Cinemática
m.r.u., m.r.u.a., m.c.u
CPR. JORGE JUAN Xuvia-NarónParte de la física que se ocupa del estudio y descripción de los movimientos de los cuerpos prescindiendo de las causas que los originan.
Una primera aproximación para iniciar el estudio de la cinemática es considerar que el cuerpo que se mueve está constituido únicamente por un punto material, es decir, sus dimensiones son despreciables respecto a la longitud del camino que recorre, por lo que en el estudio de su movimiento se prescinde de las rotaciones que sobre si mismo pudiese tener el móvil, y únicamente se tiene en cuenta su traslación. Este punto material se mueve si cambia de posición con respecto a algo que se considera fijo. Este algo recibe el nombre de sistema de referencia, el cual ha de ser adecuado al tipo de movimiento que se está estudiando
Una dimensión
Para determinar su posición sólo se necesita indicar a qué distancia de un punto origen, O, se encuentra. La posición del cuerpo puede ser positiva o negativa según se encuentre a la derecha o a la izquierda del origen.
Dos dimensiones
El cuerpo se mueve por un plano. Se necesitan dos coordenadas para determinar la posición que ocupa en un instante dado.
Los dos valores que determinan la posición de un cuerpo en un plano se pueden establecer utilizando como referencia:
Un sistema de coordenadas cartesianas, O,X,Y
Los dos valores que se necesitan son las distancias a los dos ejes acompañadas de los signos, +, ó, -.
Para evitar confusiones se tiene el acuerdo de escribir primero la coordenada, x, ó abscisas y después la coordenada, y, u ordenada separadas por una coma y colocadas entre paréntesis. El signo negativo para la coordenada, x, se utiliza si el punto se
encuentra a la izquierda del origen y para la coordenada, y, cuando está por debajo del origen. Un sistema de coordenadas polares
Las coordenadas polares utilizan la longitud de la recta que une el punto, P, donde se encuentra el móvil con el punto de referencia, O, y el ángulo que forma con el eje horizontal, X.
Tres dimensiones
Se necesitan tres coordenadas para determinar su posición en un instante. Si el sistema de referencia es cartesiano, se necesitan las coordenadas, x, y, z. En este caso se dice que el cuerpo está en movimiento cuando alguna de sus coordenadas espaciales, x, y, z, varía con el transcurrir del tiempo.
Este concepto de movimiento puede generalizarse a un cuerpo compuesto de un gran número de puntos materiales, en cuyo caso el cuerpo está en movimiento con respecto a un sistema de referencia, cuando al menos una de las coordenadas espaciales de uno cualquiera de sus puntos materiales constituyentes varía con el transcurrir del tiempo. En esta definición quedan pues englobados todos los tipos de movimiento que pueda sufrir un cuerpo:
Rotación
Algunos de los puntos materiales que constituyen el cuerpo, los que están sobre el eje de rotación, no se mueven con respecto a un sistema de referencia, si alguno de los ejes de dicho sistema de referencia coincide con el eje de giro del cuerpo. Las coordenadas espaciales de estos puntos en ese sistema de referencia no varían con el transcurrir del tiempo.
Deformación
Algunos de los puntos materiales que constituyen el cuerpo se mueven con respecto al sistema de referencia permaneciendo en reposo el resto de puntos materiales constituyentes del cuerpo.
Reposo
Las coordenadas espaciales que definen la posición de los puntos que constituyen el cuerpo en el sistema de referencia elegido no varían con el transcurrir del tiempo.
El concepto de movimiento está referido a un sistema de referencia, por lo que el movimiento es siempre relativo a dicho sistema de referencia. Éste a su vez puede moverse en el espacio con respecto a otro sistema de referencia. Así:
Un cuerpo se encuentra en movimiento relativo con respecto a otro cuando su posición en relación al segundo cuerpo, varía con el tiempo.
Un cuerpo está en reposo relativo con respecto a otro cuando su posición en relación al segundo cuerpo, no varía con el tiempo.
Atendiendo al estado de movimiento del sistema de referencia el movimiento de un cuerpo es: Absoluto
Cuando el sistema de referencia es fijo. Relativo
Cuando el sistema de referencia está moviéndose.
La posición en un instante dado de un cuerpo viene determinado por el vector, OP, llamado radio-vector, que tiene como origen el origen, O, del sistema de referencia y como extremo la posición, P, del cuerpo en ese instante.
Si se representan el conjunto de las diferentes posiciones que ocupa un móvil a lo largo del tiempo, se obtiene una línea llamada trayectoria, que es la línea que describe el móvil en su movimiento.
La distancia recorrida por un móvil es la longitud de su trayectoria y se trata de una magnitud escalar. El desplazamiento efectuado es una magnitud vectorial. El vector que
representa al desplazamiento tiene su origen en la posición inicial, su extremo en la posición final y su módulo es la distancia en línea recta entre la posición inicial y la final.
La distancia y el módulo del desplazamiento coinciden si la trayectoria es una línea recta. En caso contrario la distancia siempre es mayor que el desplazamiento.
En función del tipo de trayectoria seguida por un cuerpo se puede clasificar el movimiento de un cuerpo:
Rectilíneos
Horizontal
Vertical
Curvilíneos
Parabólicos
Circulares
Elípticos
Se definen los siguientes parámetros importantes en el estudio cinemático de un cuerpo: Velocidad
Es una magnitud vectorial que relaciona el cambio de posición del cuerpo con el tiempo. Se definen los siguientes vectores velocidad:
Velocida media
Se definen para un punto material que se mueve según una trayectoria dada los siguientes elementos:
O,X,Y,Z sistema de referencia cartesiano. P1 punto de la trayectoria que sigue el
punto material en el instante, t1. r1 vector de posición del punto, P1. P2 punto de la trayectoria que sigue el
r= r2-r1 vector desplazamiento para ir desde el punto, P1, hasta el punto, P2.
t= t2-t1 tiempo que transcurre para que el punto material llegue desde el punto, P1, al punto, P2.
El vector velocidad media del punto material es el cociente entre el vector desplazamiento, r(t), y el tiempo tardado en realizar ese desplazamiento, t.
vm(t)=
2 1
2 1
( )
r t
r
r
t
t
t
Al ser, t, una magnitud escalar, el vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento, r(t).
El punto material ha recorrido en este tiempo, t, una longitud, s, sobre la trayectoria correspondiente a la distancia existente entre los puntos, P1, y, P2.
Se define la celeridad media, rapidez ó velocidad media escalar del punto material como el cociente entre la longitud recorrida, s(t), en su trayectoria y el tiempo, t, tardado en recorrerla.
vm(t)=
s
t
es una magnitud escalar que se define como el espacio recorrido por el móvil en la unidad de tiempo. Es la relación entre la distancia que dicho cuerpo recorre y el tiempo que tarda en recorrerla
Dado que la longitud recorrida, s(t), no tiene porque coincidir con el módulo del vector desplazamiento, r, se deduce que la celeridad media, vm(t), no tiene porque coincidir con el módulo del vector velocidad media, vm(t), verificándose en general
s(t) vm(t)
ambos valores coinciden si la trayectoria es rectilínea ó el desplazamiento sobre la trayectoria es infinitesimal.
Velocidad instantánea
En un sistema de referencia rectangular, O,X,Y,Z, en el que está definido el movimiento de un punto material sobre su trayectoria, la velocidad instantánea viene dada por límite de su velocidad media cuando el intervalo temporal considerado se reduce a un instante
v(t)=
0 0
( )
( )
lim
m( )
lim
t t
r t
dr t
v t
t
dt
se deduce v(t)=
ds t
( )
dt
2 2 2
( )
( )
( )
( )
( )
dx t
dy t
dz t
ds t
v t
dt
dt
dt
dt
La unidad de la velocidad ó de la rapidez en el Sistema Internacional es metro por segundo, m/s. Si al valor de la rapidez instantánea se le une la dirección, entonces se tiene una medida de la velocidad instantánea.
La dirección de la velocidad viene definida de las siguientes formas:
Si el movimiento tiene lugar en un plano se expresa mediante un ángulo u otra referencia:
Dirección: 30º Dirección: Norte
Si el movimiento es rectilíneo, las velocidades en el sentido positivo son positivas y las velocidades en el sentido negativo son negativas:
El signo informa de la dirección del movimiento.
Este signo se da por convenio, así:
En los movimientos horizontales si un móvil se mueve hacia la derecha su velocidad es positiva y si se mueve hacia la izquierda es negativa
En los movimientos verticales si un móvil se mueve hacia arriba su velocidad es positiva y si se mueve hacia abajo es negativa.
Si un cuerpo se mueve y su rapidez instantánea es siempre la misma, se dice que se está moviendo con rapidez constante. En este caso coinciden los valores medios e instantáneos de la rapidez.
Aceleración
Se definen los siguientes vectores aceleración: Aceleración media
Sea
O,X,Y,Z sistema de referencia cartesiano
P(x,y,z) punto del espacio definido por las coordenadas espaciales y que es
coincidente con la posición espacial ocupada por el punto material en su movimiento sobre la trayectoria
r(t) vector de posición del punto material en su movimiento sobre la trayectoria, en este sistema de referencia. Es un vector variable con el tiempo
t= t2- t1 incremento sufrido por la variable temporal
r1= r(t1) vector de posición del punto material en el instante, t= t1
. r2= r(t2)= r(t1+t)= r(t1)+ r
r(t)= r2-r1
vector desplazamiento ó incremento sufrido por el vector de posición del punto material en su movimiento sobre la trayectoria en el intervalo temporal, t= t2-t1 v(t) vector velocidad instantánea del punto material en su movimiento sobre la trayectoria,
tangente en cada instante a la trayectoria seguida por dicho punto material v1= v(t1)= v
vector velocidad instantánea del punto material el instante, t= t1 v2= v(t2)= v’= v(t1+t)= v(t1)+ v= v+v
vector velocidad instantánea del punto material en el instante, t= t2= t1+t
v(t)= v2-v1= v’-v
incremento sufrido por el vector velocidad instantánea del punto material en su movimiento sobre la trayectoria en el intervalo temporal, t= t2-t1
El vector aceleración media del punto material en su movimiento sobre la trayectoria se define como la variación del vector velocidad instantánea, v(t), de dicho punto material en su movimiento sobre la trayectoria con respecto al tiempo
am(t)= 2 1
2 1
( )
v t
v
v
t
t
t
el vector aceleración media, am(t), representa lo que en promedio varía la velocidad del punto
material en su movimiento sobre la trayectoria por unidad de tiempo, a lo largo de un intervalo temporal finito.
Aceleración instantánea
El vector aceleración instantánea del punto material en su movimiento sobre la trayectoria se define como el límite de la aceleración media de dicho punto material en su movimiento sobre la trayectoria cuando el intervalo temporal considerado se reduce a un instante
a(t)=
2
2
0 0
( )
( )
( )
lim
m( )
lim
t t
v t
dv
d
dr t
d r t
a t
t
dt
dt
dt
dt
La aceleración es una magnitud vectorial que relaciona los cambios que se producen en la velocidad de un cuerpo con el tiempo. Mide como de rápidos son los cambios de la velocidad. Se define como lo que varía la velocidad del móvil en la unidad de tiempo.
Las variaciones que se producen en la velocidad pueden ser debidas a variaciones en su rapidez y/o en su dirección. Así se tiene:
Aceleración tangencial
Define los cambios que se producen en la rapidez de la velocidad.
Una característica de los cuerpos acelerados es que recorren diferentes distancias en intervalos regulares de tiempo:
Intervalo Rapidez media durante el intervalo
Distancia recorrida durante el intervalo
Distancia total (desde t = 0)
0 - 1 s 5 m/s 5 m 5 m
1 s - 2 s 15 m/s 15 m 20 m
2 s - 3 s 25 m/s 25 m 45 m
Si un móvil está disminuyendo su rapidez está frenando, entonces su aceleración va en el sentido contrario al movimiento. Si un móvil aumenta su rapidez, la aceleración tiene el mismo sentido que la velocidad.
Si la velocidad y la aceleración van en el mismo sentido, ambas son positivas ó ambas negativas, el móvil aumenta su rapidez.
Si la velocidad y la aceleración van en sentidos contrarios, tienen signos opuestos, el móvil disminuye su rapidez
Aceleración tangencial constante
El cambio de la rapidez de la velocidad en un intervalo de tiempo dado es siempre el mismo. Se dice entonces que se tiene un movimiento de aceleración constante o uniformemente acelerado.
Los cuerpos que se mueven con aceleración constante recorren distancias directamente proporcionales al cuadrado del tiempo.
Aceleración tangencial media
La aceleración tangencial media de un móvil se halla a través de la expresión:
t tiempo empleado por el móvil en modificar su velocidad desde, vi, hasta, vf Aceleración tangencial instantánea
Para conocer la aceleración instantánea se toma un intervalo de tiempo muy pequeño y se supone que la aceleración media en él es la aceleración instantánea.
Aceleración centrípeta
Define los cambios que se producen en la dirección de la velocidad.
Su unidad en el Sistema Internacional, S.I., es metro por segundo al cuadrado, m/s2.
Dependiendo de los valores que tomen estas componentes intrínsecas del vector aceleración instantánea, a(t), del punto material en su movimiento sobre la trayectoria, el movimiento de dicho punto material se clasifica en:
a at an movimiento
0 f(t) curvilíneo uniforme 0 cte circular uniforme f(t) 0 rectilíneo variado
cte 0 rectilíneo uniformemente variado f(t) f’(t) curvilíneo variado
cte cte circular uniformemente variado 0 0 rectilíneo uniforme
Uniforme
Se caracteriza porque la aceleración tangencial del móvil es nula. El módulo de su vector velocidad no varía, es decir, es constante. Dependiendo de cómo sea su aceleración centrípeta se tiene
Rectilíneo
Se caracteriza porque su aceleración centrípeta es nula. No hay cambios en la dirección del vector velocidad, por lo que el movimiento sigue una trayectoria rectilínea.
La característica de este movimiento en la forma rectilínea de su trayectoria, o lo que es lo mismo, la constancia en la dirección del vector velocidad. La constancia del vector velocidad, implica que se mantenga invariable en módulo, dirección y sentido.
Dado que la trayectoria es rectilínea se puede prescindir del tratamiento vectorial en el estudio de este movimiento, pues es suficiente con saber la distancia del cuerpo al origen del sistema de referencia para fijar su posición, para lo cual se utiliza el vector de posición, que tiene el origen en el origen de espacios y su extremo coincide con la posición del punto.
Trabajando únicamente con el módulo de la expresión anterior
v=
ds
dt
de donde ds= v.dt
integrando esta expresión con las condiciones iniciales, s= s0, para, t= t0
0 0 0
.
.
s t t
s
ds
tv dt
v
tdt
0
.
0s t
s t
s
v t
s – s0= v.(t – t0)
si se considera que el instante inicial, t0= 0, resulta s – s0= v.t
de donde s= s0 + v.t
Si el estudio se hace sin recurrir al cálculo diferencial e integral se tiene. v = cte
de la propia definición de la velocidad del móvil
Vector de posición
r
1
r
2
r
El vector de posición varía cuando el punto se mueve
1
2 r
r
r
v= 0 0
e
e
e
t
t
t
e0(t0) e(t)
despejando en ella el espacio, e, recorrido por el móvil en el tiempo, t e - e0= v.(t - t0)
de donde
e= e0 + v.(t – t0)
si el instante inicial, t0= 0, entonces la expresión anterior se reduce a: e= e0 + v.t
e0 es la distancia del móvil al origen del sistema de referencia en el instante inicial. El móvil inicia su movimiento en un punto inicial, P0, distante la cantidad, e0, del origen del sistema de referencia en el momento en que se comienza a contar el tiempo. La distancia, e, del móvil al origen del sistema de referencia coincide en el movimiento rectilíneo con el espacio recorrido por el cuerpo, si es nula la distancia inicial, e0, del móvil al origen del sistema de referencia, y es directamente proporcional al tiempo, t, empleado en recorrerla, siendo el factor de proporcionalidad la velocidad, v, del móvil.
Teniendo en cuenta el sentido que puede tener el movimiento del móvil, la ecuación anterior con sus signos se escribe:
e= e0 v.t
e0 +, cuando el móvil se encuentra en la posición inicial a la derecha del sistema de referencia
-, cuando el móvil se encuentra en la posición inicial a la izquierda del sistema de referencia
v +, cuando el móvil se mueve hacia la derecha del sistema de referencia. -, cuando el móvil se mueve hacia la izquierda del sistema de referencia
La ciencia utiliza con frecuencia las gráficas porque de ellas se pueden deducir muchas características del fenómeno que se está estudiando. Uno de los parámetros importantes que se analizan en una gráfica es su pendiente, en concreto interesa saber si la pendiente en un punto es positiva o negativa, si siempre es la misma o va cambiando.
La pendiente de una gráfica en un punto es la inclinación que tiene la recta tangente a la gráfica en ese punto. Para obtener su valor:
Se seleccionan dos puntos de la recta tangente a la gráfica y se obtienen sus coordenadas.
Se halla la diferencia entre las ordenadas de los dos puntos seleccionados ó elevación.
Se halla la diferencia entre las abscisas de los dos puntos seleccionados ó avance.
y = a x2 + b x + c
según los valores de los coeficientes a, b y c la gráfica que se obtiene va desde una recta a una parábola. Si la gráfica es una recta su pendiente es la misma en todos los puntos mientras que si se trata de una curva la pendiente varía según el punto elegido. Asimismo la pendiente puede ser positiva, cero o negativa.
A este movimiento le corresponden dos representaciones gráficas. e-t
Tomando en un sistema de ejes rectangulares como abscisas los tiempos y como ordenadas el espacio recorrido por el móvil, se obtiene como gráfica una línea recta.
De esta gráfica se obtiene la siguiente información:
La inclinación de esta línea es su pendiente y su valor coincide con la rapidez con la que se mueve el cuerpo.
La pendiente es igual a la tangente del ángulo que dicha línea forma con el eje de abscisas.
La pendiente es positiva cuando el móvil se mueve hacia la derecha del origen del sistema de referencia y es negativa cuando el móvil se mueve hacia la izquierda del origen del sistema de referencia.
El punto de corte con el eje vertical es, (0, e0). Este punto representa la posición inicial
del cuerpo ó posición que ocupa el cuerpo cuando, t =0.
v-t
Tomando en un sistema de ejes rectangulares como abscisas los tiempos y como ordenadas la velocidad del móvil, se obtiene como gráfica una línea recta paralela al eje de abscisas ó eje temporal, t.
e(m)
t(s)
El punto de corte nos da el, e0, del
movimiento
Movimiento con rapidez negativa. La línea es descendente o de pendiente negativa.
Recta que pasa por el origen, e0= 0. Es la
menos inclinada, lo que indica que la rapidez del movimiento es la más baja Representa el movimiento con mayor rapidez. Recta con mayor pendiente.
v (m/s)
t(s)
De esta gráfica se obtiene la siguiente información:
La inclinación ó pendiente de la misma da la aceleración tangencial con la que se mueve el cuerpo. Dado que la gráfica es una línea horizontal, la aceleración tangencial del movimiento es nula, a= 0
El punto de corte con el eje vertical es, (0,v0). Este punto representa la rapidez inicial del
cuerpo ó velocidad que tiene el cuerpo cuando, t =0.
El área comprendida entre la línea de la gráfica, v-t, y los ejes ordenados, representa la distancia recorrida por el móvil en su recorrido.
Un cuerpo que se mueve con velocidad constante de, 3 m/s, se encuentra situado a, 15 m, a la derecha del origen cuando comienza a contarse el tiempo. Escribe las ecuaciones que describen su movimiento: ecuaciones generales para el movimiento. rectilíneo y uniforme:
valores de, s0, y, v, para este caso: e0= 15 m ; v= 3 m/s
ecuaciones particulares para este movimiento:
Un cuerpo se mueve hacia el origen con velocidad constante de, 2’3 m/s. Si inicialmente se encuentra a una distancia de, 100 m, de éste ¿cuánto tiempo tardará en pasar por él?.
esquema del movimiento:
ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo y uniforme:
valores de, e0, y, v, para este caso: e0= 100 m ; v= -2’3 m/s
ecuaciones particulares para este movimiento:
Cuando pasa por el origen, e= 0, , su distancia el origen es nula, luego:
0= 100 – 2’3 t ; v= 3
e= 15 + 3 t v= cte. e= e0 + v t
v= cte. e= e0 + v t
v= -2’3 e= 100 – 2’3 t
Origen
100 m
100
t
43'5
2 '3
s
Se ha estudiado el movimiento de un cuerpo obteniéndose como resultado la gráfica siguiente. ¿Cuáles son las ecuaciones que describen su movimiento?.
¿A qué distancia del origen se encuentra cuando pasen, 5’4 s?. ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo y uniforme:
valores de, e0, y, v, para este caso:
e0= 10 m, leído en la gráfica.
punto de corte con el eje vertical.
para saber el valor de la velocidad se halla la pendiente de la recta. Para ello se toman sobre la gráfica dos puntos de lectura fácil y se determina la pendiente de la siguiente manera:
20 10
6 '67
1'5
0
m
m
v
s
s
ecuaciones particulares para este movimiento:
valor de, s, cuando, t= 5’4 s:
e(t= 5’4)= 10 + 6’7. 5’4= 46’2 m
v= cte.
e= e0 + v t
v= 6’7 e= 10 + 6’7 t
10 ) 20 ) 30 ) 40 )
1 2 3 e (m)
t (s) 10 ) 20 ) 30 ) 40 )
1 2 3 e (m)
El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuación siguiente: e= -12 + 5 t. Indicar el tipo de movimiento del cuerpo y haz un esquema de su trayectoria.
¿Qué aspecto tendrán las gráficas, e-t, y, v-t?. ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el origen?.
el cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme, m.r.u., ya que la ecuación, e(t), es del tipo, e= e0 + v t, siendo los valores de las constantes, para este caso:
e0= -12 m el signo menos se debe a que inicialmente se encuentra situado a la izquierda del origen.
v= 5 m/s el signo positivo nos indica que se mueve hacia la derecha.
m
gráficas:
cuando pase por el origen se cumplirá: e= 0, luego : 0= -12 + 5 t t122 ' 4 s 5
Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de los puntos considerados. ¿A qué distancia del origen se encuentran?
para el punto A: e0= -10 m; v= -3 m/s, luego, eA = -10 – 3 t
para el punto B: e0= 30 m; v= -7 m/s, luego, eB= 30 – 7 t
cuando se encuentren, ambos estarán situados a la misma distancia del origen. Es decir, eA= eB. Igualando por tanto ambas
expresiones:
-10-3t= 30-7t 4t= 40 t= 10 s, tiempo que tardan en encontrarse
para saber a qué distancia del origen se encuentran, sustituimos el valor obtenido para el tiempo en cualquiera de las ecuaciones:
eA= -10 – 3 .10= -40 m. 40 m, a la izquierda.
12 m 5 m/s
7 m 2 m 3 m t=1 t=2 t=3 t = 0
e (m)
t (s)
-
122’4 v (m/s)
t (s) 5
7 m/s
e(m)
t (s) Gráfica
Encuentro
10 s
-
40 m10 m 30 m
3 m/s
Circular
Se caracteriza porque la aceleración centrípeta es no nula y constante. La dirección del vector velocidad cambia constantemente de la misma forma, por lo que el movimiento sigue una trayectoria circular.
Curvilíneo
Se caracteriza porque la aceleración tangencial del móvil es nula. Su celeridad no varía, es decir, el módulo del vector velocidad es constante y la aceleración centrípeta es no nula y no es constante. Dependiendo de cómo sea su aceleración centrípeta se tienen los siguientes tipos de movimientos:
Parabólico
Elíptico
Variado
Se caracteriza porque la aceleración tangencial del móvil no es nula. El móvil del vector velocidad del móvil aumenta ó disminuye.
Uniformemente variado
Se caracteriza porque la aceleración tangencial del móvil es no nula y constante. El módulo de su vector velocidad aumenta ó disminuye de forma constante.
Rectilíneo
Se caracteriza porque la aceleración centrípeta es nula. No hay cambios en la dirección del vector velocidad, por lo que el movimiento sigue una trayectoria rectilínea.
Movimiento de un cuerpo cuyo vector aceleración, a, carece de componente normal, an= 0,
y su componente tangencial, at= cte, en el tiempo en módulo, dirección, y sentido. Ello
significa que móvil incrementa su velocidad en cantidades iguales en intervalos temporales iguales sobre una trayectoria rectilínea. La expresión matemática de este movimiento es
a= at + an= at=
dv
dt
.ut= cteDado que la trayectoria es rectilínea se puede prescindir del tratamiento vectorial en el estudio de este movimiento, pues es suficiente con saber la distancia del cuerpo al origen del sistema de referencia para fijar su posición.
Para fijar la posición de un punto que se mueve se utiliza un vector, llamado vector de posición, que tiene el origen en el origen de espacios y su extremo coincide con la posición del punto.
Trabajando únicamente con el módulo de la expresión anterior
dv
a
dt
de donde dv= a.dt
integrando esta expresión con las condiciones iniciales, v= v0, para, t= t0
1
r
2
r
El vector de posición varía cuando el punto se mueve
1
2 r
r
r
0 0 0
.
.
v t t
v
dv
ta dt
a
tdt
0 0
.
v t
v t
v
a t
v – v0= a.(t – t0) de donde
v= v0 + a.(t – t0)
ecuación que se reduce si se considera que en el instante inicial, t0= 0, a v – v0= a.t
de donde v= v0 + a.t
La ecuación que permite conocer la distancia que separa al móvil del sistema de referencia ó espacio recorrido en su movimiento por el punto material es
ds= v.dt
integrando esta expresión con las condiciones iniciales, s= s0, para, t= t0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
. v +a. t – t . ( ). . . ( ).
s t t t t t t
s ds t v dt t dt t v dt t a tt dt v t dta t tt dt
integrando
0 0 0
2 0
1
.
.
2
ts t
s t t
s
v
t
a t
s – s0= v0.(t – t0) +
1
2
.a.(t2 – t02)
si se considera que el instante inicial, t0= 0, resulta
s – s0= v0.t +
1
2
.a.t2
Se puede eliminar la variable, t, entre las dos ecuaciones obtenidas, la de la velocidad del móvil, y la de la posición en que se encuentra, obteniéndose así una expresión que relaciona la velocidad del móvil su aceleración y el espacio recorrido por el punto material
.
.
dv
dv ds
dv
a
v
dt
ds dt
ds
de ésta última se escribe v.dv= a.ds
0 0 0
.
.
.
v s s
v
v dv
sa ds a
sds
0 02
1
.
.
2
v s
s v
v
a s
1
2
.(v2
– v02)= a.(s – s0)
de donde
v2 – v02= 2.a.(s – s0)
ecuación que se reduce en el caso de que la velocidad inicial fuese nula, v0= 0, y que la distancia inicial del cuerpo al sistema de referencia también lo fuese, s0= 0
v2= 2.a.s
Dado que el movimiento tiene lugar sobre una línea recta, se puede suprimir la notación vectorial de la aceleración y de la velocidad. Como la variación en la rapidez ó módulo de la velocidad en tiempos iguales es siempre la misma y la aceleración indica la variación de la velocidad en la unidad de tiempo. Se escribe
a= 0
0
v
v
t
t
si el instante inicial, t0= 0, entonces la expresión anterior se reduce a
a=
v
v
0t
la velocidad del móvil en este movimiento viene dada por la expresión v= v0 + a.t
El espacio recorrido por el móvil es igual al que recorrería dicho móvil si su velocidad fuese constante e igual a la velocidad media aritmética de sus velocidades inicial, v0, y final, v= v0 + a.t, siendo ésta
vm= 0 0
(
0. )
2
0 01
.
2
2
2
2
v
v
v
v
a t
v
at
v
a t
entonces el espacio recorrido por el móvil, dado que se movería con velocidad constante, vm, es
e= vm.t= 0
1
. .
0.
1
.
22
2
v
a t t
v t
a t
En general se pueden hacer consideraciones con los signos de los sumandos de esta expresión, e incluso añadirle otro sumando que tenga en cuenta la posición inicial, e0, del móvil con respecto al sistema de referencia.
2
0 0
1
.
.
e distancia del cuerpo al origen del sistema de referencia en el instante, t s. Puede que no coincida con el espacio recorrido por el móvil
e0 distancia inicial del cuerpo al origen del sistema de referencia cuando, t= 0 s, instante en que empieza a contarse el tiempo y que coincide con el instante en que se inicial el movimiento objeto de estudio.
+ cuando el móvil se encuentra en la posición inicial a la derecha del sistema de referencia.
- cuando el móvil se encuentra en la posición inicial a la izquierda del sistema de referencia
v0 velocidad inicial del cuerpo al iniciarse el estudio del movimiento para, t= 0 s. + cuando el móvil se mueve inicialmente hacia la derecha del sistema de referencia.
- cuando el móvil se mueve inicialmente hacia la izquierda del sistema de referencia
a aceleración del movimiento del móvil.
+ cuando la aceleración del móvil apunta hacia la derecha del sistema de referencia. Apunta en el mismo sentido en que se mueve el móvil.
- cuando la aceleración del móvil apunta hacia la izquierda del sistema de referencia. Apunta en sentido contrario al que se mueve el móvil.
De las dos ecuaciones anteriores se puede obtener otra que ligue la velocidad inicial y la velocidad final del móvil con la distancia que separa al cuerpo del sistema de referencia elegido. De la ecuación de la velocidad de este movimiento se tiene
v - v0= a.t
multiplicando por la aceleración, a, del movimiento del cuerpo los dos miembros de la expresión de la distancia del cuerpo al sistema de referencia elegido
e.a= v0.t.a +
1
2
.a2 .t2
eliminando el denominador de esta expresión 2.e.a= 2.v0.t.a + a2.t2= 2.v0.t.a + (a.t)2
sustituyendo en el primer sumando el factor, a.t, que se tiene despejado en la primera ecuación de la velocidad del móvil
2.e.a= 2.v0.(v-v0) + (v-v0)
2
= 2.v0..v– 2.v0 2
+ (v2 + v0 2
- 2.v.v0)=
2.v0..v – 2.v0 2
+ v2 + v02 - 2.v.v0= -v02+v2 de donde despejando, v, se tiene
2 0
2. .
v
v
e a
Gráficas
e-t
Para hallar la rapidez ó velocidad en un punto de la gráfica se traza la recta tangente a la gráfica en ese punto y se determina su pendiente. La velocidad inicial, v0, vendrá dada por la pendiente de la tangente en, t= 0.
La inclinación ó pendiente de la misma da la rapidez con la que se mueve el cuerpo. Es positiva si la parábola se abre hacia arriba y negativa si lo hace hacia abajo.
La aceleración es positiva si la gráfica se abre hacia arriba y es negativa si se abre hacia abajo. Cuanto más cerrada es la parábola mayor es la aceleración con la que se mueve el cuerpo.
El punto de corte con el eje vertical es, (0, e0). Este punto representa la posición inicial del cuerpo ó posición, e0, que ocupa el cuerpo cuando, t =0.
v-t
Tomando en un sistema de ejes rectangulares como eje de abscisas los tiempos y como eje de ordenadas la velocidad del móvil, se
obtiene como gráfica una línea recta la cual forma con el eje de abscisas un ángulo, cuya tangente coincide en número con la aceleración de dicho móvil. De esta gráfica se obtiene la siguiente información:
La inclinación ó pendiente de la misma da la aceleración tangencial con la que se mueve el cuerpo. Si la pendiente es positiva el movimiento es acelerado y si la pendiente es negativa el movimiento es decelerado.
El punto de corte con el eje vertical es, (0, v0). Este punto representa la rapidez inicial del cuerpo ó velocidad, v0, que tiene el cuerpo cuando, t =0.
El área comprendida entre la línea de la gráfica, v-t, y los ejes ordenados, representa la distancia recorrida por el móvil en su recorrido.
Vertical ó de caída libre
Un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado típico es el de caída libre, el cual se caracteriza porque el movimiento del cuerpo se ve sometido a la aceleración de la gravedad, a= g= 9’81 m/s2, dirigida hacia abajo, siendo la trayectoria del cuerpo una línea recta vertical.
g= -9’81 m/s2 Ecuaciones: v= v0 – g.t
y= y0 v0.t - ½.g.t 2 v0
y altura en el instante, t y0 y0 altura inicial
v0 velocidad inicial
suelo v velocidad en el instante, t
Para calcular la aceleración del movimiento, hay que calcular la pendiente de la recta
e
t
a1 a2
a2 > a1
v2 v1 t
t
v
a
∆ v= v2 – v1
Un cuerpo parte del reposo y comienza a moverse. Los datos tomados se recogen en la tabla adjunta. Indicar qué tipo de movimiento tiene y determinar las ecuaciones para el mismo.
como se observa en la tabla adjunta el espacio recorrido no varía linealmente con el tiempo. Esto es: en el intervalo de un segundo recorre cada vez más espacio. Esto indica que su velocidad va aumentando. Si se trata de un movimiento uniformemente acelerado el aumento de velocidad, ó lo que es lo mismo, su aceleración, será constante .
si el movimiento es uniformemente acelerado deberá cumplir la ecuación:
e= e0 + v0 t +
1
2
a.t2
como en este caso, v0= 0, la ecuación quedará:
e= e0 +
1
2
a.t2
despejando la aceleración, a :
1
2
a.t2
= e – e0 a= 2 0
2.(
e
e
)
t
usando la ecuación anterior vamos probando con datos correspondientes de, t, y, s, comprobamos si el valor de, a, es constante:
2 13 10 m2 2 m2
a 6
1 s s ;
2 22 10 m2 2 m2
a 6
2 s s ;
2 37 10 m2 2 m2
a 6
3 s s
por lo tanto estamos ante un movimiento uniformemente acelerado con aceleración, a6 m2 s
para obtener las ecuaciones determinamos el valor de, v0,y, e0:
v0= 0, ya que nos lo dicen en el enunciado
e0= 10 m, ya que es el valor de s cuando, t= 0 se ve en la tabla.
Ecuaciones:
t( s) e ( m)
0 10
1 13
2 22
3 37
4 58
5 85
Escribir las ecuaciones que describen el movimiento del punto de la figura
100 m
ecuaciones generales para el movimiento:
se toma como origen de distancias la línea vertical. sentido positivo hacia la derecha.
determinación de e0: ¿A qué distancia del origen está el punto cuando, t= 0?. e0= 100 m
determinación de v0: ¿Cuál es la velocidad del punto cuando, t= 0?. v0= 20 m/s
determinación de la aceleración: a= -5 m/s2 el signo menos indica que apunta hacia la izquierda.
ecuaciones particulares para este movimiento:
una vez escritas las ecuaciones se pueden resolver prácticamente todas las cuestiones que se quieran plantear. Solamente hay que traducir de nuestro lenguaje al lenguaje de la ecuación que solamente sabe de valores de, e, v, ó, t.
¿Cuánto tarda en frenar el punto del ejemplo anterior?.
traducción al lenguaje ecuación: ¿Qué valor toma, t, cuando, v= 0?
si, v= 0 ; 0= 20 – 5 t ; t 204 s 5
¿Cuál es su velocidad al cabo de, 5’3 s?
traducción al lenguaje ecuación: ¿Qué valor toma v cuando, t= 5’3 s?
si, t= 5’3 s ; v= 20 – 5 . 5’3= -6’5 m/s el signo menos indica que se desplaza hacia la izquierda. Después de frenar ha dado la vuelta.
a = 5 m/s2 v= 20 m/s t= 0
v= v0 + a t
e= e0 + v0 t + ½ a t 2
v= 20 - 5 t
Una piedra es lanzada verticalmente y hacia arriba con una velocidad de, 15 m/s. Determinar: Ecuaciones del movimiento.
Altura máxima alcanzada.
Valor de la velocidad cuando, t= 0’8 s, y, t= 2’3 s. esquema:
origen: el suelo que es el punto de lanzamiento. sentido positivo: hacia arriba
determinación de, v0: ¿Cuál es la velocidad cuando, t= 0 s? El tiempo empieza a
contar cuando la piedra sale de la mano. Luego, v0= 15 m/s
determinación de, y0: ¿A qué distancia del origen está la piedra cuando, t= 0?
cuando se lanza la piedra está en el punto de lanzamiento u origen. Luego, e0 = 0
determinación del valor de a: a= g= -10 m/s2. El signo menos se debe a que la aceleración apunta hacia abajo y hemos considerado sentido positivo hacia arriba.
ecuaciones:
¿cuál es la altura máxima alcanzada?
traducción al lenguaje ecuación: ¿Para que valor de, t, v= 0? ya que en el punto de altura máxima la piedra se detiene durante un instante.
si, v= 0; 0= 15 – 10 t ; t151' 5 s
10 . Tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima
para hallar la altura máxima alcanzada se calcula la distancia a la que se encuentra del origen cuando, t= 1’5 s:
y= ymax= 15 . 1’5 – 5 . 1’5 2
= 11’25 m.
valores de la velocidad: v(t= 0,8)= 15 – 10 . 0’8= 7 m/s
v(t = 2,3)= 15 – 10 . 2’3= - 8 m/s
como se observa al cabo de, 0’8 s, del lanzamiento la piedra aún está en la fase ascendente, ya que el signo de la velocidad es positivo. Su velocidad va disminuyendo, debido a que durante el tramo de ascenso la aceleración lleva sentido contrario a la velocidad y el movimiento es decelerado.
al cabo de, 2’3 s, la piedra se mueve hacia abajo. El signo es negativo: sentido hacia abajo. Efectivamente, a los, 1’5 s, alcanza la altura máxima y como la aceleración continúa actuando, comienza su carrera de descenso, pero esta vez al tener el mismo sentido la aceleración y la velocidad, ésta aumenta.
v= 15 – 10 t y= 15 t – 5 t 2
m2
g 10 s
m
La gráfica de la derecha se ha obtenido tras estudiar el movimiento de un cuerpo. ¿Qué tipo de movimiento tiene?
¿Cuáles son sus ecuaciones? ¿Qué sucede para, t= 5 s?
La gráfica, v–t, es una recta con pendiente negativa. Esto indica que la velocidad disminuye con el tiempo pero de forma lineal, la misma cantidad en, 1 s. El movimiento es uniformemente acelerado con aceleración negativa ó decelerado. Para calcular la aceleración ó deceleración se calcula la pendiente de la recta en la gráfica, v–t:
pendiente=
2 1
2 2 1
m 0 40
v v s m
a 8
t t 5 0 s s .
los valores tomados: t1= 0; v1= 40 ; t2= 5; v2= 0
como no dan datos, se puede tomar para, e0, cualquier valor. Se toma, e0= 0
v0= 40 m/s dato de la gráfica
a= -8 m/s2
ecuaciones:
en la gráfica, v-t, se puede leer que cuando, t= 5 s, v= 0. Luego al cabo de, 5 s, se detiene por ser un movimiento decelerado. Si, t, es mayor de, 5 s, se observa que la línea en la gráfica, v–t, rebasa el eje horizontal empezando la velocidad, valores del eje Y, a tomar valores negativos ¿cómo se interpreta ésto?.
v (m/s)
t (s) 5
40
Circular
Se caracteriza porque la aceleración centrípeta es no nula y constante. La dirección del vector velocidad cambia constantemente de la misma forma, por lo que el movimiento sigue una trayectoria circular.
En el movimiento circular uniforme la trayectoria es una circunferencia que es recorrida con rapidez constante. Aunque el módulo del vector velocidad, v, no varíe, sí lo hace su dirección lo que permite deducir:
at=
dv
dt
= 0la componente tangencial de la aceleración es nula, ya que se relacionada con los cambios en el módulo del vector velocidad, v, del móvil.
an 0
la componente normal de la aceleración no es nula, ya que se relacionada con los cambios en la dirección del vector velocidad, v, del móvil, y esta dirección cambia continuamente y a ritmo constante. El movimiento circular uniforme tiene aceleración normal o centrípeta que apunta constantemente en la dirección del centro de la trayectoria.
Otra forma de especificar este movimiento es diciendo que se corresponde con el de un móvil en el que su velocidad angular se mantiene constante a lo largo de una trayectoria circular, siendo su aceleración angular es nula al no haber cambios en la velocidad angular del móvil. Se verifica:
=
d
dt
= cte
separando las variables d= .dt
e integrando la expresión con las condiciones iniciales, = 0, para, t= t0
0 0 0
0 0
.
.
.(
)
t t
t t
d
dt
dt
t
t
Si el instante inicial es tal que, t0= 0, la expresión anterior se reduce a
0
.
t
de la cual se deduce
0
.
t
Este movimiento tiene un carácter periódico, pues el valor de sus variables se repiten a intervalos iguales de tiempo, llamado período. El período es también el tiempo necesario para que el móvil efectúe una revolución completa, es decir, que haya girado un ángulo de, 2 rad.
s
r
de dondeT=
2
0
expresión que se reduce si, 0= 0, a
T=
2
Se define la frecuencia como la inversa del período, la cual representa el número de vueltas o revoluciones que describe el móvil en la unidad de tiempo.
= T-1=
0
1
2
T
expresión que se reduce si, 0= 0, a
= T-1=
1
2
T
s-1 Hz ciclo/s
Si se considera un punto girando en una circunferencia es fácil concluir que es mucho más sencillo medir el ángulo girado en un intervalo de tiempo que el arco recorrido ó espacio. Por ello se define la velocidad angular, , como la rapidez con que se describe el ángulo,
, medido en radianes
= 2 1
2 1
rad
t
t
t
t
s
ángulo que se mide en radianes. La unidad de ángulos en el movimiento circular es el radián, que es aquel ángulo al que le corresponde un arco cuya longitud es igual a la del radio con que ha sido trazado
r= s
otras unidades muy utilizadas para la velocidad angular aunque ninguna de ellas pertenezca al sistema internacional de medidas, S.I son:
r.p.m. revoluciones por minuto
vueltas/s
Un ángulo medido en radianes expresa la razón constante que hay entre cualquiera de sus arcos correspondientes y el radio respectivo,verificándose:
= 1 1 2 2
1 2
...
longitud arco
A B
A B
arco
s
radio
r
r
R
r
d
de ésta expresión se deduce la relación que hay entre la velocidad lineal y la velocidad angular del cuerpo
v=
s
.
r
.
r
.
r
t
t
t
El movimiento circular uniforme es un movimiento periódico, ya que sus magnitudes se repiten a intervalos regulares de tiempo. Se define:
Periodo, T
Tiempo que el punto tarda en dar una vuelta completa. Su unidad es el segundo, s.
Frecuencia,
Número de vueltas completas que el móvil da en un segundo. Su unidad es el segundo, s-1, ó hertzios, Hz.
Ambas magnitudes, periodo y frecuencia, son inversamente proporcionales:
1
T
1
T
verificándose T.= 1
De la definición de velocidad angular
2 1
2 1
t
t
se deduce la relación entre la velocidad angular, , y el ángulo girado, :
2 - 1= .(t2 - t1) si se considera que:
En el instante, t1:
Es el instante inicial en que comienza el estudio del movimiento circular. t1= t0= 0
Que en ese instante la posición del cuerpo que viene dada por el ángulo que su radio vector forma con la semirrecta origen de ángulos, es
1= 0
En el instante, t2:
Es un instante genérico, t, en el que el la posición del cuerpo viene dado por el ángulo que su radio vector forma con la semirrecta origen de ángulos, siendo éste, 2= .
se escribe
- 0= .(t - t0)= .(t - 0)= .t
= 0 + .t
Teniendo en cuenta la definición de período, frecuencia y velocidad angular, se escribe
2 1
2 . 2
T T
En el movimiento circular uniforme el móvil además de la velocidad angular con la que gira recorriendo la trayectoria, posee una velocidad lineal, que es la rapidez con la que describe el arco de circunferencia que da forma a la trayectoria.
Un punto móvil que recorre un arco, AP, en, t, segundos con rapidez constante tiene una celeridad dada por la razón entre la longitud de dicho arco, AP, y el tiempo, t, empleado en ello
v= arcodAP t
Esta celeridad ó velocidad lineal, v, es el módulo del vector velocidad, v, que define el movimiento del punto, P, sobre la trayectoria. El vector velocidad, v, tiene por:
Origen el punto, P.
Dirección la de la tangente a la trayectoria en el punto, P.
Sentido es el del movimiento.
Módulo el valor numérico, v, obtenido de la expresión anterior. Dos cosas pueden variar en el vector velocidad, v:
Su valor numérico, rapidez, celeridad ó módulo
Esta variación da lugar a la aceleración tangencial, at.
El movimiento circular uniforme no tiene aceleración tangencial por ser uniforme o tener rapidez constante.
Su dirección
Esta variación da lugar a la aceleración normal, radial ó centrípeta, an.
El movimiento circular uniforme tiene aceleración radial por ser circular, ya que la dirección del vector velocidad está cambiando constantemente
La aceleración centrípeta o radial numéricamente indica la variación de la dirección de la velocidad en la unidad de tiempo. Es una magnitud vectorial, representada por un vector que en un punto cualquiera de la trayectoria tiene por:
Origen dicho punto de la trayectoria.
Módulo dado por la expresión
2 2 2 2
2
( ) .
.
. r
r
a r
r r r
v r
Dirección la del radio de la trayectoria ó circunferencia
Sentido hacia el centro del radio de la trayectoria ó circunferencia
Curvilíneo
Se caracteriza porque la aceleración centrípeta es no nula y no es constante. Dentro de estos movimientos y entre otros están:
Parabólico
Elíptico
No uniformemente variado
Se caracteriza porque la aceleración tangencial del móvil es no nula y no constante. El módulo de su vector velocidad aumenta ó disminuye de forma no constante.
Rectilíneo
Se caracteriza porque la aceleración centrípeta es nula. No hay cambios en la dirección del vector velocidad, por lo que el movimiento sigue una trayectoria rectilínea.
Circular
Se caracteriza porque la aceleración centrípeta es no nula y constante. La dirección del vector velocidad cambia constantemente de la misma forma, por lo que el movimiento sigue una trayectoria circular.
Curvilíneo
Se caracteriza porque la aceleración centrípeta es no nula y no es constante. Dentro de estos movimientos y entre otros están:
Parabólico
