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ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS.

P

(

)

E.F. = EVENTOS FAVORABLES (NÚMERO DE MANERAS QUE PUEDE OCURRIR LO QUE SE ANALIZA.

S= ESPACIO MUESTRAL, TOTAL DE EVENTOS POSIBLES. (UNIVERSO) LEY DE PROBABILIDADA 0≤P(A)≤1

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO:SI UN EVENTO PUEDE OCURRIR DE n1 MANERAS DIFERENTES, Y SI UNA VEZ QUE HA OCURRIDO, OTRO EVENTO PUEDE OCURRIR DE n2 MANERAS DIFERENTES, ENTONCES LA CANTIDAD DE MANERAS QUE PUEDEN OCURRIR LOS DOS EVENTOS, EN ESTE ORDEN ESPECÍFICO, ES n1 x n2. PERMUTACIONES: ARREGLO ORDENADO DE r ELEMENTOS TOMADOS DE UN TOTAL DE n ELEMENTOS. LO QUE AQUÍ IMPORTA ES EL ORDEN DEL ARREGLO.

P

=

n !

(

n

−

r

)

!

COMBINACIONES: UNA COMBINACIÓN DE n OBJETOS DIFERENTES TOMADOS DE r EN r, ES UNA SELECCIÓN DE r DE LOS n OBJETOS SIN IMPORTAR EL ORDEN.

(

n

r

)

=

n !

r !

(

n

−

r

)

!

EJERCICIOS DE TÉCNICAS DE CONTEO.

1. Una comida en un restaurante consiste en una ensalada, una sopa, plato fuerte y un postre, cuenta con 4 ensaladas diferentes, 3 sopas diferentes, 5 platos fuertes y 4 postres, ¿cuántas comidas diferentes se pueden hacer?

2. Se realiza un viajes del sitio A al B al C y a D para ir de A a B hay tres caminos diferentes (1,2, y 3), para ir de B a C se dispone de 4 caminos diferentes (m,n,o,p). para ir de C a D se dispone de 3 caminos diferentes (I, II, III).

a. ¿de cuántas maneras se puede realizar el viaje de A hasta D? b. ¿de cuántas maneras se puede realizar el viaje redondo?

c. Si se considera una ruta al grupo de calles seleccionadas para ir de A hasta D, ¿de cuántas maneras se puede realizar el viaje redondo sin repetir la ruta?

d. ¿de cuántas maneras puede hacer el viaje redondo sin repetir ninguna calle?

3. Una joven dispone de 4 blusas (roja, blanca, azul y verde); 5 faldas (negra, blanca, roja y café) y dos pares de zapatos (blancos y negros). Si un traje consiste en una blusa, una falda y un par de zapatos

a. ¿cuántos trajes diferentes se puede hacer? b. ¿cuántos tienen zapatos negros?

4. Un estudiante puede estudiar 0, 2 ó 3 horas cada noche, si estudia durante 3 noches consecutivas.

a. ¿cuántos horarios diferentes de estudio puede hacer? b. ¿en cuántos de ellos estudia más de 6 horas en total? c. ¿en cuántos de ellos estudia exactamente 5 horas? d. Probabilidad.

i. ¿cuál es la probabilidad de que estudie más de 6 horas? ii. ¿cuál es la probabilidad de que estudie exactamente 5 horas? 5. Si se dispone de los dígitos del 1 al 9, y se desea formar números de 3 cifras, sin

que ningún dígito se repita.

a. ¿cuántos números diferentes se pueden formar? b. ¿cuántos de estos números son pares?

c. ¿cuántos son pares? d. ¿cuántos son impares?

e. ¿Cuántos son mayores de 300? f. ¿cuántos son menores de 400? g. ¿cuántos son múltiplos de 5?

h. ¿cuántos son mayores de 300 y pares? i. Probabilidad.

i. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

ii. ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor de 300? iii. ¿cuál es la probabilidad de obtener un número menor de 400? 6. 5 hombres y 4 mujeres se sientan en una fila.

a. ¿de cuántas maneras diferentes pueden hacerlo? b. ¿de cuántas maneras quedan alternados?

c. ¿de cuántas maneras los hombres y las mujeres están juntos? d. ¿de cuántas maneras los hombres están juntos?

e. ¿si la persona A insiste en estar junto a la persona B, de cuántas maneras pueden hacerlo?

f. Probabilidad.

i. ¿cuál es la probabilidad de que se sienten alternados?

ii. ¿cuál es la probabilidad de que los hombres y las mujeres estén juntos?

7. Si se dispone de 5 hombres y 4 mujeres,

a. ¿cuántos grupos diferentes de 5 personas se pueden formar? b. ¿cuántos tienen exactamente 2 mujeres?

c. ¿cuántos tienen más hombres que mujeres? d. ¿cuántos tienen por lo menos 2 mujeres? e. ¿cuántos tienen cuando mucho 3 hombres?

f. Si con estas mismas 9 personas se forman comités formados por un presidente, vicepresidente, secretario, tesorero y vocal, ¿cuántos comités diferentes de pueden formar?

g. Probabilidad.

i. ¿cuál es la probabilidad de obtener un grupo que tenga 2 mujeres? ii. ¿cuál es la probabilidad de obtener un grupo que tenga más

hombres que mujeres?

iii. ¿cuál es la probabilidad que tenga por lo menos 2 mujeres? 8. Una persona dispone de 11 amigos, pretende invitar a su fiesta a 5 de ellos.

a. ¿de cuántas maneras diferentes puede hacerlo?

b. ¿Si A y B no pueden asistir juntos de cuantas maneras puede hacerlo? c. Si A y B, insisten en que van los dos o ninguno, ¿de cuántas maneras

puede hacerlo?

9. Considerando el abecedario inglés de 27 letras:

a. ¿cuántas palabras de 5 letras, 3 consonantes y 2 vocales se pueden formar?

b. ¿cuántas de estas contienen la letra o? c. ¿cuántas contienen la letra m?

d. ¿cuántas comienzan con a? e. ¿cuántas comienzan con vocal?

f. ¿cuántas comienzan con a y contienen r? g. ¿cuántas terminan con o?

Conceptos:

Un evento simple se puede describir mediante una sola característica. Un evento conjunto es el que tiene dos o más características.

El complemento del evento A incluye todos los eventos que no formen parte del evento A, pero si del espacio muestral.

Probabilidad simple o marginal, se refiere a la probabilidad de un evento simple. Probabilidad conjunta se refiere a eventos conjuntos.

Regla de la adición, esta regla para obtener la unión de A y B considera la ocurrencia de A o de B o de ambos. Y se puede expresar:

P

(

)

(

)

(

)

(

)

Eventos mutuamente excluyentes. Son aquellos que no tienen intersección, es decir, no pueden ocurrir al mismo tiempo.

Cuando se está analizando la probabilidad de un evento A y se tiene información sobre la ocurrencia de otro evento B, esta probabilidad se conoce como probabilidad condicional, P(A\B).

P

(

)

Si la ocurrencia del evento B(condición), no afecta la ocurrencia del evento A se dice que son estadísticamente independientes.

P

(

)

(

)

P

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Ejercicios con tablas de contingencia.

1) La gerente de una tienda de ropa para dama desea determinar la relación entre el tipo de cliente y la forma de pago. Ha recopilado la información siguiente:

Cliente. Pago. Totales.

Crédito Contado.

Habituales 70 50 120

No habituales. 40 40 80

Totales. 110 90 200

i) De un ejemplo de un evento simple. ii) De un ejemplo de un evento conjunto.

iii) ¿cuál es el complemento del pago de contado?

iv) ¿por qué es un evento conjunto el “cliente habitual que paga de contado”? v) Si se selecciona un cliente al azar:

(1) ¿cuál es la probabilidad de que sea un cliente habitual? (2) ¿cuál es la probabilidad de que pague al contado?

(3) ¿cuál es la probabilidad de que sea habitual y pague a crédito? vi) Si se seleccionan 3 clientes al azar, al mismo tiempo.

(1) ¿cuál es la probabilidad de que los tres paguen al contado? (2) ¿cuál es la probabilidad de que uno sea cliente no habitual? (3) ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos uno pague a crédito? vii) Si se selecciona un cliente al azar y:

(1) Se conoce que es un cliente habitual, ¿Cuál es la probabilidad de compre a crédito?

(2) Se conoce que el cliente ha pagado al contado. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un cliente habitual?

(3) ¿Son estadísticamente independientes los dos eventos, ser un cliente habitual y pagar a crédito?

2) En una amplia zona metropolitana se seleccionó una muestra de 500 entrevistados para determinar diversas informaciones relacionadas con el comportamiento del consumidor. Entre las preguntas hechas s encontraba “¿disfruta ir de compras?” de 240 hombres 136 contestaron que si de 260 mujeres 224 contestaron que si. i) Elabore una tabla de contingencia.

ii) Dé un ejemplo de evento simple. iii) Dé un ejemplo de evento conjunto

iv) ¿Cuál es el complemento de disfrutar ir de compras?

v) Si se selecciona una persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de: (1) Sea mujer?

(2) Le guste ir de compras?

(3) Sea mujer y no le guste ir de compras?

(2) Cuando mucho dos sean mujeres y les guste ir de compras? (3) Haya más personas que les guste ir de compras?

vii) Si se selecciona una persona:

(1) Si es mujer ¿cuál es la probabilidad de que no disfrute ir de compras? (2) Si le gusta ir de compras, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre? (3) Son estadísticamente independientes disfrutar ir de compras y el sexo? 3) De los 250 empleados de una compañía tabacalera, un total de 130 fuma. Hay 150

hombres trabajando en esta compañía; 85 de ellos fuman. i) Elabore una tabla de contingencia.

ii) Dé un ejemplo de evento simple. iii) Dé un ejemplo de evento conjunto. iv) ¿cuál es el complemento de “fuma”?

v) Si se selecciona un empleado al azar. ¿cuál es la probabilidad de: (1) Sea hombre y fume?

(2) Fume?

(3) Sea mujer y no fume?

vi) Si se seleccionan 4 empleados al azar. ¿cuál es la probabilidad de: (1) Ninguno fume?

(2) La mitad sean hombres?

(3) Por lo menos uno sea mujer y fume?

Ejercicios de teorema de Bayes.

1. Un ejecutivo de publicidad está estudiando los hábitos de ver televisión en hombres y mujeres casados en horario estelar. En base a registros de observación se ha determinado que los esposos ven televisión el 60% del tiempo. También se ha determinado que cuando el esposo está viendo televisión, el 40% del tiempo la esposa también lo hace. Cuando el esposo no está viendo televisión, el 30% del tiempo la esposa si lo está haciendo. Encuentre la probabilidad de que:

a. Si la esposa está viendo televisión, el esposo también lo esté haciendo. b. La esposa esté viendo televisión durante el horario estelar.

2. El editor de una importante compañía editora de libros de texto está analizando si conviene publicar un nuevo libro sobre estadísticas de negocios que le han propuesto. Los libros publicados con anterioridad señalan que el 10% son grandes éxitos, el 20% éxitos moderados, el 40% alcanza el punto de equilibrio y el 30% produce pérdidas. Sin embargo, antes de que se tome una decisión para la publicación, se revisará el libro. En el pasado el 99% de los éxitos enormes recibieron revisiones favorables; el 70% de los éxitos moderados también, del mismo modo el 40% de los libros que llegaron al punto de equilibrio tuvo revisiones favorables y el 20%, de los perdedores también recibieron revisiones favorables.

b. ¿Qué proporción de libros de texto reciben revisiones favorables?

3. Un servicio de clasificación de bonos tiene tres categorías de clasificación (A, B, y C). El año anterior, de los bonos municipales emitidos en todo el país, el 70% ha sido clasificado como A, el 20% como B y el 10% como C. De los bonos municipales clasificados como A el 50% fue emitido por ciudades, el 40 por suburbios y el 10% por áreas rurales, de los clasificados como B el 60% fue emitido por ciudades, el 20% por suburbios y el 20% por áreas rurales. De los clasificados como C, el 90% fue emitido por ciudades, el 5% por suburbios y el 5% por áreas rurales.

a. Si una ciudad va a emitir un nuevo bono municipal ¿cuál es la probabilidad que recibirá una clasificación A?