Guías para Prácticas Experimentales de Física: Mecánica

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Guías para Prácticas Experimentales de Física: Mecánica

Daniel Abdón Varela Muñoz Álvaro Mauricio Bustamante Lozano

Jorge Alberto Dueñas Suaterna

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PREFACIO

La física posee la virtud de poder desnudar los fenómenos naturales hasta el punto de describirlos mediante pocas variables de interés que dan cuenta de su comportamiento, por lo tanto se cuenta con una serie de prácticas de laboratorio donde se reproduce el fenómeno aislándolo de interacciones presentes en la realidad, las cuales no juegan un papel importante en la descripción del mismo. En esta etapa del proceso se hace necesaria la presencia del maestro en dialogo con los estudiantes para mostrar la manera como el montaje experimental se encuentra asociado a las diferentes manifestaciones del fenómeno en la realidad. Es preciso señalar que los montajes de laboratorio están respaldados por la acumulación de conocimientos científicos de más de 500 años y tienen la propiedad de ser lo suficientemente flexibles para ser contextualizados en diferentes ámbitos de la ingeniería y en general de las ciencias naturales.

Para el desarrollo de los propósitos que se persiguen en los espacios académicos propios del área de Física, sobre la construcción de modelos físico-matemáticos a partir de datos experimentales, el estudiante se enfrenta al reto de apropiar los conocimientos ligados con el comportamiento de un fenómeno específico. Mediante una lectura previa sobre el fenómeno, se establecen las variables relevantes, desde el punto de vista del observador (entiéndase estudiante), que gobiernan el comportamiento de un sistema físico en particular, así como el grado cualitativo de dependencia entre las mismas.

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RECOMENDACIONES PARA EL MAESTRO

En los espacios académicos de física se ha venido desarrollando una labor comprometida con el propósito de forjar una aptitud y actitud entre los estudiantes frente a su proceso de aprendizaje, durante los dos primeros años de estudios concomitantes con el área de fundamentación curricular, donde el acompañamiento por parte del maestro en el proceso de medición juega un papel preponderante en la eliminación de hábitos poco adecuados en la toma de datos tales como: errores de paralaje, errores sistemáticos, mal uso de los instrumentos y de los métodos, displicencia, entre otros. Lo anterior implica una formación de carácter profesional sobre la rigurosidad en la toma de una medida que se reportará como un dato fidedigno, el cual resulta de un promedio de mediciones repetitivas que en general deben ser como mínimo tres con el objetivo de minimizar los posibles errores durante el proceso.

La presentación de los datos se lleva a cabo mediante tablas explicitas de las variables medidas con sus respectivas unidades y donde se manifiestan las incertidumbres propias de los aparatos de medición. De esta manera el estudiante cuenta con un primer elemento que le permite hacer un análisis preliminar sobre el comportamiento de las variables y sus posibles dependencias funcionales. Desde este punto de vista, la tabla de datos se convierte en un instrumento didáctico, dado que convoca a los estudiantes en un aprendizaje colaborativo, enfoca su atención, fija y retiene los conocimientos, permitiéndoles la comprensión del fenómeno que se está trabajando de manera autónoma.

Es común, dentro de los profesores que desarrollan esta didáctica, solicitar las tablas de datos al finalizar cada una de las prácticas con el ánimo de fomentar en el estudiante la capacidad de argumentación y sustentación de los datos reportados previo un análisis rápido, el cual permite depurar los datos, es decir detectar y eliminar datos sospechosos e inusitados que pueden a posteriori conducir a resultados erróneos. Esto a su vez asegura para el maestro que el estudiante analizará esos datos y no otros.

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cuenta sintética de los datos, se deben rotular los ejes de manera que las unidades de medida y las posibles factores de escalas estén presentes y por último se debe garantizar que el conjunto de puntos ocupe la mayor cantidad de área disponible del papel lo que permite dilucidar la tendencia funcional de la nube de puntos. El conocimiento de funciones matemáticas es realmente fundamental en los estudios relacionados con el análisis de datos de un experimento. Las relaciones se pueden representar mediante funciones; los grupos de familias de funciones más comunes en el análisis de datos experimentales son las lineales, las potenciales, las exponenciales, las logarítmicas y las trigonométricas. Es decir que el bagaje matemático que el estudiante posee, en cuanto a la representación simbólica de funciones, le permite seleccionar el tipo de ajuste más adecuado y que representa la función continua que abarca a la nube de puntos. Es indiscutible que el resultado involucra la presencia efectiva de los conocimientos de otros espacios académicos y en particular la formación en matemática.

En el desarrollo de la actividad, el maestro debe presentar la manera mediante la cual se establece un modelo matemático a partir de una tabla de datos, método establecido por el famoso matemático Gauss, quien desarrollo el método de los mínimos cuadrados que se fundamenta en el hecho de que la suma de los cuadrados de las distancias de los puntos que conforman la nube a la curva que se desea ajustar sea un mínimo. Debido a que el método de los mínimos cuadrados admite algoritmos de cómputo ya establecidos, los autores de esta propuesta didáctica consideran, que en consonancia con la práctica de laboratorio, el estudiante debe realizar cálculos simples donde aplique la técnica de mínimos cuadrados e interprete los resultados arrojados por el método, asegurando de esta manera que se afiance, en las primeras prácticas del primer espacio académico (Física mecánica y fluidos), este nuevo modo de proceder, como paso necesario, en el modelamiento de fenómenos naturales.

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del estudiante para ser usado en su desarrollo profesional posterior. La experticia que el estudiante pueda adquirir depende del grado de compromiso entre los profesores encargados de estos espacios académicos para garantizar la apropiación del método en toda la comunidad estudiantil.

En cuanto al reporte de los datos medidos en el laboratorio, su respectivo análisis y formulación del modelo, los autores han adoptado la presentación de un informe al estilo de reporte científico, en el cual se debe evidenciar el entendimiento de la práctica a través de una elaboración cognitiva que se plasma en el análisis de resultados y las conclusiones redactadas por el grupo de estudiantes que trabajan de manera colaborativa en este proceso.

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CONTENIDO

PREFACIO ... 3

RECOMENDACIONES PARA EL MAESTRO ... 4

INDICE DE FIGURAS ... 10

ÍNDICE DE TABLAS ... 12

OBJETIVOS GENERALES ... 14

1 INCERTIDUMBRE DE LA MEDIDA ... 18

1.1 Marco Conceptual ... 18

1.2 Materiales, Métodos y Actividades ... 23

1.3 Claves para el reporte ... 26

2 RELACIÓN LINEAL ... 28

2.1 Marco conceptual ... 28

3 RELACIÓN NO LINEAL ... 35

3.4 Cibergrafía ... 48

4 ANÁLISIS DE UN EXPERIMENTO ... 49

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6 MOVIMIENTO EN UN PLANO ... 71

7 LEY DE HOOKE ... 79

8 FUERZAS CONCURRENTES ... 87

9 FUERZAS DE ROZAMIENTO ... 93

10 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ... 104

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12 MOMENTOS DE INERCIA ... 119

ANEXO 1 Uso del Calibrador o nonio ... 129

ANEXO 2 Uso del Tornillo Micrométrico ... 133

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INDICE DE FIGURAS

Figura 2.1 (a) Dispersión de la nube de puntos experimentales para los cuales se sospecha un comportamiento lineal. (b) Representación de posibles rectas que se podrían trazar a través de la nube de puntos experimentales donde cada una de las líneas posee sus respectivos parámetros A

y B. ... 29

Figura 2.2 (a) Ajuste de la recta óptima trazada usando el criterio de que la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a ella, sea mínimo. (b) La recta trazada por mínimos cuadrados posee sus respectivos parámetros A y B calculados por las ecuaciones 2.2 y 2.3 ... 30

Figura 3.1Relación de triángulos formados con una cuerda, sus cortes con el círculo su centro. .. 41

Figura 3.2Ampliación triángulo ACP ... 41

Figura 5.1 Registro de movimiento... 63

Figura 5.2 Medida de la posición de la partícula. ... 63

Figura 5.3 Medida de los desplazamientos de la partícula ... 64

Figura 6.1Representación del movimiento parabólico con la velocidad inicial. ... 72

Figura 6.2 Representación del movimiento parabólico con la velocidad inicial. ... 74

Figura 7.1Resorte deformado por acción de una fuerza F. ... 80

Figura 7.2 Configuraciones para resortes, (a) en serie, (b) en paralelo y (c) un resorte equivalente. ... 81

Figura 8.1 Componentes rectangulares de una fuerza. ... 87

Figura 8.2 Resultante de tres fuerzas. ... 88

Figura 8.3 La resultante de dos fuerzas es igual a la opuesta de la tercera. ... 89

Figura 9.1 Fuerzas aplicadas sobre un bloque que reposa en una superficie horizontal. ... 94

Figura 9.2 Fuerza de rozamiento como función de la fuerza aplicada T. ... 95

Figura 9.3 El bloque B se desliza con velocidad constante debido a la tensión generada en la cuerda y a través de la polea sin fricción, por el peso A. ... 95

Figura 9.4 Bloque sobre superficie inclinada. ... 100

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Figura 11.1 Cuerpo rígido sometido a fuerzas externas. ... 112

Figura 11.2 Fuerzas perpendiculares sobre una regla en equilibrio ... 113

Figura 11.3 Posición de la fuerza Resultante de un conjunto de fuerzas paralelas. ... 114

Figura 12.1 Movimiento de las partículas de un cuerpo que gira. ... 120

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ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1.1. Caracterización de algunos instrumentos básicos de medición ... 24

Tabla 1.2. Medidas dimensionales de algunos objetos. ... 24

Tabla 1.3. Medidas de estatura de estudiantes del grupo. ... 25

Tabla 2.1. Valores de Diámetro y Perímetro de círculos ... 32

Tabla 3.1. Linealización de funciones útiles en ingeniería. ... 36

Tabla 3.2. Valores del tamaño de los segmentos u y z de cada ... 44

Tabla 4.2. Tabla construida con base en parámetros encontrados ... 58

Tabla 5.1. Cantidades medidas para x y t de cada punto marcado en el papel ... 64

Tabla 5.2. Cálculos de la velocidad media en función del tiempo ... 65

Tabla 5.3. Cantidades medidas de posición y tiempo para el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado. ... 66

Tabla 5.4. Cálculos de la Velocidad Media en función del tiempo para el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado. ... 68

Tabla 6.1. Posición X y Y para diferentes tiempos t. ... 74

Tabla 6.2. Velocidad media en X y en Y para diferentes tiempos t ... 75

Tabla 7.1. Datos de elongación y de peso colgado para los 2 resortes. ... 82

Tabla 7.2. Datos de elongación y de peso para los mismos resortes pero conectados ... 84

Tabla 9.1. Datos de peso del bloque y de la masa colgada en M.U. ... 97

Tabla 9.2. Datos de peso del bloque y de la masa colgada en M.U. para varias superficies ... 99

Tabla 9.3. Datos de masas del bloque y del ángulo para el cual desciende con M.U. ... 100

Tabla 9.4. Datos de masas del bloque y del ángulo para el cual desciende con M.U. en diferentes tipos de superficies ... 101

Tabla 10.1. Datos del experimento para la conservación de la Energía ... 110

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OBJETIVOS GENERALES

Durante el desarrollo de prácticas en aulas de laboratorio, que correspondan a espacios académicos de formación en el contexto de la Física experimental, se deben satisfacer los siguientes objetivos:

1. Identificar y manipular adecuadamente diferentes instrumentos de medición.

A quién realiza el experimento no sólo le interesa el valor de una medida, sino el instrumento con el cual la efectuó. Debe identificarlo, distinguirlo de otros similares, conocer su precisión. Debe manipularlo adecuadamente, lo cual quiere decir, hacer lecturas rápidas pero con seguridad. Debe expresar el valor de la medida en términos de la precisión del instrumento, que se hace a través de la incertidumbre instrumental. Si es un instrumento para medidas eléctricas, debe conectarlo correctamente. Además, si se conoce la forma como está construido un dispositivo de medición o el principio en el que se basa su funcionamiento, podrá diseñar o utilizar otros aparatos similares.

2. Reconocer, identificar y cuantificar la incertidumbre de medición en un trabajo experimental.

Todo resultado experimental tiene una incertidumbre de medición. Hay incertidumbre asociada a los instrumentos de medida y a la forma como se desarrolla el experimento. Es importante identificarla y cuantificarla, es decir, expresarla en forma numérica. Las distintas maneras en que se presenta la incertidumbre en un trabajo experimental se suman unas con otras y producen una incertidumbre total en el resultado. De hecho, reconocer las limitaciones de la experimentación en cuanto a la incertidumbre intrínseca que conlleva, ya es un logro del experimentador.

3. Presentar adecuadamente los datos y resultados de un trabajo experimental de acuerdo con las normas de calidad.

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se presenta un dato inusual o absurdo, entre otros, lo que implica tomar decisiones como la de repetir la medición correspondiente. Los datos generalmente se operan matemáticamente para producir resultados y éstos también deben presentarse en las tablas de datos. Todos y cada uno de ellos deben registrarse con su correspondiente incertidumbre de medición. Para estimar la incertidumbre del resultado total se recurre a la Ley de Propagación de la Incertidumbre.

4. Analizar datos y resultados experimentales.

El análisis de resultados experimentales se puede hacer de muchas formas. Una de ellas es a través de gráficas. En una gráfica se puede visualizar el patrón de variación de una cantidad con respecto a otra y consecuentemente expresar la relación entre ellas de manera matemática. Es importante, por tanto, presentar adecuadamente una gráfica, que también se sujeta a normas de calidad. Los datos igualmente son susceptibles de un análisis en lo que se refiere a observar la validez de un determinado parámetro estadístico.

5. Hallar la relación entre variables a partir de datos experimentales.

A partir de los datos de un experimento y por medio de gráficas, se puede hallar la relación entre dos variables. Si la gráfica es una línea recta, la relación es lineal. Si la gráfica es una curva, es viable establecer la relación correspondiente. Para ello se recurre a un procedimiento de carácter estadístico que permite ajustar la función óptima a la distribución de puntos resultado de la gráfica y obtenidos del proceso de medición. Esto conlleva a la relación matemática entre las variables correspondientes. Las leyes de la Física, por ejemplo, se pueden así deducir, a partir de datos experimentales.

6. Usar diferentes metodologías en las prácticas de laboratorio.

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físicas.

A través de la experimentación en el ámbito de la Física, el estudiante logra comprobar los resultados presentados en los cursos de teoría y además puede medir cantidades físicas importantes como: la aceleración de la gravedad, el momento de inercia de un cuerpo, el coeficiente de rozamiento y muchas otras.

8. Presentar adecuadamente un informe de laboratorio.

La presentación del informe de laboratorio por parte del estudiante y el análisis de su contenido por parte del profesor, ayuda al estudiante a precisar sus conceptos, utilizar adecuadamente su lengua materna, analizar resultados y comunicarlos de manera rigurosa y a expresar correctamente las conclusiones de un trabajo.

Para lograr los anteriores objetivos se proponen las siguientes guías para preparar y ejecutar experimentos correspondientes a temas desarrollados en el curso de mecánica de la partícula, el sólido y el fluido.

Cada guía contiene los objetivos de la práctica, el aspecto teórico involucrado y la metodología para desarrollar el experimento.

En el marco teórico se presenta el sustento epistemológico (estado del conocimiento) del tema al cual se refiere la práctica. En algunas prácticas éste contenido cubre todo el tema, pero en la mayoría de los casos el estudiante debe complementarlo leyendo el correspondiente aspecto en alguno de los textos recomendados en la bibliografía.

La bibliografía propuesta ha sido escogida cuidadosamente, de tal manera que en todos los textos está desarrollado el tema y su nivel es el adecuado para satisfacer los objetivos. Además, los textos de la bibliografía son de fácil acceso y consulta a través de cualquier biblioteca. En algunas prácticas cuyo objetivo es deducir una Ley de la Física, el aspecto teórico se cambia por un aspecto teórico – experimental.

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responda las preguntas del aspecto teórico, como también haga una lectura de la metodología, para tener una idea inicial del experimento que va a desarrollar.

Por otra parte, es importante que el profesor conozca perfectamente el montaje de la práctica y las especificaciones técnicas del equipo con que se trabaja, con el objeto de orientar a los estudiantes en las precauciones que deben tener en cuenta para su manejo y los posibles factores de incertidumbre y su cuantificación.

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1 INCERTIDUMBRE DE LA MEDIDA

Un factor a considerar en un procedimiento de medición riguroso, es el nivel de confianza del valor de la cantidad. Cuando una ciencia se desarrolla, sus métodos experimentales tienden a hacerse más elaborados y precisos y con ellos, apuntar hacia valores en las cantidades, cada vez más exactos. Sin embargo siempre quedan reductos dentro de la disciplina experimental en los que la precisión sigue siendo relativamente baja y otros en los que es mínimamente aceptable. En ramas de desarrollo tecnológico de frontera como las ciencias nucleares o espaciales (la nanotecnología es un buen ejemplo) no solamente debe ser posible sino necesaria, una alta precisión y aun así, subsisten obstáculos que impiden alcanzar valores confiables al 100%, para ciertos órdenes de magnitud.

Uno de los aspectos más importantes del trabajo experimental en Física y, en general, en cualquier rama de las ciencias, es el hecho de que toda labor de este tipo conlleva una

incertidumbre y es necesario reconocer que el resultado de un experimento no puede ser absoluto, sino que debe dar un valor que muestre el grado de imprecisión con el cual se ha realizado el experimento.

Con frecuencia un observador principiante se inclina por aceptar el valor de las indicaciones del instrumento sin más, desconociendo que la exactitud de las mismas no necesariamente garantiza la precisión. Una técnica favorable en cualquier labor de medición, es asumir en primera instancia, una postura crítica frente a los datos que van surgiendo y acompañarla de una toma que implique conjuntos independientes de mediciones realizadas con diferentes instrumentos o técnicas de medición, obviando en lo posible todos las factores de desacierto involucrados. Ello exige asegurarse de que los instrumentos funcionen apropiadamente, que estén calibrados y que no existan influencias externas que afecten la toma de datos.

1.1 Marco Conceptual

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parte se explicará más adelante.

Tal vez le habrá pasado que quiere medir su peso o el tamaño de algo y cada vez que lo hace el resultado de la medición es diferente. En ese caso, no sabría cuál de los datos obtenidos es el verdadero. Desde las ciencias este fenómeno es normal y sucede en cada ejercicio de medición. Unas veces las diferencias son más acentuadas y otras los valores son más cercanos entre sí. Estas diferencias pueden deberse a varios factores que van desde el aparato de medición hasta llegar a ser causadas por el mismo observador. En este caso, el experimentador, debe usar herramientas de la estadística para encontrar el valor más cercano a lo que él desea conocer, es decir a lo que se llamaría el valor real.

Cuando es posible repetir una medida varias veces, se recomienda hacerlo y reportar el dato haciendo uso de la estadística, las medidas de tendencia central y variabilidad que generalmente corresponden al promedio aritmético (media) y a su desviación estándar. Así mismo, este valor promedio debe estar acompañado de una cantidad que cuantifique la seguridad que se tiene de esta medición, a esto es a lo que se le llama la incertidumbre experimental.

Para que una medición tenga significancia desde el punto de vista estadístico, se recomienda medir al menos tres (3) veces la misma variable, preferiblemente con las mismas condiciones espaciales, ambientales, y de cualquier otra índole. Incluso se recomienda que sea el mismo manipulador del aparato de medición. Sea Xi la i-ésima medición de la variable de interés.

Se define la media o valor promedio como:





n k k

X

n

X

1

(1.1)

(20)

 

n

d

X

n k k















)

1 (

1 2 (1.2)

Donde dk es la desviación del valor promedio y σ es la desviación estándar, cuyas expresiones se muestran a continuación:

k

X

d





(1.3)

 

1

1 2









n

d

n k k



(1.4)

Cada instrumento de medición conlleva su propia incertidumbre la cual debe establecerse previamente a cualquier medición. Ésta se llama incertidumbre del aparato de medición. En el caso que sólo sea posible tomar un dato en una determinada acción de medición, de cualquier magnitud física, la incertidumbre que deberá reportarse es la incertidumbre del aparato de medición. Ésta corresponde a la mitad de la mayor precisión con la que se puede medir con dicho aparato. Por ejemplo si se usa una regla milimetrada, la incertidumbre será medio milímetro (0,5 mm). Si se mide el tiempo con un cronómetro con precisión hasta la centésima de segundo, la incertidumbre será media centésima de segundo (0,005 s) y así sucesivamente.

Otra cantidad que da el valor de precisión de una medición es la incertidumbre porcentual relativa. Se obtiene con la siguiente expresión:

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Una vez que se haya hecho el cálculo de las anteriores cantidades, un dato de un valor promedio debe reportarse como:

Valor promedio ± incertidumbre experimental o incertidumbre relativa Ejemplos:

El periodo de un péndulo en Monserrate es de 1,52 s ± 0,05s o 3,3% La cancha mide: 1000,80 m 1,02 m o 0.1%

En el caso práctico de evaluar la incertidumbre en ingeniería, hay que acogerse a la norma internacional dada por el GUM, guía para la estimación de la incertidumbre por sus siglas en inglés, que se expresa en forma general:

√(

) (

) (1.6)

Al lector interesado en profundizar sobre esta formulación matemática, se le recomienda consultar el tema de la expansión en series de Taylor parala primera aproximación, en algún texto de cálculo para ingeniería.

Como ayuda mnemotécnica para recordar la expresión general de la incertidumbre, se observa que cada uno de los términos de la ecuación anterior está elevado al cuadrado y se toma finalmente la raíz cuadrada de toda la expresión. En el texto, para efectos de cálculo de propagación de incertidumbre, se usa entonces la mencionada ecuación.

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 Segundo, se calcula el valor nominal del volumen del cilindro,

( )( )

 Tercero, usando el cálculo diferencial, se obtiene el diferencial total, de la función:

(1.8)

 Cuarto, se trata el diferencial como una diferencia finita, reescribiéndola:

√( ) ( ) (1.9)

 Quinto, se reemplazan los valores registrados, en la expresión anterior, y se calcula la incertidumbre sobre el volumen:

√[ ( ) ( )] [ ( )( )( )]

 Finamente, redondeando el resultado obtenido, el valor del volumen a registrar es:

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Otro caso que se puede desarrollar corresponde a una función que se compone de un cociente de variables, tal es el caso de la densidad de una esfera metálica (Bustamante et al, 2013).

1.2 Materiales, Métodos y Actividades

Los propósitos de esta práctica experimental son:

 Familiarizar al estudiante con el uso de diferentes instrumentos de medición.

 Identificar las distintas causas de incertidumbre involucradas en un procedimiento de medición.

 Cuantificar la incertidumbre de medición asociada a los instrumentos utilizados.

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Llene la tabla siguiente caracterizando cada uno de los instrumentos en cuanto a su escala e incertidumbre.

Tabla 1.1. Caracterización de algunos instrumentos básicos de medición

Instrumento Rango Unidad Incertidumbre Regla

Calibrador Tornillo Micrométrico Balanza Cronómetro

Mida el diámetro de uno de los cilindros que se dan para la práctica utilizando los tres instrumentos de medición y repórtelos en la siguiente tabla

Tabla 1.2. Medidas dimensionales de algunos objetos.

Instrumento Diámetro (mm) Incertidumbre (mm)

Regla Calibrador

Tornillo Micrométrico

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Tome la medida de la estatura de cada uno de los integrantes del curso y anótelos en la siguiente tabla:

Tabla 1.3. Medidas de estatura de estudiantes del grupo.

Estudiante Estatura (m)

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Adicionalmente, se proporcionan varios paralelepípedos regulares con algunas perforaciones. El estudiante con el uso del tornillo micrométrico o el calibrador debe calcular el volumen de estas formas tridimensionales con la mayor precisión posible y reportar sus datos en milímetros cúbicos, adicionando su respectiva incertidumbre (ejercicio de propagación de la incertidumbre).

Por último, debe calcular la densidad de la esfera metálica dada para la práctica e identificar el material del cual estaría hecha, recurriendo a una tabla de referencia para densidades. Recuérdese que en este cálculo se debe tener en cuenta la propagación de las incertidumbres para mediciones indirectas.

1.3 Claves para el reporte

Los instrumentos de medición a disposición miden diferentes magnitudes físicas. ¿Puede establecer alguna diferencia en la forma como se manifiesta la medición en cada uno de los instrumentos, si tiene mayor o menor precisión, por ejemplo? ¿Cómo obtendría la incertidumbre para el caso del cronómetro?

Observe que los instrumentos de medición de longitud con los que cuenta tienen diferentes rangos de medida e incertidumbres y por lo tanto la manera de reportar un dato varía dependiendo del instrumento con el cual realice la medición. Recuerde que cuando registre un dato se hace con el número de cifras significativas determinada por la mínima unidad de medición del aparato.

Hay dos métodos de medición esenciales: aquel que se realiza directamente con el instrumento y el que se obtiene a partir de procesos intermediarios que no implican directamente a la magnitud a medir. Así, en el caso de la medida del espesor de una hoja, ¿cómo obtendría y reportaría la incertidumbre?

Usted puede darse cuenta que entre los instrumentos de medición que tiene a su disposición hay aparatos de medición digital.

Con mucha frecuencia para reportes de medidas científicas, se toman datos del tiempo con un cronómetro. En ese caso ¿cómo obtendría incertidumbre del aparato digital?

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2 RELACIÓN LINEAL

La medición por su naturaleza, es de la clase de procesos mediante los cuales, tanto el científico como el ingeniero, tejen el puente entre el fenómeno físico observado y las hipótesis previas sobre el comportamiento del mismo. Es por esta razón que cuando se planea un experimento, se busca obtener la mayor cantidad de datos posibles de las variables que dan cuenta del fenómeno para establecer las posibles relaciones entre ellas, en el caso de que existan.

Con esta práctica se pretende que el estudiante se familiarice con métodos que son propios de los investigadores en la extracción de información relevante de un sistema, a partir de los datos y, en el caso de la ingeniería, es una herramienta directa para el análisis de los procesos, proyección de escenarios y en la toma de decisiones que tienen impacto en el diseño y el control.

El primer paso en el análisis de los datos obtenidos experimentalmente es hacer una descripción gráfica de ellos en papel milimetrado mediante un diagrama de dispersión, habiendo seleccionado según criterios adecuados la variable dependiente e independiente y tomando en cuenta el uso apropiado de la escala para la representación de los mismos.

2.1 Marco conceptual

En la relación entre dos variables, el comportamiento de una de ellas (variable dependiente) se define en función del valor que toma la otra (variable independiente). Sea X la variable independiente, cuyos valores determinan el valor que tomará la variable Y, que sería entonces la variable dependiente. La forma funcional más sencilla que relaciona a estas variables es conocida como lineal y su expresión matemática es:

BX A

Y   (2.1)

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Desde el punto de vista experimental cuando se tienen mediciones de las variables a relacionar, son muchas las posibilidades para obtener los parámetros Ay B. El primer criterio de aproximación a estos valores se hace a través de una inspección de la tendencia lineal de la nube de puntos graficados. Dado que son muchas las alternativas para trazar líneas rectas a través de la nube de puntos, serían abundantes las relaciones lineales y por lo tanto muchos y diversos los valores de los parámetros A y B; la cuestión a resolver es que, involucrando todas las mediciones, se obtengan los parámetros (pendiente y punto de corte) de la línea recta estadísticamente más representativa (óptima). Por tanto, se requiere un método de optimización de carácter estadístico que conlleve a hallar la recta que satisfaga el mejor ajuste a la nube de puntos. Este procedimiento de ajuste es conocido como método de mínimos cuadrados y se basa en establecer que: “la suma de los cuadrados de las diferencias entre un punto medido y el posible valor teórico de la variable, sea un mínimo”. Debido a que el método utilizado proviene del ámbito de la estadística, siempre se busca una medida que indique el grado o bondad de ajuste entre los datos a través de un parámetro conocido como coeficiente de correlación, que proviene de la medición de la variabilidad simultánea de un par de cantidades (Bustamante et al., 2013).

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Figura 2.2 (a) Ajuste de la recta óptima trazada usando el criterio de que la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a ella, sea mínimo. (b) La recta trazada por mínimos cuadrados posee sus respectivos parámetros A y B calculados por las ecuaciones 2.2 y 2.3

Finalmente, el método de mínimos cuadrados nos brinda los algoritmos matemáticos para hallar los parámetros A y B de la recta ajustada y el coeficiente de correlación.

B 𝑛𝑋̅𝑌̅ − ∑𝑛i 1𝑋𝑖𝑌𝑖

𝑛𝑋̅ − ∑𝑛_{i 1}𝑋_𝑖 (2.2)

A 𝑋̅ ∑ 𝑋𝑖𝑌𝑖 − 𝑌̅

𝑛

i 1 ∑𝑛𝑖=1𝑋𝑖

𝑛𝑋̅ − ∑𝑛_{i 1}𝑋_𝑖 (2.3)

Donde n corresponde al número total de datos medidos para cada variable X, Y y por lo tanto finalmente coincide con el número total de parejas ordenadas (X, Y).

𝑋

̅

y

𝑌

̅

representan el valor medio de cada uno de los conjuntos de datos de las variables.

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Aquí

𝑠

_𝑥 y

𝑠

_𝑦 son las desviaciones estándar respectivas del conjunto de datos de la variable X y de la variable Y.

Mediante un simple experimento de medición ejecutado para dos variables se ilustrará la dependencia funcional de tipo lineal entre ellas. Las variables a medir serán el perímetro y el diámetro de un conjunto o muestra de círculos.

Es sabido desde el pensamiento griego antiguo, que el perímetro (p) de una circunferencia es directamente proporcional a su diámetro (d), pues basta multiplicar éste último por una constante que equivale al númeroπ, que matemáticamente se escribe:

d

p





.

(2.5)

También encontraron otras relaciones matemáticas que caracterizan los círculos, esferas y muchas otras figuras geométricas en 2 y 3 dimensiones.

Desde el punto de vista experimental de los datos entre p y d, es conveniente ajustar una relación lineal para confirmar la relación teórica (Bustamante et al, 2012).

2.2 Materiales, Métodos y Actividades

Los propósitos de esta práctica experimental serán:

 Establecer la dependencia funcional entre dos variables

 Hallar experimentalmente el valor del número pi (π)

 Encontrar la relación o ecuación entre el perímetro (p) y el correspondiente diámetro (d) de una circunferencia cualquiera.

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Con la cuerda que se da para la práctica mida el perímetro de las circunferencias y su correspondiente diámetro con una regla. Anote los valores en la siguiente tabla de datos (tabla 2.1)

Tabla 2.1. Valores de Diámetro y Perímetro de círculos Círculo Diámetro (cm) ±

incertidumbre

Perímetro (cm) ± incertidumbre 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

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Corte esta página y entréguela al profesor si lo pide

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2.3 Claves para el reporte

Con los datos de la tabla y mediante el método de mínimos cuadrados halle la relación entre el perímetro y el diámetro para un círculo genérico representativo de todos los demás. ¿Qué opinión le merece el valor obtenido del coeficiente de correlación R? Escriba el modelo matemático obtenido.

Tome uno de los diámetros de su tabla y usando el modelo matemático obtenido calcule el valor respectivo del perímetro. Compare el resultado con el valor registrado en la tabla para el diámetro correspondiente, ¿qué tan desviado es?

Compare las predicciones arrojadas para el perímetro tanto para los modelos teórico, ecuación 2.4, como para el experimental hallado, correspondientes a un mismo diámetro dado ¿Qué tan desviados están entre sí? Ayuda: utilice la siguiente ecuación:

𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑝𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 | 𝑎𝑙𝑜 𝑡𝑒ó 𝑖𝑐𝑜 − 𝑎𝑙𝑜 𝑒 𝑝𝑒 𝑖 𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙

𝑎𝑙𝑜 𝑡𝑒ó 𝑖𝑐𝑜 | . %

Note que ahora cuenta con un modelo matemático que le permite predecir el valor del perímetro de una circunferencia para cualquier diámetro. Tome en cuenta que interpolar se refiere a estimar con un buen margen de precisión el valor de una variable dentro del rango de los valores medidos. Calcule el valor del perímetro de una circunferencia que tenga un diámetro que esté comprendido entre el 2do y el 3er dato de los valores de su tabla.

Además, extrapolar es predecir el valor que tomaría una de las variables fuera de este rango. Calcule el valor del perímetro de una circunferencia que tenga un diámetro que esté fuera del rango de los datos de los valores de su tabla ¿Cuánto valdría el perímetro si el diámetro fuera igual a 0?¿Es su resultado lógico? Justifique su respuesta.

Compare el resultado experimental de π con el teórico y calcule la desviación relativa porcentual correspondiente de π usando los valores obtenidos a partir de su modelo experimental y del modelo teórico. Recuerde usar el número de cifras significativas de acuerdo con la incertidumbre de la medida.

(35)

3 RELACIÓN NO LINEAL

Una vez familiarizado con el tratamiento de datos experimentales cuyo comportamiento es lineal, se puede generalizar el mejor ajuste para cualquier otro tipo de relación. Es decir, si el comportamiento de los datos en su primer examen visual (gráfica), que es la nube de puntos, no presenta una tendencia lineal, es posible que la representación matemática corresponda a otro tipo de función. En la naturaleza y en general en la cotidianidad, los fenómenos no lineales son más comunes, por ejemplo el comportamiento climático o el comportamiento de los índices de la bolsa de valores en un régimen económico, entre otros. En esta práctica se pretende encontrar la relación entre dos variables que presentan un comportamiento no lineal. Para tal fin es preciso utilizar un procedimiento intermedio de linealización a través de una transformación de escala. La ventaja de obtener una línea recta para el comportamiento de los datos es poder aplicar el ajuste mediante mínimos cuadrados con la salvedad de que los parámetros A y B de la recta tendrán una nueva interpretación de acuerdo con la relación funcional.

Como en la práctica anterior se procederá partiendo de una tabla de datos experimentales, realizando la respectiva inspección visual de la nube de puntos en un gráfico quedará cuenta de que la disposición de puntos ahora es no lineal. Sin embargo debe tenerse en claro que es posible establecer el modelo matemático apropiado que representa el comportamiento de las variables, de acuerdo con el criterio del coeficiente de correlación.

3.1 Marco conceptual

(36)

Tabla 3.1. Linealización de funciones útiles en ingeniería.

(37)

(38)

Los métodos de linealización son de gran importancia cuando se trata de obtener relaciones entre variables medibles. La ventaja de llegar a representar los datos en diferentes escalas es que es posible visualizarlos en forma de línea recta, de manera tal que se pueda aplicar el método de mínimos cuadrados.

(39)

𝐴 𝐵 𝐶 (3.1)

La gráfica de

y

en función de

x

representará una curva, pero se puede transformar la escala de representación de las variables de manera tal que al graficar los datos en esta nueva escala se obtiene una línea recta. La manera de obtener la escala en este caso es la siguiente:

Dada una pareja de datos (x0, y0), reemplazándola en la ecuación anterior quedará:

0 𝐴 𝐵 0 𝐶 0 (3.2)

Haciendo la diferencia entre las dos ecuaciones, se obtiene:

− ₀ 𝐵( − ₀) 𝐶( − ₀ ) (3.3)

Realizando la factorización del término (x - ₀) y reorganizando los términos se llega a:

− ₀

− ₀ 𝐵 𝐶( 0) (𝐵 𝐶 0) 𝐶 (3.4)

A manera de propiedad de dicha transformación, se puede definir una nueva variable que sea bautizada como Y, que representa el miembro izquierdo de la ecuación 3.4.Siendo B´ el factor entre paréntesis del lado derecho de la ecuación, (B + Cx0). Por último se puede representar la relación lineal:

(40)

encontrar rápidamente la dependencia entre variables. Una primera aproximación para acercarse a la linealización por método gráfico es representando los puntos en el tipo de papel llamado logarítmico. Debido al grado de dependencia funcional de las dos variables, es posible afirmar que la relación es lineal en esta nueva escala, de manera que:

𝐿𝑜𝑔 Log 𝑎 𝑏𝐿𝑜𝑔 (3.6)

Si ahora el logaritmo de las variables x, y (log x, log y), se redefine como X, Y respectivamente, la expresión anterior toma la forma de una línea recta. Utilizando las propiedades de la función logaritmo, se puede demostrar que la relación entre las variables originales x, y corresponde a una relación potencial de la forma:

𝑎 𝑏 _(3.7)

Donde a y b, obtenidos mediante el método de mínimos cuadrados, representan en la gráfica la pendiente y el punto de corte respectivamente, de la línea recta que se obtuvo en el papel logarítmico. Para mayores detalles de cómo encontrar el modelo matemático que se ajuste a unos datos no lineales, remitirse al texto: “Análisis de datos experimentales en ingeniería”, (Bustamante et al., 2013).

(41)

Figura 3.1Relación de triángulos formados con una cuerda, sus cortes con el círculo su centro.

(42)

objetivo es encontrar la relación matemática de la media proporcional entre los dos segmentos.

El triángulo ABC, es isósceles, tiene dos lados iguales, CA y CB, de longitud igual al radio R del círculo, por tanto posee dos ángulos iguales, α (teorema 2 de Tales: Los ángulos de la base de todo triángulo isósceles son iguales), como se ve en la Figura 3.1, en la cual se ha construido la mediatriz a la base AB del triángulo ABC. Reflejando el triángulo PBC respecto a la mediatriz, OC, se observa que se superponen los dos triángulos y se genera un triángulo isósceles PPC cuya base PP mide (z – u), como es ve en la Figura 3.2, donde la longitud del segmento OP calculada por el teorema de Pitágoras es:

𝑂𝑃 √(𝐶𝑃) − (𝑅 sin 𝛼)

Escribiendo la media proporcional entre u y z, de acuerdo con la Figura 3.2, se obtiene:

𝑢 ∗ (𝑅 cos 𝛼 − √(𝐶𝑃) − (𝑅 sin 𝛼) ) ∗ ( 𝑅 cos 𝛼 √(𝐶𝑃) − (𝑅 sin 𝛼) )

Realizando la operación indicada y simplificando, se obtiene finalmente que:

𝑢 ∗ 𝑅 − (𝐶𝑃)

De la expresión anterior, se puede concluir que al construir un punto P dentro de un círculo, de radio R, la distancia CP se establece automáticamente y por lo tanto es una constante, así el miembro de la derecha de la expresión anterior resulta ser constante, por lo cual se infiere que entre las longitudes complementarias de toda cuerda trazada en un círculo, que pasa por un punto P, se cumple una relación inversa.

(43)

 Hallar la relación entre la longitud del segmento mayor (u) y la longitud del segmento menor (z), de las cuerdas que pasen por un mismo punto P (diferente al centro del círculo), dentro de una circunferencia.

 Manipular una escala adecuada de representación de datos experimentales, de manera que se verifique la transformación lineal.

 Interpretar los parámetros arrojados por el método de mínimos cuadrados para la pendiente y el punto corte.

(44)

(45)

(46)

(47)

Prolongue la línea recta hasta que corte la vertical correspondiente al valor de uno y estime y anote el valor del punto de corte, adicionalmente mida la pendiente de la recta y registre su valor. Escriba la ecuación que relaciona las variables u y z y compárela con la expresión teórica:

u (z) = a z-1

Esta ecuación tiene la forma del modelo matemático representado por la ecuación 3.7, donde y equivale a u, x equivale a z y b = -1. Encuentre el valor experimental del coeficiente a, en la ecuación anterior.

3.3 Claves para el reporte

Recuerde que cuando se registran datos experimentales en una tabla debe aparecer la respectiva incertidumbre del instrumento de medición con el cual se ejecutaron las mediciones, así como la unidad de medida.

Es importante tener presente que cuando se realice el cálculo mediante mínimos cuadrados a los logaritmos de los datos originales, según las ecuaciones 3.5 y 3.6, el valor arrojado para el punto de corte (B’) es la base para obtener el valor de a en la ecuación final (coeficiente que acompaña a la variable independiente), simplemente calculando el antilogaritmo de B’. Mientras que el punto de corte obtenido directamente de la gráfica en la escala logarítmica, b, representa justamente el valor al que se refiere, es decir, el exponente de la variable independiente.

Cuando se realiza el cálculo de los parámetros del modelo mediante calculadora de bolsillo, los datos que se introducen son tal y como fueron medidos. No escatime esfuerzos para analizar el valor del coeficiente de correlación, en todo caso este dato permite observar la calidad del ajuste de los datos.

(48)

3.4 Cibergrafía

(49)

4 ANÁLISIS DE UN EXPERIMENTO

Hasta el momento se ha aprendido bastante sobre el análisis de datos que involucran dos variables, sin embargo los problemas cotidianos, en realidad, implican más de dos variables. En la construcción de los modelos, se recurre al análisis de datos experimentales, su comportamiento en el espacio y en el tiempo y además se apela a las leyes físicas que gobiernan el sistema. Existen varias formas de tratar datos cuando se intenta involucrar en un modelo más de dos variables, por ejemplo el análisis de series de tiempo, análisis de varianza, análisis multivariado el cual involucra análisis de correlación de datos .

En la siguiente práctica se busca ilustrar la forma de analizar un ejemplo con tres variables cuyas mediciones proceden de un sistema físico real. Para este fin se usará el análisis de correlación de datos tal como se ha venido trabajando en las prácticas anteriores.

4.1 Marco conceptual

Buena parte de las leyes de la física expresan la relación entre más de dos variables, por ejemplo: la ley de Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza entre dos masas puntuales es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa, o sea, que la fuerza depende tanto de los valores de la masas como de la distancia entre ellas.

¿Cómo se podría obtener esta Ley a partir de datos experimentales, si por medio de un análisis de gráficas tan solo se logra tener la relación entre dos variables?

Primero se halla la relación entre la fuerza y el producto de las masas, para una distancia entre ellas cualquiera y se obtiene que:

2 1m

m

(50)

Ahora se halla la relación entre la fuerza y la distancia para un determinado valor de las masas y se obtiene:

2

1r

F (4.2)

Si esta relación es la misma para cualquier otro valor de las masas, se dice que la relación entre la fuerza y la distancia es independiente del valor del producto de las masas.

Si se cumplen simultáneamente las condiciones de independencia de las relaciones con respecto a la tercera variable, se pueden expresar las ecuaciones (4.1) y (4.2) como una sola: 2 2 1 r m m

F  (4.3)

De esta misma manera, se pueden resolver otros problemas experimentales que se refieren al comportamiento de un determinado sistema. Tal es el caso del cómputo del tiempo que le toma a un líquido desalojar un recipiente circular ancho y recto, abierto en la parte superior, al cual se le ha perforado un agujero circular en la parte inferior.

Se supone que el recipiente tiene un área A1 en la parte superior y el agujero inferior un área A2, además, que el líquido alcanza una altura H como se muestra en la Figura 4.1. Las áreas se pueden escribir en términos de los diámetros, φ1 y φ2, para la parte superior como para el agujero inferior respectivamente, por medio de las ecuaciones 𝐴1 𝜋₄∅1 y

𝐴 𝜋₄∅ .

Usando el principio de continuidad de la mecánica de fluidos, que afirma que la cantidad de líquido que desciende es igual a la cantidad de líquido que sale por el agujero en la unidad de tiempo, se tiene:

(51)

Donde A1 y A2 son las áreas mencionadas, y v1 y v2 son las respectivas velocidades a las que fluye el líquido en la parte superior y a la cual sale por la parte inferior.

Utilizando la ecuación de Bernoulli, que estable que la cabeza de presión entre dos puntos de un fluido se puede escribir para este caso, respecto a una posición en la superficie superior del líquido y otra en el agujero de desagüe:

𝑃_𝑎𝑡𝑚⁄ 𝜌𝑣₁ 𝜌𝑔 ₁ 𝑃_𝑎𝑡𝑚⁄ 𝜌𝑣 (4.5)

Donde Patm representa la presión atmosférica, y1 la altura a la cual se encuentra el punto 1, la superficie del líquido. Despejando v1 de la ecuación (4.4) y reemplazando en la ecuación (4.5) se obtiene:

𝑣 𝑔𝐴1

𝐴₁− 𝐴 (4.6)

Además el volumen de fluido que sale del tanque en la unidad de tiempo es A2V2dt que corresponde a una disminución de altura dy en un volumen –A1dy, por lo cual se puede escribir:

𝐴 𝑣 𝑡 −𝐴₁ (4.7)

(52)

𝑡 − 𝐴1 𝐴 √

𝐴₁− 𝐴 𝑔𝐴₁

√

Integrando en ambos lados:

∫ 𝑡

𝑡

𝑡=0

− 𝐴1 𝐴 √

𝐴₁ − 𝐴 𝑔𝐴₁ ∫

√ 0 𝑦=𝐻 Resolviendo: 𝑡 √ 𝑔[ 𝐴₁ 𝐴 − ] √𝐻

Si A1>> A2 y utilizando la ecuación del área de un círculo, la expresión para el tiempo de desagüe se reduce a:

𝑡 √

∅

14

𝑔

√𝐻

∅

(4.8)

Entonces el tiempo de vaciado depende directamente de la raíz cuadrada de la altura del líquido en el recipiente, e inversamente proporcional al cuadrado del diámetro del agujero de desagüe.

4.2 Materiales, Métodos y Actividades

(53)

 Linealizar una función utilizando el método de mínimos cuadrados.

 Interpretar los parámetros arrojados por el método de mínimos cuadrados mediante la comparación del modelo con la expresión teórica dada por la ecuación 4.8.

(54)

Tabla 4.1 Tiempo de descarga de un líquido de un recipiente.

h (cm)

d (cm) 30 15 10 4 2

1.5 73.0 51.6 42.5 26.7 19.0

2.0 41.2 29.0 23.7 15.0 10.6

3.0 18.4 12.9 10.5 6.8 4.7

4.0 10.3 7.3 6.0 3.8 2.6

5.0 6.8 4.5 3.9 2.3 1.6

Cada tiempo fue medido en varias oportunidades, en segundos y se tomó el valor promedio de los datos medidos.

(55)

(56)

Repita el procedimiento para todas las demás alturas y halle sus respectivas representaciones matemáticas. Puede utilizar la misma hoja para hacer las cinco gráficas.

(57)

(58)

práctica se presenta una situación similar permitiendo por lo tanto establecer la proporcionalidad entre el tiempo t y 𝑛̅ 𝑚̅_.

Ahora llene la siguiente tabla:

Tabla 4.1. Tabla construida con base en parámetros encontrados 𝑛̅ 𝑚̅ _t_(s)

(59)

(60)

4.3 Claves para el reporte

Observe que todas las relaciones matemáticas entre el tiempo y el diámetro para cualquier altura tienen la misma forma funcional. ¿Puede afirmar que la relación entre el tiempo y el diámetro es independiente de la altura?

Preste atención que todas las relaciones matemáticas entre el tiempo y la altura para cualquier diámetro tienen la misma forma funcional. ¿Puede afirmar que la relación entre el tiempo y altura es independiente del diámetro?

Exprese su relación de igualdad. ¿Cómo halla el valor del coeficiente? Encuentre el valor de este coeficiente. ¿Satisface la relación obtenida, los datos experimentales? ¿Es válida la relación obtenida para cualquier valor de h y d? Explique su respuesta.

La relación final entre t, h y d se obtiene a partir de la última tabla, y por lo tanto de la gráfica correspondiente, la cual es útil para encontrar el diámetro superior de los recipientes. Compare la relación teórica con su relación experimental y deduzca el valor del diámetro de la parte superior de los recipientes usados en el experimento.

Use la relación experimental obtenida para calcular el tiempo de descarga que tomaría un recipiente con un agujero inferior de 2,5 cm, el cual está lleno con una altura de líquido de 20,0 cm.

4.4 Cibergrafía

(61)

5 PRACTICAS SOBRE MOVIMIENTO

El movimiento es quizás el fenómeno natural más evidente en la naturaleza, describirlo y entenderlo ha sido tarea desarrollada a lo largo del tiempo por la humanidad. Es Aristóteles el primer filósofo natural que intenta explicar la caída de los cuerpos. Sin embargo, solamente hasta el siglo XVI, se aborda el problema del movimiento con una visión científica, será Galileo el encargado de dar las primeras teorías matemáticas deducidas de la experimentación y el análisis riguroso de datos.

En la vida cotidiana los movimientos que se observan, la caída de una hoja cuando se desprende de su rama, el movimiento de un balón, las nubes, los movimientos celestes, entre otros, están sujetos a muchas interacciones de tal manera que su descripción se hace compleja. Para establecer una descripción simplificada de dichos movimiento se deben aislar los movimientos puros introduciendo idealizaciones tales como el de la caracterización del objeto en movimiento a la manera de un punto que posee la masa del objeto (Partícula) que se mueve en el vacío, lejos de la interacción con el fluido dentro del cual se mueve en realidad. De esta manera el movimiento queda simplificado a relaciones sencillas entre los desplazamientos del objeto en el espacio y el tiempo.

Para el desarrollo a la práctica se deberá hacer uso de las técnicas en el análisis de datos experimentales adquirida en las prácticas anteriores para la construcción del modelo matemático que mejor se ajuste a los datos medidos.

5.1 Marco conceptual

Para describir el movimiento de una partícula, se debe conocer la posición de la partícula en cada instante de tiempo, con respecto a un sistema de referencia determinado. Esta posición de la partícula se representa por medio de un vector posición, r

 

t .

(62)

dt V d a    (5.2)

Luego si se conoce la posición de una partícula, se pueden encontrar su velocidad y su aceleración.

Si se representa la posición en función del tiempo por medio de una gráfica, la pendiente de esta gráfica en cada instante es la velocidad. De la misma forma si se tiene la gráfica de la velocidad en función del tiempo, la pendiente de esta gráfica en cada instante es la aceleración.

En el caso particular que la gráfica de posición en función del tiempo, sea una línea recta, entonces, la pendiente que es la velocidad, es constante y el movimiento de la partícula es un movimiento uniforme (M.U). Si la gráfica de velocidad en función del tiempo es una línea recta, entonces, la pendiente que es la aceleración, es constante y se dice que el movimiento es uniformemente acelerado (M.U.A).

5.2 Materiales, Métodos y Actividades

Los propósitos para esta práctica son:

 Hallar la relación experimental entre la posición y el tiempo de un objeto en movimiento sobre una superficie horizontal de baja fricción.

 Hallar la relación matemática entre la velocidad y el tiempo de un objeto en movimiento.

 En el caso particular de movimiento uniformemente acelerado se requiere encontrar el valor de la aceleración del cuerpo mediante la relación matemática entre la velocidad y el tiempo.

(63)

posiciones del cuerpo en los instantes consecutivos de tiempo en los que salta la chispa, lo cual se ve en la forma como se indica en la Figura 5.1.

Figura 5.1 Registro de movimiento.

Se lo denomina el registro de movimiento. Con base en este registro, se puede describir el movimiento del cuerpo. Para obtener la posición en función del tiempo, se miden las posiciones de cada punto, con respecto a un origen determinado, (generalmente el primer o segundo punto). Estas posiciones se denotan X1, X2, X3… (Ver Figura 5.2)

Figura 5.2 Medida de la posición de la partícula.

(64)

Tabla 5.1. Cantidades medidas para x y t de cada punto marcado en el papel

x (cm.) t (s)

X1 t1

X2 t2

X3 t3

-- --

A partir de estos datos se puede hallar la relación (ecuación matemática) entre la posición y el tiempo.

Para hallar la velocidad en función del tiempo, se mide sobre el registro de movimiento, el desplazamiento del cuerpo en cada intervalo de tiempo. Estos desplazamientos se denominan x1, x2, x3,… (Ver Figura 5.3)

Figura 5.3 Medida de los desplazamientos de la partícula

Ahora se calcula la velocidad media en cada intervalo, teniendo en cuenta que:

𝑚

(65)

Es decir, se obtiene: 𝑚 1 ₁ 𝑡 𝑚 𝑡 𝑚 𝑡 …

A cada velocidad media le corresponde todo el intervalo de tiempo. Sin embargo a cada una de estas velocidades se debe asignar un solo instante de tiempo, el cual se elige tomando el tiempo transcurrido hasta la mitad del intervalo de tiempo correspondiente, es decir que 𝑚 1 corresponde con 𝑡1 𝑡, a 𝑚 le corresponde 𝑡 𝑡1 𝑡 y así sucesivamente. Con ello se obtiene una tabla de datos como la indicada a continuación.

Tabla 5.2. Cálculos de la velocidad media en función del tiempo

𝑚(cm/s) t(s)

𝑚 1 _𝑡

1 𝑡 𝑚 _𝑡 _𝑡 1 𝑡 𝑚 _𝑡 _𝑡 𝑡 … …

(66)

Tabla 5.3. Cantidades medidas de posición y tiempo para el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado.

M.U. M.U.A

(67)

(68)

Mida los desplazamientos del cuerpo y calcule su velocidad media en cada intervalo y anote sus valores en la tabla. Haga la gráfica de velocidad en función del tiempo y obtenga la relación entre la velocidad y el tiempo utilizando el método de mínimos cuadrados. Dé el valor de la aceleración del cuerpo ¿Qué tipo de movimiento efectuó el cuerpo?

Tabla 5.4. Cálculos de la Velocidad Media en función del tiempo para el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado.

M.U. M.U.A.

(69)

(70)

5.3 Claves para el reporte

Tenga presente que la forma de la gráfica está asociada con el sistema físico que se quiere estudiar, en este caso concreto se pueden diferenciar dos tipos de movimientos. Los ajustes apropiados, mediante el método de mínimos cuadrados, le permiten identificar las características del movimiento asociadas a los parámetros del ajuste.

Recuerde que por definición la función de velocidad resulta de la derivada con respecto al tiempo de la función posición en cualquier instante de tiempo. Compare las derivadas de las funciones que obtuvo, mediante el ajuste ¿Qué puede decir de este resultado?

Ya que ha realizado el ajuste de la velocidad media en función del tiempo y en consecuencia obtenido la función de velocidad, puede comparar este resultado con el calculado mediante la derivada sugerida anteriormente ¿Qué tan diferentes son las formas funcionales en los dos casos?

En las gráficas de velocidad promedio contra el tiempo, la pendiente de la misma indica el valor de la aceleración. Pero también se puede obtener la aceleración mediante la derivada de la función ajustada de la velocidad con respecto al tiempo ¿Qué se puede afirmar con respecto a las aceleraciones obtenidas para los dos movimientos?

5.4 Cibergrafía

(71)

6 MOVIMIENTO EN UN PLANO

La balística es quizá una de las artes de la antigüedad cuyos conocimientos se han venido desarrollando a lo largo de la historia hasta el punto de permitir al hombre llegar a la luna. Desafortunadamente muchos de los desarrollos en este campo han surgido de los continuos enfrentamientos territoriales, económicos e ideológicos.

Ahora que se ha estudiado el modelo de movimiento unidimensional, se está en capacidad de describir movimientos que se presentan más a menudo en la cotidianidad como aquel movimiento experimentado por un proyectil, también conocido como movimiento parabólico.

La cinemática aborda el problema de la descripción de la trayectoria seguida por un proyectil, mediante la superposición linealmente independiente de dos movimientos unidimensionales de manera tal, que se puede aplicar en conjunto lo estudiado en la práctica anterior. Es decir que el movimiento parabólico resulta de la superposición de un movimiento uniforme horizontal y, un movimiento con aceleración constante en la dirección perpendicular a la anterior.

6.1 Marco conceptual

Si uno se detiene a observar detalladamente el movimiento seguido por un balón, cuando es pateado por un futbolista, se puede ver que el balón avanza horizontalmente a la vez que sube y baja influenciado por el efecto gravitacional. Bajo el supuesto de ausencia de aire en el movimiento y cualquier efecto perturbador, se puede afirmar, y desde luego deducir, que la trayectoria seguida por el balón se representa mediante una función parabólica del sistema de coordenadas usadas.

(72)

Figura 6.1Representación del movimiento parabólico con la velocidad inicial.

Para analizar el movimiento de un proyectil, se parte del modelo idealizado de partícula, donde la fricción es despreciable y el objeto está bajo la influencia de una aceleración constante en magnitud y dirección. Se ignoran, además, la curvatura de la tierra y su rotación.

La velocidad inicial del movimiento es un vector con componentes rectangulares que definen el plano de la trayectoria. Si se bautizan las coordenadas X y Y como las coordenadas de las diferentes posiciones a lo largo de la trayectoria, se puede definir el eje X como el eje horizontal a la trayectoria y el eje Y como el eje vertical. La ventaja en el análisis de este movimiento es que se puede tratar por separado el desplazamiento a lo largo de cada eje, siendo ellos un M.U y un M. U. A, mutuamente independientes.

A lo largo del eje X el movimiento se representa mediante la relación:

𝑋 𝑋₀ _0𝑥𝑡

Donde X0 es la posición inicial y representa la condición inicial de movimiento; V0x es la componente horizontal de la magnitud de la velocidad inicial del movimiento cuyo valor es constante a lo largo del eje como se muestra en la Figura 6.1.

Por otra parte, el movimiento sobre el eje Y es un movimiento con aceleración constante y como se sabe, la representación matemática de su posición como función del tiempo es:

(73)

componente vertical de la magnitud de la velocidad inicial como se muestra en la Figura 6.1 y 𝑎𝑦 es una constante y representa el valor de la aceleración.

Despejando el tiempo de la primera ecuación y reemplazándolo en la segunda, se obtiene la expresión de la trayectoria, es decir una ecuación de Y en función de X:

𝑌 𝑇𝑎𝑛(𝛼₀)𝑋 𝑎𝑦 0 𝑐𝑜𝑠 (𝛼0)

𝑋

Como 𝛼0, 𝑜, 𝑇𝑎𝑛(𝛼0), cos (𝛼0) y 𝑎𝑦 son constantes, la ecuación anterior tiene la forma general

𝑌 𝑏𝑋 − 𝑐𝑋

De tal manera que la trayectoria se expresa mediante la ecuación anterior y su representación es una parábola.

6.2 Materiales, Métodos y Actividades

 Encontrar las relaciones experimentales entre la posición y el tiempo para un movimiento bidimensional, tanto para X como para Y.

 Obtener la relación matemática que representa la trayectoria.

 Hallar la relación funcional entre la velocidad, y el tiempo.

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el valor del generador de chispa y expréselo en segundos.

A partir de la primera (o segunda) posición, trace (en el registro del movimiento) un sistema de coordenadas cartesianas, escogiendo el eje X en la dirección horizontal de la trayectoria del cuerpo. Figura 6.2.

Figura 6.2 Representación del movimiento parabólico con la velocidad inicial.

Como el cuerpo se mueve en un plano, mida ahora las posiciones del cuerpo tanto en el eje X, como en el eje Y y anote sus valores en una tabla de datos.

Tabla 6.1. Posición X y Y para diferentes tiempos t.

(75)

Encuentre las velocidades medias en X y Y. Anote sus valores en la siguiente tabla.

Tabla 6.2. Velocidad media en X y en Y para diferentes tiempos t