PREUNIVERSITARIO BELÉN UC
MATEMÁTICAS
GUIA 1: Números y Proporciones
Naturales
Números naturales:
Los números se pueden son aquellos que utilizaste desde pequeño(a) para contar, sin considerar el “0”:
N = {1, 2, 3,4…}
NUMEROS PRIMOS, COMPUESTOS Y DESCOMPOSICION EN FACTORES
Números primos: son aquellos enteros positivos que tienen solo dos divisores distintos. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,…
Números compuestos: Son todos los enteros positivos mayores que 1 que no son primos. Los primeros números compuestos con: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, …
TEOREMA: Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores de números primos.
Ej:
a) El numero 2.856 es el producto de tres factores. Si dos de los factores son 12 y 14, ¿Cuál es el otro factor?
b) Expresar los números 60 y 90 en factores primos c) Si hoy es martes, ¿Qué día será dentro de 51 días?
MINIMO COMUN MULTIPLO (m.c.m)
Es el menor múltiplo común positivo de dos o más enteros.
MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D)
Es el mayor divisor común entre dos o más enteros.
Ej:
a) El m.c.m entre 18, 36 y 92? b) El M.C.D entre 20 y 180?
Calculo del m.c.m y M.C.D mediante descomposición en factores primos
1. El m.c.m se obtiene como producto de todos los factores primos. En el caso de existir factores primos comunes se considera aquel que posea el exponente mayor.
2. El M.C.D se obtiene como producto de los factores primos comunes considerando aquel que posea el exponente menor.
Ej:
a) El m.c.m y M.C.D entre y ?
b) ¿Cuál es la regla de mayor longitud con la que se puede medir exactamente las tres longitudes siguientes: 180cm, 240cm y 400cm?
c) Si un niño comienza contando de 5 en 5, y otro lo hace de 6 en 6, ¿en qué número se encuentran por segunda vez?
Enteros
OPERATORIA EN Z
Adición:
I) Al sumar números de igual signo, se suman los valores absolutos de ellos conservando el signo común.
II) Al sumar dos números de distinto signo, al de mayor valor absoluto se le resta el de menor valor absoluto y al resultado se le agrega el signo del mayor valor absoluto.
Multiplicación:
I) Si se multiplican dos números de igual signo el resultado es siempre positivo.
II) Si se multiplican dos números de distinto signo el resultado es siempre negativo.
NOTA: La división cumple con las reglas de signos de la multiplicación.
Ej:
a) -2 + (-107) = b)
c) -2 + (-15 : -3) =
PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Al operar distintas operaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden: 1. Resolver los paréntesis.
2. Realizar las potencias.
3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones de izquierda a derecha. 4. Realizar adiciones y/o sustracciones de izquierda a derecha.
Ej: a) b) c)
I) a > b si y solo si (a – b) es un entero positivo. II) a < b si y solo si (a – b) es un entero negativo
III) a >= b si y solo si (a > b) o (a = b); (no ambos a la vez) IV) a <= b si y solo si (a < b) o (a = b); (no ambos a la vez)
Ej:
a) ¿Si a y b son dos enteros consecutivos tales que a < b, entonces b – a? b) Si a < 0 y a > -b, entonces ¿Cuál(es) expresiones es (son) verdaderas?
I) -a > -b II) b < 0 III) –a < b
c) Sean p, q y r tres números enteros pares, positivos y consecutivos. Si 12 < p, r < 18 y q < p < r, entonces los valores de r y q son respectivamente
REGULARIDADES NUMERICAS
Las regularidades (patrones) son relaciones entre números, figuras u objetos que pueden describirse por medio de una formula o termino general. Por ejemplo, en la secuencia 1, 5, 9, 13,…, cada término se obtiene agregándole 4 al anterior.
También es posible encontrar regularidades que dan lugar a diferentes
clasificaciones de los números, por ejemplo los llamados “números triangulares”.
1 3 6 10 15
Ej:
a) En la siguiente secuencia numérica 4 +5,…, el octavo termino es?
b) En la siguiente secuencia numérica 3, 7, 15, 31,…, la suma del quinto con el sexto termino es ?
EJERCICIOS (NATURALES)
1. ¿Cuál es el m.c.m entre 36 y 90?
A) 36 B) 90 C) 18 D) 180 E) 360
2. Si la distancia entre las ciudades de A y B es de 30 Km y entre las ciudades B y C es de 21 Km, ¿Cuál debe ser la mínima distancia entre las ciudades C y D para que el producto de las tres distancias sea un cuadrado perfecto?
A) 70 Km B) 63 Km C) 45 Km D) 35 Km E) 18 Km
A) y 37
B) y
C) y
D) y
E) y 37
4. Si , y , ¿Cuál (es) de las siguientes
proposiciones es (son) verdaderas?
I) es un divisor común de A, B y C. II) es un divisor de A y C.
III) es divisor común de A, B y C.
A) Solo I B) Solo III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna
5. ¿Cuáles de los siguientes números no es divisor de ?
A) 7 B) C) D) E)
6. A una distribuidora se le solicita un pedido de bebidas de tres tipos diferentes:
Tipo A: 18 bebidas Tipo B: 45 bebidas Tipo C: 135 bebidas
Si la embotelladora debe enviar las bebidas en cajas, todas de igual tamaño y con un mismo tipo de bebida, ¿Cuántas bebidas deben contener las cajas para que estas sean el menor numero posible?
A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 18
7. Para que la expresión , con n entero positivo mayor que 1, se transforme en un cubo perfecto se tiene que
8. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 y 54 segundos respectivamente. Si a las 20:00 horas y 15 minutos se
encuentran ambos encendidos, ¿a que hora estarán nuevamente ambos encendidos?
A) 20 hr 21 min 18 seg B) 20 hr 21 min 42 seg C) 20 hr 21 min 36 seg D) 20 hr 15 min 54 seg E) 20 hr 16 min 54 seg
9. El mínimo común múltiplo de dos números es 24 y el máximo común divisores 4. Si uno de los números es 12, ¿Cuántos divisores positivos comunes tiene con el otro numero?
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
E) ninguno de los anteriores
10. Un lápiz vale $ 1800 y una agenda $1260. ¿Cuál(es) de las siguientes cantidades, en pesos, permiten comprar exactamente solo lápices y también comprar exactamente solo agendas?
I) II) III)
A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III
11. ¿Cuál de estos números es primo?
A) 49 B) 447 C) 500 D) 78 E) 233
12. La expresión es equivalente a
EJERCICIOS (ENTEROS)
1. Sea la suma x+y+z=w. Si a cada sumando se le agrega cinco unidades, entonces se obtiene:
A) w + 15 B) w + 5 C) 125w D) 15w E) 5w
2. ¿cual(es) de las siguientes expresiones representa(n) al numero 5.086? I)
II) 5 unidades de mil, 0 centenas, 8 decenas y 6 unidades. III) 5.000 + 8 + 6
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
3. Sean a, b, c números naturales tales que a – b = c. Entonces, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) a < c II) c > b III) b < a A) Todas ellas
B) Sólo I C) Sólo II D) Sólo III E) Sólo II y III
4. En la secuencia: 3, 5, 9, 17,… el número siguiente es A) 25
B) 26 C) 29 D) 31 E) 33
5. Si al doble de -3 se le resta el cuádruplo de 2 y al resultado se le agrega el triple de 3, se obtiene
A) -8 B) -5 C) 5 D) 20 E) 23
6. El valor de la expresión -30 : 5x6 – 7+40 es A) -3
B) 32 C) 34 D) 46
7. Si x e y son dos números enteros cuyas ubicaciones en la recta numérica es X < Y < 0, entonces siempre se cumple
A) xy < 0 B) –x : y > 0 C) y – x > 0 D) x – Y > 0 E) x + y > 0
8. ¿Cuál de las siguientes opciones es falsa, si a > b > 0 y c = 0? A) c ( b –a ) = 0
B) ab + c > 0 C) a ( b + c) > 0 D) bc + a > 0 E) b – a + c > 0
9. Si a y b son números enteros con a < b y b = -5, ¿cual(es) de las relaciones siguientes es (son) siempre verdadera(s)?
I) –( a + b) > 12 II) a + b <= -11 III) a – b <= -1 A) Sólo II
B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
10. -3+(6x9)-3:1= A) 3
B) 6 C) -9 D) 9 E) 10
11. Si Y son números enteros positivos, entonces ¿Cuál ese l valor de ?
(1) (2)
A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas
D) Cada una por si sola
E) Se requiere información adicional
12. , y Son números enteros. ¿Cuál ese el menor? (1)
(2)
A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas
D) Cada una por si sola
E) Se requiere información adicional
13. Sean n . La expresión 3(1 + n) representa un múltiplo de 6 si:
A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas
D) cada una por si sola
