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Integral de Henstock Kurzweil

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Academic year: 2020

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(1)

I

NTEGRAL DE

H

ENSTOCK

-K

URZWEIL

TRABAJO DE GRADO

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS

WILLIAM

MAURICIO

B

UITRAGO

PARRA

D

IRECTOR

:A

RTURO

S

ANJUÁN

SAMAT

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Bogotá D.C.

(2)
(3)

Agradecimientos

Le agradezco al profesor Arturo Sanjuán, no solo por su orientación en el desarrollo de este trabajo, sino por todo el tiempo compartido dentro y fuera de las aulas. Por ser un ejemplo para mí en todos los aspectos, por la confianza y demás. La culminación de este proceso no sería posible sin su presencia.

A mi familia, especialmente a mi madre Clara Inés Parra que con su esfuerzo, amor y dedicación hace más amable el camino hacia las metas que me trazo. Nada de lo conseguido hasta este momento sería posible sin su apoyo incondicional.

A mis compañeros, quienes de una u otra manera dejaron huella en el desarrollo de mi carrera. Especialmente a Fernando Rodriguez, compañero y amigo que sin importar las circunstancias siempre me brindó y se que siempre me brindará su apoyo, comprensión y cariño.

A la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y demás instituciones de educación que han contribuido en mi formación académica así como a los docentes de cada una de estas instituciones.

A las demás personas que contribuyeron de una u otra manera a la finalización de este ciclo.

(4)

Índice general

INTRODUCCIÓN IV

1. PRELIMINARES 1

1.1. La integral como área . . . 1

1.1.1. Integral Riemann-Darboux . . . 3

1.2. Integral de Riemann-Stieltjes . . . 5

1.3. Integral de Lebesgue . . . 19

1.3.1. Algunos teoremas importantes . . . 31

2. LA INTEGRAL DEHENSTOCK-KURZWEIL(GENERALIZADA DERIEMANN) 34 2.1. Motivación . . . 34

2.2. Definiciones . . . 37

2.3. Algunos ejemplos importantes . . . 41

2.4. Teoremas relevantes para el cálculo de la integral generalizada de Riemann . . . 44

2.4.1. Teorema fundamental del cálculo . . . 44

2.4.2. Teoremas de sustitución . . . 48

(5)

2.6. Integrales indefinidas . . . 53

2.7. Convergencia . . . 54

2.7.1. Analizando la convergencia . . . 59

3. UNA NOTA SOBRE TEORÍA DE LA MEDIDA 60

3.1. Definiciones básicas . . . 60

3.1.1. Resultados en medida . . . 61

APÉNDICE 62

(6)

Introducción

En el siguiente trabajo se presentará la integral deHenstock-Kurzweilque fue propuesta porJaroslav Kurzweily Ralph Henstockestudiando los principales resultados obtenidos en cuanto a la conveniencia de la misma frente a la integral de Riemann y la de Lebesgue. Presentaremos algunos de los problemas más relevantes de las integrales mencionadas y como la integral deHenstock-Kurzweilresuelve dichos problemas y mejora la mayoría de resulta-dos obteniresulta-dos en las teorías de integración usual y abstracta. El siguiente trabajo expone una manera alternativa de abordar resultados significativos en el área de análisis más específicamente en la teoría de integración.

En el primer capítulo se plantea una peqeña discusión sobre los teoremas característicos de las diferentes integrales que hoy por hoy son las más usadas, presentando sus ventajas y exponiendo de manera breve la razón por la cuál son convenientes en el proceso de aprendizaje.

En el segundo capítulo se expone la integral de Henstock-Kurzweil, así como sus ventajas sobre las demás integra-les que se estudiaron previamente, presentamos ejemplo que sirven para evidenciar la generalidad y comodidad de esta integral.

(7)

CAPÍTULO

1

Preliminares

En este capítulo se presentan algunos conceptos, definiciones y teoremas necesarios para el trabajo a desarrollar.

Se precisarán algunos conceptos fundamentales que permiten dar sentido a las definiciones que se manejan pos-teriormente. Se proponen algunos ejemplos para ilustrar.

1.1.

La integral como área

El enfoque que se adquiere en esta sección es el de buscar el área bajo una curva (inicialmente ése será el asunto). El método, que se remonta a Arquímedes y Eudoxo (método de exahusión), consiste en la división de la misma en varias áreas sencillas de calcular. La suma de las áreas proporciona una aproximación aceptable al área de interés.

Para este fin, es preciso poder definir una manera de repartir los puntos del dominio de una función, lo que se logra mediante el concepto de partición.

Definición. (Tomada de [Spi12, p. 347]) Se define unaparticiónPdel intervalo[a,b]como{ti}ni=1dondeti∈[a,b]

para todoital que 0≤i≤nde los cuales uno esay otro esb.

La anterior definición es fundamental y en ella se basan la mayoría de las demostraciones de teoremas que se van a trabajar.

(8)

P1={−2, 2}conocida como la partición trivial.

P2={0, 1.2,−1.5,−2}.

P3={−2,−1, 0, 1, 2}.

Nótese que las particiones P1 y P3 determinan subintervalos [−2, 2] y

{[−2,−1],[−1, 0],[0, 1],[1, 2]}respectivamente, mientras queP2no es una partición de[−2, 2]. Para cualquier par-tición es posible etiquetar los elementos de manera que

a=t0<t1<· · ·<tn=b.

Así obtenemos en este caso particular.

P20 ={−2,−1.5, 0, 1.2, 2}.

La cual sí define subintervalos de[−2, 2].

En adelante gran parte del trabajo se desarrolla sobre funciones acotadas.

Otro de los conceptos que es preciso tener claro antes de abordar laintegrales el de sumas inferiores de la función

f que se notan conL(f,P)y sumas superiores de la función f notadas comoU(f,P)con respecto a una partición

P.

Para ello se mostrará un ejemplo gráfico donde se pretende aclarar el concepto.

Ejemplo2. Sumas superiores e inferiores.

Consideremos la función f(x) =exen el intervalo[0, 1]yP1={0,0.2,0.4,0.6,0.8,1}.

Esta función es monótonamente creciente luegomi = f(ti−1) =eti−1 y por como esta dispuesta en este caso

la particiónti−ti−1=0.2 coni=1, 2, 3, 4, 5.

La suma del área de los rectángulos bajo la curva es lo que se conoce como lasuma inferiorde la función f

para la particiónP1es decir

L(f,P1) = 5

i=1 eti−1

1 5

(9)

Consideremos la función f(x) = 15x2en el intervalo[0, 5]yP2={0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Esta función es monótona creciente luegoMi = f(ti) = 15(ti)2y en este caso,ti−ti−1=1 coni=1, 2, 3, 4, 5.

La suma del área de los rectángulos sobre la curva es lo que se conoce como lasuma superiorde la función

f para la particiónP2es decir

U(f,P2) = 5

i=1

1 5(ti)

2(1).

Con las herramientas adquiridas anteriormente se procederá a realizar la definición de integral.

1.1.1.

Integral Riemann-Darboux

Definición. (Tomada de [Spi12, p. 355]) Sea f una función acotada sobre[a,b],f se diceintegrablesobre[a,b]si

sup{L(f,P)}=´ınf{U(f,P)}

dondeP, es cualquier partición de[a,b]yL(f,P),U(f,P)representan las sumas inferiores y superiores respecti-vamente.

Dicho número recibe el nombre deintegralde f sobre[a,b].

Ejemplo3. ([Spi12, p. 376], problema 1) Demostrar que

Z b

0 x

3dx= b4

4 considerando particiones ennsubintervalos iguales.

En efecto, sea f(x) = x3. Consideremos, sin perdida de generalidad, las particiones de[0,b]Pn ={t0,· · ·,tn}de

manera tal queti−ti−1= bn para 0≤i≤n. Esto es una partición regular que determinansubintervalos iguales.

(10)

Con lo anterior se tiene que

U(f,Pn) = n

i=1

Mi(ti−ti−1)

=

n

i=1 (ti)3

b n

=

n

i=1

ib n

3

b n

= b 4

n4

n

i=1 i3

= b 4

n4

(n+1)2

4 .

Análogamente se obtieneL(f,Pn) = b

4

n4

(n+1)2

4 , de donde podemos concluir que

´ınf

n U(f,Pn) =supn L(f,Pn) =

b4

4,

lo que concluye la prueba.

Caracterización

A continuación se presentan algunos de los criterios más relevantes que permiten determinar si una función f

tiene integral. La siguiente condición es suficiente para que f ∈ R[a,b](f es integrable en el sentido de Riemann en[a,b]).

Teorema 1.1. Si f es continua en [a,b] entonces f es integrable en [a,b].

La demostración del teorema anterior se presenta en detalle y de manera general en la siguiente sección.

Observación. Cabe aclarar que el recíproco de este teorema, no necesariamente es cierto basta considerar la función

g(x) =

(

1 x∈[0,12]

0 x∈(12, 1]

y la partición de[0, 1]P2={0,12, 1}. Para una función constante la partición trivial es suficiente.

Es claro que la funcióng(x)no es continua en[0, 1]y

Z 1

0 g(x) =

1 2.

Teorema 1.2. Si f esta acotada sobre[a,b]entonces f es integrable sobre[a,b]si y solo si para todoe>0existe una partición

de[a,b]tal que

U(f,P)−L(f,P)<e.

(11)

1.2.

Integral de Riemann-Stieltjes

En esta sección se presentará una integral un poco más general. En realidad el trabajo que se realiza es bastan-te similar al de la sección anbastan-terior, salvo ciertas modificaciones y aclaraciones que se realizarán en el momento pertinente.

En lo que resta de esta sección se considerarán intervalos cerrados deRde la forma[a,b]y funciones, que a menos que se indique lo contrario, serán funciones reales acotadas.

Definición. (Tomada de [Apo74, p. 141]) SeaP={x0,x1. . . ,xn}una partición de[a,b]tal y como se definió en la

sección anterior.

P0es un refinamiento deP(ó más fina queP) siP⊆P0.

||P||denota la norma de la particiónP, definida como es la longitud del subintervalo más largo definido por

P.

αk =α(xk)−α(xk−1).

La definición anterior es la base de los conceptos que se presentan a continuación, para el desarrollo de la integral deRiemann-Stieljespresentaremos una definición desumacomo sigue.

Definición. (Tomada de [Apo74, p 141]) Sea P = {x0,x1. . . ,xn}una partición de[a,b]y sea tk un punto en el

subintervalo[xk−1.xk]. La suma de la forma

S(P,f,α) =

n

k=1

f(tk)∆αk.

Es llamada unaSuma de Riemann-Stieltjesen la particiónPde f con respecto aαen[a,b].

A continuación se presentará un ejemplo que permita una visión un poco más clara de la definición anterior.

Ejemplo4. CalcularS(P,f,α)en[−1, 1]dadas las siguientes condiciones

1. f(x) =c, concuna constante, para todox ∈R.

2. P={−1,−1+n1,−1+2n, . . . ,−1+n−n1, 0,−1+n+n1, . . . ,−1+2nn−2,−1+2nn−1, 1}.

3. α(x) =x2.

Para ello, calcularemos primero de manera explícita∆αk. Esto es

(12)

En nuestra partición tenemos que

xk = −1+

k n

xk−1 = −1+ k−1

n .

De donde obtenemos que

αk=

2k n2 −

2

n−

1

n2.

Sumando como se pide

S(P,f,α) =

2n

k=1 c

2k n2−

2

n−

1

n2

= c 2n

k=1

2k n2−

2

n−

1

n2

= c(0) = 0.

Como se había mencionado con anterioridad el objetivo de la sección es, mediante la suma que se acaba de exponer, definir laintegral de Riemann-Stieltjescomo sigue.

Definición. (Tomada de [Apo74, p. 141]) Nosotros decimos que f esRiemann-integrablecon respecto aαen[a,b]

y escribimos “f ∈ R(α)en[a,b]” si existe un número Acon la siguiente propiedad. Para todoe > 0, existe una

particiónPede[a,b]tal que para toda particiónPmás fina quePey para todos los puntostken[xk−1,xk]se tiene

que

|S(P,f,α)−A|<e.

Escribimos

Z b

a f dα= Ao

Z b

a f dα(x) = A. Esto es lo mismo que decir que la integral deRiemann-Stieltjes

Z b

a f dα

existe.

Observación. Cabe resaltar que la Integral deRiemann-Darbouxes una caso particular de la integral definida ante-riormente. (α(x) =x)

En la definición anteriorf recibe el nombre deintegrandoyαrecibe el nombre deintegrador.

Ejemplo5. Se mostrará a continuación el cálculo de la integral de Riemann-Stieltjesde la función f(x) = ccon respecto al integradorα(x) =x2en el intervalo[−1, 1]. Es claro que si para todoe>0 tomamosPe = Pcomo en el ejemplo 4, obtenemos que para toda particiónP0más fina quePe

(13)

Con lo que se obtiene que

Z 1 −1cdα

(x) = 0. Es importante hacer notar que a pesar de que la función que estamos integrando es constante, si tomamosc>0 por ejemplo yα≥0, la integral no necesariamente es mayor que cero.

Es decir que este tipo de integral no necesariamente mide área.

Caracterización

En este punto es importante hacer notar que laintegral de Riemann-stiltjescumple las propiedades de linealidad respecto al integrando y al integrador, esto es.

Teorema 1.3. Si f ∈ R(α)y si g∈ R(α)en[a,b]con c1,c2constantes, se tiene que.

Z b

a (c1f+c2g)dα=c1

Z b

a f dα+c2

Z b

a gdα

Además si f ∈ R(α)y f ∈ R(β)en[a,b], entonces, f ∈ R(c1α+c2β)en[a,b]y se cumple que.

Z b

a f d(c1α+c2β) =c1

Z b

a f dα+c2

Z b

a f dβ

Esta demostración se omitirá en el presente trabajo, puede ser consultada en [Apo74, p. 172]

Teniendo en mente que la integral deRiemann-Stieltjeses una generalización de la integral deRiemann-Darboux la mayoría de teoremas pueden ser definidos o delimitados para el caso de la última. Veremos algunos teoremas, ejemplificando cuando sea necesario, que son de gran utilidad para resolver o calcular integrales de Riemann-Stieltjesya que en algunos casos el cálculo de las mismas es laborioso.

Teorema 1.4. Si f ∈ R(α)en[a,b], entoncesα∈ R(f)en[a,b]y se cumple que.

Z b

a f(x)dα(x) +

Z b

a α(x)d f(x) = f(b)α(b)−f(a)α(a).

El teorema anterior se conoce como lafórmula de integración por partes.

Demostración. Dado e > 0, ya que Z b

a f dαexiste, se tiene que existirá un particiónPe de[a,b] tal que para toda

particiónP0que sea más fina quePese tiene que

|S(P0,f,α)− Z b

a f dα|<e.

Veremos ahora queα∈ R(f)para ello consideremos una suma de Riemann-Stieltjes arbitraria para Z b

a αd f como

sigue

S(P,α,f) =

n

k=1

(14)

De donde podemos obtener la siguiente forma equivalente (utilizando la definición al inicio de la sección)

S(P,α,f) =

n

k=1

α(tk)f(xk)− n

k=1

α(tk)f(xk−1), (1.1)

en donde la particiónPque consideramos es más fina quePe.

Por otra parte, si llamamosA= f(b)α(b)−f(a)α(a)y obtenemos una expresión equivalente para ello en términos

de la particiónPde la siguiente manera

A =

n

k=1

f(xk)α(xk)− n

k=1

f(xk−1)α(xk−1). (1.2)

Es claro que la anterior expresión es cierta ya que los sumandos se anulan sik6=1 en la segunda suma ok6=nen la primera suma.

Ya que todas las sumas que se construyeron antes, tienen los mismos límites, tiene sentido realizar la diferencia entre (1.2) y (1.1) con lo que se obtiene

A−S(P,α,f) =

n

k=1

f(xk)[α(xk)−α(tk)]− n

k=1

f(xk−1)[α(tk)−α(xk−1)].

Si nosotros consideramos una particiónP∗ que contenga tanto los puntosxk como lostkvemos que la expresión

anterior corresponde a una suma de Riemann-Stieltjes de la formaS(P∗,f,α)y además la particiónP∗resulta ser

más fina qePe(por ser más fina queP). Tenemos el siguiente resultado

|A−S(P,f,α)− Z b

a f dα|<e.

Cabe resaltar que todo el trabajo anterior se realizó basándose en que la particiónPsea más fina quePey nuestra conclusión se sigue ya que

A

−S(P,f,α)− Z b

a f dα

=

−S(P,f,α) +A− Z b

a f dα

= S(P,f,

α)−(A− Z b

a f dα)

<e.

Lo que indica justamente que

Z b

a αd f existe y además

Z b

a αd f = [f(b)α(b)− f(a)α(a)]−

Z b

(15)

Antes de proceder con un ejemplo que demuestra la manera en la cual la integración por partes puede ser uti-lizada para simplificar el cálculo de algunas integrales de Riemann-Stieltjes, presentaremos algunos resultados importantes.

Teorema 1.5(Reducción a una integral de Riemann). Supongamos que f ∈ R(α)en[a,b]y supongamos queαposee

una derivadaα

0

continua en[a,b]. Entonces la integral de Riemann

Z b

a f(x)α

0

(x)dx existe y se verifica

Z b

a f(x)dα(x) =

Z b

a f(x)α

0 (x)dx.

La prueba de este teorema se omite en el presente documento puede ser consultada en [Apo74, p. 176]. Sin embargo cabe resaltar la importancia del mismo. Para ver más claro el alcance del Teorema anterior consideremos cualquier función en el conjuntoC1[a,b] como integrador de la función f ∈ R(C1[a,b])el teorema anterior garantiza que

Z b

a f(x)dα(x)existe.

Observación. Como se mencionó anteriormente la integral de Riemman es un caso particular de la que estudiamos en esta sección. Es por ello que deberíamos poder dotar de algunas condiciones a las funcionesintegrador, integrando

para obtener la fórmula de integración por partes que conocemos para el caso de la integral de Riemann. Para ello y teniendo en cuenta el Teorema 1.5 es razonable considerar que siα(x) ∈ C1[a,b], f ∈ R(α)y f ∈ R, entonces

aplicando la integración por partes obtenemos que

Z b

a f(x)dα(x) +

Z b

a f(x)dα(x) = f(b)α(b)−f(a)α(a).

Por aplicación directa del Teorema 1.5

Z b

a f(x)α

0

(x)dx = [f(b)α(b)− f(a)α(a)]− Z b

a α(x)d f(x)

= [f(x)α(x)]|ba− Z b

a α(x)f

0 (x)dx.

La cual corresponde con la integración por partes de Riemann.

El siguiente ejemplo ilustra una de las situaciones en la que la combinación de la integración por partes para las integrales de Riemann-Stieltjes y otros resultados permiten realizar cálculos efectivos.

Ejemplo6. ([Apo74, p. 213], problema 7.6.a) Utilizar la fórmula de sumación de Euler o la integración por partes en una integral de Stieltjes para deducir la siguiente identidad:

n

k=1

1

k =ln n−

Z n

1

(16)

En efecto vemos que

Z n

1

x−[x] x2 dx =

Z n

1 dx

x −

Z n

1 [x]

x2dx

= ln n−

Z n

1 [x] x2dx.

Usando la reducción a una integral de Riemann para la integral de la derecha

Z n

1 [x]

x2dx=

Z n

1 [x]d

1

x

.

Aplicando integración por partes a la última expresión se obtiene

Z n

1 [x]d

1

x

= [n] n −1−

Z n

1

1

x d[x]

= −

Z n

1

1

x d[x].

Existen diferentes maneras de ver una integral de Riemann-Stieltjes como una suma finita, una de ellas es cuando el integrador es la función parte entera [Apo74, p. 180]. De esto se deduce que

Z n

1

1

x d[x] =

n

k=2

1

k.

De manera natural podemos concluir la igualdad que se pedía.

El trabajo que se expondrá a continuación se realiza con integradores que son funciones escalonadas, permitiendo observar un desarrollo alternativo de las integrales de Riemann-Stiltjes como sumas finitas. Con esto es posible realizar cálculos con cierto grado de comodidad a pesar de que la teoría es bastante restringida en este sentido. Para ello recordaremos la definición de función escalonada.

Definición. (Tomada de [Apo74, p. 179]) A una funciónαdefinida en[a,b]se le llama función escalonada si existe

una partición

a=x1<x2<· · ·<xn=b,

de modo queαsea constante en cada subintervalo abierto(xk−1,xk).

A continuación se presentará lafórmula de sumación de Eulery un ejemplo mediante el cuál se pretende aclarar la utilidad de dicha fórmula.

Teorema 1.6(Fórmula de sumación de Euler.). Si f posee derivada continua f0en[a,b], entonces se tiene

a<n≤b

f(n) =

Z b

a f(x)dx+

Z b

a f

0

(17)

En donde((x)) =x−[x]. Si a y b son enteros, se obtiene

b

n=a

f(n) =

Z b

a f(x)dx+

Z b

a f

0 (x)

x−[x]−1

2

dx+ f(a) + f(b)

2 .

Observación.

a<n≤b

significa la suma desden= [a] +1 an= [b].

Como se puede observar, la fórmula de la definición anterior permite realizar aproximaciones de sumas finitas en los valores enteros de una función por medio de su integral de Riemann-Stieltjes en intervalos definidos. La prueba del teorema a pesar de ser relevante, puede ser omitida por el enfoque del trabajo se esta realizando. Para consultarla remitirse a [Apo74, p. 181].

Ejemplo7. ([Apo74, p. 213], problema 7.6.a) Utilizar la fórmula de sumación de Euler o la integración por partes en una integral de Riemann-Stieltjes para deducir la siguiente identidad:

n

k=1

1

ks =

1

ns−1+s

Z n

1 [x] xs+1dx

sis6=1. En efecto, utilizando la fórmula de sumación de Euler, obtenemos

n

k=1

1

ks =

Z n

1

1

xsdx+

Z n 1 1 xs 0

x−[x]−1

2

dx+

1+ 1 ns

2 ,

por ser en este caso los extremos de los intervalos enteros(1,n). Entonces

n

k=1

1

ks =

Z n

1

1

xsdx+

Z n 1 1 xs 0 xdx− Z n 1 1 xs 0 [x]dx− Z n 1 1 xs 0 1 2dx+

1+ 1 ns

2

= x

−s+1

−s+1 n 1

−s x

−s+1

−s+1 n 1 ! +s Z n 1 [x] xs+1dx+

s

2

x−s

−s n 1 +

1+ 1 ns

2

= n

−s+11sn−s+1+s

−s+1 +s

Z n

1 [x] xs+1dx+

1− 1

ns +1+

1

ns

2

= 1 ns−1 +s

Z n

1 [x] xs+1dx.

(18)

Analizaremos ahora algunas de las propiedades útiles de las integrales de Riemann-Stieltjes. Antes de proceder a ello recordemos que la integral de Riemann-Darboux es en términos generales, un caso particular de la primera. Es por ello que las pruebas y resultados obtenidos en está sección son aplicables en la primera, guardando las convenciones y restricciones a que se tenga lugar.

Teorema 1.7(Desigualdad triangular.). Supongamos queαes creciente en[a,b]. Si f ∈ R(α)en[a,b]entonces|f| ∈

R(α)en[a,b]y se tiene

Z b

a f(x)dα(x)

≤ Z b

a |f(x)|dα(x).

La desigualdad triangular es un resultado que en matemáticas puede ser encontrado en diferentes contextos y que tiene diferentes aplicaciones. La demostración para éste se encuentra en [Apo74, p. 188]. En este documento no se presenta una prueba formal, pero se realiza una salvedad que se considera de vital importancia.

Observación. El reciproco del teorema anterior no necesariamente es cierto como se puede observar en el siguiente ejemplo.

Ejemplo8. ([Apo74, p. 215], problema 7.12) Dar un ejemplo de una función acotada f y de una función crecienteα

definidas en[a,b]tales que|f| ∈ R(α)pero para las que Z b

a f dαno existe. Para ello consideremos el caso particular

α(x) =xy trabajemos con una integral de Riemann, sea la función f definida como sigue

f(x) =

 

 

1 si x∈[a,b],x∈Q

−1 si x∈[a,b],x∈/Q

En este caso es claro que|f(x)| =1 conx∈ [a,b]de donde

Z b

a |f(x)|dx= (b−a). Así

Z b

a |f(x)|dα(x)existe. Por

otra parte, considerando por ejemploe= 12no existe ninguna partición tal que dicha integral exista.

Presentaremos ahora otro de los resultados más conocidos y aplicados en diferentes teorías. Recordemos que existen varios enfoques por medio de los cuales podemos llegar al resultado que se presenta a continuación. Se-guiremos la indicación de T.M. Apostol.

Teorema 1.8(Desigualdad de Cauchy-Schwarz.). ([Apo74, p. 215], problema 7.16)

Si f ∈ R(α), f2∈ R(α), g∈ R(α)y g2∈ R(α)en[a,b], probar que

1 2 Z b a   Z b a

f(x) g(x) f(y) g(y)

2 dα(y)

dα(x) =

Z b

a f(x)

2d α(x) Z b a g(x) 2d α(x) − Z b

a f(x)g(x)dα(x)

2

(19)

Cuandoαes creciente en[a,b], deducir la desigualdad de Cauchy-Schwarz

Z b

a f(x)g(x)dα(x)

2

Z b

a f(x)

2d α(x) Z b a g(x) 2d α(x) .

Demostración. En efecto

1 2 Z b a   Z b a

f(x) g(x) f(y) g(y)

2 dα(y)

dα(x)

= 1 2 Z b a Z b a

[f(x)g(y)]2−2[f(x)g(y)] [f(y)g(x)] + [f(y)g(x)]2dα(y)

dα(x).

De donde sin pérdida de generalidad obtenemos

=

Z b

a f(x)

2d

α(x) Z b

a g(x)

2d

α(x)−

Z b

a f(x)g(x)

2

.

Ya queα(x)es creciente, se tiene que

1 2 Z b a   Z b a

f(x) g(x) f(y) g(y)

2 dα(y)

dα(x)≥0.

De manera natural

Z b

a f(x)g(x)

2

Z b

a f(x)

2d α(x) Z b a g(x) 2d α(x) .

En cuanto a las propiedades y resultados de las integrales de Riemann-Stieltjes, sería imposible pasar por alto los teoremas fundamentales del cálculo integral. A continuación se realizará la presentación de ambos, se ejemplificará en donde se considera pertinente hacerlo.

Teorema 1.9(Primer Teorema Fundamental del Cálculo.). ([Apo74, p. 196], teorema 7.32)

Seaαuna función de variación acotada en[a,b]y supongamos que f ∈ R(α)en[a,b]. Definimos F por medio de la ecuación

F(x) =

Z x

a f dα si x

∈[a,b].

Entonces se tiene que siαes creciente en [a, b], la derivada de F0(x)existe en cada punto x de(a,b)en queα0(x)exista y f

sea continua. Para tales x, se tiene

(20)

Observación. Antes de presentar la demostración del teorema, es necesario mencionar el siguiente teorema.

Teorema1.10 (Primer Teorema del valor medio para integrales de Riemman-Stieltjes.). ([Apo74, p. 195], teorema 7.30) Supongamos queαes creciente y que f ∈ R(α)en[a,b]. Si M y m designan respectivamente elsupy el´ınfdel conjunto

{f(x):x∈[a,b]}, entonces existe un número real c que satisface m≤c≤M tal que

Z b

a f(x)dα(x) =c

Z b

a dα(x) =c[α(b)−α(a)].

En particular, si f es continua en[a,b], entonces c= f(x0)para cierto x0de[a,b].

Estamos ahora en condiciones de presentar una prueba para el Teorema 1.9.

Demostración. (Teorema 1.9) Six 6= y por el Teorema de Valor Medio tenemos que para integrales de Riemman-stielejes, existeCtal quem≤c≤ My además

F(y) =

Z x

a f dα ; F(y)

−F(x) =

Z y

x f dα

=c[α(y)−α(x)]

Tomandoxfijo, el límite cuandoy−→xdeF(y)−F(x)y dividiendo entrey−x, tenemos

l´ım

x→y

F(y)−F(x) y−x =xl´ım→y

c[α(y)−α(x)]

y−x .

De donde

F0(x) = l´ım

x→ycα

0(x).

ahora, por la continuidad de f concluimos quec= f(x)cuandoxtiende ay

El siguiente ejemplo pone en evidencia cómo el primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral puede ser utilizado para la resolución de integrales de Riemann-Stieltjes.

Ejemplo9. ([Apo74, p. 216], problema 7.19) Definir

f(x) =

Z x

0 e

−t2

dt

2

, g(x) =

Z 1

0

e−x2(t2+1) t2+1 dt.

a) probar queg0(x) + f0(x) =0 para todoxy deducir queg(x) + f(x) =π/4.

Por el Primer Teorema Fundamental, para f(x)se toma

f0(x) = 2

Z y

0 e

−t2 dt

e−x2

= 2e−x2

Z x

0 e

−t2

dt

(21)

y parag(x) =

Z 1

0

e−x2(t2+1)

t2+1 dtse tiene que

g0(x) =

Z 1

0

x(e

−x2(t2+1) 1

t2+1dt)

= −2e

−x2

Z x

0 e

−a2

da

.

Sig0(x) + f0(x) =0 quiere decir que

Z

g0(x) + f0(x)dx = c

Z

g0(x)dx+

Z

f0(x dx = c

g(x) + f(x) = c

Z y

0

e−x2(t2+1)

t2+1 dt+

Z x

0 e

−t2

dt

2

= c

haciendox=0, tenemos que

Z 1

0 dt t2+1 =c

tan−1(x)

1

0=

π

4.

Teorema 1.11(Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.). ([Apo74, p. 197], teorema 7.34) Supongamos que f ∈ R

en a,b. Sea g una función definida en[a,b]tal que la derivada g0exista en(a,b)y cuyo valor sea

g0(x) = f(x) para cada x de(a,b)

Supongamos además que, en los extremos, los valores g(a+)y g(b−)existen y satisfacen

g(a)−g(a+) =g(b)−g(b−).

Entonces se tiene que

Z b

a f(x)dx

=

Z b

a g

0(x)dx=g(b)g(a)

.

Demostración. Para cada particiónP={x1, ...,xn}de[a,b], podemos escribir

g(b)−g(a) =

n

k=1

[g(xk)−g(xk−1)]

Comoges derivable, entonces es continua en(a,b). Por el Teorema del Valor medio, para cadak, existetktal que

g0(tk) =

(22)

entonces

f(tk)∆xk=g(xk)−g(xk−1).

De donde, podemos expresarg(b)−g(a)de la siguiente manera

g(b)−g(a) =

n

k=1

f(tk)∆xk.

Pero como f ∈ Ren[a,b]

n

k=1

f(tk)∆xk−

Z b

a f dx

<e.

Luego se deduce que

Z b

a f dx=g(b)−g(a).

Criterios Integrabilidad

Existen diferentescriteriospara determinar si una función posee o no integral. A continuación se abordará esa cuestión para las integrales de Riemann-Darboux.

Teorema 1.12(Criterio de integrabilidad). Si f es continua en[a,b], entonces existe

Z b

a f dx

Demostración. Si f es continua en[a,b], para todox,y ∈ [a,b]se tiene que para todoe>0, existeδ>0 tal que si

|x−y|<δ, implica que|f(x)−f(y)|<e.

ConsideremosP={x0, ...xn}tal que si∆xi<δcon 1≤i≥n, como cada[xk−1,xk]es compacto enRyf :R−→R

es continua, luego f adquiere un valor máximo y mínimo en cada intervalo. LlamemosmiyMia dichos mínimos

y máximos respectivamente. Así|Mi−mi| < δ. Como f es uniformemente continua|f(Mi)− f(mi)|< e, con lo

que

U(f,P) =

n

i=1

f(Mi)∆xi.

L(f,P) =

n

i=1

f(mi)∆xi.

Al restarlos, tenemos:

U(f,P)−L(f,P) =

n

i=1

(f(Mi)−f(mi))∆xi

< ne

n

i=1

∆xi

(23)

de donde, haciendoδ= n(bea), la función resulta ser integrable.

Observación. Es inmediato pensar en el reciproco del teorema anterior y no hace falta mucho para ver de que es falso. Basta considerar una función constante con algún salto, la cual no es continua, pero evidentemente posee integral.

Podemos notar que el criterio anterior es bastante restringido ya que muchas de las funciones que se deben estudiar de manera cotidiana no son continuas. Es por ello que se mostrará un criterio que es el más general que se puede encontrar en relación con la continuidad.

Teorema 1.13(Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann). Sea f una función definida y acotada en[a,b] y sea D el conjunto de las discontinuidades de f en[a,b]. Entonces f ∈ Ren[a,b]si, y solo si, D tiene medida cero.

El teorema anterior es de vital importancia para el desarrollo de este trabajo. De hecho un próximo capítulo se dedicará específicamente al desarrollo de teoría deLebesgue, lo que naturalmente comprende la teoría de inte-gración. En ese momento se dará una prueba del teorema anterior. Esto no quiere decir que con los conceptos proporcionados hasta el momento no pueda realizarse dicha demostración. Esta se encuentra en [Apo74, p. 208].

Se mostrará el alcance de este teorema mediante un ejemplo que garantiza la integración sobre un conjunto espe-cial, elconjunto de Cantor.

Ejemplo10. ([Apo74, p. 218], problema 7.32) Sea I = [0, 1]y sea A1 = I−

1 3,

2 3

el subconjunto de Iobtenido

suprimiendo enIlos puntos del intervalo abierto que constituye el tercio central deI; esto es,A1=

0,1

3

2 3, 1

.

SeaA2el subconjunto deA1obtenido suprimiendo el tercio central abierto de

0,1 3

y el de

2 3, 1

. Continuar este

proceso y definirA3,A4, . . . . El conjuntoC=

\

n=1

Anse llamaconjunto de Cantor. Probar que

Ces un conjunto compacto que tiene medida cero.

x∈Csi, y sólo si,x =

n=1

an3−n, en donde cadaano es 0 o es 2.

Ces no numerable.

Sea f(x) =1 six∈C, f(x) =0 six∈/C. Probar que f ∈ Ren[0, 1].

En efecto, podemos ver que cadaAnes cerrado para todon, asíCresulta ser cerrado. Por otra parte ya queC⊆ A1

el cual es compacto enR,Cresulta ser compacto. Además podemos ver que para cadaAn la medida del mismo

viene dada porµ(An) = (23)ny tendremos también que

µ

\

n=1 An

!

= l´ım

(24)

De donde podemos ver queµ(C) =0.

Supongamos ahora quex∈C, expresemosxcomox= a1

3 +b1(Para unb1adecuado). Así, comox∈ A1se tendrá quea1 =0 óa1 =2 (Por ser 0 y 2

3 los extremos izquierdos de los intervalos que componen aA1). Además como

x ∈A2escribamosx = a1

3 +

a2

9 +b2(Para unb2adecuado), podemos ver quea2=0 ó=a2=2. Esto es

x∈

0,1

9

sia1=0,a2=0.

x ∈ 2 9, 3 9

sia1=0,a2=2.

x ∈ 6 9, 7 9

sia1=2,a2=0.

x∈

8 9, 1

sia1=2,a2=2.

De lo anterior podemos ver quean =0 óan =2 (mediante inducción sobren). Asíx=

n=1

an3−n. Por otra parte,

six=

n=1

an3−nen donde cadaano es 0 o es 2. La construcción anterior muestra de manera clara quex∈Cy que

por tantoCes no numerable.

La representación que acabamos de construir para los números en el conjunto de CantorCes conocida como la representación ternaria y sigue el mismo principio de representar números del sistema decimal en base 2. De lo anterior vemos que six ∈ Cpodemos hacer una representación dex como(a1,a2,a3, . . .), donde cadaaies 0 o 2

coni∈N. Esto muestra que el conjunto de Cantor es no numerable ya que las sucesiones que se componen de 2

y 0 son no numerables.

La función f(x)es constante salvo sobre el conjunto de Cantor, es decir que f cumple las hipótesis del Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann, por tanto f ∈ R([0, 1]).

Por otra parte seaI= [0, 1]en este caso quitaremos el intervalo central con longitud 1

4 deIen la primer iteración, de dondeS1=

0,3 8 S 5 8, 1

. Esto es, situados en la mitad deIquitar un intervalo abierto de longitud 1

8 en am-bas direcciones. Repitiendo este proceso en la segunda iteración resulta queS2=

0, 5 32 S 7 32, 3 8 S 5 8, 25 32 S 27 32, 1

. Defínase S= ∞ \

n=1 Sn.

(25)

Como en cada iteración estamos eliminando 2n−1intervalos abiertos disyuntos cada uno de ellos de longitud 1 22n

podemos considerar la medida deSque representaremos conm(S)como

m(S) = 1−

∞ n=1

2n−1 22n

= 1−

∞ n=1

1 2n+1

= 1

2.

Observación. Podemos resaltar una propiedad de ambos conjuntos que es particular interés y es que ninguno de ellos contiene un intervalo. La prueba para el conjunto de Cantor la podemos encontrar en [Rud76, p. 41]. Esto generalmente se conoce también como que ambos conjuntos son completamente desconectados.

Es claro por lo anterior que la función f del ejemplo 10. Definida en el conjunto de Smith-Volterra-Cantor en vez del conjunto de Cantor no es integrable en el sentido de Riemann, debido a que el conjunto donde la función es discontinua tiene medida 1

2. Este ejemplo deja ver los problemas que presenta la integración de Riemann (El conjunto de funciones que se pueden integrar es restringido). Cabe preguntarse si existe una integral que permita subsanar estos y otros tantos inconvenientes que se presentan con dicha integral.

La anterior discusión y el ejemplo 10 nos dan una primera noción de la generalidad que se pretender obtener con el desarrollo de la teoría de Lebesgue, el siguiente capítulo esta dedicado a ello.

1.3.

Integral de Lebesgue

En el desarrollo de la integral más general que se trabaja en la actualidad (integral de Lebesgue) es necesario apoyarnos en diferentes conceptos y teorías que podrán llegar a resultar nuevas para algunos estudiantes. Razón por la cual es necesario contextualizar y exponer de manera breve dichos conceptos.

Comenzaremos esta dicusión con dos definiciones sobre las cuales basamos el desarrollo de toda la sección. Cabe resaltar que no son las únicas relevantes pero por ahora son realmente indispensables.

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 6]) Una familiaXde subconjuntos de un conjuntoXes llamada unaσ−álgebra

(o unσ−campo) en caso que

1. ∅,Xestán enX.

2. SiAestá enX, entonces el complementoAc=X\Aestá enX.

3. Si(An)es una sucesión de conjuntos enX, entonces la unión

[

n=1

(26)

De esta definición podemos inferir directamente que la interseción numerable de conjuntos enX, también está en

X. Basta considerar el complemento de [∞

n=1

An. Veremos ahora algunos ejemplos deσ−álgebra.

Observación. Cabe resaltar que por ahora no se ha mencionado nada acerca de los conjuntos X sobre los que estamos definiendo nuestraσ−álgebra, que en principio podrían ser cualesquiera. Por ahora se le pide al lector

que asuma esto como la primera generalización importante, en el sentido que sobre estasσ−álgebras definiremos

posteriormente la integral de Lebesgue.

Ejemplo11. SeaXcualquier conjunto, las siguientes son lasσ−álgebras más sencillas e inmediatas a la intuición.

X=P(X). La colección de todos los subconjuntos deX(Partes deX).

X={∅,X}. Conocida como laσ−álgebra trivial.

Existen relaciones entre diferentes σ−álgebras definidas en el mismo conjunto X. Sean X1,X2 σ−álgebras de

subconjuntos deXse tendrá que

X1∩X2es unaσ−álgebra. Basta considerar cada elemento deX1∩X2, como elementos de cadaσ−álgebra.

De manera general, sea{Xn}una colección deσ−álgebras sobre un conjuntoX

\

α∈A

Xα

es unaσ−álgebra.

Presentaremos ahora una definición que podría relacionarse de manera estrecha con el concepto de topología inducida, con sus respectivas restricciones a la teoría que estamos desarrollando.

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 7]) Sea A un subconjunto no vacío de un conjunto X. La σ− álgebra más

pequeña que contiene aAes llamada laσ−álgebra generada porA.

De manera natural nosotros observamos que dicha σ−álgebra es la intersección de todas las σ− álgebras que

contienen aA. Uno de los ejemplos más importantes de dichas álgebras es laσ−álgebra de Borel.

Ejemplo12. SeaX = R, laσ−álgebra de Borel (B) es la generada por todos los intervalos abiertos(a,b)enR. Si

E∈Bdiremos queEes un conjunto de Borel.

Observación. Es importante entender que con diferentes conjuntos se puede generar la mismaσ−álgebra como es

el caso deB, veamos

(27)

En efecto, para ello veremos que cada conjunto del generado de(a,b]esta contenido enBy que el reciproco también es cierto. Supongamos quea<bes posible escribir

(a,b] =

\

n=1

a,b+ 1 n

El cual es por definición un elemento deB. Por otra parte sea(a,b)∈Bvemos que

(a,b) =

[

n=1

a,b−1

n

Ahora consideremos un intervalo de la forma(a,+∞)el cual es por definición un intervalo abierto es decir

(a,+∞)∈Bpor otro lado vemos que podemos escribir

(a,b) =

[

n=1

−∞,b−1

n

∩(a,+∞)

La conclusión se sigue. Dado que(−∞,b]pertenece a laσ−álgebra generada por(a,+∞)

Llega el punto donde podremos caracterizar el conjunto de donde se extrae unaσ−álgebra, lo dotaremos de una

estructura de espacio. Entenderemos porespacio de medida o espacio mediblea la dupla(X,X)dondeXes una

σ−álgebra de conjuntos deX. Se sobreentiende que ya hemos presentado varios ejemplos de esta definición.

Por el momento se presentarón algunos conceptos que se relacionan de manera estrecha en el camino que se tomó para estudiar la integral de Lebesgue, no podemos olvidar que ese es el objetivo final. Trabajaremos ahora con nuestro objeto de estudio, funciones.

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 7]) Una funciónfdeXenRse dice que esX−medible (o simplemente medible), si para cada número realαel conjunto

{x ∈X: f(x)>α}

está enX.

Existe una equivalencia con respecto a la definición anterior, la cual hace que la misma sea muy versátil y sencilla de trabajar. Se puede consultar en [Bar11, p. 8].

Observación. Esta definición puede ser extendida para funciones a valor real extendido. Esto es

f : X −→ R∪ {+∞,−∞}. Al conjunto de todas las funciones medibles de Xcon laσ−álgebraX a valor real

extendido lo denotaremos comoM(X,X).

Pensando enX =RyX= Bel primer ejemplo que salta a la vista es de las funciones continuas, ya que si f es continua f−1((α,+∞))es un conjunto abierto. La conclusión se sigue de la definición deB. Es posible caracterizar

(28)

Ejemplo14. ([Bar11, p. 17], problema 2.P) Sea(X,X)un espacio de medida y f una función a valor real definida enX. Muestre que f esX−medible si y solo si f−1(E)∈Xpara todo conjunto de BorelE.

Es claro que una de las dos implicaciones se tiene por definción de función medible fijandoαR(el reciproco).

Para ver la impliación directa primero debemos recordar que la imagen inversaf−1se comporta bien bajo uniones, intersecciones y complemento, esto es:

1. f−1(AB) = f−1(A)f−1(B).

2. f−1(AB) = f−1(A)f−1(B).

3. f−1(Ac) = [f−1(A)]c

Además, para todo intervalo abierto(a,b)se tiene que

(a,b) = (−∞,b)∩(a,+∞).

Supongamos que f es una función medible. Así, f−1((a,b)) = f−1((−∞,b)∩(a,+∞)). Se sigue de esto que

f−1((a,b)) ∈ X(utilizando la equivalencia anteriormente mencionada). De lo anterior y teniendo en cuenta que todo conjunto boreliano es la unión, intersección o complemento numerable de intervalos de la forma(ai,bi)con

i∈N, considerarémos el caso en queE= [

i∈N

(ai,bi). Tendremos entonces que

f−1(E) = f−1 [

i

(ai,bi)

!

= [

i

f−1((ai,bi)).

donde f−1((ai,bi))∈ Xpara todoi ∈Nasí obtenemos que f−1(E)∈ X. Los casos en queEsea el complemento

o la intersección de intervalos abiertos son análogos.

En este punto cabe preguntarse por las funciones que se deriven de funciones medibles. Esto es, si f y g son funciones medibles y c ∈ R ¿Qué se puede decir de c f,f2,f +g,f g,|f|? La respuesta es que todas ellas son medibles. Sin embargo, esta relación no siempre se tiene en el otro sentido, como se puede observar a continuación.

Ejemplo15. ([Bar11, p. 16], problema 2.I) Proporciones un ejemplo de una función f deXenRla cual no seaX

medible, pero tal que las funciones|f|y f2seanX−medibles. Para ello consideremos

X={1,−1}.

X={∅,X}laσ−álgebra trivial.

f(x) =I(x)la función identidad.

Consideremosα = 0, el conjunto{x ∈ X : f(x) > 0} = {1} ∈/ X, de donde sabemos que la función f no es

medible. En cuanto a las funciones|f|,f2el conjunto{x∈ X: f(x)≥α}es∅oX(utilizando la equivalencia que

(29)

Procederemos ahora a introducir lo que podríamos considerar como una generalización del concepto de longi-tud con el que estamos familiarizados, Esto es necesario ya que como desarrollamos la teoría hasta el momento estamos trabajando con espacios de medida generales donde dicho concepto pierde sentido y es inaplicable, bas-ta considerar a X 6= Rp y con esto perdemos toda noción de lo que quiere decir longitud. Dicho concepto lo nombraremos de aquí en más comomedida.

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 19]) Una medida es una función a valor real extendidoµdefinida en unaσ

álgebraXde subconjuntos deXtal que

1. µ(∅) =0.

2. µ(E)≥0 para todoE∈X.

3. µes contable aditiva en el sentido que si(En)es cualquier sucesión de conjuntos enXyEi∩Ej =∅siempre

quei6=jentonces

µ

[

n=1 En

!

=

n=1

µ(En)

Una medida finita es aquella que no toma el valor de+∞.

Presentaremos ahora algunos ejemplos clásicos de medidas.

Ejemplo16. SeaX=Ny seaXlaσ−álgebra de partes. SiE∈Xse defineµ(E) =|E|(cardinal deE) siEes

finito. SiEes infinito,µ(E) = +∞. (medida de conteo)

SeaX=Ry seaX=B, siE= (a,b)defínaseµ(E) =b−a(medida de Lebesge o de Borel).

Sea X un conjunto yXunaσ−álgebra de subconjuntos deX. Siµ(X) =1 entoncesµes una probabilidad y µ(E)es la probabilidad el eventoE(medida de probabilidad).

Existen algunas relaciones que generan medidas a partir de otras fijas, por ejemplo

Ejemplo17. ([Bar11, p. 23], problema 3.B) Siµ1, . . . ,µn son medidas ya1, . . . ,anson números reales no negativos,

entonces la funciónλdefinida paraE∈Xpor

λ(E) =

n

j=1 ajµj(E)

Es una medida enX.

(30)

Ei∩Ek=∅sii6=kentonces

λ

[

i=1 Ei

!

=

n

j=1 ajµj

[

i=1 Ei

!

=

n

j=1 aj

i=1

µj(Ei)

=

n

j=1

i=1

ajµj(Ei)

=

i=1

n

j=1

ajµj(Ei)

=

i=1

λ(Ei).

Asíλresulta ser una medida.

Nosotros entenderemos por espacio de medida a la terna(X,X,µ)es decir un conjunto que en principio podría ser

cualquiera, unaσ−álgebra de subconjuntos deXy una medida definida sobreX(un espacio medible junto con

una medida). Usaremos en adelante un término con bastante frecuencia y es que una característica de un conjunto o una función (por ejemplo) se cumple encasi toda parte(µ). Esto es si dicha característica se cumple salvo en un

conjunto de medida cero. Lo anterior nos proporciona otro ejemplo de función medible.

Ejemplo18. SeaX = Ry seaX = Bel criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Riemann nos indica que si

f ∈ Rentoncesf es continua en casi toda parte(µ)y como ya se mencionó anteriormente f resulta ser medible.

Observación. El anterior ejemplo merece un poco más de profundidad y una demostración formal, pero para ello es necesario primero definir la medida de lebesgue, razón por la cuál por ahora se asume su veracidad. Más adelante volveremos a el.

La idea de ser continua en casi toda parte(µ), que dos funciones sean iguales en casi toda parte(µ)o que una

su-cesión de funciones(fn)converja en casi toda parte(µ)de manera intuitiva representa que nosotros (hablando en

términos muy inexactos) podríamos olvidarnos del comportamiento de nuestro objeto de estudio en un conjunto de medida cero (donde no se cumple nuestra característica) y que prevalece el comportamiento que se tenga en el complemento del mismo.

Consideremos nuevamente la función f(x) =1 six ∈ C, f(x) =0 six ∈/Cesta función además de ser continua en casi toda parte(µ)es igual a la función constanteg(x) =1 en casi toda parte(µ).

Observación. Es importante entender que la propiedad de ser igual en casi toda parte, depende de la medidaµ

que se esté trabajando. En los ejemplos anteriores entiéndase queµes la longitud de los intervalos que se maneja

habitualmente paraR.

(31)

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 96]) Una familiaAde subconjuntos de un conjuntoXes llamada unálgebra(o uncampo) en caso que

∅,Xestén enA.

SiE∈A, entonces el complemento deE=X\E∈A.

SiE1, . . . ,Enestán enA, entonces su unión n

[

j=1

Ejtambién esta enA.

Es claro que esta definición solo difiere de la deσ−álgebra en la numerabílidad de la unión, dado que está solo

tiene la característica de ser finita. Más allá es importante este nuevo concepto ya que (centrando la atención en el caso deR) en muchas ocasiones podemos encontrar ejemplos de conjuntos en los que las uniones numerables de subconjuntos no pueden estar en él. Con más claridad consideremos el conjunto formado por todas las uniones finitas de intervalos de la forma(a,b];(−∞,b];(a,+∞);(−∞,+∞)enR, este es un ejemplo de un conjunto que no es unaσ−álgebra pero si un álgebra (usaremos la notaciónFpara dicha álgebra).

Ya deberíamos tener presente que este trabajo esta totalmente dedicado a las integrales en distintos espacios con diferentes características. El concepto de integral debe ir (por definición) asociado a las diferentes medidas que se pueden establecer en los espacios donde tenga sentido la misma, es decir las longitudes enR, áreas enR2etc. Es

por ello que debemos definir que es una medida en un álgebra.

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 97]) SiAes un álgebra de subconjuntos del conjuntoX, entonces, una medida enAes una función a valor real extendidoµdefinida enAtal que

1. µ(∅) =0.

2. µ(E)≥0 para todoE∈A.

3. Si(En)es cualquier sucesión de conjuntos disyuntos enAtal que

[

n=1

Enestá enAentonces

µ

[

n=1 En

!

=

n=1

µ(En)

El primer ejemplo que salta a la vista de manera intuitiva, es la longitud definida en el álgebraF. Por supuesto la función longitud es una medida. La demostración de este hecho puede encontrarse en [Bar11, p. 97]. En general todas las medidas en algunaσ−álgebra haciendo una restricción adecuada pueden considerarse como medidas

en algún álgebra bien definida. Nos ocuparemos ahora de la construcción de la medida exterior y del álgebra exterior que veremos más adelante son extensiones de la medida y del álgebra sobre la cual esté definida ésta. La situación es la siguiente, pretendemos construir explícitamente unaσ−álgebraA∗(álgebra exterior) que contenga

al álgebraAde manera tal que siµes una medida enAla medidaµ∗(medida exterior) definida enA∗sea tal que µ∗=µenA.

(32)

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 99]) SiBes un subconjunto arbitrario deXnosotros definimos

µ∗(B):=´ınf

j=1

µ(Ej)

Donde el ínfimo es extendido sobre todas las sucesiones de conjuntos(Ej)enAtales que

B⊆

[

j=1 Ej

Como ya se mencionó con anterioridad la funciónµ∗recibe el nombre demedida exterior.

Observación. Cabe aclarar que la medida exterior en principio podría no ser una medida con lo mencionado hasta ahora. De hecho la medida exterior cumple las mismas propiedades de la medida, salvo la aditividad numérable. En vez de ello la medida exterior es subaditiva numérable. Esto es, si(Bn)es una sucesión de subconjuntos deX,

entonces

µ

[

n=1 Bn

!

n=1

µ∗(Bn).

Además la medida exterior de un subconjuntoB deXcoincide con la medida definida sobre el álgebra en caso queBesté en dicha álgebra la prueba de estas propiedades se encuentra en [Bar11, p. 99].

Como se mencionó con anterioridad, la idea de definir la medida exterior es generalizar la idea de longitud deR y nosotros sabemos que a cualquier íntervalo o uniones de intervalos enRpodemos calcularles su longitud, pero ¿Qué significa que un conjunto sea medible bajo las definiciones anteriores?

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 100]) Un subconjuntoEdeXes llamadoµ∗−medible si

µ∗(A) =µ∗(A∩E) +µ∗(A\E).

Para todo subconjunto conjuntoAdeX.

Denotaremos porA∗a la colección de todos los subconjuntosµ∗−medibles deX. Es claro que la notación sugiere

queA∗resultara ser por lo menos un álgebra. El siguiente teorema resuelve dicho interrogante.

Teorema 1.14(Teorema de extensión de Carathéodory). ([Bar11, p. 101]) La colecciónA∗de todos los conjuntosµ∗−

medibles es unaσ−álgebra que contiene aA, además si(En)es un sucesión disyunta enA∗, entonces,

µ

[

n=1 En

!

=

n=1

µ∗(En)

Nótese que el teorema anterior nos dice de manera explícita como debe construirse la σ− álgebra dondeµ∗es

(33)

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 104]) Consideremos el álgebraFdefinida anteriormente y la medidal (Lon-gitud) definida en ella, aplicando el teorema de extensión de Carathéodory, obtenemos unaσ−álgebraF∗y una

medidal∗, con los cuales obtenemos un espacio de medida(R,F∗,l∗). La colecciónF∗es conocida como la colec-ción de los conjuntos medibles de Lebesgue yl∗se conoce como la medida de Lebesgue.

Observación. Presentaremos ahora una breve dicusión que permite entender de manera general la relación que existe entere lasσ−álgebras de Borel, de Lebesgue y la partes deR. En un principio esperaríamos poder

diferen-ciarlas de manera explícta. Esto es encontrar conjuntos de alguna de ellas que no se encuentren en las demás y de esta manera establecer algúna relación de contenencia o algo similar. Lo anterior desafortunadamente escapa del objetivo del trabajo sin embargo se puede realizar la distinción entre ellas con algunos criterios que se expondrán a continuación. Esta idea es tomada de [Rud81, p. 53].

Iniciaremos con la comparación entreByF∗(Conjuntos medibles de Lebesgue), esta comparación se realiza me-diante el cardinal de dichasσ−álgebras. Para ello debemos notar en primera instancia que la medida de Lebesgue

es completa, en el sentido que siA∈Fyl(A) =0 cada subconjunto deAes medible y tiene medida cero. Por

otra parte también vemos que cadaσ−álgebra generada por una colección numerable de conjuntos tiene cardinal

finito oℵ1(cardinal del continuo bajo la hipótesis del continuo).

La demostración de este hecho requiere conceptos de teoría avanzada de conjuntos, pero se mostrará acontinua-ción la idea. Si suponemos una colecacontinua-ción numerable de conjuntos{An}, la cual genera unaσ−álgebra, cadaAide

la colección tendrá una representación en conjuntosBIindivisibles en el sentido queBIes una familia de conjuntos

disjuntos dos a dos. Se puede mostrar también que existen tantosBI como subconjuntos de los naturales, como

sugiere el subíndiceI. Razón por la cuál, existirán por lo menosℵ1elementos en laσ−álgebra generada por{An}

suponiendo que infinitos de losBIson no vacíos. En otro caso dichaσ−álgebra tendrá de manera natural cardinal

finito. Ver que estaσ−álgebra no podrá tener más elementos queℵ1requiere el uso de inducción transfiníta. La

idea es comenzando con la colección{Ai}generar una sucesión creciente de conjuntos, anexando en cada iterción

los complementos de los elementos de la iteración anterior aasí como sus uniones y complementos de estas.

Como ya se vió anteriormenteB puede ser generada por los intervalos abiertos deR, más aún esta puede ser generada por una colección numerable de intervalos, basta considerar los intervalos de la forma(ai,bi)coni∈N,

tales que ai+bi

2 ∈Qy

bi−ai

2 ∈Q(bolas abiertas deRcon centro racional y radio racional) por lo tanto|B|=ℵ1. Por otra parte la discusión anterior sobre el conjunto de Cantor C nos mostró que l∗(C) = 0 y también que

|C| = ℵ1, la regularidad del∗ indica que cada subconjunto de Cantor es medible. En particular tendrán medida cero, de donde existen por lo menos 2ℵ1conjuntos medibles en el intervalo[0, 1]. El teorema de Cantor muestra que

1<2ℵ1 y concluimos de esta manera que existen conjuntos medibles que no son Borelianos. Como se mencionó

anteriormente no es la inteción ejemplificar explícitamente este hecho.

La comparación entre 2RyF∗se resuelve con el siguiente teorema.

Teorema1.15. ([Rud81, p. 53]) Si A⊂Ry cada subconjunto de A es Lebesgue medible entonces l∗(A) =0.

(34)

Es claro que al considerar implicación contrarrecíproca de este teorema obtenemos la comparación buscada. Esto es, todo subconjuntoEdeRtal quel∗(E)>0 contiene por lo menos un conjunto no medible. Un ejemplo explicito de este resultado es el conjunto de Vitali, el cual es un subconjunto deRy no medible.

A continuación veremos un esquema de las relaciones que acabamos de presentar

Con lo anterior podemos empezar a construir la integral de Lebesgue, ya que como se ha mencionado durante todo el trabajo el proceso de integración tiene una relación directa con la medida (en el caso particular de Riemann con la longitud).

Trabajaremos ahora con un espacio de medida determinado(X,X,µ)(en el caso de la medida de Lebesgue

na-turalmente será(R,F∗,l∗)) e introduciremos la notaciónM+ = M+(X,X)para denotar la colección de todas las funciones no negativasµ∗−medibles deXenR(El conjunto de los reales extendidosR = R∪ {−∞,+∞}). La

construución de la integral de Lebesgue se realiza primero para la funciones no negativas, para ello empezaremos con la definición de función simple que podríamos considerar (por ahora) como la generalización de la idea de función escalonada enR.

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 27]) Una función f a valor real es simple si ésta tiene un número finito de valores (Rango finito).

(35)

ϕ=

n

j=1 ajXEj.

Donde aj ∈ R y XEj se denomina la función característica del conjunto Ej La cual es XEj(x) = 1 si x ∈ Ej y

XEj(x) =0 six ∈/Ejpara todox∈ X. En esta representación estándar cabe resaltar que losajson todos distintos,

losEjson subconjuntos deXdisyuntos dos a dos y tales queX= n

[

j=1 Ej.

Las funciones simples serán el pilar de nuestra integral de Lebesgue así como las particiones y las sumas superiores e inferiores lo fueron en la integral de Riemann, por ello y dado que lo necesitaremos más adelante definiremos la integral de una función simple como sigue.

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 28]) Si ϕes una función simple en M+(X,X) con la represetación estándar

que definimos anteriormente, nosotros definimos la integral deϕcon respecto a la medidaµcomo el número real

extendido

Z

ϕdµ=

n

j=1

ajµ(Ej).

Para ejemplificar la definición anterior y dado que el concepto de integral es más sencillo de interpretar gráficamn-te enRconsideremos la función constante f(x) = cdefinida en el intervalo cerrado [a,b]. Es claro que f es una función simple y f(x) = cX[a,b](x). La definición anterior indica que

Z

f dl∗ = cl∗[a,b] = c(b−a), nótese que la integral de Lebesgue (aceptando por ahora que la primera integral representa la de Lebesgue) coincide con la de Riemann de manera natural para funciones simples. En general este hecho se tiene por la definición de dicha integral, como veremos más adelante.

Observación. Escapa del objetivo del trabajo demostrar algunas propiedades de esta integral, sin embargo no de-bemos desconocerlas. Estas propiedades se derivan en gran parte de la linealidad de la misma y pueden ser con-sultadas en [Bar11, chap. 4]

Así como es posible realizar aproximaciones de funciones relaes con funciones escalonadas, bajo ciertas restric-ciones es posible aproximar una función medible por medio de funrestric-ciones simples el siguiente lema muestra una caracterización importante de dicha aproximación.

Lema 1.1(Aproximación por funciones simples). ([Bar11, p. 13]) si f es una función en M+(X,X), entonces existe una

sucesión(ϕn)de funciones simples en M+(X,X)tal que

1. 0≤ ϕn(x)≤ ϕn+1(x)para x∈X, n∈N.

2. f(x) =l´ımϕn(x)para cada x∈X.

(36)

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 30]) Si f está enM+(X,X)nosotros definimos la integral de f con respecto aµ

como el número real extendido

Z

f dµ=sup Z

ϕdµ,

donde el supremo es extendido sobre todas las funciones simplesϕenM+(X,X)que satisfacen 0≤ ϕ(x)≤ f(x)

para todoxenX.

Notemos el hecho que la integral está bien definida en este sentido. El conjunto de las funciones simples que cumple la propiedad mencionada es no vacío ya que se puede considerar la función ϕ(x) = 0 para todo x ∈

X y dicho conjunto esta acotado superiormente por la aproximación que nos proporciona el lema 1.1. Además la formula de la integral nos garantiza que siempre es posible calcular la misma para funciones medibles no negativas. Es importante recordar que nosotros (por ahora) trabajamos con el conjuntoR. Es decir que tanto la función como su integral podrían en principio tomar el valor de+∞. Basta considerar la función f(x) = +∞para todoxenXo integrar sobre un conjunto de medida infinita.

La integral de una función f sobre un conjunto que pertenezca a laσ−álgebra digamosAse define como

Z

A

f dµ= Z

fXAdµ.

Como nos hemos dado cuenta en esta sección se realiza una construcción prácticamente desde ceros de la integral y por ahora no hemos dicho que ya se presentó una definición de la integral de Lebesgue. Sin embargo estamos muy cerca del objetivo. Es momento de ir un poco más allá y definir una integral para funciones que sean medibles pero sin restringirlas a tomar valores no negativos. Esta sección se centra en funciones con valores aRy cuya integral también toma un valor enR(no enR). Para ello es necesario recordar la definición de la parte negativa y la parte positiva de una función.

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 10]) Si f es cualquier función deXenR, sean f+,flas funciones no negativas

definidas por

f+(x) := sup{f(x), 0}.

f−(x) := sup{−f(x), 0}.

Las siguientes gráficas muestras ejemplos bastantes sencillos pero que en general pueden ayudar a interpretar mejor los conceptos de parte positiva y negativa de una función, los ejemplos se mostrarán enR2por la comodidad

(37)

plano f(x) =x3+

en rojo y f(x) =x3−

en azul.

Esta definición fue necesaria ya que como nos dimos cuenta la construcción que realizamos hasta este momento nos permite integrar funciones no negativas, tendremos en consideración la linealidad de la integral para funciones enM+(X,X)y el hecho de que f = f+− f−para poder trabajar y entender un poco más la siguiente definición, la cual nos habla de uno de los espacios más conocidos en el análisis el espacioL1.

Definición. (Tomada de [Bar11, p. 41]) La colección L = L(X,X,µ)(También conocida como el espacio L1) de

funciones integrables (O sumables) consiste de todas las funciones a valor realX−medibles f definidas en X, tales que la parte positiva f+y la parte negativaf−, ambas, tienen integral finita con respecto aµ. En este caso se

define la integral de f con respecto aµcomo Z

f dµ= Z

f+dµ− Z

f−dµ.

SiE∈X, nosotros definimos

Z

E

f dµ= Z

E

f+dµ− Z

E

f−dµ.

Esta integral es conocida comointegral de Lebesgue. Y es el objeto de estudio de la siguiente sección donde se buscará realizar una caracterización de esta y sus propiedades.

Observación. La definición anterior está dada en términos de funciones no negativas y sus integrales trabajadas con anterioridad. No es difícil ver que esta cumple todas las propiedades de la integral de Riemman tales como la linealidad, homogeneidad, desigualdad triangular entre otras. Todas estas propiedades pueden ser consultadas en [Bar11, Chap. 4]

1.3.1.

Algunos teoremas importantes

Referencias

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