La ecuación de segundo grado.
Sean números reales
Se denomina ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) en la variable a la ecuación cuya forma canónica es
Ejemplos.
Son ecuaciones cuadráticas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7. 3
Cada una de ellas puede escribirse en la forma canónica (Ejercicio). Resolver una ecuación cuadrática de la forma
Métodos de solución.
Hay varios métodos de solución:
1. Por factorización.
Si los coeficientes en son tales que sea factorizable como el producto de dos factores lineales, entonces la ecuación se resuelve aplicando la propiedad de los números reales:
Ejemplos.
Resolver, factorizando, las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Ejercicios.
Resolver por factorización (si es posible) las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8.
9.
10.
11.
12. 13. 14. 2. Por raíces cuadradas
Las ecuaciones del tipo,
y ( ;
se resuelven, despejando , por el método de las raíces cuadradas.
Ejemplos.
Resolver, por raíces cuadradas, las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ejercicios.
Resolver, por raíces cuadradas, las siguientes ecuaciones:
1.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 11. 12.
3. Por completación de cuadrados.
En este caso, se usa el método de completar cuadrados para transformar la ecuación canónica
en la forma
la cual se resuelve extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad.
Ejemplos.
Resolver, completando cuadrados, las siguientes ecuaciones:
1.
2.
Ejercicios.
Resolver, completando cuadrados, las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
4. Por la fórmula general cuadrática.
La ecuación , con , se resuelve usando la fórmula general cuadrática,
cuya deducción se realiza completando cuadrados y extrayendo raíces cuadradas.
Ejemplos.
Resolver, aplicando la fórmula general, las siguientes ecuaciones:
1.
3.
4.
5.
6. Ejercicio.
Resolver, usando la fórmula general cuadrática, las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10. 11.
12. 13. 9 14. 0.02
15.
Resolver, utilizando un método apropiado:
1.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Observación:
Es frecuente encontrar ecuaciones literales de segundo grado en la que algunas constantes están especificadas con letras tales como etc.
Ejemplo.
Resolver la ecuación: , a) Para b) Para a
Solución.
a) Escribamos . Factorizando, obtenemos
de donde se deduce que
Si hubiésemos usado la fórmula general cuadrática tendríamos:
b) Escribamos la ecuación en la forma:
,
que es una ecuación cuadrática en . Aplicando la fórmula general se obtiene,
Ejemplo.
Despejar en la ecuación:
Solución.
Escribamos la ecuación en la forma,
La cual resulta cuadrática en Aplicando la fórmula general se tiene
Luego,
Ejercicios.
1. Aplique la fórmula general cuadrática, para hallar en:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2. Con la fórmula general, resuelva a) para b) para , las ecuaciones:
a)
b)
3. a) Dado hallar b) Dado hallar c) Dado hallar d) Dado hallar e) Dado hallar f) Dado
hallar
Naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática.
Sabemos que si
entonces
La expresión , se conoce como el discriminante de la ecuación. Por lo tanto,
Naturaleza de las raíces
Dos raíces reales distintas
Dos raíces reales e iguales
Dos raíces complejas conjugadas
Ejemplo.
Hallar tales que las raíces de la ecuación
, sean iguales.
Solución.
Las raíces son iguales cuando , entonces
luego,
y esto implica,
Ejemplo.
Hallar todos los valores de tales que las raíces de la ecuación , sean complejas.
Solución.
Las raíces son complejas, cuando . Entonces,
Ejemplo.
Hallar el menor valor de tales que las raíces de la ecuación , sean reales.
Solución.
Las raíces son reales cuando Entonces,
Luego, no existe un menor valor de tales que las raíces sean reales.
Ejercicios.
1. Determinar la naturaleza de las soluciones de las ecuaciones: a)
b) 3
2. Hallar en cada caso valores de tales que las raíces la ecuación sean iguales. a) b) c) d) e) f) g)
3. a) Halle el menor entero m tales que las raíces de la ecuación sean complejas.
b) Si , solucione:
c) Halle tales que tenga raíces positivas.
d) Halle tales que tenga raíces reales.
e) Muestre que para todo la ecuación
, tenga raíces iguales.
Relación entre las raíces y los coeficientes de una ecuación.
Dada la ecuación , entonces
Por lo tanto, si hacemos y y escribimos la ecuación en la forma
tendremos
. Ejemplo.
Escribir una ecuación de segundo grado si la suma de las raíces es -6 y su producto es 2.
Solución.
La ecuación es:
Esto es;
Ejemplo.
Escribir una ecuación de segundo grado cuyas raíces son y .
Solución.
La ecuación buscada es: .
OBSERVACION.
1. Si las raíces son asimétricas y opuestas, entonces . luego entonces ; esto implica b= 0. Por lo tanto. La ecuación es de la forma:
2. Si las raíces son recíprocas, entonces luego ; esto implica es decir Por lo tanto la ecuación es de la forma:
Ejercicios.
1. Determinar, sin resolver, la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:
a) b) c) d)
e)
2. Hallar, en cada caso, la ecuación de segundo grado, conociendo
a) b) c)
3. Hallar la ecuación de segundo grado si se sabe que sus raíces son: a) b) c) d)
4. Halle en si la suma de sus raíces es 1
6. Halle m en si una raíz es el doble de la otra.
7. Halle en si la diferencia entre sus raíces es 3.
8. Halle en si la suma de sus raíces es 5.
9. Halle si el producto de las raíces de es
10. Halle si el producto de las raíces de
es
11. Halle en si
12. Halle una raíz de si
13. Determine una relación entre si la ecuación tiene una raíz que es el doble de la otra.
14. Si , es solución de ,
15. Si es solución de ( , hallar
16. Si y son raíces de . Cuál es la ecuación cuyas raíces son y .
17. Qué valor debe tomar para que la ecuación
, tenga dos raíces que sean enteros
consecutivos.
18. Cuál es la ecuación cuyas raíces son
19. Sea la ecuación . Si son raíces de la ecuación y , hallar el valor mínimo de k
20. En la ecuación hallar
21. Sea la ecuación Si hallar
22. Si los cuadrados de las raíces de suman 9, hallar c.
23. Si son raíces de , hallar el valor de
24. Si es solución de hallar
25. Si
, hallar
Ecuaciones Binomias.
Son ecuaciones del tipo
cuya solución se realiza preferiblemente por factorización.
Son ecuaciones binomias,
Ejemplo.
Resolver la ecuación:
Solución.
=
Ejercicios. Resolver las siguientes ecuaciones. 1.
2. 3.
4. 5. 6.
7.
Ecuaciones Bicuadradas.
Son ecuaciones del tipo,
. . .
.
Se resuelven aplicando los mismos métodos de solución de las ecuaciones cuadráticas.
Ejercicios.
Resolver las siguientes ecuaciones. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Ecuaciones de formas cuadráticas.
Las ecuaciones que pueden transformarse en ecuaciones cuadráticas, se denominan ecuaciones en forma cuadrática.
Ejemplo.
1. Las ecuaciones bicuadráticas están en forma cuadrática.
2. , está en la forma cuadrática ya que puede
escribirse en la forma , haciendo .
Resolvemos y encontramos que . Luego, y de donde se obtienen las soluciones.
Ejercicios.
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
