Arquitectura modular basada en la teoría de los policubos

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

La Universidad Católica de Loja

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TEMA:

Arquitectura modular basada en la

teoría de los policubos

TRABAJO DE FIN DE TITULACIÓN

AUTOR: Edmundo Daniel Quezada Feijoó

DIRECTOR: Arq. Xavier Burneo

Loja-Ecuador

Loja, 03 de julio del 2012

Arq. Xavier Burneo

DOCENTE INVESTIGADOR UDIA Y DIRECTOR DE TESIS

Certifica

Que el presente trabajo de investigación desarrollado por el Sr. Edmundo Daniel Quezada Feijoó, titulado: “ARQUITECTURA

MODULAR BASADA EN LA TEORÍA DE LOS POLICUBOS”, ha sido dirigida, orientada y evaluada en todas sus partes,

habiendo podido constatar que cumple con los requisitos de forma y fondo exigidos por la Escuela de Arquitectura, en consecuencia, el mismo se encuentra estructurado adecuadamente y autorizo su presentación para su evaluación pertinente. Particular que pongo en conocimiento a las autoridades para los fines pertinentes.

Arq. Xavier Burneo

CESIÓN DE DERECHOS

Yo, Edmundo Daniel Quezada Feijoó, declaro conocer y aceptar la disposición del art. 64 del estatuto orgánico de la Universidad Técnica Particular de Loja, que en su parte pertinente dice: “Forman parte del patrimonio de la Universidad la propiedad intelectual de investigaciones y trabajos científicos o técnicos y tesis de grado que se realicen a través, o con el apoyo financiero, académico o institucional (operativo) de la Universidad”

Edmundo Daniel Quezada Feijoó

AUTORÍA

DEDICATORIA Y AGRADECIMIENTOS

A Dios, el amigo incondicional, por estar conmigo siempre y poner una sonrisa en mi rostro aun cuando no había nada porqué

sonreír.

A mi madre, por ser un ejemplo a seguir, por darme la vida, enseñarme a abrazar mis metas y no descansar hasta

conseguirlas

A mi padre, por el estímulo constante de superación, por abrirme lo ojos de que en la vida todo es esfuerzo, a no decaer en

los peores momentos y por ayudarme a crecer cada día como un hombre de bien.

A mis hermanos, por creer en cada cosa que hago , por brindarme su cariño y confianza.

A mi mami Herma, por haberme criado con amor y rectitud, por la paciencia, por los cuidados y el apoyo incondicional en mi

vida

A mi tía Julia, por el rico cafesito que me ha acompañado desde que tengo memoria, por su preocupación y cariño diario por

mi bienestar.

A mi tía Cumi, por acompañarme todas esas malas noches, por ser un gran soporte para lograr culminar lo planificado, y por

su amor y paciencia que me transmitía cuando todo parecía caer.

A mi tía Astrid, por estimular mi deseo a explorar más allá de la realidad, por enseñarme que nada es fácil en la vida y que

todo se debe conseguir con paciencia y amor; gracias por ese cariño inmenso y los consejos brindados, por creer en mí y enseñarme a tomar riegos que con esfuerzo siempre terminan solucionados.

A mi familia en general, por estar allí, por apoyarme, por aconsejarme, por compartir conmigo sus más pequeñas ilusiones.

Al Arq. Xavier Burneo, por su apoyo desinteresado en el trabajo de la presente investigación, por brindarme su amistad y sus

conocimientos para que todo haya culminado con éxito, por fomentar ese espíritu investigativo en mi y el aliento constante en tiempos de desesperación.

A mis amig@s, los verdaderos, que a lo largo de todas esas experiencias vividas, me han enseñado a comprender que

existen personas de confianza, que están ahí cuando más se los necesita, por las sonrisas que me han sacado, por su afecto y cariño diario.

ESQUEMA GENERAL

PRELIMINARES

I. Planteamiento del problema II. Justificación

III. Objetivos IV. Hipótesis

1.

CAPITULO 1: Teoría de los Policubos.

1.1. Introducción

1.2. Las figuras geométricas 1.2.1. Polígono

1.2.2. Poliedro 1.3. El Cubo

1.3.1. Generalidades 1.3.2. Concepto del cubo 1.3.3. Propiedades

1.3.4. Demostración de la fórmula de Euler en el cubo 1.3.5. Composición del cubo

1.3.6. Área del cubo 1.3.7. Volumen del cubo 1.3.8. Simetrías del cubo 1.4. Poliminos

1.4.1. Concepto 1.4.2. Clasificación

1.4.2.1. Por el número de cuadrados conectados 1.4.2.2. Según la forma de agrupación

1.4.2.3. Según la forma final

1.4.2.4. Por la libertad de agrupación

1.5. Policubos

1.5.1. Concepto 1.5.2. Clasificación

1.5.2.1. Por el número de cubos conectados 1.5.2.2. Según la forma de agrupación 1.5.3. Construcción de cubos con policubos

1.5.3.1. Cubo de dimensión de 2x2x2 1.5.3.2. Cubo de dimensión de 3x3x3 1.5.3.3. Cubo de dimensión de 4x4x4 1.5.4. Casos análogos de policubos

1.5.4.1. Puzzle de Cardan 1.5.4.2. Cubo Soma 1.5.4.3. Cubo de O’berine

1.5.4.4. Cubo diabólico 1.5.4.5. Cubo de Nob 1.5.4.6. Cubo de Steinhaus 1.5.4.7. Cubo de Conway

1.5.4.8. Half Hour Puzzle o cubo de Coffí 1.5.4.9. Cubo de Lola

1.5.4.10. Cubo 7

2.

CAPÍTULO 2: Aplicación de la Teoría de los Policubos en el diseño arquitectónico. Casos análogos.

2.1. Introducción

2.2. Módulo de vivienda NANO 2.2.1. Antecedentes 2.2.2. Memoria descriptiva

2.2.2.1. Generalidades 2.2.2.2. Concepto 2.2.3. Análisis explicativo

2.2.3.1. Planos arquitectónicos 2.2.3.2. Módulo básico

2.3. Zero House

2.3.1. Memoria descriptiva 2.3.1.1. Generalidades 2.3.1.2. Concepto 2.3.1.3. Componentes 2.3.2. Análisis explicativo

2.3.2.1. Planos arquitectónicos 2.3.2.2. Módulo básico

2.3.2.3. Patrones de combinabilidad

2.4. Viviendas experimentales Torrejón de Ardoz 2.4.1. Antecedentes

2.4.2. Memoria descriptiva 2.4.2.1. Generalidades 2.4.2.2. Concepto 2.4.3. Análisis explicativo

2.4.3.1. Planos arquitectónicos 2.4.3.2. Módulo básico

2.4.3.3. Patrones de combinabilidad

3.

CAPÍTULO 3: Determinación del módulo de diseño arquitectónico.

3.1. Introducción 3.2. Modulación

3.2.1. Definiciones básicas 3.2.1.1. Módulo 3.2.1.2. Modulación

3.2.2. Nuevos métodos de creación arquitectónica 3.2.3. Coordinación modular

3.2.3.1. Posicionamiento de los componentes con respecto a la cuadricula modular de referencia 3.2.3.2. Series numéricas de dimensiones en la modulación

4.

CAPÍTULO 4: Determinación y aplicación de metodologías basadas en la Teoría de los Policubos en el

diseño arquitectónico de proyectos de vivienda.

4.1. Introducción 4.2. Metodología 1

4.2.1. Consideraciones 4.2.2. Procedimiento 4.2.3. Restricciones 4.2.4. Ventajas 4.2.5. Desventajas 4.2.6. Recomendaciones 4.2.7. Aplicaciones

4.2.7.1. Ejercicio de aplicación 4.3. Metodología 2

4.3.1. Consideraciones 4.3.2. Procedimiento 4.3.3. Restricciones 4.3.4. Ventajas 4.3.5. Desventajas 4.3.6. Recomendaciones 4.3.7. Aplicaciones

4.3.7.1. Ejercicio de aplicación

5.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

RESUMEN

I.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

El proyectar arquitectura se origina de la capacidad que tiene el diseñador para elegir un proceso de diseño que dé solución a una serie de variables que se presentan dentro del proyecto arquitectónico a realizar: funcionabilidad, flexibilidad, eficacia y comodidad han sido consideraciones sobre las cuales se debe actuar, intervenir y transformar a través de dicho proceso, el reto del diseñador radica en definir estrategias y relacionarlas con procesos de diseño diferentes a los tradicionales a fin de proyectar arquitectura, bajo el supuesto de que dichos procesos pueden generar resultados similares o mejores a los comúnmente utilizados.

II.

JUSTIFICACIÓN

En la construcción de un camino entre estos dos puntos inciertos, de origen y llegada, reside la tarea del diseñador.1

Cada proceso de diseño arquitectónico trae aparejada la decisión del individuo de tomar los conocimientos que se le han entregado en los años de formación y diseñar sobre la base de la técnica ya conocida, siendo el proyecto de arquitectura una resultante de la aplicación de elementos predeterminados y de ideas estrechas y poco abiertas a la exploración.

Todas las metodologías empleadas por estudiantes y profesionales en arquitectura han sido manejadas con la finalidad de simplificar y ordenar los procesos de diseño arquitectónico. Sin embargo el análisis de distintos caminos, dan la pauta de que el diseñador explora nuevas formas de conceptualizar su proceso creativo en la proyección de arquitectura, a fin de facilitar el camino en el diseño arquitectónico; obteniendo de esta exploración, los mismos o hasta mejores resultados que utilizando los procesos aprendidos. La presente investigación está destinada a analizar una metodología poco conocida, basada en la teoría de los policubos y su estudio en el comportamiento de unidades modulares compuestas por cubos.

1

Se puede utilizar al cubo y policubos como elementos modulares espaciales por las siguientes razones:

1. La direccionalidad de sus aristas corresponde al sistema de coordenadas: cartesiano y ortogonal. 2. Son cuerpos sólidos que ocupan modularmente el espacio tridimensional.

3. Los policubos guardan una relación modular de forma que al encontrar el módulo base se puede desencadenar una expansión de módulos tridimensionales, pudiendo generar, de esta manera, un crecimiento programado que cumpla con requerimientos espaciales, funcionales y formales de un proyecto arquitectónico.

III.

OBJETIVOS

General:

Analizar la arquitectura modular basada en la Teoría de los Policubos como alternativa en la formación de espacios arquitectónicos.

Específicos:

 Mostrar la teoría de los policubos y el comportamiento de unidades cúbicas, desde su carácter volumétrico y modular, como base en el establecimiento de formas tridimensionales de uso arquitectónico.

 Examinar ejemplos de la teoría de los policubos aplicados a diseños arquitectónicos.

 Definir el módulo base divisible en sub-módulos útiles en la conformación de espacios arquitectónicos eficaces, funcionales y flexibles.

 Establecer una metodología de diseño basada en la teoría de los policubos como herramienta para el diseño arquitectónico.

 Evaluar prototipos de vivienda utilizando la teoría de los policubos y su carácter modular de una manera lúdica .

IV.

HIPÓTESIS

La utilización de la Teoría de los Policubos en el diseño arquitectónico, mejora la creatividad, eficacia, funcionabilidad y flexibilidad en los espacios arquitectónicos diseñados.

1.1 INTRODUCCIÓN

La importancia del estudio de la teoría de los policubos radica en que al ser parte la las matemáticas recreativas, mediante la manipulación de los policubos, brinda bases para el desarrollo de habilidades creativas, visuales y verbales, por las experiencias espaciales que se pueden encontrar en ellos. El estudio con policubos a partir de su carácter volumétrico a través de un trabajo concreto y tridimensional, puede generar desde formas simples hasta formas complejas; por ello son utilizados constantemente como elementos para el proceso del aprendizaje debido a que aportan en el desarrollo del pensamiento geométrico que es la base para la comprensión del entorno en el que vivimos.

1.2 LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Desde principios de la humanidad, el hombre se ha visto en la necesidad de resolver problemas que a diario se le presentan, gracias a su capacidad de raciocinio podía solucionar situaciones simples hasta las más complejas. Descubrió los números cuando surgió la necesidad de contar; definió las operaciones cuando preciso hacer cálculos; invento la rueda cuando tuvo la intención de movilizarse más rápido; son algunos ejemplos por medio de los cuales podemos notar como ante una necesidad, el ser humano fue utilizando su capacidad para solucionarlas.

Al admirar la belleza de la naturaleza, el ser humano ya relacionó conceptos de formas, líneas, cuerpos, figuras, etc. Aunque no se sabe con exactitud cuando empezaron a aparecer las formas geométricas, la naturaleza ha brindado desde siempre elementos por los cuales se podía conceptualizar distintas figuras, tanto los primeros seres humanos, como los de la actualidad pueden idear por medio de estos elementos, muchas figuras (fig.1). En realidad, los primeros indicios de la utilización de figuras geométricas los encontramos en el arte rupestre (fig. 2). “Fue durante la última etapa

del Paleolítico, hace unos 20000 años, cuando se produjeron las primeras obras de

arte que conocemos.”2 _{En este tipo de arte ya podemos observar representaciones de}

animales y personas en paredes de cavernas o piedras, cuyos dibujos ya nos demuestran la utilización de una diversidad de formas geométricas.

Conforme pasaron los años, se iban desarrollando las técnicas del arte y por ende se hacían más estilizadas las representaciones pictóricas, como muestra de ello, se puede ver el trabajo realizado en los jeroglíficos egipcios, considerados la cuna de la escritura.

“Los primeros jeroglíficos eran la representación directa de una realidad visible y con valor fijo (pictogramas); así, por ejemplo el signo z representaba el ojo, o el signo d que

representa una mano.”3 _{El gran manejo de la técnica en la realización de estos}

2

H. W. Janson, Anthony F. Janson. “Historia del arte para jóvenes”. Ediciones AKAL, 1988. Pág. 11

3

Los jeroglíficos egipcios [en línea]. Consultado el 22 de marzo del 2011. Disponible en: http://club.telepolis.com/pmmancebo/jeroglificos.pdf

Fig. 1. Figuras geométricas en la naturaleza. Fuente: Autor

pictogramas, permitió que las figuras sean muy trabajadas, a tal punto de que sus signos eran realizados delicadamente para su perfecta comprensión. Pero los egipcios no solamente se destacaron por sus jeroglíficos con formas perfectamente delineadas, sino que también sobresalieron en las técnicas que usaban para delimitar sus tierras y otras actividades afines al trabajo en tierra, para lo cual, empezaron a utilizar figuras geométricas para dichas acciones (fig. 3).

“Según lo registra la historia, los conceptos geométricos que el hombre ideó para explicarse la naturaleza nacieron -en forma práctica- a orillas del río Nilo, en el antiguo Egipto. Las principales causas fueron tener que remarcar los límites de los terrenos ribereños y construir diques paralelos para encauzar sus aguas. Esto, debido a los desbordes que causaban las inundaciones periódicas.”4

Con la utilización de figuras geométricas en la medición de tierras, a los egipcios se le atribuyó el descubrimiento de la Geometría considerada como “una ciencia que tiene

por objeto la medida de la extensión.”5 _{Consecuencia de este descubrimiento, muchos}

matemáticos, empezaron a estudiar más y con mayor profundidad cada uno de los componentes geométricos.Ahora bien, para tener una pequeña noción de las bases de la geometría, necesitamos conocer algunos fundamentos, como: el punto es el elemento base, la sucesión de puntos crea varios elementos como la recta, y por lo tanto la configuración de figuras geométricas. Es así como ya podemos definir a las figuras geométricas como la sucesión de puntos y poder dar una primera clasificación:

a). “Una figura plana es una figura con todos los puntos en un plano, pero no todos en

una recta.

b). Una figura espacial no tiene todos sus puntos en un solo plano.”6 _(fig.4).

4

Introducción a la geometría de los Polígonos [en línea]. Consultado el 23 de marzo del 2011. Disponible en http://poligonos1.blogspot.com/

5

A.M. Legendre. “Elementos de geometría”. Imprenta Repulles. Madrid. 1807. Pág. 1

6

Stanley R. Clemens, Phares G. O'Daffer, Thomas J. Cooney. “Geometría”. Pearson Educación, 1998. Pág. 16

Fig. 3. Utilización de conceptos geométricos en Egipto. Fuente: http://poligonos1.blogspot.com/

Para entender de una forma mejor lo antes mencionado, existe una clasificación más específica de agrupar a las figuras geométricas: en polígonos y poliedros.

1.2.1 POLÍGONO

Es una figura plana que se encuentra limitada por lados, y de los cuales podemos encontrar una serie de clasificaciones que a continuación mencionaremos:

 Por el número de lados, (ver fig. 5).

 Según sus ángulos, (ver fig. 6).

 Según sus ángulos y sus lados, como se muestra en la figura 7.

1.2.2 POLIEDRO

Es una figura que posee volumen, es un sólido y se encuentra conformado por caras o polígonos. Existen una diversidad de poliedros, de los cuales podemos destacar la siguiente clasificación:

 Por tener todas las caras que la conforman iguales, se denominan poliedros regulares o sólidos platónicos. (fig. 8)

 Cuando las caras que lo conforman comprende más de un tipo de polígono, de denominan poliedros irregulares. (fig. 9)

Existen otros cuerpos geométricos que no entran en ninguna de las clasificaciones anteriores, son los denominados cuerpos de revolución, “un cuerpo de revolución se

genera al girar un área plana en torno a una recta, llamada eje de revolución.”7 _Ejemplo

de ellos encontramos los más sencillos que son el cono, el cilindro y la esfera.

7

Casteleiro José Manuel. “Cálculo integral”. ESIC Editorial 2002. Pág. 383

Fig. 5. Polígonos según el número de lados. Fuente: Autor

Fig. 6. Polígono cóncavo y convexo. Fuente: Autor

Fig. 7. Polígono regular e irregular. Fuente: Autor

Fig. 8. Poliedros regulares o sólidos platónicos

Fig. 9. Poliedros irregulares. Fuente (fig.8-9):

El cubo es el elemento base en la conformación de policubos sobre los cuales se desarrolla toda la teoría de los policubos, por ello es importante en nuestra investigación considerar su análisis y determinar de esta forma algunos puntos claves que pueden fortalecer aún más el conocimiento y comprensión de la teoría.

1.3 EL CUBO

1.3.1 GENERALIDADES

Formas como el cubo, el cono, las esferas, los cilindros, pirámides entre otras, son consideradas como formas primarias, por su simplicidad y por ser considerados como volúmenes elementales en la composición de formas más complejas; nos brindan una imagen clara y tangible, por ende son formas bellas y esenciales en nuestra percepción de cosas en nuestro alrededor.

“En arquitectura, la naturaleza cúbica expresa una función paradigmática, su condición

de arquetipo* le dota de un enorme poder comunicativo"8_{. Por su simplicidad y por su}

ortogonalidad en cualquiera de sus lados y caras, el cubo desde tiempos muy antiguos ha sido apreciado como una figura geométrica dotada de un gran interés y utilizado como un elemento referencial o bien como constitutivo de otro elemento.

1.3.2 CONCEPTO DEL CUBO (Hexaedro regular)

El cubo es un poliedro regular que posee seis caras cuadradas iguales (fig.10), también se lo considera como parte de la familia de los ortoedros*.

1.3.3 PROPIEDADES

- Número de caras: 6. (fig.11) - Número de vértices: 8. (fig.12)

- Número de aristas: 12. (fig.13) - Nº de aristas concurrentes en un vértice: 3

8

EL CUBO Y LA ARQUITECTURA DE FORMAS PURAS [en línea]. Consultado el 01 de diciembre del 2010. Disponible en http://www.arqchile.cl/expo_cubo.htm

* Arquetipo: es el patrón ejemplar del cual otros objetos, ideas o conceptos se derivan

* Ortoedro: es un paralelepípedo en el que todas sus caras son perpendiculares entre sí.

Fig. 10. El cubo-Descomposición del cubo en caras. Fuente Autor

Fig. 11. Desarrollo plano del cubo. Fuente: Autor

Fig. 12. Número de vértices de un cubo. Fuente: Autor

1.3.4 DEMOSTRACIÓN DE LA FÓRMULA DE EULER EN EL CUBO

Esta fórmula relaciona el número de caras, vértices y aristas de cualquier poliedro y determina de acuerdo a una ecuación, si es regular o irregular.

C + V - A = 2 (donde C= caras, V= vértices y A= aristas)

Si la igualdad se cumple, el poliedro es regular, caso contrario, se lo considera irregular.

Anteriormente ya hemos estudiado las propiedades del cubo, y por lo tanto ya conocemos que posee seis caras, ocho vértices y doce artistas, es decir: C=6, V=8 Y A=12.

C + V - A = 2 demostrando 6 + 8 - 12 = 2. entonces 2 = 2 (VERIFICA)

EL CUBO ES UN POLIEDRO REGULAR

1.3.5 COMPOSICIÓN DEL CUBO (fig.14)

o Diagonal mayor (DF): diagonal desde vértices opuestos de caras diferentes. Diagonal mayor= donde = arista

o Diagonal menor (AF): diagonal de una cara del cubo.

Diagonal menor= donde son aristas y es la hipotenusa o Centro de cara (M): punto de intersección entre las dos diagonales de una cara. o Centro del cubo (O): intersección de las dos diagonales mayores de cualquier

sección principal.

o Eje (e): recta que contiene a los centros de cara de dos caras paralelas.

o Altura del cubo (h): distancia entre dos vértices en una misma arista cubo. Es igual a la longitud de las aristas.

o Sección principal (HFDB): rectángulo formado por dos aristas y dos diagonales mayores.

LEONHARD PAUL EULER (1707-1783)

Matemático suizo, es uno de los grandes científicos de nuestra historia. Su obra se encuentra en todos los campos de las matemáticas y también en astronomía, óptica, acústica y mecánica. En el ámbito de la geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler.

1.3.6 ÁREA DEL CUBO

o Área longitudinal= es el área de la sección principal (HFDB).(fig.15) Área longitudinal(AL)=4.a2 (donde a=arista)

o Área total= al estar conformado el cubo por polígonos cuadrados, para encontrar el área o superficie total del cubo, basta con calcular el área de un cuadrado (a2_{) y multiplicarlo por el número de caras conformantes del cubo.}

(fig.16)

Área total(AT)= 6.a2

1.3.7 VOLUMEN DEL CUBO

El volumen del cubo se lo puede calcular multiplicando los valores de ancho, largo y altura de sus aristas, Al poseer las mismas longitudes entre ellas, basta con elevar al tercer exponente la arista.

Volumen del cubo=a3

DUALIDAD DEL CUBO

Dentro de la presente investigación, la dualidad del cubo, no va a ser considerada como una propiedad de estudio, pero es conveniente conocerla, como una herramienta para entender los alcances que puede tener el cubo en cuanto a concepción de otros poliedros.

“Se define el poliedro Pd dual a un poliedro dado P0 como el poliedro resultante de

tomar los centros de las caras del poliedro P0 y tomarlos como vértices de nuestro

nuevo poliedro Pd.”9 La dualidad es una propiedad que poseen por lo general los

poliedros regulares, a partir de la unión de los puntos medios de las caras de un poliedro inicial, se pueda crear otro; en este caso, de la unión de los puntos medios de las caras del cubo, se puede obtener el octaedro, por lo cual se dice que: el dual del cubo es el octaedro.(fig.17).

9

LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS, [en línea]. Consultado el 20 de marzo del 2011. Disponible en: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Los%20solidos%20platonicos.pdf

Fig. 15. Sección principal del cubo

(HFDB). Fuente: Autor Fig. 16. Desarrollo plano del cubo para calcular área total. Fuente: Autor

1.3.8 SIMETRIAS DEL CUBO

“Una simetría es un movimiento rígido del espacio que preserva las distancias. Rígido

quiere decir que no deforma las líneas ni los planos.”10 _{Partiendo de esta consideración}

se puede encontrar en el cubo simetrías de reflexión y de rotación, detalladas a continuación:

a). SIMETRIAS DE REFLEXIÓN: Son aquellas que pueden cortar al cubo por un plano paralelo imaginario a un par de caras opuestas que pasan por los puntos medios de las aristas. En total son 9 simetrías de reflexión que posee el cubo. Las simetrías de reflexión más comunes son aquellas que pasan por la mitad del cubo; como el cubo posee seis caras, existen 3 pares de caras opuestas con lo que habrá 3 planos de simetría (ver fig.18). Existen además otros planos de simetría que se forman al cortar al cubo diagonalmente; ya sabemos que existen 3 pares caras opuestas, en cada par de estas caras se forman dos diagonales, por lo cual tenemos 6 planos de simetría. (ver fig.19).

b). SIMETRIAS DE ROTACIÓN: Para poder descubrir las diversas rotaciones que posee el cubo, es conveniente que analicemos un vértice en específico, hemos decidido analizar el vértice 1, los vértices continuos son el 5, 2 y 4; podemos notar que existen 3 maneras de libertad por la cual podemos rotar al cubo desde el vértice 1 (ver fig.20). Ahora bien, al tener tres posibilidades de rotación en un vértice y al poseer el cubo 8 vértices, encontramos 24 maneras distintas de rotar el cubo. Si retomamos el análisis las simetrías de reflexión, expuestas anteriormente, podemos deducir que en un vértice del cubo, pueden ser partícipes dos planos de simetría; por lo cual, al tener 24 formas de rotación y al aplicarles dos de reflexión en cada vértice, obtenemos 48 simetrías del cubo.

10

SIMETRÍA EN EL CUBO: UN PASEO POR LA TEORÍA DE LOS GRUPOS, [en línea]. Consultado el 21 de marzo del 2011. Disponible en http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/algebra2/sime_cubo.pdf

Fig. 18 Simetrías más comunes del cubo. Fuente: Autor

Fig. 19 Simetrías del cubo de acuerdo a sus diagonales. Fuente: Autor

Los cimientos de la teoría de los policubos nace de la teoría de los poliminos, en general muchos de los aspectos de cómo trabajan los poliminos se vuelven a retomar en los policubos pero en una forma tridimensional, por ello en nuestro estudio, el análisis de los poliminos –formas bidimensionales- nos facilitará la comprensión de la teoría de los policubos descrita más adelante.

1.4 POLIMINOS

Los poliminos o poliominos fueron conocidos desde 1954, por medio de Solomon Golomb con la publicación de su artículo "Checker Board and Polyominoes"

(Tableros de Damas y Poliminós). “La idea y el nombre deriva del popular juego

llamado dominó y fue introducida como una rama de la geometría combinatoria por S. W. Golomb”11

1.4.1 CONCEPTO

Los poliminos son un conjunto de cuadrados iguales, que se encuentran unidos por sus lados de tal manera que cada dos de ellos, mantienen al menos un lado en común (fig.21).

1.4.2 CLASIFICACION

1.4.2.1 A los poliminos se los puede clasificar y nombrar de acuerdo al número de cuadrados conectados, teniendo así:

o Monominós: formados por un solo cuadrado. o Dóminos: formados por dos cuadrados. o Triminós: formados por tres cuadrados. o Tetraminós: formados por cuatro cuadrados. o Pentaminós: formados por cinco cuadrados. o n-minos: formados por n-cuadrados

*

Geometría combinatoria: rama de la geometría que estudia las propiedades combinatorias de objetos geométricos.

11

POLIOMINOS [en línea]. Consultado el 26 de marzo del 2011. Disponible en http://www.herrera.unt.edu.ar/labsist/publicaciones/contribuciones/03.pdf

1 2 3

1 3

2

SOLOMON GOLOMB (1932 – actualidad)

Ph.D. en matemáticas e ingeniero estadounidense, se ha especializado en problemas de combinatoria, teoría de números, teoría de la codificación y las comunicaciones.

Fig. 21. Conformación de poliminos. Fuente: Autor

arista común

Conjunto de polígonos libres

Agrupación de polígonos en un

Fig. 22. Número de polyominós para los primeros 15 grados. Fuente: http://www.herrera.unt.edu.ar/labsist/publicaciones/

contribuciones/03.pdf

Fig. 24. Algunas agrupaciones de octaminos, sin huecos y con huecos en su interior. Fuente:

http://www.jlsigrist.com/images/polyminos/octaminos.jpg Ahora bien, es conveniente entrar en el análisis de las diferentes posibilidades de

poliminos que se pueden obtener de acuerdo a la clasificación anterior, si bien es cierto, por ejemplo, que los triminós se encuentran formados por tres cuadrados, existen otras formas de agrupar dichos polígonos, que solo agrupándolos de forma recta. En la tabla de la fig. 22, podemos ver cuántas son las diferentes formas de agrupar los polígonos cuadrados dentro de un polimino, sin considerar las rotaciones o las reflexiones que se puedan dar en él. Los polinimos hasta grado 5, son muy sencillos de formar, y al ser compuestos por pocos elementos, no presentan una mayor complicación (fig.23); a partir del grado 6 las cantidades de configuraciones se hace cada vez más grande y “A partir del grado 7, comienzan a aparecer poliminos con huecos en su interior”12_(fig.24).

12

POLIOMINOS [en línea]. Consultado el 26 de marzo del 2011. Disponible en http://www.herrera.unt.edu.ar/labsist/publicaciones/contribuciones/03.pdf Fig. 23 Diferentes agrupaciones existentes de orden n (hasta cinco, pentominós) Fuente:

Fig. 25. Polimino regular. Fuente: http://www.dma.fi.upm.es/docencia/ primerciclo/matrecreativa/juegos/pol iominos/concepto/concepto.htm

Fig. 26. Poliminos irregulares. Fuente: http://www.dma.fi.upm.es/docencia/pri merciclo/matrecreativa/juegos/poliomin

os/concepto/concepto.htm

Fig. 27. Figuras cóncavas de poliminos. Fuente:

http://www.jmunozy.org/files/9/Necesidades_Educativas_Especificas/Discal culia/presentaciones-videos/Poliminos.pdf

Fig. 28. Figuras convexas de poliminos. Fuente:

http://www.jmunozy.org/files/9/Necesidades_Educativas_Especificas/Discalc ulia/presentaciones-videos/Poliminos.pdf

Una vez, comprendido la infinidad de posibilidades de combinación que se puede obtener de las distintas clases de poliminos, ya podemos analizar otros tipos de clasificación en la que se los puede ubicar dependiendo de su agrupación y de la forma que obtengan, teniendo así:

1.4.2.2 Según la forma que se obtenga de la agrupación, pueden ser regulares o irregulares:

 Regulares: cuando todos los polígonos cuadrados se agrupan de tal manera, que cada uno de ellos posee dos lados en común con los otros; en general las formas finales son cuadradas o rectangulares (fig.25).

 Irregulares: cuando los polígonos cuadrados conformantes, al menos poseen un lado en común con otro de la agrupación (fig.26).

1.4.2.3 Según la figura final, pueden ser cóncavos y convexos

 Figura cóncava: si trazamos una recta por cualquiera de sus lados, la recta corta a la figura en dos partes (fig.27).

 Figura convexa: si trazamos una recta por cualquiera de sus lados, la recta no divide a la figura, conservando su misma forma (fig.28).

1.4.2.4 Por la libertad de agrupación que se les dé a los polígonos cuadrados, pueden ser formas libres o contenidas

 Formas libres: aunque los bordes de la agrupación concuerden con la trama base, existe una libertad de expansión a diferentes lugares, al carecer de un rectángulo contenedor que los delimite, obteniendo así, estructuras orgánicas, naturales (fig.29).

Fig. 30. Formación de policubos. Fuente: Autor

Ya analizados los poliminos que se desarrollaban en un plano bidimensional, ahora es preciso conocer su enfoque tridimensional, los denominados policubos, aunque su comportamiento es diferente, ambas teorías se manejan sobre mismos parámetros para su trabajo; los policubos son los elementos fundamentales sobre los cuales se explica la teoría que se utilizará en la presente investigación.

1.5 POLICUBOS

“Un policubo es una generalización tridimensional del concepto de polimino, que

consiste en un conjunto de módulos cuadrados unitarios unidos por sus lados. La teoría de policubos es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar el comportamiento de unidades modulares cúbicas, tal que unidas por sus caras

configuran formas en el espacio tridimensional.”13

Los policubos son considerados como la forma tridimensional de los poliminos, aunque su comportamiento en cuento a composición es diferente a ellos, para su comprensión es necesario partir de las formas básicas como los poliminos y entender su funcionamiento, para, desde ahí, tener una breve noción de la forma de acoplamientos de estas formas en el espacio.

1.5.1 CONCEPTO

“Un policubo es un conjunto de cubos unitarios unidos de manera tal que cada cara

de cada cubo o se une completamente a otra cara de otro cubo, o permanece

completamente libre sin ninguna conexión.”14

Para generar un policubo debe existir por lo menos una cara en común entre dos cubos tal como lo podemos observar en la fig. 30.

13 14

ARQUITECTURA MODULAR BASADA EN LA TEORIA DE LOS POLICUBOS [en línea]. Consultado el 20 de octubre del 2010. Disponible en http://cumincades.scix.net/data/works/att/8a44.content.pdf

Conjunto de cubos libres

Agrupación de dos cubos

(dicubo)

Agrupación de tres cubos

(tricubo) Cara en común

(por lo menos una entre dos

1.5.2 CLASIFICACION

1.5.2.1 A los policubos se los puede clasificar y nombrar de acuerdo al número de cubos conectados entre sí, teniendo así:

o Monocubos: formados por un solo cubo. o Dicubos: formados por dos cubos. o Tricubos: formados por tres cubos. o Tetracubos: formados por cuatro cubos. o Pentacubos: formados por cinco cubos.

o n-cubos: formador por n-cubos. (ver figura 31).

Se tiene que tener presente que en algunas ocasiones, los diferentes tipos de policubos, no son llamados como por ejemplo dicubos o tricubos, sino que son denominados por el orden al que pertenecen, como por ejemplo policubo de orden 4, etc. En general el orden que se le da a un policubo es de acuerdo al número de cubos que contiene, teniendo así:

o El tricubo está compuesto por tres cubos, por ende es un policubo de orden 3; o El pentacubo está compuesto de 5 cubos y también se lo puede denominar

policubo de orden 5, y así con las diferentes formas de agrupación.

Es importante, que una vez estudiado la clasificación de los policubos de acuerdo al número de cubos que conforman el conjunto, conocer las distintas formas de agrupación que pueden existir, teniendo así (ver fig. 32). A continuación se muestran gráficamente las diferentes agrupaciones que se pueden conseguir desde los dibujos hasta los pentacubos.

Fig. 32 Diferentes formas de agrupación de policubos hasta heptacubos. Fuente: http://www.telefonica.net/web2/casanchi/rec/policubos01.pdf

Fig. 33. Agrupaciones posibles de Dicubos y Tricubos. Fuente:

http://problemate.blogspot.com/2008/08/policubos.html Fig. 34. Agrupaciones posibles de Tetracubos. Fuente: http://solumate.blogspot.com/2008/08/policubos.html

Fig. 35. Agrupaciones posibles de Pentacubos. Fuente: http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_docman&task

Las posibilidades de agrupación de los policubos es muy grande, cuan mayor sea el número de cubos, mayor será las distintas formas que podamos obtener; una manera aconsejable para ir descubriendo nuevas formas de agrupamiento, es comenzar desde los dicubos e irle agregando un cubo en distintas posiciones para encontrar los tricubos, a estos le seguimos agregando un cubo para encontrar las posibilidades de tetracubos, y así sucesivamente; otra manera de encontrar algunas agrupaciones de un policubo de orden n, es basándonos en los poliminos de su mismo orden y en su respectiva forma tridimensional, por ejemplo: el tetramino tiene cinco soluciones, al realizar estas en forma tridimensional se puede observar que están dentro de las agrupaciones de los tetracubos (fig.36), aunque no son todas, son una parte y nos pueden facilitar el trabajo de encontrar todas las agrupaciones posibles. Hasta los pentacubos puede ser óptimo encontrar las agrupaciones posibles mediante razonamiento y manejo lúdico de las piezas, a partir de hexacubo ya es necesarios medios computacionales para lograrlo debido a las numerosas posibilidades que se pueden encontrar.

1.5.2.2 En el estudio de los poliminos se describió una forma de clasificación basada en las formas en que se podían obtener de la combinación de las figuras cuadradas, es decir por la libertad de agrupación que se les proporcionaba, en los policubos encontramos la misma clasificación, pudiendo obtener de esta manera tanto libres como contenidos, que a continuación se detallará:

POLICUBOS LIBRES: se presenta cuando el conjunto de cubos conectados, poseen una libertad de expansión a diferentes lugares, carecen de un contenedor que pueda limitar su agrupación, fruto de ello se puede conseguir estructuras orgánicas (fig. 37).

Estructura orgánica: que tiende a la forma múltiple y no sigue un patrón. Es dinámica e independiente de la geometría elemental.

Agrupaciones de tetraminos Agrupaciones de tetracubos

Fig. 36 Relación entre poliminos y policubos. Fuente: Autor

POLICUBOS CONTENIDOS: conjunto de cubos que rellenan por completo un prisma, el mismo que es considerado como un contenedor que limita la agrupación hasta alcanzar la forma del prisma sin dejar espacios intermedios (fig.38). “Sus

habitáculos modulares macizan una matriz de p x q x r = n cubos, con u unidades

compuestas, siendo siempre u < n.”15

Ahora bien, también se puede dar el caso de que un conjunto de cubos se agrupen de tal manera que puedan rellenar el prisma contenedor, pero dejando en su composición aberturas; es decir se logra captar todo el contenedor limitante pero se admiten huecos en la forma por ende ya no se considera una agrupación maciza; bajo esta forma se puede decir que en la configuración obtenida existe tanto policubos libres (por que poseen policubos que poseen una libertad de agrupación dentro del contenedor limitante) y también se lo puede clasificar como un policubo contenido (porque su expansión se encuentra limitada al prisma modular a manera de contenedor) ver figura 39.

Ya teniendo claro el funcionamiento de los policubos, sus conceptos, formas de agrupación, y clasificación; a continuación nos centraremos en la utilización de estos en la construcción de otras figuras, es así que la más conocida es la formación de un cubo basado en los policubos; muchos investigadores han aportado con trabajos basados en esta forma de utilización de la teoría, y a continuación analizaremos algunas de las soluciones que se han brindado en dicho tema, partiendo desde el cubo de 2x2x2, el cubo de 3x3x3 y teniendo como limite el cubo de 4x4x4 que puede ser conformado por un numero de cubos y piezas policubicas que ya debe ser considerado como una barrera entre el trabajo manual de la persona y el uso de procesos computacionales, para entender su comportamiento compositivo.

15

Arquitectura modular basada en la teoría de los policubos [en línea]. Consultado el 20 de octubre del 2010. Disponible en http://cumincades.scix.net/data/works/att/8a44.content.pdf Fig. 38. Policubo contenido. Fuente: autor

1.5.3 CONSTRUCCIÓN DE CUBOS CON POLICUBOS

La infinidad de piezas agrupadas que nos brindan los policubos, pueden ser usadas para formar una gran variedad de figuras, uno de los retos de mayor envergadura ha sido crear un cubo. Dependiendo de las dimensiones del cubo a desarrollar, cada vez más se han descubierto muchas formas distintas de acoplar las piezas de policubos, por lo general se ha descubierto que para formar un cubo de policubos se debe cumplir con dos condiciones:

“Se necesitan nxnxn=n3 _{cubos, se utiliza 1 pieza de n cubos y n(n-1) piezas de n+1}

cubos.Todas las piezas son distintas (excepto en el cubo de dimensión 2 en el que,

obviamente se utilizan dos tricubos iguales)”16 _{A continuación se puede observar la}

tabla que muestra las piezas policubicas necesarias para la formación de cubos.

16

Cubos y Policubos: 3 retos [en línea]. Consultado el 19 de febrero del 2011. Disponible en http://www.telefonica.net/web2/casanchi/rec/policubos01.pdf Fig. 40. Número de agrupaciones de cubos necesarios para formar un cubo de

1.5.3.1 Cubo de dimensión 2x2x2

Según el cuadro anterior, podemos observar que para formar este cubo necesitamos 3 piezas policúbicas: 1 bicubo y 2 tricubos. Solamente en este tipo de cubos las piezas se repiten por lo cual tenderemos dos tricubos iguales (fig.41) 1.5.3.2 Cubo de dimensión 3x3x3 conviene

Este cubo también es conocido como Cubo Soma “Fue creado en el año de 1936

por Piet Hein…….. El matemático John Conway comprobó que había 240 formas

distintas de construirlo”17

Según el cuadro anterior podemos observar que este tipo de cubo se encuentra formado por 7 piezas policúbicas: 1 tricubo y 6 tetracubos (fig. 42). Pero como se mencionó anteriormente en la actualidad existen una variedad de soluciones que más adelante las analizaremos.

1.5.3.3 Cubo de dimensión 4x4x4

“Inventado en el año 2004 por BRUCE BEDLAM (nacido en Blackpool –Inglaterra- en 1951, experto en puzzles). Se construye con 13 piezas policúbicas (12 pentacubos y 1 tetracubo) y hay 19.186 maneras distintas para resolverlo”18_.

(Fig.43)

17

Cubos y Policubos: 3 retos [en línea]. Consultado el 19 de febrero del 2011. Disponible en http://www.telefonica.net/web2/casanchi/rec/policubos01.pdf

18

Cubos y Policubos: 3 retos [en línea]. Consultado el 19 de febrero del 2011. Disponible en http://www.telefonica.net/web2/casanchi/rec/policubos01.pdf

Fig. 41. Cubo de dimensiones 2x2x2 con sus respectivas piezas policúbicas formantes. Fuente:

http://www.telefonica.net/web2/casanchi/rec/policubos01.pdf

Fig. 43 Cubo de dimensiones 4x4x4 (Cubo Bedlam) con sus respectivas piezas policúbicas formantes. Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Juegos_01.pdf

Fig. 42. Cubo de dimensiones 3x3x3 con sus respectivas piezas policúbicas formantes. Fuente:

En esta etapa de la investigación en la que ya conocemos la infinidad de piezas policubicas y de agrupaciones que se pueden formar, es conveniente escoger con que solución de los cubos anteriormente estudiados, deberemos trabajar en el resto de nuestra investigación, con la finalidad explorar dicha solución y encontrar la inmensidad de nuevas soluciones y piezas que se pueden generar en ella.

1.5.4 CASOS ANÁLOGOS DE POLICUBOS

De los casos estudiados de construcción de cubos con policubos, para la presente investigación he decidido analizar el caso particular del cubo de 3x3x3, por dos razones fundamentales:

o De lo analizado anteriormente con respecto a la formación de cubos con policubos, podemos observar que el cubo de 2x2x2, al ser un cubo muy pequeño, es formado por pocas piezas policubicas, por lo tanto no sería conveniente su análisis para el caso que se necesita. El cubo de 3x3x3 ya posee una cantidad conveniente de piezas policubicas con lo cual podríamos trabajar, aunque se ha comprobado que existen 240 formas diferentes de formarlo, solo se estudiaría las más importantes y relevantes. El cubo de 4x4x4 ya es considerado como un cubo con una gran cantidad de piezas y de soluciones, por lo cual no sería ideal considerarlo como elemento fundamental de estudio.

o El cubo de 3x3x3 se hizo mundialmente famoso cuando apareció el Cubo de Rubik o cubo mágico (fig.44), por lo cual es importante despertar el interés en analizar esta clase de cubo, desde una perspectiva de descomposición en piezas más pequeñas, que aunque es diferente a la forma en cómo funciona el cubo Rubik, es muy interactivo, especialmente en las actividades lúdicas y de enseñanza en niños.

A continuación se analizará las mas importantes y conocidas disecciones del cubo de 3x3x3 que existen y que serán retomadas en los capítulos siguientes como base para las metodologias de diseño por plantear:

Fig. 44 Cubo Rubik resuelto y sin resolver. Fuente: http://lmnctc.wordpress.com/2010/02/25/cubo-de-rubik/ El cubo Rubik es un rompecabezas mecánico inventado por Ernö Rubik en

1974. Sus caras están divididas en cuadrados de un mismo color que se pueden cambiar de posición. El objetivo de resolver el rompecabezas es colocar todos los cuadrados de cada cara del cubo con el mismo color.

Ernő Rubik (Hungría-Budapest, 13 de julio de 1944 – actualidad) Escultor, arquitecto y diseñador de la Escuela de Artes Comerciales de Budapest. A Rubik le apasionaba la geometría y construía modelos de papel,

cartón, madera o plástico que manipulados convenientemente formaban formas diversas. Con estos diseños sus alumnos veían mejor las estructuras

1.5.4.1 Puzzle de Cardan

Este tipo de puzzle, es la referencia más antigua conocida de la formación de un cubo mediante piezas, aunque sus partes no contiene ninguna relación con la teoría de los policubos y por lo tanto no tendrá ninguna relevancia en la presente investigación, es importante conocer desde cuando nace la idea de formar elementos a partir de piezas más pequeñas que se puedan adaptar. El puzzle fue inventado por Cardán y consta de cinco piezas: “un cubo de lado a, un cubo de lado

b y tres paralelepípedos rectángulos de aristas a, b y a+b, permite la visualización de: (a + b) 3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)”19_{. (fig.45)}

1.5.4.2 Cubo Soma

El cubo soma fue inventado por Piet Hein en 1936, durante una conferencia de

física cuántica. “La idea fue concebida cuando se llegó al tema de un cuarto dividido

en cubos.

Cuando finalizó la conferencia, Piet Hein se dirigió a su casa y tomó 27 dados con los cuales formó 7 piezas e inmediatamente trató de llevar a cabo su idea. Es importante resaltar que el señor Hein no se inventó el rompecabezas extrayendo las piezas del cubo, sino que primero construyó las 7 piezas y luego trató de armar el cubo.” 20

El cubo soma es un rompecabezas geométrico formado por 7 piezas: un tricubo y seis tetracubos (fig.46). Como es un cubo de 3x3x3, podemos deducir que el número de cubos conformantes son 27, por lo cual al tener 6 piezas de 4 cubos cada una y 1 pieza de tres cubos demostramos que se cumple con lo requerido (6x4+3=27). Hay que destacar que las piezas 5 y 6 no son iguales pero si son simétricas, en algunas investigaciones podemos encontrar que a dichas piezas las nombran de formas helicoidales dextrógira y levógira, si marcamos un eje de

19

NÚMEROS, Revista de Didáctica de las Matemáticas. Volumen 72. Consultado el 31 de marzo del 2011. Disponible en http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Volumen_72.pdf La palabra soma fue adoptada por Hein, por la gran adicción que este juego producía, SOMA es una droga que producía adicción, en la novela “El Nuevo Mundo” del autor Aldous Huxley.

20

El Cubo soma. Proyecto Matemáticas y Física Básicas en Antioquia. [en línea]. Consultado el 07 de abril del 2011. Disponible en http:www.aprendeenlinea.udea.edu.co Fig. 45. Puzzle de Cardan. Fuente:

http://www.sinewton.org/numeros

Fig. 46. Piezas policubicas conformantes del cubo soma. Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Volumen_72.pdf

(retocadas por el autor) Piet Hein (1905-1996)

rotación en ambas piezas policubicas podemos demostrar que la una va a girar en el sentido de las manecillas del reloj, esa es la dextrógira (fig.47); en cambio la que gira al contrario de las manecillas del reloj es la levógira (fig.48).

Con las piezas del cubo Soma no solo se pueden crear cubos, al ser consideradas como piezas para el desarrollo lúdico, se pueden encontrar muchas formas que poseen diseños geométricos más o menos interesantes, e inclusive se pueden realizar diseños figurativos (fig.49).

Fig. 47 Pieza policúbica dextrógira. Fuente: Autor

Fig. 48 Pieza policúbica levógira. Fuente: Autor

Fig. 49. Diseños con las piezas policubicas del Cubo Soma. Fuente:

http://ludoforum.com/wp-content/uploads/figuras-soma.jpg Fig. 50. Solución al Cubo Soma. Fuente:

1.5_{.4.3 Cubo de O’berine}

A diferencia del Cubo Soma estudiado anteriormente, el cubo de O’berine, está

constituido por 9 piezas policubicas totalmente iguales, son tricubos agrupados en ángulo, de tal manera que tienen una forma de L (fig. 51-52).

1.5.4.4 Cubo Diabólico

Fue descrito por Ángelo John Lewis, o más conocido como Profesor Hoffmann en 1893 por medio de su libro Puzzles Old and New (Rompecabezas viejo y lo nuevo). “Está compuesto por 6 piezas, todas sobre un plano, y es progresivo, es decir, sus piezas tienen todas distinto número de cubos, desde dos hasta siete.”21

21

NÚMEROS, Revista de Didáctica de las Matemáticas. Volumen 72. Consultado el 31 de marzo del 2011. Disponible en http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Volumen_72.pdf Profesor Hoffmann (1839-1919)

Nacido en Londres, Inglaterra. Abogado y escritor, mago aficionado desde 1860. En 1873 llevó a cabo

una serie de artículos titulados “Modern Magic” que

lanzó su carrera como autor de magia.

Fig. 53. Piezas policubicas conformantes del cubo Diabólico. Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Volumen_72.pdf

Fig. 51 Piezas policubicas conformantes del cubo O’berine.

Fuente: http://www.santillana.es/recursos/contenidos/947.pdf _{Fig. 52. Solución al cubo de O’berine. Fuente:} http://www.sinewton.org/numeros/numeros/73/Juegos_01.pdf

1.5.4.5 Cubo de Nob

Fue inventado por Nob Yoshigahara, consta de seis piezas: cinco pentacubos diferentes y un dicubo.

1.5.4.6 Cubo de Steinhaus

Fue conocido en la publicación Oxford University Press en el año de 1950. El cubo está compuesto por seis piezas policubicas: tres tetracubos y tres pentacubos (fig.55).

Nobuyuki Yoshigahara (1936-2004) Más conocido como Nob; inventor, coleccionista, solucionador y comunicador de puzles. Aunque obtuvo el título en química aplicada, Nob volvió a la enseñanza secundaria como educador en química y matemáticas. En su nombre, a partir del 2003, la Asociación de Puzzles entrega el Premio Nob Loyd a personas que han hecho una contribución significativa en el mundo de los rompecabezas mecánicos.

Fig. 54. Piezas policúbicas conformantes del cubo de Nob. Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Volumen_72.pdf

Hugo Steinhaus (1887-1972)

Matemático y educador. Nación en Austria-Hungría (hoy Polonia). Fue co-fundador de la Escuela de Lwów de matemáticas y autor de más de 170 obras en análisis matemático, teoría de la probabilidad y estadística.

1.5.4.7 Cubo de Conway

Aunque existen algunas variantes del cubo de Conway, a continuación describiremos la solución al cubo de 3x3x3 que dio el inventor. El cubo de Conway es también conocido como caja de pizza o del empaquetamiento; está conformado por nueve piezas policubicas: seis tetracubos iguales y tres cubos unitarios; su ensamblaje es una de las soluciones más fáciles de las que hemos estudiado anteriormente.

1.5.4.8 Half Hour Puzzle o cubo de Coffí

Fue inventado por Stewart T. Coffín en 1980, estudio muchas configuraciones que demostraron tener varias soluciones o en algunos casos ninguna, hasta que por fin encontró una solución única. El cubo consta de seis piezas policubicas: tres tetracubos y tres pentacubos (fig. 57-58).

John Horton Conway (1937-actualidad) Matemático británico, experto en teoría de conjuntos, teoría de nudos, teoría de números, teoría de juegos y teoría de códigos. Inventó un nuevo sistema numérico,

“números surreales” que se encuentran estrechamente

relacionados a ciertos juegos.

Fig. 56. Piezas policúbicas conformantes del cubo de Conway. Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Volumen_72.pdf

Fig. 57. Piezas policubicas conformantes del cubo de Conway. Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Volumen_72.pdf

Fig. 58. Solución al cubo de Coffí. Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/73/Juegos_01.pdf

Stewart Coffin

Muy conocido como el mejor diseñador del mundo de los puzles poliédricos de enclavamiento. Hasta la fecha

1.5.4.9 Cubo de Lola

Creado por Muñoz y Hans en honor a Dolores de la Coba; este cubo se encuentra formado por siete piezas policubicas: tres tricubos (2 en forma de V y uno en forma de I), dos tetracubos y dos pentacubos.

1.5.4.10 Cubo 7

“Es casi idéntico al Cubo Soma. La única diferencia consiste en que las piezas 5 y 6, que en el Soma son diferentes, aquí son iguales. Esto da una mayor cantidad de soluciones posibles”22 _{(fig. 60-61).}

22

NÚMEROS, Revista de Didáctica de las Matemáticas. Volumen 72. Consultado el 31 de marzo del 2011. Disponible en http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Volumen_72.pdf Fig. 59. Piezas policubicas conformantes del cubo de Lola. Fuente:

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Volumen_72.pdf

Fig. 60. Piezas policubicas conformantes del cubo 7. Fuente: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/72/Volumen_72.pdf

Fig. 61 Solución al cubo 7. Fuente:

1.5.4.11 Cubo Mikusinski

Creado por el matemático polaco J. G. Mikusinski; las piezas del cubo Mikusisnki son parecidas a las del cubo de Steinhaus porque es un desarrollo de estas, claro que presenta ligera variaciones con una dificultad media; está conformado por 3 tetracubos y 3 pentacubos.

Fig. 63. Solución al cubo mikusinski. Fuente: Autor Fig. 62. Piezas policubicas conformantes del cubo mikusinski

CAPITULO 2.

2.1 INTRODUCCIÓN

“La forma es el medio por el que se expresa la arquitectura”23

En el presente capítulo se analizará cómo ha sido el empleo de la teoría de los policubos en arquitectura, existen pocos referentes en este tipo de investigación, pero los encontrados serán enfocados desde una perspectiva conceptualizadora primeramente, para comprender como se asocia el proyectar arquitectura conjuntamente con la teoría de los policubos; de esta manera ya podremos determinar el módulo cubico (dimensiones) que utiliza cada arquitecto para el trabajo de diseño; en segundo lugar se analizará el aspecto combinatorio de cada proyecto con el fin de determinar el desarrollo de la teoría en cuanto a composición.

Antes de profundizar en el presente capítulo, es necesario hacer un recorrido histórico con relación a la forma en arquitectura. Al trabajar con policubos cuyo elemento base es el cubo, nos podremos imaginar, desde ya, que los proyectos resultantes al final, conservaran una forma pura, regular, basada en la forma cúbica; por ende es conveniente estudiar cómo ha sido el comportamiento del cubo a lo largo de la historia de la arquitectura como elemento estructurador de la forma resultante; reconoceremos fechas importantes durante la historia de la arquitectura en las cuales se dieron grandes pasos en la comprensión de la forma arquitectónica; así mismo, durante este proceso ya podremos entender aspectos de modularidad en el diseño arquitectónico, que es un segundo aspecto a realizar en esta investigación. Paralelamente a este recorrido histórico se analizará cómo ha sido la influencia de las matemáticas en arquitectura, de igual forma se determinará cuáles teorías y que parte de las matemáticas han sido y son utilizadas en diseño arquitectónico.

“Para el éxito total, sobre la creación de una forma es de vital importancia la comprensión total del proyecto, siempre debe preceder la búsqueda de conceptos físicos que nos llevan a la forma de la construcción. Formas básicas, agrupamiento de formas por sus cualidades, relaciones específicas de una forma con otra, son aquellos detalles que originaran y definen las primeras ideas, aplicando

a ello el concepto verbal, visual o ambas.”24

23

Geoffrey H. Baker ” Análisis de la forma Le Corbusier”. Editorial Gustavo Gili Barcelona 1985, 1994

24

PREHISTORIA (5000 años a.C.)

- La forma exterior dependía del sistema estructural.

- Buscaban rigidez y seguridad desde una geometría recta acorde a los materiales de la época.

MESOPOTAMIA (3000 años a.C.)

- Utilización de sistemas portantes, por ende el predominio de formas rectas.

- La aparición de materiales en arcilla y adobe, genera formas más trabajadas en especial formas cúbicas y rectangulares.

EGIPTO (5000 años a.C)

- Predominio de las líneas rectas.

- Arquitectura colosal donde la simetría se conseguía por la utilización de formas puras y superposición de volúmenes.

GRECIA (siglo IV a.C)

- La proporción de Euclides denominada sección áurea fundamenta el arte y la arquitectura griega.

- El Partenón refleja la belleza formal que se la conseguía mediante la utilización de la proporción y los números, una forma pura, resultado del equilibrio entre lo horizontal y lo vertical, asumiendo una arquitectura tectónica .

RENACIMIENTO (siglo XV-XVI)

- “… Las proporciones se aplicaban no al plano, como en el gótico, sino a las tres dimensiones del espacio. Los módulos eran

cúbicos, iguales y ordenados…”25

- Empleo de proporciones modulares. - belleza y armonía a través de conceptos matemáticos, geométricos y musicales.

NEOCLÁSICO (siglo XVIII)

- “Es, por consiguiente, un clasicismo robusto, contundente y como delicado, estructurado, más que en volúmenes, en planos netos y recortados…..”26

- Belleza se consigue en la pureza de las líneas arquitectónicas, en la proporción basada en leyes de la medida y las matemáticas.

La arquitectura tectónica es la definida por formas cerradas, es propio de este tipo de arquitectura el elemento geométrico y proporcionado.

25

De la importancia de la forma en arquitectura [en línea]. Consultado el 22 de febrero del 2011. Disponible en http://www.tdr.cesca.es/TESIS_UPC/AVAILABLE/TDX-0317105-171559//03Icc03de39.pdf

26

Pereira Alonso José Ramón “Introducción a la Historia de la Arquitectura de los orígenes al siglo XXI”. Editorial Reverté. Barcelona 2005. Pág. 181

Figura 64. Dolmen. Fuente: http://zaragozame.com/tag/dolmen/ Figura 65. Fuente: http://mesopotamiayegipto.blogspot.com/ 2008/11/arquitectura-de-mesopotamia.html Figura 66. Templo de salomón. Fuente: http://mundoparragon.spaces.live.com

Figura 67. Sección áurea. Fuente:

http://www.portalplanetasedna.com Figura 68. Partenón. Fuente: http: _{//www.anarkasis.com/} Figura 69. _{Leonardo” según Brook} La “ventana de

Fig. 70 (izquierda). Fuente: www.arteespana. com/arquitecturarenacentistaitaliana.htm.

Fig. 71(derecha). Modularidad en templo renacentista Fuente: autor

REVOLUCIÓN INDUSTRIAL(finales s. XVIII)

- “Con el advenimiento de nuevos materiales (hierro, vidrio, acero, hormigón...), algunas construcciones consideradas en principio como obras de ingeniería, alcanzan el grado de arquitectura artística.”27

ESCUELA DE CHICAGO (finales s. XIX _– inicios s. XX)

- “Con respecto al exterior, se suprimen los

elementos decorativos (tan habituales en la arquitectura artística de finales del siglo XIX). Se apuesta por superficies lisas y acristaladas. Predominan las líneas

horizontales y verticales”28_.

- Las formas puras tuvieron su mayor expresión.

Cubismo (1907 _– 1914)

- Formas identificables pero que son constituidas por la geometrización de otras formas.

- “La insistencia cubista en la

investigación espacial obliga a los arquitectos a concebir en términos de volumen y no en términos de masa y de

compacidad”29

DE STIJL (1971 – 1931)

- Romper el cubo, descomprimiéndolo en planos y volviéndolo a componer en un todo dinámico.

- Utilización de formas geométricas abstractas.

RACIONALISMO (primer tercio siglo XX)

- Uso de las formas geométricas en su expresión más simple.

- Criterios ortogonales de diseño.

WALTER GROPIUS (1883 – 1969)

- Nueva arquitectura industrial. - Formas geométricas simples.

- Claridad y visibilidad estructural.

27

Perelló Antonia M.” Las claves de la arquitectura”. Editorial Ariel. Barcelona. Pág. 11

28

Escuela de chicago [en línea]. Consultado el 22 de febrero del 2011. Disponible en http://es.wikipedia.org/wiki/Escuela_de_Chicago_%28arquitectura%29 29

Las vanguardias del siglo XX [en línea]. Consultado el 02 de marzo del 2011. Disponible en http://www.arquba.com/monografias-de-arquitectura/las-vanguardias-del-siglo-xx/ Figura 73. Fuente: http://gemajuradodepriegogracia4.blogspot.com/

2010/11/actividad-25-un-paisaje-de-fabricas.html

Figura 74. El Home Insurance Building, el primer rascacielos del mundo. Fuente:

http://www.babelmundo.es/ ingles/cursos/01_02_12.html

Figura 75. Fuente: http://dubherobles.blogspot.com/2010/05/estilo-arquitectonico.html

Figura 76. Fuente: http://issuu.com/ studiouninorte/docs/de_stijl

Figura 77. Casa Schroder Fuente: http://arquivan.disegnolibre.org/201

0/12/03/schroder/

Figura 78. Fuente:

ADOLF LOOS (1870 _– 1993)

- Plantas compactas contenidas en formas simples, generalmente cúbicas y monumentales que expresen el significado simbólico de la casa.

LE CORBUSIER (1887 _– 1965)

- “… los cubos, los conos, las esferas, los cilindros y las pirámides son las formas básicas

que la luz pone de manifiesto con más relevancia; su imagen es diferenciable y tangible entre nosotros y, además, sin equívoco alguno. Por esta razón son bellas, las formas más

bellas…” Le Corbusier

- Geometría rígida y rectangular tanto en forma, como en planta al considerarse un sistema de organización, separación cartesiana de las funciones: habitar, trabajar, recrearse.

- Proporción aurea en diseños y el módulo basado en las medidas del hombre (fig.81). - La estructuración volumétrica se realiza a partir de sólidos elementales (ver fig.82).

MIES VAN DER ROHE (1886-1996)

- “Menos es más”= pureza de las formas.

“La forma como objetivo nos llevaría al

formalismo y eso es intolerable” Mies van

der Rohe.

- Composición rígidamente geométrica. - Orden, sobriedad.

SUPREMATISMO (1915 – 1922)

- “…. la poética del Suprematismo:

identidad de idea y percepción, fenomenización del espacio en un símbolo

geométrico, abstracción absoluta.”30

GIUSEPPE TERRAGNI (1932 – 1936)

- Formas geométricas con principios abstractos, definidas a partir del uso del muro laminar y el vaciado.

30

Argán. G.C. 1977 pág. 397

Figura 80. Fuente: http://arquique.info/loos/loos05.html

Figura 81. Modulor. Fuente: http://arkinetia.com/Breves/art449.aspx

Figura 82 Lenguaje geométrico de la Villa Saboye. Fuente: http://iala0910envido1009.blogspot.com/p/villa-savoye.html

Figura 83. Fuente:

http://iala0910envido1009.blogspot.com/ p/minimalismo.html

Figura 84. Fuente: http://lineasyarquitectura.blogspot.com/2010/03/pabellon-expositivo-malevich-un-cubo.html

Figura 85. Fuente: http://forum.skyscraperpage.com/

showthread.php?t=165453

GERRIT RIETVELD (1934)

- Con tendencia de “DE STIJL” empieza

a crear una transformación de volúmenes, descomponiéndolos y volviendo a agruparlos de una manera distinta, con el fin de obtener simplificación con un ritmo.

ARQUITECTURA DESPUES DE LA SEGUNDA GUERRA MUNDIAL

- “… justo después de la Segunda Guerra Mundial -muchos arquitectos de la época- adoptaron de forma entusiasta los sistemas de construcción industrializados y la

prefabricación como medio para la rápida reconstrucción económica de los países.”31

- Construcciones de emergencia sin tendencias arquitectónicas (fig. 88). - Modulación de viviendas (fig. 89).

- Desarrollo de la prefabricación por su facilidad en ensamblaje. - Flexibilidad y construcción en masa.

ALDO ROSSI (1971)

- “... propuestas e intervenciones

arquitectónicas donde se ve claramente su intención de llevar el lenguaje arquitectónico a formas geométricas muy

simples…”32

- Funcional sobre lo ornamental (fig. 90). - Formas simples.

- Espacio humanizador (fig. 91).

KISHO KUROKAWA (MOVIMIENTO

METABOLISTA) 1972

- “…. el movimiento metabolista, que

propugnaba la creación de grandes infraestructuras urbanas que permitieran adaptar a ellas edificios en continua

transformación.”33

- Futuro debería ser lo más “modular

posible.

- Estructuras flexibles y extensibles con futuro crecimiento.

- Estructura formada por cápsulas prefabricadas (ver fig. 92).

31

Lecuyer Annette. Revista de arquitectura. “Tectónica Radical” Editorial Nerea pág. 50

32

García Beatriz. “Región y lugar. Arquitectura latinoamericana contemporánea”. CEJA 2000. Pág. 23

33

Guggenheim. Edición en español. Barcelona 2003. pág. 18 Figura 87. Fuente:

http://www.earchitect.co.uk/amsterdam/van_gogh_museum.htm Figura 88. Fuente: http://www.efimeras.com/ wordpress/?m=2010 Figura 89. Fuente: http://otraarquitecturaesposible.blogspot.com/2010_11_01_archive.html

Fig. 91. Fuente:

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Quartier _Sch%C3%BCtzenstrasse_Berlin.jpg Fig. 90. Fuente:

http://todoarquitecturadisenocon struccion.blogspot.com