COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA

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Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2011. Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México

La edición consta de 3,738 ejemplares.

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE SONORA Director General

Mtro. Julio Alfonso Martínez Romero Director Académico

Mtro. Víctor Manuel Gámez Blanco Director de Administración y Finanzas C.P. Jesús Urbano Limón Tapia Director de Planeación Mtro. Pedro Hernández Peña

Calculo Diferencial e Integral 1 Módulo de Aprendizaje.

Departamento de Desarrollo Curricular Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280

COMISIÓN ELABORADORA:

Elaborador:

Alma Lorenia Valenzuela Chávez Revisión Disciplinaria: Margarita León Vega Corrección de Estilo: María Esperanza Brau Santacruz Supervisión Académica: Mtra. Luz María Grijalva Díaz

Diseño:

Joaquín Alfredo Rivas Samaniego Edición:

Bernardino Huerta Valdez Coordinación Técnica: Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri Diana Irene Valenzuela López

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Ubicación Curricular

HORAS SEMANALES:

03 CRÉDITOS:

06 DATOS DEL ALUMNO

DATOS DEL ALUMNO

Nombre: _______________________________________________________________

Plantel: __________________________________________________________________

Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________

E-mail: _________________________________________________________________

Domicilio: ______________________________________________________________

_______________________________________________________________________

COMPONENTE:

FORMACIÓN PROPEDÉUTICA

GRUPO:

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Presentación ... 7

Mapa de asignatura ... 8

BLOQUE 1: ARGUMENTA EL ESTUDIO DEL CÁLCULO MEDIANTE EL ANÁLISIS DE SU EVOLUCIÓN, SUS MODELOS MATEMÁTICOS Y SU RELACIÓN CON HECHOS REALES ... 9

Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1: Antecedentes del Cálculo ...10

• Evolución del cálculo ...11

Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2: Modelación de problemas ...15

• La variación de fenómenos ...16

• Modelación con funciones ...19

BLOQUE 2: RESUELVE PROBLEMAS DE LÍMITES EN SITUACIONES DE CARÁCTER ECONÓMICO, ADMINISTRATIVO, NATURAL Y SOCIAL ... 31

Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1: Límite de una función ...32

• Noción intuitiva de límite ...34

• Teoremas de límites ...46

• Límite de funciones algebraicas ...51

• Límites de funciones trascendentes ...60

• Límites en el infinito ...65

Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2: Continuidad de una función ...74

• Funciones continuas o discontinuas ...75

BLOQUE 3: ANALIZA RAZONES DE CAMBIO EN FENÓMENOS NATURALES Y SOCIALES ... 85

Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1: La derivada como razón de cambio instantáneo ...86

• Razón de cambio instantáneo ...93

Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2: Reglas de derivación ...107

• Derivada de una función ...109

BLOQUE 4: CALCULA E INTERPRETA MÁXIMOS Y MÍNIMOS APLICADOS A PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN ... 135

Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1 Secuencia Didáctica 1: Aplicaciones de la derivada ...136

• Puntos críticos de una función ...139

• Criterio de la primera derivada para la clasificación de los puntos críticos de una función...146

• Resolución de problemas de optimización ...160

Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2 Secuencia Didáctica 2: Concavidad de una función ...166

• Criterio de la segunda derivada ...167

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“Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”. “Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”. “Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”. “Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”.

El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un mismo propósito en un determinado contexto.

El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Calculo Diferencial e Integral 1, es una herramienta de suma importancia, que propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se establecen en los objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está implementando a nivel nacional.

El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que tu aprendizaje sea significativo.

Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que realizaste en las actividades de inicio y desarrollo.

En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma individual, binas o equipos.

Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de campo, etc.

La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa, de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este momento, el docente podrá tener una visión general del logro de los aprendizajes del grupo.

Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para mejorar tu aprendizaje.

Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las actitudes de responsabilidad e integración del grupo.

Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo social, profesional y laboral. Para que contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de ser receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y contextualización de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y aprender a vivir juntos.

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estas son

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1

La evolución del Cálculo

Modelar problemas

Límites de funciones

Continuidad

La derivada de la función

Teoremas sobre derivadas

•Polinomiales •Racionales •Trigonométricas •Logarítmicas •Exponenciales

Teoremas

•Límites unilaterales. •Límites absolutos. •Límites en el infinito y

al infinito.

Razón de cambio

Criterio de la primera derivada

Optimización de funciones

Concavidad de funciones

Trazo de curvas Valores máximos y

mínimos contiene

con el fin de

para

se determinan los

se interpreta como

para obtener en relación con

para

para Resolver problemas de diferentes sectores

productivos, ambientales y sociales

mediante

aplicando

se define como

Funciones algebraicas Funciones trascendentales

Criterio de la segunda derivada

Funciones crecientes y decrecientes La pendiente de la

recta tangente

se interpreta como se calculan por medio del

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Tiempo asignado: 10 horas

Argumenta el estudio del cálculo mediante el análisis de su evolución, sus modelos matemáticos y su relación con hechos reales.

Competencias disciplinares:

• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

• Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

• _{Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el} lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

• _{Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su} comportamiento.

• Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

• Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:

• _{Construye e interpreta modelos matemáticos sencillos, mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y geométricos.} • _{Explica e interpreta los resultados obtenidos en el análisis de la evolución histórica del estudio del cálculo y los contrasta}

con su aplicación en situaciones reales.

• Argumenta la solución obtenida de un problema, con modelos matemáticos sencillos y su representación gráfica.

• _{Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades al trabajar los modelos} matemáticos.

Atributos a desarrollar en el bloque:

4.1. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

5.1. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.4. Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

5.6. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

6.1. Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.

7.1. Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.

8.1. Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

8.2. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

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Secuencia didáctica 1.

Antecedentes del Cálculo.

_Inicio

Evaluación Evaluación Evaluación Evaluación

Actividad:1 Producto: Descripción y

cuestionario. Puntaje:

Saberes Saberes Saberes Saberes Conceptual

Conceptual Conceptual

Conceptual ProcProcProcProcedimentaledimentaledimentaledimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal

Reconoce personajes que contribuyeron al desarrollo de las Matemáticas.

Explica las contribuciones a las Matemáticas de personajes de la historia.

Describe en forma clara y limpia las contribuciones de diferentes personajes de la historia, a las Matemáticas.

Autoevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Realiza lo siguiente.

I. Enuncia cinco personajes de la historia que hayan contribuido con el desarrollo de las Matemáticas.

1) __________________________________________________________________________________________ 2) __________________________________________________________________________________________ 3) __________________________________________________________________________________________ 4) __________________________________________________________________________________________ 5) __________________________________________________________________________________________

II. Describe cuáles fueron las aportaciones de los personajes que mencionaste.

III. ¿Por qué crees que es importante conocer la historia de las Matemáticas?

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_Desarrollo

Evolución del Cálculo.

El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los cambios en las variables, pendientes de curvas, valores máximos y mínimos de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Se utiliza para el análisis y la solución de múltiples problemas que se presentan en la naturaleza, en la ciencia y en la vida diaria.

Actividad: 2 Producto: Línea del tiempo. Puntaje: Saberes

SaberesSaberes Saberes Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal

Describe el origen del Cálculo y sus aportaciones.

Representa el origen del Cálculo y sus aportaciones.

Es creativo al realizar la representación de los acontecimientos que dieron origen al Cálculo.

Realiza lo que se te solicita.

1. Investiga cómo se originó el Cálculo y las aportaciones que se hicieron al mismo.

2. Realiza una línea del tiempo en donde plasmes los acontecimientos, incluyendo fechas, hechos e imágenes de los principales aportadores.

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Actividad: 3 Producto: Presentación. Puntaje: Saberes

Saberes Saberes Saberes Conceptual

Expone una breve biografía de un personaje que aportó en gran medida al desarrollo del Cálculo.

Sintetiza la información obtenida y la reestructura en una

presentación.

Cumple con los requisitos de la exposición.

Coevaluación C MC NC Calificación otorgada por el docente

Realicen en equipo lo siguiente:

I. Elijan un personaje que haya contribuido en gran medida al desarrollo del Cálculo, escribe su nombre en la línea.

___________________________________________________

II. Realicen una presentación en Power Point, que contenga los siguientes puntos:

1. Datos generales del personaje (nombre completo, lugar, fecha de nacimiento y ocupación). 2. Aspectos de su infancia y adolescencia.

3. Su trayectoria como científico.

4. Cuáles fueron sus aportaciones al Cálculo.

III. La presentación deberá contener imágenes alusivas al personaje y su duración será de máximo 10 minutos.

IV.En la presentación incluirán una diapositiva final que contenga el nombre de los integrantes del equipo, su aportación a la investigación y presentación del personaje.

V. Estos son algunos de los aspectos que deberán cuidar en la exposición.

Aspectos generales:

• _Puntualidad. • _{Uso del tiempo.}

• _{Originalidad en la presentación.} • _{Contacto visual.}

• _{Tono de voz.}

Contenido:

• _Vocabulario.

• _{Dominio del contenido.}

• _{Procura la atención de sus compañeros.} • _{Secuencialidad.}

Lámina:

• _{Tamaño de letra} • _Ortografía. • _Rotulado.

• _{Calidad del contenido presentado.}

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_Cierre

Realiza lo siguiente:

I. Escribe con tus propias palabras una cuartilla sobre la importancia del Cálculo en la sociedad actual. Para hacerlo tienes que dar respuesta a los siguientes cuestionamientos.

1) ¿Qué es el Cálculo Diferencial e Integral? 2) ¿Cómo se ha desarrollado a través del tiempo?

3) ¿Cuáles son las aplicaciones del Cálculo en la actualidad? 4) ¿En tu entorno, dónde se aplica el Cálculo?

II. Para realizar tu escrito considera los siguientes aspectos:

• _{Estructura el título.}

• _{Utiliza las palabras más adecuadas para expresar tus ideas.} • _{Elabora las oraciones de forma coherente y lógica.}

• _{Revisa que estén correctos los signos de puntuación, letras mayúsculas y los acentos.}

• _{Elabora un borrador para que te ayude a estructurar mejor tu escrito final y lo plasmes en la siguiente} hoja.

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Actividad: 4 Producto: Escrito. Puntaje: Saberes SaberesSaberes Saberes Conceptual Conceptual Conceptual

Conceptual ProcedimentalProcedimentalProcedimentalProcedimental ActitudinalActitudinalActitudinalActitudinal Identifica las aplicaciones del

Cálculo y su desarrollo a través del tiempo.

Opina sobre la importancia del Cálculo en la sociedad actual.

Cumple con los requisitos indicados para realizar el escrito.

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Secuencia didáctica 2.

Modelación de problemas.

Inicio

Actividad:1 Producto: Complementación de la

tabla. Puntaje:

Saberes SaberesSaberes Saberes Conceptual

Identifica el nombre, figura y fórmulas de diferentes figuras geométricas.

Expresa el nombre, figura y fórmulas de diferentes figuras geométricas.

Despeja variables de fórmulas.

Se interesa por realizar la actividad.

Completa la siguiente tabla.

Nombre Figura geométrica Fórmulas Despeje

Rectángulo

h 2 b 2

P= + _b=

h b

A= _b=

b a

h A= h=

=

V _a=

r

r 2

P= π r=

2

r

A=π _r=

Esfera

2

r 4

A= π _r=

3 r 3 4

V= π _r=

r h

=

A _r=

=

V _h=

Cono

h r 3 1

V= π 2 _h=

2 2

2 _h _r

r r

A=π + +π _h=

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_Desarrollo

La variación de fenómenos.

Es imposible imaginar al mundo que nos rodea sin movimiento; ¿has notado que todo lo que te rodea está cambiando? Cambia la distancia a la que se encuentran dos personas cuando se aleja una de otra, la altura en que se encuentra una persona cuando se tira en paracaídas; la temperatura de un líquido al aplicarle calor, la velocidad con que se transporta un sujeto en su automóvil, de una ciudad a otra, etc. y no nada más a los cambios que surgen en el transcurrir del tiempo, sino a cambios que se establecen para optimizar el desarrollo de la sociedad, como son: la distribución de las casas, los materiales con los que están hechas, el cambio de las rutas del trasporte urbano conforme crece la población, y así como estos ejemplos, podrías encontrar una gran diversidad de problemas en los que es necesario la optimización de alternativas que tienen que ver con las variables involucradas y sus cambios.

En el estudio de la variación, se pueden encontrar diversos tipos de problemas que se representan de diferentes formas, como son: tablas, gráficas, analíticas, entre otras, esto lo manejaste en Matemáticas 4.

Conjugar las diferentes representaciones ayuda a tener una mejor perspectiva de los problemas para así poder darles solución.

Para encontrar la representación analítica de un problema, es importante establecer la dependencia de las variables, es decir, determinar cómo cambia una cantidad cuando varía otra, en otras palabras, cuándo una cantidad está en función de otra. Por ejemplo:

• _{El tiempo que tarda un automóvil en recorrer una distancia determinada, depende de la} velocidad que lleva.

• _{El volumen de un recipiente, depende de la forma y el tamaño.}

• _{La cantidad de líquido en un recipiente que se coloca en el fuego, depende del tiempo} que se exponga y la intensidad de calor.

• _{El nivel de agua en una presa, depende de muchas variables,} algunas de ellas son, la cantidad que pierde al evaporarse, la cantidad de agua que ingresa de otras afluencias, la cantidad de lluvia, la cantidad que pierde al abastecer a las diferentes comunidades, etc.

• _{El costo de elaboración de un recipiente cilíndrico de determinado volumen, depende del} material con que se elabora, del área de la superficie del cilindro, etc.

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En equipo, analicen de qué depende cada una de las siguientes situaciones y enumera la mayor cantidad posible.

1. El volumen de un globo que se está inflando.

2. El nivel del agua de un recipiente cilíndrico cerrado que es llenado hasta la mitad al ir girando hasta 180o_{, es}

decir, que la tapa queda como base.

3. La velocidad a la que cae una pelota.

4. La distancia a la que llega un proyectil.

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Actividad: 2 Producto: Descripción. Puntaje: Saberes

Identifica las relaciones entre las variables que componen una situación.

Distingue las relaciones entre las variables que componen una situación.

Es respetuoso y muestra interés en la opinión de sus compañeros. Aporta ideas claras para la realización de la actividad.

6.El área de un círculo.

7. El volumen de un cilindro.

8. El volumen de un prisma.

9. El sueldo de un trabajador.

10. El costo de un determinado artículo.

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Modelación con funciones.

Una de las representaciones más usadas en los laboratorios e industrias son los registros numéricos o tablas, ésta se lleva a cabo, tomando el registro del comportamiento de la situación en cada instante de tiempo, con instrumentos especializados, donde se puede medir la velocidad, la temperatura, la posición de una partícula, la presión, la fuerza, etc.

Cuando se tiene el registro numérico de un problema, se pueden analizar varios aspectos como es la velocidad con que cambian los factores involucrados, también se puede predecir el comportamiento futuro, bosquejar una gráfica o bien, si no se tiene toda la información del problema, se pueden determinar las condiciones iniciales en las que se llevó a cabo.

Desafortunadamente, la exactitud del análisis de una tabla depende del número de registros que se hayan recabado, además del tamaño de intervalos en los que se tomó la lectura, como por ejemplo:

Tres personas hicieron 10 registros con sensores conectados a una computadora, de la posición de un automóvil que transita por una carretera recta al transcurrir el tiempo y obtuvieron los siguiente resultados.

Donde “t” es el tiempo transcurrido en segundos y “x” es la posición del automóvil medida en metros.

Si no se tuviera la información del problema, a simple vista se podría pensar que se trata de tres situaciones diferentes, pero al observar las tablas anteriores se puede determinar que se trata del mismo auto o tres automóviles que salieron al mismo tiempo y llevan hasta los 2.25 s la misma velocidad constante; debido a que en las tres tablas la posición inicial es de 20 m.

Para complementar el análisis de un problema, se puede utilizar la representación gráfica, utilizando los datos de una tabla, con el propósito de obtener información más detallada del problema. Por supuesto, si se tiene la representación analítica (función) de una situación, se conoce exactamente el comportamiento numérico y gráfico en cada instante. Como por ejemplo, si se grafican las tablas anteriores, se observa que tienen la misma inclinación, cortan al eje vertical en el mismo punto y se pueden modelar mediante una función lineal, como se muestra a continuación.

t x

0 20

1 50

2 80

3 110

4 140

5 170

6 200

7 230

8 260

9 290

t x

0.0 20

0.5 35

1.0 50

1.5 65

2.0 80

2.5 95

3.0 110

3.5 125

4.0 140

4.5 155

t x

0.00 20.0

0.25 27.5

0.50 35.0

0.75 42.5

1.00 50.0

1.25 57.5

1.50 65.0

1.75 72.5

2.00 80

2.25 87.5

Persona 2 Persona 2Persona 2

Persona 2 Persona 3Persona 3Persona 3Persona 3 Persona 1

(20)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 −20 −10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 t (s) t (s)t (s) t (s) x(m)

x(m) x(m) x(m)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 −20 −10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290

t (s ) t (s ) t (s ) t (s ) x(m)

x(m) x(m) x(m)

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 −20 −10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290

t (s ) t (s ) t (s ) t (s ) x(m)

x(m) x(m) x(m)

La función anterior se conoce como función lineal y en Matemáticas 3 la conociste en su forma pendiente-ordenada en el origen.

En ocasiones, a partir de un registro numérico, se puede generalizar y establecer en forma analítica (función) la relación que existe entre las variables involucradas y de esta forma, llevar a cabo un análisis más completo del comportamiento del problema y así poder determinar con exactitud la gráfica.

Además, si se tiene de forma detallada alguna situación, se puede modelar con una función y así poder encontrar aspectos importantes para su manejo y solución.

Enseguida se presentan la modelación con funciones, mediante la descripción detallada de algunas situaciones.

Ejemplo 1.

El volumen de una caja rectangular sin tapa, en función de los cuadrados de longitud “x” que se recortan en los extremos de una lámina de 60 cm de largo, por 40 cm de ancho.

60 – 2x 40 – 2

x x 60 x 40 ) x )( x 2 40 )( x 2 60 ( ) x (

V = − −

x 2400 x 200 x 4 ) x (

V = 3− 2+

20 t 30 ) t (

x = +

Posición inicial

(21)

Si se conoce la representación analítica de un problema, se pueden representar de forma numérica y gráfica los factores más importantes que intervienen en el análisis de la situación; como por ejemplo, la función que se obtuvo del volumen de la caja sin tapa, quedó determinada de la siguiente forma:

x 2400 x

200 x 4 ) x (

V = 3− 2+

De tal manera que, si se quiere conocer cómo varía el volumen cuando cambia la longitud del cuadrado recortado, sólo es necesario asignarle valores a la longitud y se obtendrán los respectivos valores del volumen, como se mencionó con anterioridad, el registro numérico será tan exacto como tú quieras, debido a la forma en que vayas proporcionando el incremento de la longitud, por ejemplo:

x V(x)

3 5508

4 6656

5 7500

6 8064

7 8372

8 8448

9 8316

10 8000

Si se observa la tabla, se puede notar cómo a medida que cambia la longitud, varía el volumen y si se sustituyen más valores de “x” en la tabla, se puede obtener un mejor acercamiento de la gráfica, como se muestra a continuación:

La tabla se realizó mediante Excel; de tal manera, que si deseas hacer una tabla con incrementos más pequeños, comenta con tu maestro y con el mismo paquete informático, puedes hacer una gráfica más fina que la anterior, para que puedas tener una información más exacta del problema.

x V(x)

0 0

1 2204

2 4032

3 5508

4 6656

5 7500

6 8064

7 8372

8 8448

9 8316

10 8000

11 7524

12 6912

13 6188

14 5376

15 4500

16 3584

17 2652

18 1728

19 836

20 0

V(x)

x

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Actividad: 3 Producto: Cuestionario. Puntaje: Saberes

Reconoce características importantes para la solución del problema.

Detecta algunas características del problema, para graficarlo y darle solución.

Se interesa en el análisis de los cuestionamientos y aporta ideas claras y concisas de su solución.

De la información antes obtenida del problema de la caja, analiza y comenta en clase las respuestas a las siguientes preguntas.

1. ¿Qué ocurre con el volumen de la caja a medida que se cortan cuadros cada vez más grandes?

2. ¿Cuál es el cuadrado tomado como base de la caja de mayor tamaño que se puede recortar?

3. ¿Existe una caja que tenga el volumen máximo? Justifica tu respuesta.

4. ¿Cuál será la longitud del cuadrado base que se recorta para construir la caja de máximo volumen?

5. ¿De qué forma se podría conocer la longitud del cuadrado, tomado como base de la caja que nos da mayor volumen?

(23)

Ejemplo 2.

Expresar el área de la caja anterior, en función de la longitud del lado de los cuadrados.

Para expresar el área de la caja, se tiene que encontrar primero el área de cada uno de los rectángulos que la forman.

V IV III II

I A A A A

A ) x (

A = + + + +

2400 x 200 x 4 A x 40 x 2 A A x 60 x 2 A A 2 III 2 IV II 2 V I + − = − − = = + − = =

Por lo tanto, la función queda:

2400 x 4 ) x ( A 2400 x 200 x 4 ) x 40 x 2 ( 2 ) x 60 x 2 ( 2 ) x ( A 2 2 2 2 + − = + − + + − + + − = Ejemplo 3.

Una bola de billar recorre la trayectoria indicada por el diagrama siguiente:

Para expresar la longitud L en función del ángulo θ_{, es} necesario recordar los temas de triángulos semejantes y funciones trigonométricas, debido a que los ángulos de los triángulos ACB y DCE tienen la misma medida. Si al segmento BC se le asigna la letra x, se obtiene la siguiente expresión: x x 52 . 1 73 . 0 L − = ) x 52 . 1 )( 73 . 0 ( ) x )( L ( = −

Al realizar el despeje de L se obtiene:

73 . 0 x 1096 . 1

L= −

De tal forma que utilizando las funciones trigonométricas, la longitud L en función de θ_es:

73 . 0 tan 52 . 1 ) (

Lθ = θ−

I

III

60 – 2x

40 – 2x

II IV

V

E C

A

B D

0.73 m

θ θ

L

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Ejemplo 4.

Expresar la cantidad de alambre (L) necesaria para cercar un terreno rectangular de 1800 m2_{en dos porciones}

iguales, con una cerca adicional paralela a dos de los lados, como se muestra en la figura, en término de la longitud “x”.

La cantidad de alambre (perímetro) se expresa mediante la fórmula

y 3 x 2 L= +

Tomando en cuenta que el área es de 1800 m2_{, se obtiene la}

siguiente expresión:

xy 1800=

De tal forma que la cantidad de alambre en función de “x” es:

x 5400 x 2 ) x (

L = +

x

1800 m2 _y

En equipo, redacten 5 preguntas para cada uno de los ejemplos 2, 3 y 4 de esta secuencia, de tal forma que describa el comportamiento de cada función, para posteriormente dar una conclusión grupal a cada una de ellas.

Descripción Descripción Descripción

Descripción DibujoDibujoDibujoDibujo Función que lo modelaFunción que lo modela Función que lo modelaFunción que lo modela

Expresar el área de la caja anterior en función de la longitud de los lados de los cuadrados.

I

III

60 – 2x

40 – 2x

II IV

V

2400 x

4 ) x (

A =− 2+

P

re

g

u

n

ta

s

Conclusión:

(25)

Descripción DescripciónDescripción

Descripción DibujoDibujo DibujoDibujo Función que lo Función que lo Función que lo Función que lo modela

modela modela modela

Una bola de billar recorre la trayectoria

indicada por el

diagrama. Expresar la longitud L en función del ángulo θ_.

73 . 0 tan 52 . 1 ) (

Lθ = θ−

P

re

g

u

n

ta

s

Conclusión:

(26)

Actividad: 4 Producto: Conclusión grupal. Puntaje: Saberes

Comprende las características principales de las funciones que describen el problema.

Diseña cuestionamientos que describe el comportamiento de la función que modela el problema.

Es propositivo para diseñar las preguntas, escucha y respeta las opiniones de sus compañeros.

Descripción Descripción Descripción

Descripción DibujoDibujo DibujoDibujo Función que lo modelaFunción que lo modelaFunción que lo modelaFunción que lo modela

Expresar la cantidad de alambre (L) necesaria para cercar un terreno rectangular de 1800 m2_{en dos}

porciones iguales, con una cerca adicional paralela a dos de los lados, como se muestra en la figura, en término de la longitud “x”.

x

1800 m2 y

x 5400 x 2 ) x (

L = +

P

re

g

u

n

ta

s

Conclusión:

(27)

_Cierre

Modela los siguientes problemas:

1. Expresa el área de un cono circular en función de la altura, si el volumen es de 50 cm3_.

(28)

3. Se desea fabricar un tanque de gas estacionario en forma de cilindro circular horizontal de 3.5 m de largo, para una fábrica de muebles. Expresa el volumen en función del radio.

4. Don Agustín heredó a su hijo un terreno rectangular de 1,500 m2_{. Si tiene la oportunidad de elegir las}

dimensiones del terreno, determina la longitud del alambre que utilizará para cercarlo, en función de uno de sus lados.

(29)

Actividad: 5 Producto: Problemas de aplicación. Puntaje: Saberes

Relaciona las variables que componen un problema.

Construye la función que modela un problema.

Es creativo y muestra interés en realizar la actividad.

5. Un alambre de 1 m de longitud debe ser cortado en dos pedazos, uno ha de ser doblado formando un cuadro y otro formando un círculo, expresa la suma de las áreas de las dos figuras en función de la cantidad “x”que debe ser cortada del alambre.

(30)

(31)

Tiempo asignado: 15 horas

Resuelve problemas de límites en situaciones

de carácter económico, administrativo, natural

y social.

Competencias disciplinares:

• Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

• Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

• Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

• Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

• Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

• Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

• Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Unidad de competencia:

• Aplica el concepto de límite a partir de la resolución de problemas económicos, administrativos, naturales y sociales de la vida cotidiana.

• Calcula límites a partir de la elaboración de gráficas en algún software y su interpretación de las representaciones gráficas de funciones, mostrando habilidades en la resolución de problemas de situaciones cotidianas.