Capítulo 5.5 - Corriente alterna

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(1)aletos. TEMA 6 CORRIENTE. Física para Ciencias e Ingeniería. 6.1. ALTERNA. 6.1 Producción de corriente alterna. Para que circule permanentemente una corriente eléctrica en el seno de un conductor metálico es necesario mantener un campo eléctrico en su interior, lo cual requiere una aportación de energía por parte de algún dispositivo exterior que denominamos generador de fuerza electromotriz. Si el sentido del campo eléctrico es siempre el mismo, aunque varíe su intensidad, la corriente que producirá será constantemente del mismo sentido, y se denomina corriente continua. Si el sentido del campo eléctrico se invierte continuamente, el sentido de la corriente se invertirá igualmente, y entonces se denomina corriente alterna. Vamos a analizar la producción y características de esta clase de corrientes, y, para ello, nos vamos a limitar al estudio de un tipo sencillo de corriente alterna, que es aquél en el que la intensidad varía armónicamente con el tiempo, es decir, la intensidad es una función seno o coseno del tiempo, y, por tanto, periódica. Supongamos que hay devanadas N espiras de hilo conductor sobre un soporte cilíndrico, de pequeña longitud, el cual está montado sobre un eje aislante, que gira con una velocidad angular constante ω , en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme B. Los extremos del devanado están unidos a dos anillos metálicos solidarios con el eje y aislados entre sí. La f.em. inducida en el devanado puede utilizarse en un circuito exterior mediante dos escobillas e1 y e2 conectadas a los anillos metálicos, como muestra la figura 6.1 B ωt. A e1. La superficie de cada espira la representaremos por un vector normal al plano de la espira, de módulo igual al área de la espira, A, y cuyo sentido, en principio, es arbitrario. Si empezamos a contar el tiempo en el instante en que el vector A coincide con el vector B, t segundos después el ángulo formado por ambos vectores será, θ = ωt, y el flujo del campo magnético a través de una espira de la bobina, en ese instante, es   Φ1 = ∫ B ⋅da = ∫ B da cos θ = BAcos θ = BA cos ωt [6.1] S. e2. ω FIG. 6-1. S. Hay que hacer notar que la integral anterior es una integral de superficie, y, por tanto, el ángulo θ que forma cada vector que representa a un elemento de superficie de la espira, da, con el vector B, aunque varía con el tiempo, es el mismo, en un instante dado, para todos los elementos de superficie de una espira.. El flujo magnético a través de las N espiras se obtiene multiplicando, el flujo a través de una espira, Φ1, por el número N de espiras, ya que, al ser el soporte cilíndrico de longitud muy pequeña, todas las espiras se encuentran, en cada instante, en las mismas condiciones, por tanto,. Φ = N Φ1 = NBA cos θ = NBA cos ωt. [6.2]. Y, puesto que se trata de un flujo que varía con el tiempo, se induce en la bobina una fuerza electromotriz, que viene expresada por la ley de Faraday y de Lenz,. ε = − dΦ = NBAω sen ωt = ε. 0. dt. sen ωt. [6.3]. La fuerza electromotriz inducida ε, alcanzará su valor máximo absoluto en los instantes en los que la función sen ωt sea máxima o mínima, es decir cuando su valor sea ± 1. Por tanto, si designamos por ε0 al valor máximo absoluto de ε,. ε. 0. = NBAω. [6.4]. queda, como expresión de la fuerza electromotriz inducida en la bobina,. ε =ε. 0. sen ωt. [6.5]. Si dibujamos su gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas, tomando valores de ωt sobre el eje de abscisas, y valores de ε sobre el eje de ordenadas, se obtiene la gráfica de la figura 6.2 Se observa que la fuerza electromotriz, que comienza siendo nula, aumenta hasta el valor máximo +ε0, luego disminuye hasta anularse en el instante en que ωt = π, se invierte su sentido y alcanza el valor máximo –ε0 para ωt = 3π/2, y disminuye hasta anularse nuevamente para ωt = 2π. A partir de este instante se repite nuevamente todo el proceso con idénticas características..

(2) 6.2. aletos. TEMA 6 CORRIENTE. Física para Ciencias e Ingeniería. ALTERNA. ε0 sen ωt. +ε0. O. π/2. π. 3π/2. 2π. ωt. -ε0 FIG. 6-2. Se trata por tanto de una función periódica del tiempo, cuyo sentido se invierte regularmente, de forma que los terminales les e1 y e2 son, alternativamente, positivo y negativo, respectivamente. Por esta razón, a la fuerza electromotriz generada se le denomina fuerza electromotriz alterna. Todo dispositivo, que produzca una f.e.m. de estas características, se denomina generador de f.e.m. alterna, o alternador. El intervalo de tiempo, T, al cabo del cual se repite todo el proceso, se denomina periodo. De forma que: ωT = 2π. La variación de la f.e.m. alterna entre 0 y 2π se suele designar como ciclo. En la práctica, se suele caracterizar la f.e.m. alterna por su frecuencia, definiéndose ésta como la inversa del periodo. Se suele designar por f, o por n: 1 f =ν = [6.6] T y se mide en segundos–1 o en hertzios. La frecuencia representa el número de veces que se repite un ciclo completo en cada segundo. Por esta razón se suele expresar también en ciclos por segundo, o simplemente en ciclos. La velocidad angular, ω, del dispositivo que genera la f.e.m. alterna, se suele medir en radianes por segun do, si bien, debería expresarse igualmente en segundos–1, ya que el radián no tiene dimensiones físicas. Recuérdese que el número de radianes de un ángulo se obtiene dividiendo la longitud de un arco correspondiente a dicho ángulo, por la longitud del radio con el que ha sido trazado. Por tanto, la unidad de ángulos que denominamos radián es un número abstracto que representa el número de veces que está contenida la longitud del radio en la del arco, y es, pues, una magnitud sin dimensiones.. Por esta razón suele denominarse, también, a ω , como frecuencia angular o, simplemente, frecuencia, lo que puede originar cierta confusión con la frecuencia f, o ν, que se ha definido como la inversa del periodo. En ese caso, a esta última se le denomina frecuencia natural o frecuencia propia. La denominación que suele darse a w, varía de unos textos a otros. Se le suele llamar también pulsación. Como es lógico, no procede mantener para designar a ω la denominación de “velocidad angular” al referirnos a la f.e.m. alterna. Para evitar confusiones, denominaremos, en lo sucesivo, a ω, frecuencia angular, y a la inversa del periodo, f, simplemente, frecuencia. De todo lo anterior se deduce que,. ω=. 2π = 2π f T. Si, en el instante en que comenzamos a contar el tiempo, los vectores A y B forman un ángulo a, la expresión general de la fuerza electromotriz inducida en la bobina es:. ε0 sen (ωt+a). +ε0. O. π/2. π. -ε0. [6.7]. 3π/2. ωt 2π. ε =ε. 0. sen(ωt + α). [6.8]. cuya gráfica queda desplazada, respecto de la anterior, en una distancia α, medida sobre el eje de abscisas, como indica la figura 6.3. La función del tiempo wt+α, recibe el nombre de fase de la fuerza electromotriz, y α, que debe expresarse en radianes, el de corrección de fase.. FIG. 6-3. Debe quedar claro que α no depende de ninguna característica física del dispositivo descrito anteriormente. Solamente depende del instante en que comencemos a contar el tiempo para estudiar el fenómeno físico. 6.2 Circuitos de corriente alterna. La fuerza electromotriz inducida en la bobina del dispositivo descrito anteriormente da lugar a una diferencia de potencial alterna, o tensión alterna, entre los extremos de la misma, e1 y e2. Si dichos extremos están sueltos no circula corriente puesto que el circuito está abierto..

(3) aletos. TEMA 6 CORRIENTE. Física para Ciencias e Ingeniería. 6.3. ALTERNA. Para cerrar el circuito basta unir los terminales e1 y e2 a dos anillos metálicos que giran solidariamente con el eje aislante, y conectar a ellos dos escobillas, que podemos unir por medio de un conductor de resistencia R. El circuito queda representado por la figura 6.4.. ε. Si la f.e.m. del generador es ε(t) = ε0, sen ωt, y si suponemos que su resistencia interna es nula, aplicando la ley de Ohm al circuito, se obtiene:. i(t) = R FIG. 6-4. donde I 0 =. ε. 0. R. ε(t) = ε R. 0. R. sen ωt = I 0 sen ωt. [6.9]. representa el valor máximo de la intensidad i(t). A partir de ahora designaremos por ε(t), e i(t), los valores instantáneos de la f.e.m. e intensidad, respectivamente, para indicar que son funciones del tiempo. +ε0. ε0 sen ωt. +I0 O. I0 sen ωt. π/2. π. –I0 -ε 0 FIG. 6-5. 3π/2. 2π. ωt. A la vista de la expresión anterior, se deduce que la intensidad de la corriente, que circula por la resistencia R, varía también armónicamente con el tiempo, según una función sinusoidal, con la misma frecuencia y fase que las de la f.e.m. del generador. Es la intensidad de una corriente alterna. Si representamos ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas, se obtiene la gráfica de la figura 6.5. En este caso, la f.e.m. del generador y la intensidad de la corriente están en fase.. Esto significa que la intensidad experimenta las mismas variaciones que la f.e.m. en los mismos instantes. Es decir, la intensidad se anula, alcanza su valor máximo, vuelve a anularse, se hace máxima en sentido contrario, y finalmente, vuelve a anularse, completando así un ciclo, en los mismos instantes en los que la f.e.m. toma esos valores. Es el caso más sencillo de una corriente alterna sinusoidal, y el circuito descrito es el más simple de los circuitos en serie de corriente alterna, que se pueden estudiar. 6.3 Circuito RLC. Vamos a estudiar el caso más general de un circuito en serie, que corresponde a un circuito en el que están conectados entre los bornes del generador, un conductor de resistencia R, una bobina cuyo coeficiente de autoinducción es L, y un condensador de capacidad C. Supongamos que en un instante dado la polaridad de los bornes del generador y el sentido de la corriente son los indicados en la figura 6.6. Por consiguiente, están saliendo electrones de la armadura a del condensador, I y se dirigen a través del generador hacia la armadura b. En consecuencia, la armadura a se está cargando positivamente y la b, negativamente. Al cabo de un tiempo igual a un semiperiodo, se invierte la polaridad del generador y el sentido de la corriente; por lo tanto, salen electrones libres de la armadura b y se dirigen a través del generador hacia la armadura a, y ésta se R L C cargará negativamente, y la b, positivamente. Transcurrido otro intervalo de tiempo igual a un semiperiodo vuelve a repetirse todo el proceso. FIG. 6-6 De modo que los electrones libres circulan, oscilando de una armadura a la otra, siempre a través del generador. Se suele decir, para contrastar el comportamiento de un condensador conectado a un generador de f.e.m. continua, y el de otro, conectado a un generador de f.e.m. alterna, que “un condensador no deja pasar, a su través, la corriente continua, mientras que permite el paso de la corriente alterna”. Se debe tener cuidado al interpretar estas afirmaciones, puesto que Un condensador no permite pasar, a su través, la corriente continua ni la alterna.. Entre las armaduras de un condensador existe el vacío, el aire, o, lo que es más frecuente en la práctica, un dieléctrico. Ninguno de estos elementos es conductor en condiciones normales. A menos que la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador alcance valores muy altos, no se producirá el paso de carga a través del vacío, del aire, o de un dieléctrico..

(4) aletos. TEMA 6. 6.4. CORRIENTE. Física para Ciencias e Ingeniería. ALTERNA. Para que se produjera un paso de cargas en el aire, se necesitaría que el campo eléctrico entre las armaduras de un condensador alcanzase una intensidad del orden de 3.106 V/m., lo que no es habitual. Para un dieléctrico, tal como el vidrio, sería preciso un campo eléctrico dos o tres veces mayor. Para hallar la expresión de la intensidad de la corriente que circula en este caso por el circuito, vamos a suponer que la f.e.m. del generador es ε(t) = ε0 cos ωt [6.10] Esta expresión difiere de la que consideramos al comienzo del estudio de la f.e.m. alterna, en que aparece la función coseno en lugar de la función seno. En realidad es el mismo tipo de f.e.m. alterna. Basta considerar que hemos comenzado a contar el tiempo con un retraso de un cuarto de periodo. Si aplicamos la ley general de Ohm para hallar la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador en el instante t, abarcando la porción de circuito que comprende la armadura b, el generador, la autoinducción y la armadura a, obtenemos Ri(t) = ε(t)+ εi −(Va −Vb ). [6.11]. expresión en la que. ε(t) = ε. 0. ε. i. = −L. cos ωt es la f.e.m. alterna del generador.. di(t) dt. Va −Vb =. q(t) C. es la f.e.m. inducida en la bobina originada por la variación de la intensidad de la corriente con el tiempo es la diferencia de potencial, o tensión, entre las armaduras del condensador.. Sustituyendo las relaciones anteriores en [6.11]. Ri(t) = ε0 cos ωt − L. di(t) q(t) − dt C. [6.12]. y reagrupando términos di(t) q(t) + Ri(t)+ = ε0 cos ωt [6.13] dt C En esta ecuación diferencial aparecen relacionadas las variables, i(t), q(t) y el tiempo t. Para poder resolverla hay que eliminar una de ellas. Para ello, basta derivar la expresión anterior respecto del tiempo, L. di(t) 1 dq(t) + = −ε0ω sen ωt dt C dt dt y teniendo en cuenta que en el instante considerado la carga del condensador está aumentando, L. d 2i(t) 2. +R. dq(t) = i(t) dt. [6.14]. [6.15]. que, sustituida en [6.14], da L. d 2i(t) dt 2. +R. di(t) 1 + i(t) = −ε0ω sen ωt dt C. [6.16]. Se obtiene así una ecuación diferencial de segundo orden, cuya resolución queda fuera de nuestro alcance, pero podemos comprobar que su solución es: i(t) =. ε. cos(ωt − θ )+ Ae −Bt. 0. R 2 −(Lω −. 1 Cω. )2. [6.17]. donde. θ = arc tg. Lω −. 1. Cω R. [6.18]. Para comprobar que la expresión anterior es la solución de la ecuación diferencial [6.16], basta hallar la primera y segunda derivada de i(t ) respecto del tiempo, y sustituirlas, junto con i(t ) en dicha ecuación diferencial. Se comprueba que se cumple la igualdad..

(5) aletos. TEMA 6 CORRIENTE. Física para Ciencias e Ingeniería. 6.5. ALTERNA. Vamos a interpretar el resultado obtenido. Consideremos en primer lugar, el término A.e–Bt. Las constantes A y B dependen de las constantes, R, L, C y de las condiciones iniciales del circuito, es decir, de los valores de ε(t), i(t), di(t)/dt, y q(t) en el instante en que comenzamos a contar el tiempo. El factor e–Bt disminuye exponencialmente con el tiempo, y, al cabo de un tiempo muy corto, se hace lo suficientemente pequeño como para suponerlo despreciable. Este término representa una corriente transitoria, y, aunque en algunos casos las tensiones y corrientes transitorias pueden ser importantes, no lo tendremos en cuenta. El término restante representa la solución del llamado régimen estacionario. Se observa que la intensidad de la corriente i(t) en el régimen estacionario es una corriente alterna que varía armónicamente con el tiempo, con la misma frecuencia angular, ω, que la f.e.m. del generador, pero con una diferencia de fase θ. Podemos definir la intensidad máxima de la corriente, I0, como. ε. I0 =. 0. R 2 −(Lω −. 1 Cω. [6.19]. )2. y escribir la expresión [6.17] de la intensidad en la forma i(t) = I 0 cos(ωt − θ ). [6.20]. Para hacer más manejables las expresiones de la intensidad i(t) y de la diferencia de fase θ , se definen las siguientes magnitudes: reactancia inductiva o inductancia. X L = Lω. [6.21]. reactancia capacitiva o capacitancia. XC =. 1 Cω. [6.22]. reactancia. X = X L − XC = Lω −. impedancia. Z = R 2 + X 2 = R 2 +(X L − XC )2 = R 2 +(Lω −. 1 Cω. [6.23] 1 2 ) Cω. [6.24]. La resistencia R, las reactancias X L, XC y X, y la impedancia Z se miden en ohmios. El coeficiente de autoinducción L, en henrios y la capacidad C del condensador en faradios. Con la introducción de estas nuevas magnitudes se puede escribir, ahora, la intensidad máxima de la corriente, I0, de la siguiente forma:. I0 =. ε. 0. R 2 +(Lω −. =. 1 Cω. )2. ε. 0. R +(X L − XC ) 2. 2. =. ε. 0. R +X 2. 2. =. ε. 0. Z. [6.25]. Esta expresión suele denominarse ley de Ohm para una corriente alterna. El desfase existente entre la intensidad y la f.e.m. alternas, se puede expresar como. θ = arc tg. 1 C ω = arc tg X L − XC = arc tg X R R R. Lω −. [6.26]. donde pueden darse tres situaciones, según que la reactancia inductiva XL sea mayor, igual o menor que la reactancia capacitiva, XC. Vamos a analizar el significado físico de cada una de ellas., y para ello recordemos que las expresiones de ε(t) y de i(t) son. ε(t) = ε. 0. cos ωt. i(t) = I 0 cos(ωt − θ ).

(6) 6.6. aletos. TEMA 6 CORRIENTE. Física para Ciencias e Ingeniería. ALTERNA. Si XL > XC, es θ > 0. La fase de la intensidad es menor que la de la f.e.m. y se dice que. +ε0 +I0. la intensidad está en retraso de fase respecto de la f.e.m.,. O. π/2. π. 3π/2. 2π. ωt. –I0. la f.e.m. está en adelanto de fase respecto de la intensidad.. Esto significa que la intensidad alcanza los valores máximos, mínimos, y se anula en instantes posteriores a los correspondientes a la f.e.m., como indica la figura 6.7.. θ. -ε0. o bien que. FIG. 6-7 Si XL = XC, es θ = 0. En este caso, la fase de la intensidad es la misma que la de la f.e.m., y se dice que. +ε0 +I0. la intensidad y la f.e.m. están en fase.. π/2. O. 3π/2. π. 2π. ωt. –I0 -ε0 FIG. 6-8. Esta situación se conoce como resonancia, y, en estas condiciones, la impedancia Z del circuito se reduce a su resistencia, R, ya que XL = XC. Si la resistencia es pequeña, la intensidad puede alcanzar valores muy elevados, y la diferencia de potencial entre los bornes de la autoinducción y del condensador puede aumentar considerablemente. La situación es la indicada en la figura 6.8.. Hay que advertir que el ángulo de desfase θ, puede ser nulo sin que corresponda a una situación de resonancia. Tal es el caso en que, XL = XC = 0. Si XL < XC, es θ < 0 +ε0. Al ser el ángulo q negativo la fase de la intensidad es mayor que la de la f.e.m. y se dice que. +I0. la intensidad está en adelanto de fase respecto de la f.e.m.,. π/2. O. π –I0 -ε0. θ FIG. 6-9. 3π/2. 2π. ωt. o bien que la f.e.m. está en retraso de fase respecto de la intensidad.. Esto significa que la intensidad alcanza los valores máximos, mínimos, y se anula en instantes anteriores a los correspondientes a la f.e.m., como indica la figura 6.9.. Puesto que consideraremos siempre que los generadores son ideales, es decir, que no tienen impedancia interna, podemos sustituir la f.e.m. alterna de un generador por la diferencia de potencial entre sus bornes. Esta última también se denomina voltaje o tensión. De modo que en lugar de la f.e.m. alterna, ε = ε0 cos(ωt + α) es frecuente utilizar la función v(t) =V0 cos(ωt + α). [6.27]. Conviene advertir asimismo que El ángulo q, al que hemos llamado corrección de fase, o simplemente desfase, es la diferencia entre las fases de la f.e.m. o voltaje del generador y la de la intensidad. Siempre en este orden, y siempre que la f.e.m., o voltaje, del generador y la intensidad de la corriente sean funciones armónicas del tiempo idénticas. Es decir, las dos deben ser funciones seno, o las dos, funciones coseno..

(7) aletos. TEMA 6. Física para Ciencias e Ingeniería. CORRIENTE. 6.7. ALTERNA. Si no fuese así, se debe expresar la intensidad de la corriente en función del tiempo por medio de la misma función armónica que figure en la expresión de la f.e.m. o voltaje del generador. Esto siempre será posible, si se utilizan las relaciones existentes entre las razones trigonométricas de los ángulos que suman 90º o difieren en 90º. Habrá que tener cuidado igualmente de comprobar que los signos que anteceden a los valores máximos o amplitudes, de la f.e.m. o voltaje del generador, y de la intensidad, sean iguales. Es decir, ambos positivos, o ambos negativos. Ejemplo 1. Si entre los elementos de un circuito en serie se establece un voltaje alterno dado por: v(t) = 150 cos (500t + 10º) voltios, y circula por ellos una corriente de intensidad: i(t) = 13 cos (500t - 53º) amperios, el desfase θ, es:. θ = (500t + 10º) – (500t – 53º) =500t + 10º – 500t + 53º = 63º El signo positivo de θ significa que, en este caso, la intensidad está en retraso de fase respecto del voltaje, o bien que el voltaje está en adelanto de fase respecto de la intensidad. Ejemplo 2. Entre los terminales de un circuito en serie se establece un voltaje: v(t) = 200 sen (2000t + 50º) voltios, y circula una corriente de intensidad: i(t) = 4 cos (2000t + 13º) amperios. Para calcular el desfase θ, hay que expresar la intensidad como función sen (2000t + 13º). Para ello podemos escoger entre las siguientes relaciones: cos (2000t + 13º) = sen [90º – (2000t + 13º)] = sen (90º - 2000t – 13º) = sen (77º – 2000t), o bien: cos (2000t + 13º) = sen [(2000t + 13º) + 90º] = sen (2000t + 103º) Escogeremos ésta última, puesto que el término que contiene a la variable tiempo, 2000t, debe figurar con signo positivo. De modo que las expresiones del voltaje e intensidad quedan como sigue:. y la diferencia de fase es:. v(t) = 200 sen (2000t + 50º) voltios, i(t) = 4 sen (2000t + 103º) amperios,. θ = (2000t + 50º) – (2000t + 103º) = 2000t + 50º – 2000t – 103º = – 53º El signo negativo significa que la intensidad está en adelanto de fase respecto del voltaje, o lo que es igual, que el voltaje está en retraso de fase respecto de la intensidad. Ejemplo 3. El voltaje y la intensidad de un circuito en serie están dados, respectivamente, por: v(t) = 350 cos (3000t – 10º) voltios, i(t) = –12’5 cos (3000t – 55º) amperios. Para hallar la diferencia de fase hay que expresar la intensidad de forma que su amplitud o valor máximo de la misma sea positivo. Para ello basta considerar que: – cos (3000t – 55º) = cos [180º – (3000t – 55)] = cos(180º – 3000t + 55º) = cos (235º – 3000t) o bien:. – cos (3000t – 55º) = cos [(3000t – 55º) + 180º] = cos (3000t + 125º).. Puesto que en esta última expresión figura el término, 3000t, que contiene a la variable tiempo, con signo positivo, utilizaremos dicha función en la expresión de la intensidad. Así pues: v(t)= 350 cos (3000t – 10º) voltios, i(t) = 12’5 cos (3000t + 125º) amperios.

(8) 6.8. aletos. TEMA 6 CORRIENTE. Física para Ciencias e Ingeniería. ALTERNA. y el desfase es:. θ = (3000t – 10º) – (3000t + 125º) = 3000t – 10º – 3000t - 125º = – 135º El signo negativo significa que la intensidad está en adelanto de fase respecto del voltaje, o lo que es igual, que el voltaje está en retraso de fase respecto de la intensidad. 6.4 Potencia de una corriente alterna. La energía suministrada a un circuito por un generador de f.e.m. alterna, en un intervalo de tiempo elemental, dt, viene dada por la misma expresión que para un circuito de corriente continua:. dW = e(t)i(t)dt. [6.28]. con la salvedad de que en este caso, la f.e.m. del generador y la intensidad de la corriente son funciones armónicas del tiempo. Si suponemos que dichas expresiones son: e(t) = ε0 cos ωt. [6.29]. i(t) = I 0 cos(ωt − θ ). la energía vendrá dada por:. dW = e(t)i(t)dt = ε0 cos ωt ⋅ I 0 cos(ωt − θ ) dt = ε0I 0 cos ωt ⋅ cos(ωt − θ )dt. [6.30]. La energía suministrada durante un intervalo finito de tiempo, tf – ti, será, por tanto: t. Wt f = i. tf. ∫ εI ti. 0 0. cos ωt ⋅ cos(ωt − θ ) dt = ε0I 0. ∫. tf ti. cos ωt ⋅ cos(ωt − θ ) dt. La potencia instantánea suministrada por el generador es, por definición, p(t) =. dW = ε0I 0 cos ωt ⋅ cos(ωt − θ ) dt. [6.31] [6.32]. cuya gráfica está representada en la figura 6.10. +ε0 +I0 O –I0. π/2. π. 3π/2. ωt. 2π. θ. -ε0 FIG. 6-10. Los valores de p(t) se han obtenido multiplicando, en cada instante, los valores de e(t) e i(t). La potencia instantánea p(t) varía con el tiempo, pero no está en fase con la f.e.m. ni con la intensidad. Se observa que hay tramos en los que la gráfica de la potencia se encuentra situada por encima del eje de tiempos, y otros, en los que la gráfica está por debajo. En los primeros la potencia es positiva, y, en los segundos, negativa.. La potencia es positiva en los intervalos de tiempo en los que e(t) e i(t) son de igual signo. Durante dichos intervalos el generador suministra energía al circuito. La potencia es negativa en los intervalos de tiempo en los que e(t) e i(t) son de signo contrario, y en dichos intervalos, el circuito devuelve energía al generador. La cantidad de energía por segundo que suministra o recibe el generador en un cierto instante, es igual a la ordenada de la curva de potencia p(t) en dicho instante. La cantidad total de energía suministrada, o recibida, durante un intervalo de tiempo tf – ti, es: t. Wt f i. ∫. tf ti. p(t) dt. [6.33]. que, recordando el significado geométrico de la integral definida, representa el área neta comprendida entre la curva de potencia p(t), el eje de tiempos y las ordenadas correspondientes a los instantes ti y tf . Se define la potencia media como la energía total suministrada durante un intervalo de tiempo, dividida por dicho intervalo de tiempo. Si la potencia es una función armónica del tiempo, es decir, si la potencia depende del tiempo por medio de una función seno o coseno, es útil definir la potencia media durante un intervalo de tiempo igual a un periodo, T..

(9) aletos. TEMA 6 CORRIENTE. Física para Ciencias e Ingeniería. 6.9. ALTERNA. Así pues:. 1. 1 ε0I 0 ∫ 0T cos ωt ⋅ cos(ωt − θ ) dt = T T T T 1 1 = ε0I 0 ∫ cos ωt ⋅(cos ωt ⋅ cos θ + sen ωt ⋅ sen θ ) dt = ε0I 0 ∫ cos2 ωt ⋅ cos θ + cos ωt ⋅ sen ωt ⋅ sen θ )dt = 0 0 T T T    T T 1 1  2 T   1 1 ωt sen 2ωt  = = ε0I 0 cos θ ∫ cos2 ωt dt + sen θ ∫ cos ωt ⋅ sen ωt dt  = ε0I 0   + cos θ + sen ω t sen θ  0 0 0 ω  2    T T 2ω  4 0       1 1  2 1 1 ωT sen 2ωT T 1 + sen ωT  sen θ  = ε0I 0 cos θ = ε0I 0 cos θ = ε0 I 0   cos θ +  T ω  2 2ω  2 4  2 T. Pmedia =. ∫. T. 0. p(t)dt =. 1 T. T. ∫ εI 0. 0 0. cos ωt ⋅ cos(ωt − θ ) dt =. De modo que la potencia media que suministra el generador al circuito es igual a la mitad del producto del valor máximo de la f.e.m. por el valor máximo de la intensidad de la corriente y por el coseno del ángulo de desfase.. 1. Pmedia =. εI. 0 0. 2. cos θ. [6.34]. Por esta razón, a cos θ se le denomina factor de potencia. Su valor se puede calcular a partir de la expresión de la tangente de dicho ángulo de desfase: 1. cos θ =. 1. =. 2. 1 + tg θ. 1+. X. 2. R. 2. =. 1. =. R +X 2. R. 2. R Z. [6.35]. 2. 6.5 Valores eficaces de una corriente alterna. Conviene definir ahora los llamados valores eficaces de la intensidad de la corriente y de la f.e.m. La razón de introducir estos conceptos es que los amperímetros y voltímetros utilizados para efectuar medidas en los circuitos de corriente alterna no miden valores instantáneos ni valores máximos, sino estos valores eficaces. Por definición, Se denomina intensidad eficaz, Ief , de una corriente alterna, a la intensidad de una corriente continua que produciría el mismo desarrollo de calor que la corriente alterna, durante un periodo, a través de la misma resistencia.. Por consiguiente, si calculamos la energía disipada por la corriente alterna durante un periodo de tiempo,. 1 ε0I 0 cos θ = 1 ε0I 0 ⋅ R = 1 I 02Z ⋅ R = 1 I 02R 2 2 Z 2 Z 2 y la energía disipada por la corriente continua de intensidad eficaz Ief Pmedia =. P = I ef2 R. [6.36]. [6.37]. e igualamos los segundos miembros de [6.37] y [6.38], puesto que, por definición, ambas potencias son iguales,. 1 I ef2 R = I 0 2R 2 de donde,. I ef =. I0 2. 2 I0 2. =. [6.38]. La f.e.m. eficaz se define, por analogía formal con la expresión de la intensidad eficaz, como:. ε. ef. =. ε. 0. 2. 2 ε0 2. =. [6.39]. Con la introducción de estas magnitudes la potencia media se puede expresar de la siguiente forma: Pmedia =. 1 2. εI. 0 0. cos θ =. ε. 0. 2. I0 2. cos θ 0 = εef I ef cos θ 0. [6.40].

(10) 6.10. aletos. TEMA 6 CORRIENTE. ALTERNA. Física para Ciencias e Ingeniería. Es costumbre designar los valores eficaces de la f.e.m. y de la intensidad sin subíndices. De modo que, de ahora en adelante, ε e I, representarán dichos valores eficaces. Igualmente se acostumbra a no especificar el carácter de valores eficaces cuando se les nombra como datos de un problema. Por ejemplo, si se dice que circula una corriente alterna de 2 amperios por un circuito entre cuyos terminales se ha establecido una tensión o voltaje de 220 voltios, se debe entender que la intensidad eficaz es de 2 amperios y que el voltaje eficaz es de 220 voltios. La unidad de potencia en el S.I. de unidades es el watio, que corresponde a la potencia media suministrada a un circuito, por el que circula una corriente de 1 amperio cuando se ha establecido entre sus terminales una diferencia de potencial de 1 voltio con un factor de potencia unidad. 6.6 Diagramas vectoriales. Hemos visto anteriormente la forma de representar sobre un mismo sistema de ejes coordenados las funciones armónicas que expresan la f.e.m., o voltaje de un alternador, y la intensidad de la corriente alterna, en función del tiempo. La molestia que supone dibujar e interpretar tales diagramas hace que se utilice otro método gráfico más simple para representar las funciones armónicas v(t) e i(t), así como su diferencia de fase. Supongamos que deseamos representar las funciones: v(t) = V0 cos ωt i(t) = I0 cos (ωt – θ) siendo θ > 0, y estando, por tanto, la intensidad en retraso de fase respecto del voltaje. Para ello, se dibuja, a una escala adecuada, un vector cuyo módulo sea igual al valor máximo del voltaje, V0, que imaginaremos girando en torno al origen de coordenadas O, en el sentido trigonométrico positivo, con una velocidad angular constante, ω. Sobre el mismo diagrama se construye otro vector de módulo igual al valor máximo de la intensidad, I0 pero desplazado un ángulo igual al desfase, θ, respecto del vector que representa al voltaje, en el sentido de las agujas del reloj, como indica la figura 6.11. V0. V0 cos ωt. I0 sen (ωt–θ). θ ωt. ω. I0. ωt-θ. V0 sen ωt I0 cos (ωt–θ) FIG. 6-11. Imaginaremos que los dos vectores giran solidariamente, de forma que θ permanece constante. Si suponemos que el vector V0 coincide con el semieje positivo de abscisas en el instante en que comenzamos a contar el tiempo, al cabo de t segundos formará con dicho semieje un ángulo ωt, y el vector I0 formará un ángulo, ωt – θ. Las proyecciones de estos vectores sobre el eje de abscisas, en un instante dado, son los valores instantáneos, anteriormente mencionados, del voltaje e intensidad alternos del circuito. Las proyecciones sobre el eje de ordenadas son los valores instantáneos de dichas magnitudes en el caso de que se tomen como expresiones del voltaje e intensidad, v(t) = V0 sen ωt i(t) = I0 sen (ωt – θ). En el caso de que la intensidad estuviese en adelanto de fase respecto del voltaje, el vector I0 iría por delante del vector V0 , avanzado un ángulo θ, en el sentido trigonométrico positivo. Y, si ambas magnitudes estuviesen en fase, los dos vectores V0 e I0 girarían superpuestos. Naturalmente, se puede representar sobre el mismo diagrama, la diferencia de potencial o voltaje existente entre los extremos de cualquier elemento del circuito, resistencia, autoinducción o condensador, siempre que se dibuje con el desfase correspondiente respecto de la intensidad que circula por él. El diagrama de vectores rotatorios es un método para representar esencialmente los valores instantáneos de la f.e.m. o voltajes existentes entre los terminales de los diferentes elementos que forman un circuito y de la intensidad que circula por los mismos. En la práctica se dibuja el diagrama haciendo una reducción a escala de valor √2. Los módulos de los vectores son, pues, los valores eficaces de la f.e.m. o voltaje y de la intensidad de la corriente. Los ángulos de desfase entre la intensidad y los distintos voltajes o f.e.m., permanecen invariables..

(11) aletos. TEMA 6 CORRIENTE. Física para Ciencias e Ingeniería. 6.11. ALTERNA. Puesto que la rotación continua de los vectores en torno al origen de coordenadas refleja el hecho de que las magnitudes representadas son periódicas, se suele prescindir de dicha rotación, y para un circuito en serie se dibuja el vector I coincidiendo con el eje de abscisas, y los vectores que representan los voltajes de los diferentes elementos del circuito se dibujan con los desfases correspondientes respecto de la intensidad. Para representar un circuito en paralelo, se dibuja el vector correspondiente a la diferencia de potencial existente entre los terminales de la derivación coincidiendo con el eje de abscisas. Los vectores que representan las intensidades de cada rama de la derivación se dibujan con los desfases correspondientes respecto del voltaje de la derivación. A continuación se explican dos ejemplos de diagramas vectoriales. 6.7 Diagrama vectorial de un circuito en serie. El circuito en serie de la figura 6.12 consta de una resistencia, R = 6 Ω, una autoinducción de reactancia inductiva, XL = 12 Ω y un condensador de reactancia capacitiva, XC = 4 Ω. La intensidad de la corriente es I = 5 A. Se trata de dibujar el diagrama vectorial del circuito. R a. XC. XL b. c. FIG. 6-12. Para ello, habremos de calcular la diferencia de potencial que hay entre los extremos de cada uno de los elementos del circuito, y su desfase con la intensidad. d Como ya se ha explicado anteriormente, se supone que el valor indicado para la intensidad de la corriente, es su valor eficaz.. La diferencia de potencial eficaz entre dos puntos cualesquiera del circuito se obtiene aplicando la ley de Ohm, igual que para un circuito de corriente continua, sin más que cambiar el término resistencia por la impedancia existente entre dichos puntos, siempre que no haya ninguna f.e.m. entre ellos. En caso contrario se aplica la ley general de Ohm. El ángulo de desfase se calcula a partir de la tangente. Por consiguiente:. tg θab =. Vab = IZab = IR = 5 × 6 = 30 voltios. Xab Rab. =. 0 =0 6. θab = 0. La diferencia de potencial, o voltaje, entre los terminales de una resistencia está en fase con la intensidad de la corriente que circula por dicha resistencia.. Análogamente, entre los terminales de la autoinducción: Vbc = IZbc = IXL = 5 × 12 = 60 voltios. tg θbc =. Xbc Rbc. =. 12 = +∞ 0. θab = +90º. La diferencia de potencial entre los terminales de una autoinducción pura está en adelanto de fase 90º respecto de la intensidad.. Y entre los terminales de la autoinducción:. tg θcd =. Vcd = IZcd = IXC = 5 × 4 = 20 voltios. Xcd Rcd. =. −4 = −∞ 0. θab = −90º. La diferencia de potencial entre los terminales de un condensador está en retraso de fase 90º respecto de la intensidad.. La diferencia de potencial entre los extremos a y d del circuito es,. Vad = IZ ad = I R 2 +(X L − XC )2 = 5 62 +(12 − 4)2 = 50 voltios y su desfase respecto de la intensidad es. tg θad =. X L − XC R. =. 12 − 4 4 = 6 3. θcd ≈ 53º. Es importante hacer notar que la diferencia de potencial entre los extremos a y d no es igual a la suma de las diferencias de potencial entre los terminales de la resistencia, autoinducción y condensador: Vad = 50 V. Vab + Vbc + Vcd = 30 + 60 + 20 = 110 V..

(12) aletos. TEMA 6. 6.12. CORRIENTE. Física para Ciencias e Ingeniería. ALTERNA. Esta aparente contradicción tiene su explicación en la diferencia de fase que presenta cada potencial respecto de la intensidad. Estas diferencias de potencial o voltajes se suman como vectores, como indica la figura 6.13. Por tratarse de un circuito en serie, puesto que circula la misma intensidad por cualquier elemento del circuito, se toma como referencia la intensidad de la corriente, y se dibuja sobre el eje de abscisas un vector, I, de módulo igual al valor de la intensidad eficaz de la corriente alterna, y luego se dibujan los vectores correspondientes a los diferentes voltajes eficaces con los desfases respectivos. Se puede comprobar que, vectorialmente, se verifica:     [6.41] Vad =Vab +Vbc +Vcd. Vbc. 60 V. Vad 50 V. θad. Vcd. 20 V. 5A. I. Vab. Más adelante veremos que la igualdad anterior es también válida, si se utilizan números complejos, denominados fasores, para expresar los diferentes voltajes. Asimismo es válida, si los diferentes términos que aparecen en ella son valores instantáneos de los correspondientes voltajes:. 30 V FIG. 6-13. Vad(t) =Vab(t) +Vbc(t) +Vcd (t). [6.42]. Por el contrario, no es cierta para valores eficaces, y por tanto, tampoco lo es para valores máximos: (Vad)ef ≠ (Vab)ef +(Vbc)ef +(Vcd)ef. [6.43]. (Vad)0 ≠ (Vab)0+(Vbc)0+(Vcd)0 6.8 Diagrama vectorial de un circuito en paralelo. Supongamos que los mismos elementos del circuito anterior están conectados ahora en paralelo, como indica la figura 6.14, y que se establece entre los extremos de la asociación una diferencia de potencial de 120 voltios.. I1. I. I2. R. I3. XL. XC. I. Para dibujar el diagrama vectorial del circuito tomaremos como referencia la diferencia de potencial eficaz entré los terminales a y b de la derivación, puesto que es común a las tres ramas, y la representaremos sobre el eje de abscisas. A continuación se calculan los valores eficaces de cada intensidad, aplicando la ley de Ohm a cada rama de la derivación, y se calculan asimismo, los correspondientes desfases con la diferencia de potencial entre los terminales a y b.. FIG. 6-14. I1 =. Vab Z1. =. Vab R. =. 120 = 20A 6. tg θ1 =. X1 R. =. 0 =0 6. θ1 = 0. La intensidad de la corriente en una resistencia está en fase con la diferencia de potencial entre los terminales de la misma.. I2 =. Vab Z2. =. Vab XL. =. 120 = 10A 12. tg θ 2 =. X2 R2. =. 12 = +∞ 0. θ 2 = 90º. La intensidad de la corriente en una autoinducción está en retraso de fase 90º respecto de la diferencia de potencial entre sus terminales.. I3 =. Vab Z3. =. Vab Xc. =. 120 = 30A 4. tg θ 2 =. X3 R3. =. −4 = −∞ 0. θ 2 = −90º. La intensidad de la corriente en un condensador está en adelanto de fase 90º respecto de la diferencia de potencial entre sus bornes.. Con los resultados obtenidos se dibuja el diagrama vectorial de la figura 6-15. Las escalas de unidades que se han empleado para medir amperios y voltios son distintas..

(13) aletos. TEMA 6. Física para Ciencias e Ingeniería. 30 A. I3. I. 20 A. 20√2 A I1 20 A 10 A. I2. Vab 120 V. CORRIENTE. 6.13. ALTERNA. De forma similar a lo que ocurre con los voltajes de los diferentes elementos intercalados en un circuito en serie, sucede ahora que la intensidad de la corriente que llega al nudo a de la derivación no es igual a la suma de las intensidades que circulan por cada rama. En cambio, vectorialmente, se cumple que:       [6.44] I = I1 + I 2 + I 3 Todo lo dicho anteriormente para las diferencias de potencial existentes entre los distintos elementos de un circuito en serie se puede aplicar a la relación que hay entre la intensidad que llega a un nudo de una derivación, o que sale del otro nudo de la misma, y las intensidades que circulan por cada rama de la derivación. Por tanto, si se toman valores instantáneos:. FIG. 6-15. i(t) = i 1(t)+i2(t)+i3(t). [6.45]. En cambio, para valores eficaces o valores máximos: Ief ≠ (I1)ef+(I2)ef+(I1)ef I0≠ (I1)0+(I2)0+(I1)0. [6.46].

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