Capítol 6. Forces magnètiques

Capítol 6 Forces magnètiques

6.1 Introducció

6.2 Força magnètica sobre càrregues en moviment. Camp magnètic

6.3 Força sobre un element de corrent 6.4 Acció d’un camp magnètic uniforme

sobre una espira plana. Moment mag- nètic

6.5 Efecte Hall 6.6 Problemes

Objectius

• Descriure els efectes d’un camp magnètic sobre una partícula carregada en moviment.

• Calcular la força magnètica sobre un element de corrent, una espira i un imant en un camp magnètic.

• Calcular el moment magnètic d’una espira plana.

• Calcular el moment de les forces que apareixen sobre una espira plana en un camp magnètic uniforme.

• Explicar l’efecte Hall.

6.1 Introducció

Si bé el coneixement de les propietats magnètiques d’alguns minerals es remunta a la Grècia antiga, fins al segle XIII no se’n realitza cap estudi sistemà- tic de les propietats. En aquesta època, Pierre de Maricourt experimenta amb imants i en coneix dues de les propietats:

• L’existència de dos pols magnètics que s’atrauen o repel·leixen segons si- guen de diferent o igual signe, respectivament.

• La persistència d’ambdós pols després de la ruptura de l’imant.

L’ús d’imants per a l’orientació (brúixoles) va donar nom als pols d’un imant atés que ambdós pols s’orienten segons l’eix nord–sud terrestre. El pol

que s’orienta cap al pol nord terrestre es denomina pol Nord. De la mateixa manera passa amb el pol sud.

Aquest comportament va permetre identificar la terra com un imant i, a- tés que els pols del mateix nom es repel·leixen i els de distint nom s’atrauen, una conseqüència d’aquest fet, és que en el pol Nord geogràfic es troba el pol sud magnètic, i de la mateixa manera, en el pol Sud geogràfic es troba el pol nord magnètic.

D’igual manera que es va tractar en el camp elèctric, la regió de l’espai que té propietats magnètiques es denomina camp magnètic i una conseqüència observable de la seua existència és que actua sobre una càrrega en moviment, tal com es tractarà en l’apartat següent.

6.2 Força magnètica sobre càrregues en moviment. Camp magnètic Quan s’han estudiat els fenòmens electrostàtics, s’ha definit una magni- tud que quantifica la intensitat de la interacció electrostàtica en un punt de l’espai. Aquesta magnitud s’ha denominat camp elèctric Er

. D’aquesta manera, es diu que quan en un punt de l’espai hi ha un camp elèctric, sobre una càrrega puntual q situada en aquest punt actua una força el valor de la qual és:

E q Fr r

=

De manera anàloga, es quantifica la pertorbació que un camp magnètic exerceix sobre una càrrega en moviment amb una magnitud vectorial denomi- nada camp magnètic Br

. En aquest cas, la força que actua sobre una càrrega elèctrica q requereix més detalls:

• Sols actua si la càrrega està en moviment.

• La força és perpendicular a la direcció de la velocitat de la càrrega.

• Hi ha una direcció tal, que si la càrrega es mou en aquesta direcció, no experimenta cap força.

• El mòdul de la força és directament proporcional al valor de la càrrega, al mòdul de la velocitat i al mòdul d’aquesta magnitud denominada camp mag- nètic.

Això ens porta al fet que la intensitat de camp magnètic o camp magnètic és una variable vectorial que en actuar sobre una càrrega en moviment ho fa aplicant una força de la manera:

Força sobre una càrrega mòbil en un camp magnètic ^{F qv B} r r r = ×

Equació 6.1

que constitueix, a més, la definició de camp magnètic.

Cal recordar que vr ×Br és un producte vectorial, per la qual cosa la força magnètica tindrà les característiques següents:

• El seu resultat és un vector perpendicular als dos vectors que es multi- pliquen, és a dir, a vr

i a Br .

• El seu mòdul val F = q v B sinα, on α és l’angle que formen Br

i vr. D’ací que hi haja una direcció de força nul·la, quan la càrrega es mou paral·lela al camp magnètic.

• El seu sentit es pot obtenir amb la regla del tornavís o de la mà dreta.

• Si la càrrega és negativa, el sentit de la força és el contrari.

q ⊕

αr v

rB -q

α r r v

F

rB rF

rF

Figura 6.1. La força magnètica és perpendicular al pla que conté el vector velocitat i el vector camp magnètic.

La regla de la mà dreta consisteix a situar la mà de manera que els 4 dits assenyalen el gir que hauria de realitzar el primer vector que es multiplica si es dirigira a superposar-se amb el segon pel camí més curt; llavors el polze assenyala- rà el resultat.

rv rB rF

Com s’ha dit adés, l’Equació 6.1 constitueix la definició de camp magnè- tic, i per tant és el moment de definir-ne la unitat en el Sistema Internacional. Es tracta del tesla (T), que utilitzant l’Equació 6.1, es diu que en un punt de l’espai hi ha un camp magnètic d’un tesla, si en moure’s una càrrega elèctrica puntual d’un coulomb perpendicularment al camp magnètic amb una velocitat d’un me- tre per segon, experimenta una força d’un newton. Per a la majoria de les apli- cacions, és una unitat massa gran, ja que els camps magnètics usuals són infe- riors al mT, per la qual cosa també s’utilitza el gauss (G) que equival a 1 G = 10^-4 T.

Com a exemple, el camp magnètic terrestre val aproximadament 0,6 G = 60 µT, i el que s’utilitza en espectroscòpia de ressonància magnètica nuclear de l’ordre de 20 a 30 T.

De la mateixa manera que el camp elèctric, el camp magnètic es repre- senta mitjançant línies de camp magnètic com les representades en la figura.

PN magnètic

PS magnètic

a) b)

Figura 6.2. Línies del camp magnètic en la rodalia de la terra (a) i línies del camp magnètic produïdes per un corrent circular (b).

Moviment de càrregues puntuals en camps electromagnètics

Quan en una regió de l’espai hi ha a la vegada un camp elèctric Er i un camp magnètic Br

, la força que actua sobre una càrrega q amb la velocitat vr és la superposició de la força elèctrica i la força magnètica,

B v q E q

Fr r r r

× +

= ^{Equació 6.2}

força que es coneix com força de Lorentz. Aquesta expressió s’utilitza per a estudiar el moviment de partícules carregades en regions amb ambdós camps a la vegada.

A continuació considerarem el movi- ment d’una càrrega puntual q que entra en una regió de l’espai amb un camp magnètic uniforme Br

i amb una velocitat vr perpendi- cular al camp magnètic, sense cap camp e- lèctric. Estarà sotmesa a una força perpendi- cular a la velocitat, el valor de la qual és

B v q Fr r r

×

= . El resultat de l’actuació d’una força perpendicular a la velocitat en tot mo- ment és una trajectòria circular de radi r.

1 Els vectors perpendiculars al pla del paper es representen amb el símbol si són ixents, i amb el símbol si són entrants.

Br

vr

r

Fr q

Figura 6.3. Partícula carregada que es mou en un camp magnètic entrant

i perpendicular al pla del paper¹.

Selector de velocitats

En un selector de velocitats s’introdueixen partícules carregades pro- duïdes a diferents velocitats. Del que es tracta és de seleccionar una veloci- tat única, o una estreta banda de velocitats, separant aquelles partícules que no tinguen la velocitat desitjada. Amb aquest fi, les partícules amb una àmplia gamma de velocitats, ràpides, lentes, etc., s’introdueixen en una re- gió amb un camp elèctric i un camp magnètic perpendiculars entre aquests, tal com mostra la Figura 6.4. El camp elèctric de la figura produeix una força dirigida cap avall, el valor de la qual és independent de la velocitat, i de mò- dul qE. El camp magnètic produeix (sempre respecte de la figura) una força dirigida cap amunt, que en canvi, sí que depén de la velocitat, sent de mò- dul qvB. D’aquesta manera, la força dirigida cap amunt és directament pro- porcional a la velocitat, per la qual cosa les partícules lentes es veuran des- viades cap avall (qvB val poc), mentre que les partícules ràpides seran des- viades cap amunt (qvB val molt). Aquelles que complisquen que qE = qvB, no seran desviades, i emergiran horitzontalment. Es té, doncs, un dispositiu que “classifica” les partícules per la velocitat, i no produeix cap desviament en les que complisquen que la velocitat valga E/B.

qE qvB

E

- - - - - + + + + + + +

r

rB r

v

B v =E

Figura 6.4. Partícules carregades en un selector de velocitats. No es desvien les que compleixen que v = E/B

Variant el camp elèctric aplicat, com la velocitat de les no desviades és directament proporcional al camp elèctric, s’aconsegueix augmentar o dis- minuir la velocitat de les partícules no desviades. Es té així un dispositiu en el qual, governant el valor del camp elèctric aplicat exteriorment, es produ- eixen partícules més o menys ràpides.

Exemple 6.1

Un protó es mou en la direcció de l’eix x i sentit positiu en una regió en què el camp elèctric i magnètic són perpendiculars entre aquests. Si el camp elèctric val 3rj

kV/m, i el camp magnètic 50kr

mT, quina és la velocitat dels protons que no es desvien? Si els protons es mouen a una velocitat inferior, cap a on es desvien?

Solució

Els protons no desviats són a- quells que experimenten una força e- lèctrica qE igual a la força magnètica qvB, per la qual cosa, igualant i aïllant:

km/s 10 600

50 10 3

3

3 =

⋅

= ⋅

= ₋

B v E

Si la velocitat és inferior a aquest valor, la força magnètica qvB, serà menor que la força elèctrica, i per tant es des- viaran cap a l’eix y positiu. ^z

x

y r

qE

rB

rv r r qv×B rE

El ciclotró

Br

V~ r ω = ω_c

v Un ciclotró és un accelerador de

partícules que aprofita el fet tractat en l’apartat anterior que les partícules carregades giren amb un període in- dependent del radi. El ciclotró consta de dos conductors buits en forma de D separats, entre els quals s’aplica una diferència de potencial alterna de freqüència angular ωc. D’aquesta ma- nera, si s’introdueixen partícules a baixa velocitat per la zona central, la partícula carregada girarà mitja cir- cumferència, i es trobarà la D oposa- da polaritzada de manera que reba una empenta en forma de camp elèc- tric que l’accelere lleugerament.

Figura 6.5. Ciclotró. Dues D acceleren alterna- tivament les partícules carregades.

Entrarà d’aquesta manera, a la D oposada i girarà una altra mitja circumferència per a trobar-se novament amb un camp elèctric en la D oposada que li comunica una altra empenta. D’aquesta manera, la partí- cula rep cada mitja volta, un impuls que l’accelera més i més. La clau per- què la càrrega accelere, és que la càrrega trobe sempre un camp elèctric favorable en la D oposada que li comunique nous impulsos, i això sols és possible si la freqüència angular ωc del camp elèctric entre les D coinci- deix amb la freqüència de gir de la partícula, perquè d’aquesta manera no es produïsquen endarreriments o desacoblaments. Atés que la freqüència de gir de la partícula és independent del radi, es tracta simplement que la freqüència angular ωc valga precisament

m

= qB

ω . D’aquesta manera, la partícula eixirà amb altes velocitats després d’haver fet diverses semicir- cumferències consecutives.

El ciclotró és un accelerador de partícules de dimensions modera- des, de menys d’un metre de radi. Hi ha altres acceleradors de partícules en què s’assoleixen energies molt elevades, on també les partícules són accelerades amb ajuda de camps magnètics i tenen radis de l’ordre de quilòmetres.

Quan als ciclotrons s’assoleixen velocitats suficientment altes, s’han de tenir en compte en dissenyar-los consideracions relativistes a causa de l’increment de la massa amb la velocitat.

6.3 Força sobre un element de corrent

Com s’ha tractat en l’apartat anterior, sobre les càrregues en moviment que es mouen en un camp magnètic actua una força magnètica, per la qual cosa sobre un conductor pel qual circula un corrent elèctric situat en una regió de l’espai amb un camp magnètic, també actuarà una força magnètica.

Considereu un conductor pel qual circula un corrent I, situat en una regió amb un camp magnètic Br

, tal com es mostra en la Figura 6.6. En un interval de temps dt, les càrregues e- lèctriques es desplacen al llarg del conductor una longitud lr

d igual a la seua velocitat d’arrossegament pel temps

dt v d r_a

rl

= Per la qual cosa la força elemental Fdr

que actua sobre l’element de longitud lr

d que conté una càrrega elemental dq, val dFr dq(vr_a Br)

×

= .

D’aquesta manera, substituint en l’Equació 6.1, s’obté ) (

)

(v B I d B Idt

F

d _a r

rl r r

r = × = ×

El producte lr

Id es denomina element de corrent. Convé subratllar que aquesta expressió proporciona únicament la força elemental que actua sobre un element de corrent. Per a calcular la força sobre corrents qualssevol, s’haurà d’integrar aquesta expressió.

Així, per a corrents en un camp magnètic uniforme, B I B d I F d F

B

A

l r r r rl r

r ^lr

lr × = ×









=

=

∫ ∫

sent lr

el vector que uneix el punt inicial del corrent amb el punt final, tal com mostra la Figura 6.7.

Força sobre un conductor que transporta

càrrega en un camp magnètic uniforme F I Br lr r = ×

Equació 6.3

Idl

r

r r

B dF

d =v dtl

r r

^a

I

α

Figura 6.6. Força sobre un element de corrent.

Una conseqüència d’aquest resultat és que la força sobre un corrent tan- cat en un camp magnètic uniforme és nul·la, pel fet de ser el vector lr nul.

Exemple 6.2

Calculeu la força que actua sobre els corrents de la figura situats en un camp magnètic de krT

−2 . Solució

i = 3 A

i = 2 A i = 2 A

(a) (b)

(c)

x y

a) El corrent va de (0,10) a (8,7), per la qual cosa substituint en l’Equació 6.3:

N 48 18 2 0 0

0 3 8

3 i j

k j i B i

F r r

r r r l r

r r

+

=

−

−

=

×

=

b) De la mateixa manera, independentment de la forma del conductor, sols es consideren el punt inicial i el punt final.

N 4 36 2

0 0

0 9 1

2 i j

k j i B i

F r r

r r r l r

r r

−

−

=

−

−

=

×

=

c) Pel fet de tractar-se d’un corrent tancat, la força neta és zero.

I A

B

rB r

FAB

rl

Figura 6.7. En l’interior d’un camp magnètic uniforme no importa la forma del conductor.

6.4 Acció d’un camp magnètic uniforme sobre una espira plana. Moment magnètic

Un cas particular de força sobre un corrent consisteix en una espira pla- na per la qual circula un corrent elèctric i que està situada en un camp magnè- tic. Considerarem una espira rectangular com la de la Figura 6.8 de costats a i b per la qual circula un corrent I, i es troba en un camp magnètic uniforme B. La força sobre cada costat ve donada per l’Equació 6.3. Pel fet de tractar-se d’un camp magnètic uniforme, la resultant de les forces és nul·la, ja que pot veure’s com les forces s’anul·len per parelles.

2

1 F

Fr r

−

= Fr₃ Fr₄

−

=

∑

^{Fr = 0}

I

rB

ra

rb rF4

rF3

rF2

rF1

rS

θ rF₄

rF₃

rB a

rS

I

Figura 6.8. Espira rectangular de superfície S, en un camp magnètic B.

Tot i que la força neta és nul·la, l’espira està sotmesa a un parell de for- ces², ja que pot observar-se com F3 i F4 constitueixen dues forces paral·leles, de sentit contrari i en diferents línies d’acció. Hem de recordar que així com el resultat de l’acció d’una força neta sobre un sistema és una acceleració, el re- sultat de l’acció d’un parell de forces sobre un sistema és una acceleració an- gular i, per tant, l’espira girarà per l’acció del parell. El parell de forces o mo- ment de les forces que actua val:

B S I B b a I B b I a F a

Mr r r r r r r r r r r

×

=

×

×

=

×

×

=

×

= ₃ ( )

2 Parell:

Es denomina parell el conjunt de dos vectors lliscants d’igual mòdul i direcció, sentit oposat i diferent línia d’acció. El moment d’un parell és independent del punt respecte del qual es calcule i el seu valor és:

a c Mr r r

×

=

on cr és un vector que va d’una línia d’acció a una altra.

El seu mòdul és M = d·a, on d és la distància entre les dues línies d’acció. El sentit de Mr

ve donat per la regla r d

M r

r c

-a r

a

S’ha substituït el producte ar × pel vector superfície, definit com un vec-br tor de mòdul ab, direcció perpendicular al pla de l’espira, i sentit determinat per la regla del vis aplicat en el sentit de gir del corrent.

El producte de la intensitat pel vector superfície es denomina moment magnètic de l’espira.

S I

mr = r i es mesura en Am^{2 Equació 6.4} El moment del parell o moment de les forces queda finalment:

B m Mr r r

×

= i es mesura en Nm ^{Equació 6.5}

Per tant, quan el moment magnètic o el vector superfície de l’espira si- guen paral·lels al camp magnètic aplicat, l’espira estarà en equilibri dinàmic. Si l’espira es col·loca amb el seu vector superfície dirigit en una altra direcció dis- tinta, hi apareixerà un parell que tendirà a alinear el vector superfície amb el vector camp magnètic.

S’ha considerat que l’espira és rectangu- lar. Tanmateix, aquest resultat pot extrapolar-se a qualsevol espira plana de manera arbitrària, únicament considerant l’espira de manera arbi- trària com un conjunt d’espires elementals rec- tangulars d’àrea dS, i recorregudes cadascuna d’aquestes per un corrent I.

Com es pot observar en la Figura 6.9, on s’ajunten dues espires, els corrents adjacents tenen sentits contraris, per la qual cosa s’anul·len. De la mateixa manera passa amb la força sobre aquests segments. Amb aquesta idea, pot considerar-se que cada espira elemen- tal té un moment magnètic dmr =IdSr, i el mo-

ment magnètic total ^{mr =}

∫

^{IdSr =ISr}, ja que en sumar les espires elementals, els corrents en els costats adjacents s’anul·len, i hi queden sols la intensitat perifè- rica I i la superfície Sr

.

De la mateixa manera, el moment del parell que actua sobre l’espira és la suma dels moments elementals sobre cada espira elemental, per tant, tin- drem ^{Mr =}

∫

^{dMr =}

∫

^{dmr ×Br}, i si el camp és uniforme i l’espira plana:

( )

^{dm B m B}

B m d

Mr r r r r r r

×

=

×

=

×

=

∫ ∫

Queda així demostrat que el moment magnètic d’una espira i el moment de força sobre aquesta és independent de la seua forma, amb l’única condició que siga plana.

Tot el que s’ha dit anteriorment, és aplicable també a una bobina de N voltes, ja que està constituïda per N espires. En aquest cas, el moment magnè- tic de la bobina és mr =NISr, i el moment del parell Mr NISr Br

×

= .

I

rB

rdS

rB

I

Figura 6.9. Moment de força sobre una espira de forma irregular.

Exemple 6.3

Siga l’espira de la figura de costats a, b i c, per la qual circula una intensitat I en el sentit in- dicat, situada en l’interior d’un camp magnètic

j B Br r

= . Trobeu:

a) Forces magnètiques sobre els costats de l’espira.

b) Moment magnètic de l’espira.

c) Moment resultant de les forces sobre l’espira.

Solució

I b

a

c

x

y

z r

B

a) La força sobre un conductor que es troba en un camp magnètic Br de longitud lr

pel qual circula un corrent I val ^Fr ^I

( )

rl ^Br

×

= . Per tant, en cada segment de corrent tindrem:

( ) (

^{a B I}

(

^{bk cj}

)

^Bj

)

^IbBi

I

Fr_a r r r r r r

=

× +

−

=

×

= ^Fb ^IbB

( )

^{k j IbBi}

r r

r

r = × =−

( )

^{× =0}

=IbB j j Fr_c r r

b) El moment magnètic d’una espira es defineix com mr = . Així doncs: ISr i

Icb i

cb I S I

mr r r r

2 ) 1 2 (

1 − =−

=

=

c) I el moment de les forces val Mr mr Br

×

=

k IcbB j

B i Icb B

m

Mr r r r r r

2 1 2

1 × =−

−

=

×

=

Per tant, el moment de força tendirà a fer girar l’espira al voltant de l’eix OZ (en sentit horari vist des de dalt).

Exemple 6.4

Una bobina consta de 100 espires rec- tangulars de 6x4 cm de costat, i la recorre un corrent de 2,5 A. Es troba orientada com mos- tra la figura, formant el pla de les espires 37º amb l’eix y.

a) Quin és el moment magnètic de la bobina?

b) Quin és el moment del parell que actua so- bre la bobina si s’aplica un camp magnètic de 2 T en la direcció de l’eix y en sentit positiu?

100 voltes

I 6 cm

4 cm

y z

x

α

Solució

a) El vector superfície és perpendicular al pla de les espires. El sentit s’obté aplicant la regla del vis al gir del corrent.

cm2

) 6 . 0 8 . 0 ( 24 ) 37 37

(cos i sen j i j

S

Sr r r r r

−

=

−

= r

S

37º ^y

x

rB

i el moment magnètic mr =NISr=250⋅24⋅10⁻⁴(0.8ir−0.6rj)=(0.48ir−0.36rj)Am²

b) 0,96 Nm

0 2 0

0 36 , 0 48 ,

0 k

k j i

B m

M r

r r r

r r

r = × = − =

Per tant, el parell de forces tendirà a fer girar la bobina en sentit antihorari (vista des de dalt).

Motor elèctric

N S

-+

Fr

Fr

Sr

Figura 6.10. Motor elèctric. El camp magnètic no canvia de di- recció, i el vector superfície descriu un gir complet.

El motor elèctric està constituït per un conjunt d’espires que poden girar al voltant d’un eix fix en un camp magnètic. Quan cir- cule corrent per les espi- res, sobre aquestes actu- arà un parell de forces el moment M del qual depén del nombre d’espires, N, de la intensitat del corrent I, de la superfície d’aquestes, S del camp magnètic B, i de l’angle format entre Sr

i Br .

|M| = NISBsinα

α rS

rB

El parell de forces tendirà a situar-les amb el seu vector superfície pa- ral·lel al camp magnètic, i el sentit del parell canviarà cada vegada que les espires passen per la posició d’equilibri en α = 0, per la qual cosa el resultat seria un moviment oscil·latori al voltant de la posició d’equilibri, fins que el parell de fricció amb l’eix els detinguera.

Per a aconseguir un moviment circular, cal canviar el sentit del corrent cada vegada que les espires passen per la posició d’equilibri, de tal manera que el parell no s’invertisca. Això s’aconsegueix amb un contacte lliscant (escombreta) entre les espires i el conductor de corrent. D’aquesta manera, cada vegada que les espires passen per la posició d’equilibri, el sentit del corrent per aquestes s’inverteix, i el sentit del parell, i per tant el sentit del gir, no canvia.

6.5 Efecte Hall

Per un conductor pel qual circula un corrent en presència d’un camp mag- nètic apareix una força so- bre el conductor com s’ha analitzat en l’apartat 6.3.

Aquesta força sobre el conductor és la suma de les forces exercides sobre

cadascuna de les càrregues en moviment i que segueixen l’Equació 6.1. Atés que les càrregues són lliures per a desplaçar-se en l’interior del conductor, l’acció resultant d’aquestes forces donarà lloc a l’efecte Hall que es descriu a continuació:

Considerem un tram de conductor com el de la Figura 6.11 pel qual cir- cula una intensitat I. S’aplica un camp magnètic Br

perpendicular a aquesta intensitat. Com a conseqüència, i d’acord amb l’Equació 6.1, apareix una força perpendicular al camp magnètic i al moviment de les càrregues que provoca que aquestes es desplacen lateralment al sentit de la marxa i es concentren en un dels laterals del conductor. Aquesta acumulació de càrrega en un lateral comportarà l’aparició d’un camp elèctric en sentit transversal que actuarà sobre les càrregues en moviment amb una força contrària a la força magnètica. En l’equilibri, ambdues forces s’igualen. D’altra banda, relacionada amb aquest camp elèctric, hi ha una diferència de potencial en sentit transversal que es de- nomina tensió de Hall i que és mesurable experimentalment.

Si es realitza l’experiència, tal com es mostra en la Figura 6.11, són da- des d’entrada en aquesta el valor i sentit de la intensitat del corrent elèctric i el vector camp magnètic. Com a dada d’eixida s’obté el valor de la tensió de Hall (VH), i també la polaritat.

Si el material és un conductor, la polaritat obtinguda és la de la Figura 6.11, la qual cosa indica que la càrrega que circula és negativa, de manera que els portadors són electrons (queda per a l’estudiant verificar que si els porta- dors tingueren càrrega positiva, la polaritat de la tensió de Hall seria l’oposada).

El valor de la diferència de potencial de Hall pot obtenir-se a partir de la força magnètica sobre una càrrega mòbil i que ve donada per l’Equació 6.1:

B v q Fr_M r_a r

×

= ,

i per la força elèctrica produïda pel camp elèctric transversal creat per la redis- tribució de la càrrega elèctrica deguda a l’acció del camp magnètic.

VH

va

F B

I A C

+ -

a

x y z

r r

r

Figura 6.11. Efecte Hall en un conductor

Una vegada establit l’equilibri, suposant una distribució uniforme de la càrrega en les cares laterals del conductor i negligint el fet que aquesta distri- bució no siga indefinida, el valor del camp elèctric serà similar a l’existent en l’interior d’un condensador pla i, per tant, el valor de la força elèctrica que actua sobre un electró que circula en l’interior del conductor tindrà una expressió:

E q Fr_E r

= ,

En l’equilibri, ambdues forces han d’anul·lar-se, per la qual cosa

=0 +

×B qE v

qr_a r r

B v Er r_a r

×

−

=

∫

⁼

−

=

∆V_H Edl v_aBa

La tensió de Hall és directament proporcional a la velocitat d’arrossegament, al camp magnètic aplicat

i a l’amplada del conductor. VH = vaBa

En el cas concret del conductor de la figura, la velocitat dels electrons és i

v

vr_a =− _ar, el camp magnètic Br Bkr

= , per la qual cosa j B v k i B v B v

Er r_a r _a r r _a r

−

=

×

−

−

=

×

−

= ( )

i VH s’estableix en l’eix Y amb valor positiu en el punt C, en la Figura 6.11.

L’existència d’aquesta diferència de potencial es posa de manifest expe- rimentalment, en col·locar un voltímetre precís entre els punts A i C. Aquesta diferència de potencial sol ser de l’ordre de microvolts. En el cas que conside- rem i connectant el positiu del voltímetre al punt C i el negatiu al punt A, el vol- tímetre ens proporcionaria una lectura positiva; és a dir, la tensió en el punt C és major que la tensió en el punt A.

S’ha analitzat l’efecte Hall per a una conducció basada en electrons, que són els portadors de càrrega responsables de la conducció en els conductors metàl·lics i en els semiconductors tipus n. En els semiconductors tipus p, els portadors majoritaris són buits amb càrrega positiva, per la qual cosa la situació canvia pel que fa al sentit de moviment dels portadors, i per tant la polaritat de la tensió de Hall resultant.

Exemple 6.5

Una tira de plata de 5 cm d’amplada i 0,5 mm de gruix es col·loca en un camp magnètic de 2 T tal com s’indica en la figura. Quina és la diferència de potencial de Hall si s’hi fa circular una intensitat de 200 A, suposant que hi ha una mitjana de 0,65 electrons lliures per àtom?

Dades: Densitat de la plata 10,5 g/cm³; massa molar de la plata 107,9 g/mol.

I a

e

z

x

y

rB

Solució

En moure’s una càrrega en un camp magnètic, hi apareix una força magnètica el valor de la qual és: Fr_M q(vr Br)

×

= , per tant, sobre els electrons actuarà una força magnètica (en l’eix x) que provocarà una separació de càrregues. Aquesta separació de càrregues produirà un camp elèctric interi- or (si no fóra així, no hi hauria equilibri, i la separació continuaria indefini- dament). De manera que:

=0 + _E

M F

Fr r

→ q(vr×Br)=−qEr

VH

+ -

z

x

y

rB

rv

rFM

rFE

rEH

El camp elèctric que apareix es denomina camp elèctric Hall, i val, per tant:

VH = EH⋅a

S’ha de conéixer doncs, la velocitat amb què avança el núvol electrònic pel sòlid (no la velocitat individual d’un electró). Aquesta velocitat es deno- mina velocitat d’arrossegament i està relacionada amb la densitat de cor- rent, com ja s’ha tractat en temes anteriors de la manera:

q n v J

e a

r = r .

ne és la concentració d’electrons (nombre d’electrons per unitat de volum), que val:

ne = electrons lliures per àtom ⋅ àtoms/m³ = 0,65⋅quantitat de substància (n)⋅constant d’Avogadro = 0,65⋅n NA = 0,65⋅ _A

r

A N m .

1023

022 , 10796 , 0 10500 65

,

0 ⋅

e =

n = 3,81⋅10²⁸ electrons/m³.

La densitat de corrent és:

J = I/S = 200/2,5⋅10^-5 = 8 MA/m² Jr rj

=8 MA/m²

(

^j

)

^j

q n v J

e a

r r r r

31 , 10 1

602 , 1 10 81 , 3

10 8

19 28

6 =−

⋅

−

⋅

= ⋅

= ₋ mm/s

El signe negatiu de la velocitat es deu al fet que, en tractar-se de càrregues negatives, es mouen en sentit contrari al corrent.

B v Er_H r r

×

−

= = 1,31rj 2kr 2,62ir mN/C

=

× , que provocarà una diferència de potencial:

VH = EH⋅a = 131 µV (major cap a OX negatiu)

6.6 Problemes

1. Calculeu la força magnètica que actua sobre un protó que es mou amb una velocitat de 4·10⁶ m/s en el sentit positiu de l’eix X, en l’interior d’un camp mag- nètic de 2 T dirigit en el sentit positiu de les z.

(Dada: q(p) = 1,6·10^-19 C).

Sol: Fr =-1,28 10^-12jrN.

⋅

2. Indiqueu la direcció inicial de la desviació de les partícules carregades quan entren en els camps magnètics que es mostren en la figura.

Bent Bcap amunt arriba

a) c) Bdreta

Ba 45º

d) e) Beixida f) Bdreta

Càrrega neg.

eixent

Càrrega positiva entrant

b)

3. Un feix d’electrons es llança entre les armadures d’un condensador carregat a potencial V. Entre les armadures hi ha un camp magnètic uniforme, per- pendicular al camp elèctric. Sabent que les armadu- res estan separades una distància d, calculeu la ve- locitat dels electrons que no es desvien en passar pel condensador.

4. Un conductor llarg, paral·lel a l’eix X, porta un corrent de 10 A en el sentit positiu de les X. Hi ha un camp magnètic uniforme de valor 2 T en la direcció i el sentit de l’eix Y. Calculeu la força per unitat de longitud que actua sobre el conductor.

Sol: 20krN/m

Y

X

r

B

r

B

r

E

5. Pel segment de conductor de la figura circula un cor- rent I = 2 A des de P fins a Q. Hi ha un camp magnètic

T 1k

= Br r

. Calculeu la força total sobre el conductor i demostreu que és la mateixa que si tot el conductor fóra un segment recte des de P fins a Q.

Sol: ^Fr=

( )

^{8ir-6rj ⋅10-2N}

6. El conductor AC de la figura forma part d’un circuit, i pot lliscar sobre dos riels metàl·lics verticals.

Quin ha de ser el valor del camp magnètic uniforme, perpen- dicular al pla de la figura, si ha de produir una força que compense la de la gravetat quan el corrent pel conductor és de 10 A? Quin ha de ser el sentit del camp magnètic?

La longitud del conductor és 10 cm i la seua massa 20 g.

Sol: B = 0,196 T cap a fora del paper.

7. Es doblega de forma arbitrària un conductor i s’hi fa circular un corrent I en l’interior d’un camp magnètic Br

uniforme i perpendicular al pla del corrent. De- mostreu que la força total sobre la part del conductor que va des d’un punt a fins a un altre b és Fr =ILrxBr

sent Lr

el vector que va des de a fins a b.

8. L’efecte Hall pot utilitzar-se per a mesurar el nombre d’electrons de conduc- ció per unitat de volum n per a una mostra desconeguda. La mostra té 15 mm de gruix, i quan es col·loca en un camp magnètic d’1,8 T produeix un voltatge Hall de 0,122 µV mentre porta un corrent de 12 A. Quin és el valor de n?

Sol: n = 7,38·10²⁸ electrons/m³

9. Una mostra de plata de 2 mm de gruix s’utilitza per a mesurar el camp mag- nètic en determinada regió de l’espai. La plata té aproximadament n = 5,86·10²⁸ electrons/m³. Si un corrent de 15 A en la mostra produeix un voltatge de Hall de 0,24 µV, quina és la intensitat del camp magnètic?

Sol: B = 0,3 T

10. La figura mostra una de les espires rectangulars de 10 cm per 5 cm, d’una bobina de 20 espires. Porta un corrent de 0,1 A i té golfos en un costat. Quin mo- ment obra sobre l’espira (mòdul, direcció i sentit) si està muntada amb un pla que forma un angle de 30º respecte de la direcció d’un camp magnètic uniforme de Br=0,5 jrT

? Sol: -4,3 10^-3krNm

⋅

Y

Z

P X C Q

I

PC = 3 cm CQ = 4 cm

A C

Z

X

30º Y

r

B I

11. Per a mesurar un camp magnètic es col·loca una bobina de 200 espires de 14 cm² de secció formant aquestes un angle de 30º amb el camp. En circular una intensitat de 0,7 A es mesura un moment de 980·10^-6 Nm. Calculeu B.

Sol: B = 5,7·10^-3 T.

12. Siga l’espira de la figura de costats a, b i c, per la qual circula una intensitat I en el sentit indicat, situada en l’interior d’un camp magnètic Br=Brj

. Calculeu: a) forces magnètiques sobre els costats de l’espira, b) moment mag- nètic de l’espira, c) moment resultant de les forces sobre l’espira.

Sol:

a) Fr_a =IbBir, Fr_b = IbBir, Fr_c =0

- b) mr =- Ibcir (1/2) c) Mr =- IbcBkr

(1/2)

13. Siga l’espira rectangular de la figura de costats a i b, recorreguda per un corrent d’intensitat I en el sentit indi- cat, situada en l’interior d’un camp magnètic no uniforme

de valor k

x B a

= Br ₀ r

. Calculeu la força que apareix sobre els costats 1 i 2.

Sol: )Fr₁ IB₀bir Fr₂ IB₀aln2( jr

−

=

=

GLOSSARI

Força magnètica sobre una càrrega mòbil. És la força que experi- menta una càrrega q en moure’s amb una velocitat v en un camp magnètic B.

B v q Fr r r

×

=

Tesla: En un punt de l’espai hi ha un camp magnètic d’un tesla si en moure’s una càrrega elèctrica puntual d’un coulomb perpendicularment al camp magnètic amb una velocitat d’un metre per segon, experimen- ta una força perpendicular a la velocitat d’un newton.

Força sobre un element de corrent: Força que actua sobre un cor- rent I de longitud dl en un camp magnètic B.

) (d B I

F

d r

rl

r = ×

rS

B Z

Y 30º

I Z

Y X

c

b a

Y

X a 2a b

I 1

2

Moment magnètic d’una espira: És el producte de la intensitat que circula per una espira de corrent pel vector superfície. Té el sentit del vector superfície, és a dir, el resultant d’aplicar la regla de la mà dreta a l’espira, amb el sentit del corrent com a sentit de gir.

S I mr = r

Moment de forces sobre una espira: És el producte vectorial entre el moment magnètic de l’espira i el camp magnètic.

B m Mr r r

×

=

Efecte Hall. Efecte que apareix quan un corrent elèctric circula no pa- ral·lelament a un camp magnètic. El camp provoca una separació dels portadors de càrrega que es manifesta com una diferència de potenci- al denominada voltatge de Hall, i que es calcula com:

VH = vaBa

on va és la velocitat d’arrossegament dels portadors, B el camp mag- nètic, i a l’amplada del conductor en la direcció en què apareix VH.