UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle
Alma Mater del Magisterio Nacional
ESCUELA DE POSGRADO
Tesis
Aplicación de un programa basado en el método de Polya para desarrollar la capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de educación
primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06
Presentada por
Maria Elena CORA MAMANI
Asesor
Sósimo Misael POMA GONZALES
Para optar al Grado Académico de Maestro en Ciencias de la Educación con mención en Problemas de Aprendizaje
Aplicación de un programa basado en el método de Polya para desarrollar la capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de educación
Reconocimientos
Tabla de contenidos
Título ii
Dedicatoria iii
Reconocimientos iv
Tabla de contenidos v
Lista de tablas vii
Lista de figuras ix
Resumen x
Abstract xi
Introducción xii
Capítulo I. Planteamiento del problema 14
1.1 Determinación del problema 14
1.2 Formulación del problema 16
1.2.1. Problema general 16
1.2.2. Problemas específicos 16
1.3 Objetivos 17
1.3.1. Objetivo general 17
1.3.2. Objetivos específicos 17
1.4 Importancia y alcances de la investigación 18
Capítulo II. Marco teórico 19
2.1 Antecedentes de la investigación 19
2.1.1. Antecedentes internacionales 19
2.1.2. Antecedentes nacionales 21
2.2 Bases teóricas 24
2.2.1. Bases teóricas de la variable Programa de matemática basado en el Método de Polya
24
2.2.2. Bases teóricas de la variable resolución de problemas 40
2.3 Definición de términos básicos 65
Capítulo III. Hipótesis y variables 67
3.1 Hipótesis 67
3.1.1. Hipótesis general 67
3.1.2. Hipótesis especificas 67
3.3 Operacionalización de variables 68
Capítulo IV. Metodología 70
4.1 Enfoque de investigación 70
4.2 Tipo de investigación 70
4.3 Diseño de investigación 71
4.4. Método 71
4.5 Población y muestra 72
4.6 Técnicas e instrumentos de recolección de datos 72
4.7 Tratamiento estadístico de los datos 73
Capítulo V. Resultados 74
5.1. Validez y confiabilidad de los instrumentos 74
5.2. Presentación y análisis de resultados 75
5.3. Discusión de los resultados 86
Conclusiones 89
Recomendaciones 90
Referencias 91
Apéndices 94
Apéndice A. Matriz de consistencia 95
Apéndice B. Prueba escrita 98
Lista de tablas
Tabla 1. Características de un problema 47
Tabla 2. Requisitos de un problema 48
Tabla 3. Tipos de conocimiento 52
Tabla 4. Fases para la resolución de problemas 57
Tabla 5. Comparación del modelo POLYA y PUIG - CERDAN 58 Tabla 6. Pasos para resolver problemas mediante procedimiento heurísticos 62
Tabla 7. Técnicas para comprender los problemas 64
Tabla 8. Variable 1. Programa de enseñanza de la matemática basado en el uso del método de Polya
68
Tabla 9. Variable 2. Resolución de problemas 69
Tabla 10. Población y Muestra 72
Tabla 11. Estadísticos de fiabilidad de la variable Aplicación del método Polya 74 Tabla 12. Estadísticos de fiabilidad de la variable Capacidad de resolución de
problemas
75
Tabla 13. Aplicación del método Polya (Grupo control) 75 Tabla 14. Aplicación del método Polya (Grupo experimental) 76 Tabla 15. Capacidad de resolución de problemas (Grupo control) 77 Tabla 16. Capacidad de resolución de problemas (Grupo experimental) 78 Tabla 17. Prueba de normalidad de Kolmogorov-Smirnov (Grupo experimental) 79
Tabla 18. Resumen del modelo 80
Tabla 19. ANOVAa 81
Tabla 20. Resumen del modelo 82
Tabla 21. Anova 82
Tabla 23. ANOVAa 83
Tabla 24. Resumen del modelo 84
Tabla 25. Anova 85
Tabla 26. Resumen del modelo 85
Lista de figuras
Figura 1. La Matemática en el currículo de Educación Secundaria 26 Figura 2. Proceso del desarrollo del pensamiento y del aprendizaje de la
matemática.
29
Figura 3. Solución de problemas 32
Figura 4. El conocimiento matemático 34
Figura 5. Procesos matematicos 39
Figura 6. Un problema 44
Figura 7. Los métodos y operaciones en un problema 46
Figura 8. Componentes de un problema 49
Figura 9. La resolución de problemas 50
Resumen
La habilidad de resolución de problemas es un proceso general que se evidencia en toda la actividad matemática, en esencia la resolución de problemas es el fin propio de las matemáticas, un eje transversal que permea el currículo y que contribuye a la adquisición de competencias y habilidades de pensamiento que conllevan a un verdadero aprendizaje significativo, de ahí que el propósito central del presente estudio haya sido evidenciar que la aplicación de un programa basado en el método de Polya permite desarrollar la
capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de educación primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06.Se trata de un estudio cuasi experimental, de enfoque cuantitativo. Dada la posibilidad de acceso a la población de estudio, se decidió trabajar con los 80 estudiantes del tercer grado de educación primaria, por lo tanto se asumieron los grupos intactos mediante la técnica del censo. Como resultado del análisis de los resultados de la investigación se encontraron evidencias suficientes para aceptar que la aplicación de un programa basado en el método de Polya permite desarrollar la capacidad de resolución de problemas en los estudiantes de la muestra seleccionada.
Abstract
The ability to solve problems is a general process that is evident in all the
mathematical activity, in essence problem solving is the proper goal of mathematics, a transversal axis that permeates the curriculum and contributes to the acquisition of skills and abilities of thought that lead to true meaningful learning, hence the central purpose of the present study was to show that the application of a program based on the Polya method allows the development of problem-solving abilities in third grade students of primary education in the IE No. 1221 María Parado de Bellido of the district of Santa Anita - UGEL 06. It is a quasi-experimental study with a quantitative approach. Given the
possibility of access to the study population, it was decided to work with the 80 students of the third grade of primary education, therefore the intact groups were assumed through the census technique. As a result of the analysis of the results of the research, sufficient evidence was found to accept that the application of a program based on the Polya method allows developing the problem-solving capacity of the students in the selected sample.
Introducción
La resolución de problemas es una competencia de gran importancia para el avance de las matemáticas, su comprensión y aprendizaje; tiene mucho que ver con la habilidad para encontrar pruebas, criticar argumentos, usar un lenguaje propio de las matemáticas y el reconocer conceptos en situaciones específicas, de aquí que lo importante no es llegar a la solución sino el camino que se recorrió para llegar a ella. Lineamientos curriculares (1998). Es por tanto que la competencia de resolución de problemas es una habilidad básica y que debe usarse a lo largo de la vida; es una habilidad que se puede enseñar, por lo anterior la propuesta de innovación Aplicación de un programa basado en el método de Polya para desarrollar la capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de educación primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06, es una propuesta relevante desde el área de Matemáticas en la que desarrollamos nuestra práctica pedagógica.
La tesis ha sido estructurada en cinco capítulos, los cuales se han desarrollado de manera sencilla de fácil comprensión e interpretación de sus contenidos, resultados y conclusiones.
Así, tenemos que nuestra investigación se esquematiza de la siguiente manera: El Capítulo I, titulado Planteamiento del problema realiza un diagnóstico de la situación problemática, el cual otorga sustento al planteamiento del problema planteado. Asimismo, se formula el problema de investigación, los objetivos generales y específicos, del mismo modo se expresa la importancia y alcances de la investigación, así como los alcances y limitaciones de la investigación.
referencia al marco conceptual que sustenta la perspectiva desde la cual son planteados los aspectos centrales de la investigación.
El Capítulo III comprende el sistema de hipótesis las definiciones básicas de la variable y su operacionalización pertinente.
En el capítulo IV se presenta la metodología, la cual se sustenta en el enfoque, tipo y diseño de investigación empleados, asimismo la población y muestra de trabajo, así como las técnicas e instrumentos de recolección de la información y el procedimiento trabajado para el desarrollo de la tesis.
En el capítulo V, de los resultados, se consignan los datos que dan validez y confiabilidad a los instrumentos de investigación, así como la presentación y análisis de resultado a nivel descriptivo e inferencial, los cuales se presentan en la discusión de resultados.
Finalmente, las conclusiones, según los resultados de la muestra; en las
Capítulo I
Planteamiento del problema
1.1. Determinación del problemaEn la OTP del Área de Matemática se señala que: “El desarrollo del pensamiento matemático, al igual que cualquier otra forma de desarrollo de pensamiento, es susceptible de aprendizaje. Nadie nace siendo poseedor de él. Sin embargo, aprender matemática puede ser un proceso tanto más fácil o más difícil, en la medida del uso que se haga de ciertas herramientas cognitivas”.
Asumiendo que los problemas son situaciones nuevas que requieren que la gente responda con comportamientos nuevos. Casi permanentemente enfrentamos "problemas" en nuestra vida cotidiana.
En este marco resulta fundamental el desarrollo de la capacidad para resolver problemas, razón por la cual el conjunto de estrategias para la resolución de problemas se erige como el eje sobre el cual se ejercitarán el pensamiento creativo, la capacidad de pensamiento crítico y la capacidad para tomar decisiones.
Según Dijkstra (1991) la resolución de problemas es un proceso cognoscitivo complejo que involucra conocimientos almacenados en la memoria a corto y largo plazo. La resolución de problemas consiste en un conjunto de actividades mentales y
conductuales, a la vez que implica también factores de naturaleza cognoscitiva, afectiva y motivacional. Por ejemplo, si en un problema dado debemos transformar mentalmente metros en centímetros, esta actividad sería de tipo cognoscitiva. Si se nos pregunta cuan seguros estamos de que nuestra solución al problema sea correcta, tal actividad sería de tipo afectiva, mientras que resolver el problema, con papel y lápiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución podría servir para ilustrar una actividad de tipo conductual.
Las estrategias para resolver problemas se refieren a las operaciones mentales utilizadas por los estudiantes para pensar sobre la representación de las metas y los datos, con el fin de transformarlos en metas y obtener una solución. Las estrategias para la
resolución de problemas incluyen los métodos heurísticos, los algoritmos y los procesos de pensamiento divergente.
En el Resumen ejecutivo de LLECE (2008) como muestra el gráfico siguiente, podemos observar en que los Países cuya puntuación media en Matemática, 3er grado, es inferior al promedio (con una distancia de menos de una desviación estándar): Guatemala, Ecuador, El Salvador, Nicaragua, Panamá, Paraguay, Perú y República Dominicana.
Los países con mayores disparidades urbano-rurales son Perú, Brasil y México. Cuba, Nicaragua y Paraguay no muestran diferencias estadísticamente significativas en el promedio que obtienen los estudiantes rurales y urbanos.
Ante esta deficiencia, y evidenciando a través del análisis documental, se ha creído conveniente, plantear la utilización del Método de Polya, como alternativa de solución a la deficiencia mencionada, ya que a lo largo de la práctica profesional, se ha observado en las Instituciones Educativas, que los alumnos tienen dificultades en la resolución de
problemas, por lo que urge la necesidad de utilizar estrategias adecuadas; por ello se plantea el Método de Polya que contribuirá en mejorar la capacidad de resolución de problemas en el área de matemática.
1.2. Formulación del problema 1.2.1. Problema general
¿En qué medida la aplicación de un programa basado en el método de Polya permitiré mejorar el desarrollo de la capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de educación primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06?
1.2.2. Problemas específicos
PE1. ¿En qué medida la aplicación de la comprensión del problema influye en el
desarrollo de la capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de educación primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06?
PE3. ¿En qué medida la ejecución de un plan influye en el desarrollo de la capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de educación primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06? PE4. ¿En qué medida la aplicación de la visión retrospectiva influye en el desarrollo de la
capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de educación primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06?
1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo general
OG: Demostrar qué medida la aplicación de un programa basado en el método de polya permite mejorar el desarrollo de la capacidad de resolución de problemas en
estudiantes del tercer grado de educación primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06.
1.3.2. Objetivos específicos
OE1. Determinar si la aplicación de la comprensión del problema influye en el desarrollo de la capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de educación primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06.
OE2. Determinar si la aplicación de la concepción de un plan influye en el desarrollo de la capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de
educación primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06.
Institución Educativa N° 1221 “María Parado de Bellido” del distrito de Santa Anita – UGEL 06
OE4. Determinar si la aplicación de la visión retrospectiva influye en el desarrollo de la capacidad de resolución de problemas en estudiantes del tercer grado de educación primaria en la I.E. N° 1221 María Parado de Bellido del distrito de Santa Anita – UGEL 06.
1.4. Importancia y alcances de la investigación
Teóricamente la presente investigación se justifica por las evidencias señalas en el Resumen ejecutivo de LLECE (2008), donde podemos apreciar de manera clara y concreta nuestra realidad, comparativamente con los países vecinos de Latinoamérica.
En el plano práctico pretendemos desarrollar una propuesta sustentada en el método de Polya, que a pesar de su videncia en el tiempo, poco o nada ha sido tomado en cuenta en la enseñanza de la resolución de problemas en la escuela peruana.
Metodológicamente pretendemos desarrollar una secuencia de modelos que permitan trabajar con seriedad y secuencialidad la enseñanza de la matemática a través de la
resolución de problemas, para ello resulta fundamental tomar en cuenta las estrategias metodológicas propuestas por Polya.
También se justifica, porque a través de la investigación, se hace uso de los
conocimientos teóricos-prácticos adquiridos a lo largo de nuestra formación docente, como contribución a la problemática educativa de nuestro país.
Capítulo II
Marco teórico
2.1. Antecedentes de investigación2.1.1. Antecedentes Internacionales
Sobarzo, C. & Valenzuela, M. (2017). Abordaron la investigación titulada Incidencia del Método de Pólya en la resolución de problemas matemáticos de inecuaciones en
tercero medio en un colegio particular subvencionado de la comuna de Nacimiento. (Tesis
de Maestría) Universidad de Concepción – Chile. La presente investigación se realizó con
el fin de analizar los efectos que produce el Método de Pólya en relación al aprendizaje, la motivación y la ansiedad matemática en alumnos de tercero medio de un colegio particular subvencionado de la comuna de Nacimiento. La investigación tiene un enfoque
cuantitativo con un diseño cuasi-experimental longitudinal, del tipo exploratoria,
motivación y test de ansiedad matemática y al finalizar la intervención se aplicaron los test del contenido de inecuaciones, motivación y ansiedad aplicadas al inicio.
Al analizar los datos los resultados indican que el método de Pólya contribuye a mejorar el aprendizaje en la unidad de inecuaciones, pero no se logran evidenciar cambios significativos en los factores socio-afectivos.
Díaz, J. & Diaz, R (2018). Los Métodos de Resolución de Problemas y el Desarrollo del Pensamiento Matemático. Los autores sostienen que en los últimos años se ha
alcanzado cierto consenso acerca del papel de la enseñanza de la Matemática en el
desarrollo del pensamiento, por encima de la transferencia de conocimientos matemáticos. En este sentido, la atención al desarrollo de la capacidad para resolver problemas va cediendo terreno con respecto al desarrollo del pensamiento en la resolución de problemas. Numerosos autores han aportado métodos para resolver problemas, sin embargo, aún son escasas las propuestas concretas que ayuden a los docentes a utilizar los métodos de resolución de problemas y los recursos de la heurística para llevar a la práctica el tratamiento de la resolución de problemas con el fin de estimular el desarrollo del pensamiento matemático. Este trabajo analiza las potencialidades de los métodos de resolución de problemas para estimular el desarrollo del pensamiento matemático y propone ideas para su implementación en el aula. A su vez concluyen que: En la
investigación se constató, en la práctica educativa, la aplicación de métodos de resolución de problemas para estimular el desarrollo del pensamiento matemático que, de hecho, implica el desarrollo de la capacidad para resolver problemas. Los resultados se
matemático en la búsqueda de vías de solución a los problemas. Al docente corresponde el papel de implementar acciones, impulsos heurísticos y procedimientos en forma de
indicaciones, sugerencias o preguntas que movilicen la actividad mental de los alumnos en especial el pensamiento matemático.
Noda, M (2013), realizó la investigación, titulada Aspectos epistemológicos y
cognitivos de la resolución de problemas de matemáticas, bien y mal definidos. Un estudio
con alumnos del primer ciclo de la ESO y maestros en formación en la Universidad de
Laguna, España. El estudio llegó a las siguientes conclusiones:
Construcción de un sistema de Categorías de análisis de las justificaciones utilizadas, que se convierte en un instrumento teórico que relaciona y tipifica las justificaciones de los estudiantes frente a problemas de encontrar bien y mal definidos, en la fase de preparación. 2.1.2. Antecedentes nacionales
Hernández, J. (2014), realizó la investigación en la Universidad Laguna de España, titulada Sobre habilidades en la resolución de problemas aritméticos verbales, mediante el uso de dos sistemas de representación yuxtapuestos, llegando a las siguientes
conclusiones: a). Nuestro objetivo ha sido conjugar un modelo de competencia aunando en modelo general de Polya con el modelo de competencia de Goldin, para la resolución de problemas aritméticos verbales, el cual sea factible de desarrollar en el aula con alumnos de primaria. b) Con relación a la resolución de problemas se aprecian mejoras por parte del grupo experimental, aunque esta mejora no es significativa con respecto al grupo control, pero esto viene explicado por dos razones: una de tipo cognitivo, el aprendizaje de un nuevo sistema de representación no verbal, no es fácil; y la otra, relacionada con el profesorado, nos ha confirmado el cambio que en su metodología y en su preocupación
alumnos; c) El tiempo dedicado fue corto y muchos alumnos tenían plenamente interiorizadas unos esquemas de resolución de problemas mediante operaciones mecánicas, que ponían en juego automáticamente y d) Con relación a la actitud de los alumnos, ésta se muestra, en general, positiva hacia las Matemáticas y hacia la resolución de problemas, pero no se modifica de manera significativa con relación a la resolución de problemas después de la implementación del modelo desarrollado en la tesis.
Urquizo, H. (2013), realizó la investigación Aplicación del Método de Polya para mejorar el Criterio de Resolución de Problemas en el Área de Matemática en los alumnos
del 2° Año de Secundaria de la Institución Educativa N° 6024 “José María Arguedas” de
Villa María el Triunfo¸ en el Instituto Superior Pedagógico Privado “JAVIER PEREZ DE
CUELLAR”, llegando a las siguientes conclusiones:
La aplicación de estrategias metodológicas con el Método de Polya mejoró
significativamente en el criterio de resolución de problemas de los alumnos de la muestra seleccionada.
La aplicación del método de Polya mejora significativamente el criterio de resolución de problemas por cuanto los alumnos adquieren habilidades, capacidades y destrezas para la resolución de problemas.
Payano, G. 2013, realizó la investigación en el Instituto Superior Pedagógico “Santo Domingo”, Las Flores-Lima-Perú, titulada La influencia del conocimiento semántico de la
terminología matemática en el Rendimiento académico de los alumnos en el área de
matemática, llegando a las siguientes conclusiones:
La mayoría de los alumnos le dan poca importancia al aspecto semántico
El conocer apropiadamente el aspecto semántico de la terminología matemática ayuda a tomar posición consciente y crítica frente a los problemas que se presentan en la práctica.
La falta de conocimiento semántico de la terminología matemática evita un aprendizaje progresivo en la asignatura de Matemática
Bejarano, E., Flores, C.; Loayza, G. y Zulueta, R. 2012, realizó la investigación en el Instituto Superior Pedagógico “Santo Domingo”, Las Flores-Lima-Perú, titulada La
enseñanza de la matemática a través de la resolución de problemas (Propuesta
Metodológica), llegando a las siguientes conclusiones:
Los aprendizajes significativos en el área numérica implican no sólo que el alumno alcance una comprensión óptima a nivel de la información y los aspectos operativos, sino también el desarrollo de un proceso gradual y motivador en cuanto a buscar resultados evidentes en el plano del aprendizaje para resolver problemas.
Las habilidades para resolver problemas pueden mejorarse con la enseñanza de estrategias para la solución de problemas.
El problema matemático sirve para afirmar conocimientos ya adquiridos, debido a la secuencia que se sigue para la resolución de un problema planteado, acción en la cual se verifica procesos tales como: plantear preguntas que propicien exploración y análisis, identificación de información relevante, traducción al lenguaje matemático de situaciones presentadas en forma verbal, uso de diversas estrategias de solución, comprobación e interpretación de resultados, afirmación y afianzamiento de saberes previos, etc.
2.2. Bases teóricas:
2.2.1. Bases teóricas de la variable Programa de matemática basado en el Método de Polya
El área de matemática y su caracterización:
Actualmente nuestra sociedad es influida cada vez más por la ciencia moderna y la tecnología. La Matemática tiene un rol muy importante porque está en la base de todo conocimiento moderno. Su importancia está íntimamente ligada a las necesidades y al progreso de la humanidad.
El área de Matemática es el espacio curricular en el cual están organizados los aprendizajes de la Matemática Escolar del primer y segundo ciclo de la Educación
Secundaria. Ofrece a los estudiantes la oportunidad de lograr el conocimiento matemático, destrezas, habilidades y modos de pensamiento que van a necesitar en la vida diaria, para ser ciudadanos conscientes, participativos y críticos.
Los aprendizajes del área propician que los alumnos valoren la Matemática, adquieran confianza en su propia capacidad para hacer Matemática, sean capaces de resolver problemas de la vida cotidiana, y se comuniquen y razonen matemáticamente. Las demandas sociales exigen una Matemática Escolar para todos que esté relacionada con la vida cotidiana, que forme trabajadores con Educación Matemática, que desarrolle un aprendizaje continuo y que pueda ser usada como medio de comunicación.
La educación matemática en secundaria proporciona a los alumnos los instrumentos conceptuales y metodológicos para representar, explicar y predecir hechos y situaciones de la realidad, así como para resolver problemas, permitiéndoles incrementar sus niveles de abstracción, simbolización y formalización del pensamiento.
mediante los cuales se organizan y desarrollan las relaciones entre conceptos. La adquisición de éstos últimos requieren, a su vez, del uso y la práctica de procesos lógicos que ponen en juego el pensamiento racional.
2. En cuanto a su valor funcional; la Matemática permite al alumno resolver problemas en diferentes campos, identificar aspectos y relaciones de la realidad no observables directamente, y anticipar y predecir hechos, situaciones o resultados, antes de que ocurran o se observen en la realidad.
3. En cuanto a su valor instrumental se refiere, al desarrollo de las capacidades de construcción y aplicación de algoritmos matemáticos y asimismo se presenta como lenguaje con características propias. Además,permite al estudiante desarrollar su capacidad de comunicación, constituyéndose de esta forma en un instrumento eficaz para la formalización de conocimientos de otras áreas.
La resolución de problemas consiste en un conjunto de actividades mentales y conductuales, a la vez que implica también factores de naturaleza cognoscitiva, afectiva y motivacional. Por ejemplo, si en un problema dado debemos transformar mentalmente metros en centímetros, esta actividad sería de tipo cognoscitiva. Si se nos pregunta cuan seguros estamos de que nuestra solución al problema sea correcta, tal actividad sería de tipo afectiva, mientras que resolver el problema, con papel y lápiz, siguiendo un algoritmo hasta alcanzar su solución podría servir para ilustrar una actividad de tipo conductual.
Figura 1. La Matemática en el currículo de Educación Secundaria
Educación matemática.... ¿Para Qué?
Pocas veces los docentes de matemática hemos abordado explícitamente el para qué de la educación que promovemos.
La mentalidad pragmática dominante, la fuerza de la tradición y la rutina en la mayoría de docentes han impedido superar los gaseosos lugares comunes de los
Matemática VALOR FORMATIVO VALOR FUNCIONAL VALOR INSTRUMENTAL El dominio de conceptos Relaciones entre ellos Resolver problemas Anticipar y predecir hechos, situaciones resultados Desarrollo de capacidades de construcción y aplicación de algoritmos La formalización de conocimientos en otras áreas
Identifique y relacione Currículo de educación primaria Su inclusión en el
Responde a su
Permite Que exige
Las
En Al
En En
documentos normativos oficiales u oficiosos. Y es que aparentemente, el punto en cuestión está definido.
Sin embargo, quienes creemos que un balance global del trabajo en esta área tiene un saldo negativo, debiéramos prestarle más atención al punto, pues todo propósito y esfuerzo de renovación que no replantee el para qué de la educación matemática estará seriamente limitado.
Ignorarlo deriva en la distorsión y empobrecimiento de perspectivas. Así, no nos sorprenda que muchos docentes de matemática pretendan orientar la educación matemática escolar alrededor del “éxito en el examen de ingreso a la universidad”.
Así por ejemplo hoy se discute acerca de la influencia del Lenguaje en el aprendizaje de las Matemáticas. Se da mayor importancia a la capacidad de teorización matemática y a la capacidad para la resolución de problemas.
Así mismo la investigación sobre la resolución de problemas por parte de los seres humanos tiene una bien ganada fama de ser la más caótica de todas las categorías
identificables del aprendizaje humano, por ello el empleo de la resolución de problemas, como un componente deliberadamente concebido de un currículo de matemática, implica un cambio radical del enfoque docente basado en el estilo tradicional de la exposición y de la práctica de destrezas.
Siempre se ha considerado que en la enseñanza de la Matemática no puede estar ausente la resolución de problemas. Sin embargo muchas veces esto ha sido descuidado por los maestros quienes apremiados por exigencias curriculares de contenido no pueden dedicar a este aspecto de la actividad matemática el tiempo necesario.
criterio, determinar pares de objetos que cumplan una relación dada, efectuar una construcción geométrica dadas ciertas condiciones, etc., son también problemas.
De ahí nuestro interés en la realización de la presente, con miras a aportar con ideas y ejemplos hacia un mejor entendimiento y uso de los problemas matemáticos en el aula. Pensamiento matemático:
El desarrollo del pensamiento matemático, al igual que cualquier otra forma de desarrollo de pensamiento, es susceptible de aprendizaje. Nadie nace siendo poseedor de él. Sin embargo, aprender matemática puede ser un proceso tanto más fácil o más difícil, en la medida del uso que se haga de ciertas herramientas cognitivas.
Es importante dejar establecido que el pensamiento matemático se construye siguiendo rigurosamente las etapas determinadas para el desarrollo del pensamiento en forma histórica, existiendo una correspondencia biunívoca entre el pensamiento sensorial, que en matemática es de tipo Intuitivo Concreto; el pensamiento racional que es Gráfico Representativo en matemática y el pensamiento lógico, que es de naturaleza Conceptual o Simbólica en dicha disciplina.
Para poder aprender nociones abstractas o generalizaciones teóricas del tipo que abundan en matemática, es necesario que se hayan configurado en el cerebro humano, las estructuras mentales que hagan posible su asimilación, acomodación y conservación. Es indispensable, en consecuencia, que el mediador o facilitador del aprendizaje verifique si las personas que aprenden poseen dichas estructuras mentales, antes de iniciar una sesión de matemática.
De lo contrario, es necesario realizar las manipulaciones, clasificaciones,
Figura 2. Proceso del desarrollo del pensamiento y del aprendizaje de la matemática.
Fuente: OTP (2004)
Cognición Metacognición
Capacidades de Aprender a aprender
Aprender a vivir Aprender a pensar
Aprender a hacer Aprender a ser Aprender a pensar
Etapa conceptual simbólica Desarrollo del
pensamiento lógico
Desarrollo del
pensamiento racional etapa Grafico representativa
Etapa intuitivo concreta Desarrollo del
pensamiento sensorial
Aprehender la realidad que nos rodea a través de nociones, conceptos, teorías, leyes, principios, símbolos, etc.
Aprehender la realidad a través de sus diversas formas y maneras de representarlas y graficarlas como un medio elemental de razonamiento.
Aprehender la realidad a través de diversas sensaciones, es decir, mediante la información que nos proporciona los sentidos.
Concluimos en que nada sirve obviar estos procesos; pues existe la ventaja, sin embargo, de que el cerebro humano no tiene una edad límite para crear sus estructuras mentales. En matemática, nunca será tarde, entonces, para volver a ser niños y desarrollar nuestra capacidad de aprender a aprender a partir de “hacer cosas”. Es importante sin
embargo, esclarecer algunos aspectos fundamentales acerca del “quehacer matemático” para los que tienen como función la de ser mediadores en su aprendizaje.
¿Qué entendemos por Pensamiento Matemático y Pensamiento Científico?
La visión holística y sistémica de la vida, rompió los compartimientos estáticos en los que el paradigma cartesiano había clasificado al mundo. Al abandonar la división entre mente – sustancia - y materia concreta, se transitó hacia la concepción de que mente y conciencia eran procesos nutridos por lo interdisciplinario. Nunca más, un tipo particular de conocimiento estaría solo y referido a sí mismo.
Con esta concepción integral de lo existente, sabemos que la matemática forma parte de este mundo global, por ello, pensar matemáticamente no es sólo pensar en “números”.
Para pensar matemáticamente, los estudiantes deberían tener experiencias numerosas y variadas en relación con la evolución cultural, histórica y científica de la matemática, de forma que puedan apreciar el papel que cumplen en el desarrollo de nuestra sociedad actual y explorar qué relaciones existen entre la matemática y las áreas a las que sirve: las ciencias físicas y de la vida, las ciencias sociales y las humanidades.
A lo largo de la historia de la matemática los problemas prácticos y la investigación teórica se han estimulado mutuamente hasta tal punto que es imposible deslindarlos. Incluso hoy día, a medida que la matemática teórica ha florecido en diversidad y ha
profundizado en complejidad y abstracción, ha pasado a ser más concreta e imprescindible a nuestra sociedad tecnológicamente orientada. Debemos centrar la atención sobre la necesidad de que los estudiantes tomen conciencia de la interacción que se da entre las matemáticas y las situaciones históricas que la impulsan y del impacto que tienen en nuestra cultura y en nuestras vidas.
La particularidad que ofrece el enfoque por procesos es que establece una
continuidad, más allá de las rupturas y de la aparición de nuevas interpretaciones, siempre presentes, gracias al carácter transitorio de la ciencia.
¿Qué enseñar en Matemática?
El conocimiento matemático es jerárquico y acumulativo. Partiendo de esta base, es claro que cualquier concepto se basa en otros previos. Así se ha estructurado,
históricamente, todo el conocimiento matemático existente. Pero, a la fecha, en esta sociedad del conocimiento en la que nos ha tocado vivir, es ilusorio pensar en querer abarcar por aprendizaje, todo ese “conocimiento matemático existente”. Por eso, más que
enseñar conocimientos matemáticos, habría que pensar en que los estudiantes aprendan a aprender la matemática. En otros términos, hoy en día es más importante aprender a aprender, es decir aprender cómo se aprende, y aprender a desaprender ciertas cosas, antes que tratar de aprender conocimientos matemáticos en sí.
El profesor, por lo tanto, tendría que partir “enseñando” lo que el estudiante ya sabe,
cada estudiante y partiendo de lo que realmente sabe hacer mejor, y no de lo que debería saber.
Sin embargo, el qué enseñar no es tan incierto, como pareciera, dentro del marco general de la propuesta curricular establecida, ya que sólo habrá que seleccionar
situaciones educativas que planteen problemas con el suficiente grado de dificultad como para que el estudiante trate de resolverlos, es decir, ni demasiado fáciles para que se aburran, ni demasiados difíciles para que no puedan solucionarlos, se espanten y huyan de ella.
Además de la complejidad de la estructura lógica de los problemas de matemáticas, hay que tener en cuenta que el contenido de los mismos sea significativo para el
estudiante. Se aprende mejor aquello que nos interesa. La motivación por encontrar la solución a las situaciones problemáticas es mayor si éstos tienen alguna relación con su vida cotidiana y sus intereses. Por ello, para conseguir mantener la motivación, se tratará de buscar situaciones cercanas y conectadas a “la realidad de nuestros estudiantes”.
Capacidades fundamentales en el aprendizaje de la matemática:
Figura 3. Solución de problemas Pensamiento Global Pensamiento crítico Pensamient o sistémico Pensamiento Sintético Pensamiento Divergente Pensamiento Categorial
Arquitectura cerebral y andamiaje del pensamiento lógico matemático (paradigma cognitivo)
Solucion de problemas
Toma de decisiones
Pensamiento creativo
Ocurre sin embargo, que siempre nos preguntaremos para qué estudiar tanta matemática. Eso de la raíz cúbica, el binomio de Newton, el teorema de Pitágoras, las factorizaciones, las ecuaciones con una, dos, tres... variables, etc., pareciera que no sirve para nada. Pero; claro, es que casi nunca nos hemos puesto a establecer para qué
aprendemos matemática. Si lo habríamos hecho, todos nuestros aprendizajes en esta disciplina serían significativos y, eso, en términos de aprendizaje sería bastante. Por eso conviene dar respuesta a esta pregunta: ¿Qué porcentaje de todas las cosas que hemos aprendido en 17 y 18 años de escolaridad son, realmente, aprendizajes significativos? ¿Tal vez un aproximado al 20 %? Si eso es así, sería más que suficiente, pero parece que no lo es.
La matemática es una de las disciplinas más eficientes y eficaces para aprender a pensar. Cada aprendizaje matemático es una cognición. Si encima de eso, reflexionamos sobre cómo hemos aprendido matemática, estaríamos llegando a aprendizajes mucho más complejos como las metacogniciones. Entonces, la matemática sirve también para
aprender a aprender y a desaprender, porque se aprende equivocándose, por ejemplo, más de lo que se aprende acertando. Se aprende lo que da resultado y se desaprende lo que nos lleva al error.
En ese sentido, el paradigma sociocognitivo precisa que los contenidos y los métodos deben utilizarse como medios para desarrollar CAPACIDADES y VALORES (traducidas en actitudes) en las personas.
conocimiento matemático con esa finalidad, entonces los aprendizajes en matemática no son significativos, pierden vigencia y se olvidan con facilidad. Por lo tanto, una tarea fundamental es definir la significatividad de los conocimientos matemáticos que aprendamos.
Por su parte, el conocimiento matemático, históricamente, siempre ha servido para solucionar problemas de la vida cotidiana. Ese es el uso que predominantemente se le ha dado y tiene hasta la fecha. Pero también ha servido para la fabricación de armas de guerra. Ese es el uso que jamás debió tener y que no debemos permitir que tenga en lo sucesivo.
Figura 4. El conocimiento matemático
El aprendizaje de la matemática debe orientarse hacia la adquisición de
CAPACIDADES, sin descuidarse en este proceso, de los valores que se traducirán en actitudes observables en la vida diaria. Las capacidades fundamentales serían, aprender a pensar creativa y críticamente, aprender a tomar decisiones y solucionar problemas.
El conocimiento matemático
Solucionar problemas de la vida cotidiana
Históricamente
siempre ha servido
Como aspirar a copar por aprendizaje, todo el caudal de conocimientos matemáticos y el que deriva de sus aplicaciones, existente a la fecha - resultaría una aspiración
literalmente IMPOSIBLE de alcanzar, lo sensato es desarrollar en cualquier sistema educativo del mundo, ESTRATEGIAS para aprender a APRENDER y aprender a
PENSAR. No existe, al parecer, otra alternativa y ese es el reto que tenemos que asumir en este siglo.
La matemática al interior de la institución educativa:
Entender y usar la matemática es un asunto de importancia central en nuestras instituciones educativas. Al interior de ellas, cuánta matemática aprendan los alumnos, y cuán bien lo hagan, depende en gran parte de:
Las experiencias que los estudiantes adquieran en el aula y que les conviertan en ciudadanos adecuadamente informados, creativos, críticos y capaces de tomar decisiones y solucionar problemas.
1. La cantidad o la calidad de los aprendizaje incluidos en la programación. 2. Los medios y materiales usados por los estudiantes en su aprendizaje. 3. Las expectativas propias de los estudiantes y la de los profesores, padres y
administradores.
El trabajo pedagógico debe dar énfasis a lo más importante y significativo de la Matemática, es decir, a lo que es más aplicable a la vida cotidiana, debiendo basarse en principios didácticos que permitan:
a) Brindar una visión coherente e integral del contenido de la matemática.
b) Promover nuevos aprendizajes en los estudiantes y las capacidades para aprender a pensar.
e) Desarrollar un sistema de retroalimentación del aprendizaje sobre la base de la supervisión y la evaluación de los aprendizajes.
f) Posibilitar la utilización de la tecnología en un mundo que, cada vez, es más tecnológico.
Estos principios, como es de apreciarse, prescriben cuestiones básicas sobre el trabajo pedagógico que hay que desarrollar en una matemática de calidad, al expresar la dirección y perspectivas que fundamentan el aprendizaje de las capacidades y los otros componentes del currículo y al fomentar un cambio sistemático en la actitud del docente, que se traduzca en la práctica, en un toma de decisiones oportuna y eficaz que solucione los problemas de los estudiantes en su aprendizaje.
Igualmente, los principios en los que se sustenta el Diseño Curricular Básico (DCB) de Matemática, se encuentran coherentemente articulados con las capacidades, los
contenidos, los valores y las actitudes allí considerados, por lo tanto, deben dar
direccionalidad al trabajo del aula y al que realice la Institución Educativa en su conjunto. Las necesidades sociales para acceder al conocimiento matemático, a su vez, nunca fueron tan grandes, a consecuencia de la globalización y el progreso alcanzado en la comunicación, el tratamiento y uso de la información y, el conocimiento científico y tecnológico en general. Sobre eso, se presume que esta necesidad continuará
incrementándose, en razón de lo cual, estas necesidades incluyen lo siguiente: Alfabetización matemática y cultural
proezas culturales e intelectuales de la humanidad y, los estudiantes de secundaria, más que nadie, están en la obligación de desarrollar su capacidad de comprensión y manejo de estos espectaculares logros.
Matemática para el desempeño laboral
Así como el conocimiento matemático ha aumentado dramáticamente - a tono con el avance logrado en el campo del conocimiento y la información en general - también los requerimientos laborales han incluido un nivel de desarrollo del pensamiento matemático y de la capacidad de resolución de problemas, dentro de los requisitos necesarios para un desempeño laboral eficiente, hecho que, obliga a replantear el aprendizaje de esta disciplina desde sus cimientos.
Más importante que poseer conocimientos matemáticos puros, resulta tener capacidades que permitan aprender a aprender y adecuar la información disponible
existente, a la solución de problemas de la vida cotidiana y del mundo laboral, campo en el cual pareciera que la matemática gana más terreno por cada día que pasa.
A las computadoras no habría sido posible fabricarlas, si previamente no se hubiera aplicado el sistema binario de numeración de la matemática, como uno de sus lenguajes operativos. En la actualidad, matemática y computación van de la mano. Otro tanto ocurre con el resto de ciencias nuevas y ciencias aplicadas.
Propósitos fundamentales del aprendizaje de la matemática en secundaria: - Aprender a valorar positivamente la matemática. Los estudiantes deben saber
apreciar el papel que cumple la matemática en el desarrollo científico y tecnológico experimentado en el mundo actual y explorar sus conexiones con las otras áreas y disciplinas del conocimiento.
generalizaciones; así como, reflexionar y clarificar conceptos y relaciones entre objetos, es decir, que el uso y manejo de signos, símbolos y términos para recibir y emitir
información matemática, es lo que debe enfatizarse en el trabajo de aprender matemática. - Adquirir confianza en las propias capacidades para hacer matemática. El
aprendizaje de la matemática debe permitir a los estudiantes, desarrollar las capacidades de uso de todas sus potencialidades, no sólo para aprender nuevas nociones, conceptos y algoritmos, sino para dar sentido y direccionalidad a sus intervenciones en la solución de las situaciones problemáticas que les plantee la vida cotidiana en el ambiente al que pertenecen.
- Resolver problemas de la vida cotidiana. La matemática debe desarrollar en los estudiantes, su capacidad para plantear y resolver problemas si queremos contar en el futuro con ciudadanos productivos. El desarrollo de la capacidad pare resolver
problemas, es la espina dorsal en el enseñanza, a nivel secundario, de la matemática y obliga a que, algo tan evidente, se precise enfatizarlo. Sin embargo, tan importante como la capacidad de resolver problemas es la de saber plantearlos creativamente.
- Aprender a razonar matemáticamente. El trabajo matemático debe permitir al estudiante desarrollar su habilidad para elaborar y comprobar conjeturas, formular contraejemplos, seguir argumentos lógicos, juzgar la validez de un argumento, construir argumentos sencillos válidos, etc. La matemática es una buena escuela de raciocinio. Al respecto, analicemos el siguiente texto, que ilustra cabalmente lo que se acaba de describir:
A propósito de la necesidad de “saber hacer matemática” y “saber usar la
matemática”, en el N° 22 de la Revista “Cuadernos de Educación”, hemos encontrado el artículo: “La Matemática se aprende y se enseña pero, también, se crea y utiliza” que nos
literalmente, con la finalidad de contribuir a la mejor comprensión de lo que se ha tratado de desarrollar a lo largo de los párrafos anteriores.
Procesos matemáticos:
En la actividad matemática aparecen también una serie de procesos que se articulan en su estudio, cuando los estudiantes interaccionan con las situaciones - problemas, bajo la dirección y apoyo del profesor. Los Principios y Estándares 2000 del NCTM resaltan la importancia de los procesos matemáticos, en la forma que resumimos a continuación.
Figura 5. Procesos matematicos
Leyenda:
Resolución de problemas (que implica exploración de posibles soluciones, modelización de la realidad, desarrollo de estrategias y aplicación de técnicas).
Representación (uso de recursos verbales, simbólicos y gráficos, traducción y conversión entre los mismos).
Comunicación (diálogo y discusión con los compañeros y el profesor).
Justificación (con distintos tipos de argumentaciones inductivas, deductivas, etc.). Institucionalización
Conexión
Justificación Comunicación
Representación Resolución de
problemas
Conexión (establecimiento de relaciones entre distintos objetos matemáticos). Nosotros, además añadimos el siguiente proceso:
Institucionalización (fijación de reglas y convenios en el grupo de alumnos, de acuerdo con el profesor)
Estos procesos se deben articular a lo largo de la enseñanza de los contenidos matemáticos organizando tipos de situaciones didácticas que los tengan en cuenta. A continuación los describimos brevemente.
2.2.2. Bases teóricas de la variable resolución de problemas ¿Qué es resolver un problema?
La matemática, es sobre todo, saber hacer, es una ciencia en la que el método predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones que se refieren a los procesos mentales de resolución de problemas.
En consecuencia la propuesta de aprender matemática resolviendo problemas se apoya en las actuales tendencias pedagógicas que consideran que la capacidad de resolver problemas de matemática es una de las exigencias fundamentales para poder comprender y vivir en un mundo cada vez más globalizado, donde la matemática se desarrolla
vertiginosamente y aumentan diariamente sus aplicaciones a los más diversos campos. De un modo estrictamente referencial, podemos decir en términos generales que resolver un problema es:
Encontrar una vía de solución allí donde no se conocía vía alguna.
Hallar la manera de superar un obstáculo,
Encontrar la forma de salir de una dificultad,
La habilidad de resolver problemas supone la capacidad de aplicar diferentes métodos, vías de solución o estrategias para encontrar solución de los diferentes problemas, sean estos problemas matemáticos o no.
La resolución de problemas
Saber resolver problemas matemáticos es una de las competencias más importantes, que el educando debe adquirir en el proceso de su experiencia educativa. En este sentido, es oportuno subrayar que la resolución de problemas no es un capítulo específico ni tampoco una parte diferenciada del currículo de matemática, sino el eje vertebrador alrededor del cual se debe organizar la enseñanza y aprendizaje de matemática.
Dentro de este enfoque, el educando adquirirá nuevos conocimientos matemáticos, irá descubriendo relaciones matemáticas entre ellos, construirá procedimientos y también los utilizará en situaciones diversas de su entorno individual y social.
La resolución de problemas es una actividad intelectual que debe: Impregnar íntegramente el currículo de Matemática y
Proporcionar el contexto que posibilite el aprendizaje de conceptos y destrezas.
Problemas y aprendizaje de contenidos matemáticos:
Desde la perspectiva del desarrollo de aprendizaje dirigido a recuperar el
protagonismo del alumno, el educando es obviamente el agente principal en los procesos de adquisición de sus experiencias educativas. En este sentido, la adquisición de
competencias matemáticas y el descubrimiento o elaboración de procedimientos se realiza mediante la actividad del (de la) alumno(a) en la resolución de situaciones problemáticas. Esto supone:
Un ambiente de cordialidad y confianza entre los alumnos(as) y el profesor(a),
Un ambiente en el que el (la) docente orienta y facilita el aprendizaje de contenidos
conceptuales y procedimentales de matemática, así como contenidos actitudinales, mediante la resolución de problemas.
La resolución de problemas en situaciones reales concretas, interesantes para el niño y/o
la niña posibilita la comprensión de conceptos y procedimientos matemáticos, por ejemplo, los conceptos y operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, etc. Su aprendizaje no es la repetición mecánica, memorística de definiciones ni reglas sino que se da a través de un proceso de construcción del propio educando.
Por ejemplo, a fin que los niños y las niñas generen sus propias ideas matemáticas sobre la operación de la división, se puede plantear la resolución de problemas de “reparto” como el siguiente:
Marcos y Ana compraron 8 panes y luego se repartieron equitativamente. ¿Cuántos panes le tocó a cada uno?
La resolución de problemas como el siguiente posibilita que sean los niños y las niñas quienes descubran la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Miguel tiene cuatro paquetitos que contienen 8 galletas cada uno. En cambio, Henry tiene ocho paquetitos de 4 galletas cada uno.
¿Cuántas galletas tienen cada uno?
Así mismo, la siguiente situación puede ser utilizada para encontrar un procedimiento de adición de números mixtos.
Soledad salió de su casa a las siete y cuarto de la mañana. El viaje de su casa a la escuela dura 35 minutos ¿A qué hora llegará soledad a la escuela?
Juanito toma 4/5 de litro de leche y Anita toma 1/3 de litro de leche. ¿Quién toma más leche?
¿Qué es un problema?
Un problema se define como una situación en la cual un individuo desea hacer algo, pero desconoce el curso de la acción necesaria para lograr lo que quiere (Beltran y
Genovard, 1996), o como una situación en la cual un individuo actúa con el propósito de alcanzar una meta utilizando para ello alguna estrategia en particular (Chi y Glaser, 1986).
Un problema hace alusión a lo que es desconocido, pero puede abordarse por la razón o los sentidos. Lo que supone una opción o alternativa difícil o una incertidumbre.
Un problema es una situación total o parcialmente desconocida, una situación irresuelta y constituye el punto de partida del desarrollo cognitivo del ser humano.
Un problema existe cuando hay tres elementos, cada uno claramente definido: Una situación inicial.
Una situación final u objetivo a alcanzar.
Restricciones o pautas respecto de métodos, actividades, tipos de operaciones, etc., sobre
los cuales hay acuerdos previos.
Figura 6. Un problema
Cuando hacemos referencia a “la meta” o a “lograr lo que se quiere”, nos estamos
refiriendo a lo que se desea alcanzar: la solución. La meta o solución esta asociada con un estado inicial y la diferencia que existe entre ambos se denomina “problema”. Las
actividades llevadas a cabo por los sujetos tienen por objeto operar sobre el estado inicial para transformarlo en meta. De esta manera, se podrá decir que los problemas tienen cuatro componentes: 1) las metas, 2) los datos, 3) las restricciones y 4) los métodos (Mayer, 1977).
Las metas:
definidas. En el ejemplo: “Hernán tiene cinco canicas; César le dio ocho canicas más.
¿Cuántas canicas tiene Hernán en total?”, la meta está bien definida, consiste en saber cuántas canicas tiene Hernán en total, después que César le dio ocho canicas más. Por el contrario, los problemas de la vida real pueden tener metas no tan claramente definidas. Los datos:
Consisten en la información escueta. Clara y precisa de orden numérica o verbal disponible con que cuenta el aprendiz para comenzar a analizar la situación problema. Al igual que las metas, los datos pueden ser pocos o muchos, pueden estar bien o mal definidos o estar explícitos o implícitos en el enunciado del problema. En el ejemplo anterior, los datos están bien definidos y son explícitos: cinco canicas y ocho canicas Las restricciones:
Son los factores que limitan la vía para llegar a la solución. De igual manera, pueden estar bien o mal definidos y ser explícitos o implícitos. En el ejemplo anterior no hay restricciones. Sin embargo vamos a dar un ejemplo de lo que es una restricción.
Isabel tiene una muñeca y quiere vestirla con short y blusa. Tiene cuatro shorts de color rojo, blanco, azul y negro, y tiene tres blusas de color verde, amarillo y rosado. Ella quiere hacer diferentes combinaciones con todos los shorts y las blusas verde y rosada. ¿Cuántas combinaciones diferentes pueden hacer?
En el ejemplo anterior, la restricción consiste en que Periquita sólo quiere utilizar dos de las tres blusas, la verde y la rosada, en consecuencia, no todas las blusas van a ser consideradas para las diferentes combinaciones que quiere hacer. Esto es una restricción. Los métodos y operaciones
referido a la vida real, podría ser: “Conjunto de hechos o circunstancias que dificultan la consecución de algún fin”.
Figura 7. Los métodos y operaciones en un problema
A. Significado corriente del termino problema
En el lenguaje familiar se entiende por problemas un conjunto de hechos o de circunstancias que colocan a una persona en situación de tener que tomar una decisión.
Si ésta no es tomada se dirá que el problema no ha sido resuelto; si se toma y luego se considera que esa decisión ha sido correcta se dirá que el problema ha sido bien
resuelto. Es evidente el carácter totalmente subjetivo que tiene la calificación de acertada o desacertada que se dé a esa decisión, por ejemplo: el nombramiento de personal en una empresa es un problema que se resuelve mediante determinadas técnicas de selección que, bien empleadas, hacen suponer al seleccionador que la elección ha recaído en personas
Problema
Desafío en el uso de medios para conseguir un fin
Lleva a desarrollar una actividad cognitiva
Tiene carácter individual y relativo Produce interacción
sujeto - problema
idóneas y útiles, pero esta opinión no necesariamente ha de ser compartida por el jefe de la sección a la que serán destinadas esas personas.
Esta clase de problemas no admiten tratamiento matemático aunque muchas veces se utilicen recursos matemáticos para la toma de una decisión.
B. Su significado matemático.
Toda situación en la que existen una o más relaciones lógicamente definidas entre elementos conocidos y otros no conocidos pertenecientes todos a uno o más conjuntos bien definidos, constituyen un problema matemático o una situación que admite tratamiento matemático (es decir esa situación puede ser matematizada), cuando los elementos desconocidos pueden ser deducidos de los conocidos por aplicación de las relaciones u operaciones consentidas en esos conjuntos.
Características de un problema:
El problema tendrá de las siguientes características: datos, objetivos y obstáculos Tabla 1
Características de un problema
Características Alcances
Los datos:
El problema debe tener, en primer lugar determinadas
condiciones: cifras, fragmentos de información, objetos… que aparecen en el principio del problema.
Objetivos
El objetivo principal es que esta situación debe cambiar, por tanto el pensamiento deberá mirar el proceso y método para llegar al final.
Obstáculos:
Tabla 2
Requisitos de un problema
Requisitos de un problema
Aceptación
El individuo o grupo, debe aceptar el problema, debe existir un compromiso formal, que puede ser debido a motivaciones tanto externas como internas.
Bloqueo Los intentos iniciales no dan fruto, las técnicas habituales de abordar el problema no funcionan.
Exploración
El compromiso personal o de grupo fuerza la exploración de nuevos métodos para atacar el problema.
También ha existido cierta polémica sobre la diferencia que hay entre un ejercicio o un auténtico problema.
Lo que para algunos es un problema, por falta de conocimientos específicos sobre el dominio de métodos o algoritmos de solución, para los que sí los tienen es un ejercicio. Esta cuestión aunque ha sido planteada en varias ocasiones, no parece un buen camino para profundizar sobre la resolución de problema.
¿Qué es la resolución de problemas?
Según Dijkstra (1991, citado por Mayor y otros, 1993), la resolución de problemas es un proceso cognoscitivo complejo que involucra conocimientos almacenados en la
memoria a corto y largo plazo.
pesar de que estos tres tipos de factores están involucrados en la actividad de resolución de problemas.
Los componentes de un problema:
Figura 8. Componentes de un problema
Etapas de la resolución de problemas:
Figura 9. La resolución de problemas
Figura 10. Etapas en la resolución de problemas LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
La preparación, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema, intenta definirlo en forma clara y recoge hechos e información relevante al problema.
La incubación, es la fase en la cual el solucionador analiza el problema de manera inconsciente.
La inspiración, es l fase en la cual la solución al problema surge de manera inesperada.
La verificación, es la fase que involucra la revisión de la solución.
Etapas en la resolución de problemas
Darse cuenta del problema de que existe una discrepancia entre lo que se desea y lo que se tiene.
Especificación del problema, se trabaja una descripción más precisa del problema. Análisis del problema, se analizan las partes del problema y se aísla la información
relevante.
Generación de la solución, se consideran varias alternativas posibles. Revisión de la solución, se evalúan las posibles soluciones.
Selección de la solución, se escoge aquella que tenga mayor probabilidad de éxito. Instrumentación de la solución, se implementa la solución.
Es de hacer notar que las etapas se aplican usualmente a problemas aritméticos y algebraicos, pero también pueden aplicarse a muchos otros tipos de problemas no necesariamente relacionados con disciplinas académicas.
Por su parte, Polya (1975) señala que un problema puede resolverse correctamente si se siguen los siguientes pasos:
Figura 11. Pasos a seguir para la resolución de un problema
Métodos de resolución de problemas
Las estrategias para resolver problemas se refieren a las operaciones mentales utilizadas por los estudiantes para pensar sobre la representación de las metas y los datos, con el fin de transformarlos en metas y obtener una solución. Las estrategias para la
resolución de problemas incluyen los métodos heurísticos, los algoritmos y los procesos de pensamiento divergente.
a) Los métodos heurísticos:
Los métodos heurísticos son estrategias generales de resolución y reglas de decisión utilizadas por los solucionadotes de problemas, basadas en la experiencia previa con problemas similares. Estas estrategias indican las cías o posibles enfoques a seguir para alcanzar una solución.
Comprende el problema.
Concebir un plan para llegar a la solución.
Ejecutar el plan.
Verificar el procedimiento.
Comprobar los resultados. Pasos para
Mientras que Duhalde y Gonzáles (1997) señalan que un heurístico es “un
procedimiento que ofrece la posibilidad de seleccionar estrategias que nos acercan a una solución”.
Los métodos heurísticos pueden variar en el grado de generalidad. Algunos son muy generales y se pueden aplicar a una gran variedad de dominios, otros pueden ser más específicos y se limitan a un área particular del conocimiento. La mayoría de los programas de entrenamiento en solución de problemas enfatizan procesos heurísticos generales como los planteados por Polya (1975) o Hayes y otros (1982).
Los métodos heurísticos específicos están relacionados con el conocimiento de un área en particular. Éste incluye estructuras cognoscitivas más amplias para reconocer los problemas, algoritmos más complejos y una gran variedad de procesos heurísticos específicos.
Chi y colaboradores (1986) señalan que entre el conocimiento que tiene los expertos solucionadores de problemas están los “esquemas de problemas”. Estos consisten en
conocimiento estrechamente relacionado con un tipo de problema en particular y que contiene:
Tabla 3
Tipos de conocimiento
Tipo de conocimiento Alcances
C. Declarativo Principios, formulas y conceptos
C. Procedimental: Conocimiento cerca de las acciones necesarias para resolver un tipo de problema en particular
C. Estratégico
Conocimiento que permite, al individuo solucionador del problema, decidir sobre las etapas o fases que deben seguir en el proceso de solución.
datos, yendo de la meta al principio. El procedimiento heurístico es utilizado en geometría para probar algunos teoremas; se parte del teorema y se trabaja hacia los postulados. Es útil cuando el estado – meta del problema está claro y el inicial no.
Subir la cuesta (hill climbing). Este procedimiento consiste en avanzar desde el estado actual a otro que esté más cerca del objetivo, de modo que la persona que resuelve el problema, al encontrarse en un estado determinado, evalúa el nuevo estado en el que estará después de cada posible movimiento, pudiendo elegir aquel que lo acerque mas al objetivo. Este tipo de procedimiento es muy utilizado por los jugadores de ajedrez.
Análisis medios – fin (jeans – ende análisis). Este procedimiento permite al que resuelve el problema trabajar en un objetivo a la vez. Consiste en descomponer el problema en submetas, escoger una para trabajar, y solucionarlas una a una hasta
completar la tarea eliminando los obstáculos que le impiden llegar al estado final. Según Mayer (1983), el que resuelve el problema debe hacerse las siguientes preguntas: ¿Cuál es mi meta?, ¿qué obstáculos tengo en mi camino?, ¿de qué dispongo para superar estos obstáculos?
b)Los algoritmos:
Los algoritmos son procedimientos específicos que señalan paso a paso la solución de un problema, y que garantizan el logro de una solución siempre y cuando sean relevantes al problema.
Por otra parte, Duhalde y Gonzáles (1997) señalan que un algoritmo es una prescripción efectuada paso a paso para alcanzar un objetivo particular. El algoritmo garantiza la obtención de lo que nos proponemos.
solución. Por lo tanto, es aceptable que se utilicen los procedimientos heurísticos en lugar de los algoritmos cuando no conocemos la solución de un problema.
c) Los procesos de pensamiento divergente:
Los procesos de pensamiento divergente permiten la generación de enfoques
alternativos a la solución de un problema y están relacionados, principalmente, con la fase de inspiración y con la creatividad.
La adquisición de habilidades para resolver problemas ha sido considerada como el aprendizaje de sistemas de producción que involucran tanto el conocimiento declarativo como el procedimental. Existen diversos procedimientos que pueden facilitar o inhibir la adquisición de habilidades para resolver problemas, entre los cuales se pueden mencionar: Ofrecer a los estudiantes representaciones metafóricas.
Permitir la verbalización durante la solución del problema.
Hacer preguntas.
Ofrecer ejemplos.
Ofrecer descripciones verbales.
Trabajar en grupo.
Utilizar auto – explicaciones.
Etapas en la resolución de problemas:
1. Darse cuenta del problema, de que existe una discrepancia entre lo que se desea y lo que se tiene.
2. Especificación del problema, se trabaja una descripción más precisa del problema. 3. Análisis del problema, se analizan las partes del problema y se aísla la información
relevante.
6. Selección de la solución, se escoge aquélla que tenga mayor probabilidad de éxito. 7. Instrumentación de la solución, se implementa la solución.
8. Nueva revisión de la solución, de ser necesario.
Es de hacer notar que las etapas se aplican usualmente a problemas aritméticos y algebraicos, pero también pueden aplicarse a muchos otros tipos de problemas no
necesariamente relacionados con disciplinas académicas. Por su parte, Polya (2001) señala que un problema puede resolverse correctamente si se siguen los siguientes pasos:
Comprender el problema.
Concebir un plan para llegar a la solución. Ejecutar el plan.
Verificar el procedimiento. Comprobar los resultados.
Lo que pretende Polya, con este modelo incluyendo las sugerencias heurísticas, es marcar pautas, indicar caminos y hacer posible que el individuo tome conciencia de lo que
