S16 Matrices y determinantes

Matrices y determinantes

Matemática II

2014-2

Actividades de aprendizaje

En la presente sesión se espera que el estudiante logre los siguiente objetivos:

Identica y relaciona conceptos relacionados a las matrices y sus operaciones

Sustenta en forma oral y escrita los conceptos, relaciones, operaciones y los resultados de las operaciones entre matrices Resuelve situaciones problemáticas de contexto real

Matrices

Denición

Sean m,n∈N. Unamatrizes un arreglo bidimensional de m×n

elementos ordenados, en forma de tabla, por las y columnas. El número de las es m y el número de columnas es n

Ejemplo

1 5 3 3 2 10

2×₃ ,



  

20 −3 −3 12

0 8 6 4    

4×₂ ,



  

−2 7 −1,5 0

−6 25 4 π

2 −1 0 11

9 −2 −1 4



  

4×₄

Matrices

Denición

Sean m,n∈N. Unamatrizes un arreglo bidimensional de m×n

elementos ordenados, en forma de tabla, por las y columnas. El número de las es m y el número de columnas es n

Ejemplo

1 5 3 3 2 10

2×₃

, 

  

20 −3 −3 12

0 8 6 4    

4×₂

, 

  

−2 7 −1,5 0

−6 25 4 π

2 −1 0 11

9 −2 −1 4



  

4×₄

Matrices

Al elemento de una matriz A que está ubicado en la la i y en la columna j se le denota aij y se le llama entrada ij−ésima. De manera extensa, una matriz se escribe

A=



       

a11 a12 · · · a1j · · · a1n a21 a22 · · · a2j · · · a2n ... ... ... ... ai1 ai2 · · · aij · · · ain

... ... ... ... am1 am2 · · · amj · · · amn



       

m×n o, de manera simplicada,

A= [a_ij]

Matrices

Al elemento de una matriz A que está ubicado en la la i y en la columna j se le denota aij y se le llama entrada ij−ésima. De manera extensa, una matriz se escribe

A=



       

a11 a12 · · · a1j · · · a1n

a21 a22 · · · a2j · · · a2n

... ... ... ...

ai1 ai2 · · · aij · · · ain

... ... ... ...

am1 am2 · · · amj · · · amn 

       

m×n o, de manera simplicada,

A= [a_ij]

Matrices

Al elemento de una matriz A que está ubicado en la la i y en la columna j se le denota aij y se le llama entrada ij−ésima. De manera extensa, una matriz se escribe

A=



       

a11 a12 · · · a1j · · · a1n

a21 a22 · · · a2j · · · a2n

... ... ... ...

ai1 ai2 · · · aij · · · ain

... ... ... ...

am1 am2 · · · amj · · · amn 

       

m×n o, de manera simplicada,

A= [a_ij]

Matrices

Al elemento de una matriz A que está ubicado en la la i y en la columna j se le denota aij y se le llama entrada ij−ésima. De manera extensa, una matriz se escribe

A=



       

a11 a12 · · · a1j · · · a1n

a21 a22 · · · a2j · · · a2n

... ... ... ...

ai1 ai2 · · · aij · · · ain

... ... ... ...

am1 am2 · · · amj · · · amn 

       

m×n o, de manera simplicada,

A= [a_ij]

Se dice que una matriz tienedimensión(o tamaño, orden) m×n

Matrices

Ejemplo

Construya una matriz de 2 las y 3 columnas cuyas entradas cumplan con aij =i−2j

Matrices

Ejemplo

Construya una matriz de 3×2 cuyas entradas cumplan con

aij =

2i−j, si i ≥j

i−j, si i <j

Tipos de matrices

Una matriz es llamadacuadradasi el número de sus las y el número de sus columnas son iguales, es decir, m=n.

En una matriz cuadrada, los elementos aii constituyen ladiagonal

principal.

Una matriz de orden m×1 es llamadamatriz columna o vector columna.

Por ejemplo



  

1 0

−3

2



  

4×1

Una matriz de orden 1×n es llamadamatriz la o simplemente vector.

Por ejemplo

−3 4 0 −3 1

Tipos de matrices

Una matriz es llamadacuadradasi el número de sus las y el número de sus columnas son iguales, es decir, m=n.

En una matriz cuadrada, los elementos aii constituyen ladiagonal principal.

Una matriz de orden m×1 es llamadamatriz columna o vector columna.

Por ejemplo



  

1 0

−3

2



  

4×1

Una matriz de orden 1×n es llamadamatriz la o simplemente vector.

Por ejemplo

−3 4 0 −3 1

Tipos de matrices

Una matriz es llamadacuadradasi el número de sus las y el número de sus columnas son iguales, es decir, m=n.

En una matriz cuadrada, los elementos aii constituyen ladiagonal principal.

Una matriz de orden m×1 es llamadamatriz columna o vector

columna. Por ejemplo



  

1 0

−3

2



  

4×1

Una matriz de orden 1×n es llamadamatriz la o simplemente vector.

Por ejemplo

−3 4 0 −3 1

Tipos de matrices

Una matriz es llamadacuadradasi el número de sus las y el número de sus columnas son iguales, es decir, m=n.

En una matriz cuadrada, los elementos aii constituyen ladiagonal principal.

Una matriz de orden m×1 es llamadamatriz columna o vector

columna. Por ejemplo



  

1 0

−3

2



  

4×1

Una matriz de orden 1×n es llamadamatriz la o simplemente vector.

Por ejemplo

−3 4 0 −3 1

Tipos de matrices

Una matriz es llamadacuadradasi el número de sus las y el número de sus columnas son iguales, es decir, m=n.

En una matriz cuadrada, los elementos aii constituyen ladiagonal principal.

Una matriz de orden m×1 es llamadamatriz columna o vector

columna. Por ejemplo



  

1 0

−3

2



  

4×1

Una matriz de orden 1×n es llamadamatriz la o simplemente

vector. Por ejemplo

−3 4 0 −3 1

Tipos de matrices

Una matriz es llamadacuadradasi el número de sus las y el número de sus columnas son iguales, es decir, m=n.

En una matriz cuadrada, los elementos aii constituyen ladiagonal principal.

Una matriz de orden m×1 es llamadamatriz columna o vector

columna. Por ejemplo



  

1 0

−3

2



  

4×1

Una matriz de orden 1×n es llamadamatriz la o simplemente

vector. Por ejemplo

−3 4 0 −3 1

Matriz cero, Igualdad de matrices

Unamatriz nula, tambien llamadamatriz 0(cero), es aquella en la que todos sus elementos son ceros.

Ejemplo

La matriz 0=

0 0 0 0 0 0

, es una matriz nula de orden 2×3.

Denición

Dos matrices A= [a_ij]y B= [b_ij]son iguales si y solamente si

tienen el mismo orden m×n y se cumple a_ij =b_ij.

Ejemplo

La matriz A=

0 0 0 0

es diferente a la matriz B=

1 0 0 0

Matriz cero, Igualdad de matrices

Unamatriz nula, tambien llamadamatriz 0(cero), es aquella en la que todos sus elementos son ceros.

Ejemplo

La matriz 0=

0 0 0 0 0 0

, es una matriz nula de orden 2×3.

Denición

Dos matrices A= [a_ij]y B= [b_ij]son iguales si y solamente si

tienen el mismo orden m×n y se cumple a_ij =b_ij.

Ejemplo

La matriz A=

0 0 0 0

es diferente a la matriz B=

1 0 0 0

Matriz cero, Igualdad de matrices

Unamatriz nula, tambien llamadamatriz 0(cero), es aquella en la que todos sus elementos son ceros.

Ejemplo

La matriz 0=

0 0 0 0 0 0

, es una matriz nula de orden 2×3.

Denición

Dos matrices A= [a_ij]y B= [b_ij]son iguales si y solamente si tienen el mismo orden m×n y se cumple a_ij =b_ij.

Ejemplo

La matriz A=

0 0 0 0

es diferente a la matriz B=

1 0 0 0

Matriz cero, Igualdad de matrices

Unamatriz nula, tambien llamadamatriz 0(cero), es aquella en la que todos sus elementos son ceros.

Ejemplo

La matriz 0=

0 0 0 0 0 0

, es una matriz nula de orden 2×3.

Denición

Dos matrices A= [a_ij]y B= [b_ij]son iguales si y solamente si tienen el mismo orden m×n y se cumple a_ij =b_ij.

Ejemplo

La matriz A=

0 0 0 0

es diferente a la matriz B=

1 0 0 0

Matrices

Determine los valores de x, y, z y w, si se sabe que las matrices

x+y 1

−1 x−y

y

2 2u+v u+v 0

son iguales.

Transpuesta de una matriz

Denición

Dada una matriz A de orden m×n con entradas a_ij, lamatriz

transpuesta de A, denotada por At_{, es la matriz de orden n×m} que tiene por entradas aji

De forma práctica: Una matriz B es la transpuesta de una matriz A si la i-ésima columna de la matriz A es la i-ésima la de la matriz B. Ejemplo

Si A=





3 −1 2 0 1 5





3×2

entonces At₌ 3 2 1

−1 0 5

2×3

Transpuesta de una matriz

Denición

Dada una matriz A de orden m×n con entradas a_ij, lamatriz

transpuesta de A, denotada por At_{, es la matriz de orden n×m} que tiene por entradas aji

De forma práctica: Una matriz B es la transpuesta de una matriz A si la i-ésima columna de la matriz A es la i-ésima la de la matriz B. Ejemplo

Si A=





3 −1 2 0 1 5





3×2

entonces At₌ 3 2 1

−1 0 5

2×3

Transpuesta de una matriz

Denición

Dada una matriz A de orden m×n con entradas a_ij, lamatriz

transpuesta de A, denotada por At_{, es la matriz de orden n×m} que tiene por entradas aji

De forma práctica: Una matriz B es la transpuesta de una matriz A si la i-ésima columna de la matriz A es la i-ésima la de la matriz B. Ejemplo

Si A= 



3 −1

2 0 1 5



 3×2

entonces At₌ 3 2 1

−1 0 5

2×3

Suma de matrices

Denición

Dadas dos matricesde la misma dimensión, A= [aij]_m×n y

B= [b_ij]_m×n, se dene lamatriz suma de A y B como

A+B= [aij+bij]_m×n.

Ejemplo

Si A=

4 −1 3 0 −5 2

2×₃ y B=

2 −3 −1 6 4 −3

2×₃

entonces

A+B=

6 −4 2 6 −1 −1

2×3

Observación:

Suma de matrices

Denición

Dadas dos matricesde la misma dimensión, A= [aij]_m×n y

B= [b_ij]_m×n, se dene lamatriz suma de A y B como

A+B= [aij+bij]_m×n.

Ejemplo

Si A=

4 −1 3

0 −5 2

2×₃

y B=

2 −3 −1

6 4 −3

2×₃

entonces

A+B=

6 −4 2

6 −1 −1

2×3

Observación:

Suma de matrices

Denición

Dadas dos matricesde la misma dimensión, A= [aij]_m×n y

B= [b_ij]_m×n, se dene lamatriz suma de A y B como

A+B= [aij+bij]_m×n.

Ejemplo

Si A=

4 −1 3

0 −5 2

2×₃

y B=

2 −3 −1

6 4 −3

2×₃

entonces

A+B=

6 −4 2

6 −1 −1

2×3

Observación:

Producto de una matriz por un número real

Dado un número real k∈Ry una matriz A= [aij]_m×_n, se dene el

producto de un número real por una matrizcomo kA= [kaij]_m×n

Ejemplo

Si A=

3 2 1

−1 0 5

2×₃

entonces 5A=

15 10 5 −5 0 25

2×₃

Denición

Dada una matriz A, lamatriz opuesta de Aes −A

Ejemplo

La matriz opuesta de

0 −2 1 −3 0 4

es

0 2 −1 3 0 −4

Producto de una matriz por un número real

Dado un número real k∈Ry una matriz A= [aij]_m×_n, se dene el

producto de un número real por una matrizcomo kA= [kaij]_m×n

Ejemplo

Si A=

3 2 1

−1 0 5

2×₃

entonces 5A=

15 10 5

−5 0 25

2×₃

Denición

Dada una matriz A, lamatriz opuesta de Aes −A

Ejemplo

La matriz opuesta de

0 −2 1 −3 0 4

es

0 2 −1 3 0 −4

Producto de una matriz por un número real

Dado un número real k∈Ry una matriz A= [aij]_m×_n, se dene el

producto de un número real por una matrizcomo kA= [kaij]_m×n

Ejemplo

Si A=

3 2 1

−1 0 5

2×₃

entonces 5A=

15 10 5

−5 0 25

2×₃

Denición

Dada una matriz A, lamatriz opuesta de Aes −A

Ejemplo

La matriz opuesta de

0 −2 1 −3 0 4

es

0 2 −1 3 0 −4

Producto de una matriz por un número real

Dado un número real k∈Ry una matriz A= [aij]_m×_n, se dene el

producto de un número real por una matrizcomo kA= [kaij]_m×n

Ejemplo

Si A=

3 2 1

−1 0 5

2×₃

entonces 5A=

15 10 5

−5 0 25

2×₃

Denición

Dada una matriz A, lamatriz opuesta de Aes −A

Ejemplo

La matriz opuesta de

0 −2 1

−3 0 4

es

0 2 −1

3 0 −4

Propiedades

Propiedades de la suma de matrices: A + B = B + A (Propiedad conmutativa)

A + (B + C) = (A + B) + C (Propiedad asociativa) A + 0 = 0+A=A, donde 0 es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A (Existencia del neutro aditivo). A + (-A) = 0 (existencia del inverso aditivo

Propiedades de la multiplicación de una matriz por un número real:

Seanα y β números reales, y A, B matrices de orden m×n, entonces se cumple

α·(β·A) = (α·β)·A

α·(A+B) =α·A+α·B

Propiedades

Propiedades de la suma de matrices: A + B = B + A (Propiedad conmutativa)

A + (B + C) = (A + B) + C (Propiedad asociativa) A + 0 = 0+A=A, donde 0 es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A (Existencia del neutro aditivo). A + (-A) = 0 (existencia del inverso aditivo

Propiedades de la multiplicación de una matriz por un número real:

Seanα y β números reales, y A, B matrices de orden m×n, entonces se cumple

Álgebra de matrices

Si A=

−1 2

0 −1

y B=

−11 1

3 1

, determine A−3B.

Ejemplo 2

Si A=

1 2

0 −1

y B =

1 −3 4 1

, determine A+At,−B+Bt y

3Bt_−4At_+3A.

Álgebra de matrices

Si A=

−1 2

0 −1

y B=

−11 1

3 1

, determine A−3B.

Ejemplo 2

Si A=

1 2

0 −1

y B =

1 −3

4 1

, determine A+At,−B+Bt y 3Bt_−4At_+3A.

Multiplicación de matrices

La multiplicación entre dos matrices A y B sólo se puede realizar si el número de columnas de A coincide con el número de las de B.

Multiplicación de matrices

La multiplicación entre dos matrices A y B sólo se puede realizar si el número de columnas de A coincide con el número de las de B.

Multiplicación de matrices

Denición

Sea A una matriz m×n y sea B una matriz n×p, entonces el

producto AB es la matriz Cm×_p cuyos elementos c_ij cumplen:

cij = n

∑

k=1

a_ikb_kj=a_i1b_1j+a_i2b_2j+ · · · +a_inb_nj

De forma práctica: el elemento cij de la matriz producto se obtiene

multiplicando cada elemento de la la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Ejemplo

Si A=





2 5 3

3 2 −1 0 −1 4



y B= 

 2 4 −1



entonces AB= 

 21 15 −8



Multiplicación de matrices

Denición

Sea A una matriz m×n y sea B una matriz n×p, entonces el

producto AB es la matriz Cm×_p cuyos elementos c_ij cumplen:

cij = n

∑

k=1

a_ikb_kj=a_i1b_1j+a_i2b_2j+ · · · +a_inb_nj

De forma práctica: el elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Ejemplo

Si A=





2 5 3

3 2 −1 0 −1 4



y B= 

 2 4 −1



entonces AB= 

 21 15 −8



Multiplicación de matrices

Denición

Sea A una matriz m×n y sea B una matriz n×p, entonces el

producto AB es la matriz Cm×_p cuyos elementos c_ij cumplen:

cij = n

∑

k=1

a_ikb_kj=a_i1b_1j+a_i2b_2j+ · · · +a_inb_nj

De forma práctica: el elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la la i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Ejemplo

Si A= 



2 5 3

3 2 −1

0 −1 4



y B=



 2 4

−1



entonces AB= 

 21 15

−8



Multiplicación de matrices

Si A=

4

−2

y B= 1 4 −3

entonces

AB=

4 16 −12

−2 −8 6

Ejemplo

Si A= 5 −3 2 y B=



 0 4 6



entonces AB=

0

Multiplicación de matrices

Si A=

4

−2

y B= 1 4 −3

entonces

AB=

4 16 −12

−2 −8 6

Ejemplo

Si A= 5 −3 2 y B=



 0 4 6



entonces AB=

0

Matriz identidad

Una matriz identidad es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son todos uno y las demás entradas son todas cero.

Se les denota por In×n o simplemente In.

Ejemplo

I2=

1 0 0 1

, I3=





1 0 0 0 1 0 0 0 1





Observación:

Las matrices identidad siempre son matrices cuadradas.

Matriz identidad

Una matriz identidad es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son todos uno y las demás entradas son todas cero.

Se les denota por In×n o simplemente In.

Ejemplo

I2=

1 0 0 1

, I3= 



1 0 0 0 1 0 0 0 1





Observación:

Las matrices identidad siempre son matrices cuadradas.

Matriz identidad

Una matriz identidad es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son todos uno y las demás entradas son todas cero.

Se les denota por In×n o simplemente In.

Ejemplo

I2=

1 0 0 1

, I3= 



1 0 0 0 1 0 0 0 1





Observación:

Las matrices identidad siempre son matrices cuadradas.

Propiedades de la Multiplicación de matrices

1 ₍AB₎C ₌A₍BC₎ 2 A(B+C) =AB+AC

3 (A₊B)C ₌AC₊BC 4 _(αA₎B₌A_(αB_{) =α(}AB₎ 5 AI =IA=A

Observación:

En todas las propiedades anteriores se supone que el producto está bien denido.

Ejemplo

Si A=

2 0 3

4 1 −1

entonces I2A=AI3=A

Observación:

Propiedades de la Multiplicación de matrices

1 ₍AB₎C ₌A₍BC₎ 2 A(B+C) =AB+AC

3 (A₊B)C ₌AC₊BC 4 _(αA₎B₌A_(αB_{) =α(}AB₎ 5 AI =IA=A

Observación:

En todas las propiedades anteriores se supone que el producto está bien denido.

Ejemplo

Si A=

2 0 3

4 1 −1

entonces I2A=AI3=A

Observación:

Propiedades de la Multiplicación de matrices

1 ₍AB₎C ₌A₍BC₎ 2 A(B+C) =AB+AC

3 (A₊B)C ₌AC₊BC 4 _(αA₎B₌A_(αB_{) =α(}AB₎ 5 AI =IA=A

Observación:

En todas las propiedades anteriores se supone que el producto está bien denido.

Ejemplo

Si A=

2 0 3

4 1 −1

entonces I2A=AI3=A

Observación:

Propiedades de la Multiplicación de matrices

1 ₍AB₎C ₌A₍BC₎ 2 A(B+C) =AB+AC

3 (A₊B)C ₌AC₊BC 4 _(αA₎B₌A_(αB_{) =α(}AB₎ 5 AI =IA=A

Observación:

En todas las propiedades anteriores se supone que el producto está bien denido.

Ejemplo

Si A=

2 0 3

4 1 −1

entonces I2A=AI3=A

Observación:

Determinantes

A toda matriz cuadrada A se le asocia un único número real llamado sudeterminante, el cual se denota pordet A o por |A|

Si A= [a₁₁]entonces det A=a₁₁

Si A=

a11 a12

a21 a22

entonces det A=a₁₁a₂₂−a₂₁a₁₂

Si A=





a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33



, entonces

detA=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₃₁a₂₂a₁₃−a₁₁a₃₂a₂₃−a₂₁a₁₂a₃₃ ¾Existen formas más prácticas de hallar el determinante de

Determinantes

A toda matriz cuadrada A se le asocia un único número real llamado sudeterminante, el cual se denota pordet A o por |A|

Si A= [a11]entonces det A=a11

Si A=

a11 a12

a21 a22

entonces det A=a₁₁a₂₂−a₂₁a₁₂

Si A=





a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33



, entonces

detA=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₃₁a₂₂a₁₃−a₁₁a₃₂a₂₃−a₂₁a₁₂a₃₃ ¾Existen formas más prácticas de hallar el determinante de

Determinantes

A toda matriz cuadrada A se le asocia un único número real llamado sudeterminante, el cual se denota pordet A o por |A|

Si A= [a11]entonces det A=a11

Si A=

a11 a12 a21 a22

entonces det A=a11a22−a21a12

Si A=





a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33



, entonces

detA=a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂−a₃₁a₂₂a₁₃−a₁₁a₃₂a₂₃−a₂₁a₁₂a₃₃ ¾Existen formas más prácticas de hallar el determinante de

Determinantes

A toda matriz cuadrada A se le asocia un único número real llamado sudeterminante, el cual se denota pordet A o por |A|

Si A= [a11]entonces det A=a11

Si A=

a11 a12 a21 a22

entonces det A=a11a22−a21a12

Si A= 



a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33



, entonces

detA=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a31a22a13−a11a32a23−a21a12a33

Determinantes

A toda matriz cuadrada A se le asocia un único número real llamado sudeterminante, el cual se denota pordet A o por |A|

Si A= [a11]entonces det A=a11

Si A=

a11 a12 a21 a22

entonces det A=a11a22−a21a12

Si A= 



a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33



, entonces

detA=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a31a22a13−a11a32a23−a21a12a33

Determinantes

Forma práctica de calcular el determinante de una matriz 3×3 : Regla de Sarrus

Pierre Sarrus (Saint-Arique, 1798- id., 1861) Matemático francés. Profesor en la Universidad de Estrasburgo, demostró el lema fundamental del cálculo de variaciones y publicó numerosas obras sobre la resolución de ecuaciones de varias incógnitas. Se le debe la regla de Sarrus, para el cálculo de determinantes. Destaca su obra Método para hallar las condiciones de integrabilidad de una

Determinantes

Determinantes

Determinantes

1 2 4 3 2 3 1 1 1

  c. det  

−2 0 1

4 −2 5

0 −1 3



