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Programaci´on: Multiplicaci´on de polinomios Tarea optativa Objetivos.

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Academic year: 2022

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(1)

Programaci´ on: Multiplicaci´ on de polinomios

Tarea optativa

Objetivos. Escribir una funci´on que multiplique dos polinomios. Los polinomios se re- presentan como listas de sus coeficientes.

Requisitos. Ciclos de tipo for, sumas.

Preliminares te´ oricos (se recomienda hacerlos antes de la clase)

1. F´ormulas para los coeficientes del producto de los polinomios, un ejemplo.

Sean

f(x) = a1+ a2x + a3x2+ a4x3, g(x) = b1+ b2x + b3x2.

Denotemos por ck los coeficientes del producto h(x) = f(x)g(x):

h(x) = c1+ c2x + c3x2+ c4x3+ c5x4+ c6x5. Exprese los coeficientes de h a trav´es de los coeficientes de f y g:

c1 = c2 = c3 = c4 = c5 = c6 =

2. En los sumandos aibj que forman el coeficiente c3 del ejercicio anterior, ¿cu´al es la relaci´on entre i y j?

i + j =

En general, ¿cu´al es la relaci´on entre i y j en los sumandos aibj que forman ck? i + j =

Programaci´on: Multiplicaci´on de polinomios, p´agina 1 de 3

(2)

F´ormula general escita de manera abstracta. Sean f(x) y g(x) polinomios de grados m y n respectivamente:

f(x) = a1+ a2x + a3x2+ . . . + am+1xm, g(x) = b1+ b2x + b3x2+ . . . + bn+1xn. Entonces

ck = X

i,j : i+j=k+1 1≤i≤m+1

1≤j≤n+1

aibj.

Sustituyendo j por k + 1 − i uno puede escribir la suma con una variable i:

ck= X?

i=?

aibk+1−i. Vamos a determinar los l´ımites de la variaci´on de i.

3. Si j = k + 1 − i, ¿c´omo se escriben las desiguldades j ≥ 1 y j ≤ n + 1 en t´erminos de la variable i?

j≥ 1 ⇐⇒ ⇐⇒ i ≤

j≤ n + 1 ⇐⇒ ⇐⇒ i ≥

4. Entrenamiento: simplificar sistemas de desigualdades simples. Simplifique los siguientes sistemas de desigualdades:

i ≥ 2;

i ≥ 5 ⇐⇒ i ≥ |{z}

?

i≤ 8;

i≤ 4 ⇐⇒ i ≤ |{z}

?

i ≥ a;

i ≥ b ⇐⇒ i ≥ | {z }

?

i≤ a;

i≤ b ⇐⇒ i ≤ | {z }

?

5. L´ımites de la variaci´on de i. Tomando en cuenta que j = k + 1 − i escriba todas las desigualdades en t´erminos de la variable i y simplifique el sistema obtenido:











 i ≥ 1 i ≤ m + 1 j≥ 1 j≤ n + 1

⇐⇒











 i ≥ 1 i ≤ m + 1 i ≤

i ≥

⇐⇒



 i ≥ i ≤

Programaci´on: Multiplicaci´on de polinomios, p´agina 2 de 3

(3)

6. Escriba los l´ımites de la variaci´on de i en la f´ormula general para los coeficientes del producto de dos polinomios:

ck=

z }| {?

X

i=| {z }

?

aibk+1−i.

7. Problema PolProduct. Escriba una funci´on que calcule la lista de los coeficientes del producto de dos polinomios dados por sus listas de los coeficientes.

Entrada: a, b (listas de los coeficientes de los polinomios f(x) y g(x));

Variables locales: m, n, p, i, k, c;

// Calculemos los grados de los polinomios f(x), g(x) y f(x)g(x):

m := (longitud de a) - 1;

n := ...

p := ...

c := lista nula de longitud ...

Para k := 1, ..., p + 1:

imin := ...

imax := ...

c[k] se calcula como la suma de las expresiones ...

donde i corre de imin a imax;

Regresar: c.

8. Comprobaci´on. Es f´acil ver que

(2 − 3x + 5x2)(3 + 4x − x2+ 7x3) = 6 − x + x2+ 37x3− 26x4+ 35x5.

Por lo tanto la funci´on PolProduct aplicada a las listas 2, −3, 5 y 3, 4, −1, 7 debe regresar la lista 6, −1, 1, 37, −26, 35.

Programaci´on: Multiplicaci´on de polinomios, p´agina 3 de 3

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