TEMA 6: ESPACIO AFÍN. 1º RECTAS EN EL ESPACIO.
Al igual que en el plano, para determinar una recta en el espacio sólo necesitamos un punto que pertenezca a ella y un vector director.
1º-1 Ecuaciones de la recta.
- Ecuación vectorial de la recta. - Ecuaciones paramétricas de la recta. - Ecuación continua.
- Ecuaciones implícitas. 1º-2 Ejercicios.
Ejercicio 1. Dada la recta que pasa por el punto A(5,-2,4), de vector director d=(-3,4,1). Halla distintas ecuaciones de la misma.
Ejercicio 2. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A(3,-2,5) y B(4,1,5). Ejercicio 3. Da las ecuaciones de los ejes de coordenadas.
Ejercicio 4. Da dos puntos, un vector director y unas ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas. Represéntalas.
a)
5 3 :
z y
a b)
3 4 :
z x
b c)
5 2 :
x y c
Ejercicio 5. Calcula, en cada caso, las ecuaciones implícitas de la recta que cumple las siguientes condiciones:
a) Pasa por el punto A(-1,-2,0) y es paralela al segmento de extremos B(0,-3,1) y C(1,1,0).
b) Pasa por el punto A(2,-2,-3) y es paralela al eje Y.
Ejercicio 6. Halla unas ecuaciones paramétricas para las rectas de ecuaciones implícitas: a)
0 2
0 :
z y x
y x
r b)
0 3
0 2
3 :
z y x
z y x s
Ejercicio 7. Dada la recta
0 :
z x
y x
r . Responde:
a) Calcula dos puntos de ella.
b) Calcula los puntos simétricos de los hallados en el apartado anterior respecto del origen de coordenadas.
c) Calcula la recta simétrica de r respecto del origen de coordenadas. EJERCICIOS DEL LIBRO: Pag133 (Todos)
2º PLANOS EN EL ESPACIO.
Un punto y dos vectores linealmente independientes del espacio originan un plano. Dichos vectores se llaman vectores directores del plano.
Los planos se representan mediante la letra griega .
a) La matriz formada por dos vectores directores generadores de un plano es de rango_____
b) Si A y B son dos puntos de un plano, con u y v dos vectores directores del mismo. El rango de la matriz formada por las coordenadas de u, v y AB es_________.
2º-1 Ecuaciones del plano.
- Ecuación vectorial del plano. - Ecuaciones paramétricas del plano. - Ecuación general o implícita del plano.
Ejercicio 9. Del plano conocemos el punto A(3,-4,2) y los vectores directores u=(1,2,1) y v=(4,3,5). Calcula distintas ecuaciones de dicho plano.
Resultado 1. Dado el plano : Ax+By+C+D=0 , el vector n=(A,B,C) es normal al plano. Resultado 2. Dado el pano de vector normal n, si u y v son perpendiculares a n entonces son vectores directores de dicho plano.
- Ecuación normal del pano. 2º-2 Determinación de un plano.
Un plano queda determinado de las siguientes formas:
a) A partir de un punto y dos ____________________________________________ b) A partir de tres puntos no _____________________________________________ c) A partir de un punto y un vector________________________________________ Ejercicio 10. Halla la ecuación general de los siguientes planos:
a) Pasa por el punto (0,1,-4) y tiene por vectores directores u=(1,-1,1) y v=(1,0,-2). b) Pasa por los puntos (0,0,-1), (1,0,-3) y (1,1,-6).
c) Pasa por el punto (1,1,-6) y tiene por vector normal n=(2,3,1).
Ejercicio 11. Dado los puntos A, B, C y D del espacio. Consideremos los vectores AB, AC y AD. Sea M la matriz formada por las coordenadas de dichos vectores. Completa:
a) Si los puntos están alineados forman parte de la misma_______________. Entonces el rango de M vale____________.
b) Si el rango de M vale_______ los puntos son complanarios (están en el mismo plano).
c) Si el rango de M vale 3, los puntos forman un___________________
Ejercicio 12. ¿Cómo son los siguientes puntos A(1,-1,0), B(2,2,1), C(1,-2,-1) y D(0,-1,2)? Ejercicio 13. Completa:
a) Si una recta r es perpendicular a un plano, el vector normal al plano es____________ b) Dos planos paralelos tienen el mismo___________________
c) Si dos planos son perpendiculares, el vector normal de uno de ellos es____________ _____________________________________________.
Ejercicio 15. Dada la recta
0 1 2
0 2
:
z y x
z y x r
a) Halla un vector director resolviendo el sistema asociado y obteniendo sus ecuaciones paramétricas. A continuación calcula un punto de la recta.
b) Halla un vector director considerando que resulta de la intersección de dos planos. A continuación calcula un punto de la recta.
Ejercicio 16. Da un punto, un vector director y un vector normal del plano 0
6 2 3 2
: x y z
.
Ejercicio 17. Da las ecuaciones paramétricas e implícitas de los planos coordenados.
IMPORTANTE: Al respecto de ecuaciones de ejes coordenados, planos coordenados y de rectas y planos paralelos a los mismos, consultar la PAG 140 y 141 del libro.
Ejercicio 18. Da un vector director, un vector normal, un punto y unas ecuaciones paramétricas de los siguientes planos.
a) z=7 b) y= -3 c) x=9
EJERCICIOS DEL LIBRO: pag 135 (TODOS)
3º POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y DE RECTAS Y PLANOS. 3º-1 Posición relativa de dos rectas en el espacio.
- 2 rectas en el espacio pueden tener las siguientes posiciones: a) Paralelas.
b) Coincidentes. c) Secantes. d) Se cruzan.
- 1º CRITERIO. Consideremos las rectas r y s. De r conocemos el punto A y el vector director u y de s el punto B y el vector director v. Sea M la matriz formada por las coordenadas de u y v y M’ la formada por las coordenadas de los vectores u, v y AB.
1º CASO. Rectas coincidentes: rang(M)=rang(M’)=1 2º CASO. Rectas paralelas: rang(M)=1 y rang(M’)=2 3º CASO. Rectas secantes: rang(M)=2 y rang(M’)=2 4º CASO. Rectas que se cruzan: rang(M)=2 y rang(M’)=3 - Justificación del criterio anterior.
a) Si 2 rectas son coincidentes uv y AB depende linealmente de u y v.
b) Si 2 rectas son paralelas uv y AB no se puede expresar como combinación lineal de dichos vectores.
c) Si 2 rectas son secantes u y v son linealmente independientes y existe un plano que las contiene, por tanto, AB se puede expresar como combinación lineal de u y v. d) Si 2 rectas se cruzan no existe plano que pueda contenerlas, luego u, v son
Ejercicio 19º Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas: a) 3 2 1 : z y x r 3 1 1 2 2 : z y x
s b)
1 2 1 : z y x r 3 2 2 2 : z y x s c) 5 1 1 2 2 : z y x r 0 2 1 2 : y x z y x
s d)
1 2 1 : z y x r 1 2 0 : y x z y x s
Ejercicio 20º Calcula el valor de k para que las rectas r y s se corten en un punto. Halla las coordenadas de ese punto de corte.
3 2 2 : z y x r 3 1 2 1 : k z y x s
- 2º CRITERIO. Dadas las rectas:
0 0 : 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 b x b x b x b a x a x a x a r y 0 0 : 3 3 2 2 1 1 3 3 2 2 1 1 d x d x d x d c x c x c x c s
Podemos considerar el sistema formado por las cuatro ecuaciones, sea A la matriz de coeficientes y A* la matriz ampliada, se tiene entonces que:
Ejercicio 21 Dadas las siguientes rectas, estudia su posición relativa en el espacio. 3 2 2 : z x z y x s 0 3 2 3 2 2 : y x z y x r
Ejercicios del LIBRO: Pag 137(14,15 y 16)
POSICIÓN Rang(A) Rang(A*)
Sistema compatible indeterminado uniparamétrico: Rectas coincidentes 2 2
Sistema incompatible: Rectas paralelas 2 3
Sistema compatible determinado: Secantes en un punto 3 3
3º-2 Posición relativa de dos planos (Ver página 138 del libro)
- Observación previa: Dados los planos :axbyczd y 'a'xb'yc'zd' a) Los planos coinciden si existetal que
a b c d
a' b' c' d'
.b) Los planos son paralelos si tal que
a b c
a' b' c'
pero no existe en las condiciones de a)Ejercicio 22º Pon un ejemplo de dos planos paralelos y otro de dos planos coincidentes. - Dados los planos :axbyczdy'a'xb'yc'zd', podemos considerar el sistema:
' ' '
'x b y c z d a
d cz by ax
, donde M es la matriz de coeficientes y M’ la matriz ampliada. Estudiando la compatibilidad del sistema, llegamos al siguiente criterio:
Ejercicio 23º Estudia la posición relativa de los siguientes planos: a)
2 2
1 :
z y x
1 2
:x yz
b)
3 2 1 :
z y x
:z3
Ejercicio 24º Dados los puntos A(1,2,3), B(-1,1,0), C(2,1,-1) y D(4,2,2), estudia la posición de los planos determinados por A, B, C y por A, B y D. ¿Cómo son los puntos A, B, C y D?
Ejercicios del LIBRO: Pag 139(19)
3º-3 Posición relativa de tres planos (Ver página 138 y 139 del libro).
Dados los planos :axbyczd, ':a'xb'yc'zd'y '':a''xb''yc''zd'' podemos considerar el sistema formado por las tres ecuaciones, donde M es la matriz de coeficientes y M’ la matriz ampliada. Estudiando la compatibilidad del sistema, llegamos al siguiente criterio:
POSICIÓN Rang(M) Rang(M*)
Sistema compatible indeterminado biparamétrico: Planos coincidentes 1 1
Sistema incompatible: Planos paralelos 1 2
Sistema compatible indeterminado uniparamétrico: Planos secantes que
se cortan en una recta 2 2
POSICIÓN Rang(M) Rang(M*)
Sistema compatible indeterminado biparamétrico: Planos coincidentes 1 1 Sistema incompatible. Dos casos:
a) Los tres planos son paralelos.
b) Dos planos son coincidentes y otro es paralelo.
1 2
Sistema compatible indeterminados uniparamétrico. Dos casos: a) Los tres planos son distintos y se cortan en una recta. b) Dos planos son coincidentes y otro es secante.
2 2
Sistema incompatible. Dos casos:
a) Los tres planos se cortan dos a dos formando un prisma. b) Dos planos son paralelos y el otro es secante.
2 3
Ejercicio 25º Estudia la posición relativa de los siguientes planos: a) :x3y2z2, ':2xyz3y '':5y5z1 b) :xy3z1, ':2x2y6z2y '':xyz0
Ejercicio 26º Calcula el valor de k para que los siguientes planos formen un prisma:
k z y
z y x
z y x
5 5 : ''
3 2
: '
2 2 3 :
Ejercicios del LIBRO: Pag 139 (20º y 21º)
3º-4 Posición relativa de una recta y un plano
1º CRITERIO: Dada la recta r que pasa por el punto A de vector director v y el plano de vector normal n.
a) Si v.n0 entonces ves perpendicular a n. Se pueden dar dos casos:
1º Caso: Si el punto A pertenece a entonces la recta está contenida en el plano. 2º Caso: Si el punto A no pertenece a entonces la recta es paralela al plano. b) Si v.n0 entonces la recta y el plano son secantes.
2º CRITERIO: Dada la recta
0 0 :
2 2 2 2
1 1 1 1
D y C y B x A
D y C y B x A
r y el plano
0 :A3xB3yC3zD3
, podemos considera el sistema formado por las tres ecuaciones, donde M es la matriz de coeficientes y M’ la matriz ampliada. Estudiando la compatibilidad del sistema, llegamos al siguiente criterio:
Ejercicio 27º Estudia la posición relativa de la recta r y el plano : a)
4 2
2 3 2
:
z y x
r :3xy2z10 b)
0 7 3
2 :
y x
z y
r :x2yz20
Ejercicio 28º Calcula el valor de k para que la recta
k z x
y x
r: 2 0 esté contenida en el plano x+y-z-1=0
POSICIÓN Rang(M) Rang(M*)
Sistema compatible indeterminado uniparamétrico: Recta contenida. 2 2
Sistema incompatible: Recta paralela al plano. 2 3
Ejercicios del LIBRO: Páginas 146, 147, 148 y 149. Especialmente importantes los de las páginas 148 y 149.
4º SIMETRÍAS EN EL ESPACIO
4º-1 Simetría respecto de un punto
- Ejercicio previo. Dados los puntos A y B de coordenadas A=(a1,a2,a3) y B=(b1,b2,b3). Halla las coordenadas del punto medio del segmento AB.
- Definición: Simétrico del punto P respecto del punto M.
Se define el simétrico del punto P respecto del punto M, como el punto P’ tal que M es el punto medio del segmento PP’
- Ejercicio 29 Halla el punto simétrico P’ del punto P(2,-3,-5) respecto del punto M(3,1,-1).
4º-2 Simetría respecto de una recta.
- Definición: Simétrico del punto P respecto de la recta r.
Diremos que P’ es el simétrico de P respecto de la recta r, si dada la recta s perpendicular a r y que corta a r en el punto M, P’ es el simétrico de P respecto del punto M.
El punto M recibe además el nombre de proyección ortogonal del punto P sobre la recta r
- Ejercicio 30 Halla el punto P’ simétrico del punto P(2,-3,5) respecto de la recta: 3
2 2 5
8
x y z
r .
Los pasos seguidos han sido: 1º Paso:
2º Paso: 3º Paso:
4º-3 Simetría respecto de un plano.
- Definición. Simétrico del punto P respecto del plano .
Diremos que P’ es el simétrico del punto P respecto del plano , si dada la recta s perpendicular al plano y que lo corta en M, P’ es el simétrico de P respecto de M. El punto M recibe además el nombre de proyección ortogonal del punto P sobre el el plano
- Ejercicio 31. Halla el punto P’ simétrico del punto P(3,-4,4) respecto del plano 0
9 2 3 2
: x y z
Los pasos seguidos han sido: 1º Paso:
2º Paso: 3º Paso:
Ejercicio del LIBRO: Pag 163
1º Dadas las rectas 2 1 4 3 5 2
x y z
r y
t z k t y t x s 2 5 2 3 . Responde: a) Halla el valor de k para que las rectas sean perpendiculares.
b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, estudia la posición relativa de r y s. 2º Dada la recta r y el plano . Responde:
a) ¿Son perpendiculares?
b) Halla la proyección ortogonal de la recta r sobre el plano .
z y x r 1 4 2 1 0 7 2 2
4
x y z
3º Halla el valor de k para que los siguientes planos sean perpendiculares: 0
1 4
x y
'2xky3z80
4º Halla la ecuación del plano que pasa por A(2,0,1) y contiene a la recta 0 2 2 3 3 : z y x z y x r
5º Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta perpendicularmente a la recta: r x y z
2 1 2
2
6º El triángulo de vértices A(2,0,3); B(-1,1,1) y C(0,1,2) se proyecta ortogonalmente sobre el plano de ecuación x2yz20. Halla los vértices del triángulo proyectado.
7º Halla la proyección ortogonal de la recta r de ecuación
1 3 1 2 4 1
x y z
r sobre el plano
4 :xyz
.
8º ¿Cuál es la proyección ortogonal de una recta perpendicular a un plano sobre dicho plano? 9º Dadas las rectas
1 0 2 z y x r y 1 0 z y x
s . Responde:
a) ¿Qué posición relativa tienen las rectas r y s?
b) Halla la recta perpendicular común a las rectas anteriores. c) ¿Cuántas hay?
10º Dadas las rectas
3 1 1 2 2
x y z
r y
6 5 2 2 2 z y x
s . Responde:
a) ¿Qué posición relativa tienen las rectas r y s?
b) Determina la recta que pasa por el punto P(1,0,-2) y se apoya en las rectas anteriores. c) ¿Cuántas hay?
11º Se considera el plano :xay2az4y la recta 3 2 2 2 z y x z y x
r . Responde:
a) Determina los valores de a para los que la recta y el plano son paralelos.
b) Para a=2, calcula la recta que pasa por P(1,0,-1), es paralela al plano y se apoya en la recta r.
12º Dadas las rectas r y s, k z k y k x r 1 5 2 3 : k z k y k x s 2 : Responde:
a) Estudia la posición relativa de las dos rectas.