MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I

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(1)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 1 ~

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS

CIENCIAS SOCIALES I

EJERCICIOS DE REPASO PENDIENTES

1

a

Evaluación (Unidades 1, 2, 3, 4 y 5)

Unidad 1.- NÚMEROS REALES

Operar con valores absolutos

Recuerda que el valor absoluto de un número a se define así:

≥ 

=  <

si 0

si 0

a a

a

a a

La jerarquía de operaciones con valores absolutos es la siguiente:

1.º Se opera lo que hay dentro del valor absoluto: 3−5 = −2 2.º Se aplica el valor absoluto: 3−5 = − =2 2

1. Opera con valores absolutos:

a) 1 6− c) 1+ −6 e) 1 6(− ) −[1 6(− )]

b) 1− 6 d) 1−6 f) 1 6(− ) −(1 6− )

Cuando lo que hay dentro del valor absoluto no es un número sino una expresión, la definición de

valor absoluto se rompe en dos partes, según la expresión sea positiva (o nula) o negativa. Fíjate

en el ejemplo:

− − ≥ ⇒ ≥

 − = 

− + − < ⇒ < 

2 si 2 0 si 2

2

2 si 2 0 si 2

x x x

x

x x x

2. Expande las siguientes expresiones, como en el ejemplo anterior:

a) x+5 b) 3

(2)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 2 ~ Intervalos y entornos

Dados dos intervalos de la recta real

(

a b,

)

y

(

c d,

)

:

La unión de

(

a b,

)

y

(

c d,

)

es el conjunto de la recta real formado por todos los números reales que pertenecen a alguno de los intervalos. Se denota por ,

(

a b

) (

c d,

)

.

La intersección de

(

a b,

)

y

(

c d,

)

es el conjunto de la recta real formado por todos los números reales que pertenecen a la vez a los dos intervalos. Se denota por ,

(

a b

) (

c d,

)

.

(

−3, 2

)

(

1, 5

]

= −

(

3, 5

)

(

−4, 1

] [

∪ − + ∞ = −2,

) [

2, 1

]

Se representan en la misma recta los dos intervalos, el conjunto unión está formado por la parte de la recta real que aparezca sombreada, ya sea de un color o de otro.

Se representan en la misma recta los dos intervalos, el conjunto intersección está formado por la parte de recta real sombreada por los dos colores.

3. Expresa como un único intervalo, representándolo en la recta real.

a) −∞   ∪ + ∞

   

4 1

, ,

3 3 b)

−∞   + ∞

   

   

4 1

, ,

3 3 c)

[

−2, 0

]

(

0, 3

)

d)

[

−2, 0

]

(

0, 3

)

Todo intervalo abierto o cerrado puede expresarse como un entorno. Fíjate en los pasos que se siguen para expresar en forma de entorno el intervalo

(

−3, 6

)

Buscamos el punto medio del intervalo como la semisuma de sus extremos. Este punto será el

centro del intervalo: = − +3 6 =3

2 2

a

1.º El radio es la distancia del centro a cualquiera de sus

extremos: =  = − = =

 

3 3 9 9

, 6 6

2 2 2 2

r d

2.º Por tanto

(

−3, 6

)

= 3 9,  2 2

E

4. Expresa en forma de entorno.

a)

[

−4, 10

]

b)

(

−3, 3

)

c) − 

 

3 12,

2 d)

 

 

5 13 ,

(3)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 3 ~ Operar con potencias

Recuerda las propiedades de las potencias

+

⋅ =

n m n m

a a a =

:

n m n m

a a a ( )an m =an m⋅ ( ⋅ )n = nn

a b a b ( : ) =n n : n

a b a b

=

0

1

a n 1

n a a= −   =          n n a b

b a =

n m n m

a a ( )

 − =  −  par impar n n n a n a a n

5. Expresa en forma de potencia, utilizando las propiedades de las potencias. Fíjate en el ejemplo −   + −                      ⋅   =   ⋅ = ⋅ = = =                                               3

3 2 8 2 2 8 6 2 8 6 2 8 0

4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2

: : : 1

9 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3

a) 3 2 1 8 16 − −    

  c)

3 2

2 1 1

25

5 125

− −     

    e)

− − −   ⋅ ⋅       ⋅     3 3 5 2 1 1 8 4 32 1 16 2

b)  

  3 2 2 27 9 d)

0 3 6

2

125 9 5

27 25 3

27 125 − −                         f) 1 3 2 4 2

5 25 1

2 4 25

2 4 5 − − −                  

6. Simplifica las siguientes expresiones, reduciendo primero las potencias de base negativa. Fíjate en el ejemplo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + − − ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = − − 2

5 2 5 2 5 5 4 5 5 8

5 5 8 9 9

3 3 3 3 9

2 32 16 2 32 16 2 2 2 2 2 2

2 2

8 2

8 2

a) ( ) ( )

( )

5 1 2

0

16 4 32

1 1 8 4 64 − − − −       b) ( ) ( ) 4 3 3 2 2 4 7 1 1 1 a a a a a a a − − −   −       −     c) ( ) − − ⋅ −      ⋅ − ⋅ 5 3 7 1 81 27 9 1 3 9 3

7. Realiza las siguientes operaciones

( ) ( ) − − − − − ⋅ ⋅ ⋅   = = = ⋅ = ⋅ = ⋅     ⋅ ⋅ 3 3 5 5 3 4

4

5 2 3 4 4 2 5 2 2

2 2 2 4

1 1

15 3 5

3 5 5 1

625 5 3 5 3 5 3

75 3 5 3 5 5

a) ( )

2 3

27 36

120 20⋅ b)

− −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4 6 0 1

6 2 7 2

15 12 2 3

3 3 4 75 c)

(4)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 4 ~ Operar con radicales

8. Calcula, si existen, las siguientes raíces.

a) 3−1331 b) 532 c) −4 d) 44096 e) 49 f) 0,04

9. Simplifica las siguientes expresiones. Fíjate en el ejemplo.

− = − ⋅ = −3 = − ⋅ = − = −

3 4a2 2a 38a3 3 4a2 2a 2a 4a2 4a2 3 4a2 2a 3 8a3 2a

a)

3 4

25 25 25

b)

3

4 6 12

7x + 243x 9x

c) 3 4 5

9 3 32

− + + −

10. Realiza las siguientes sumas y restas de radicales. Fíjate en el ejemplo.

⋅ ⋅

+ − − = + − ⋅ − ⋅ = + − − =

+ − −

 

= + − −  = = −

 

3 2 2

1 5 3 1 5 3 2 5 3 3 5

2 2 8 18 50 2 2 2 2 3 2 5 2 2 2 2 2

3 6 20 3 6 20 3 6 20

2 5 3 24 8 30 9 7

2 2 2 2

3 2 4 12 12

a) 10 8 −1 32+5 2

25 6 9

b) 3 −6 2 −3

27a 64a a

11. Opera y simplifica. Fíjate en el ejemplo.

+ + − + + − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = = =

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= = ⋅ = = =

⋅ ⋅

3 12 12 12

3 2 3 4 8 6 6 18 4 8 6 6 18

12

2 2 6 6

6 4 6 4 2 2 12 2 2 12 6 6

4 8 6 6 6 6

12 4 6 6 2 8 6 6 2 18 12 14 12 2 6 12

2 2 18

75 15 125 3 5 3 5 5 3 5 3 5 5 3 5 3 5 5

: : : :

3 5 3 5 15 225 3 5 3 5 3 5 3 5

3 5 3 5 3 5

3 5 3 3 3 3 3 3 5 5

a)

3 4 3

2 2 8

2 4 b)

3 2 2

6

: ab c ac

b

ab c)

3

6 3

16 12 18 1

: 81 12 16

(5)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 5 ~ 12. Racionaliza, opera y simplifica.

a) 2

2−1 b)

3 2 2 3

6

+

c) 15 2 5−5

Notación científica

13. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica (no debes emplear la calculadora).

a)

(6)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 6 ~

Unidad 2.- MATEMÁTICA FINANCIERA

Operar con logaritmos

14. Calcula el valor de los siguientes logaritmos, aplicando su definición en forma de potencia. Fíjate en el ejemplo.

= ⇒ = = 2⇒ =

3

log 9 x 3x 9 3 x 2

a) log 813 =x c)

6

1 log

6 =x e)

2

log 8 =x

b) log 642 =x d) log 77 =x f) log3(−9)= x

15. Calcula la base de los siguientes logaritmos, aplicando su definición en forma de potencia. Fíjate en el ejemplo.

= ⇒ 2= = 2⇒ =

log 9x 2 x 9 3 x 3

a) log 64x =2 c) log 16 4

81

x = e)

1

log 7

2

x =

b) log 1 1 3

x = − d)

16

log 4

81

x = − f)

3

log 343

2

x =

16. Calcula el argumento de los siguientes logaritmos, aplicando su definición en forma de potencia. Fíjate en el ejemplo.

2 3

log x= ⇒2 3 = xx=9

a) log5x=1 b) 3

1 log

2

x= c) log5x = −2 d) 3

3 log

2 x = −

Porcentajes

Recuerda que un porcentaje expresa una proporción entre dos magnitudes cuando una de ellas tomo el valor 100.

Para expresar en forma de porcentaje la información de que 3 de cada 4 habitantes de una ciudad tiene acceso a internet, establecemos una igualdad entre razones, donde una de ellas tenga por denominador 100:

= ⇒ = =

3 100 3 75 4 100 4

x x

(7)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 7 ~ 17. Expresa en forma de porcentaje las siguientes proporciones.

a) 3 de cada 5 españoles utiliza el transporte público para ir a trabajar.

b) En una oposición 5 de cada 8 opositores son mujeres.

c) 7 de cada 20 mujeres de más de 50 años se realiza una revisión anual.

18. Calcula los siguientes porcentajes

a) 22% de 15 400 b) 1,2% de 780 c) 0,7% de 2135 d) 30% de 6930

19. Aumenta las siguientes cantidades en los porcentajes que se indican. Fíjate en el ejemplo.

2150 en un 15% variación porcentual: 1+ 15 =1,15

100 Cantidad final: 2150

1,15 = 247,25

c) 115,25 en un 20% b) 280 en un 130% c) 12,20 en un 4,5% d) 1125 en un 7,2%

20. Disminuye las siguientes cantidades en los porcentajes que se indican. Fíjate en el ejemplo.

147. en un 3% variación porcentual: 13 =0,97

100 Cantidad final: 147 · 0,97 = 142,59

(8)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 8 ~

Unidad 3.- EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Operar con polinomios

Para sumar o restar dos polinomios se suman o se restan los términos semejantes y se deja indicada la suma o diferencia de los no semejantes.

Para multiplicar dos polinomios se realiza el producto de los términos del primer factor por cada uno de los términos del segundo factor y se simplifican después los términos semejantes.

Identidades notables:

Cuadrado de la suma: (a+b)2 =a2+2ab+b2

Cuadrado de la diferencia: (ab)2=a22ab+b2

Suma por diferencia: (a+b a)( b)=a2b2

Si D(x) es el dividendo y d(x) es el divisor, mediante el algoritmo de la división se obtienen dos polinomios, el cociente C(x) y el resto R(x), con el grado del resto menor que el del divisor de manera que:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

= + ⇒D x = +R x

D x C x d x R x C x

d x d x

21. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.

a) 2

(

x−1

)(

x+1

) (

x−2

)

2 c)

(

x−7

)(

x+7

) (

x−4

)

2

b)

(

x+5

)

2+2

(

x+3

)

2 d)

(

2

)

(

)

(

3

)

3x −5 2x+ −1 6x +3

22. Escribe las siguientes expresiones en forma de producto.

a) a249 d) 3x2y2

b) 2

4a +12a+9 e) 2 2

9xy +6xyz+z

c) u22uv+v2 f) 4u212uv+9v2

23. Realiza las siguientes divisiones.

a)

(

x34x2+12x+5 :

) (

x2x

)

c) 4 1 2 1 8 :

(

2 2 1

)

3 2

x x x x x

+ +

 

 

(9)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 9 ~ Factorizar polinomios

La factorización de un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios del grado más pequeño posible. Se utiliza para calcular el máximo común divisor (m.c.d.) y el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más polinomios.

Para factorizar un polinomio se empieza buscando las raíces enteras aplicando el teorema del resto o el teorema de Ruffini con los divisores del término independiente.

Para calcular el m.c.m. de dos o más polinomios se factorizan los polinomios y se toman todos los factores, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente con el que aparecen en las factorizaciones.

Para calcular el m.c.d de dos o más polinomios se factorizan los polinomios y se toman todos los factores comunes a todos los polinomios elevados al menor exponente con el que aparecen en las factorizaciones.

.

24. Halla el valor de a para que al dividir P x

( )

=2x3x28x+a para que

(

x+2

)

sea un

factor del polinomio.

25. ¿Cuál de los binomios

(

x1

)

,

(

x+2

)

,

(

x3

)

es un factor de

( )

= 32− +

3 3 14

P x x x x ?

26. Descompón en producto de factores primos los siguientes polinomios.

a) 4x3+4x2− −x 1 c) 3x312x2+57x42

b) x6+6x5+5x424x336x2

d) x34x2+7x+10

27. Calcula del valor de k para que (x + 5) sea un factor del polinomio

( )

= 3+ 2+ −

3 5

P x x x kx

28. Calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios.

a) P x

( )

=x23x4, Q x

( )

=x2+2x8

b) P x

( )

=2x2+8x+6, Q x

( )

=2x2+4x6

c) P x

( )

=2x+6, Q x

( )

=3x+9 y R x

( )

=5x+15

Fracciones algebraicas

Para operar con fracciones algebraicas se utilizan las mismas técnicas que para operar con fracciones numéricas.

Para sumar y restar fracciones algebraicas hay que reducir a común denominador antes y simplificar la fracción que resulte. Recuerda:

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

− + + = − + + + − = − + = − − =

− + − + − + − + +

2

2 2 3 2 2 2 3 1 5 4 1 4 4

1 2 1 2 1 2 1 2 2

x x x x x x x x x x x

(10)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 10 ~ 29. Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.

a)

2 2

2

2 2

x x x x

− −

+ b)

3 2

3 2

17 15

2 16 22 40

x x x

x x x

+ − +

+ + −

30. Suma y resta las siguientes fracciones algebraicas y simplifica el resultado donde sea posible:

a) 1 3 1

3

x x

x x + +

b) 2

3 2 1

6 5 5

x

x x x

+ +

− + −

Antes de multiplicar y dividir fracciones algebraicas es conveniente factorizar el polinomio del numerador y el del denominador y después aplicar las reglas que se utilizan habitualmente para la multiplicación y la división de fracciones.

( )( )

( )

( ) ( )

− − + − + + − −

⋅ = ⋅ = =

+ + + +

2 2

2 11 21 2 10 7 2 3 2 5 7 2 2 14 5 2 3 5 2 3

x x x x x x x x

x x x x x x x x

31. Multiplica las siguientes fracciones algebraicas:

a)

2 2

2

2 5 12 36

6 2 3

x x x

x x x

+ −

+ − b)

3 2

1 1

1 1

x x

x x

+

− −

32. Divide las siguientes fracciones algebraicas:

a)

3 2

2 :

10 2 20

x x

x+ x + b)

2 2

3 2 3 8 4

:

8 7 7

x x x

x x x

− − +

(11)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 11 ~

Unidad 4.- ECUACIONES Y SISTEMAS

Ecuaciones polinómicas

33. Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadradas

a) 4 3 0 b) 48 49 0

c)4 5 9 0

Ecuaciones racionales y con radicales

Observa los pasos a seguir para resolver una ecuación racional

2

1 1

2 4 2

x x

x x x

+ =

− − + Se reduce a común denominador

( )

2 2 2

2 1 2

4 4 4

x x x x

x x x

+ − −

+ =

− − − Se multiplica por el denominador común

2 2 1 2

x + x+x− = x− Se resuelve la ecuación resultante

2

2 1 0 1

x + x+ = ⇒x= − Se comprueban las soluciones

Las raíces del denominador común son: x2− = ⇒4 0 x= ±2

En este caso, la solución obtenida es válida. La solución de la ecuación es x = -1.

34. Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

a) = −

− −

2 2

6 3 1

2 4 4

x x

x x b)

+ + =

− + −

2

6 9

1

5 6 2

x

x x x

Observa los pasos que se siguen para resolver una ecuación con raíces

2x− +1 x =8 Se aísla la raíz

2x− = −1 8 x Se elevan los dos miembros al cuadrado

(

)

2 ( )2

2x1 = 8x Se desarrollan los cuadrados

2

2x− =1 64 16x+x Se resuelve la ecuación resultante

2

18 65 0

xx+ = ⇒ x =5,x =13 Se comprueban las soluciones

13 26 1 13 8 5 13 8

x= ⇒ − + = ⇒ + ≠ No es solución de la ecuación.

5 10 1 5 8 3 5 8

x= ⇒ − + = ⇒ + = Sí es solución.

La única solución de la ecuación es x=5.

35. Resuelve las siguientes ecuaciones radicales:

a) 4x+ = −1 x 1 b) x+ =3 10x+9

(12)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 12 ~ Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Ten en cuenta que a la hora de aplicar las propiedades de las potencias para resolver ecuaciones exponenciales, tienes que utilizarlas en el sentido que no estás acostumbrado, es decir en vez reducir a una sola potencia, transforma la potencia en producto o cociente de potencias de la misma base o en potencia de una potencia:

ax+y=axay − =

x x y

y a a

a a

xy=

(ax)y

36. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales. Fíjate en los ejemplos.

( )

= ⇒ 3 = ⇒ 3 = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = =

2

1 log5

8 2 2 2 2 2 3 1 2 5 log2 log5 log 5

3 log2

x

x x x x

x x x

a) 2 1 8

x =

b)

( )

2 1 4 x

= c) 27 1 81

x =

d) 2

7x =2401

37. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 2x+ 3− 3 · 2x+ 1+ 5 · 2x=28 b) 5x− 1− 3 · 5x− 9 · 5x+ 1+ 2 · 5x+ 2=1375

38. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

a) 2 2( )

2

log log 7 4 0

1 x

x x

− + + =

b) 5( ) 5( )

1

log 3 1 log 2 9 1

2 x+ − x+ = −

(13)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 13 ~ 39. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss:

a)

2 6

3 7

2 6 b)

2 7

3 5

2 2 9

c)

2 6

3 1

1 d)

2

2 2 3 1

2 4

Sistemas de ecuaciones no lineales

40. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales

a) 2

2 0 b) 2 03

Problemas de edades

En los problemas de edades los datos pueden organizarse en tablas, distribuyendo por filas las personas y por columnas los distintos periodos a los que hace referencia el enunciado.

Las edades de unos padres suman 70 años. Hace 2 años la edad de la madre era cuatro veces la del hijo y dentro de 3 años la edad del hijo será la tercera parte de la del padre. ¿Cuántos años tiene cada uno?

Se distribuyen los datos en una tabla

Edad actual Edad hace 2 años Edad dentro de 3

años Sistema

Padre x x − 2 x + 3

( )

( )

+ + = 

− =

 + = +

70

2 4 2

3 3 3

x y z

y z

x z

Madre y y − 2 y + 3

Hijo z z − 2 z + 3

Ecuación x + y= 70 y − 2 = 4(z − 2) y + 3 = 3(z + 3)

Fíjate que cuando nos dicen que la del hijo es la tercera parte de la del padre, equivale a decir que el padre tendrá el triple de edad del hijo. Es preciso tener en cuenta estas equivalencias para evitar, siempre que se pueda, fracciones en las ecuaciones.

( )

( ) − +

+ = + = + = + = =

    

− = = − = − = − =

    

+ = + = − − = − = − =

 3 1 3 2

70 70 70 70 36

4 6 4 6 4 6 34

2 4 2

3 6 3 64 7 70 10

3 3 3 E E E E

x y x y x y x y x

y z y z y z y

y z

x z y z z z

x z

(14)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 14 ~ 42. Hace 5 años la edad de un padre era 7 veces la del hijo, mientras que el hijo tenía la

sexta parte de la edad de la madre. Si dentro de siete años la edad del padre será el triple que la del hijo, ¿qué edad tendrán entonces cada uno?

Problemas de números

En los problemas en los que hay que determinar números de más de dos cifras en los que nos indican relaciones entre las cifras, es necesario tener en cuenta el valor del número empleando su descomposición polinómica, es decir la suma de sus órdenes. Recuerda que 3514 se expresa:

3514 = 3 · 103+ 5 · 102+ 1 · 10 + 4

Las cifras de un número capicúa de 5 cifras suman 15 y la cifra de las centenas es igual a la suma de la cifra de las unidades y la de las decenas. Si se intercambian las cifras de las unidades y de las centenas, el número aumenta en 8 unidades. ¿Cuál es el número?

El número es de la forma xyzyx, donde x es la cifra de las decenas de millar y de las unidades, y

es la cifra de las unidades de millar y de las decenas y z es la cifra de las centenas. El valor del número es:

xyzyx=x · 104+y · 103+z · 102+y · 10 +x

Las cifras suman 15: x + y+z+y+x= 15 ⇒ 2x + 2y+z= 15

La cifra de las centenas es igual a la suma de las unidades y las decenas: z=x + y

Al intercambiar las U y D, resulta: xyzxy=x · 104+y · 103+z · 102+x · 10 +y

xyzxy es 8 unidades mayor que xyzyx, como la parte de DM, UM y C es igual:

x · 10 +y =y · 10 +x + 8

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones resulta: x = 3, y = 2 y z = 5. El número es 32 523

43. Halla un número de tres cifras si se sabe que sus cifras suman 15, la cifra de las unidades es cuatro veces mayor que la de las decenas y la diferencia entre el número que resulta de intercambiar la cifra de las centenas y las unidades y el número original es 297 unidades.

44. Encuentra un múltiplo de 10 de 4 cifras de tal manera que sus cifras suman 16 y si se intercambian las cifras de las decenas y centenas el número disminuye en 90 unidades, mientras que si se intercambian las cifras de las unidades de millar y las centenas el número aumenta en 3600 unidades.

Problemas de mezclas

(15)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 15 ~

Se tienen tres aleaciones diferentes de oro (Au) y plata (Ag). La primera tiene un 60 % de oro y su precio es de 25 €/g, la segunda contiene la misma cantidad de oro que de plata y su precio es de 20 €/g y la tercera contiene un 60 % de plata siendo su precio de 15 €/g. ¿Cuántos gramos hay que coger de cada aleación para conseguir una aleación de 10 g con el 52 % de oro y que cueste 21 €/g?

Distribuyendo los datos en una tabla y suponiendo que se toman x g de la aleación 1, y g de la aleación 2 y z g de la aleación 3, se tiene:

Cantidad Oro (Au) Plata (Ag) Precio €

Aleación 1 x 0,6x 0,4x 25 €/g 25x

Aleación 2 y 0,5y 0,5y 20 €/g 20y

Aleación 3 z 0,4z 0,6z 15 €/g 15z

Totales x+ y+z= 100 0,6x+0,5y + 0,4z 0,4x + 0,5y +0,6z 25x+ 20y+ 15z

Porcentaje oro:

+ + + +

= = ⇒ + + = ⇒ + + =

+ +

0,6 0,5 0,4 0,6 0,5 0,4

0,52 0,6 0,5 0,4 5,2 6 5 4 52

10

x y z x y z

x y z x y z

x y z

Porcentaje plata:

0,4 0,5 0,6 0,4 0,5 0,6

0,48 0,4 0,5 0,6 4,8 4 5 6 48

10

x y z x y z

x y z x y z

x y z

+ + + +

= = ⇒ + + = ⇒ + + =

+ +

Precio final: 25x+ 20y+ 15z = 210

Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones, se tiene x= 5, y= 2 y z= 3, por tanto hay que coger 5 g de la aleación 1, 2 g de aleación 2 y 3 g de la aleación 4.

45. Se desea hacer una mezcla con tres clases de café. Uno tiene un 30% de torrefacto y un 70 % de natural y cuesta 8 €/kg; otro tiene mitad de cada tueste y cuesta 9€/kg y el último solo tiene tueste natural y cuesta 6 €/kg. ¿Cuántos kg hay que coger de cada café para obtener 100 kg de café que tenga un 65 % de tueste natural y cueste 8,15 €/kg?

46. Un mayorista de café disponede tres tipos base, Moka, Brasil y Colombia, para preparar tres tipos de mezcla, A, B y C, que envasa en sacos de 60 kg. Con los siguientes contenidos en kilos y precio del kilo en euros.

Mezcla A Mezcla B Mezcla C

Moka 15 30 12

Brasil 30 10 18

Colombia 15 20 30

Precio (cada

kg) 4 4,5 4,7

(16)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 16 ~ Problemas variados

47. Un comercio vende tres tipos de papel, A, B y C. El precio original de cada paquete de tipo A es de 1,40 €, el del tipo B es de 1,80 € y el del tipo C 2,20 €. El precio de venta de cada paquete se incrementa en un 40 % en el caso del tipo A, un 45% en el tipo B y un 50% en el tipo C. El comercio ha abonado a la fábrica un total de 830 € en el último pedido y calculado un beneficio de 385 €. Si los paquetes de tipo B y C suponen juntos el doble que los de tipo A, ¿cuántos paquetes de cada tipo había en el pedido?

(17)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 17 ~

Unidad 5.- INECUACIONES Y SISTEMAS

Inecuaciones

Cuando se resuelven inecuaciones de primer grado con una incógnita la solución es una región que se expresa en forma de intervalo. Por ejemplo:

+ − > − ⇒ − > − ⇒ < ⇒ <

1 0 5

5 2 3 5 4 1 0 4 2

x x x x x x

La solución de la inecuación es: −∞, 

 

5

2 .

49. Halla la solución de cada inecuación.

a) 2x− 1 0< + +x 1 1 2x c) 4 3

(

x− 5

)

− 6

(

x− 2

)

> 4x− 9

b) − ≥ −

1 5

3

x

x d) − 7x− ≥ − +8 9 9x

Para resolver inecuaciones de grado mayor que uno, se opera hasta obtener un polinomio en un miembro y 0 en el otro miembro. Después, se descompone el polinomio y se forma una tabla para estudiar el signo del polinomio según el signo de sus factores:

(

)(

)(

)

− − + ≥ ⇒ − − + ≥

3 2 2 2 0 2 1 1 0

x x x x x x Las raíces son x=−1, x = 1, x= 2.

−∞ −1 1 2 ∞

x − 2 − − − +

x − 1 − − + +

x + 1 − + + +

(x − 2)(x + 1)(x − 1) − + − +

Como queremos que el producto de los tres factores sea mayor o igual que 0, la solución es la unión de los siguientes intervalos:

[

−1, 1

] [

∪ 2,+ ∞

)

.

50. Halla la solución de cada inecuación.

a) + − ≤

2 3 1 8 0

x x c) − > −

2

5 5

x

b) 2 − + ≥

9 2 0

2

x x d) − + + ≥ −

2 5 6 1

1

4 2

(18)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 18 ~

Si la inecuación es racional, es decir, la incógnita aparece en el denominador, hay que tener en cuenta el signo de los factores del numerador y el denominador en cada región:

+ − ≤ ⇒ − +

− −

2

3 6 4 5 0 3 3 5 0

4 ( )( 4 )

x x x x

x x

−∞ −5 3 4 ∞

x − 3 − − + +

x + 5 − + + +

x − 4 − − − +

− +

3 5

4

(x )(x )

x

− + − +

La región solución es la unión de los intervalos:

(

−∞ − ∪, 5

] [

3 4,

)

.

51. Representa en la recta real la solución de ambas inecuaciones.

a) < − −

3

6

4

x x

x b)

(

)(

+

)

≥ −

2 1 2 1 2 1

x x x

Sistemas de inecuaciones:

Sistema de inecuaciones lineales con una incógnita

Para resolver este tipo de sistemas de inecuaciones, se halla por separado la solución de cada una de las inecuaciones que forman el sistema. La solución es la parte común, es decir, la intersección, de las regiones que se han hallado.

[

)

(

]

 +∞

− ≥ ≥

≤ +

−∞

  

3

4 2 1 0 3

2 4 4 La solución de cada ecuación es , 4

,

x x

x x x

Para visualizar la región solución, es útil representar cada intervalo y su parte común:

La solución del sistema, es decir, la intersección de ambos intervalos, es el intervalo [3,4].

52. Resuelve estos sistemas de inecuaciones con una incógnita.

a)  − < + 

7 2 1

3 9

x x

x b)

(

)

(

)

− + + ≥

 

+ < − 

2 4 5 8

5 x 6 1 0 x 1

x x c)

+ ≤ +

 

≥ −

2

2 1

2

3 3

x

x x

x x x

d)  − >

− + ≥ −

2

1 0 2 8

5 5 1

x

(19)

Pendientes Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I ~ 19 ~ Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas

Si en el sistema de inecuaciones aparecen dos incógnitas la solución del sistema es una región del plano.

+ ≤ 

+ > −

2 3

4 1

x y

x y Representamos en los mismos ejes coordenados las rectas

+ = 

+ = −

2 3

4 1

x y

x y , que son las líneas que delimitan el recinto solución.

Para representar cada recta se forma una tabla de valores:

x 0 1

y= 3 − 2x 3 1

Cada recta divide al plano en dos regiones. Para determinar cuál corresponde a cada inecuación, sustituimos un punto de una de las regiones y comprobamos si cumple la inecuación. (0, 0) pertenece al semiplano 2x+ ≤y 3 ya que 2 0· + ≤0 3. (0, 0) también pertenece al semiplano x+ 4y>−1.

La solución es la región coloreada con vértice en el punto  − 

 

1 3 5

7 , 7

A

53. Halla la solución de cada sistema de inecuaciones.

a)  + ≤+

1

2 1

x y

x y b)

+ < 

  ≥ 

4 2 8

0

0

x y x y

c) − >

− + ≤ − 

6 0

3 5 2

x y

x y d)

≤ − 

+ >

 + ≤ − 

2

2 2

2

x y x y x y

x 3 −1

y = − −

1

Figure

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