Cuadratura Numérica. Sesión 5
Análisis NuméricoRodrigo José Meneses Pacheco
Escuela de Ingeniería Civil Universidad de Valparaíso
Valparaíso, Chile
Esquema de la Presentación.
1 Preliminares. Interpolación y una Fórmula del Error
Idea de integración numérica
La misión en esta unidad es obtener aproximaciones para el cálculo de integrales de la forma
Z b
a
f(x)dx
Para ésto utilizaremos sumas de la forma
n
X
i=0
Idea de integración numérica
La misión en esta unidad es obtener aproximaciones para el cálculo de integrales de la forma
Z b
a
f(x)dx
Para ésto utilizaremos sumas de la forma n
X
i=0
Relación con la interpolación
Este método recibe el nombre deCuadratura Numérica.
Para la generación de la suma utilizaremos polinomios inteporlantes. Específicamente, si
Pn(x) = n
X
i=0
f(xi)Ln,i(x)
es el interpolante de Lagrange, entonces
Z b
a
f(x)dx ≈
n
X
i=0
f(xi)
Z b
a
Relación con la interpolación
Este método recibe el nombre deCuadratura Numérica.
Para la generación de la suma utilizaremos polinomios inteporlantes.
Específicamente, si
Pn(x) = n
X
i=0
f(xi)Ln,i(x)
es el interpolante de Lagrange, entonces
Z b
a
f(x)dx ≈
n
X
i=0
f(xi)
Z b
a
Relación con la interpolación
Este método recibe el nombre deCuadratura Numérica.
Para la generación de la suma utilizaremos polinomios inteporlantes. Específicamente, si
Pn(x) = n
X
i=0
f(xi)Ln,i(x)
es el interpolante de Lagrange, entonces
Z b
a
f(x)dx ≈ n
X
i=0
f(xi)
Z b
a
Relación con la interpolación
Este método recibe el nombre deCuadratura Numérica.
Para la generación de la suma utilizaremos polinomios inteporlantes. Específicamente, si
Pn(x) = n X
i=0
f(xi)Ln,i(x)
es el interpolante de Lagrange, entonces
Z b
a
f(x)dx ≈ n
X
i=0
f(xi)
Z b
a
Relación con la interpolación
Este método recibe el nombre deCuadratura Numérica.
Para la generación de la suma utilizaremos polinomios inteporlantes. Específicamente, si
Pn(x) = n X
i=0
f(xi)Ln,i(x)
es el interpolante de Lagrange, entonces Z b
a
f(x)dx ≈
n X
i=0
f(xi) Z b
a
Fórmula para el error de interplación de Lagrange
La relación anterior debe ser respaldada de tal modo que se tenga algún control sobre el error.
Para ésto consideramos el siguiente resultado sobre polinomios interpolantes.
Error de Interpolación
Considerex0,x1, . . . ,xnnúmeros distintos en[a,b]yf una función con derivadas continuas en[a,b].
Para cadax en[a,b]existe un númeroξ=ξ(x)en]a,b[tal que
f(x) =Pn(x) +
f(n+1)(ξ(x))
(n+1)! (x−x0)(x−x1). . .(x−xn),
conPn(x)el interpolante de Lagrange.
Fórmula para el error de interplación de Lagrange
La relación anterior debe ser respaldada de tal modo que se tenga algún control sobre el error.
Para ésto consideramos el siguiente resultado sobre polinomios interpolantes.
Error de Interpolación
Considerex0,x1, . . . ,xnnúmeros distintos en[a,b]yf una función con derivadas continuas en[a,b].
Para cadax en[a,b]existe un númeroξ=ξ(x)en]a,b[tal que
f(x) =Pn(x) +
f(n+1)(ξ(x))
(n+1)! (x−x0)(x−x1). . .(x−xn),
conPn(x)el interpolante de Lagrange.
Fórmula para el error de interplación de Lagrange
La relación anterior debe ser respaldada de tal modo que se tenga algún control sobre el error.
Para ésto consideramos el siguiente resultado sobre polinomios interpolantes.
Error de Interpolación
Considerex0,x1, . . . ,xnnúmeros distintos en[a,b]yf una función
con derivadas continuas en[a,b].
Para cadax en[a,b]existe un númeroξ=ξ(x)en]a,b[tal que
f(x) =Pn(x) +
f(n+1)(ξ(x))
(n+1)! (x−x0)(x−x1). . .(x−xn), conPn(x)el interpolante de Lagrange.
Fórmula para el error de interplación de Lagrange
La relación anterior debe ser respaldada de tal modo que se tenga algún control sobre el error.
Para ésto consideramos el siguiente resultado sobre polinomios interpolantes.
Error de Interpolación
Considerex0,x1, . . . ,xnnúmeros distintos en[a,b]yf una función
con derivadas continuas en[a,b].
Para cadax en[a,b]existe un númeroξ=ξ(x)en]a,b[tal que
f(x) =Pn(x) +
f(n+1)(ξ(x))
(n+1)! (x−x0)(x−x1). . .(x−xn), conPn(x)el interpolante de Lagrange.
Cuadratura Numérica. Noción de error
ConsiderandoPn(x)interpolante de Lagrange def(x)sobre los nodosx0,x1, . . . ,xn,tenemos
Cuadratura
Z b
a
f(x)dx =
Z b
a
Pn(x)dx+En(f) (2)
siendoE(f)el error de la aproximación el cual se estima por medio de la siguiente integral
Fórmula para el error
En(f) = 1
(n+1)!
Z b
a n
Y
i=0
Cuadratura Numérica. Noción de error
ConsiderandoPn(x)interpolante de Lagrange def(x)sobre los nodosx0,x1, . . . ,xn, tenemos
Cuadratura
Z b
a
f(x)dx = Z b
a
Pn(x)dx+En(f) (2)
siendoE(f)el error de la aproximación el cual se estima por medio de la siguiente integral
Fórmula para el error
En(f) = 1 (n+1)!
Z b
a n
Y
i=0
Cuadratura Numérica. Noción de error
ConsiderandoPn(x)interpolante de Lagrange def(x)sobre los nodosx0,x1, . . . ,xn, tenemos
Cuadratura
Z b
a
f(x)dx = Z b
a
Pn(x)dx+En(f) (2)
siendoE(f)el error de la aproximación el cual se estima por medio de la siguiente integral
Fórmula para el error
En(f) = 1 (n+1)!
Z b
a n
Y
i=0
Cuadratura Numérica. Noción de error
ConsiderandoPn(x)interpolante de Lagrange def(x)sobre los nodosx0,x1, . . . ,xn, tenemos
Cuadratura
Z b
a
f(x)dx = Z b
a
Pn(x)dx+En(f) (2)
siendoE(f)el error de la aproximación el cual se estima por medio de la siguiente integral
Fórmula para el error
En(f) = 1 (n+1)!
Z b
a n Y
i=0
Cuadratura Numérica. Noción de error
ConsiderandoPn(x)interpolante de Lagrange def(x)sobre los nodosx0,x1, . . . ,xn.
Bajo la condición de regularidad sobre la funiónf(x)se tiene
Integración numérica
Z b
a
f(x)dx= n
X
i=0
aif(xi) +E(f) (4)
siendo
ai =
Z b
a
Cuadratura Numérica. Noción de error
ConsiderandoPn(x)interpolante de Lagrange def(x)sobre los nodosx0,x1, . . . ,xn.
Bajo la condición de regularidad sobre la funiónf(x)se tiene
Integración numérica
Z b
a
f(x)dx= n
X
i=0
aif(xi) +E(f) (4)
siendo
ai =
Z b
a
Cuadratura Numérica. Noción de error
ConsiderandoPn(x)interpolante de Lagrange def(x)sobre los nodosx0,x1, . . . ,xn.
Bajo la condición de regularidad sobre la funiónf(x)se tiene
Integración numérica
Z b
a
f(x)dx= n X
i=0
aif(xi) +E(f) (4) siendo
ai =
Z b
a
Cuadratura Numérica. Noción de error
ConsiderandoPn(x)interpolante de Lagrange def(x)sobre los nodosx0,x1, . . . ,xn.
Bajo la condición de regularidad sobre la funiónf(x)se tiene
Integración numérica
Z b
a
f(x)dx= n X
i=0
aif(xi) +E(f) (4) siendo
ai = Z b
a
Comentario
La regla del trapecio y la regla de Simpson se obtienen utilizando polinomios de Lagrange lineal y cuadrático (respectivamente)
Sobre las reglas
La regla del trapecio: Utiliza dos nodos (lineal).
La regla de Simpson: Utiliza tres nodos (cuadrática)
Importante
Comentario
La regla del trapecio y la regla de Simpson se obtienen utilizando polinomios de Lagrange lineal y cuadrático (respectivamente)
Sobre las reglas
La regla del trapecio: Utiliza dos nodos (lineal). La regla de Simpson: Utiliza tres nodos (cuadrática)
Importante
Comentario
La regla del trapecio y la regla de Simpson se obtienen utilizando polinomios de Lagrange lineal y cuadrático (respectivamente)
Sobre las reglas
La regla del trapecio: Utiliza dos nodos (lineal). La regla de Simpson: Utiliza tres nodos (cuadrática)
Importante
Comentario
La regla del trapecio y la regla de Simpson se obtienen utilizando polinomios de Lagrange lineal y cuadrático (respectivamente)
Sobre las reglas
La regla del trapecio: Utiliza dos nodos (lineal). La regla de Simpson: Utiliza tres nodos (cuadrática)
Importante
Comentario
La regla del trapecio y la regla de Simpson se obtienen utilizando polinomios de Lagrange lineal y cuadrático (respectivamente)
Sobre las reglas
La regla del trapecio: Utiliza dos nodos (lineal). La regla de Simpson: Utiliza tres nodos (cuadrática)
Importante
Regla del trapecio extendida
Regla del trapecio extendida
Z b
a
f(x)dx= h 2
"
f(a) +2 n−1
X
i=1
f(a+ih) +f(b) #
+E(f) (5)
conh= b−a
n yE(f)la expresión para la fórmula de error.
Regla del trapecio extendida
Regla del trapecio extendida
Z b
a
f(x)dx= h 2
"
f(a) +2 n−1
X
i=1
f(a+ih) +f(b) #
+E(f) (5)
conh= b−a
Regla del trapecio extendida
Regla del trapecio extendida
Z b
a
f(x)dx= h 2
"
f(a) +2 n−1
X
i=1
f(a+ih) +f(b) #
+E(f) (5)
conh= b−a
Regla de Simpson
Regla de Simpson
Z b
a
f(x)dx= h
3[f(a) +4f(c) +f(b)] +E(f) (6)
siendo
h=b−a
2 , c=
a+b
Regla de Simpson
Regla de Simpson
Z b
a
f(x)dx= h
3[f(a) +4f(c) +f(b)] +E(f) (6) siendo
h=b−a
2 , c=
a+b
Regla de Simpson
Regla de Simpson
Z b
a
f(x)dx= h
3[f(a) +4f(c) +f(b)] +E(f) (6) siendo
h=b−a 2 , c=
Regla de Simpson
Regla de Simpson
Z b
a
f(x)dx= h
3[f(a) +4f(c) +f(b)] +E(f) (6) siendo
h=b−a 2 , c=
Regla de Simpson extendida
Paranun número par de subintervalos eI=Rabf(x)dx,se tiene:
Regla de Simpson extendida
I =h
3
f(a) +4
n−1 X
i=1
i impar
f(a+ih) +2
n−2 X
i=2
i par
f(a+ih) +f(b)
+E(f) (7)
Regla de Simpson extendida
Paranun número par de subintervalos eI=Rabf(x)dx,se tiene:
Regla de Simpson extendida
I =h
3
f(a) +4
n−1 X
i=1
i impar
f(a+ih) +2
n−2 X
i=2
i par
f(a+ih) +f(b)
+E(f) (7)
Regla de Simpson extendida
Paranun número par de subintervalos eI=Rabf(x)dx,se tiene:
Regla de Simpson extendida
I =h 3
f(a) +4 n−1
X
i=1
i impar
f(a+ih) +2 n−2
X
i=2
i par
f(a+ih) +f(b)
+E(f) (7)
Regla de Simpson extendida
Paranun número par de subintervalos eI=Rabf(x)dx,se tiene:
Regla de Simpson extendida
I =h 3
f(a) +4 n−1
X
i=1
i impar
f(a+ih) +2 n−2
X
i=2
i par
f(a+ih) +f(b)
+E(f) (7)
