Coordenadas Cartesianas

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Coordenadas Cartesianas

Sistema de Coordenadas rectangulares

• Teniendo en cuenta que cualquier número se puede representar dentro de una recta numérica, también es posible representar la intersección de 2 puntos.

• El sistema de coordenadas rectangulares, plano coordenado o plano cartesiano se forma con 2 rectas perpendiculares cuyo origen (0) es el punto de cruce entre ellas y mantendrá el nombre de origen para este nuevo gráfico.

• La recta horizontal representa el eje x.

• La recta vertical representa el eje y.

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Sistema de Coordenadas rectangulares

• La intersección del eje x y eje y, divide al gráfico en 4 cuadrantes:

Sistema de Coordenadas rectangulares

Coordenadas de un punto

• Un punto P en el plano cartesiano, se representa por el trazado de una recta vertical en el eje x y una recta horizontal en el eje y. La intersección de las líneas trazadas en el plano cartesiano corresponde al punto definido por los pares ordenados (a,b).

• La abscisa o coordenada x es el número a.

• La ordenada o coordenada y es el número b.

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Sistema de Coordenadas rectangulares

Graficación de puntos en el plano A(1,2) ; B(‐4,3) ; C(‐3/2,‐2) ; D(0,4) ; E(3.5,0).

Coordenadas que satisfagan 0 𝑥 2 y también que

absoluto 𝑦 1

Sistema de Coordenadas rectangulares

Regiones definidas de puntos en el plano

𝑥𝑦 0 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑦 2

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Sistema de Coordenadas rectangulares

Fórmula de la distancia

• De acuerdo al teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

• Pitágoras menciona que en un triangulo rectángulo, es decir en un triangulo que tiene un ángulo de 90°si tomamos la longitud de sus lados y creamos cuadrados en cada lado basados en su longitud, el cuadrado mas grande (el generado por el lado de mayor longitud) tendrá la misma área que la suma del área de los 2 cuadrados generados por los lados de menor longitud.

• Recordar que para calcular el área de un cuadrado multiplicamos 2 de sus lados o en este caso el valor del lado al cuadrado.

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b) Determine cuál es el tipo de intervalo

2. Resuelva las siguientes ecuaciones con valor absoluto

3. Resuelva las siguientes desigualdades con valor absoluto

4. Grafique los siguientes puntos en un plano cartesiano

5. Recordando lo aprendido resuelva el siguiente problema:

Camino a Chicago Las ciudades de Kansas City y Chicago no están unidas directamente por una carretera interestatal, pero cada una de ellas está conectada con las ciudades de St. Louis y Des Moines. (Ver figura). Des Moines está a unas 30 millas al este, y a 170 millas al norte de Kansas City. St. Louis está más o menos a 230 millas al este y a 36 millas al sur de Kansas City, y Chicago está aproximadamente a 360 millas al este, y a 250 millas al norte de Kansas City. Suponga que esta parte del Medio Oeste es un plano, y que las carreteras son rectas. ¿Qué ruta de Kansas City a Chicago es más corta; ¿la que pasa por St. Louis o la que pasa por Des Moines?

este

4𝑥 1 3 𝑥 10 7𝑥 5𝑥 4 7𝑥 16 16 15𝑥

𝑥 1

10 1 5

𝑥 2 5𝑥

5𝑥 6

3 0

2 𝑥 3 4

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Ecuaciones

Variables

• Es un símbolo que se le puede asignar un valor numérico dentro de una ecuación matemática.

• Las variables se designan usualmente por las últimas letras del alfabeto (x,y,z), pero se pueden denominar con cualquier otra letra del alfabeto.

𝒙 2 5 Constante

• Son aquellas que conservan los mismos valores, es decir, no varían (Un número real fijo).

• Para representar una constante de forma general usualmente se representa por las primeras letras del alfabeto (a,b,c)

𝑥 𝟐 𝟓

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Ecuaciones

• Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales. Las dos expresiones que forman una ecuación se conocen como sus lados. Estos lados están separados por el signo de igualdad, (=).

• Resolver una ecuación es encontrar todos los valores de sus variables para los que la ecuación es verdadera y SOLO verdadera. Por ello, existen restricciones para aquellos valores que pueden tomar las variables que hacen que la ecuación sea no definida.

Cuáles son las posibles soluciones?

𝑥 4 𝑥 10

OJO Soluciones extrañas

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏

Ecuaciones

• Podemos decir que las ecuaciones equivalentes, aquellas que tienen el mismo conjunto solución. Existen 3 operaciones que garantizan la equivalencia:

1. Sumar (Restar) el mismo polinomio a ambos lados de la ecuación 2. Multiplicar (Dividir) ambos lados por una constante

3. Reemplazar cualquiera de los lados por una expresión equivalente

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Ecuaciones

Así mismo existen operaciones que no necesariamente pueden crear ecuaciones equivalentes, por lo que se debe evaluar las respuestas obtenidas:

1. Multiplicar (Dividir) ambos lados de la ecuación por una expresión que involucre una variable.

2. Elevar ambos lados de la ecuación al mismo exponente

𝑥 4 𝑥 10

𝑥 1 0 multiplicar cada miembro por x

Ecuaciones Lineales

Primer Grado o Lineal

• Una ecuación lineal es aquella que tiene la forma 𝑎𝑥 𝑏 0, donde 𝑎 y 𝑏 son constantes.

• Se la conoce como primer grado debido al exponente que tiene su variable 𝑥.

• Para resolver la ecuación es necesario que nuestra variable quede de un solo lado de la ecuación.

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Ecuaciones Lineales (con literales)

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Actividad

• Cuantos Clientes entran por hora? Explíquelo en una ecuación lineal

Ecuaciones Cuadráticas

Segundo Grado o Cuadrática

Una ecuación cuadrática es aquella que tiene la forma 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son constantes.

Se la conoce como segundo grado debido a que una de sus variables se encuentra elevada al cuadrado.

El método más útil de resolución es a través de la factorización.

Tener en cuenta que para la resolución se debe considerar que el producto de los factores siempre debe dar 0, por ello:

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Ecuaciones cuadráticas

Existen ciertas ecuaciones cuadráticas, no se pueden factorizar. Para ello se usa una herramienta conocida como Fórmula General.

Se la aplica cuando la ecuación se encuentra de la forma:

𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0

𝑥 𝑏 𝑏 4𝑎𝑐

2𝑎

(12)

Actividad

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Líneas Rectas

Ecuación de la recta

• Para calcular un recta se puede utilizar dos de sus puntos cualesquiera, los cuales determinan su pendiente.

• La formula para el cálculo de su pendiente es:

𝑚 𝑦2 𝑦1

𝑥2 𝑥1

• Esta ecuación se puede reescribir de la manera x2 x1 . 𝑚 𝑦2 𝑦1 . A esta ecuación se la conoce como ecuación punto‐pendiente de una recta.

• Por lo cual la formula general de la recta queda como:

𝒚 𝒎𝒙 𝒃

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Determinación de la ecuación de una recta

Ecuación de la recta

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Ecuación de la recta

• Con la formula de la recta punto pendiente , podemos determinar la formula de la ecuación de la recta si contamos con 1 punto de la recta y su pendiente m.

• Es posible determinar una recta a partir de 2 puntos. Para ello se debe determinar la pendiente m, y luego se formula la ecuación de la recta con cualquiera de los dos puntos.

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Ecuación de la recta

• La ecuación de la recta nace cuando revisamos la ecuación punto pendiente con un punto intersección en el eje de las x

Gráfica de la ecuación lineal

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Rectas Paralelas y Perpendiculares

• 2 rectas son paralelas cuando tienen su misma pendiente m

• 2 rectas son perpendiculares cuando una de las rectas tiene el recíproco negativo como pendiente. A su vez cualquier recta horizontal y vertical es perpendicular entre sí.

Actividad

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Funciones

• Una función, es una relación entre 2 conjuntos X y Y, en la que como regla general para cada uno de los elementos del conjunto X, existe una correspondencia que asigna un solo elemento del conjunto de Y.

• Se puede representar una función (f) de un conjunto de X a un conjunto de Y mediante la notación 𝑓: 𝑋 → 𝑌.

• El conjunto de X se llama Dominio, mientras que el conjunto de elementos correspondientes Y se llama Contradominio, Rango o Recorrido.

• El elemento único y que corresponde a un elemento seleccionado de x, se llama valor de la función de x o la imagen de x, y se escribe f(x) “efe de x”.

𝒚 𝒇 𝒙

• Como el valor de y depende del valor de x, entonces y es la variable dependiente. Mientras que x seria la variable independiente.

x

Dominio

y

Rango

X Y

f

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Funciones

La regla para elevar al cuadrado a un número real es 𝑦

𝑥 o 𝑓 𝑥 𝑥

𝑥 5

𝑓 5 5 25

Es decir, para cada número real se tiene un único cuadrado. ^Dominio ^Rango

Dominio

El dominio de una función puede describirse de manera implícita o explícita.

Implícita ‐ En el que se refiere a todos los números reales para los que está definida una ecuación.

Explícita – Es el que se da junto con la ecuación

𝑓 𝑥 𝑥 4, 𝑥 1 (Explícita)

𝑓 𝑥 𝑥 1 (Implícita) y su dominio corresponde a todos los valores tales que números reales 𝑥 1 0

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Calculo de dominio

• El Dominio son todos los valores que puede tomar nuestra variable independiente (x), por consiguiente debemos considerar las siguientes restricciones para evitar salir dentro de nuestro parámetro de estudio de los números reales (ℝ):

• División entre 0.

• Raíces pares de números negativos.

• Para conocer el Dominio debemos tener en cuenta estas restricciones, de lo contrario podremos constatar que el dominio se trate de todos los ℝ.

Calculo de Rango

• El Rango son todos los valores que toma la función 𝑓 𝑥 𝑦 debido a los cambios en la variable independiente x.

• Para el cálculo del rango debemos despejar nuestra variable x dentro de nuestra función en estudio. A este proceso se llama buscar la función inversa.

• Sin embargo para poder encontrar una FUNCION INVERSA es necesario que la función sea BIYECTIVA.

• Una vez realizado el despeje requerido, tomamos en cuenta las restricciones establecidas en el calculo de Dominio para evitar salirnos de nuestro parámetro de estudio.

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Calculo de Rango y Dominio

Calculo de Dominio y Rango 𝒇 𝒙 ^{𝟑𝒙 𝟐}_{𝒙 𝟏} Dominio: 𝑓 𝑥

∴ 𝐷 ℝ 1

Rango: 𝑓 𝑥

y 𝑥 1 3𝑥 2

xy 3𝑥 𝑦 2

𝑥

∴ 𝑅 ℝ 3

ℝ 𝑥 1

ℝ 𝑦 3

𝑎 0∉ ℝ

Taller #4

Calculo Dominio Calculo Rango y Dominio

𝒇 𝒙 𝟏𝟎𝒙 𝟐

𝒙 𝟏

𝒇 𝒙 𝟏𝟎𝒙 𝟔

𝒙 𝟓

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Gráfica de una función

• La gráfica de una función 𝑦 𝑓 𝑥 está formada por un conjunto de puntos de pares ordenados 𝑥, 𝑦 donde x pertenece al dominio de la función y pertenece al contradominio.

• Para obtener los puntos de la gráfica de la ecuación, se escogen los números adecuados del dominio 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . . En su dominio y se calcula en 𝑓 𝑥1 , 𝑓 𝑥2 , 𝑓 𝑥3 , … . . Y a continuación se

grafican los puntos correspondientes

𝑥1, 𝑓 𝑥1 , 𝑥2, 𝑓 𝑥2 , 𝑥3, 𝑓 𝑥3 … . Y a continuación se unen esos puntos con una curva.

• Un valor de x es una distancia dirigida desde el eje y.

• Un valor de f(x) es una distancia dirigida desde el eje x.

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Gráfica de una función

Tabla de valores

• Una forma de realizar la gráfica de una función es mediante una tabla de valores de (x,y) en la cual dependiendo del valor que tome nuestra variable dependiente (x), efe de x (y) tomará el valor de acuerdo a su función.

1. Realizar una columna para valores de x (valores al azar).

2. Realizar una columna para valores de y.

3. Reemplazar los valores de x en la función y el resultado se reflejará en la columna de y.

4. Tomar los valores (x,y) par ordenado y graficar los puntos en el plano cartesiano.

• Mientras mayor cantidad de puntos se grafique, mejor se define el grafico de la función

𝑓 𝑥 𝑥

x y

1 1

2 4

3 9

4 16 5 25

Gráfica de una ecuación

Symbolab

• https://es.symbolab.com/

• Otra herramienta para la graficar funciones es Symbolab, la cual nos permite generar el gráfico automáticamente. Lo que nos permite un ahorro del tiempo en el trazado de puntos.

(24)

Gráfica de una función

Symbolab

Ingreso de la función

Tabla de Valores

Gráfica detallada

Criterio de la recta vertical

Conocemos que a cada x en el dominio de f, le corresponde solo un valor en el contradominio 𝑓 𝑥 .

El criterio consiste en trazar una recta vertical, en la cual si la recta cruza la gráfica más de una vez entonces no es una función. Mientras que si cruza la gráfica una vez, entonces si es una función.

No es una función

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Intersecciones con sus ejes

• Puede que una gráfica carezca de intersecciones con el plano coordenado, como puede que tenga varias intersecciones, pero me permite determinar cierta posición dentro del plano.

• Las intersecciones en el eje de las 𝒙 de la gráfica son los puntos en que la gráfica cruza el eje 𝑥 y se puede determinar igualando 𝑦 0 y despejando 𝑥.

• Las intersecciones en el eje de las 𝒚 de la gráfica son los puntos en los que su gráfica cruza el eje de las 𝑦, y se puede determinar igualando 𝑥 0 y despejando 𝑦.

Intersecciones con sus ejes

Encontrar las intersecciones de la ecuación

 Para intersección con el eje x:

1. Igualar y=0 2. Factorizar 3. Despejar

 Para intersección con el eje y:

1. Igualar x=0 2. Factorizar 3. Despejar

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Simetría de una gráfica

• Hallar si existe simetría de una gráfica permite encontrar menor cantidad de puntos para graficarla.

a. La gráfica es simétrica con respecto al eje y, cuando el punto (x,y) cuenta con una imagen en el punto (‐x,y). Se prueba reemplazando en la ecuación x por –x y da una ecuación equivalente.

b. A su vez la gráfica es simétrica con respecto al eje x, cuando el punto (x,y) cuenta con una imagen en el punto (x,‐y). Se prueba reemplazando en la ecuación y por –y y da una ecuación equivalente.

c. simétrica respecto al origen cuando el punto (x,y) cuenta con una imagen en el punto (‐x,‐

y). Se prueba al sustituir x y y por –x y –y y da una ecuación equivalente.

Simetría de una gráfica

Encontrar la simetría de la ecuación

 Para simetría con el eje y:

 𝑆𝑖 𝑥, 𝑦 → 𝑥, 𝑦

 Para simetría con el eje x:

 𝑆𝑖 𝑥, 𝑦 → 𝑥, 𝑦

 Para simetría respecto a su origen:

 𝑆𝑖 𝑥, 𝑦 → 𝑥, 𝑦

Simetría eje y

Simetría eje x

Simetría punto de origen

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Simetría de una gráfica

Procedimiento:

1. Reemplazar en x un valor positivo y el valor opuesto (negativo).

2. Despejar la solución en y para ambas x.

3. Analizar los resultados.

• Reemplazar la x con un valor diferente de 0, ya que al ser un número neutro, no tiene un opuesto negativo.

• Tener encuentra que si el resultado al reemplazar una x no es determinado, es porque ese punto no existe como solución para la función. Se recomienda analizar con otros valores o revisar la gráfica para un profundo analisis.

Transformación de Funciones

Desplazamientos

De acuerdo a la forma de la función podemos tener en cuenta los siguientes desplazamientos de la función en el plano cartesiano. Siendo c una constante positiva, entonces:

Desplazamientos horizontales

a.𝑦 𝑓 𝑥 𝑐 , es la gráfica de f, desplazada c unidades horizontalmente hacia la izquierda.

b.𝑦 𝑓 𝑥 𝑐 , es la gráfica de f, desplazada c unidades horizontalmente hacia la derecha.

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Transformación de Funciones

Desplazamientos Vertical

a.𝑦 𝑓 𝑥 𝑐 , es la gráfica de f, desplazada c unidades verticalmente hacia arriba.

b.𝑦 𝑓 𝑥 𝑐 , es la gráfica de f, desplazada c unidades verticalmente hacia abajo.

Desplazamiento de Funciones

• Teniendo en cuenta la función inicial 𝑓 𝑥 𝑥 , podemos evidenciar los diferentes tipos de desplazamiento de la función

Transformación de Funciones

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Transformación de Funciones

Estiramiento

Supongamos que una función 𝑦 𝑓 𝑥 la multiplicamos por una constante tal que:

• Siendo c una constante positiva c 1, entonces:

1.𝑦 𝑐. 𝑓 𝑥 , la gráfica de f, se ve estirada con respecto al eje y. f(x)=x Se estira respecto al

eje y al multiplicar por 3.

Transformación de Funciones

Compresión

• Siendo c una constante positiva 0 c 1, entonces:

2.𝑦 𝑐. 𝑓 𝑥 , la gráfica de f, se ve comprimida hacia el eje de las x.

f(x)=𝑥 Se estira respecto al eje y al multiplicar por 10.

f(x)=𝑥 Se comprime hacia el eje x al multiplicar por

.

(30)

Transformación de Funciones

Reflexión

• Suponiendo que 𝑦 𝑓 𝑥 es una función tenemos en cuenta que la gráfica de la misma se puede reflejar en el eje de las x o el eje de las y de la siguiente forma:

1.Para que se refleje en el eje de las x (verticalmente) la

función 𝑦 𝑓 𝑥 se reescribe con el opuesto de la función

𝑦 𝑓 𝑥 .

2.Para que se refleje en el eje de las y (horizontalmente) la función 𝑦 𝑓 𝑥 se reescribe con el opuesto de x 𝑦 𝑓 𝑥 .

• Encontrar todas las transformaciones y cual es la función original

𝑦 𝑥

Taller # 6

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Funciones logarítmicas y exponenciales

Función Exponencial

Una Función exponencial, es aquella función que permite describir grandes cambios en el eje y (ordenadas) frente a un pequeño cambio del eje x (abscisas).

La forma de la función es:

De acuerdo a su forma (Trascendente)

𝒇 𝒙 𝒂 ^𝒙

BASE

VARIABLE INDEPENDIENTE

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Función Exponencial

Las restricciones son:

1.La base (a) será diferente de 1; 𝑎 1, ya que con una base 1 la función se convierte en una función constante

𝑓 𝑥 1 1.

2.La base (a) será mayor a 0; 𝑎 0, a fin de garantizar que 𝑓 𝑥 𝑎 sea un número real 𝑓 𝑥 2 ^⁄

Función Exponencial

Propiedades:

1.El Dominio es ℝ.

2.El Rango es 𝑦 0.

3.La intersección con el eje 𝑦 es 1 cuando 𝑥 0.

4.Función Creciente 𝑎 1 y Decreciente 0 𝑎 1.

5.Asíntota Horizontal en 𝑦 0.

6.La función es continua.

7.La función es inyectiva (uno a uno).

(33)

Función Exponencial

Ejemplo:

1. 𝑓 𝑥 2

2. 𝑦

3. 𝑓 𝑥 𝜋

(34)

Función Logarítmica

La función exponencial debe tener una función inversa para que sea su inversa es necesario intercambiar las variables 𝑥 por 𝑦.

La forma de la función es:

𝒙 𝒂 ^𝒚

BASE

VARIABLE INDEPENDIENTE

log _𝒂 𝒙 𝒚

3 9

log 9 2

Función Logarítmica

Propiedades:

1.El Dominio es 0, ∞ 2.El Rango es ℝ.

3.El cruce en el eje x 1,0

4.Función Creciente 𝑎 1 y Decreciente 0 𝑎 1.

5.Asíntota vertical en x 0.

6.La función es continua.

7.La función es inyectiva (uno a uno).

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Función Logarítmica

Propiedades logarítmicas

Siendo 𝑀y 𝑁números positivos

i. log 𝑀. 𝑁 log 𝑀 log 𝑁 ii. log log 𝑀 log 𝑁

iii.log 𝑀 𝑐. log 𝑀 (para cualquier número real 𝑐)

Coordenadas Cartesianas