Introducción:
Dado un polinomio de la forma:
2
•
Existen valores de x
1y x
2para los cuales
f
(x)=0
•
Estos valores son llamados raíces de la
ecuación cuadrática y pueden ser
determinados como:
•
Podemos definir la raíz de una ecuación
Podemos definir la raíz de una ecuación
como el valor de x que hace que f
Métodos para determinar las
raíces de una ecuación
MÉTODOS CERRADOS
Aprovechan el hecho de que una función
cambia de signo en la vecindad de una raíz.
Necesita dos valores iniciales que deben
encerrar o estar ambos lados de la raíz.
Método de la bisección
Métodos para determinar las
raíces de una ecuación
•
MÉTODOS ABIERTOS
•
Se basan en fórmulas que solo requieren de un
valor de inicio ó de dos valores que no
necesariamente encierran a la raíz.
▫
A veces pueden ser divergentes, pero cuando
convergen lo hacen de manera mucho más rápida.
Método de Newton Raphson
Métodos gráficos
Un método simple para determinar la raíz de
Ejemplo
•
Utilice el método gráfico para determinar el
coeficiente de arrastre que es necesario para
que un paracaidista de masa m=68,1 Kg tenga
una velocidad de 40 m/seg después de una caída
libre de t=10 seg.
▫
SOLUCIÓN
De la segunda ley de Newton se sabe que F=m.a
Donde F se expresa en N ó en Kg-m/s
2, m se expresa en
Kg y a=(F/m) se expresa en m/s
2
Se sabe también que a=dv/dt
Entonces la fuerza es igual a la masa del cuerpo por la
Para un cuerpo que cae la fuerza está
compuesta de os fuerzas contrarias:
La atracción hacia abajo debida a la gravedad a
la que llamaremos Fd.
Una fuerza hacia arriba asociada a la resistencia
del aire llamada Fv.
F=Fd+Fv
donde
Fd= m.g (Aplicando la 2da Ley de Newton y
asignándole sentido positivo) y donde g=9,8 m/s
2
Fv=-cv donde c es el coeficiente de resistencia ó
Volviendo a la ecuación a=F/m
Esta es una ecuación diferencial que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él.
Si en un instante inicial el paracaidista está en reposo v=0 en t=0. Podemos integrar esa ecuación y obtener:
donde.:
Para determinar el coeficiente de arrastre
restamos la velocidad a ambos lados de la
ecuación:
El valor de c que hace que esa ecuación sea igual a cero es la raíz de la ecuación
Para resolver el problema partimos de los datos conocidos: t=10 seg, g=9,8 m/seg2, v=40m/seg y m=68,1 Kg
¿Qué hacer?
Haciendo el gráfico a escala observamos que la curva cruza al eje x entre c=12 y c=16 y es posible
obtener el valor
aproximado de la raíz para c=14,75
La validez del valor obtenido gráficamente se comprueba substituyendo en la función
f( c )=0,059
Adicionalmente es posible comprobar el valor de la velocidad:
Inconveniente: Es un método poco preciso, no obstante puede ser útil
Inconveniente: Es un método poco preciso, no obstante puede ser útil
para estimar el valor inicial a emplear en los métodos que
Método de la Bisección
En el método gráfico observamos un cambio de
signo en la función entre los puntos c=12 y
c=16. A partir de ahí es posible generalizar que:
“Si una función f(x) es real y contínua en un
intervalo que va desde x
Ia x
IIy f(x
I) y f(x
II) tienen
signos opuestos entonces existe al menos una raíz
entre x
Iy x
II“
.
Si f(x
I) y f(x
II) tienen signos opuestos entonces
Este es un método incremental en el cual el
intervalo siempre se divide a la mitad. Si la
función cambia de signo sobre un intervalo, se
evalúa el valor de la función en el punto
medio.
La posición de la raíz se determina situándola
Pasos
1.
Elija valores iniciales de x
Iy x
IIque encierren la raíz de
tal forma que la función cambie de forma en el intervalo.
Esto se verifica comprobando que:
f(x
I) . f(x
II) < 0
2.
Realice una aproximación de la raíz haciendo:
3.
