−k+1, an−k+2, . . . , an−1, an y an+1. La diferencia por tanto entre el primer instante y el último es k. Decimos por ello que es una ecuación “de orden k”. Para obtener una solución particular en una ecuación de orden k son necesarias k condiciones iniciales.

Nosotros trabajaremos todo el tiempo con ecuaciones de orden 1, es decir, ecuaciones de la forma: an+1 = f(an, n). Como caso particular tendr´ıamos la ecuaci´on an+1 = f(an), en que el tiempo no aparece de forma expl´ıcita. Decimos entonces que la

ecuación es “autónoma”. Otro caso particular ser´ıa una ecuación de la forma:an+1 = f(an) +g(n). Es lo que se denomina una ecuación “no homogénea”.

Dentro de las ecuaciones aut´onomas de orden 1 trabajaremos en los siguientes casos:

Ecuaciones lineales. Son ecuaciones del tipo an+1 = ran, como la que aparec´ıa

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Ecuaciones afines. Son ecuaciones del tipoan+1 =ran+b, como la que aparec´ıa

en el ejemplo 2.2. Se podr´ıan considerar tambi´en como ecuaciones no homog´eneas en las queg(n) es una constante.

Ecuaciones no lineales. Son ecuaciones del tipoan+1 =f(an), en que la funci´on

f es no lineal. No existen m´etodos generales para resolver ecuaciones de este tipo por lo que nos centraremos en el estudio de su comportamiento asint´otico.

Por último veremos cómo calcular soluciones para algunos casos sencillos de ecua-ciones no homogéneas; concretamente aquellos en que la funcióng(n) es un polinomio o una exponencial.

2.3. C´

alculo de soluciones

En esta sección veremos como resolver ecuaciones en diferencias autónomas de orden 1 de tipo lineal y af´ın. En la última parte veremos también como podemos resolver algunas ecuaciones no homogéneas.

2.3.1. Ecuaciones lineales

Consideremos una ecuaci´on de la forma:

an+1 =ran (2.4)

Obviamente esta ecuaci´on da lugar a la sucesi´on:

a1 =ra0

a2 =ra1 =r2a0 a3 =ra2 =r3a0

· · ·

con t´ermino general ak =rka0

2.3.2. Ecuaciones afines

Consideremos una ecuaci´on de la forma:

an+1 =ran+b (2.5)

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En el caso r 6= 1 la soluci´on general ser´aak=crk+a donde a=

b 1−r.

Para comprobar que esto es cierto sólo tenemos que sustituir en la ecuación 2.5. El miembro de la izquierda será:

an+1 =crn+1+a

El miembro de la derecha ser´a:

ran+b=r(crn+a) +b=crn+1+ra+b

Claramente ambos miembros son iguales ya queb = (1−r)a, luego la soluci´on que hemos dado verifica la ecuaci´on 2.5.

Por supuesto esto es una soluci´on general, ya que depende del par´ametro c. Ahora, dado un valor iniciala0, tendremos:

a0 =cr0+a =c+a ⇒c=a0−a

Por tanto, la soluci´on particular para un valor iniciala0 ser´a entonces

ak = (a0−a)rk+a donde a= b

1−r (2.6)

En el casor= 1 la ecuaci´on 2.5 se convierte enan+1 =an+b, luego, obviamente,

ser´a:

ak =a0+kb

Ejemplo 2.3. La ecuaci´on del ejemplo 2.2 era una ecuaci´on af´ın con r = 1,06, b = −210 y a0 = 3000. Sustituyendo estos valores en 2.6 comprobamos que a =

−210

−0,06 = 3500, luego la soluci´on de esta ecuaci´on esak = (3000−3500)(1,06)k+ 3500 = 3500−500(1,06)k_.

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2.3.3. Ecuaciones no homog´

eneas

En este apartado calcularemos soluciones para ecuaciones de la forma an+1 = ran+g(n) en los casos en que:

g(n) es un polinomio de la forma: g(n) =pmnm+· · ·+p1n+p0

g(n) es una funci´on exponencial de la forma: g(n) =bsn

Caso 1: an+1 =ran+pmnm+· · ·+p1n+p0

Igual que ocurr´ıa en el caso af´ın, la soluci´on ser´a distinta dependiendo de que sea r= 1 o r 6= 1.

En el caso r 6= 1 la soluci´on ser´a de la forma:

ak =crk+bmkm+· · ·+b1k+b0

Los parámetros b0, b1, . . . , bm se calcularán sustituyendo en la ecuación.

Final-mente el parámetrocse obtendrá como siempre, a partir de la condición inicial.

Ejercicio:Resolver la ecuación: an+1 = 3an+ 2n+ 5 con a0 = 8. En el caso r = 1 la solución será de la forma:

ak =bm+1km+1+· · ·+b1k+c

Los parámetros b1, b2, . . . , bm+1 se calcularán sustituyendo en la ecuación. El parámetro cse obtendrá a partir de la condición inicial.

Ejercicio:Resolver la ecuaci´on: an+1 =an+n+ 1 cona0 = 0.

Caso 2: an+1 =ran+bsn

En este caso la forma de obtener la soluci´on depender´a de que sea r =s o r6=s.

En el caso r 6=s la soluci´on ser´a:

ak =crk+ask donde a= b

s−r

El parámetroc se obtendrá a partir de la condición inicial.

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En el caso r =s la soluci´on ser´a:

ak = (c+ak)rk donde a =

b r El parámetroc se obtendrá a partir de la condición inicial.

Ejercicio:Resolver la ecuaci´on: an+1 = 3an+ 6·3n con a0 = 5.

Ejercicios: Resolver las ecuaciones:

an+1 = 3an+ 3n+ 4n con a0 = 0.

an+1 = 2an+ 3n+n+ 1 cona0 = 2. an+1 =an+ 2n+n con a0 = 1.

an+1 = 2an+ 2n+n con a0 = 1.

2.4. Comportamiento asint´

otico de los sistemas

dis-cretos

En esta sección introduciremos algunos conceptos y procedimientos que nos permi-tirán llevar a cabo el “análisis cualitativo” de un sistema discreto, es decir, nos per-mitirán conocer el comportamiento asintótico del sistema sin necesidad de resolver de forma exacta su ecuación. Más adelante veremos que en muchos sistemas no lineales este tipo de análisis es la única alternativa viable.

Una vez introducidos los principales conceptos, los aplicaremos al estudio del com-portamiento asintótico de sistemas lineales y afines genéricos. Por último veremos algunas técnicas muy útiles para trabajar con sistemas no lineales y las pondremos en práctica sobre diversos ejemplos.

2.4.1. Puntos de equilibrio y estabilidad

Definición 2.1. Dada una ecuación en diferencias autónoma de la forma an+1 = f(an), se dice que a∈R es un “punto de equilibrio” del sistema si:

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Ejercicio Comprobar que en la ecuaci´on del ejemplo 2.2 el punto a = 3500 es un punto de equilibrio.

Teorema 2.1. Dada una ecuaci´on aut´onoma de la forma an+1 = f(an), el punto

a∈R es un punto de equilibrio si y s´olo si se cumple que f(a) =a.

A continuaci´on veremos con un ejemplo que no todos los puntos de equilibrio son iguales:

Ejemplo 2.4. Consid´erese el sistema af´ın an+1 = 1,01an −20. Para calcular sus

puntos de equilibrio hacemos:

f(a) = a⇒1,01a−20 = a⇒0,01a= 20⇒a= 2000

Por otro lado, aplicando 2.6, tenemos que la soluci´on del sistema ser´a:

ak= (a0−2000)(1,01)k+ 2000

Efectivamente comprobamos que si a0 = 2000 entoncesak = 2000 ∀k ∈N.

Por otra parte, el hecho de que l´ımk→∞(1,01)k =∞ hace que en el momento en que

a0 se separe del valor a = 2000, por peque˜na que sea esta separaci´on, ak se vaya

alejando m´as y m´as del punto de equilibrio a medida que crece k. Decimos por ello que a= 2000 es un “equilibrio inestable”.

Ejemplo 2.5. Consid´erese un sistema parecido al anterior: an+1 = 0,99an + 20.

Procediendo como antes comprobamos que el único punto de equilibrio vuelve a ser a= 2000. A su vez, la solución del sistema seráak = (a0−2000)(0,99)k+2000, también muy parecida a la del ejemplo anterior. Sin embargo hay una diferencia sustancial y es que ahora l´ımk→∞(0,99)k = 0. Esto implica que si cogemos un valor para a0 distinto dea = 2000 pero suficientemente cercano, tendremos que:

l´ım

k→∞ak = 2000

es decir, la solución, a largo plazo, se acercará más y más al punto de equilibrio. Decimos en este caso que a= 2000 es un “equilibrio estable”.

Definici´on 2.2. Sea a un punto de equilibrio del sistema an+1 =f(an). Se dice que

a es un “equilibrio estable” si existe ε >0 tal que:

|a0−a|< ε⇒ l´ım

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Figura 2.1: Equilibrios estable e inestable, ¿cu´al es cu´al?

Definici´on 2.3. Sea a un punto de equilibrio del sistema an+1 =f(an). Se dice que

a es un “equilibrio inestable” si existe ε >0 tal que:

0<|a0−a|< ε⇒ ∃k >0 tal que |ak−a|> ε

2.4.2. Comportamiento asint´

otico de sistemas lineales y afines

Consideremos el sistema lineal de la ecuaci´on 2.4: an+1 = ran. Resolviendo la

ecuaci´on del teorema 2.1, tenemos:

f(a) = ra=a⇒a= 0 ´o r= 1

El casor = 1 es un caso trivial ya que la ecuaci´on se convierte en: an+1 =an, lo cual

significa que, dado cualquier valor inicial a0, el sistema se mantiene siempre en ese mismo valor, es decir, cualquier puntoa∈Res punto de equilibrio de dicha ecuaci´on.

En general, para cualquier r 6= 1, el único punto de equilibrio será a = 0. Para estudiar su estabilidad debemos recordar que, según se vio en el tema anterior, la solución general de este sistema es ak = a0rk. A partir de esta solución se deduce fácilmente cuál será su comportamiento asintótico, que resumimos en la siguiente tabla:

r <−1 diverge alternando el signo r=−1 alterna entre a0 y −a0 (2-ciclo)

−1< r <0 converge a cero alternando el signo

r = 0 es siempre cero

0< r <1 converge a cero mon´otonamente

r = 1 vale siempre a0

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Podemos decir por tanto que a = 0 es siempre un punto de equilibrio del sistema cuya estabilidad depender´a del valor de r. Concretamente se tiene:

|r <1| ⇒a= 0 es un equilibrio estable.

|r >1| ⇒a= 0 es un equilibrio inestable.

r = −1 ⇒ a = 0 es lo que llamamos un “equilibrio neutro”, ya que ak no se

acerca ni se aleja de ´el.

r= 1 ⇒Todo a ∈R es un equilibrio neutro.

Consideremos ahora el sistema af´ın de la ecuaci´on 2.5:an+1 =ran+b. Aplicando otra

vez el teorema 2.1, tenemos:

f(a) = ra+b=a⇒a(1−r) = b⇒a= b 1−r

luego tenemos que el ´unico punto de equilibrio ser´a a= b

1−r, siempre por supuesto que sea r6= 1.

En el caso r= 1 la ecuaci´on se convierte en an+1 =an+b. Obviamente este sistema

crece (o decrece si b < 0) indefinidamente sea cual sea la condici´on inicial, luego no tiene puntos de equilibrio.

Volviendo al casor6= 1, para estudiar la estabilidad del punto de equilibrio tendremos que recurrir al mismo m´etodo que en el caso lineal. En el tema anterior vimos que en este caso la soluci´on del sistema es: ak =crk+a donde a =

b

1−r es el punto de equilibrio.

A partir de esta soluci´on se llega inmediatamente a la siguiente tabla:

r <−1 diverge alternando el signo r=−1 alterna entre a0 y b−a0 (2-ciclo)

−1< r <0 converge al p.e. alternando el signo

r = 0 es siempre a

0< r <1 converge al p.e. mon´otonamente r ≥1 diverge mon´otonamente

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|r <1| ⇒a es un equilibrio estable.

|r >1| ⇒a es un equilibrio inestable.

r=−1⇒a es un equilibrio neutro.

La principal diferencia est´a en que en el caso r = 1 el sistema deja de tener puntos de equilibrio.

2.4.3. Comportamiento asint´

otico de sistemas no lineales

Una herramienta muy útil para estudiar el comportamiento asintótico de los sistemas no lineales es el “gráfico de telaraña” (“cobweb”). En él se pueden reconocer clara-mente los puntos de equilibrio y distinguir si son estables, inestables, semiestables, etc. Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo: Representar el gr´afico de telara˜na de las siguiente ecuaciones:

an+1 = 0,8an con a0 =−1 y 1. an+1 = 2an con a0 =−1 y 1. an+1 =−0,8an con a0 =−1 y 1. an+1 =−2an con a0 =−1 y 1. an+1 =−an con a0 = 1.

Como acabamos de ver, en los sistemas lineales la función f es una recta que pasa por el origen y éste es el único punto de equilibrio. Además su estabilidad depende de que sea |r|<1 o |r|>1(donde r es la pendiente de la recta). Veamos más ejemplos:

an+1 = 1,5an−1 con a0 = 1 y 3. an+1 =−an+ 4 cona0 = 3 y 5. an+1 = (an+ 4)an+ 2.

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1 1

1

0.8

0

y=x

y= 0.8x

Figura 2.2: Gr´afico de telara˜na del sistema an+1 = 0,8an para a0 = 1

Proposici´on 2.1. Sea an+1 =f(an)un sistema aut´onomo con un punto de equilibrio

a∈R y sea f derivable en a. Entonces se tiene que:

a. |f0_(a)_|_<₁_⇒_a _{es un equilibrio estable.}

b. |f0_(a)_|_>₁_⇒_a _{es un equilibrio inestable.}

Los casos en que f0_{(a) = 1 (caso C) o} _f0_{(a) =} ₋_{1 (caso D) hay que estudiarlos m´as}

detenidamente. Analizando más ejemplos con la ayuda de los gráficos de telaraña observamos que en el caso C tenemos que recurrir al estudio de la 2a _{derivada (f}00_(a)),

si es que existe. En tal caso se tiene:

a. f00_(a)_<₀_⇒_a _{es un equilibrio semiestable por la derecha.}

b. f00_(a)_>₀_⇒_a _{es un equilibrio semiestable por la izquierda.}

Todav´ıa, si f00_{(a) = 0 tendremos que recurrir al estudio de la 3}a _{derivada (f}000_{(a)) y}

ahora:

a. f000_(a)_<₀_⇒_a _{es un equilibrio estable.}

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1

y=₋0.8x

y=x

Figura 2.3: Gr´afico de telara˜na del sistema an+1 =−0,8an para a0 = 1

Para finalizar veamos qu´e ocurre en el caso D, es decir, cuando f0_{(a) =}₋_{1. En estos}

casos el gráfico de telaraña adquiere un aspecto de espiral, similar al del ejemplo de la figura 2.4.3, que refleja el hecho de que las soluciones, en un entorno del punto de equilibrio, se sitúan por encima y por debajo de él, alternativamente en cada paso de tiempo. Sin embargo esta espiral puede crecer hacia dentro (equilibrio estable) o hacia fuera (equilibrio inestable). Necesitamos un método que nos permita discernir en qué caso nos encontramos; el que proponemos a continuación se basa en el estudio de las sucesiones a0, a2, a4. . .y a1, a3, a5. . ..

Consideremos la ecuaciónan+2 =g(an) dondeg =f◦f. Obsérvese que esta ecuación

(de 2o _{orden) determina los t´erminos pares de nuestro sistema,} _a

2, a4, a6. . ., a partir de a0. Del mismo modo, conocido a1, nos permite obtener los t´erminos impares, a1, a3, a5. . ..

Se demuestra f´acilmente que todo punto de equilibrio del sistema an+1 =f(an) lo es

tambi´en del sistema an+2 =g(an). Adem´as, si f es continua, entonces las estabilidad

de dichos puntos de equilibrio es la misma en ambos sistemas. Esto significa que podemos estudiar la estabilidad dea a partir deg0_{(a), g}00_{(a), g}000_(a),etc.

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g00_{(a) = 0, luego necesitamos calcular la 3}a _derivada: g000_{(a) =}₋_2f000_(a)₋_3[f00_(a)]2

Sig000_(a)_<_{0 esto querr´a decir que} _a _{es un equilibrio estable. Asimismo, si} _g000_(a)_>₀

deberemos entender que a es un equilibrio inestable.

Ejercicio: Hacer un an´alisis cualitativo de los siguientes sistemas:

an+1 = 0,8an−a3n.

an+1 = 4a3n.

an+1 =a3n−a2n+ 1.

an+1 =an−a3n.

an+1 =−an+ 2a2n.

an+1 = 3,2an−0,8a2n.

Ejercicio:Hacer un an´alisis cualitativo del sistema an+1 =−ban+a3n en funci´on del

par´ametro b.

Ejercicio: Hacer un an´alisis cualitativo del sistema an+1 = αane−an en funci´on del

par´ametro α.

2.5. Modelos de crecimiento poblacional

En esta sección veremos cómo aplicar las técnicas que hemos desarrollado a lo largo del tema para el estudio de sistemas dinámicos discretos, al análisis de modelos de dinámica de poblaciones muy utilizados en Biolog´ıa.

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de mortalidad del 10 %. Esto implica, si suponemos que no hay “migración”, que la variación en el tamaño de la población entre dos periodos consecutivos será:

an+1 =an+ 0,3an−0,1an = 1,2an

En general, dada una tasa de natalidad b y una tasa de mortalidad d tendr´ıamos que la evolución en el tiempo de esta población queda determinada por la ecuación an+1 = (1 +r)an siendo r =b−d la llamada “tasa de crecimiento” de la población.

Según hemos visto en secciones anteriores ésta es una ecuación lineal con solución ak = a0(1 +r)k. Podemos decir que esta población experimentará un crecimiento exponencial sin l´ımite o decrecerá (también exponencialmente) hasta la extinción dependiendo de que sea r > 0 ó r < 0, y esto ocurrirá as´ı con independencia de su tamaño inicial.

Este modelo fue planteado por Malthus en 1778. Es un modelo muy simple pero poco realista; el mismo hecho de que una poblaci´on pueda crecer sin l´ımite lo hace poco fiable a la hora de establecer predicciones a largo plazo. Su mayor simplificaci´on reside en considerar una tasa de crecimiento constante a lo largo del tiempo; esto se puede suponer para periodos cortos de tiempo pero no a largo plazo.

Una mejora sustancial en este sentido la proporcionan los modelos “dependientes de la densidad”. En estos modelos se supone que la tasa de crecimiento var´ıa en función del tamaño de la población o, más exactamente, de la densidad de población en la zona. Esta suposición es perfectamente plausible pues obviamente la “capacidad” de crecimiento de una población depende de la cantidad de recursos disponibles (agua, comida, luz, etc.) y en una zona densamente poblada cabe esperar que dichos recursos lleguen a escasear.

Posiblemente el m´as conocido y utilizado de los modelos dependientes de la densi-dad es el “modelo log´ıstico”. Este modelo parte del de Malthus, an+1 = (1 +R)an,

pero ahora la tasa de crecimiento, R, es función del tamaño de la población en cada instante:

R =R(an) = r(1−

an

L)

donde los par´ametros r y L representan la “tasa de crecimiento sin restricciones” y la “capacidad del medio” respectivamente.

Si analizamos la f´ormula anterior vemos que:

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A medida que crece la poblaci´on el t´ermino (1−an/L) va disminuyendo, y con

´el la tasa de crecimiento.

Si el tama˜no de la poblaci´on llega a coincidir con la capacidad del medio (es decir, la cantidad de individuos que puede soportar el medio) la tasa de crec-imiento se hace cero.

Si se supera la capacidad del medio la tasa de crecimiento se hace negativa y la poblaci´on empieza a decrecer.

La ecuaci´on de este modelo queda entonces:

an+1−an=r(1−

an

L)an

que tambi´en se puede expresar como:

an+1 = (1 +r)an−ba2n

siendo b =r/L. Es decir, esta última ecuación es igual que la de Malthus, pero se le ha añadido el llamado “término regulador”:−ba2

n.

Ejercicio:Fijada una capacidad del medioL, hacer un análisis cualitativo del modelo log´ıstico en función del parámetro r.

Ejercicio: Consid´erese un modelo de recolecci´on del tipo:

an+1−an= 0,5(1−an)an−b

Hacer un análisis cualitativo de este modelo en función del parámetro b.

Ejercicio: Consid´erese un modelo de recolecci´on del tipo:

an+1−an = 0,5(1−0,5an)an−han