Teorema de tales, rivas.docx

Teorema de tales:

Nombre: Rocío Rivas

Objetivo del trabajo:

 El objetivo principal de este informe es comprender la teoría propuesta por el científico matemático Thales, aprender a desarrollarlo y aplicarlo.

 También veremos una breve historia sobre como Thales logro descubrir este método y cómo es posible podamos aplicarlo en nuestra vida diaria para resolver ciertas incógnitas.

 Desarrollar correctamente una guía psu con respecto a lo aprendido en este informe apoyándose de las claves entregadas.

Historia:

La historia cuenta que cuando el señor Thales de Meteo, un matemático griego se encontraba de viaje en Egipto visitando las pirámides de Guisa, tras analizar estas grandes ruinas, Thales se propuso descubrir cuál podría ser la altura de esta.

 ¿Cómo pudo lograrlo? Bueno esto hiso de forma indirecta con solo medir la altura de un bastón que puso frente a la pirámide y con la sombra que ambas proyectaban (bajo la suposición de que los rayos incidentes eran paralelos ) trato este problema con semejanza de triángulos rectángulos, tomando los catetos (C y D)a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, el bastón cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra.

longitud delbaston(A)

sombra delbastón(B)=

longuitud de la piramide(C)

sombra de piramide(D)

Es decir: Para sacar la altura de D la proporción es A B =

D

C

→ D =

AC B

¿En qué consiste el Teorema de Tales?

En geometría existen dos teoremas asociadas a la Teoría de tales (o Thales), estas consisten en establecer proporciones entre rectas secantes que son cortadas por una serie de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes de la otra recta.

Uno de estos teoremas permite la construcción de triángulos que sean semejantes a otro existente, es decir que tengan sus ángulos iguales.

Primer teorema

En este teorema se establecen que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, este dice que:

“Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes”.

Ejemplo:



del triángulo ABC.

Lo que se traduce en la fórmula:

Nota: en una proporción es posible:

(a) alternar los términos medios (b) alternar los términos extremos (c) invertir las razones

(d) permutar las razones

Es como si imagináramos que tenemos dos triángulos que al ser semejantes y tener sus ángulos iguales uno se sobrepone ante otro.

Por Ejemplo: Los triángulos ABC (verde) y A´B´C´(amarillo) se encuentran en posición de Thales ya que ∠A=∠A ´ ; ∠ B = B´ ; ∠C = C´ .

También los triángulos ∆ ABC y ∆ A ´ B ´ C ´ son semejantes

Conclusión: Ambos triángulos están en posición de Thales y son proporcionales dado que:

AC AB

=

A ´ C

Á ´ B

´

=

A ´ C ´ C ´ D´

 Otra variente de dicho teoría (también consecuente de esta) Es al calcular la intersección de dos rectascualesquieras (r y s), vemos que se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas

Ejercicios Resueltos:

1)Las rectas a, b, y c son paralelas. Halla cual es el valor de x.

14 10

=

x

4

x=

10

= 5.6 cm.

2)Hallar las medidas de los segmentos a y b.

4 2

=

4

= 8cm

4 2

=

6

b

= 3cm

Segundo Teorema:

En este segundo teorema propuesto por Thales se ve enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos. Desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros encuentran en el punto medio de su hipotenusa).

Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es recto.

Siempre que AC sea un diámetro, el angulo B será constante y recto

Demostración:

En la circunferencia de centro O y radio r (véase figura 3), los segmentos

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

Por lo tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles. La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

2α + 2β = π (radianes) (180º)

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:

Con la expresión anterior el segundo teorema queda demostrado.

Figura 3.

Los triángulos AOB y BOC son isósceles.

Propiedades:

- En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre la mitad de la hipotenusa.

Ya que aplicando el teorema anterior, se sabe que para cualquier posición que adopte el vértice B vale la igualdad, OA = OB = OC = r, donde OB es la mediana de la hipotenusa.

- La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a la mitad de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la

Ejercicios _Guía Psu:

1) El triángulo ABC está inscrito en la circunferencia de la figura, además, el arco DA es congruente con el arco BE. ¿Cuál de las siguientes proporciones es siempre

verdadera?

2) En la figura, para que L1 // L2 // L3, el valor de x debe ser:

a) -2 A D

b) 2 L1 x−3 B Ex−1

c) 3 x−2 C F x+2

d) 4 L2

e) No existe tal valor para x L3

 A partir de la siguiente figura responde las preguntas 3 , 4 y 5.

P

A B C D

Algunas propiedades:

PA AC =

PB BD

PA PC =

PA AB=

PC CD

PB AB =

PD DC

3) Si en la figura CD = 7 cm., PA = 2 cm, AC = 5 cm., ¿cuánto vale AB?

a) 3 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 2 cm e) 7 cm

4) Si en la figura el valor del tramo CD = 6 cm., AB = 5 cm. BD = 1 cm. Determina PB

a) 7 cm b) 5 cm c) 9 cm d) 12 cm e) 1 cm.

5) 3) BD = 6 cm, AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD

a) 12 cm b) 10 cm c) 8 cm d) 7 cm e) 18 cm 2

6) En la figura siguiente: l // m // n // r ; con respecto a ella, es verdadero que:

I- a b=

d

e

II- b e=

c

f c b a

III-d a=

a c

a) Sólo I y II f e d

b) Sólo III y IV r n m l

c) Sólo I, II y III

d) Sólo II, III y IV

e) Sólo I, II y IV

7) En la figura, L1// L2 , 5d= 2c, y b=4cm la medida del trazo a en cm. es:

a) 80 cm L1

b) 40 cm a c

c) 20 cm

d) 10 cm d b L2

8) En la figura, BC // DE . Si AB =2·BD = 6 y BC =2, entonces DE =? a)1 E

b) 3 C

c) 4 A B D

d) 5

e) 8

9) La figura muestra un rectángulo ABEF con BC = 10, CF = 5 y CD = 4. ¿Cuánto mide el perímetro del trapecio ABCE?

a) 16 F E b) 22 D C

c) 28

d) 32 A B

e) 36

10) En el triángulo ABC de la figura, se sabe que AB = 48 cm, SP = 12 cm, SP//QR//CB y AP: PR: RB = 1: 2: 3, entonces el valor de CB es:

a) 96 cm C B b) 72 cm Q R

c) 48 cm

d) 36 cm S P

e) 24 cm A

11) Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 m; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m, ¿cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso?

a) 8 m

b) 10 m

c) 15 m

d) 40

3 m

12) Una persona está situada en el punto A, y tiene al frente dos postes ED y BC

perpendiculares al plano, como se muestra en la figura. Si la distancia entre el punto A y el poste BC es (4x + 5) metros y la distancia entre los postes es (x + 5) metros, ¿cuántos metros separan a la persona (punto A) del poste ED?

a) 1 metro C

b) 9 metros D

c) 6 metros 6m 2m

d) 3 metros B E B

e) 30 metros

13) En el triángulo ABC de la figura, AB//PM Si PM = 10, AB = 15 y CT = 12, entonces ¿en cuál de las opciones se presenta la proporción correcta para determinar el valor de x?

a)10

15 = 12−x

12 C

b) 10

15 = 12−x

x

c)10

15=

x−12

12 P M

d)10

15=

12

12−x A x B

e) 10

15= 12

x T

14) ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el valor de x es 12?

a) Sólo en I

b) Sólo en II

c) Sólo en III

d) Sólo en II y en III

15) 4) En la figura, si L1//L2//L3, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I

)

AG

FE

=

AB

CD

II

)

BG

CF

=

AG

GF

III

)

AG

AF

=

AB

AC

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

16) La base de un triángulo isósceles mide 6cm y su altura 9cm. Si aumentamos 2cm a su base de forma que los triángulos sigan siendo semejantes, su altura aumentara a: a) 4cm

b) 3cm c) 3.5 d) 4.5cm e)2cm

17) Los lados de un triángulo rectángulo miden 3m 4m y 5m. Si aumentamos la hipotenusa 3m de forma que los dos triángulos sean semejantes, sus catetos medirán:

a)4,5 y 5.5m b) 5.2 y 6.5m c)4.8 y 6.4m d)4.5 y 6.4m e) 4.8 y 6.5

18) En la figura, el lado AD del Δ ABD es el diámetro de la circunferencia de centro O. Para el punto E en el lado BD, se tiene que BE = 3, ED = 12 yAE = 6. El valor del radio es:

a)

√

c)

√

2

d)

_√

e)

√

2

19) Desarrolle y resuelva la pregunta según la imagen.

Se distingue un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 1,5 metros. ¿Qué altura tendrá un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4 metros?

20) En la figura el área del Δ ABC es 90 cm2 _{y AB // DE. ¿Cuál es el área}

del trapecio ADEB?

A) 36 cm2

B) 40 cm2

C) 50 cm2

D) 54 cm2

Claves:

1) Se deduce que el arco DA es congruente a el arco BE, es decir, que los segmentos DE y AB son paralelos entre sí. B)

2) B

3)D

4)B

5) A

6) E

7)D

8)B

9)D

10)B

11)A

12)D

13)A

14) D

15)C

16)B

17)C

18) En este caso el ∠ ABD = 90º y donde trazo AB y trazo BD son los catetos Y necesitamos calcular el cateto trazo AB. Al ser un ejercicio de conbinatoria usamos pitagoras:

AE2 _{= BE}2 _{+ AB}2 62 _{= 3}2 _{+ AB}2

AB2 ₌₆2 _{– 3}2_{, por lo que el valor del cateto:}

AB =

_√

−32. =

√

Luego, para determinar el radio de la circunferencia, debemos calcular el diámetro AD, que es la hipotenusa del triángulo rectángulo ADB.

Utilizando nuevamente el Teorema de Pitágoras, se tiene:

AD2

=BD2 + AB2

AD2 = ₁₅2 ₊

272

AD=

_√

+272 =

√

_√

√

19)Para ello planteamos lo siguiente: 3 es a x como 1,5 lo es 4,es decir,

3

x=

1.5 4

Ahora igualamos el producto entre los extremos (3 y 4) de la proporción y los medios (1,5 y x) de la misma proporción. Es decir:

X * 1.5 = 3*4 , despejamos x :

X= 3∗4

1.5 y por ultimo resolvemos:

X= 12

1.5 = 12: 1.5 =8 → La altura del árbol es de 8 metros

.

20) Para resolver este ejercicio debemos saber que “Dos rectas paralelas determinan segmentos proporcionales sobre los lados de un ángulo”.

En la figura trazamos la altura CF

Como AB// DE y aplicando dicho teorema se tiene que: CG CF=

DE

AB, remplazamos y se obtiene que x

x+y=

10

15, luego 15x = 10x + 10y, ordenando 5x – 10y = 0, de donde,

dividiendo por 5 queda: x – 2y = 0 (1).

Y como área del Δ ABC = 90 cm2_{, se tiene} 15(x+y)

2 = 90, luego 15x + 15y = 180, de

donde x + y = 12 (2)

Luego. formando el sistema de ecuaciones con (1) y con (2), resulta:

Resolviendo este sistema, resulta y = 4 cm, por lo tanto x = 8 cm.

Luego, sabiendo que la altura y del trapecio ADEB es 4 cm, entonces se calcula directamente el área de él como:

DE+AB

2 y = 10+15

También se puede determinar calculando la diferencia entre el área del Δ ABC y el Δ DEC, es decir, Área trapecio ABED = Área Δ ABC – Área Δ DEC.

El área del

Así, el área del trapecio ABED = 90 cm2 _{– 40 cm}2 _{= C) 50 cm2}

Bibliografia:

 http://descargas.pntic.mec.es/cedec/mat3/contenidos/u6/M3_U6_contenidos/ 11_teorema_de_thales.html

 http://siguiendoathales.blogspot.com/

 http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej2.htm

 http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html