Universidad De Santiago De Chile C´ alculo B-10

Universidad De Santiago De Chile C´ alculo B-10

Prof: Eugenio Rivera M.

Ayud: Perla Trejos M.

Control N

^o

4 A˜ no 2009

1. Dada las ecuaciones de una curva en coordenadas param´etricas

½ x(t) = t

²

+ 3t − 2

y(t) = 2 − t − t

²

. Deter- mine dy

dx , d

²

y dx

²

, d

³

y

dx

³

.

2. Dada la curva en coordenadas param´etricas

½ x(t) = e

^t

cos t

y(t) = e

^t

sin t . Determine d

²

y dx

²

.

3. Una part´ıcula se mueve a lo largo de una curva de ecuaciones param´etricas

½ x(t) = 2 − 3 cos t y(t) = 3 + 2 sin t donde t es el tiempo medido en segundos y x e y en metros.

a) Encuentre la variaci´on en la unidad de tiempo de la abscisa en t =

^π₃

. b) Encuentre la variaci´on en la unidad de tiempo de la ordenada en t =

^5π₃

.

c) Encuentre la variaci´on en la unidad de tiempo del ´angulo ρ de inclinaci´on de la tangente en t =

^2π₃

.

d) Encuentre la ecuaci´on cartesiana de la curva. Identifique la curva.

Soluci´ on Control N ^o 4.

1. Dada las ecuaciones de una curva en coordenadas param´etricas

½ x(t) = t

²

+ 3t − 2

y(t) = 2 − t − t

²

. Deter- mine

dy

dx = y

⁰

(t)

x

⁰

(t) = −1 − 2t 2t + 3 . d

²

y

dx

²

=

d dt

¡

_dy

dx

¢ x

⁰

(t) =

d dt

¡

_−1−2t

2t+3

¢

x

⁰

(t) = 1 2t + 3 · d

dt

µ −1 − 2t 2t + 3

¶

= −4

(2t + 3)

³

d

³

y

dx

³

=

d dt

³

d²y dx²

´

x

⁰

(t) =

d dt

³

−4 (2t+3)³

´

x

⁰

(t) = 1 2t + 3 · d

dt

µ −4

(2t + 3)

³

¶

= 24

(2t + 3)

⁵

2. Dada la curva en coordenadas param´etricas

½ x(t) = e

^t

cos t

y(t) = e

^t

sin t . Determine d

²

y dx

²

. Calculemos primero

dy

dx = y

⁰

(t)

x

⁰

(t) = e

^t

sin t + e

^t

cos t

e

^t

cos t − e

^t

sin t = sin t + cos t cos t − sin t . Entonces

d

²

y dx

²

=

d dt

¡

_dy

dx

¢ x

⁰

(t) =

d dt

¡

sin t+cos t cos t−sin t

¢

x

⁰

(t) = 1

e

^t

(cos t − sin t) · d dt

µ sin t + cos t cos t − sin t

¶

= 2

e

^t

(cos t − sin t)

³

3. Una part´ıcula se mueve a lo largo de una curva de ecuaciones param´etricas

½ x(t) = 2 − 3 cos t y(t) = 3 + 2 sin t donde t es el tiempo medido en segundos y x e y en metros. Encuentre la variaci´on en la unidad de tiempo y el cambio de direcci´on:

a) De la abscisa en t =

^π₃

.

La variaci´on de la abscisa es: dx dt = d

dt (2 − 3 cos t) = 3 sin t. Evaluando en t =

^π₃

resulta dx

dt .

t=^π₃

= 3 sin π

3 = 3 √ 3 2 b) De la ordenada en t =

^5π₃

.

La variaci´on de la ordenada es: dy dt = d

dt (2 − 2 sin t) = 2 cos t. Evaluando en t =

^5π₃

resulta dy

dt .

t=^5π₃

= 2 cos 5π 3 = 1 c) Del ´angulo ρ de inclinaci´on de la tangente en t =

^2π₃

.

El ´angulo ρ queda definido por ρ = arctan µ dy

dx

¶

, luego la variaci´on del ´angulo es:

dρ dt = d

dt arctan

µ 2 cos t 3 sin t

¶

= d

dt arctan µ 2

3 cot t

¶

= −6 csc

²

t

9 + 4 cot

²

t . Evaluando dρ

dt .

t=^2π₃

= −6 csc

^{2 2π}₃

9 + 4 cot

^{2 2π}₃

= −24

30

d) Encuentre la ecuaci´on cartesiana de la curva. Identifique la curva.

De las ecuaciones tenemos

x(t) = 2 − 3 cos t ⇒ cos t = 2 − x 3 y

y(t) = 3 + 2 sin t ⇒ sin t = y − 3 2 Usando la identidad cos

²

α + sin

²

α = 1,

(y − 3)

²

2

²

+ (2 − x)

²

3

²

= 1 ⇒ (y − 3)

²

2

²

+ (x − 2)

²

3

²

= 1 Que corresponde a la ecuaci´on de una elipse centrada en (2, 3).

5 4 3 2 1 0 3

-1 5

4

2

1

Figura 1: Elipse