1+cos x+ x sen x

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(1)

I.E.S. Juan Carlos I

Ciempozuelos (Madrid)

Matemáticas II

*

Análisis II: Derivadas y sus aplicaciones

*

1. Determina la función derivada de las siguientes funciones:

a)

f

(

x

)=−

3

x

3

+

7

x

2

2

f '(x)=−3·3x3−1+7·2x2−1+0=−9x2+14x

b)

f

(

x

)=

5

x

2

f '(x)=5·2x2−1=10x

c)

f

(

x

)=

1

x

2

f

(

x

)=

x

−2

f '

(

x

)=−

2

x

−2–1

=−

2

x

−3

=−

2

x

3

d)

f

(

x

)=

5

x(

x

1

)

Producto:f '(x)=(5x)'(x−1)+5x(x−1)'=5(x−1)+5x ·1=10x5 Polinomio:f(x)=5x2

−5xf '(x)=5·2x−5=10x5

e)

f

(

x

)=

x

x

+

1

f '(x)=x '(x+1)– x(x+1)' (x+1)2 =

1·(x+1)– x ·1

(x+1)2 =

1

(x+1)2

f)

f

(

x

)=

x

3

1

x−

1

f '(x)=(x

3

1)'(x –1)(x31)(x−1)'

x –1 =

3x2(x−1)(x3−1) (x−1)2 =

2x33x2+1

(x1)2

f '(x)=2x

3 3x2+1

(x−1)2 Factorizando=

(2x+1)(x−1)2 (x−1)2 =2x+1

f(x)=x

3

−1

x−1=

(x2

+x+1)(x−1)

x−1 =x

2

+x+1 → f '(x)=2x+1

g)

f

(

x

)=x

3

ln

x

f '

(

x

)=

3

x

2

ln

x

+

x

3

1

x

=

3

x

2

ln

x

+

x

2

=

x

2

(

1

+

3 ln

x

)=

x

2

(

1

+

ln

x

3

)

h)

f

(

x

)=

cos

x ·tg x

Producto:f '(x)=cos' x · tg x+cosx · tg ' x=−sen x · tg x+cosx ·1

cos2x=

=−sen

2 x

cos x+ 1 cosx=

1– sen2x

cos x=

cos2x

cosx=cosx

Simplificando:f(x)=cosx ·sen x

cosx=sen xf '(x)=sen' x=cosx

i)

f

(

x

)=

7

x

f(x)=x 1

7 f(x)=1

7x

1 7–1=1

7x

−67

= 1

7

7x6

j)

f

(

x

)=sen x· tg x

f '(x)=sen' x · tg x+sen x · tg ' x=cosx ·tg x+sen x ·(1+tg 2

x)= =cosx ·sen x

cosx+sen x(1+tg 2x

)=sen x+sen x(1+tg2x

)=sen x(2+tg2x

)

k)

f

(

x

)=x

2

arcos x

f '(x)=(x

2

)'arccosx+x2(arccosx)'= =2xarccosx+x2· −1

1– x2=2xarccosx – x2

1x2

l)

f

(

x

)=e

x

ln

x+

1

x

2

f '(x)=(ex

)'−(lnx)'+(x−2

)'=ex1 x–2x

−3

(2)

m)

f

(

x

)=

ln

x

x

2

f(x)=lnx · x−2

f '(x)=1

x· x −2

+lnx ·(−2x−3

)=1

x3

2 lnx x3 =

1lnx2 x3

n)

f

(

x

)=

e

x

+

3

x

3

ln

x

f '(x)=(e

x

+3x3)'lnx –(ex+3x3)(lnx)'

ln2x =

(ex+9x2)lnx –(ex+3x3)1

x

ln2x =

=x e

x

lnx+9x3lnxex−3x3 xln2x =

ex

(lnxx

1)+3x3

(lnx3

1)

xln2x

o)

f

(

x

)=

cos

x

x

+sen x

f '(x)=(cosx)'(x+sen x)cosx(x+sen x)' (x+sen x)2 =

sen x(x+sen x)cosx(1+cosx) (x+sen x)2 = =−x sen x – sen

2x –cosx –cos2x

(x+sen x)2 =

x sen x –cosx –1

(x+sen x)2 =−

1+cosx+x sen x

(x+sen x)2

p)

f

(

x

)=

cos

2

x

f '(x)=2(cosx)2−1·(cosx)'=2 cosx ·(−sen x)=−2sen xcosx=−sen(2x)

f(x)=1

2

[

cos(2x)+1

]

f '(x)= 1

2·2

[

sen(2x)

]

=−sen(2x)

q)

f

(

x

)=

4

x

5

f

(

x

)=

x

5

4

f '

(

x

)=

5

4

x

5 41

=

5

4

x

1 4

=

5

4

x

4

r)

f

(

x

)=(

2

x

3

x

2

)

2

R.de la cadena:f '(x)=2(2x3– x2)2–1·(2x3– x2)'=2(2x3– x2)(6x22x)= =24x58x412x4+4x3=24x520x4+4x3

Polinomio:f(x)=(2x3)22·2x3x2+(x2)2=4x64x5+x4 f '(x)=4·6x6−1

4·5x5–1+4x4−1

=24x520x4+4x3

s)

f

(

x

)=

x

+

x

x

2

+x

f '(x)=(x+

x)'(x

2+x)(x+

x)(x2+x)'

(x2+x)2 =

(1+ 1

2

x)(x

2+x)−(x+

x)(2x+1) (x2+x)2 =

=

x2+x+ x

2

2

x+ x

2

x–2x 2

2x

x – x –

x

(x2+x) =

x2+x+x

x

2 +

x

2 −2x

2

−2x

xx

x

(x2+x)2 =

= −x23

2x

x− 1 2

x

(x2+x)2 =− 2x2

+3x

x+

x 2(x2+x)2

t)

f

(

x

)=(e

x

+

x)

3

f '

(

x

)=

3

(

e

x

+

x

)

3−1

·

(

e

x

+

x

)

'

=

3

(

e

x

+

x

)

2

(

e

x

+

1

)=

3

(

e

2x

+

2

x e

x

+

x

2

)(

e

x

+

1

)=

=

3

e

3x

+

6

x e

2x

+

3

x

2

e

x

+

3

e

2x

+

6

x e

x

+

x

2

=

3

e

3x

+(

6

x

+

3

)

e

2x

+(

3

x

2

+

6

x

)

e

x

+

3

x

2

u)

f

(

x

)=

x

3

·

log

4

(

x

)

f '(x)=3x2log4x+x 3

· 1 xln 4=x

2

(

3log4x+

1 ln 4

)

=x

2

(

3 log4x+

lne

ln 4

)

=

=x2

(

log4x 3

+log4e

)

=x 2

log4(e x 3

)

v)

f

(

x

)=

6

x

1

+

3

x

f '(x)=ln 6·6

x(1+3x)6x·ln 3·3x

(1+3x)2 = 6xln 6

+6x3xln 66x3xln 3

(1+3x)2 =

=6

xln 6+18xln 618xln 3

(1+3x)2 =

6xln 6+18x(ln 6ln 3)

(1+3x)2 =

6xln 6+18xln 2

(3)

w)

f

(

x

)=

x

2

1

x

+

2

f '(x)=(x

2

1)'(x+2)(x21)(x+2)'

(x+2)2 =

2x(x+2)(x21)·1

(x+2)2 = =2x

2+4xx2+1

(x+2)2 =

x2+4x+1

(x+2)2 =

x2+4x+43

(x+2)2 =

(x+2)2−3

(x+2)2 =1

3

(x+2)2

x)

f

(

x

)=

ln

x

3

R.de la cadena:f '(x)=1

x3·(x 3

)'=1

x3·3x 2

=3

x

Logaritmo:f(x)=lnx3=3lnx f '(x)=3(lnx)'=3·1 x=

3 x

y)

f

(

x

)=

ln

3

x

f '

(

x

)=

3 ln

3–1

x ·

(

ln

x

)

'

=

3ln

2

x ·

1

x

=

3ln

2

x

x

z)

f

(

x

)=e

2x2−x f '

(x)=e2x2– x

·(2x2– x

)'=(4x –1)e2x2x

aa)

f

(

x

)=sen

x

f '

(

x

)=

sen '

x ·

(

x

)

'

=

cos

x ·

1

2

x

=

cos

x

2

x

ab)

f

(x

)=

sen x

f '(x)= 1

2

sen x· sen ' x= cosx 2

sen x

ac)

f

(x

)=sen(

cos

x)

f '(x)=sen '(cosx)·cos' x=cos(cosx)·(−sen x)=−sen xcos(cosx)

ad)

f

(x

)=

cos

(

sen x)

f '(x)=cos'(sen x)· sen ' x=−sen(sen x)·cosx=−cosx sen(sen x)

ae)

f

(x

)=

3

e

x

x

3 f(x)=

(

ex– x3

)

1 3

f '(x)=1

3

(

e

x – x3

)

2 3

·

(

ex–3x2

)

= e

x

3x2 3

3

(

ex– x3

)

2

af)

f

(x

)=arctg

x

f '(x)=arctg '

x ·(

x)'=1+(1

x)2·

1 2

x=

1 2(1+x)

x

ag)

f

(

x)=

ln

(

sen(

x

2

)

)

f '

(

x

)=

ln

'

(

sen x

2

)

· sen '

(

x

2

)

·

(

x

2

)

'

=

1

sen x

2

·

cos

x

2

·

2

x

=

2

x

tg x

2

ah)

f

(x

)=sen

(

ln

(

x

2

)

)

f '(x)=sen '(lnx2)·ln'(x2)·(x2)'=cos

(

lnx2

)

·x12·2x=

2cos

(

lnx2

)

x

ai)

f

(

x

)=sen

2

(

ln

x

)

f '(x)=2sen

2−1

(lnx)· sen'(lnx)·(lnx)'= =2sen

(

lnx

)

·cos

(

lnx

)

·1

xángulo= doble

sen(2 lnx)

x =

senlnx2

x

aj)

f

(x

)=

1

+

sen

2

x

f '(x)= 1

2

1+sen2x·2sen 2−1

x ·cosx=2sen xcosx

2

1+sen2x=

sen2x 2

1+sen2x

ak)

f

(

x)=e

√3x−2 f '(x)=e√3x –2·(

3x –2)' ·(3x –2)'=e√3x –2· 1

2

3x –2·3=

(4)

al)

f

(

x

)=

e

x

+e

x

2

f(x)=

1 2e x +1 2ex

f '(x)=1

2e

x

+1

2e

x·

(−1)=e

x

2

ex

2 =

ex– ex

2

am)

f

(x

)=

e

x

e

x

2

f(x)=1

2e

x

−1

2e

x

f '(x)=1

2e

x

−1

2e

x

·(−1)=e

x

2+

ex

2 =

ex+ex

2

La función: ex+e

x

2 se denomina 'coseno hiperbólico'→cosh(x) La función: exex

2 se denomina 'seno hiperbólico'→senh(x) Vemos que: senh' x=cosh x cosh' x=senh x

an)

f

(x

)=(

sen x)

lnx

Derivación logarítmica: ln

(

f(x)

)

=ln(sen x)lnx=lnx ·ln(sen x) →

[

ln

(

f(x)

)

]

'=

[

lnx ·ln(sen x)

]

'

1

f(x)· f '(x)=ln' x ·ln(sen x)+lnx ·ln'(sen x)· sen' x

f '(x)

f(x)=

1

ln(sen x)+lnx ·

1

sen x·cosx

f '(x) (sen x)lnx=

ln(sen x)

x +

lnx tg x f '(x)=(sen x)lnx

(

ln(sen x)

x +

lnx tg x

)

Exponencialpotencial:f '(x)=lnx(sen x)lnx−1(sen x)'+ln(sen x)(sen x)lnx(lnx)' f '(x)=lnx(sen x)

lnx

sen x cosx+ln(sen x)(sen x) lnx1

x=(sen x) lnx

(

ln(sen x)

x +

lnx tg x

)

ao)

f

(x

)=

3

2

x

3

+

1

+

2x

f(x)=

(

2x

3

+1

x2+2x

)

1

3 f '(x)=1

3

(

2x3+1

x2+2x

)

1 3–1

(

2x3+1

x2+2x

)

' f '(x)=1

3

(

2x3+1

x2+2x

)

−236x2(x2+2x)−(2x3+1) (x+2)

(x2+2x)2

f '(x)=1

3

(

2x3+1

x2+2x

)

−2

36x 4

+12x3−(2x4+4x3+x+2) (x2+2x)2

f '(x)=1

3

(

2x3

+1 x2

+2x

)

2

34x 4

+8x3

x2

(x2

+2x)2

ap)

f

(x

)=arcsen

x

2

+

1

f '(x)=arcsen'

x2

+1· 1

2

x2+1·(x 2

+1)'= 1

1

(

x2+1

)

2 · 1

2

x2+1·2x=

= 2x

2

1(x2+1)

x2+1= x

x2(x2+1)=

1

−(x2+1)=

i

1+x2

Aunque la función f(x) se puede derivar simbólicamente, se obtiene una función con valores imaginarios. Esto es así porque el

argumento dearcsen(x)nunca puede ser mayor que 1:

x2+11 x∈ℝ

aq)

f

(

x)=sen

x

ln

x

f '(x)=sen '

(

x

lnx

)

·

(

x

lnx

)

'=cos x

ln

x 'lnx – x ·ln' x

ln2x =cos

x

ln

1·lnx – x ·1 x

ln2x =

=lnx –1

ln2x cos x lnx

ar)

f

x

=

e

2x

COMPOSICIÓN f '(x)=2e

2x

as)

f

x

=

ln

x

2

COMPOSICIÓN f '(x)=

(5)

at)

f

x

=

7

x

7

f(x)=7(x−7)

−1

POTENCIA f '(x)=−1·7·(x−7)

−2

=− 7

(x−7)2

au)

f

x

=

x

x

2

1

COCIENTEf '(x)=

1·(x2−1)−x ·2x

(x2−1)2 =

−1−x2

(x2−1)2=−

x2+1

(x2−1)2

av)

f

x

=

ln

1

sen x

1

– sen x

f(x)=1 2ln

(

1+sen x 1−senx

)

=

1

2

(

ln(1+sen x)−ln(1−sen x)

)

f '(x)= cosx 2(1+sen x)+

cosx 2(1−sen x)=

cosx(1−sen x)+cosx(1+sen x)

2(1−sen2x) =

2cosx 2cos2x=

1 cosx

o también, directamente:

f '(x)= 1

1+sen x

1−senx

·

(

1+sen x 1−senx

)

'

= 1

1+sen x

1−senx

· 1

2

1+sen x

1−senx

·

(

1+sen x 1−senx

)

'

=

= 1

1+sen x

1−senx

· 1

2

1+sen x

1−senx

·cosx(1−sen x)−(1+sen x)(−cosx) (1−sen x)2 =

1−sen x 2(1+sen x)

2cosx (1−sen x)2=

cosx 1−sen2x=

cosx cos2x=

1 cosx

aw)

f

x

=

arcsen

tg x

3

f '(x)= 1

1−tg2x3(1+tg

2x3)3x2=3x2(1+tg2(x3))

1– tg2(x3)

ax)

f

x

=

cos

x

1

x

f '(x)=−sen

(

x+

1 x

)

·

(

1−

1 x2

)

=

1x2

x2 sen

(

x+

1

x

)

ay)

f

x

=

x

a

x

ln

(

f(x)

)

=x(lnx –lna)→

[

ln

(f

(x)

)

]

'= 1

f(x)f '(x)=

(

a x

)

x

f '(x)=lnx –lna+x1

x=lnx+1lna

f '(x)=(lnx

a+1)

(

x a

)

x

az)

f

x

=

x

xx

lnf=xxlnx1

ff '=(x

x)'lnx+xx1

x g(x)=xx→lng

=xlnx→1

gg'=lnx+x 1

xg '=(x

x

)'=g(lnx+1)=xx(lnx

+1)

1 ff '=x

x(lnx+1)lnx

+x

x

xf '=f

[

x

x(lnx+1)lnx

+x

x

x

]

f '(x)=x

xx

+x

(

1

x+lnx+ln

2x

)

ba)

f

x

=

x

x

f '(x)= 1 2

x+

(

1+

1 2

x

)

=

1+2

x

4

x2+x

x

bb)

f

x

=

arctg

1

x

f '(x)= 1 1+

(

1

x

)

2·

(

1 x2

)

=−

1 1+x2

bc)

f

x

=

3

x –

2

x

2

f(x)=

(

x−2 x+2

)

1

3f '(x)=1

3

(

x−2 x+2

)

32

·x+2−(x−2)

(x+2)2 =

4 3

3(x+2)4(x2)2

bd)

f

x

=

log

2

x

f(x)=12log2x=

1 2

lnx

ln 2→f '(x)= 1 2xln 2=

1

(6)

be)

f

x

=

2

x f(x)=e

ln 2· xf '(x)=ln 2·eln 2x=2xln 2

bf)

f

x

=

ln

1

e

x

f '(x)= 1 1+ex·e

x= ex

1+ex=

1 1+ex

bg)

f

x

=

sen

x

cos

x

f '(x)=cosxcosxsen x sen x=cos

2xsen2x=cos(2x)

O también : f(x)=1

2sen(2x)→f '(x)= 1

2cos(2x)·2=cos(2x)

bh)

f

(

x

)=

x

1

+

x

2

f(x)=(1+x2)

1 x

Derivación logarítmica: ln

(

f(x)

)

=ln(1+x2

)

1 x=1

ln(1+x 2

) →

[

ln

(

f(x)

)

]

'=

[

1

ln(1+x 2

)

]

'

1

f(x)· f '(x)=

[

1

x

]

' ·ln(1+x 2)+1

ln'(1+x

2)·(1+x2)' f '(x)

f(x)=−

1

x2·ln(1+x 2

)+1

1

1+x2·2x

f '(x) (1+x2) 1 x

= 2

1+x2−

ln(1+x2) x2

f '(x)=(1+x2

)

1

x

(

2 1+x2

ln(1+x2

)

x2

)

Exponencialpotencial:f '(x)=1

x(1+x 2

)

1

x−1(1+x2

)'+ln(1+x2)(1+x2)

1 x

(

1

x

)

' f '(x)=1

x

(1+x2) 1 x

1+x2 2x+ln(1+x 2

)(1+x2

)

1 x

(

−1

x2

)

=(1+x 2

)

1

x

(

2 1+x2

ln(1+x2

)

x2

)

2. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a)

f

x

=

x

2

1

x

2

1

Dominio: Dom(f)=ℝ Simetría: f(−x)=(−x)

2−1

(−x)2+1= x2−1

x2+1=f(x)→Función par.

Corte conejes:

{

- Eje x: f(x)=0→x2−1=0→ x1=−1 x2=1

- Eje y: y=f(0)→ y=−1

Asíntotas:

{

A. horizontal lim

x→±∞

x2−1

x2+1=1→ y=1

{

x→+∞ lim

x→+ ∞f

(x)−1=−0 Por debajo

x→−∞ lim

x→−∞

f(x)−1=−0 Por debajo

Crecimiento: f '(x)=2x(x

2+1)−2x(x2−1)

(x2+1)2 =

4x (x2+1)2→

{

f '

(x)>0 f(x) creciente x∈(0,∞) f '(x)<0 f(x) decreciente x∈(−∞,0) Extremos: f '(x)=0→x=0 Mínimo local en x=0 P(0,1)

Curvatura: f ' '(x)=4(x2+1)−2−16x2(x2+1)−3=4(1−3x2)

(x2+1)3 →

{

f ' '(x)>0 Cóncava x

(

1

3, 1

3

)

f ' '(x)<0 Convexa x

(

−∞,1

3

)

(

1

3,

)

Puntosde inflexión: f ' '(x)=0→x=±1

3 Puntos de inflexión en x

1

3 P1

(

1

3,1

2

)

P2

(

1

(7)

b)

f

x

=

x

3

Dominio: Dom(f)=

[

0,∞) Simetría: No presenta.

Corte conejes:

{

- Eje x: f(x)=0→

x3=0→ x=0 - Eje y: y=f(0)→ y=0

Asíntotas: {No presenta.

Crecimiento: f '(x)=3 2x

1 2=3

x

2 →

{

f '(x)>0 f(x) creciente x∈(0,∞)

Extremos: f '(x)=0→x=0 No es extremos puesto que no cambia crecimiento.

Curvatura: f ' '(x)= 3

4

x

{

f ' '(x)>0 Cóncava x∈(0,∞) Puntosde inflexión: ∄x:f ' '(x)=0 No presenta.

c)

f

(

x

)=

ln

(

x

2

+

1

)

f(x)=ln(x2+1) No es necesario el valor absoluto. El argumento es ≥1

Dominio: Dom(f)=ℝ

Simetría: f(−x)=ln((−x)2+1)=ln(x2+1)=f

(x)→Función par.

Corte conejes:

{

- Eje x: f(x)=0→1+x2=1→ x=0 - Eje y: y=f(0)→ y=0

Asíntotas: { No presenta

Crecimiento: f '(x)= 2x x2+1

{

f '(x)>0 f(x) creciente x∈(0,∞) f '(x)<0 f(x) decreciente x∈(−∞,0) Extremos: f '(x)=0→x=0 Mínimo local en x=0 P(0,0)

Curvatura: f ' '(x)=2(x

2

+1)−4x2 (x2+1)2 =

2−2x2 (x2+1)2→

{

f ' '(x)>0 Cóncava x∈(−1,1)

f ' '(x)<0 Convexa x∈(−∞,1)∪(1,∞)

Puntos de inflexión: f ' '(x)=0→x=±1 Puntos de inflexión en x1 P1(−1,ln 2) P2(1,ln 2)

d)

f

x

=

e

x

x

Dominio: Dom(f)=ℝ Simetría: f(−x)=ex

−(−x)=ex

+xf(x)≠−f(x)→No presenta.

Corte conejes:

{

- Eje x: f(x)=0→exx=0→ex=xex>xx∈ℝ No presenta - Eje y: y=f(0)→ y=1

Asíntotas:

{

A.Oblicua(ala izquierda) lim

x→−∞

f(x)

x =−1 limx→−∞

f(x)−(−x)=0→y=−x (por encima) Crecimiento: f '(x)=ex−1→

{

f '(x)>0 f(x) creciente x∈(0,∞) f '(x)<0 f(x) decreciente x∈(−∞,0) Extremos: f '(x)=0→x=0 Mínimo local en x=0 P(0,1)

Curvatura: f ' '(x)=ex

(8)

e)

f

x

=

x

x

1

Dominio: Dom(f)=ℝ −{1} Simetría: f(−x)= −x

x−1= x

x+1≠f(x)≠−f(x)→No presenta. Corteconejes:

{

- Eje x: f(x)=0→ x=0

- Eje y: y=f(0)→ y=0

Asíntotas:

{

A. horizontal lim

x→±∞

x

x−1=1→ y=1

{

x→+∞ lim

x→+ ∞f

(x)−1=+0 Por encima

x→−∞ lim

x→−∞

f(x)−1=−0 Por debajo

A. Vertical x=1

{

x→1

+ lim

x→1+f(x)=+∞

x→1- lim

x→1-f(x)=−∞

Crecimiento: f '(x)=x−1−x (x−1)2=

−1

(x−1)2→

{

f '(x)<0 f(x) decreciente xDom(f)

Extremos: ∄xDom(f):f '(x)=0→ No presenta.

Curvatura: f ' '(x)=2(x−1)−3

{

f ' '(x)>0 Cóncava x∈(1,∞) f ' '(x)<0 Convexa x∈(−∞,1) Puntos deinflexión: ∄xDom(f):f ' '(x)=0 No presenta

f)

f

x

=

x

1

3 Dominio: Dom(f)=ℝ

Simetría: f(−x)=(−x−1)3=−(x+1)3f(x)≠−f(x)→No presenta.

Corte conejes:

{

- Eje x: f(x)=0→(x−1)3=0→ x=1 - Eje y: y=f(0)→ y=−1

Asíntotas: {No presenta

Crecimiento: f '(x)=3(x−1)2

{

f '(x)>0 f(x) creciente x∈ℝ Extremos: No presenta.(siempre creciente)

(9)

g)

f

x

=

x

3

x

2

4

Dominio: Dom(f)=ℝ −{−2, 2} Simetría: f(−x)= (−x)

3

(−x)2−4= −x3

x2−4=−f(x)→Función impar.

Corte conejes:

{

- Eje x: f(x)=0→x3=0→ x=0 - Eje y: y=f(0)→ y=0

Asíntotas:

{

A. verticales

{

x=−2 limx→−2-f(x)=

−8

+0=−∞ limx→−2+f(x)=

−8

−0=+∞

x=2 lim

x→2-f(x)=

8

−0=−∞ limx→2+f(x)=

8

+0=+∞ (Compatible con simetría impar)

A. oblicua lim

x→±∞

x3

x3−4x=1 lim

x→±∞

x3

x2−4x=0→ y=x

{

x→+∞ lim

x→+∞

f(x)−x=+0 Por encima x→−∞ lim

x→−∞

f(x)−x=−0

Por debajo

Función impar

Crecimiento: f '(x)=3x

2(x2−4)−2x4

(x2−4)2 =

x2(x2−12)

(x2−4)2 →

{

f '(x)>0f(x) creciente x∈(−∞,2

3)∪(2

3,∞)

f '(x)<0f(x)decreciente x∈(−2

3,2)∪(−2,2)∪(2,2

3) Extremos: f '(x)=0→

{

x1=−2

3 Máximo local P1

(

2

3,3

3

)

(Pasa de creciente a decreciente) x2=0 Punto de inflexión P2(0,0)(Se mantiene decreciente antes y después) x3=2

3 Mínimo local P3(2

3, 3

3)(Pasa de cecreciente a creciente) Curvatura: f ' '(x)=(4x

3−24x)(x2−4)2−(4x5−48x3)(x2−4)

(x2−4)4 =

8x(x2+12)

(x2−4)3

{

f ' '(x)>0 Cóncava x∈(−2,0)∪(2,∞) f ' '(x)<0 Convexa x∈(−∞,2)∪(0,2)

(10)

h)

f

(

x

)=

x

2

2

x –

2

x

1

Dominio: Dom(f)=ℝ− {1} Simetría: f(−x)=(−x)

2−2(−x)−2

x−1 =

x2−2x+2

x+1 ≠f(x)≠−f(x)→No presenta simetría. Corte conejes:

{

- Eje x: f(x)=0→x2−2x−2=0→ x1=1

3 x2=1+

3

- Eje y: y=f(0)→ y=2

Asíntotas:

{

A. vertical

{

x=1 lim

x→1-f(x)=

−3

−0=+∞ limx→1+f(x)=

−3

+0=−∞

A. oblicua f(x)=x−1−3

x−1 →y=x1

{

x→+∞ lim

x→+ ∞

−3

x−1=−0 Por debajo x→−∞ lim

x→−∞

−3

x−1=+0 Por encima

Crecimiento: f '(x)=(2x−2)(x−1)−(x

2−2x−2)

(x−1)2 =

x2−2x+4

(x−1)2 →

{

f '(x)>0 f(x) creciente xDom(f)

Extremos: ∄xDom>(f):f '(x)=0 No presenta

Curvatura: f ' '(x)=(2x−2)(x−1)

2−2(x2−2x+4)(x−1)

(x−1)4 =

−6 (x−1)3→

{

f ' '(x)>0 Cóncava x∈(−∞,1) f ' '(x)<0 Convexa x∈(1,∞) Puntosde inflexión: ∄xDom(f):f ' '(x)=0→ No presenta.

i)

f

x

=

x

2

x –

3

f(x)=

{

3x2– x3 si x≤3

x33x2 si x>3

Dominio: Dom(f)=ℝ

Simetría: No presenta simetría.

Corteconejes:

{

- Eje x: f(x)=0→x2∣x−3∣=0→ x1=0 x2=3

- Eje y: y=f(0)→ y=0

Asíntotas: No presenta

Crecimiento: f '(x)=

{

6x−3x2 si x<3 3x2−6x si x>3

{

f '(x)>0 f(x) creciente x∈ (0,2)∪(3,∞) f '(x)<0 f(x) decreciente x∈(−∞,0)∪(2,3)

Extremos: f '(x)=0 x1=0 x2=2 Mínimo local en x =0 P1(0,0) Máximo local en x=2 P2(2,4) Curvatura: f ' '(x)=

{

6−6x si x<3

6x−6 si x>3→

{

f ' '(x)>0 Cóncava x∈(−∞,1)∪(3,∞) f ' '(x)<0 Convexa x∈(1,3)

(11)

j)

f

x

=

x

1

x

2

1

Dominio: Dom(f)=ℝ Simetría: f(−x)= −x+1

(−x)2+1= − x+1

x2+1f(x)≠−f(x)→No presenta.

Cortecon ejes:

{

- Eje x: f(x)=0→ x=−1 - Eje y: y=f(0)→ y=1

Asíntotas:

{

A. horizontales

{

lim

x→+∞

x+1

x2+1=1→ y=1

lim

x→−∞

x+1

x2+1=−1→ y=−1

{

x→+∞ limx→+∞f

(x)−1=+0 Por encima

x→−∞ lim

x→−∞

f(x)+1=+0 Por encima

Crecimiento: f '(x)=

x2+1−(x+1)·2x

2

x2+1

x2+1 =

1−x

(x2+1)32

{

f '(x)>0 f(x) creciente x∈(−∞,1) f '(x)<0 f(x) decreciente x∈(1,∞) Extremos: f '(x)=0→x=1 Máximo local en x =1 P(1,

2)

Curvatura: f ' '(x)=−(x

2+1) 3

2−(1−x)3x(x2+1) 1 2

(x2+1)3 =

2x2−3x−1

(x2+1) 5 2

{

f ' '(x)>0 Cóncava x

(

−∞,3

17

4

)

(

3+

17

4 ,

)

f ' '(x)<0 Convexa x

(

3

17

4 , 3+

17

4

)

Puntos deinflexión: f ' '(x)=0→x=3±

17

4 Puntos de inflexión:

(

3±

17 4 ,

7±

17 6

)

k)

f

x

=

e

x

– e

x

2

f(x)=senh(x)

Dominio: Dom(f)=ℝ Simetría: f(−x)=e

xe−(−x)

2 =

exex

2 =−f(x)→Función impar. Corte conejes:

{

- Eje x: f(x)=0→ ex=exx=0

- Eje y: y=f(0)→ y=0

Asíntotas: { No presenta

Crecimiento: f '(x)=e

x

+ex

2 →

{

f '(x)>0 f(x) creciente xExtremos: ∄x∈ℝ:f '(x)=0→ No presenta

Curvatura: f ' '(x)=e

xex

2 →

{

f ' 'f ' '((xx)>0)<0 Cóncava Convexa ∀∀xx<>00

(12)

l)

f

x

=

e

x

e

x

2

f(x)=cosh(x)

Dominio: Dom(f)=ℝ Simetría: f(−x)=e

x+e−(−x)

2 =

ex+ex

2 =f(x)→Función par. Corte conejes:

{

- Eje x: ∄x∈ℝ:f(x)=0→ No presenta

- Eje y: y=f(0)→ y=1

Asíntotas: { No presenta

Crecimiento: f '(x)=e

xex

2 →

{

f '

(x)>0 f(x) creciente x>0

f '(x)<0 f(x) decreciente x<0

Extremos: f '(x)=0→x=0 Mínimo local en x =0 P(0,1) Curvatura: f ' '(x)=e

x+ex

2 →

{

f ' '(x)>0 Cóncava x∈ℝ Puntosde inflexión: ∄x∈ℝ:f ' '(x)=0→ No presenta

m)

f

x

=

e

x

– e

x

e

x

e

xf(x)=tanh(x) Dominio: Dom(f)=ℝ

Simetría: f(−x)=e

xe−(−x)

ex+e−(−x)=

exex

ex+ex=−f(x)→Función impar.

Corte conejes:

{

- Eje x: f(x)=0→ ex=exx=0 - Eje y: y=f(0)→ y=0

Asíntotas:

{

A. horizontales

{

x→∞ lim

x→ ∞

f(x)=lim

x→∞

ex

ex=1 → y=1 lim x→∞

f(x)−1=−0∞ =−0 (Por debajo)

x→−∞ lim

x→−∞f

(x)=lim

x→∞

ex

ex =−1 → y=−1 limx

→∞f

(x)+1=+0∞ =+0 (Por encima)

Crecimiento: f '(x)=(e

x

+ex

)(ex

+ex

)−(ex

ex

)(ex

ex

) (ex

+ex

)2 =

4 (ex

+ex

)2→

{

f '(x)>0 f(x) creciente xExtremos: ∄x∈ℝ:f '(x)=0→ No presenta

Curvatura: f ' '(x)=−8(ex+ex)−3(exex)=−8 exex

(ex+ex)3→

{

f ' '(x)>0 Cóncava x<0

f ' '(x)<0 Convexa x>0

(13)

3. Escribe la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de las siguientes funciones

en el punto que se indica:

a)

a

(

x

)=

2

x

2

3

x en x

=−

1

a'(x)=4x –3→

{

x=−1

a(−1)=5

a'(−1)=−7 Tangente: y – a(−1)=a'(−1)[x−(−1)]

y –5=−7(x+1)

y=−7x2

Normal: y – a(−1)=− 1

a'(−1)[x−(−1)]

y –5=1

7(x+1)

y=x

7+ 36

7

b)

b

(

x

)=

2

x

2

en x

=

2

b '

(

x

)=−

4

x

3

{

x

=

2

b

(

2

)=

1

2

b'

(

2

)=−

1

2

Tangente:

y – b

(

2

)=

b'

(

2

)[

x

2

]

y –

1

2

=−

1

2

(

x

2

)

y

=−

x

2

+

3

2

Normal:

y – b

(

2

)=−

1

b'

(

2

)

[

x

2

]

y –

1

2

=

2

(

x

2

)

y

=

2

x

7

2

c)

c

(

x

)=

ln

x en x

=

1

c '(x)=1

x

{

x=1

c(1)=0

c'(1)=1 Tangente: y – c(1)=c '(1)[x−1]

y –0=1(x−1)

y=x1

Normal: y – c(1)=− 1

c'(1)[x−1]

y –0=−1(x−1)

y=−x+1

d)

d

(

x

)=

e

x –3

en x

=

2

d '(x)=ex –3

{

x=2

d(2)=e−1 d '(2)=e−1

Tangente: y – d(2)=d '(2)[x−2]

y –1 e=

1

e(x−2) y=x

e1 e

Normal: y – d(2)=− 1

d '(2)[x−2]

y –1

e=−e(x−2) y=−e x+2e+1

e

e)

e

(

x

)=

2

x

2

x

1

en x

=

3

e '(x)=2x(x−2) (x−1)2 →

{

x=3

e(3)=9

e '(3)=3

2 Tangente: y – e(3)=e '(3)[x−3]

y –9=3

2(x−3)

y=3

2x+ 9 2

Normal: y – e(3)=− 1

e'(3)[x−3]

y –9=−2

3(x−3)

y=−2

3x+11

f)

f

(

x

)=

ln 1

x

en x

=

1

f '(x)=−1

x

{

x=1

f(1)=0

f '(1)=−1 Tangente: y – f(1)=f '(1)[x−1]

y –0=−1(x−1)

y=−x+1

Normal: y – f (1)=− 1

f '(1)[x−1]

y –0=1(x−1)

Figure

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Referencias

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