Probabilidad PROBABILIDAD

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PROBABILIDAD

1. Experimentos aleatorios... 2

2. Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. 3 3. Sucesos... 3

4. El álgebra de Boole de los sucesos... 4

5. Frecuencias. Propiedades... 6

6. Definición axiomática de probabilidades. Propiedades.. 7

7. Probabilidad condicionada... 10

8. Sucesos independientes... 12

9. Teorema de la probabilidad total... 14

10. Teorema de Bayes... 15

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1. EXPERIMENTOS ALEATORIOS

Un experimento aleatorio es aquel que realizado en las mismas condiciones o causas, puede dar lugar a diferentes resultados o efectos conocidos de antemano.

Son ejemplos de experimentos aleatorios:

EJEMPLO 1.1: Se lanza un dado y se observa el número o la figura que aparece en la cara superior.

EJEMPLO 1.2: Se lanza una moneda cuatro veces y se observa el número de caras obtenidas.

EJEMPLO 1.3: En un proceso de producción se cuentan el número de artículos defectuosos que se producen en un día.

EJEMPLO 1.4: De una urna que contiene bolas blancas y negras, se extrae una bola y se anota su color.

¿Qué tienen en común estos experimentos?:

- Cada experimento puede repetirse indefinidamente bajo condiciones esencialmente inalterables.

- Aunque en general no podemos predecir cuál será el resultado de cada repetición, si es posible describir el conjunto de todos los resultados posibles.

- Cuando el experimento se repite un número grande de veces aparecen ciertas regularidades en los resultados.

Al describir un experimento aleatorio, es esencial especificar qué aspecto del resultado nos interesa observar, o, dicho de otro modo, cuál es nuestro criterio para considerar dos resultados como diferentes. Esta especificación se logra mediante el espacio muestral.

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2. ESPACIO MUESTRAL ASOCIADO A UN EXPERIMENTO ALEATORIO

A cada experimento asociamos un conjunto E, que denominaremos espacio muestral, formado por todos los resultados posibles del experimento.

Así en el caso del lanzamiento de un dado se puede tomar como espacio muestral:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

En el caso del lanzamiento de dos monedas: E = {cc, cx, xc, xx}

3. SUCESOS

Suceso elemental es cada uno de los resultados posibles de una experiencia.

Ejemplo: "Obtener un cinco al arrojar un dado".

El conjunto de todos los sucesos elementales constituye el espacio muestral.

Suceso compuesto es el conjunto de varios sucesos elementales. Por ejemplo "Obtener número par".

Podemos, pues, definir un suceso de un experimento aleatorio como un subconjunto del espacio muestral.

Suceso imposible es aquel que no se puede realizar nunca y se le denota ∅.

Ejemplo: "Obtener un siete al lanzar un dado".

Suceso seguro es aquel que se verifica siempre, que es precisamente el espacio muestral E.

Los sucesos asociados a un experimento aleatorio constituyen un álgebra.

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4. EL ALGEBRA DE BOOLE DE LOS SUCESOS

Supongamos que nos encontramos ante un experimento al cual se le asocia una familia de conjuntos A, B, C, ... etc., de tal forma que fijado uno de ellos el suceso o conjunto A al realizar una prueba del experimento podemos decir, si se ha verificado o no dicho suceso al observar el resultado de la prueba.

Ejemplo: En el experimento aleatorio de lanzar dos monedas se realiza la siguiente pregunta: "¿Es el número de caras menor o igual que uno?"

Como vemos, esta pregunta tiene respuesta y el suceso que responde "sí" a la pregunta es:

A = {cx, xc, xx}

Definiciones:

- Diremos que el suceso A implica el suceso B si siempre que se verifica A se verifica B (A ⊂ B).

- Si dos sucesos son tales que A⊂ B y B ⊂ A, entonces diremos que son iguales A=B.

Se dice que un suceso es contrario o complementario a otro cuando se verifica este si no se verifica A. Se denota A

Ejemplo: A = {múltiplo de 2} => El suceso contrario es A = {1, 3, 5}

Dados dos sucesos A y B se llama unión de dos sucesos A ∪ B al suceso que se verifica cuando se verifica A o se verifica B.

AB={x tales que x∈A ó x∈B}.

Propiedad AA=E.

A

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Ejemplo: A = {2, 4}; B = {1, 2} => A ∪ B = {1, 2, 4}

Se llama intersección de sucesos A∩B al suceso que se verifica si se verifica A y B.

AB ={ x tales que x∈Ay x∈B}.

Propiedad AA= ∅

Ejemplo: A = {2, 4} B = {1, 2} => A ∩ B = {2}

- Dos sucesos son incompatibles, si no pueden verificarse juntos, A ∩ B = ∅ Ejemplo: A ={2, 4} B = {1, 6} => A ∩ B = ∅

Propiedades de la unión e intersección de sucesos:

UNION INTERSECCIÓN

Conmutativa A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

Asociativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩C) = (A∩ B) ∩ C

Idempotente A ∪ A=A A ∩ A = A

Simplificación A ∪ (B ∩ A) = A A ∩ (B ∪ A) = A

Distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B)∩(A ∪ C) A∩(B ∪ C) = (A∩ B)∪(A ∩ C)

∃ el. neutro A ∪ ∅ = A A∩ E = A

∃el. complemen. A ∪ A = E A ∩ A = ∅

El conjunto formado por todos los subconjuntos del espacio muestral (P(E)) con la unión y la intersección, por verificar estas propiedades tiene estructura de algebra de Boole, a ésta se la llama: "Álgebra de Boole de los sucesos".

Definición: Sea B una familia de subconjuntos de un espacio muestral, se dice que B es un σ- álgebra si se verifica:

1) A₁,A₂,...,A_n,..∈B entonces _i

i 1

A

∞

=



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Definición: Decimos que una función ϕ:B→ es completamente aditiva si cumple: R 1) ( )ϕ ∅ = 0 2)

∑

=

∞

=

=



 

 ϕ

1 i

i 1

i

i (A )



Definición: Decimos queµ: B→ es una medida si es completamente aditiva y no R negativa (es decir, µ(A_i)≥0).

Definición: Llamaremos espacio medible a la terna constituida por el conjunto E, la σ- álgebra y la medida µ. (E, B, µ).

Leyes de De Morgan

• A B A B =  . El suceso complementario de la unión de sucesos, es el suceso intersección de los complementarios.

• A B A B =  . El suceso complementario de la intersección de sucesos, es el suceso unión de los complementarios.

Se nos plantea el problema de cuantificar o medir la posibilidad de ocurrencia de un suceso. Para ello vamos a considerar las propiedades de las frecuencias relativas de un suceso en la realización de un experimento aleatorio.

5. FRECUENCIAS. PROPIEDADES

Dado un suceso A, la frecuencia absoluta del suceso A en una serie de n repeticiones similares del experimento se la representa por n . _A

La frecuencia relativa del suceso A es la frecuencia absoluta dividida por el número de veces que se realiza el experimento, se la representa por f_A.

n f_A = n^A

Propiedades:

1) Para cualquier suceso A, resulta: 0≤f_A≤1, ya que será siempre cociente de dos números positivos en el que el numerador es siempre menor o igual que el denominador.

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2) Para el suceso seguro E: f_E = 1

3) Para el suceso imposible ∅: f_∅ = 0

4) Si dos sucesos A y B son incompatibles, tendremos: sea n la frecuencia absoluta _A de A, n la frecuencia absoluta de B y sea _B n_{A B∪} la frecuencia absoluta del suceso A ∪ B, por ser incompatibles n_A∪B=n +_A n , luego: _B

A B A B A B

A B A B

n n n n n

f f f

n n n n

∪ ∪

= = + = + = +

por consiguiente f_{A B∪} =f_A+ si f_B A∩ = ∅B

Cuando el número de pruebas aumenta, las frecuencias tienden a estabilizarse en las proximidades de un cierto valor.

6. DEFINICIÓN AXIOMATICA DE PROBABILIDAD. PROPIEDADES.

Sea un experimento aleatorio y B la σ-álgebra de sucesos asociados a él. A cada suceso A∈B le asignamos un número P(A) denominado probabilidad de A que satisface los axiomas siguientes:

Axioma 1. P(A) ≥ 0

Axioma 2. P(E) = 1, siendo E el espacio muestral

Axioma 3. P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) con A1 ∩ A2 = ∅

Consideraremos la probabilidad como el número al cual tiende la frecuencia relativa de un suceso A al repetirse la experiencia indefinidamente.

[ ]

A

A n

f n P(A) 0,1

n ^→∞

= → ∈

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Este número se corresponde con el cociente del cardinal de elementos del suceso A y el cardinal del espacio muestral.

“REGLA DE LAPLACE”

La probabilidad de un suceso es el número que se obtiene al dividir el número de casos favorables al suceso por el número de casos posibles

card(A) P(A)= card(E)

Hemos de advertir que esta definición, solamente es válida cuando todos los sucesos posibles son equiprobables, es decir, que tengan la misma probabilidad de ocurrencia y el espacio muestral sea finito.

Obsérvese que los axiomas son consecuencia directa de las propiedades de las frecuencias.

Por todo lo visto, tenemos construido un espacio medible (E, B,µ) cuya medida es la probabilidad µ= P(A).

Consecuencia de los axiomas son las propiedades.

Propiedades:

1) P(A)=1-P(A)

En efecto: A∪A=E y A∩ = ∅ A P(A∪A)=P(A)+P(A)=P(E)=1 ⇒ P(A)=1-P(A)

2) P(∅)=0

Por la propiedad anterior P(∅)=1-P(E)=1-1=0

3) Si A⊂B, entonces P(A)≤P(B)

Si A⊂B se tiene que B=A∪ ∩(B A) siendo A∩(B∩A)= ∅

P(B)=P(A∪ ∩(B A))=P(A)+P(B∩A) y como P(B∩A)≥0 ⇒P(B)≥P(A)

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4) Si A y B son compatibles, entonces: P(A∪ B) = P(A)+P(B)-P(A ∩ B) La demostración la ilustraremos con la ayuda del

diagrama adjunto:

Observando la figura escribiremos A, B, y A∪ B como unión de sucesos incompatibles.

A=(A∩ ∪B) (A∩B) B=(B∩A)∪(A∩B) A∪ B = (A∩ ∪B) (A∩ ∪B) (A∩B)

por el axioma 3 tenemos:

P(A) = P(A∩B)+P A( ∩B) y P B( )=P B( ∩A)+P A( ∩B) de donde,

P A( ∩B)=P A( )−P A( ∩B) y P B( ∩A)=P B( )−P A( ∩B) y por tanto,

P(A∪ B)=P(A∩B)+P A( ∩B)+P A( ∩B)=P(A)-P(A∩B)+P(A∩B)+P(B)-P(A∩B)=

=P(A)+P(B)-P(A∩ B)

5) ^{P A}

(

)

( ) ( ) ( ) (

) (

) (

)

EJEMPL0 6:

En una habitación hay 18 personas de las que 9 son hombres, con cinco fumadores entre ellos y el número de mujeres fumadoras es 6. Se elige al azar una persona. Calcular: a) Probabilidad de elegir una mujer no fumadora. b) Probabilidad de elegir una mujer o un no fumador. c) Supongamos que se eligen al azar dos personas de la habitación, ¿cuál es la probabilidad de elegir a un hombre y a una mujer?

Solución:

La situación es la siguiente:

5 hombres fumadores

A Α ∩Β B

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4 hombres no fumadores 6 mujeres fumadoras 3 mujeres no fumadoras Consideramos los sucesos:

A = {la persona elegida es mujer} y B = {la persona elegida es no fumadora}

a) P(A∩B) = 3 /18

b) P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = ^{9 7 3 13} 18+18−18 =18

Puesto que P(A)=9/18, ya que son 9 las mujeres y P(B) = 7/18 por ser 7 el número de no fumadores.

c) Al tomar 2 personas del total de 18 obtenemos un total de 18 posibles por 17 restantes divido por dos, ya que no importa el orden, se trata de combinaciones de 18 elementos tomados de 2 en 2, y se escribe 18 18 17

2 2 153

  ⋅

= =

   . Ahora podemos escoger 9 hombres y 9 mujeres, luego 9 9 9

P 153 17

= ⋅ =

7 PROBABILIDAD CONDICIONADA

Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Representamos por P(B/A) la probabilidad de que ocurra B supuesto que haya ocurrido A. Hablaremos de probabilidad de B condicionada por A y se define:

) A ( P

) B A ( ) P A / B (

P = ∩ siendo P(A)≠0

Debe observarse que P(B) y P(B/A) operan sobre espacios muestrales diferentes. Por ello, consideramos un experimento aleatorio, que realizamos n veces, dados dos sucesos

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determinados A y B, sea n_A∩B el número de veces que han ocurrido los dos sucesos, queremos determinar la frecuencia relativa del suceso B teniendo en cuenta únicamente las veces que ocurrió el suceso A, esta frecuencia relativa que la podíamos llamar frecuencia relativa de B condicionada a la ocurrencia del suceso A, vendrá dada por

A B A A /

B n

f = n ^∩ que dividiendo por

n:

A B A A

B A A /

B f

f n / n

n /

f =n ^∩ = ^∩

es decir, la frecuencia relativa de B condicionada a A es el cociente entre la frecuencia relativa del suceso intersección y la frecuencia relativa del suceso A. Expresión que da lugar a la definición de probabilidad condicionada.

Ahora bien, tenemos que asegurarnos de que P(B/A) es efectivamente una probabilidad, para lo cual debe satisfacer los axiomas.

En efecto:

Axioma 1 P(B/A) ≥ 0

Como P(A∩B) ≥ 0 y P(A)>0 => P(B/A) será no negativo.

Axioma 2 P(E/A)=1

Ya que, P(E/A) = 1

) A ( P

) A ( P ) A ( P

) A E (

P ∩ = =

Axioma 3

Si B y C son incompatibles, P((B∪C)/A)= P(B/A)+P(C/A)

) A ( P

) A ) C B ((

) P A / ) C B ((

P ∪ = ∪ ∩

como (B∪C)∩A=(B∩A)∪(C∩A)

siendo (B∩A)∩(C∩A)=(B∩C)∩ = ∅ ∩ = ∅A A

tenemos que P((B∪C)∩A)=P((B∩A)∪(C∩A))=P(B∩A)+P(C∩A)

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resultando

) A ( P

) A C ( P ) A ( P

) A B ( P )

A ( P

) A C ( P ) A B ( ) P A / ) C B ((

P ∩

∩ +

∩ = +

= ∩

∪ =P(B/A)+P(C/A)

EJEMPLO 7:

Consideremos el experimento aleatorio de lanzar un dado el suceso A = {resultado impar} y B = {resultado mayor que 4}. Se pide P(B/A).

Solución:

A = {resultado impar} = {1, 3, 5} => P(A) = 3/6 B = {resultado mayor que 4} = {5, 6} => P(B)= 2/6

A∩B = {resultado impar y mayor que 4} = {5} => P(A∩B) = 1/6

Sustituyendo:

P(A B) P(B / A)

P(A)

= ∩ = ^{1/ 6} 1/ 3 3 / 6=

De la definición de probabilidad condicionada, se tiene:

∩ ⇒

= P(A) ) B A ( ) P A / B (

P P(A∩B) = P(A) P(B/A)

y análogamente

∩ ⇒

= P(B) ) B A ( ) P B / A (

P P(A∩B) = P(B) P(A/B)

Se obtiene, P(A∩B) = P(A) P(B/A) = P(A) P(B/A) expresión que se conoce con el nombre de teorema de la probabilidad compuesta.

Generalizando,

) A ...

A / A ( P )...

A A / A ( P ) A / A ( P ) A ( P ) A ...

A A (

P ₁ ∩ ₂ ∩ ∩ _n = _{1 2 1 3 1} ∩ _{2 n 1} ∩ ∩ _n−1

8. SUCESOS INDEPENDIENTES

Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no depende de la ocurrencia del otro. Así, si lanzamos dos dados, el resultado que pueda obtenerse en cada uno de ellos es independiente del otro.

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Si B es independiente de A la P(B/A) = P(B) y por tanto P(A∩ B)=P(A) P(B) )

A ( ) P B ( P

) B ( P ) A ( P ) B ( P

) B A ( ) P B / A (

P ∩ = =

= y se tiene que A es independiente de B.

Generalizando, si A₁,...,A_n son independientes, entonces:

) A ( P )...

A ( P ) A ( P ) A ...

A A (

P ₁∩ ₂∩ ∩ _n = _{1 2 n}

EJEMPLO 8.1:

Se lanza simultáneamente cinco monedas. Hallar la probabilidad de obtener al menos una cara.

Solución:

P(obtener una cara al lanzar una moneda) = ½ P(no obtener una cara al lanzar una moneda) = ½

P(no obtener ninguna cara al lanzar cinco monedas) = P(no obtener una cara al lanzar una moneda)...⁵⁾.. P(no obtener una cara al lanzar una moneda) = (½)⁵=1/32

Es conveniente pasar al suceso contrario,

P(al menos una cara) = 1 - P(no obtener ninguna cara) = 1 - (1/32) = 31/32

EJEMPLO 8.2:

Sean A y B dos sucesos asociados a un experimento aleatorio. Supóngase que P(A)

= 0.4, P(A∪B) = 0,7, y P(B) = p. a) ¿Para qué valor de p son A y B incompatibles? a) ¿Para qué valor de p son A y B independientes?

Solución:

a) P(A∪B) = P(A) +P(B) para sucesos incompatibles, sustituyendo P(A∪B) = P(A) + P(B) = 0,4 + p = 0,7 ⇒ p = 0,3

b) P(A∩B) = P(A) P(B) para sucesos independientes.

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) = 0,4 + p - 0,4 p = 0,7

⇒ 0,3 = 0,6 p entonces p = 0,5

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9 TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Decimos que un conjunto de sucesos B1, B2,…, Bn forma un sistema completo o partición del espacio muestral E cuando cumplen:

1. Son incompatibles dos a dos, B_iB_j ∅ si _{i  j}. 2. La unión de todos ellos forma un suceso seguro (

n i i 1

B E





Si A es otro suceso cualquiera, se cumple que: ⁿ _{i i}

i 1

P(A) P(A / B )P(B )







Demostración:

A = AE = A(B₁B₂....B_n) = (A )(B₁ AB₂)...(AB_n) se cumple que AB_i i son incompatibles por serlo B _i

i j i j

(AB ) (A B ) A (B  B )  por tanto, aplicando la fórmula de la probabilidad condicionada,























 ⁿ

1 i

i i n

1 i

n n

2

1) P(A B ) ... P(A B ) P(A B ) P(A/B )P(B )

B A ( P ) A ( P

EJEMPLO 9:

Se tienen dos urnas: la urna número 1 tiene tres bolas blancas y dos negras; la urna número 2 tiene una bola blanca y tres negras. Se elige una urna al azar, y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?

Solución:

Probabilidad

Urna número 1: {3 Blancas, 2 Negras}; Urna número 2: {1 Blanca, 3 Negras}

Sean los siguientes sucesos:

B1= {elegir la urna número 1}

B2= {elegir la urna número 2}

A = {extraer bola blanca}

tenemos,

P(B1) = P(B2) = ½ por seleccionar la urna al azar.

P(A/ B1) = 3/5 por estar situados en la primera urna.

P(A/ B2) = ¼ por estar situados en la segunda urna.

por consiguiente,

P(A) = P(A/ B1) P(B1) + P(A/ B2) P(B2) = ^{3 1 1 1 3 1 17} 5 2+4 2=10+ =8 40

10 TEOREMA DE BAYES

Sea el espacio muestral E y los sucesos B₁,B₂,....,B_n incompatibles dos a dos, φ

=

∩ _j

i B

B si i≠ j, tales que B₁∪B₂∪....∪B_n =E. Si A es otro suceso cualquiera, se cumple que:

∑

= _n

1 i

i i

i i i

) B ( P ) B / A ( P

) B ( P ) B / A ( ) P A / B ( P

Demostración:

Por el teorema anterior

∑

=

= ⁿ

1 i

i i)P(B ) B

/ A ( P )

A (

P y como P(A∩B_i)=P(A/B_i)P(B_i) obtenemos,

∑

∩ =

= _n

1 i

i i

i i i

i

) B ( P ) B / A ( P

) B ( P ) B / A ( P )

A ( P

) B A ( ) P A / B ( P

EJEMPLO 10:

En el ejemplo anterior supongamos que, realizado el experimento, la bola extraída resulta ser blanca, ¿cuál es la probabilidad de que la urna de la cual se ha extraído la bola sea la urna número 1?

Probabilidad

Solución:

1 1

1

1 1 2 2

3 1 3

P(A / B )P(B ) 5 2 10 12

P(B / A)

3 1 1 1 17 P(A / B )P(B ) P(A / B )P(B ) 17

5 2 4 2 40

= = = =

+ +

Obsérvese como el teorema de la probabilidad total nos determina la probabilidad a priori, sin embargo el teorema de Bayes nos indica la probabilidad a posteriori, es decir, una vez realizado el experimento.

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