Ejercicios resueltos y propuestos sobre transformada de Laplace desarrollados por el Profesor Yoel Monsalve

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Texto completo

(1)

Ejercicio. Obtenga la inversa de la siguiente Transformada de Laplace:

F(s) = 1

s(s+ 1)3

Soluci´on. La estrategia consiste en la descomposici´on en fracciones parciales:

F(s) = 1

s(s+ 1)3 = A

s + B s+ 1 +

C

(s+ 1)2 + D

(s+ 1)3

Para hallar el valor de los coeficientes, multiplicamos toda la ecuaci´on pors(s+ 1)3:

1 = A(s+ 1)3 + Bs(s+ 1)2 + Cs(s+ 1) + Ds ()

1 = A(s3+ 3s2+ 3s+ 1) + Bs(s2+ 2s+ 1) + Cs(s+ 1) + Ds

1 = (A+B)s3 + (3A+ 2B+C)s2 + (3A+B+C+D)s + A

de donde surge el sistema de ecuaciones:

   

  

A + B = 0

3A + 2B + C = 0

3A + B + C + D = 0

A = 1

Podemos aplicar una estrategia para simplificar el trabajo de resolver el sistema. En efecto, sustituyendo en la ecuaci´on(*)los valoress= 0 ys=1 (las ra´ıces del denominador deF(s)), se obtiene:

s= 0 1 = A A = 1

s=1 1 = −D D = 1

y reemplazando estos valores en el sistema de ecuaciones, obtenemos f´acilmente:

B = 1 , C = 1

As´ı:

F(s) = 1

s

1

s+ 1 1 (s+ 1)2

1 (s+ 1)3

y la inversa es:

f(t) = 1 e−t te−t t

2

2 e −t.

Ejercicio. Obtenga la inversa de la siguiente Transformada de Laplace:

F(s) = 1

(2)

Soluci´on. La estrategia consiste en la descomposici´on en fracciones parciales:

F(s) = 1

(s+ 2)(s2+ 2s+ 2) = A s+ 2 +

Bs+C s2+ 2s+ 2

luego:

1 = A(s2+ 2s+ 2) + (Bs+C)(s+ 2) () 1 = (A+B)s2 + (2A+ 2B+C)s + (2A+ 2C)

y formamos el sistema:

A + B = 0

2A + 2B + C = 0

2A + + 2C = 1

Sustituyendos=2 en (*)obtenemos:

A = 12

e introduciendo este valor en el sistema de ecuaciones, calculamos:

B = 12 , C = 0 Luego:

F(s) = 1 2

1

s+ 2 1 2

s s2+ 2s+ 2

= 1

2 1

s+ 2 1 2

s

(s+ 1)2+ 1

= 1

2 1

s+ 2 1 2

(s+ 1)1 (s+ 1)2+ 1

= 1

2 1

s+ 2 1 2

s+ 1 (s+ 1)2+ 1 +

1 2

1 (s+ 1)2+ 1

invirtiendo:

f(t) = 1 2e

2t 1

2e

−tcos(t) + 1

2e

−tsen(t).

Ejercicio. Obtenga la inversa de la siguiente Transformada de Laplace:

F(s) = s+ 4

s3+ 6s2+ 9s

Soluci´on. Primero que nada, advertimos la factorizaci´on del denominadors3 + 6s2 + 9s = s(s2+ 6s+ 9), luego aplicamos descomposici´on en fracciones parciales:

F(s) = s+ 4

s3+ 6s2+ 9s =

s+ 4

s(s2+ 6s+ 9) = A

s + B s+ 3 +

C

(3)

luego:

s+ 4 = A(s+ 3)2 + Bs(s+ 3) + Cs ()

s+ 4 = (A+B)s2 + (6A+ 3B+C)s + 9A

y formamos el sistema:

A + B = 0

6A + 3B + C = 1

9A + = 4

Sustituyendo los valores des= 0 ys=3 en(*), obtenemos:

A = 4

9 , C = 13

e introduciendo este valor en el sistema de ecuaciones, calculamos:

B = 4 9

Luego:

G(s) = 4/9

s

4/9

s+ 3 1/3 (s+ 3)2

e invirtiendo:

g(t) = 4

9

4 9e

3t 1

3t e 3t.

Ejercicio. Obtenga la inversa de la siguiente Transformada de Laplace:

F(s) = s−1

s4+ 10s2+ 9

Soluci´on. Primero que nada, advertimos la factorizaci´on, un poco truculenta, del denomi-nador:

s4+ 10s2+ 9 =¡s2+ 9¢¡s2+ 1¢ luego aplicamos la descomposici´on en fracciones parciales:

G(s) = s−1

s4+ 10s2+ 9 =

s−1

¡

s2+ 9¢¡s2+ 1¢ =

As+B s2+ 9 +

Cs+D s2+ 1

luego:

s−1 = (As+Bs2+ 1¢ + (Cs+Ds2+ 9¢ ()

s−1 = (A+C)s3 + (B+D)s2 + (A+ 9C)s + (B+ 9D) y formamos el sistema:

   

  

A + + C = 0

B + D = 0

A + 9C = 1

(4)

Al resolver se encuentra:

A = 1

8 , B = 18 C = 18 , D = 18

Por lo tanto:

G(s) = 1 8 ·

−s+ 1

s2+ 9 +

1 8 ·

s−1

s2+ 1

= 1

8

½

s

s2+ 9 +

1

s2+ 9 ¾

+ 1

8

½ s s2+ 1

1

s2+ 1 ¾

e invirtiendo:

g(t) = 1

8cos(3t) + 1

24sen(3t) + 1

8cos(t) 1

8sen(t).

Ejercicio. Resolver el problema de valor inicial:

x(3) + 5x00 + 8x0 + 4x = 8, x(0) = 1, x0(0) = 8, x00(0) =26.

Soluci´on. Aplicamos la Transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´on diferen-cial, teniendo en cuenta para ello que:

x(t) X(s)

x0(t) sX(s)−x(0) = sX(s)1

x00(t) s2X(s)−s x(0)−x0(0) = s2X(s)−s−8

x(3)(t) s3X(s)−s2x(0)−s x0(0)−x00(0) = s3X(s)−s28s+ 26 De este modo, queda:

L©x(3) + 5x00 + 8x0 + 4xª = L©8ª

¡

s3X(s)−s28s+ 26¢ + 5¡s2X(s)−s−8¢ + 8¡sX(s)1¢ + 4X(s) = 8

s ¡

s3+ 5s2+ 8s+ 4¢X(s) = s2+ 13s+ 22 +8

s

cuando aparecen fracciones en el lado derecho de la ecuaci´on, como aqu´ı,lo mejor es reducir a una sola fracci´on:

¡

s3+ 5s2+ 8s+ 4¢X(s) = s

3+ 13s2+ 22s+ 8 s

y entonces, por fin, despejamosX(s):

X(s) = s

3+ 13s2+ 22s+ 8 s¡s3+ 5s2+ 8s+ 4¢ =

s3+ 13s2+ 22s+ 8

s(s+ 1)(s+ 2)2

la descomposici´on en fracciones parciales es:

X(s) = A

s + B s+ 1 +

C s+ 2 +

D

(5)

donde, al calcular los coeficientes, ´estos son:

A= 2, B = 2, C=3, D= 4

As´ı:

X(s) = 2

s +

2

s+ 1 3

s+ 2 + 4 (s+ 2)2

e invirtiendo, finalmente:

x(t) = 2 + 2e−t 3e−2t + 4te−2t.

Ejercicio. Resolver el problema de valor inicial:

x00 + 2x0 + 3x = 12, x(0) = 4, x0(0) = 2

2 3 .

Soluci´on. Aplicamos la Transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´on diferen-cial, teniendo en cuenta para ello que:

x(t) X(s)

x0(t) sX(s)−x(0) = sX(s)4

x00(t) s2X(s)−s x(0)−x0(0) = s2X(s)4s−2

2 2

De este modo, queda:

L©x00 + 2x0 + 3xª = L©12ª

Ã

s2X(s)4s−2

2 2

!

+ 2¡sX(s)4¢ + 3X(s) = 12

s

¡

s2+ 2s+ 3¢X(s) = 4s + 2

2

3 + 8 +

12

s

y el lado derecho,simplementelo escribimos as´ı:

¡

s2+ 2s+ 3¢X(s) =

4s2+ Ã

22

3 + 8

! s+ 12

s

y entonces, despejamosX(s):

X(s) =

4s2+ Ã

22

3 + 8

! s+ 12

s(s2+ 2s+ 3)

Como el factor cuadr´aticos2+ 2s+ 3 es irreducible, la descomposici´on en fracciones parciales

es:

X(s) =

4s2+ Ã

22

3 + 8

! s+ 12

s(s2+ 2s+ 3) = A

s +

(6)

Al intentar calcular los coeficientes, se obtiene el sistema de ecuaciones:

   

  

A + B = 4

2A + + C = 232 + 8

3A + = 12

cuya soluci´on es:

A= 4, B = 0, C = 2

2 3 As´ı:

X(s) = 4

s +

22 3 1s

2+ 2s+ 3 = 4 s +

22 3

1 (s+ 1)2+ 2

e invirtiendo, finalmente obtenemos:

x(t) = 4 + 2 3e

−tsen(2t).

Ejercicio. Resolver el problema de valor inicial:

x00 + 6x0 + 13x = 713t, x(0) = 3, x0(0) =9.

Soluci´on. Aplicamos la Transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´on diferen-cial, teniendo en cuenta para ello que:

x(t) X(s)

x0(t) sX(s)−x(0) = sX(s)3

x00(t) s2X(s)−s x(0)−x0(0) = s2X(s)3s+ 9

De este modo, queda:

L©x00 + 6x0 + 13xª = L©713tª ¡

s2X(s)3s+ 9¢ + 6¡sX(s)3¢ + 13X(s) = 7

s−

13

s2 ¡

s2+ 6s+ 13¢X(s) = 3s + 9 + 7

s

13

s2 =

3s3+ 9s2+ 7s−13

s2

As´ı:

X(s) = 3s3+ 9s2+ 7s−13

s2(s2+ 6s+ 13)

La descomposici´on en fracciones parciales deX(s) es:

X(s) = A

s + B s2 +

Cs+D s2+ 6s+ 13

y al calcular los coeficientes, se obtiene:

(7)

As´ı:

X(s) = 1

s

1

s2 +

2s+ 4

s2+ 6s+ 13 =

1

s

1

s2 +

2(s+ 3)2 (s+ 3)2+ 4

= 1

s

1

s2 + 2·

s+ 3 (s+ 3)2+ 4

2 (s+ 3)2+ 4

e invirtiendo, finalmente obtenemos:

x(t) = 1 t + 2e−3tcos(3t) e−3tsen(2t).

Ejercicio. Resolver el problema de valor inicial:

x00 + 2x0 + 2x = 2 cos(t) 4 sen(t), x(0) = 6, x0(0) =10.

Soluci´on. Aplicamos la Transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´on diferen-cial, teniendo en cuenta para ello que:

x(t) X(s)

x0(t) sX(s)−x(0) = sX(s)6

x00(t) s2X(s)−s x(0)−x0(0) = s2X(s)6s+ 10

De este modo, queda:

L©x00 + 2x0 + 2xª = L©2 cos(t) 4 sen(t

¡

s2X(s)6s+ 10¢ + 2¡sX(s)6¢ + 2X(s) = 2s−4

s2+ 1 ¡

s2+ 2s+ 2¢X(s) = 6s + 2 + 2s−4

s2+ 1 =

6s3+ 2s2+ 8s2 s2+ 1

As´ı:

X(s) = 6s3+ 2s2+ 8s−2 (s2+ 1)(s2+ 2s+ 2)

La descomposici´on en fracciones parciales deX(s) es:

X(s) = As+B

s2+ 1 +

Cs+D s2+ 2s+ 2

de donde se obtiene el sistema:

   

  

A + + C = 6

2A + B + D = 2

2A + 2B + C = 8

2B + D = 2

y resolviendo:

(8)

As´ı:

X(s) = 2

s2+ 1 +

4s−2

s2+ 2s+ 2 =

2

s2+ 1 +

4(s+ 1)6 (s+ 1)2+ 1

= 2

s2+ 1 + 4·

s+ 1

(s+ 1)2+ 1 6·

1 (s+ 1)2+ 1

e invirtiendo, obtenemos finalmente:

x(t) = 2 cos(t) + 4e−tcos(t) 6e−tsen(t).

Ejercicio. Resolver el problema de valor inicial:

dx

dt + 4x = e

−t£1u(t1)¤, x(0) = 0

Soluci´on. Siendo que x(t)X(s), tenemos:

x0(t) xX(s)−x(0) = sX(s)

Por otra parte:

L

n

e−t£1−u(t−1)¤o = L

n

e−t e−tu(t−1)

o

= 1

s+ 1 e

−sL©e(t+1)ª

= 1

s+ 1 e

−sL©e1·e−tª = 1 s+ 1

e−1 s+ 1·e

−s

donde hemos usado el teorema de desplazamiento. As´ı, al transformar la ecuaci´on diferencial, quedar´ıa:

sX(s) + 4X(s) = 1

s+ 1

e−1 s+ 1·e

−s

(s+ 4)X(s) = 1

s+ 1

e−1 s+ 1·e

−s

X(s) = 1 (s+ 1)(s+ 4)

| {z }

e−s· e

1

(s+ 1)(s+ 4)

| {z }

(1) (2)

Ahora trabajando por partes:

(1) Como:

1

(s+ 1)(s+ 4) = 1/3

s+ 1 1/3

s+ 4 entonces:

1

(s+ 1)(s+ 4) 1 3

£

(9)

(2) Usando la descomposici´on en fracciones parciales de la parte (1), obtenemos:

e−1

(s+ 1)(s+ 4)

e−1

3

£

e−t−e−4t¤

por lo tanto, usando el teorema de desplazamiento:

e−s· e−1

(s+ 1)(s+ 4)

e−1

3

¡

e−(t1)−e−4(t1)¢u(t−1)

= e−1 3

£

e1−t−e44t¤u(t−1)

= 1

3

£

e−t−e34t¤u(t−1) As´ı, uniendo todo:

x(t) = 1 3

£

e−t−e−4t¤ 1

3

£

e−t−e34t¤u(t−1)

Ahora obtengamos la expresi´on para x(t) cuando 0≤t <1, y cuando t >1.

i) Si 0≤t <1, entonces u(t−1) = 0, por lo que:

x(t) = 1 3

£

e−t−e−4t¤

ii) Si t >1, entonces u(t−1) = 1, por lo que:

x(t) = 1 3

£

e−t−e−4t¤ 1

3

£

e−t−e34t¤

= 1

3(e

31)e4t

De este modo:

x(t) =

   

  

1 3

£

e−t−e−4t¤, 0≤t <1 1

3(e

(10)

Ejercicios propuestos

1. Resolver el problema de valor inicial:

x(3) + 5x00 + 8x0 + 4x = 0, x(0) = 5, x0(0) =8, x00(0) = 15

Respuesta. x(t) = 3e−t + (2−t)e−2t.

2. Resolver el problema de valor inicial:

x(3) 3x0 2x = 0, x(0) = 3, x0(0) =1, x00(0) =8

Respuesta. x(t) = 7

9e

2t + µ

34

9 +

13t

3

e−t.

3. Resuelva la ecuaci´on sujeta a condici´on inicial:

x00 + 2x0 + 4x = 12, x(0) = 7 2, x

0(0) =1 2

Respuesta. x(t) = 3 + 1

2e

−tcos(3t).

4. Resolver el problema de valor inicial:

x0 + x = t£1−u(t−1)¤, x(0) = 1

Respuesta. x(t) =

(

t−1 + 2e−t, 0t <1

2e−t , t >1

5. Resolver el problema de valor inicial:

dx

dt + 3x = t + (2−t)u(t−2), x(0) = 1

Respuesta. x(t) =

   

  

t

3

1

9 +

10 9 e

3t, 0t <2

2

3 +

10−e6

9 e

(11)

6. Resuelva la ecuaci´on sujeta a condici´on inicial:

x00 + 4x = 2 u(t−π/4), x(0) = 1, x0(0) = 0

Respuesta. x(t) =

   

  

1

2 +

1

2 cos(2t) , 0≤t <

π

4 1

4 +

1

2 cos(2t) + 1

4 sen(2t), t >

π

Figure

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