• No se han encontrado resultados

EJERCICIOS DEL LIBRO: Pag133 (Todos)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Share "EJERCICIOS DEL LIBRO: Pag133 (Todos)"

Copied!
8
0
0

Texto completo

(1)

TEMA 6: ESPACIO AFÍN. 1º RECTAS EN EL ESPACIO.

Al igual que en el plano, para determinar una recta en el espacio sólo necesitamos un punto que pertenezca a ella y un vector director.

1º-1 Ecuaciones de la recta.

- Ecuación vectorial de la recta. - Ecuaciones paramétricas de la recta. - Ecuación continua.

- Ecuaciones implícitas. 1º-2 Ejercicios.

Ejercicio 1. Dada la recta que pasa por el punto A(5,-2,4), de vector director d=(-3,4,1). Halla distintas ecuaciones de la misma.

Ejercicio 2. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(3,-2,5) y B(4,1,5). Ejercicio 3. Da las ecuaciones de los ejes de coordenadas.

Ejercicio 4. Da dos puntos, un vector director y unas ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas. Represéntalas.

a)

  

 

5 3 :

z y

a b)

  

 

 3 4 :

z x

b c)

  

 

 5 2 :

x y c

Ejercicio 5. Calcula, en cada caso, las ecuaciones implícitas de la recta que cumple las siguientes condiciones:

a) Pasa por el punto A(-1,-2,0) y es paralela al segmento de extremos B(0,-3,1) y C(1,1,0).

b) Pasa por el punto A(2,-2,-3) y es paralela al eje Y.

Ejercicio 6. Halla unas ecuaciones paramétricas para las rectas de ecuaciones implícitas: a)

  

  

 

0 2

0 :

z y x

y x

r b)

  

   

  

0 3

0 2

3 :

z y x

z y x s

Ejercicio 7. Dada la recta   

 

 0 :

z x

y x

r . Responde:

a) Calcula dos puntos de ella.

b) Calcula los puntos simétricos de los hallados en el apartado anterior respecto del origen de coordenadas.

c) Calcula la recta simétrica de r respecto del origen de coordenadas. EJERCICIOS DEL LIBRO: Pag133 (Todos)

2º PLANOS EN EL ESPACIO.

Un punto y dos vectores linealmente independientes del espacio originan un plano. Dichos vectores se llaman vectores directores del plano.

Los planos se representan mediante la letra griega  .

(2)

a) La matriz formada por dos vectores directores generadores de un plano es de rango_____

b) Si A y B son dos puntos de un plano, con u y v dos vectores directores del mismo. El rango de la matriz formada por las coordenadas de u, v y AB es_________.

2º-1 Ecuaciones del plano.

- Ecuación vectorial del plano. - Ecuaciones paramétricas del plano. - Ecuación general o implícita del plano.

Ejercicio 9. Del plano conocemos el punto A(3,-4,2) y los vectores directores u=(1,2,1) y v=(4,3,5). Calcula distintas ecuaciones de dicho plano.

Resultado 1. Dado el plano : Ax+By+C+D=0 , el vector n=(A,B,C) es normal al plano. Resultado 2. Dado el pano  de vector normal n, si u y v son perpendiculares a n entonces son vectores directores de dicho plano.

- Ecuación normal del pano. 2º-2 Determinación de un plano.

Un plano queda determinado de las siguientes formas:

a) A partir de un punto y dos ____________________________________________ b) A partir de tres puntos no _____________________________________________ c) A partir de un punto y un vector________________________________________ Ejercicio 10. Halla la ecuación general de los siguientes planos:

a) Pasa por el punto (0,1,-4) y tiene por vectores directores u=(1,-1,1) y v=(1,0,-2). b) Pasa por los puntos (0,0,-1), (1,0,-3) y (1,1,-6).

c) Pasa por el punto (1,1,-6) y tiene por vector normal n=(2,3,1).

Ejercicio 11. Dado los puntos A, B, C y D del espacio. Consideremos los vectores AB, AC y AD. Sea M la matriz formada por las coordenadas de dichos vectores. Completa:

a) Si los puntos están alineados forman parte de la misma_______________. Entonces el rango de M vale____________.

b) Si el rango de M vale_______ los puntos son complanarios (están en el mismo plano).

c) Si el rango de M vale 3, los puntos forman un___________________

Ejercicio 12. ¿Cómo son los siguientes puntos A(1,-1,0), B(2,2,1), C(1,-2,-1) y D(0,-1,2)? Ejercicio 13. Completa:

a) Si una recta r es perpendicular a un plano, el vector normal al plano es____________ b) Dos planos paralelos tienen el mismo___________________

c) Si dos planos son perpendiculares, el vector normal de uno de ellos es____________ _____________________________________________.

(3)

Ejercicio 15. Dada la recta   

    

  

0 1 2

0 2

:

z y x

z y x r

a) Halla un vector director resolviendo el sistema asociado y obteniendo sus ecuaciones paramétricas. A continuación calcula un punto de la recta.

b) Halla un vector director considerando que resulta de la intersección de dos planos. A continuación calcula un punto de la recta.

Ejercicio 16. Da un punto, un vector director y un vector normal del plano 0

6 2 3 2

: xyz 

 .

Ejercicio 17. Da las ecuaciones paramétricas e implícitas de los planos coordenados.

IMPORTANTE: Al respecto de ecuaciones de ejes coordenados, planos coordenados y de rectas y planos paralelos a los mismos, consultar la PAG 140 y 141 del libro.

Ejercicio 18. Da un vector director, un vector normal, un punto y unas ecuaciones paramétricas de los siguientes planos.

a) z=7 b) y= -3 c) x=9

EJERCICIOS DEL LIBRO: pag 135 (TODOS)

3º POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y DE RECTAS Y PLANOS. 3º-1 Posición relativa de dos rectas en el espacio.

- 2 rectas en el espacio pueden tener las siguientes posiciones: a) Paralelas.

b) Coincidentes. c) Secantes. d) Se cruzan.

- 1º CRITERIO. Consideremos las rectas r y s. De r conocemos el punto A y el vector director u y de s el punto B y el vector director v. Sea M la matriz formada por las coordenadas de u y v y M’ la formada por las coordenadas de los vectores u, v y AB.

1º CASO. Rectas coincidentes: rang(M)=rang(M’)=1 2º CASO. Rectas paralelas: rang(M)=1 y rang(M’)=2 3º CASO. Rectas secantes: rang(M)=2 y rang(M’)=2 4º CASO. Rectas que se cruzan: rang(M)=2 y rang(M’)=3 - Justificación del criterio anterior.

a) Si 2 rectas son coincidentes uv y AB depende linealmente de u y v.

b) Si 2 rectas son paralelas uv y AB no se puede expresar como combinación lineal de dichos vectores.

c) Si 2 rectas son secantes u y v son linealmente independientes y existe un plano que las contiene, por tanto, AB se puede expresar como combinación lineal de u y v. d) Si 2 rectas se cruzan no existe plano que pueda contenerlas, luego u, v son

(4)

Ejercicio 19º Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a)               3 2 1 : z y x r                 3 1 1 2 2 : z y x

s b)

              1 2 1 : z y x r              3 2 2 2 : z y x s c)                 5 1 1 2 2 : z y x r         0 2 1 2 : y x z y x

s d)

              1 2 1 : z y x r         1 2 0 : y x z y x s

Ejercicio 20º Calcula el valor de k para que las rectas r y s se corten en un punto. Halla las coordenadas de ese punto de corte.

             3 2 2 : z y x r                 3 1 2 1 : k z y x s

- CRITERIO. Dadas las rectas:

           0 0 : 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 b x b x b x b a x a x a x a r y            0 0 : 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 d x d x d x d c x c x c x c s

Podemos considerar el sistema formado por las cuatro ecuaciones, sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada, se tiene entonces que:

Ejercicio 21 Dadas las siguientes rectas, estudia su posición relativa en el espacio.         3 2 2 : z x z y x s         0 3 2 3 2 2 : y x z y x r

Ejercicios del LIBRO: Pag 137(14,15 y 16)

POSICIÓN Rang(A) Rang(A*)

Sistema compatible indeterminado uniparamétrico: Rectas coincidentes 2 2

Sistema incompatible: Rectas paralelas 2 3

Sistema compatible determinado: Secantes en un punto 3 3

(5)

3º-2 Posición relativa de dos planos (Ver página 138 del libro)

- Observación previa: Dados los planos :axbyczd y 'a'xb'yc'zd' a) Los planos coinciden si existetal que

a b c d

 

 a' b' c' d'

.

b) Los planos son paralelos si  tal que

a b c



a' b' c'

pero no existe en las condiciones de a)

Ejercicio 22º Pon un ejemplo de dos planos paralelos y otro de dos planos coincidentes. - Dados los planos :axbyczdy'a'xb'yc'zd', podemos considerar el sistema:

  

  

  

' ' '

'x b y c z d a

d cz by ax

, donde M es la matriz de coeficientes y M’ la matriz ampliada. Estudiando la compatibilidad del sistema, llegamos al siguiente criterio:

Ejercicio 23º Estudia la posición relativa de los siguientes planos: a)

    

  

 

 

 

   

2 2

1 :

z y x

1 2

:xyz

 b)

    

   

  

3 2 1 :

z y x

 

 

 :z3

Ejercicio 24º Dados los puntos A(1,2,3), B(-1,1,0), C(2,1,-1) y D(4,2,2), estudia la posición de los planos determinados por A, B, C y por A, B y D. ¿Cómo son los puntos A, B, C y D?

Ejercicios del LIBRO: Pag 139(19)

3º-3 Posición relativa de tres planos (Ver página 138 y 139 del libro).

Dados los planos :axbyczd, ':a'xb'yc'zd'y  '':a''xb''yc''zd'' podemos considerar el sistema formado por las tres ecuaciones, donde M es la matriz de coeficientes y M’ la matriz ampliada. Estudiando la compatibilidad del sistema, llegamos al siguiente criterio:

POSICIÓN Rang(M) Rang(M*)

Sistema compatible indeterminado biparamétrico: Planos coincidentes 1 1

Sistema incompatible: Planos paralelos 1 2

Sistema compatible indeterminado uniparamétrico: Planos secantes que

se cortan en una recta 2 2

POSICIÓN Rang(M) Rang(M*)

Sistema compatible indeterminado biparamétrico: Planos coincidentes 1 1 Sistema incompatible. Dos casos:

a) Los tres planos son paralelos.

b) Dos planos son coincidentes y otro es paralelo.

1 2

Sistema compatible indeterminados uniparamétrico. Dos casos: a) Los tres planos son distintos y se cortan en una recta. b) Dos planos son coincidentes y otro es secante.

2 2

Sistema incompatible. Dos casos:

a) Los tres planos se cortan dos a dos formando un prisma. b) Dos planos son paralelos y el otro es secante.

2 3

(6)

Ejercicio 25º Estudia la posición relativa de los siguientes planos: a) :x3y2z2, ':2xyz3y  '':5y5z1 b) :xy3z1, ':2x2y6z2y  '':xyz0

Ejercicio 26º Calcula el valor de k para que los siguientes planos formen un prisma:

    

 

    

  

k z y

z y x

z y x

5 5 : ''

3 2

: '

2 2 3 :

 

Ejercicios del LIBRO: Pag 139 (20º y 21º)

3º-4 Posición relativa de una recta y un plano

CRITERIO: Dada la recta r que pasa por el punto A de vector director v y el plano  de vector normal n.

a) Si v.n0 entonces ves perpendicular a n. Se pueden dar dos casos:

1º Caso: Si el punto A pertenece a  entonces la recta está contenida en el plano. 2º Caso: Si el punto A no pertenece a  entonces la recta es paralela al plano. b) Si v.n0 entonces la recta y el plano son secantes.

CRITERIO: Dada la recta   

   

   

0 0 :

2 2 2 2

1 1 1 1

D y C y B x A

D y C y B x A

r y el plano

0 :A3xB3yC3zD3

 , podemos considera el sistema formado por las tres ecuaciones, donde M es la matriz de coeficientes y M’ la matriz ampliada. Estudiando la compatibilidad del sistema, llegamos al siguiente criterio:

Ejercicio 27º Estudia la posición relativa de la recta r y el plano  : a)

    

  

  

 

4 2

2 3 2

:

z y x

r :3xy2z10 b)

  

  

 

0 7 3

2 :

y x

z y

r :x2yz20

Ejercicio 28º Calcula el valor de k para que la recta   

 

 

k z x

y x

r: 2 0 esté contenida en el plano x+y-z-1=0

POSICIÓN Rang(M) Rang(M*)

Sistema compatible indeterminado uniparamétrico: Recta contenida. 2 2

Sistema incompatible: Recta paralela al plano. 2 3

(7)

Ejercicios del LIBRO: Páginas 146, 147, 148 y 149. Especialmente importantes los de las páginas 148 y 149.

4º SIMETRÍAS EN EL ESPACIO

4º-1 Simetría respecto de un punto

- Ejercicio previo. Dados los puntos A y B de coordenadas A=(a1,a2,a3) y B=(b1,b2,b3). Halla las coordenadas del punto medio del segmento AB.

- Definición: Simétrico del punto P respecto del punto M.

Se define el simétrico del punto P respecto del punto M, como el punto P’ tal que M es el punto medio del segmento PP’

- Ejercicio 29 Halla el punto simétrico P’ del punto P(2,-3,-5) respecto del punto M(3,1,-1).

4º-2 Simetría respecto de una recta.

- Definición: Simétrico del punto P respecto de la recta r.

Diremos que P’ es el simétrico de P respecto de la recta r, si dada la recta s perpendicular a r y que corta a r en el punto M, P’ es el simétrico de P respecto del punto M.

El punto M recibe además el nombre de proyección ortogonal del punto P sobre la recta r

- Ejercicio 30 Halla el punto P’ simétrico del punto P(2,-3,5) respecto de la recta: 3

2 2 5

8

x y z

r .

Los pasos seguidos han sido: 1º Paso:

2º Paso: 3º Paso:

4º-3 Simetría respecto de un plano.

- Definición. Simétrico del punto P respecto del plano  .

Diremos que P’ es el simétrico del punto P respecto del plano  , si dada la recta s perpendicular al plano y que lo corta en M, P’ es el simétrico de P respecto de M. El punto M recibe además el nombre de proyección ortogonal del punto P sobre el el plano 

- Ejercicio 31. Halla el punto P’ simétrico del punto P(3,-4,4) respecto del plano 0

9 2 3 2

: xyz 

Los pasos seguidos han sido: 1º Paso:

2º Paso: 3º Paso:

Ejercicio del LIBRO: Pag 163

(8)

Dadas las rectas 2 1 4 3 5 2      

x y z

r y

              t z k t y t x s 2 5 2 3 . Responde: a) Halla el valor de k para que las rectas sean perpendiculares.

b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, estudia la posición relativa de r y s. Dada la recta r y el plano . Responde:

a) ¿Son perpendiculares?

b) Halla la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano  .

z y x r       1 4 2 1 0 7 2 2

4    

x y z

Halla el valor de k para que los siguientes planos sean perpendiculares: 0

1 4   

x y

 '2xky3z80

Halla la ecuación del plano que pasa por A(2,0,1) y contiene a la recta            0 2 2 3 3 : z y x z y x r

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta perpendicularmente a la recta: rx  y z

2 1 2

2

El triángulo de vértices A(2,0,3); B(-1,1,1) y C(0,1,2) se proyecta ortogonalmente sobre el plano de ecuación  x2yz20. Halla los vértices del triángulo proyectado.

Halla la proyección ortogonal de la recta r de ecuación

1 3 1 2 4 1      

x y z

r sobre el plano

4 :xyz

 .

¿Cuál es la proyección ortogonal de una recta perpendicular a un plano sobre dicho plano? Dadas las rectas

             1 0 2 z y x r y             1 0 z y x

s . Responde:

a) ¿Qué posición relativa tienen las rectas r y s?

b) Halla la recta perpendicular común a las rectas anteriores. c) ¿Cuántas hay?

10º Dadas las rectas

3 1 1 2 2     

x y z

r y

              6 5 2 2 2 z y x

s . Responde:

a) ¿Qué posición relativa tienen las rectas r y s?

b) Determina la recta que pasa por el punto P(1,0,-2) y se apoya en las rectas anteriores. c) ¿Cuántas hay?

11º Se considera el plano :xay2az4y la recta           3 2 2 2 z y x z y x

r . Responde:

a) Determina los valores de a para los que la recta y el plano son paralelos.

b) Para a=2, calcula la recta que pasa por P(1,0,-1), es paralela al plano  y se apoya en la recta r.

12º Dadas las rectas r y s,            k z k y k x r 1 5 2 3 :          k z k y k x s 2 : Responde:

a) Estudia la posición relativa de las dos rectas.

Referencias

Documento similar

Por PEDRO A. EUROPEIZACIÓN DEL DERECHO PRIVADO. Re- laciones entre el Derecho privado y el ordenamiento comunitario. Ca- racterización del Derecho privado comunitario. A) Mecanismos

Busca la orientación preliminar o introducción, ayuda al docente a preparar a los estudiantes para lo que se va a enseñar. Tiene como propósito aclarar los fines dela actividad

Para ello, en base a un modelo econométrico de datos de panel para el periodo 2009-2013, pretende obtener evidencia sobre una asociación entre feminicidio agregado y

"No porque las dos, que vinieron de Valencia, no merecieran ese favor, pues eran entrambas de tan grande espíritu […] La razón porque no vió Coronas para ellas, sería

Cedulario se inicia a mediados del siglo XVIL, por sus propias cédulas puede advertirse que no estaba totalmente conquistada la Nueva Gali- cia, ya que a fines del siglo xvn y en

Volviendo a la jurisprudencia del Tribunal de Justicia, conviene recor- dar que, con el tiempo, este órgano se vio en la necesidad de determinar si los actos de los Estados

Una vez hecho esto, se realiza una espera, leyendo el registro de salida del coprocesador para el control de qué está haciendo el procesador en este momento, a la espera que nos

El hecho de que Hegel omita estos temas en su consideración del tiempo tiene la desafortunada consecuencia de que no puede ofrecer una teoría de la asimetría temporal, ninguna