Ecuaciones del flujo impermanente
en
canales trapeciales de fondo curvo
Gilberto Sotelo Ávila Carlos A. Escalante Sandoval Universidad Nacional Autónoma de México
Se presenta la valuación de los términos dependientes -que aparecen en las ecuaciones gene- rales completas presentadas en artículos anteriores- para la sección de forma trapecial. Esto tiene el objetivo de establecer las ecuaciones aplicables al flujo en canales de fondo curvo con dicha forma d e sección. También se obtienen las ecuaciones particulares para los canales rec- tangular y triangular Este artículo es la continuación de los llamados: “Ecuaciones generales del flujo impermanente en canales de fondo curvo” y “Efecto resistivo en las ecuaciones gene- rales del flujo impermanente en canales de fondo curvo”, publicados en esta misma revista.
Palabras clave: flujo curvilíneo a superficie libre en sección trapecial, flujo en canales trape- ciales de fondo curvo, ecuaciones particulares de flujo curvilíneo en canales trapeciales.
Antecedentes
En hidráulica de canales es común utilizar métodos de análisis basados principalmente en el movimiento rec- tilíneo del agua sobre fondos planos, aun cuando parte de ellos, o su totalidad, sean curvos. Éste es el caso de las obras de excedencia a cielo abierto o en túnel, donde es frecuente utilizar curvas verticales obligadas por la topografía del terreno o para dirigir el flujo en cubetas de lanzamiento y producir su despegue con el ángulo adecuado.
Las ecuaciones de Dressler (1 978) son válidas para analizar el flujo en canales de fondo curvo, pero no se aplican a canales no rectangulares, como son muchos de los que se utilizan en la práctica. Khan
et
a/. (1996) publicaron también un método basado en ocho ecua- ciones, pero igualmente válido sólo para la sección rectangular. También Sotelo y Ruiz (1994) publicaron un método para el canal rectangular, aunque todavía incompleto. Para eliminar esta deficiencia, Sotelo yEs-
calante presentaron en su artículo: “Ecuaciones gene- rales del flujo impermanente en canales de fondo cur- vo”, una generalización de la teoría respectiva, el cual se publicó como la primera parte de esta serie de tres artículos en esta misma revista. El segundo artículo tie- ne el título: “Efecto resistivo en las ecuaciones genera- les del flujo impermanente en canales de fondo curvo” y complementa al primero en los aspectos de resisten- cia al flujo.El presente artículo es la continuación de los dos mencionados y tiene el propósito de valuar los térmi- nos que dependen de la forma de la sección para el caso de un canal trapecial de fondo curvo, lo cual tie- ne el objeto de plantear el sistema de ecuaciones que debe resolverse para dicho canal. Asimismo, se pre- sentan las ecuaciones para los canales rectangular y triangular, como casos particulares de las primeras. Ecuaciones generales
Las ecuaciones generales del flujo en un canal de fon- do curvo se derivaron en el primer artículo. A continua- ción se presenta un resumen de ellas. La ilustración l facilita la compresión de la simbología que aparece al final del trabajo.
La primera ecuación diferencial por resolver se ob- tiene del principio de continuidad y de la condición de frontera en la superficie libre:
La solución de ambas ecuaciones permite conocer la variación de la velocidad u, en el fondo y la distan- cia d e n el plano de la sección, como se muestra en la ilustración a lo largo de s y del tiempo
t.
El parámetro cambia de acuerdo con el compor- tamiento hidráulico de la frontera mojada (pared) del canal, como se expone en el segundo artículo que se mencionó en los Antecedentes. Cuando se trata de una frontera de comportamiento hidráulico rugoso, ecuaciones de fricción de Chezy o de Manning, en cuyo caso se tiene:
como ocurre con el concreto, se pueden aceptar las U "
De la misma manera, la distribución del componen- te principal de la velocidad en dichas secciones e ins- tantes resulta de la expresión:
En ambas expresiones, términos como T;
I,; a,, deben determinarse previamente de acuerdo con la geometría del canal. Los dos primeros dependen de la geometría adoptada para el fondo, por ejemplo, si se trata de una curva circular, es constante y = O. Los términos restantes dependen única- mente de la geometría de la sección y de cómo cam- bia a lo largo del canal, en concordancia con las ecua- ciones que después se presentan.
Una vez obtenida la solución de ambas ecuaciones diferenciales, se conocen los valores de u, y d en las mismas secciones empleadas en la solución y en dife- rentes instantes
El gasto en las mismas secciones e instantes es:
donde se ha usado la equivalencia C =
siendo C el factor de fricción de Chezy y nM el coeficien- te de Manning; éste no debe confundirse con la coor- denada n empleada en las subsecuentes ecuaciones.
Ilustración
El mismo componente al nivel de la superficie libre se obtiene para n = d
La distribución del componente secundario de la velocidad w se obtiene de la expresión:
y el mismo componente al nivel de la superficie libre se obtiene para n = d
La presión en el fondo resulta para n = O y es:
cuya solución es: b
Los
términos por resolver de acuerdo con la forma de la sección son los siguientes:Esta solución permite obtener
I,
según la ecuación haciendo n =d,
es decir:la cual interviene en las ecuaciones y Integral
I,
para el canal trapecialLa solución de la segunda integral (ecuación 13) es:
donde
B
es la dimensión horizontal a la distancia n, como se muestra en la ilustración 2;Bo
es la misma di- mensión, pero cuando n = O, y P e s el perímetro moja- do de la sección. Puede verse que es suficiente hacer n =d
en la solución de la ecuación para encontrarI,,
es decir:por tanto, con n =
d
se obtiene: Determinar estos términos para un canal trapeciales el propósito de este trabajo y ello se hace en los ca- pítulos siguientes.
Ecuaciones particulares para el canal trapecial
Integrales
I,
eI,
para el canal trapecialAntes de establecer las ecuaciones particulares, se presenta la solución de las integrales que las afecta.
Reagrupando términos: r
L
Las ecuaciones a son válidas aun para una sección asimétrica de taludes desiguales
k1
yk2,
sien- do entonces k=1/2+
(k1+k2).Integral I, para el canal trapecial
En la sección trapecial, = k (talud) es constante. Además, para n = O, Bo = b, por tanto, para una forma simétrica, de la ecuación se tiene:
La ecuación se sustituye en la ecuación y se obtiene la expresión:
r
Además, con P = b+
d , de la ecuación 14:donde a, se determina con la ecuación
Las ecuaciones y se resuelven para obtener
los
valores deuo
y d en cualquier sección del canal y cualquier instante, atendiendo a las condiciones de frontera del flujo.La ecuación para el gasto se obtiene de las que tienen los números y 17:
b
Esta expresión vale sólo para la sección trapecial si- métrica, pero puede deducirse la correspondiente a una asimétrica de taludes desiguales cuando ello ocurra. Ecuaciones para el canal trapecial
A manera de ejemplo se presenta la formulación de las ecuaciones particulares de un canal con sección trapecial.
Para el canal trapecial de taludes desiguales
k1
y k2, el ancho de superficie libre es T = b + siendo k =+
(k1+k2); además, =+
Sustituyendo estos valores y las ecuaciones y en la se obtiene la ecuación de continuidad:
La distribución del componente principal de la ve- locidad se logra de la ecuación y dicho componente al nivel de la superficie libre resulta de la ecuación
La distribución del componente secundario de la velocidad se obtiene de la ecuación sustituyendo los valores de I, e I, de las ecuaciones y El componente wd al nivel de la superficie libre está dado por la ecuación donde se sustituyen las ecuaciones y Las ecuaciones y O para calcular la distri- bución de la presión en el fondo no dependen de la forma de la sección y por ello no cambian.
Ecuaciones particulares para
el
canal rectangularLa ecuación se convierte en:
El factor a, que interviene en la ecuación está dado por la ecuación
Conclusiones
El propósito de este trabajo ha sido mostrar la solución de los términos que dependen de la forma de la sec- ción en las ecuaciones generales del flujo en canales de fondo curvo. En este caso, se ha obtenido la solu- ción para el canal trapecial y sus casos particulares de los canales rectangular y triangular. Dichos términos se han incluido en las ecuaciones que afectan, a fin de disponer del sistema cuya solución resuelve el problema.
Las dos ecuaciones diferenciales (22 y 23) son no lineales de primer orden y pueden resolverse con mé- todos numéricos convencionales como el de Runge-
misma forma que antes. Kutta de cuarto orden, disponible en paquetes comer-
ciales para computadora, donde las incógnitas son
uo
Ecuaciones particulares para el canal triangular y d. Las restantes variables se obtienen mediante un cálculo directo, utilizando el resto de las ecuaciones. Es suficiente con hacer b = O en las ecuaciones a Las ecuaciones obtenidas se adaptan mejor a laspara determinar las integrales en el canal triangular. secciones transversales que se construyen en las
Con lo anterior resulta que: obras, ya que dichas secciones se definen más fácil-
trazan en campo, además son congruentes con las que se usan convencionalmente en un canal de fondo plano; es decir, que el canal por resolver puede con- tener tramos de fondo curvo y de fondo plano, bastan- do que para los últimos se considere que la curvatura es cero = O) en las mismas ecuaciones aquí pre- sentadas y resolver las que resulten.
La ecuación es la misma, excepto que el factor La ecuación se convierte en:
de amplificación a, está dado por la ecuación
Para las restantes ecuaciones se procede en la
En artículos posteriores se presentarán los resulta- dos para otras formas de sección y algunos ejemplos de cálculo.
Agradecimiento
A la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México por el apoyo recibido para la realización de este trabajo.
Recibido: Aprobado:
Referencias
Dressler, R.F., "New Nonlinear Shallow-Flow Equations with Curvature", Journal of Hydraulic Research, IAHR, vol. núm.
Khan, A.A. y P.M. Steffler, "Vertically Averaged and Moment Equations Model for Flow Over Curved Beds", Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, vol. núm. enero,
Sotelo, G. y R. Ruiz, "Flujo curvilíneo como un vórtice libre", Memorias del XIII Congreso Nacional de Hidráulica de la Asociación Mexicana de Hidráulica, tomo II, septiembre, Puebla, México,
Simbología
distancia ortogonal al fondo hasta la superficie libre.
aceleración de la gravedad.
coordenada recta en el plano de una sección or- togonal al fondo y a s.
coeficiente de Manning para la pared.
presión en algún punto de la sección ortogonal al fondo del canal y a s.
presión en el fondo de la sección ortogonal al fondo del canal y a s.
coordenada curvilínea que sigue fielmente el fon- do del canal.
tiempo.
componente de la velocidad en la dirección de s y en dirección perpendicular a una sección orto- gonal al fondo.
componente u de la velocidad en el fondo de la sección.
componente u de la velocidad al nivel de la superficie libre de la sección.
componente de la velocidad en la dirección de n, normal a u y tangente al plano de la sección ortogonal al fondo.
componente
w
de la velocidad en la superficie libre, en la dirección de n.eje de la coordenada en un plano horizontal per- pendicular a y.
eje de la coordenada vertical.
dimensión horizontal de la sección a la distancia n.
factor de fricción de Chezy.
energía total en una sección del flujo por unidad de peso.
gasto en la sección s (de tirante d), en el instante
t.
radio local de curvatura en el fondo. pendiente local del gradiente de fricción. ancho de la superficie libre de una sección. velocidad media en la sección.
curvatura del fondo en una sección viscosidad cinemática del líquido. densidad del líquido.
ángulo de inclinación de la tangente al fondo de la sección respecto de la horizontal.
coordenada x que localiza a un punto cualquiera en el fondo
Abstract
Sotelo Ávila, G. C.A. Escalante Sandoval, “Non-Steady Flow Equations for Trapezoidal Channels Over Curved Beds”, Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish), vol. XVI, num. pages October-De- cember,
The valuation of terms dependant upon the shape of section in trapezoidal channels over curved beds is shown. The complete general equations for curvilinear flow in channels were published previously by the same authors. The equations for rectangular and triangular channels are derived too as particular cases. This paper is the continuation of two previous published in this same Journal with the title: “General equa- tions for unsteady free-surface flow over curved beds’’ and “Resistive effect in general equations for unsteady free-surface flow over curved beds”.
Key words: curvilinear free-surface flow; flow in trapezoidal open channel over curved beds; particular equations of curved bed trapezoidal open channels.
Dirección institucional de los autores:
Gilberto Sotelo Ávila
Cerro Verde
Colonia Pedregal de San Francisco Delegación Coyoacán
México, D.F. Teléfono (52) Fax (52)
Correo electrónico:
Carlos A. Escalante Sandoval
División de Estudios de Posgrado Facultad de Ingeniería
Apartado Postal México, D.F. Teléfono (52) Fax (52)
