mati_sep_0607.pdf

(1)

Matem´aticas I.

05/09/07

Tipo A

Apellidos... Nombre:... DNI... Lic. en Econom´ıa 2 Lic. Adm´on. y Dir. Empr. 2 Dipl. CC.Empres. 2

IMPORTANTE

- Duración: 2 horas y 30 minutos. El problema en el aula de ordenadores será a partir de las 12:00 h. - No se permite el uso de teléfonos móviles ni compartir material como calculadoras, etc.

- Es obligatorio realizar el ejercicio con bol´ıgrafo y letra clara. - No separar las hojas del cuadernillo.

- Escribir las soluciones del test y del problema en sus plantillas correspondientes. - Un ejemplar del examen resuelto se depositar´a en la p´agina web de la asignatura.

Marque con una

×

su respuesta a las cuestiones tipo test en la tabla siguiente. Cuide que la opción elegida quede clara. Sólo una de las alternativas es correcta. Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejen en blanco no puntúan.

Las cuatro primeras preguntas, marcadas en el cuestionario con un°, equivalen a la evaluaci´on continua

Tipo A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a

b

c

Problema

Supongamos que una empresa produce un bien a partir de dos factores productivos donde la funci´on de producci´on viene dada por

Q(x, y) = ln(x2_y_{), siendo}_Q₍_{x, y}_{) la cantidad producida y}_{x >}_{0 e}_{y >}_{0 las cantidades utilizadas de cada factor. Se pide:}

1. Calcular las productividades marginales de los factoresxey, esto es, ∂Q

∂x y ∂Q

∂y. (2 ptos.)

2. Si (x, y) =

µ

2,1

2

¶

, utilizando la diferencial total, calcular cómo variará la producción si se incrementaxen 0,02 unidades ey

disminuye la misma cantidad. (2 ptos.)

3. Si existe una restricción de capacidad de la empresa que viene dada porC(x, y) =x2₊_y2_{, plantear el problema de optimización} que permita maximizar la producción de la empresa si se dispone de una capacidad de 12 unidades. (1 pto.)

4. Obtener la combinación de factores (x, y, λ) que maximiza la producción del problema de optimización del apartado anterior.

(6 ptos.)

5. Justificar geométricamente, mediante las curvas de nivel, la restricción y el vector gradiente si se alcanza el óptimo del problema.

(5 ptos.)

6. Comprobar que el valor de la producci´on en el ´optimo es 4 ln 2. (2 ptos.)

7. ¿En cu´antas unidades tendr´ıa que aumentar aproximadamente la capacidad de la empresa si se incrementa al doble la producci´on

en el ´optimo? (2 ptos.)

...Cortar para conservar...

Tipo A: 1. (a) (b) (c) 2. (a) (b) (c) 3. (a) (b) (c) 4. (a) (b) (c) 5. (a) (b) (c) 6. (a) (b) (c) 7. (a) (b) (c) 8. (a) (b) (c)

9. (a) (b) (c) 10. (a) (b) (c) 11. (a) (b) (c) 12. (a) (b) (c) 13. (a) (b) (c) 14. (a) (b) (c) 15. (a) (b) (c)

(2)

Test µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³

1. Si f(x, y) = exy2

−2x−4y+ 3 define a y como funci´on impl´ıcita de x, la pendiente de la curva de nivel que pasa por el punto (0,1) es:

a) 1

4. b)−

1

4. c) 4.

2. La funci´onf(x) =xe1/x_:

a) Tiene una as´ıntota oblicua eny=x. b) Tiene una as´ıntota oblicua eny=x+ 1. c) No tiene as´ıntota oblicua.

3. La funci´on f(x) =eax−x, a >0 cumple las hip´otesis del teorema de Bolzano en [1,2] si:

a)a <ln 4. b)a <√ln 2. c) a <ln 2

2 . 4. Dadas f(x) = 2e2(x−1) _y _g₍_x_{) = ln(2}_x₊ _e_{), entonces}

(f◦g)(x) parax=ees:

a) 6. b) 18. c) 2e.

5. La funci´onf(x) = x+ 2

x2_{+ 5}:

a) Es creciente en (−∞,−5)∪(1,+∞) y tiene un m´aximo local enx=−5 y un m´ınimo local enx= 1.

b) Es decreciente en (−∞,−5) ∪ (1,+∞) y tiene un m´aximo local enx=−5 y un m´ınimo local enx= 1. c) Es decreciente en (−∞,−5) ∪ (1,+∞) y tiene un

m´ınimo local enx=−5 y un m´aximo local enx= 1.

6. La funci´on de demanda de un producto viene dada por

p = eq−2_{+ 3, donde} _q _{= 1 + ln(}_t2₋_{2). Entonces} dp

dt en t= 2 es:

a) 2

e. b)

4

e. c)

e

4.

7. El resultado de l´ım

x→0

x2₋₄_a3_x

a4₋₍_a₊_x₎4 es:

a)a3_. _{b) 1.} _c) 1

a.

8. La inversa de la funci´on

y= ln

µ

x−2

x

¶

, x >2

es:

a) 2

1−ey. b)

1−ey

2 . c)

2 1 +ey.

9. Dado el problema

Opt. ey

s. a x2₊_y2_{= 1}_,

su resoluci´on gr´afica indica que:

a) El máximo y m´ınimo son globales. b) No tiene máximo y el m´ınimo es local. c) El m´ınimo es global y el máximo es local.

10. Dadaf(x, y, z) = ln(x3₊_y3₊_z3₋₃_xyz_{), el resultado de la} operaci´onx∂f

∂x+y ∂f ∂y +z

∂f ∂z es:

a) 3. b) 9. c)−3.

11. La dirección de máximo crecimiento de la función

f(x, y) =xy2₋_x2_ey−1

en el punto (−1,1) es igual a:

a) (−3,3). b) (3,3). c) (3,−3).

12. Sea f(x, y) = (x2₊_y2₎_e1/x_{, con} _x₌_s₋_t2 _e _y ₌_s2₊_t2_,

entonces ∂f ∂s ¯ ¯ ¯ ¯

s=1,t=0 es:

a) 2

e. b) 4e. c) 2e.

13. Sea la funci´on

f(x, y) =xy2+ 2x2y−6xy

y{(0,0); (0,6); (1,2); (3,0)}los puntos cr´ıticos, entonces:

a) (0,0) es un punto de silla y (0,6) es un m´ınimo local. b) (0,6) es un punto de silla y (1,2) es un m´aximo local. c) (1,2) es un m´ınimo local y (3,0) es un punto de silla.

14. La diferencial total de la funci´onf(x, y) =ex+y₋_xy_{en el}

punto (2,−1) es:

a) df(2,−1) = (e−1)dx+ (e+ 2)dy. b) df(2,−1) = (e+ 1)dx+ (e−2)dy. c) df(2,−1) = (e+ 1)dx+ (e+ 2)dy.

15. El resultado de la integral

Z ₂

0

λe−λxdxes:

(3)

Matem´aticas I.

05/09/07

Tipo B

IMPORTANTE

- Duración: 2 horas y 30 minutos. El problema en el aula de ordenadores será a partir de las 12:00 h. - No se permite el uso de teléfonos móviles ni compartir material como calculadoras, etc.

- Es obligatorio realizar el ejercicio con bol´ıgrafo y letra clara. - No separar las hojas del cuadernillo.

- Escribir las soluciones del test y del problema en sus plantillas correspondientes. - Un ejemplar del examen resuelto se depositar´a en la p´agina web de la asignatura.

Marque con una

×

su respuesta a las cuestiones tipo test en la tabla siguiente. Cuide que la opción elegida quede clara. Sólo una de las alternativas es correcta. Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejen en blanco no puntúan.

Las cuatro primeras preguntas, marcadas en el cuestionario con un°, equivalen a la evaluaci´on continua

Tipo B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a

b

c

Problema

Supongamos que una empresa produce un bien a partir de dos factores productivos donde la funci´on de producci´on viene dada por

Q(x, y) = ln(x2_y_{), siendo}_Q₍_{x, y}_{) la cantidad producida y}_{x >}_{0 e}_{y >}_{0 las cantidades utilizadas de cada factor. Se pide:}

1. Calcular las productividades marginales de los factoresxey, esto es, ∂Q

∂x y ∂Q

∂y. (2 ptos.)

2. Si (x, y) =

µ

2,1

2

¶

, utilizando la diferencial total, calcular cómo variará la producción si se incrementaxen 0,02 unidades ey

disminuye la misma cantidad. (2 ptos.)

3. Si existe una restricción de capacidad de la empresa que viene dada porC(x, y) =x2₊_y2_{, plantear el problema de optimización} que permita maximizar la producción de la empresa si se dispone de una capacidad de 12 unidades. (1 pto.)

4. Obtener la combinación de factores (x, y, λ) que maximiza la producción del problema de optimización del apartado anterior.

(6 ptos.)

5. Justificar geométricamente, mediante las curvas de nivel, la restricción y el vector gradiente si se alcanza el óptimo del problema.

(5 ptos.)

6. Comprobar que el valor de la producci´on en el ´optimo es 4 ln 2. (2 ptos.)

7. ¿En cu´antas unidades tendr´ıa que aumentar aproximadamente la capacidad de la empresa si se incrementa al doble la producci´on

en el ´optimo? (2 ptos.)

...Cortar para conservar...

Tipo B: 1. (a) (b) (c) 2. (a) (b) (c) 3. (a) (b) (c) 4. (a) (b) (c) 5. (a) (b) (c) 6. (a) (b) (c) 7. (a) (b) (c) 8. (a) (b) (c)

9. (a) (b) (c) 10. (a) (b) (c) 11. (a) (b) (c) 12. (a) (b) (c) 13. (a) (b) (c) 14. (a) (b) (c) 15. (a) (b) (c)

(4)

Test µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³

1. La funci´onf(x) =xe1/x_:

a) No tiene as´ıntota oblicua.

b) Tiene una as´ıntota oblicua eny=x. c) Tiene una as´ıntota oblicua eny=x+ 1.

2. Si f(x, y) = exy2

−2x−4y+ 3 define a y como funci´on impl´ıcita de x, la pendiente de la curva de nivel que pasa por el punto (0,1) es:

a)−1

4. b)

1

4. c) 4.

3. Dadas f(x) = 2e2(x−1) _y _g₍_x_{) = ln(2}_x₊ _e_{), entonces} (f◦g)(x) parax=ees:

a) 18. b) 6. c) 2e.

4. La funci´on f(x) =eax₋_{x, a >}_{0 cumple las hip´otesis del}

teorema de Bolzano en [1,2] si:

a)a <ln 4. b)a <ln 2

2 . c)a < √

ln 2.

5. La funci´on de demanda de un producto viene dada por

p = eq−2_{+ 3, donde} _q _{= 1 + ln(}_t2₋_{2). Entonces} dp

dt en t= 2 es:

a) e

4. b)

4

e. c)

2

e.

6. La funci´onf(x) = x+ 2

x2_{+ 5}:

a) Es decreciente en (−∞,−5) ∪ (1,+∞) y tiene un m´aximo local enx=−5 y un m´ınimo local enx= 1. b) Es decreciente en (−∞,−5) ∪ (1,+∞) y tiene un

m´ınimo local enx=−5 y un m´aximo local enx= 1. c) Es creciente en (−∞,−5)∪(1,+∞) y tiene un m´aximo

local enx=−5 y un m´ınimo local enx= 1.

7. La inversa de la funci´on

y= ln

µ

x−2

x

¶

, x >2

es:

a) 2

1−ey. b)

2

1 +ey. c)

1−ey

2 .

8. El resultado de l´ım

x→0

x2₋₄_a3_x

a4₋₍_a₊_x₎4 es:

a) 1. b)a3_. _c) 1

a.

9. Dadaf(x, y, z) = ln(x3₊_y3₊_z3₋₃_xyz_{), el resultado de la} operaci´onx∂f

∂x+y ∂f ∂y +z

∂f ∂z es:

a)−3. b) 9. c) 3.

10. Dado el problema

Opt. ey

s. a x2₊_y2_{= 1}_,

su resoluci´on gr´afica indica que:

a) El m´ınimo es global y el máximo es local. b) El máximo y m´ınimo son globales. c) No tiene máximo y el m´ınimo es local.

11. Sea f(x, y) = (x2₊_y2₎_e1/x_{, con} _x₌_s₋_t2 _e _y ₌_s2₊_t2_,

entonces ∂f ∂s ¯ ¯ ¯ ¯

s=1,t=0 es:

a) 4e. b) 2

e. c) 2e.

12. La dirección de máximo crecimiento de la función

f(x, y) =xy2₋_x2_ey−1

en el punto (−1,1) es igual a:

a) (3,3). b) (−3,3). c) (3,−3).

13. La diferencial total de la funci´onf(x, y) =ex+y₋_xy_{en el}

punto (2,−1) es:

a) df(2,−1) = (e+ 1)dx+ (e−2)dy. b) df(2,−1) = (e+ 1)dx+ (e+ 2)dy. c) df(2,−1) = (e−1)dx+ (e+ 2)dy.

14. Sea la funci´on

f(x, y) =xy2_{+ 2}_x2_y₋₆_xy

y{(0,0); (0,6); (1,2); (3,0)}los puntos cr´ıticos, entonces:

a) (0,6) es un punto de silla y (1,2) es un m´aximo local. b) (1,2) es un m´ınimo local y (3,0) es un punto de silla. c) (0,0) es un punto de silla y (0,6) es un m´ınimo local.

15. El resultado de la integral

Z ₂

0

λe−λxdxes:

(5)

Matem´aticas I.

05/09/07

Tipo A

Problema con DERIVE

IMPORTANTE:Responder en esta misma hoja, indicando las instrucciones utilizadas, as´ı como los resultados obtenidos.

1. Dada la funci´on

f(x, y) =xy+ 3x2₊_y2₋₃_x2_y,

se pide:

a) Calcular los puntos cr´ıticos detallando la instrucci´on utilizada. (2 ptos.)

b) Clasificar los puntos cr´ıticos parax≥0, escribiendo la matriz hessiana en cada punto cr´ıtico. (2 ptos.)

c) Obtener la variaci´on de la funci´on en el punto¡√3,√3¢cuando dx= 0·1 ydy=−0·2:

1) De manera exacta, esto es calculandof(x+dx, y+dy)−f(x, y). (2 ptos.)

2) De manera aproximada utilizando la diferencial total. (2 ptos.)

3) Calcular el error cometido. (1 pto.)

2. Considérese ahora el problema de optimizar la funciónf(x, y) =x2_{+ (}_y₋₂₎2 _{sujeta a la restricción}_x2₊_x₊_y_{= 3, se pide:}

a) Escribir la funci´on lagrangiana asociada al problema, aplicar el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange y escribir las

soluciones obtenidas. (2 ptos.)

b) Escribir la curva de nivel que pasa por el punto cr´ıtico para el quex≥0 y calcular el vector gradiente en dicho punto.

(2 ptos.)

c) Dibujar varias curvas de nivel junto con la restricción se˜nalando dónde está el punto cr´ıtico y cuál es la dirección y sentido

del vector gradiente en dicho punto. (4 ptos.)

(6)

Matem´aticas I.

05/09/07

Tipo B

Problema con DERIVE

IMPORTANTE:Responder en esta misma hoja, indicando las instrucciones utilizadas, as´ı como los resultados obtenidos.

1. Dada la funci´on

f(x, y) =xy−3x2₋_y2₋₃_x2_y,

se pide:

a) Calcular los puntos cr´ıticos detallando la instrucci´on utilizada. (2 ptos.)

b) Clasificar los puntos cr´ıticos parax≥0, escribiendo la matriz hessiana en cada punto cr´ıtico. (2 ptos.)

c) Obtener la variaci´on de la funci´on en el punto¡√2,−√3¢cuandodx=−0·1 ydy= 0·2:

1) De manera exacta, esto es calculandof(x+dx, y+dy)−f(x, y). (2 ptos.)

2) De manera aproximada utilizando la diferencial total. (2 ptos.)

3) Calcular el error cometido. (1 pto.)

2. Considérese ahora el problema de optimizar la funciónf(x, y) = (x−2)2₊_y2 _{sujeta a la restricción}_x2₊_x₊_y_{= 3, se pide:}

a) Escribir la funci´on lagrangiana asociada al problema, aplicar el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange y escribir las

soluciones obtenidas. (2 ptos.)

b) Escribir la curva de nivel que pasa por el punto cr´ıtico para el quex≥0 y calcular el vector gradiente en dicho punto.

(2 ptos.)

c) Dibujar varias curvas de nivel junto con la restricción se˜nalando dónde está el punto cr´ıtico y cuál es la dirección y sentido

del vector gradiente. (4 ptos.)

(7)

Soluciones a las cuestiones tipo test

Tipo A Tipo B

1 b

c

2 b

a

3 c

a

4 b

b

5 c

b

6 b

b

7 b

a

8 a

a

9 a

c

10 a

b

11 c

a

12 b

c

13 c

a

14 b

b

(8)

Soluci´

on al Problema. Tipos A y B

1. Las productividades marginales pedidas son:

∂Q ∂x =

2xy x2_y =

2

x, ∂Q

∂y = x2

x2_y = 1

y.

2. Tenemos que

dQ(x, y) = ∂Q

∂xdx+ ∂Q

∂ydy=

2

xdx+

1

ydy.

Luego

dQ

µ

2,1

2

¶

= 0·02 + 2·(−0·02) =−0·02,

es decir, se reduce en·02 unidades.

3. El planteamiento del problema es:

Max Q(x, y) = ln(x2_y₎_, s.a x2₊_y2_{= 12}_,

x, y >0.

4. La funci´on lagrangiana es:

L(x, y, λ) = ln(x2_y₎₋_λ₍_x2₊_y2₋₁₂₎_.

Los puntos cr´ıticos se obtienen resolviendo el sistema:

Lx = 2_x−2xλ= 0,

Ly = 1_y−2yλ= 0,

Lλ = −x2−y2+ 12 = 0.

          

De las dos primeras ecuaciones, despejandoλe igualando, se deduce quex2_{= 2}_y2_{, que llevada a la tercera ecuaci´on proporciona} la soluci´on (x∗_{, y}∗_;_λ∗_{) =}¡₂√₂_,₂_,1

8

¢

.

5. La restricci´on es una circunferencia de centro (0,0) y radio√12. Las curvas de nivel son hip´erbolas del tipoy= ec

x2 en el primer cuadrante. El vector gradiente es∇Q(x, y) =

³

2

x,1y

´

. Por tanto, en el punto cr´ıtico se tiene que∇Q(2√2,2) =

³ 1 √ 2, 1 2 ´ . Todo ello aparece representado en la figura 1. Moviéndonos en la dirección del vector gradiente, se observa en la gráfica adjunta que en el puntoP(2√2,2) se alcanza el máximo global del problema, ya que es el último punto de contacto de una curva de nivel con la restricción en la dirección del vector gradiente.

6. Resulta inmediato que Q(2√2,2) = ln(8·2) = ln 16 = ln 24_{= 4 ln 2.}

7. Puesto que ∆Q∗_≈_λ∗_∆_b_{, siendo}_b _{el t´ermino independiente de la restricci´on, se deduce que}

2(4 ln 2)≈ 1 8∆b,

(9)

(10)

SOLUCIÓN EXAMEN DERIVE TIPO A

Ejercicio 1

2 2 2 #1: f(x, y) := x·y + 3·x + y - 3·x ·y

a)Calcular los puntos críticos detallando la instrucción utilizada

#2: f'(x, y)

„ 2 † #3: …6·x·(1 - y) + y, - 3·x + x + 2·y‡

„ 2 † #4: SOLVE(…6·x·(1 - y) + y, - 3·x + x + 2·y‡, [x, y], Real)

„ ‹97 1 ‹97 47 1 ‹97 #5: ¦x = 0  y = 0, x = ————— + ———  y = ————— + ————, x = ——— - ————— … 12 4 48 48 4 12

47 ‹97 †  y = ———— - —————¦ 48 48 ‡

#6: [x = 0  y = 0, x = 1.07073815  y = 1.184351204, x = -0.5707381501

 y = 0.7739821291]

b) Clasificar los x’0 escribiendo la matriz hessiana en cada caso

#7: f''(0, 0)

„ 6 1 † #8: ¦ ¦ … 1 2 ‡

„ 6 1 † #9: DET ¦ ¦ … 1 2 ‡

#10: 11

Como el determinante es positivo y fxx=6>0 el punto (0,0) es

minimo local

(11)

„ 1 ‹97 ‹97 1 † ¦ ——— - ————— - ————— - ——— ¦ ¦ 8 8 2 2 ¦ #12: ¦ ¦ ¦ ‹97 1 ¦ ¦ - ————— - ——— 2 ¦ … 2 2 ‡

„ 1 ‹97 ‹97 1 † ¦ ——— - ————— - ————— - ——— ¦ ¦ 8 8 2 2 ¦ #13: DET ¦ ¦ ¦ ‹97 1 ¦ ¦ - ————— - ——— 2 ¦ … 2 2 ‡

3·‹97 97 #14: - ——————— - ———— 4 4

#15: -31.63664335

Como el determinante es negativo se trata de un punto de silla

c)

1) Obtención de manera exacta de la diferencial de f(x,y)

#16: f(‹3 + 0.1, ‹3 - 0.2) - f(‹3, ‹3)

19·‹3 7 #17: ——————— + ————— 100 125

#18: 0.3850896534

2) Obtención de manera aproximada de la diferencial de f(x,y)

utilizando la diferencial total

d ‚ d ‚ #19: ¦—— f(x, y)¦·0.1 + ¦—— f(x, y)¦·(-0.2) dx ƒ dy ƒ

2 6·x + 2·x·(2 - 3·y) - 3·y #20: ———————————————————————————— 10

2 6·‹3 + 2·‹3·(2 - 3·‹3) - 3·‹3 #21: ———————————————————————————————— 10

‹3 #22: ———— 10

(12)

3) Error que se comete

#24: ¦0.3850896534 - 0.1732050807¦

#25: 0.2118845727

Ejercicio 2

2 2 #26: f(x, y) := x + (y - 2)

2 #27: x + x + y - 3

a) Escribir la función lagrangiana asociada al problema, aplicar

el metodo de los multiplicadores de Lagrange y escribir las

soluciones obtenidas

2 #28: l(x, y, ¿) := f(x, y) - ¿·(x + x + y - 3)

#29: l'(x, y, ¿)

„ 2 † #30: …2·x·(1 - ¿) - ¿, 2·y - ¿ - 4, - x - x - y + 3‡

„ 2 † #31: SOLVE(…2·x·(1 - ¿) - ¿, 2·y - ¿ - 4, - x - x - y + 3‡, [x, y, ¿],

Real)

„ 1 9 1 † #32: ¦x = -1  y = 3  ¿ = 2, x = ———  y = ———  ¿ = ———¦ … 2 4 2 ‡

Estos son los puntos criticos

b) Curva de nivel que pasa por el punto crítico positivo(1/2,9/4)

2 2 #33: x + (y - 2) = c

 1 ‚2  9 ‚2 #34: ¦———¦ + ¦——— - 2¦ = c  2 ƒ  4 ƒ

5 #35: ———— = c 16

(13)

El gradiente para el punto crítico (1/2,9/4)

 1 9 ‚ #37: f'¦———, ———¦  2 4 ƒ

„ 1 † #38: ¦1, ———¦ … 2 ‡

c) Dibujar varias curvas de nivel junto con la restricción, señala

ndo donde está el punto crítico y dibujar la dirección y sentido

del vector gradiente

Para el punto crítico (1/2,9/4), la restricción y otras curvas de

nivel, nos proporciona la gráfica

2 #39: y = - x - x + 3

2 2 5 #40: x + (y - 2) = ———— + 1 16

2 2 #41: x + (y - 2) = 0.1

d)

(14)

SOLUCIÓN EXAMEN DERIVE TIPO B

Ejercicio 1

2 2 2 #1: f(x, y) := x·y - 3·x - y - 3·x ·y

a)Calcular los puntos críticos detallando la instrucción utilizada

#2: f'(x, y)

„ 2 † #3: …y - 6·x·(y + 1), - 3·x + x - 2·y‡

„ 2 † #4: SOLVE(…y - 6·x·(y + 1), - 3·x + x - 2·y‡, [x, y], Real)

„ ‹97 1 ‹97 47 1 #5: ¦x = 0  y = 0, x = ————— + ———  y = - ————— - ————, x = ——— - … 12 4 48 48 4

‹97 ‹97 47 † —————  y = ————— - ————¦ 12 48 48 ‡

#6: [x = 0  y = 0, x = 1.07073815  y = -1.184351204, x = -0.5707381501

 y = -0.7739821291]

b) Clasificar los x’0 escribiendo la matriz hessiana en cada caso

#7: f''(0, 0)

„ -6 1 † #8: ¦ ¦ … 1 -2 ‡

„ -6 1 † #9: DET ¦ ¦ … 1 -2 ‡

#10: 11

Como el determinante es positivo y fxx=-6<0 el punto (0,0) es máxi

mo local

 ‹97 1 ‹97 47 ‚ #11: f''¦————— + ———, - ————— - ————¦  12 4 48 48 ƒ

(15)

„ ‹97 1 ‹97 1 † ¦ ————— - ——— - ————— - ——— ¦ ¦ 8 8 2 2 ¦ #13: DET ¦ ¦ ¦ ‹97 1 ¦ ¦ - ————— - ——— -2 ¦ … 2 2 ‡

3·‹97 97 #14: - ——————— - ———— 4 4

#15: -31.63664335

Como el determinante es negativo se trata de un punto de silla

c)

1) Obtención de manera exacta de la diferencial de f(x,y)

#16: f(‹2 - 0.1, - ‹3 + 0.2) - f(‹2, - ‹3)

53·‹3 23·‹2 3·‹6 162 #17: ——————— + ——————— - —————— - ————— 100 25 5 125

#18: -0.5466304402

2) Obtención de manera aproximada de la diferencial de f(x,y)

utilizando la diferencial total

d ‚ d ‚ #19: ¦—— f(x, y)¦·(-0.1) + ¦—— f(x, y)¦·0.2 dx ƒ dy ƒ

d 2 2 2 #20: —— (x·y - 3·x - y - 3·x ·y) dx

#21: y - 6·x·(y + 1)

d 2 2 2 #22: —— (x·y - 3·x - y - 3·x ·y) dy

2 #23: - 3·x + x - 2·y

2 #24: (y - 6·x·(y + 1))·(-0.1) + (- 3·x + x - 2·y)·0.2

2 #25: (- ‹3 - 6·‹2·(- ‹3 + 1))·(-0.1) + (- 3·‹2 + ‹2 - 2·(- ‹3))·0.2

3·‹6 4·‹2 ‹3 6 #26: - —————— + —————— + ———— - ——— 5 5 2 5

(16)

3) Error que se comete

#28: ¦-0.5466304402 - -0.6722975919¦

#29: 0.1256671516

Ejercicio 2

2 2 #30: f(x, y) := (x - 2) + y

2 #31: x + x + y = 3

a) Escribir la función lagrangiana asociada al problema, aplicar e

l metodo de los multiplicadores de Lagrange y escribir las solucio

nes obtenidas

2 #32: l(x, y, ¿) := f(x, y) - ¿·(x + x + y - 3)

#33: l'(x, y, ¿)

„ 2 † #34: …2·x·(1 - ¿) - ¿ - 4, 2·y - ¿, - x - x - y + 3‡

„ 2 † #35: SOLVE(…2·x·(1 - ¿) - ¿ - 4, 2·y - ¿, - x - x - y + 3‡, [x, y, ¿],

Real)

„ ‹41 1 5 ‹41 5 #36: ¦x = -1  y = 3  ¿ = 6, x = ————— - ———  y = ——— - —————  ¿ = ——— … 4 4 8 8 4

‹41 ‹41 1 ‹41 5 ‹41 5 † - —————, x = - ————— - ———  y = ————— + ———  ¿ = ————— + ———¦ 4 4 4 8 8 4 4 ‡

#37: [x = -1  y = 3  ¿ = 6, x = 1.350781059  y = -0.1753905296  ¿ =

-0.3507810593, x = -1.850781059  y = 1.425390529  ¿ =

2.850781059]

Estos son los puntos criticos

b) Curva de nivel que pasa por el punto crítico (1.35..,-0.17..)

2 2 #38: x + (y - 2) = c

(17)

#40: c = 0.4522470707

2 2 #41: (x - 2) + y = 0.4522470707

El gradiente para este punto crítico

#42: f'(x, y)

#43: [2·x - 4, 2·y]

„ ‹41 9 5 ‹41 † #44: ¦————— - ———, ——— - —————¦ … 2 2 4 4 ‡

#45: [-1.298437881, -0.3507810593]

c) Dibujar varias curvas de nivel junto con la restricción, señala

ndo donde está el punto crítico y dibujar la dirección y sentido d

el vector gradiente

Para el punto crítico estudiado, la restricción y otras curvas de

nivel, nos proporciona la gráfica

2 #46: x + x + y = 3

2 2 #47: (x - 2) + y = 1.45224707

2 2 #48: (x - 2) + y = 0.45224707 - 0.25

2 2 #49: (x - 2) + y = 0.45224707 + 0.25