ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

(págs. 53, 55, 56, 57, 59 y 60)

4 x3 5 x1 1. a) ————————

2 3

3(4x3)2(5x1) 12x910x2 12x10x 9 20 2x110 ⇔ 2x11

11

x——

2

x3 5 x

b) ———7x———

2 4

2(x3)284x(5x) 2x6284x5x 2x4x x 6 2850

3x270

3x 27 x9

3 (5x ) 3 x 5 x

c) ———————7——

10 2 3

9(5x )45x21050x

459x 45x21050x 9x 4550x 452100 14x2550

14x 255 255

x——

14

2. a) 5 (x3)2 (2 x1)x3 5 x154 x2x3 5 x 4 x x 15230 0 x 160

0 x 16

La ecuación es incompatible.

3 13 x17

b) 5 (x2)— (x1)—————

2 2

3 x3 13 x17 5x10—————————

2 2

10 x203 x313 x17 10 x 3 x 13 x 203170 0 x 00

0 x0

La ecuación es compatible indeterminada.

c) 4 (x

√

2)5

√

23 x 4 x4

√

25

√

23 x 4 x3 x4

√

25

√

20 x9

√

20

x9

√

2

La ecuación es compatible determinada.

d) 3 (x1)5 x6 (x2)2 x 3 x35 x6 x122 x 3 x5 x6 x2 x3120

0 x15

La ecuación es incompatible.

3. a) x2₆

√

_{2 x180}

6

√

2 (6

√

2)2₄₁₁₈ x——————————————

21 6

√

2 36272

—————————— 2

6

√

20 x13

√



2

————— 2

x23

√



2

b) x2_{7 x30}

7 (7)2_{423 7 4924} x——————————————————

22 4

√



√



√



√

 䉱

䉱

3

Ecuaciones

7

√

25 7 5 x13

————————

4 4 1

x2—

2

c) x2_{6 x90}

6 (6)2_{419 6 3636} x——————————————————

21 2

60 x13

——— 2

x23 d) x2_x10

1 (1)2₄₁₁ x———————————

21

1 14 1

√

3

———————————

2 2

Esta ecuación no tiene solución.

4. a) (2 x1) x52 2 x2_x52

2 x2_x30

1 12₄₂₃ x——————————

22

1 124 1 23

—————————————

4 4

La ecuación no tiene solución.

b) (x

√

3)2_1xx

(x

√

3)2₁₀ x2₂

_√

_{3 x310} x2₂

√

_{3 x20}

2

√

3 (2

√

3)2₄₁₂ x———————————————

21

2

√

3

√

128 2

√

3

√

4 x———————————————

2 2

2

√

32 x1

√



31

————— 2

x2

√



31 c) 1(x2)2₁

(x2)2₀ x2_{4 x40}

4 (4)2_{414 4 1616} x—————————————————————

21 2

4

√

0 4 0 x12

—————————

2 2

x22

d) (x1)2₂

x2_{2 x12} ⇔ _x2_{2 x10}

2 22_{41(1) 2 44} x—————————————————————

21 2

2

√

8 x1 1

√



2

—————

2 _x

2 1

√



2

5. a) 2 x2_{3 x10}

(3)2_4219810

Dos soluciones diferentes.

b) 3 x2_x10

(1)2_{431112 110}

No tiene solución.

c) 3 x2₂

_√

_{3 x10:}

(2

√

3)2_43112120

Una solución doble.

d) x2_x10

12_41(1)1450

Dos soluciones diferentes.

6. a) 3 x2₀

0 x2_—0

3

x1x20

Solución doble.

b) 9 x2₂₅₀

25 x2_—

9

5

x1 —

25 3

x —

9 5

x2 —

3

c) x2_{2 x0} x (x2)0 x10 y x22

7. a) x4_x2₆₀ → _{tx2_} → _t2_t60

1 141(6) t——————————

2

t13

1

√

25

————— 2

t2 2

x1

√



3 t13 ⇒ x2 3 ⇒ x

√



3

x2

√



3

䉱

䉱

√



√



√



√



√



√



√

 䉱

䉱

√



䉱

䉱

√



√



䉱

䉱

√



√



䉱

䉱

√



䉱䉱

√



䉱

䉱

䉱

t2 2 ⇒ x2 2

No existe la raíz cuadrada de 2. b) x4_{3 x}2₂₀

x4_{3 x}2₂₀ → _{tx2_} →

3 98 t2_{3 t20 ⇒ t——————}

2 t12

3

√

1

———— 2

t21

x1

√



2 t12 ⇒ x22 ⇒ x

√



2

x2

√



2

x31 t21 ⇒ x21 ⇒ x

√



1

x4 1

c) x4_{11 x}2₁₈₀

x4_{11 x}2_{180 → {tx}2_{} →} t2_{11 t180}

11 112₄₁₈ t——————————

2

t19

11

√

49

————— 2

t22

x13 t19 ⇒ x29 ⇒ x

√



9

x2 3

x3

√



2 t22 ⇒ x22 ⇒ x

√



2

x4

√



2

d) 3 x4_{12 x}2₉₀

3 x4_{12 x}2₉₀ → _{tx2_} →

3 t2_{12 t90}

12 144439 t——————————

23

t13

12

√

36

—————— 6

t21

x1

√



3 t13 ⇒ x23 ⇒ x

√



3

x2

√



3

x31 t21 ⇒ x21 ⇒ x

√



1

x4 1

e) 2 x4_{12 x}2₁₆₀

2 x4_{12 x}2_{160 → {tx}2_{} →}

2 t2_{12 t160}

12 1444(2)(16) t———————————————

2(2) t12

12

√

16

——————

4

t24

x1

√



2 t12 ⇒ x22 ⇒ x

√



2

x2

√



2

x32 t24 ⇒ x24 ⇒ x

√



4

x4 2

f) x4_{4 x}2₄₅₀ x4_{4 x}2₄₅₀ →

→ {tx2_} → _t2_{4 t450}

4 16445 4 164 t———————————————

2 2

Como 164, no tiene solución real. 8. a) x (x )(x05)0

Igualamos cada factor a cero.

x0 ⇒ x10

(x )0 ⇒ x2

(x0,5)0 ⇒ x30,5 b) (x2_{x )(x}

_√

_{7)(3 x2)0}

Igualamos cada factor a cero.

x2_x0 ⇒ _{x (x1)0} ⇒ _x

10 ; x21 x

√

70 ⇒ x3

√



7

2 3 x20 ⇒ x4—

3

c) (x2_{2 x1)(x1)0}

Igualamos cada factor a cero.

x2_{2 x10 ⇒ x}

1x21

x10 ⇒ x3 1

d) x4_x3_{4 x}2_{4 x0}

Sea P (x )x4_x3_4x2_4x0

Sacamos factor común x:

P (x )x (x3_x2_4x4)

Q (x )

Factorizamos Q (x )

•Probamos con x1:

1 1 4 4

1 1 0 4

1 0 4 0

√



䉱 䉱 䉱

䉱

䉱 䉱

√



䉱

䉱

䉱 䉱

䉱 䉱

√



䉱

䉱

䉱

䉱

䉱

䉱

√



䉱

䉱

䉱

䉱

䉱

䉱

√



√



Así, x1 es divisor de Q (x). Por tanto: P (x )x (x1)(x2₄₎

Igualamos cada factor a cero:

x0 ⇒ x10

(x1)0 ⇒ x21

(x2_{4)0 ⇒ x}

3 2 ; x42 e) Sea P (x)x5_{3 x}4_{8 x}3_{12 x}2_{16 x}

Sacamos factor común x:

P (x)x(x4_3x3_8x2_12x16)

Q (x )

Factorizamos Q (x ):

•Probamos con x1:

1 3 8 12 16

1 1 2 10 2

1 2 10 2 18 Así, x1 no es divisor de Q (x ).

•Probamos con x 1:

1 3 8 12 16

1 1 4 4 16 1 4 4 16 0 Así, x1 es divisor de Q (x ). Por tanto:

P (x)x(x1)(x3_4x2_4x16)

R (x )

Factorizamos R (x ):

No hace falta probar con x1, pues si (x1) no es divisor de Q (x ), tampoco será divisor de R (x ).

•Probamos con x 1: 1 4 4 16

1 1 5 1

1 5 1 15 Así, x1 no es divisor de R (x ).

•Probamos con x2: 1 4 4 16

2 2 4 16

1 2 8 0

Así, x2 es divisor de R (x ). Por tanto: P (x )x(x1)(x2)(x2_{2 x8)}

Igualamos a cero cada factor:

x0 ⇒ x10

x10 ⇒ x2 1

x20 ⇒ x32 x2_{2 x80} ⇒ _x

4 2 ; x54 f) Sea P (x)x5_{3 x}4_{5 x}3_{15 x}2_{4 x12}

Factorizamos P (x ):

1 3 5 15 4 12

1 1 4 1 16 12

1 4 1 16 12 0

2 2 12 22 12

1 6 11 6 0

1 1 5 6

1 5 6 0

P (x)(x1)(x2)(x1)(x2_5x6)

Igualamos a cero:

x10 ⇒ x11 x20 ⇒ x22

x10 ⇒ x3 1

x2_{5 x60} ⇒ _x

4 3 ; x5 2

1 9. a) —x

x 1x2

x1 1 ; x21

Como x11 y x2 1 no anulan el

denomina-dor de la ecuación inicial ambos valores son so-lución.

3x2

b) ————x6

x1

3 x2(x6)(x1) 3 x2x2_{65 x} x2_{2 x80}

⇒ x12 ; x2 4

Como x12 y x2 4 no anulan el

denomina-dor de la ecuación inicial, ambos valores son so-lución.

x3 x1 1

c) —————————

x1 x3 x3

(x3)(x3)(x3)

(x1)(x3)(x1)(x3)(x1) x2_{10 x270}

x1 52

√



13 ; x2 52

√



13

Como x1 52

√



13 y x2 52

√



13 no anu-lan el denominador de la ecuación inicial, ambos valores son solución.

5 3 4

d) —————————

(x2)2 _{(x2) 5}

14444244443

5535(x2)4(x2)2

4 x2_x390

13

x1— ; x2 3

4 13

Como x1— y x2 3 no anulan los

denomi-4

nadores de la ecuación inicial, ambos valores son solución.

8 7 1 13

e) ——————————

x2_{3 x 9x}2 _{x 4}

8(x3)474x(x3)(x3)4

13(x3)(x3)x 13 x3_{177 x4 x}2₆₀₀

13 4 177 60

4 52 192 60

13 48 15 0

Así,

(x4)(13 x2_{48 x15)0 ⇒}

x40

⇒

13 x2_{48 x150}

Se tiene que:

24

√

381 24

√

381 x14, x2—————— y x3——————

13 13

Como x1, x2y x3no anulan los denominadores de

la ecuación inicial, ambos valores son solución.

x2_{x2 15}

f) ———————————— x3_{4 x}2_{x6 x}2_x

x2_{x2 15}

——————————————— (x1)(x3)(x2) x (x1)

(x2)(x1) 15 ———————— (x3)(x2) x

x (x2)(x1)15 (x3)(x2) x3_16x2_73x900

1 16 73 90

2 2 28 90

1 14 45 0 Así,

(x2)(x2_{14 x45)0}

x20

⇒

x2_{14 x450}

Se tiene que:

x12, x29 y x35

Como x12 anula un denominador, las

solucio-nes de la ecuación inicial son x29 y x35.

10. a) (15 x )2_{( 2 x1)}2

110 x25 x2_{2 x1}

25 x2_{12 x0} x (25 x12)0

12 x10 y x2—

25

Comprobamos los resultados:

•x0

150 201 ⇒ 1

√

11 Así, x0 es solución.

12

•x—

25

512 2 12

1——— ———1 ⇒

25 25

12 24

⇒ 1— —1 ⇒

5 25

512 7 49 7

⇒ ———— — — —

5 5 25 5

12

Por tanto, x— no es solución. 25

1

b) —x

x 1

—

2x2 x 1 —x2

x 1x3 3

√

1x 1x

1

Como —1, x1 es solución. 1

x4

c) 2———x2

x3 x4

2———(x2)2_x2_{4 x4} x3

2 x8(x2_{4 x4)(x3)}

x3_{4 x}2_{4 x3 x}2_{12 x12}

x3_{7 x}2_{16 x12} x3_{7 x}2_{14 x200}

1 7 14 20

5 5 10 20

1 2 4 0

123

123

√



√



√



√



√



√



√



√



Así,

(x5)(x2_{2x 4)0}

x50 ⇒ x5

x2_{2 x40 ⇒ no tiene solución real.}

Comprobamos si x5 cumple la ecuación: 54

2————52 ⇒ 53

9

⇒ 2—3 ⇒ 33

2

Luego x5 es solución.

d)

√

x15

√

x4 (

√

x1)2₍₅

_√

_x₄₎2 x12510

√

x4x4

30 10

√

x4 3

√

x4 9x4 x5

Comprobamos si x5 cumple la ecuación:

√

51

√

54

√

4

√

9235 Así, x5 es solución.

e)

√

1x 2 x20

√

1x 2 x2 (

√

1x)2_{( 2 x2)}2

1x2 x2 3 x 1

1

x —

3

1

Comprobamos si x — es solución. 3

1 2

1— —2

3 3

4 4

— —0

3 3

Así, la ecuación no tiene solución.

f) 6 4 x33

(

6 4 x3

)

232

6 4 x39 4 x33 ( 4 x3)2₃2

4 x39 4 x12

12

x—3

4

Comprobamos si x3 es solución.

6 433 6

√

9 63

√

93 Por tanto, x3 es solución.

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

(pág. 61)

11. Respuesta sugerida:

a)

Así, 5 soluciones son:

2 x0 , y —

3 1 x1 , y —

3 x2 , y0

1 x3 , y—

3 2 x4 , y—

3

73 x

y———— 2

x

7

y — 2 0

73

y———— 2 2 1

76 1

y———— — 2 2 2

79

y————1 2 3

712 5

y————— 2 2 4

y2 x9

x

y 9 0

y29 7 1

y49 5 2

y69 3 3

y89 1 4

x2

y———— 3

x

2

y — 3 0

1

y — 3 1

y0 2

1

y— 3 3

2

y— 3 4

c)

Así, 5 soluciones son:

7 x0 , y —

2 x1 , y 2

1 x2 , y —

2 x3 , y1

5 x4 , y—

2

Así, 5 soluciones son:

x0 , y 9 x1 , y 7 x2 , y 5 x3 , y 3 x4 , y 1 b)

√



√



123

√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



Así, 5 soluciones son:

x0 , y0

x1 , y1 x2 , y2 x3 , y3

x4 , y4

y x x

y0 0

y 1 1

y 2 2

y 3 3

y 4 4

d)

Así, 5 soluciones son:

1 x0 , y— 4

x1 , y1 7 x2 , y— 4 5 x3 , y— 2 13 x4 , y— 4

3 x 1

y———— 4

x

30 1 1

y——————

4 4

0

31 1

y—————1

4 1

2

33 1 5

y——————

4 2

32 1 7

y——————

4 4

3

34 1 13

y——————

4 4

4 e)

12. La representación gráfica de las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas es una recta. Así pues, para determinar dicha recta bastará hallar, en cada caso, dos de esas soluciones.

a)

Y

X y = 5x – 3

x 0 1

y5 x3 3 2

b) _{x 0 1}

y x1 1 2

Y

X y = 1 + x

c) _{x 0 1}

2 x

y —— 3

0 —2

3

Y

X

y = – x2 3

d) _{x 0 1}

y52 x 5 3

Y

e) _{x 0 1}

y10x 10 9

Y

X y = 10 – x

f)

Y

X y =1 – x

5

x 1 6

1x

y——— 5

0 1

g)

Y

X y =6 – 3x

2

x 0 1

63 x

y———— 2

3 —3

2

x 0 1

y2 x2 2 0 h)

Y

X y = 2x – 2

x 0 4

y4x 4 0 i)

Y

X y = 4 – x

x 0 1

yx4 4 3 j)

Y

X

SISTEMAS DE ECUACIONES

(págs. 63 a 67)

13. a) x5 y1 2 x25 y3

Hallaremos dos soluciones de cada ecuación para determinar ambas rectas.

123

x 0 1

1x

y———— 5

1 —

5 0

1

0, —

y (1, 0) son dos puntos 5

de la recta x5 y1.

x 0 —3

2

32 x

y———— 25

3 —

25 0

3 3

0, —

y

—, 0

son dos puntos 25 2

de la recta 2 x25 y3.

Y

y =1 – x 5

y = 3 – 2x 25

X 1

1

b) 3 x2 y1 5 x4 y2

Hallaremos dos soluciones de cada ecuación para determinar ambas rectas.

123

x 0 1

13 x

y———— 2

1 —

2 1

1

0,—

y (1, 1) son dos puntos 2

13 x 3 x1 de la recta y————————.

2 2

1

0, —

y (2, 2) son dos puntos 2

25 x de la recta y————.

4

Y

X y = 3x – 1

2

y =2 – 5x 4 1

1

x 0 2

25 x

y———— 4

1 —

2 2

c) 2 x2 y3

3 x6 y 9

Hallaremos dos soluciones de cada ecuación para determinar ambas rectas.

123

x 0 1

2 x3

y———— 2

3 — 2

1 —

2

3 1

0,—

y

1,—

son dos puntos

2 2

2 x3 de la recta y————.

2

3

0,—

y (1, 1) son dos puntos 2

x3 de la recta y————.

2

Y

X y =2x – 3

2

y =x – 3 2

x 0 1

x3

y———— 2

3 —

2 1

Solución del sistema

Solución del sistema

14. a) x 3

—2 y— _{4 x24 y9}

3 4 ⇒

5 xy0 5 xy0 Igualación:

924 y

x————

4 9 24 y y

⇒ ———— —

y 4 5

x —

5

45120 y 4 y ⇒ 45 124 y 45

y ——

124

45

——

y 124 45 9

x — _⇒ x ——————————

5 5 5 124 124

Sustitución:

4 x24 y9

⇒ 4 x24 (5 x )9

y 5 x

4 x120 x9 124 x9

9

x——

124

59 45

y 5 x ⇒ y———— ——

124 124

Reducción:

(A) 4 x24 y9 (B) 5 xy0 (A) 4 x24 y9 (24B) 24 5 x24 y0

004 x24 y9

120 x24 y0

———————— ₉

124 x00y9 ⇒ x—— 124

5 xy0 ⇒ y 5 x ⇒

9 45

⇒ y 5—— ——

124 124

b) 2 x3 y4

3 xy 6 Igualación:

43 x

x————

2

⇒ 6y

x————

3

43 y 6y

⇒ ———————

2 3

⇔ 129 y122 y ⇔ y0

43 y 430 x———— ⇒ x—————2

2 2

14243

123

14243

123

123

123

14243

123

Sustitución: 2 x3 y4

⇒

y 63 x

2 x3 (63 x )4 2 x189 x4 11 x22

22

x—2

11

y 63 x ⇒ y 6320

Reducción:

(A) 2 x3 y4 (B) 3 xy 6 (A) 02 x3 y04 (3 B) 09 x3 y18

———————— ₂₂

11 x3 y22 ⇒ x—2 11

3 xy 6 ⇒ y 63 x ⇒

⇒ y 6 320

c) 3 (x1)2 y1

⇒ 3 x2 y4

2 x7 (y3)2 2 x7 y23 Igualación:

42 y

x————

3

⇒

237 y

x————

2

42 y 237 y

⇒ ————————

3 2

84 y6921 y 61

6125 y ⇒ y — 25 42 y

x———— _⇒

3

61 42

—

25 74

⇒ x—————————

3 25

Sustitución:

42 y

x————

3 ⇒

2 x7 y23 42 y

⇒ 2

————

7 y23

3

84 y

————7 y23 3

84 y21 y69

25 y61

123

123

123

123

14243

61

y —

25

61 42

—

42 y 25 74

x———— _⇒ x—————————

3 3 25

Reducción: (A) 3 x2 y4 (B) 2 x7 y23

(2 A) 6 x04 y08 (3 B) 6 x21 y 69

—————————— ₆₁

25 y 61 ⇒ y — 25 42 y

3 x2 y4 ⇒ x———— ⇒ 3 61 42

—

25 74

⇒ x—————————

3 25

15. a) 3 x2 y1 6 x4 y2 (A) 3 x2 y1

⇔

(A) 3 x2 y1

⇔

1

(B) 6 x4 y2

— B

3 x2 y1 2

13 x

y————

2 1 3 x 13 x

⇔ ⇒ ————————

13 x 2 2

y————

2 13 x13 x 0 x0

El sistema es compatible indeterminado.

b) 4 xy5

8 x2 y3

4 xy5 y4 x5

⇔ 38 x ⇒

8 x2 y3 y———— 2 38 x

⇒ 4 x5————

2

8 x108 x3 0 x13

Es un sistema incompatible.

c) x3 y2 2 xy4

x3 y2 x23 y

⇔ 4y ⇒

2 xy4 x——— 2 4y

⇒ 23 y———

2

123

123

14243

123

14243

123

14243

123

123

14243

123

46 y4y 7 y0 y0

4y 40

x——— ⇒ x———2

2 2

Es un sistema compatible determinado.

d) 18 x66 y

⇔

y3 x1

⇔ (A) 18 x6 y 6 ⇔

(B) 3 xy1

⇔ (A) 18x6 y 6 ⇔

(6B)18 x6 y 6

⇔ y13 x ⇒ 13 x13 x

y13 x 0 x0

Es un sistema compatible indeterminado.

e) 2 y 3 x3 4 y6 6 x 2 y 3 x3

⇔ (A) 3 x2 y3 ⇔

4 y6 6 x (B) 6 x4 y6 32 y

⇔ (A) 3 x2 y3 _⇔ x————3

B _{32 y}

—

3 x2 y3 _{x————}

2 ₃

32 y32 y 0 y0

Es un sistema compatible indeterminado.

16. a) x2 y2 x2_y2₇ x22 y

⇔ x22 y ⇔

x2_y2_{7 (22 y )}2_y2₇

⇔ x22 y ⇔

48 y4 y2_y2₇

⇔ x22 y ⇒

3 y2_{8 y30}

x22 y 1

y1—

3

⇒ 8 6436 _⇒

y————————

6 _y

2 3

2 8 1

x12—— , y1—

⇒ 3 3 3

x226 4 , y2 3

b) yx 1x

⇔ y2 x1 ⇔

x2_y2_{2 x}2_y2₂

⇔ y2 x1 ⇔

x2_{(2 x1)}2₂

123

123

123

123

123

123

123

123

14243

14243

123

123

123

123

123

1442443

14243

123

123

123

⇔ y2 x1 ⇔

x2_{4 x}2_{4 x12}

⇔ y2 x1 ⇔

5 x2_{4 x10} y2 x1

x11

4 1620 46

⇔ _{x————————— ⇒}

10 10 _{x2 —}1

5

y12111 , x11

1 7 1

⇒

y22

—

1 — , x2 —

5 5 5

c) 3 x y x120

⇔ 3 x yx120 ⇔

3 xy8 y83 x

⇔ 3 x (83 x )x120 ⇔

y83 x

⇔ 24 x9 x2x120 ⇔

y83 x

⇔ 9 x223 x120 ⇔

y83 x

23 529432

x————————— _⇒

⇔ ₁₈

y83 x

x13 , y289 1

⇒ 4 12 28

x2——, y28——

9 9 3

d) y

√

3 x

⇔ y

√



3 x

⇔

x2_(y2)2_{1 x}2₍

√

_{3 x2)}2₁

⇔ y

√



3 x

⇔

x2_{3 x}2₄

_√

_{3 x41}

⇔ y

√



3 x

⇔

4 x2₄

√

_{3 x30}

y 3x

4 3 16348 4 3 0 3

⇔

x————————————————— ⇒

8 8 2

√

3 3

⇒ x1—— , y1—

2 2

17. a) x 2 y 2 z 3

7y5z 1

18y14z 6 x 2 y 2 z 3 7y 5z 1 9y 7z 3 x 2 y 2 z 3 7y 5z 1

1442443

1442443

1442443

1442443

1442443

1442443

123

123

14243

14243

√

 䉱

䉱

123

123

123

123

123

14243

14243

√

 x13

4

x2 —

9

䉱

䉱

123

123

123

123

√



√



√



14243

√



√



4 12 — z —

7 7

12

z——3

4 115

y———— 2

7

x 3641

b) z2 x3y5 5x14y 12 14x21y18

z3y2x5 14y5x 12 13x0

x0

12 6

y — —

14 7 18 17

z

5 —

—

7 7

c) x3y2z2

yz16 11y6z 6

x3y2z2

yz16 17z170

170

z —— 10

17

y16106

x2 20184

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES(pág. 68 y 69)

18. Sea t el tiempo que tardan en encontrarse (en ho-ras); x1, el espacio recorrido en ese tiempo por la

persona que sale de A con velocidad 12 km/h; y x2,

el espacio recorrido por la que sale de B con veloci-dad 9 km/h.

A B

7 km

x₁ x₂

Para calcular la altura utilizamos el teorema de Pitá-goras.

Sabemos que la velocidad es igual al espacio dividido x

por el tiempo, v—, y además sabemos que la dis-t

tancia entre las ciudades es de 7 km. Por tanto, tene-mos el sistema:

x1x27 x1

12—

⇒

t ⇔

x2

9— t

x1x27

12 tx1 ⇒

9 tx2

1

⇒ 12 t9 t7 ⇒ 21 t7 ⇒ t—

3 1

Tardarán en encontrarse — h (20 min). 3

19. Sabemos que el triángulo isósceles tiene dos lados iguales y uno diferente de los anteriores.

h b b

a = 6

abb14

⇒ 2b14a1468 ⇒ b4

a6

El área de un triángulo es:

basealtura ah —————————

2 2

14243

14243

123

a 2

h _b

a

—

2h2_b2 _{⇔ 3}2_h2₄2 _⇔

2

⇔ 9h2_{16 ⇔ h}2_{7 ⇔ h}

_√

₇

(Pues h no puede ser negativa.)

6

√

7

Por tanto, el área buscada es ———3

√

7 . 2

20. Vamos a buscar dos números enteros (puesto que ha de ser uno el consecutivo del otro).

Al primero le llamaremos x1.

Al segundo le llamaremos x2.

Como han de ser consecutivos, x2x11.

Además nos piden que x1x215 006.

Así tenemos que:

x1(x11)15 006 ⇔ x1 2_x

115 006 0 ⇔

1 160 024

⇔ x1————————— ⇔

2 244 ——122

1245 2

⇔ x1—————

2 246

——— 123 2

Luego tenemos dos soluciones: x1122 y x2123,

o x1 123 y x2 122.

√



䉱

䉱

h r

14243

21. Sea h1la altura del primer

ci-lindro.

Sea r1el radio del primer

ci-lindro.

Sea h2la altura del segundo

cilindro.

Sea r2el radio del segundo

cilindro.

Sabemos que la fórmula del volumen de un cilindro es: V r2_h

Así, h1r13

h2h11r12 r2r11

Por tanto,

V1 r1 2_h

1 r12(r13) V2 r2

2_h

2 (r11)2(r12)

Como la razón entre los volúmenes del cilindro final 25

e inicial es de —, se tiene: 4

V1 25

—— V2 14

r12(r13) 25

Así, r115 y, por tanto, h538.

En consecuencia tenemos un cilindro con radio 5 cm y altura 8 cm.

Comprobamos que el cociente de los volúmenes es 25

—: 14

V1 528 25

———————

V2 427 14

22. Sean a y b los catetos del trián-gulo (sea a4 cm) y sea h la hipotenusa.

Sabemos que:

abh12

bh1248

a2_b2_h2 _{⇔ ⇔}

a4 h

2_b2₁₆

⇔ b8h ⇔

h2_{(8h )}2₁₆

⇔ b8h ⇔

h2_{(6416 hh}2₎₁₆

14 (r133 r12)25 (r122 r11)(r12)

14 r1342 r1225 r1375 r150

11 r1342 r1275 r1500

11 42 75 50

5 55 65 50

11 13 10 0 Así,

11 r1342 r1 2_{75 r}

1500

(r15)(11 r1 2_{13 r}

110)0 r150

11 r₁2_{13 r}

1100 r15

13 169440 r1——————————

22

En principio, el radio puede tomar alguno de los si-guientes valores:

r115

13

√

609 r12——————

22

13

√

609 r13——————

22

Pero r12no puede ser, ya que r120. Por otro lado, r13tampoco lo puede ser, pues si no, r2r1310.

123

√



⇔ b8h ⇔

h2_{6416 hh}2₁₆

⇔ b8h ⇔

16 h166480

⇔ b8h

80

h—5 ⇒ b853 y h5 16

Así, a4 cm, b3 cm, h5 cm.

Comprobamos que el perímetro es el del enunciado:

Pabh43512 cm

23. Sean a y b los lados del rec-tángulo. El área del rectán-gulo es: Aab

Así:

2 a2 b44

⇔ ab22 ⇔

105ab ab105

123

123

14243

b

a

123

123

b

a = 4 cm h

123

14243

123

123

123

123

123

14243

䉱 䉱

√



⇔ a22b ⇔ a22b ⇔

(22b ) b105 22 bb2₁₀₅

⇔ a22b ⇔

b2_{22 b1050} a22b

⇔ 22 484420 22 8 15

b—————————————

2 2 ₇

a22157, b15 o a22715, b7. En ambos casos tenemos el mismo rectángulo. Se con-sidera que a15 cm y b7 cm es la solución. Comprobamos los datos iniciales:

P2 a2 b21527301444 cm y

Aab157105 cm2

RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS (págs. 70 y 71)

24. El resto de la división de P (x) entre x 2 coincide con P (2):

R(x)P (2)(2)4 ₍₂₎3 _m(2)2 ₃

16 (8) 4m 34m 27

Para que el resto sea 5:

5R(x)4m 27⇒

⇒ 4m 527 32⇒ m 8

4 2 0 k 4 3 12 30 90 270 3k

4 10 30 90 k 3k 266 R (x)

Para que el resto sea 14:

3k 266 R (x) 14⇒

⇒ 3k 14266 252 ⇒ k 84

26. Que P (x) sea múltiplo de x 3 significa que el resto de la división P (x) entre x 3 es 0:

1 4 2 k

3 3 3 3

1 1 1 3 k R (x) 0⇒ k 3

27. Que Q (x) sea múltiplo de x 1 significa que el resto de la división Q (x) entre x 1 es 0:

Ahora bien, el resto de la división mencionada coin-cide con el valor numérico de Q (x) en 1, Q (1), por el teorema del resto (y esto nos evita hacer la di-visión, que sería incómoda pues deberíamos indicar muchos coeficientes):

R (x) Q (1) 5(1)100 _{(1) b}

51 1 b b4 Finalmente,

0 R (x) b4⇔ b 4

14243

28. a) x2_x0

En este caso tenemos a1, b1 y c0. Sean x1y x2las soluciones:

b

Sx1x2 — 1

a c Px1x2—0

a

b) 2 x2_{7 x30}

En este caso tenemos a2, b 7 y c3.

14243

14243

14243

Sean x1y x2las soluciones:

b 7

Sx1x2 ——

a 2

c 3

Px1x2——

a 2

29. a) x11, x22

b b

x1x2 — 12 —

a _⇔ a _⇔

c c

x1x2— 12—

a a

⇔ b 3 a

c2 a

Tomando, por ejemplo, a1, resulta b 3 y c2, luego la ecuación es x2_{3 x20.}

b) x1 3, x2 1

b b

x1x2 — 31 —

a

⇔ a ⇔

c c

x1x2— (3)(1)—

a a

b

4 —

⇔ a ⇔ b4 a

c c3 a

3— a

Tomando, por ejemplo, a 1, resulta b 4 y c3, luego la ecuación es x2_{4 x30.}

c) x1 1, x21

b b

x1x2 — 11 —

a a

⇔

c c

x1x2— 11—

a a

b

0 —

⇔ a ⇒ b0 a

c c a

1— a

Tomando, por ejemplo, a 1, resulta b 0 y c 1, luego la ecuación es x2_10.

d) x10, x22

b b

x1x2 — 0 2 —

a _⇔ a _⇔

c c

x1x2— 0 2—

a a

⇔ b 2 a

c0 a

Tomando, por ejemplo, a1, resulta b 2 y c0, luego la ecuación es x2_{2 x0.}

123

14243

14243

14243

123

14243

123

14243

14243

14243

14243

123

14243

14243

123

e) x1x2 2

b b

x1x2 — 22 —

a

⇔ a ⇔

c c

x1x2— (2)(2)—

a a

⇔ b4 a

c4 a

Tomando, por ejemplo, a 1, resulta b 4 y c4, luego la ecuación es x2_{4 x40.}

14243

14243

123

123

√

 䉱

䉱

f) x1x23

b b

x1x2 — 3 3 —

a

⇒ a ⇒

c c

x1x2— 3 3—

a a

⇒ b 6 a

c9 a

Tomando, por ejemplo, a1, resulta b 6 y c9, luego la ecuación es x2_{6 x90.}

x x x 1

30.

—

—

x1 ⇔

———

x1 ⇔

2 3 _↑ 3

n n n1

—

———

———

k k1 k1

(x1)!

———————x1 3! (x13)!

(x1) x (x1)(x2)!

———————————x1 3! (x2)!

(x1) x (x1)

————————x1 6

x (x2_{1)6 x6}

No podemos simplificar la ecuación dividiendo am-bos miembros por x1, pues entonces eliminamos la solución x 1.

x3_{x6 x6 ⇔ x}3_{7 x60}

1 0 7 6

1 1 1 6

1 1 6 0 Así,

x3_{7 x6(x1)(x}2_x6)0⇒

⇒ x10 ⇒

x2_x60

x 1

1 124 1 5 3 x—————————

2 2 ₂

Las posibles soluciones son x1 1, x23, x3 2.

Sin embargo, x debe ser x3, por lo que x3 es la única solución.

7 7

31.

———

———

⇒ x27(x1)

x1 x2

↑

n n

—

———

k nk

x27x1

x2 x8

2 x10 x5

32. a) (A) 3 x + 2y z0 (B)_{—————––––—}x 2y + z 8

4x = 8⇒ x2 (B) x2y + z 8 (C) x yz 5 —————————

3y = 3⇒ y 1 z = 3x + 2y6 2⇒ z4 b) (A) xy + z 1

(B) x + y z 1 ———————

2x = 0⇒ x0

(B) x + y z 1

(C)_{—————————}x yz 1

2z = 2⇒ z1 y = x + z 1 = 0 + 11⇒ y0 c) (A) x + y 3z 8

(3C) _{————————}3y + 3z 3

x + 4y 11

x + 4y11 (B) x + 2y 1

——————— 6y12⇒ y2 x = 114y118⇒ x3

z = 1y12⇒ z 1

EJERCICIOS Y PROBLEMAS(págs. 72 y 73) 3 x2 5 x2 4 x1 33. a) ————————3

x———

3 x

4 8 2

6 x45 x224 x48 x1224 x

23 x1024 x 1047 x

10

x—

47

b) (

√

3x )(

√

3x ) x2_x1

3x2 _x2_x1

2x

3 5 1 x 1 1 x

c) —

x—

—

——

———

4 2 3 12 6 3

3 2 x5 1 x2 1 x —

————

—

———

———

4 2 3 12 3

93(2 x5) 2 (x2) ————————————

3342 2 334 234 (1x )

——————— 2334

54 x1352 x42424 x (54224) x241354 28 x163

163

x——

3 x2 2 x

d) —

2 x

1———

———

4 3 5

3 3 x2 2 x —

2 x

—————

———

4 3 5

3 6 x3x2 2 x —

————————

———

4 3 5

No tiene solución.

c) 3 x2₂

√

_{3 x10}

43430 Tiene una solución.

d) 3

√

5 x2_{2 x0}

443

√

5040 Tiene dos soluciones diferentes.

37. a) 6 x2_x20

1 148 1

√

49 x——————————

12 12

8 2 ——

17 12 3

———

12 6 1

—— —

12 2

3 7 x1 2 x —

————

———

4 3 5

35 x584 x 39 x13

13 1

x——

39 3

k x

34. 2 k——xk 3

6 kk x3 x3 k 3 k(3k ) x

3 k

x———

3k

a) La ecuación es compatible determinada si, y sólo 3 k

si, tiene una única solución, así ——— ha de ser un 3k

número real por tanto k⬆3 esto se cumple. b) La ecuación es compatible indeterminada si, y

sólo si, tiene infinitas soluciones:

Si k⬆3 hemos visto que tiene una única solución.

Si k3 tenemos que 9 330x0 . Es de-cir, la ecuación no tendrá ninguna solución.

Por tanto, no existe ningún número real para el que esta ecuación tenga infinitas soluciones.

c) La ecuación es incompatible si k3 por el razo-namiento del apartado anterior.

35. Dos polinomios son iguales si sus coeficientes respec-tivos son iguales, luego

5x2_{2x3 (a x}2_3bx8)(2x2_4xc)

(2a) x2_{(3b4) x(8c)}

5 2a ⇒ a 3

2 implica 2 3b 4⇒ 3b 2⇒ b —

3 8c ⇒ c 5 3

36. a) 2 x2_{3 x10}

94219810 Tiene dos soluciones diferentes.

x2

b) —2 x50 3

1 20

445—4—0

3 3

√



䉱

䉱

b) x2_{7 x60}

7 4924 7

√

25 7 5 6 x——————————————

2 2 2 ₁

c) x2_{6 x90}

6 3636 x————————3

2

d) (x2)2_{x42 (1x )}2

x2_{4 x4x42 (12 xx}2₎ x2_{3 x4424 x2 x}2

3 x2_{7 x20}

12 —2 7 4924 7 5 6 x——————————

6 6 2 1

—— 6 3

e) (x1)2_5(x2)x13 x2_{2 x15 x10x13} x2_7x11x13

x2_8x20

8 648 8

√

72 x———————————

2 2

8 492

——————— 2

823

√

2 43

√



2

——————

2 ₄₃

_√



2

f) (x1)3_(x1)3_{2 (9x}2₎

(x1) (x1)2_{(x1) (x1)}2_{182 x}2

(x1) (x2_{2 x1)(x1) (x}2_{2 x1)}

2 x2₁₈

x3_{2 x}2_xx2_{2 x1}

(x3_{2 x}2_xx2_{2 x1)2 x}2₁₈

√

 䉱

䉱

√



√

 䉱

䉱

√



√



䉱

䉱

126 1

————

18 6 1

—— 18 3

Por tanto:

x1

√



11, x2

√



1 1,

1

√

3

√

3 x3———— , x4 ——

√

3 3 3

x2_{2 x}4₈

b) ——————20

3 2

2 x2_{43 x}4₂₄₁₂₀

3 x4_{2 x}2₄₀₀ ⇔ _{3 t}2_{2 t400}

↑ (x2_{t )} 2 4480 t————————

6

x3_{2 x}2_xx2_{2 x1x}3_{2 x}2_x

x2_{2 x12 x}2₁₈

6 x2_{22 x}2₁₈

4 x2₁₆

2

x

√

4

2

38. x2_{m x630}

m m2₂₅₂ x—————————

2

m m2_{252 m m}2₂₅₂

——————————————————2

2 2

m m2_{252 m m}2_{252 4} m2_{2524 m}2₂₅₂

䉱

䉱

√



√



√



√



√



√



√



2 m2₂₅₂₄

2 m2₂₅₂

4m2₂₅₂ m2₂₅₆

m 16

Se comprueba que para ambos valores de m las solu-ciones difieren en 2 unidades.

39. a) 9 x4_{12 x}2_{30 ⇔ 9 t}2_{12 t30}

↑ (tx2₎

12 144108 t————————

18

√



√



√



20 10

— —

222 6 3

————

6 24

—4 6

Sólo hay dos soluciones: x12, x2 2.

c) (x2₄₎2_{5 (x}2₄₎₄₀ x4_{8 x}2_{165 x}2₂₀₄₀ x4_{13 x}2_{400 ⇔ t}2_{13 t400}

↑ (x2_{t )}

13 169160 t————————

2

16 —8

133 2

————

2 10

—5 2

Por tanto:

x12

√



2 , x2 2

√



2

x3

√



5 , x4

√



5

Observación: también podríamos haber hecho el cambio tx2_{4 en la ecuación inicial.}

40. a) 5x4_30x3_x2_6x0 x (5x3_30x2_x6)0

5 30 1 6

6 30 0 6

5 0 1 0

䉱

䉱

䉱

䉱

√



√



䉱

䉱

14243

Por tanto:

x (5 x3_{30x6)x(x6)(5x}2_{1)0 ⇒}

x0 ⇒ x10

⇒ x60 ⇒ x26

1 1

5 x2_{10 ⇒ x}

3—— , x4 ——

√

5

√

5

b) x5_{4 x}3_x2₄₀

1 0 4 1 0 4

1 1 1 3 4 4

1 1 3 4 4 0

2 2 6 6 4

1 3 3 2 0

2 2 2 2

Por tanto:

x5_{4 x}3_x2₄

(x1)(x2)(x2)(x2_{x1)0 ⇒} x10 ⇒ x11

x20 ⇒ x22

⇒

x20 ⇒ x3 2

x2_{x10 ⇒ xNo tiene solución.} c) x4_x3_x2_x0

x (x3_x2_x1)0

1 1 1 1

1 1 0 1

1 0 1 0

Por tanto:

x (x3_x2_{x1)x (x1)(x}2₁₎₀ ⇒

x0 ⇒ x0

⇒ x10 ⇒ x1

x2_{10 ⇒ No existe solución.}

x7 2

41. a) ————————3 3 x3

(x7)(x3)3(23 (x3)) x2_{4 x213 (23 x9)}

3 (3 x7)9 x21 ⇔ x2_{5 x0}

x (x5)0 ⇒ x0

x5

Las dos son soluciones, porque no anulan ningún denominador.

x2 1

b) ——————1

x1 x2₁

14243

14243

123

10 x155(3x2_{5 x2)13 x26}

10 x1515 x2_{25 x1013 x26}

15 x2_{28 x510}

28 7843 060 x——————————

4 90 —3 2862 30

—————

30 34 17

— —

30 15

y ambos son solución porque no anulan ningún denominador.

42. a) 3 x1x 3x x1 96 xx2_x1 x2_{7 x100}

7 4940 7 3 5 x——————————

2 2 ₂

䉱

䉱

√



√

 䉱

䉱

√



√



(x2) 1

———————————1

x1 (x1)(x1)

(x2)(x1)1(x1)(x1) x2_{3 x21x}2₁

x2_{3 x1x}2₁

3 x2 2

x—

3

Es solución porque no anula ningún denomina-dor.

2 x3 3 x1 13

c) —————————————————

(x2)(x2) x2 5(x2)

13

2 x3(3 x1)(x2)—(x2) 5

Comprobamos los resultados:

3 513215 y 3 212 La única solución es x2.

b) 1 x12

1 x14

x13

x19

x8

Comprobamos el resultado:

1 81 132 por tanto, x8 es solución.

c) x7

√

x7 x77

√

x x74914

√

xx x749x 14

√

x

42 14

√

x 9x

Comprobamos el resultado:

97

√

9437 por tanto, x9 es la solución.

√



√



√



√



√



√



√



√



√



√



√

