Tema 3: “Ondas”.
Índice: 1.- Revisión del movimiento armónico simple. 2.- Ondas. Ondas armónicas. Ecuación de ondas. 3.- Energía del movimiento ondulatorio. Intensidad. 4.- Propagación de ondas. Atenuación. Absorción. 5.- Principio de Huygens.
6.- Estudio cualitativo de las interferencias. Ondas estacionarias. 7.- Aplicaciones.
7.1.- Sensación sonora. Escala decibélica. 7.2.- Efecto Doppler.
1.- Revisión del movimiento armónico simple.
Los alumnos repasarán lo estudiado en 1º de BACH.
2.- Ondas. ondas armónicas. Ecuación de ondas.
- DEFINICIÓN: “Onda o, en general, movimiento ondulatorio es el fenó-meno de transmisión de una perturbación de un punto a otro del espacio sin que exista un transporte neto de materia entre ambos”. (Ej/ ondas de radio, sonido, ondas sobre la superfi-cie del agua, luz, etc...)
- Clasificación de las ondas:
Por el nº de dimensiones de propagación:
Unidimensionales: la perturbación se propaga en una sola dimensión. (Ej/ sacudida en una cuerda).
Bidimensionales: la perturbación inicial se transmite en una superficie. (Ej/ ondas sobre el agua).
Esféricas: la perturbación afecta a las tres dimensiones. (Ej/ ondas sonoras).
Por la naturaleza del medio en que se propaga:
Ondas materiales: se producen al perturbar un medio elástico (aire, agua, cuerda) y su velocidad depende del medio.
(Ej/ ondas sonoras).
Ondas electromagnéticas: no necesitan medio material para propagarse. (Ej/ ondas de radio).
Por la dirección en que se produce la perturbación:
Ondas transversales: la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación.
(Ej/ ondas sobre el agua).
Ondas longitudinales: se produce una compresión-dilatacion en la direc-ción en que avanza la onda.
(Ej/ sonido en el aire).
También se habla de ondas circulares, planas, esféricas, irregulares... según la forma del frente de ondas ( que se define como el resultado de unir todos los puntos a los que llega una perturbación en un instante determina-do). Se denomina rayo a la línea que, en todos sus puntos, es perpendicular al frente de ondas.
- Ondas armónicas:
Vamos a limitar nuestro estudio a las llamadas ondas armónicas que son aquéllas que pueden describirse utilizando las funciones matemáticas seno y coseno. Esto equivale a decir que no se debilitan cuando van propa-gándose. Esto, salvo en las ondas electromagnéticas es muy difícil de co n-seguir.
¡Ojo!: el di-bujo es una representa-ción instan-tánea de algo que es dinámico.
Para ellas, podremos utilizar las magnitudes conocidas:
LONGITUD DE ONDA (): Distancia que existe entre dos pulsos suce-sivos (m).
VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN (v): Velocidad con que avanza un pulso (m/s). Evidentemente: v = /T
FRECUENCIA (f ó ): Número de pulsos producidos por unidad de tiempo (s-1 o hertz). Es la inversa del periodo: f = 1/T. También: v = ·f
Las partículas del medio material (si lo hay) por donde se desplaza una onda armónica vibrarán con movimiento armónico simple:
y(t) = A·sen(2·t) T
AMPLITUD (A) : de una onda es la distancia máxima que se separa un punto de la posición de equilibrio(m).
- Ecuación de ondas:
Es la ecuación que describe el movimiento ondulatorio. Debe pro-porcionarnos, en función de x (distancia desde el origen de la perturbación hasta un punto cualquiera de su recorrido) y el t (tiempo transcurrido desde el inicio de la perturbación) el valor de y (algo así como la elongación en el punto en
cues-tión). La deduci-remos pensando en una perturba-ción transversal en una cuerda, aun-que su validez se-rá general:
Supongamos una perturbación que se origina en (0,0) y avanza hacia la derecha.
EJERCICIO 3 EJERCICIO 2
En (0,0) tendríamos un movimiento armónico (¡Ojo!: no confunda-mos la línea ondulada que dibujaconfunda-mos con una situación estática, pues la on-da está cambiando continuamente, es decir, la y de caon-da punto varía con el
tiempo): En x=0:
t T Asen
y0 2
En otro punto, a una distancia x del origen, también tendremos un movimiento armónico simple. Pero la y de la perturbación en este punto, en general, no coincidirá en el tiempo con la y en el origen.
Si llamamos t’ al tiempo que tarda en llegar un pulso desde el origen
hasta x, en este punto: y A
T t t
sen 2 ( ' )
Si la velocidad de propagación es v: v=x/t’ t’=x/v
vT x T t A v x t T A
y sen 2 sen 2
y x t A t
T x
, sen
2
Que es la forma en que frecuentemente se presenta la ecuación de ondas.
Al igual que al estudiar el movimiento armónico simple, si la elonga-ción en el origen no es cero cuando t=0, hay que introducir una correcelonga-ción que recibe el nombre de fase o desfase de la onda: :
x T t A t xy , sen 2
Se dice que la ecuación de onda es doblemente periódica: respecto al tiempo y respecto a la distancia:
Con frecuencia se utilizan, en vez de periodo y longitud de onda, otras magnitudes constantes que son el llamado número de ondas: K=2/ que representa el número de ondas completas que hay en una distancia de 2 metros. Y la llamada frecuencia angular: = 2/T que representa el número de periodos que hay en 2 segundos. Con estas magnitudes:
x
t
A
t
Kx
y
,
sen
3.- Energía del movimiento ondulatorio. Intensidad.
¿Qué es lo que se traslada con una onda?. Ya hemos dicho, al princ i-pio del tema, que se propaga una perturbación sin que haya traslado neto de materia. Pues bien, lo que transporta una onda a distancia es energía: la energía que van adquiriendo los puntos a los que llega la perturbación.
Cada partícula del medio adquirirá una energía cinética debida a su velocidad y una energía potencial (no olvidemos que cada partícula se ha convertido en un oscilador armónico). Para cualquier partícula:
E = Ec + Ep
La suma de estas dos energías, mientras se mantengan las caracterí s-ticas del movimiento ondulatorio (amplitud y frecuencia) será constante. Podemos evaluarla con facilidad tomando como referencia el punto de elongación cero en que la energía total coincidirá con la energía cinética máxima:
E = Ec-máx =
1
2m v
2 máx
Como: v dy dt
A T
t T
x
2
2
cos entonces: vmáx =
2
A T2 2 2 2 2 2
2 2
A mf A
T m
E
-Intensidad:
Pero cuando se estudia la propagación de las ondas (ondas esféricas sobre todo), más que la energía de una partícula vibrante, interesa una mag-nitud conocida como intensidad del movimiento ondulatorio que se define como “la energía que atraviesa, por unidad de tiempo, una superficie colo-cada perpendicularmente a la dirección de propagación”.
Sus unidades internacionales serán: J s m
w m 2 2
Vemos que tiene dimensiones de potencia dividida por superficie. Si se estudia un foco emisor de ondas esféricas (por ejemplo ondas sonoras) y se supone que el medio de propagación es homogéneo, la intensidad a una distancia r del foco emisor puede calcularse:
I P
r
4 2 (Potencia del foco emisor/Superficie de la esfera a
dicha distancia)
4.- Propagación de ondas. Atenuación. Absorción.
Una onda se debilita al alejarse del foco emisor. La disminución de su intensidad se manifiesta en una reducción de su amplitud. La causa puede ser de dos tipos:
- Atenuación:
Si pensamos en una onda esférica, la energía inicial tendrá que repar-tirse entre más puntos (más partículas) a medida que avanza la onda.
Suponiendo que no haya pérdidas energéticas, si el foco emisor tiene
una potencia P, tendremos a una distancia r1 del mismo: 2 1 1
4 r P I
siendo
4r1 2
la superficie de una esfera de radio r1 centrada en el foco emisor.
Cuando la distancia sea r2: 2 2 2
4 r P I
Como la intensidad depende del cuadrado de la amplitud, podremos concluir que la amplitud es inversamente proporcional a la distancia al foco emisor:
- Absorción:
Cuando hay pérdidas de energía por rozamientos, viscosidad, etc... el debilitamiento de la onda se produce por absorción de energía por parte del medio.
Se ha comprobado experimentalmente que el debilitamiento es direc-tamente proporcional a la intensidad y al alejamiento del foco:
dI = - I··dx
(cuando nos alejamos un dx, hay una disminución dI en la intensidad) ( es una constante llamada coeficiente de absorción del medio)
Cuando nos alejamos desde el foco (x=0; I=I0) hasta una distancia x:
Vemos que la intensidad decrece exponencialmente con la distancia x.
5.- Principio de Huygens.
“Cada uno de los puntos de un frente de ondas se convierte, al ser alcanzado por una perturbación en una “fuente secundaria” de emisión”.
Huygens lo propuso para explicar la geometría de los frentes de ondas (puntos que son
alcanzados simultáneamente por la perturbación. Por ejemplo, los puntos A, B, C, etc... de un frente de ondas circular (o esférico) son nuevos
EJERCICIO 7
EJERCICIO 8
1 2
2 1
r r A A
I
I
x
x I
I dx
I dI
0 0
0
ln
x
e
I
focos emisores que dan lugar a un nuevo frente circular (o esférico):
6.- Estudio cualitativo de las interferencias. Ondas estacionarias.
Una interferencia entre dos o más ondas es la superposición de ellas cuando se propagan en el mismo medio. Para obtener la ecuación de ondas, en el caso de que se produzca la interferencia de dos ondas, bastará con sumar las dos ecuaciones de ondas:
y = y1 + y2 (es lo que se conoce como principio de superposición).
Hay puntos en que se obtendrá una máxima amplitud. En ellos se habla de interferencia constructiva y otros puntos en que se anulen las dos perturbaciones, quedando y=0: interferencia destructiva.
La cuestión de la interferencia de ondas puede llegar a ser muy complicada. En el ejercicio 9 se ha resuelto un caso sencillo en que se dan estas circunstancias:
- Son idénticas: frecuencia, longitud de onda
y amplitud. Ondas - Las dos ondas vibran en el mismo plano. coherentes
Hagamos el mismo desarrollo en plan general:
(llamamos x1 a la distancia de un punto P, donde vamos a calcular la
per-turbación, al foco emisor 1; y x2 a la distancia de P al foco emisor 2).
Según el principio de superposición:
Recordando que:
EJERCICIO 9
) sen( 1 1 A kx t
y y2 Asen(kx2t)
( ) ( )
) (
)
( 1 2 1 2
2
1 y y Asen x t Asen kx t Asenkx t sen kx t y
y
2 cos . 2 sen 2 sen
sena b ab ab
Ecuación que vamos a escribir de una manera resumida:
Donde Ar es lo que denominaremos amplitud resultante:
y además se ha llamado x a:
La perturbación resultante es una onda armónica de la misma frecuencia y longitud de onda que las ondas originales, cuyo origen se encontrará a una distancia (x1+x2)/2 del punto P, pero cuya amplitud es diferente para cada
punto, según la situación de éste respecto a los focos emisores.
Los puntos en que la amplitud será máxima cumplirán: para los valores de n=0,1,2,3...
Como k=2/ x1-x2=n
Es decir, en aquellos puntos tales que la diferencia entre las distancias a los focos sea un múltiplo entero de la longitud de onda, la amplitud resultan-te es máxima: inresultan-terferencia totalmenresultan-te constructiva.
Análogamente, la amplitud será nula (interferencia destructiva) en los puntos que verifiquen:
k(x1-x2)/2=(2n+1)·/2 con n=0,1,2,3...
Es decir: x1-x2= (2n+1)/2·
A los puntos en que esto ocurre, se les denomina nodos, y se dice que se encuentran en estado estacionario porque no se ven afectados por la propagación del movimiento ondulatorio.
- Ondas estacionarias:
DEFINICIÓN: Una onda estacionaria es el resultado de la interferencia de dos ondas idénticas que se propagan en sentido opuesto.
)
·sen(kx t
A
y r
2 cos
2A kx1 x2
Ar
2
2
1 x
x
x
n x x
k
(Ocurre, por ejemplo, en una cuerda sujeta a un punto, cuando se refleja la onda).
Si la que viaja hacia la derecha es: y1=Asen(kx-t)
y la que viaja en sentido opuesto es: y2=Asen(kx+t)
La perturbación resultante será: y=Asen(kx-t)+Asen(kx+t)
Utilizando la relación: sen a + sen b = 2sen(a+b)/2·cos(a-b)/2:
y =2A·senkx·cos(-t)=2A·senkx·cost
En este caso, podríamos llamar amplitud resultante: Ar=2Asenkx,
que-dando la expresión de la onda estacionaria:
Ar=0 si kx=n con n=0,1,2,3..., es decir: 2x/=n
Al tener la amplitud nula, los nodos permanecen constantemente en re-poso. Esto implica que la energía no se propaga por la cuerda en una onda estacionaria. Salvo los nodos, los demás puntos son osciladores armónicos de distinta amplitud:
Si una cuerda (por ejemplo de una guitarra) tiene una longitud L, al estar fijos sus extremos, los puntos x=0 y x=L han de ser nodos de las ondas estacionarias. Por tanto, para x=L se verificará la condición de nodo:
L=n/2 O, lo que es lo mismo, las posibles longitudes de onda han de cumplir: =2L/n ó, las frecuencias: f=v/=nv/2L donde v es la veloci-dad de propagación.
Se denomina frecuencia fundamental de vibra-ción al valor: f=v/2L (es decir, n=1).
Sólo son posibles aquellas ondas cuya cuencia de vibración sea un múltiplo de la fre-cuencia fundamental. Son los llamados modos de vibración:
y=Arcost
x=n/2 con n=0,1,2,3...
EJERCICIOS 10 Y 11
