i
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional De Matemática
TESIS
TEOREMA DE ENGEL EN LAS ÁLGEBRAS DE LIE
Presentada por:
Br. Jonathan Josué Zapata Campos
PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE
LICENCIADO EN MATEMÁTICA
Línea de Investigación:
Álgebra
Piura, Perú
ii
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Facultad de Ciencia
Escuela Profesional de Matemática
TEOREMA DE ENGEL EN LAS ÁLGEBRAS DE LIE Línea de Investigación:
iii DECLARACIÓN JURADA DE ORIGINALIDAD DE LA TESIS
Yo: JONATHAN JOSUÉ ZAPATA CAMPOS, identificado con CU/DNI Nº46875462,
Bachiller de ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA, de la Facultad de
CIENCIAS y domiciliado en calle /Jirón/Av. Marcavelica Mz I Lote 8, Urb. La
alborada del Distrito: Piura, Provincia: Piura, Departamento: Piura, Celular: 952659735
Email:[email protected].
DECLARO BAJO JURAMENTO: que la tesis que presento es original e inédita, no siendo copia parcial ni total de una tesis desarrollada, y/o realizada en el Perú o en el
Extranjero, en caso contrario de resultar falsa la información que proporciono, me sujeto
a los alcances de lo establecido en el Art. Nº 411, del código Penal concordante con el
Art. 32º de la Ley Nº 27444, y Ley del Procedimiento Administrativo General y las
Normas Legales de Protección a los Derechos de Autor. En fe de lo cual firmo la
presente.
Piura………. del 20…
……..………..
DNI: 46875462
Artículo 411.- El que, en un procedimiento administrativo, hace una falsa declaración en relación con hechos o
circunstancias que lecorresponde probar, violando la presunción de veracidad establecida por ley, será reprimido con pena privativa de libertad nomenor de uno ni mayor de cuatro años.
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
Facultad de Ciencia
Escuela Profesional de Matemática
TEOREMA DE ENGEL EN LAS ÁLGEBRAS DE LIE Línea de Investigación:
ÁLGEBRA
______________________________
Dra. Sonia Alicia Casós Fernández
Presidente
______________________________
MSc. Graciela Pilar Burgos Namuche
Secretaria
______________________________
Dr. Elmer Porfirio Díaz Contreras
vi
vii Agradecimientos
Doy un reconocimiento especial de gratitud a mi asesor Dr. Julio Enrique López Castillo, por su paciencia incondicional y su esfuerzo para que este trabajo se haga realidad, juntamente con los profesores que me enseñaron compartiendo sus conocimientos para conmigo.
1. Quiero reconocer a mis compañeros de la universidad, Manuel Saavedra, Manuel Ortiz, Alonso Fiestas, Vladimir Navarro, que fueron de ayuda en la formación académica.
2. Quiero reconocer a Iglesia el Buen Pastos de Piura, gracias por sus oraciones 3. Quiero reconocer a la academia Santa Rosa de Lima, que me brindó su apoyo en
el proceso de admisión a la universidad.
4. Quiero agradecer a Cindy por su ánimo amoroso incondicional.
5. Quiero agradecer a mis amigos Guillermo, Bryan, Henry y Key por su amistad. 6. Quiero agradecer a la Familia Villalobos Cuevas, por su amistad y su apoyo
cuando estuve en Lima.
7. Agradecer a la Iglesia Bautista de Cieneguilla Vida Nueva de Lima por su amistad.
viii INDICE
INTRODUCCIÓN ... 12
I. ASPECTOS DE LA PROBLEMATICA ... 14
1.1. Descripción de la realidad problemática. ... 14
1.2. Justificación e importancia de la investigación. ... 14
1.3. Objetivos ... 15
1.3.1. Objetivo general ... 15
1.3.2. Objetivos específicos... 15
II. MARCO TEÓRICO... 16
2.1. Antecedentes de la investigación. ... 16
2.2. Bases teóricas... 17
2.2.1. Espacios Vectoriales. ... 17
2.2.2. Subespacios. ... 19
2.2.3. Suma Directa de Dos Espacios Vectoriales ... 24
2.2.4. Base y Dimensión de un Espacio Vectorial ... 24
2.2.5. Espacio Cociente ... 36
2.2.6. Transformaciones Lineales. ... 37
2.2.7. Núcleo e Imagen de una Transformación. ... 40
2.2.8. Matriz de una Transformación Lineal ... 46
2.2.9. Subespacio Invariantes ... 48
2.2.10. La Forma Canónica de Jordan ... 50
2.2.11. Definición de Álgebras De Lie... 51
2.2.12. Subálgebra e Ideales de un Álgebra de Lie. ... 55
2.2.13 Homomorfismo en Álgebras de Lie. ... 57
2.2.14. Estructuras Constantes de un Álgebra de Lie. ... 62
ix
2.2.16. Cocientes de Álgebras de Lie. ... 66
2.2.17. Álgebras de Lie Solubles... 69
2.2.18. Álgebras de Lie Nilpotentes. ... 75
2.3. Glosario de términos básicos. ... 78
2.4. Hipótesis. ... 78
2.4.1. Hipótesis General: ... 78
2.4.2. Hipótesis Específica: ... 78
III. MARCO METODOLÓGICO ... 79
3.1. Enfoque y diseño. ... 79
3.2. Métodos y procedimientos. ... 79
3.3. Técnicas e instrumentos. ... 79
RESULTADOS Y DISCUSIÓN ... 80
4.1. Resultados. ... 80
4.1.1. Subálgebras de 𝒈𝒍𝑽. ... 80
4.1.2. El Lema Invariante. ... 82
4.1.3. Teorema de Engel... 84
4.2. Discusión. ... 92
CONCLUSIONES ... 93
RECOMENDACIONES ... 94
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 95
10 Resumen
Es importante destacar que el propósito de este trabajo es el estudio del teorema de Engel, un teorema muy importante en las álgebras de Lie, según Quiñones, Gutiérrez, y Mora (2008), afirmaron: que el teorema de Engel conecta la nilpotencia de un algebra de Lie con la nilpotencia ordinaria de operadores en un espacio de operadores.
Por tanto en la investigación, se halla una base en la cual todas las transformaciones de un subálgebra de Lie están representadas por matrices triangulares superiores para lo cual, primero se determina la existencia de una base compuesta por transformaciones lineales y segundo, todas las transformaciones lineales del subálgebra de Lie se pueden representar por matrices estrictamente superior, esto de logra a partir de la recolección de información escrita de libros, tesis desarrolladas, con el fin de llegar a lo previsto.
11 Abstrac
It is important to emphasize that the purpose of this work is the study of Engel's theorem, a very important theorem in Lie algebras, according to Quiñones, Gutiérrez, and Mora (2008), they affirmed: that Engel's theorem connects the nilpotencia of a Lie algebra with the ordinary nilpower of operators in an operator space.
Therefore in the investigation, a base is found in which all the transformations of a subalgebra of Lie are represented by superior triangular matrices for which, first the existence of a base composed by linear transformations is determined and second, all the linear transformations of Lie subalgebra can be represented by strictly superior matrices, this is achieved from the collection of written information from books, developed theses, in order to arrive at what was planned.
12 INTRODUCCIÓN
El álgebra de Lie, fue introducido por el matemático estudiante en la universidad Cristiania de nacionalidad noruego llamado Sophus Lie, (en la actualidad universidad llamada Oslo), antes de viajar a Berlín en 1869 en donde se relacionó con Felix Klein, ya actualmente famoso, viajaron juntos a París para poder entrar en contacto con los recientes desarrollos en teoría de grupos efectuados por Camille Jordan. Inspirado por la obra de ambos, en 1874 introdujo varios conceptos básicos en el campo de las transformaciones geométricas que lo llamó grupos finitos y grupos continuos, y que después asoció lo que actualmente se conoce como álgebra de Lie.
En la diferentes ramas de las matemáticas, entre las cuales destacan, el análisis matemático, ecuaciones diferenciales, topología y el álgebra Lineal, pero ante todo, este último juega un papel muy importante, siendo la base del álgebra de Lie, y posteriormente es utilizado en este trabajo de investigación.
En el primer capítulo se exhibe la problemática de la investigación, comenzando con una pregunta de abstracción, justificando y dando la importancia de esta. Se dan los objetivos generales y específicos, que es de suma importancia, pues es un orientador hacia donde se dirige la investigación.
En el segundo capítulo se plantea algunas definiciones preliminares de espacio vectorial, subespacio vectorial, dimensión, transformaciones lineales y concepto de álgebras de Lie, puesto que proporcionan la base sólida de la investigación en desarrollo. Cabe resaltar que un álgebra de Lie es un espacio vectorial 𝐿 sobre un campo, dotado de una operación bilineal [ ; ] denominada corchetes de Lie, que satisface las propiedades de anti-simetría e identidad de Jaccobi. Las subálgebra, Ideales y homomorfismos de un álgebra de Lie, desempeñan un rol importante, pues este último preserva las operaciones entre dos espacios vectoriales sin escatimar el rol que tiene la dimensión de un espacio. De manera análoga se define las álgebras de Lie Solubles y las álgebras de Lie Nilpotentes, eje central de este trabajo de investigación, igualmente se plantea la hipótesis general y especifica.
13 matemática. Del mismo modo se describe los métodos, procedimientos, técnicas e instrumentos de la investigación, pues nos brinda un mecanismo para el estudio del presente trabajo.
14 I. ASPECTOS DE LA PROBLEMATICA
1.1. Descripción de la realidad problemática.
Gutiérrez, Mora y Poveda (2008) describen que “el teorema de Engel en las
álgebras de Lie cuyos elementos son ad-nilpotentes es uno de los resultados clásicos
en la teoría de álgebras de Lie”.
En el Álgebra Lineal, se sabe que para cada transformación lineal nilpotente
existe una base en la cual la transformación tiene una matriz (estrictamente)
triangular superior. Ahora bien ocurre algo similar en el contexto de las Álgebras
de Lie, pues el problema se vuelve complejo, es decir si dada una subálgebra ℒ de
Lie compuesta por transformaciones lineales, 𝑇: 𝒱 → 𝒱, surge una pregunta de
abstracción, planteada de la siguiente manera: ¿Existe una base en la cual todas las
transformaciones están representadas por matrices triangulares estrictamente
superior en el teorema de Engel?
1.2. Justificación e importancia de la investigación.
El álgebra Lineal es una rama de la matemática,que estudia la combinación de
elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Debido a esto, existen
diferentes estudios relacionados con el álgebra. Uno de ellos es el álgebra de Lie,
rama de las matemáticas se estudia 3 tipos de Álgebra de Lie; solubles, nilpotentes
y semisimples.
Todas las álgebras nilpotentes son solubles mientras que las semisimples carecen
de ideales solubles que no sean ceros, es decir no tiene nada de solubles, por lo
consiguiente surge el teorema de Engel; este teorema tiene una gran importancia en
el Álgebra de Lie, pues proporciona una condición para que un Álgebra de Lie
compuesta por operadores nilpotente compartan un autovector común asociado al
15 un operador o una transformación lineal, este obtenga una matriz, con la condición
que sea estrictamente superior.
El teorema de Engel proporciona una idea para probar un teorema llamado el
Teorema de Lie, pues este relaciona la existencia de una base con cada elemento
representado por una matriz triangular, estudiados para un algebra soluble. La
aportación del teorema de Engel al teorema de Lie ayuda a generalizar campos
algebraicos.
Gonzales (2002), es su tesis de maestría afirma: “La esencia del teorema de
Engel para álgebras de Lie nilpotentes es la existencia de un vector común para un
álgebra de Lie consistente de endomorfismos nilpotentes. El teorema de Lie es de
naturaleza similar, pero requiere de cerradura algebraica, para que 𝐹 contenga todos
los valores propios requeridos”.
1.3. Objetivos
1.3.1. Objetivo general
• Analizar el teorema de Engel en las algebras de Lie.
1.3.2. Objetivos específicos
• Determinar la existencia de la base de una subálgebra de Lie compuesta por transformaciones lineales.
• Determinar bajo qué condiciones todas las trasformaciones lineales del subálgebra de Lie se pueden representar por matrices triangulares estrictamente
16 II. MARCO TEÓRICO
2.1. Antecedentes de la investigación.
Es importante resaltar las aportaciones, dadas sobre los autores acerca del Teorema de Engel, y como explican su utilidad en las algebras de Lie.
Gutiérrez, Mora y Poveda (2008), concluyen lo siguiente: “El Teorema de Engel proporciona una condición suficiente para que todas las transformaciones lineales de un Álgebra de Lie compartan un mismo vector propio asociado al vector propio cero. El concepto de ad-nilpotencia juega un papel importante en la demostración”.
Erdmann y Wildon (2006) da un aporte, y anuncia la condición para que un álgebra de Lie sea nilpotente y lo que ocurre con las álgebra de Lie de dimensión 1: “Es muy tentador suponer que un subálgebra de Lie 𝐿 de 𝑔𝑙(𝕍) es nilpotente si y solo si hay una base de 𝕍 tal que los elementos de 𝐿 estén representados por matrices triangulares estrictamente superiores. Sin embargo, la palabra “solo si” es falsa. Por ejemplo, cualquier algebra de Lie de dimensión 1 (trivialmente) es nilpotente” (p.49).
Jacobson (1961), da una idea clara sobre el teorema de Engel y anuncia lo siguiente: “En teorema de Engel es un caso en las álgebras de Lie de las trasformaciones lineales, y la conclusión que se puede establecer es que existe una base bajo el espacio vectorial, de manera que todas las matrices son nulamente triangulares. Estos resultados se pueden aplicar a través de la representación adjunta a un algebra de Lie de dimensión finita” (p.36).
Samelson (2012), aporta lo siguiente: “La discusión más detallada de las algebras de Lie con un teorema que, aunque es bastante espacial, es técnicamente importante; se conoce como el teorema de Engel. Conecta la nilpotencia de un álgebra de Lie con la nilpotencia ordinaria de operadores en un espacio vectorial” (p. 19).
Humphreys (1980), afirma: “Si 𝐿 es nilpotente, entonces todos los elementos de
𝐿 son ad-nilpotentes, es agradable encontrar también que los contrario es cierto”
17 2.2. Bases teóricas.
Es importante resaltar los conceptos preliminares para el desarrollo de este trabajo de investigación, las definiciones, lemas, teoremas, corolario y ejemplos, expuesto a continuación, son resultados a fin de enfocarnos en el análisis del Teorema de Engel en las álgebras de Lie.
2.2.1. ESPACIOS VECTORIALES.
Primeramente, el concepto de espacio vectorial y propiedades es de suma importancia, ya que se plantea el uso de este ente abstracto en este trabajo de investigación; visto de esta manera la teoría de conjuntos y propiedades de relación (unión, intersección, inclusión, no inclusión, pertenencia y no pertenencia) toman parte también, en definitiva son materias estudiadas en la preparación del estudiante de pregrado.
En las matemáticas las operaciones como la suma y resta; son utilizadas con frecuencias. La idea de espacio vectorial con alguna dimensión finita es incluir tales operaciones bajo un campo, y esta noción de espacio vectorial, tema central en nuestro estudio de este capítulo.
Definición 2.2.1.1. Un conjunto 𝕍, no vacio, se llama espacio vectorial, sobre un cuerpo 𝕂, si está provisto de dos operaciones: suma (+) y producto (.), definidos de la siguiente manera: (Lázaro, 2005, p. 93)
+ ∶ 𝕍 × 𝕍 → 𝕍
(𝑢, 𝑣) → 𝑢 + 𝑣
Con respecto a la operación suma cumplen los siguientes:
A1) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢; ⩝ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝕍.
A2) (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤); ⩝ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝕍.
A3) ∃! 0 ∈ 𝕍; 𝑣 + 0 = 0 + 𝑣; ⩝ 𝑣 ∈ 𝕍.
A4) ⩝ 𝑣 ∈ 𝕍, ∃! − 𝑣; 𝑣 + (−𝑣) = 0
18 (𝛼, 𝑣) → 𝛼. 𝑣
Con respecto a la operación producto cumple los siguientes:
P1) 𝛼(𝛽𝑣) = (𝛼𝛽)𝑣, ⩝ 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂, 𝑣 ∈ 𝕍.
P2) 1. 𝑣 = 𝑣, ⩝ 𝑣 ∈ 𝕍, 1 ∈ 𝕂 .
También cumple con la propiedad distributiva:
D1) (𝛼 + 𝛽)𝑣 = 𝛼𝑣 + 𝛽𝑣, ⩝ 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂; ⩝ 𝑣 ∈ 𝕍.
D2) 𝛼(𝑢 + 𝑣) , ⩝ 𝛼 ∈ 𝕂; ⩝ 𝑢 , 𝑣 ∈ 𝕍.
Los elementos de 𝕍 se llaman vectores y los elementos de 𝕂 se llaman escalares. Como 𝕍 está definido sobre 𝕂, decimos que 𝕍 es un 𝕂- espacio vectorial. Lages (1998), propones 4 ejemplos que están propuestos a continuación:
Ejemplo 2.2.1.1. El siguiente conjunto es un espacio vectorial, con 𝕂 = ℝ, queda definido de la siguiente manera:
𝕍 = ℝ2 = {(𝑥
1, 𝑥2)/𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ}
Ejemplo 2.2.1.2. Para todo número natural 𝑛, el símbolo ℝ𝑛 representa al espacio vectorial euclidiano 𝑛 − 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. Los elementos de ℝ𝑛 son las secuencias 𝑢 = (𝛼1, … , 𝛼𝑛), 𝑣 = (𝛽1, … , 𝛽𝑛) de números reales.
Ejemplo 2.2.1.3. Dados dos enteros 𝑚, 𝑛 positivos. Sea 𝕍 el conjunto de matrices 𝑚 × 𝑛. Se denota a este espacio como 𝑀(𝑚 × 𝑛), como conjunto de todas las matrices, que tiene 𝑚-filas y 𝑛-columnas, este conjunto es un espacio vectorial. Las propiedades A2, P2 satisfacen por las reglas de la adición de matrices y multiplicación de matrices por números, para que cumplan las propiedades A3, A4, P2 la matriz nula, y la matriz identidad es respectivamente:
0
⃗ = [0 … 0⋮ ⋱ ⋮ 0 … 0 ]
𝑚×𝑛
1⃗ = [
1 … 0
⋮ ⋱ ⋮
0 … 1 ]
𝑚×𝑛
19 número escalar 𝑐 donde se evalúa 𝑐𝑓(𝑡) el número 𝑡. Luego se decir que es un espacio vectorial.
Definición 2.2.1.2. El vector cero es, el aquel vector cuyas coordenadas son todas iguales a cero: 0 = (0, 0, … ,0). El inverso aditivo de 𝑢 = (𝛼1, … , 𝛼𝑛), es −𝑢 = (−𝛼1, … , −𝛼𝑛) (Lages, 1998, p. 2).
Observaciones:
1. Sea ℝ𝑛, si 𝑛 = 1, se tiene ℝ1 = ℝ, esto es la recta numérica. 2. Sea ℝ𝑛, si 𝑛 = 2, se tiene ℝ2, esto es el plano cartesiano.
3. Sea ℝ𝑛, si 𝑛 = 3, se tiene ℝ3, esto es el espacio euclidiano tridimensional.
2.2.2. SUBESPACIOS.
En esta sección se define subespacio vectorial, esta idea surge al encontrar un espacio vectorial que está incluido en un espacio vectorial más grande, así se puede decir que un subespacio vectorial de 𝕍 es un subconjunto 𝔽 ⊂ 𝕍 que cumplen las mismas operaciones de 𝕍. Se propone algunos ejemplos y resultados en esta sección.
Definición 2.2.2.1. Sea 𝕍 un espacio vectorial. Un subespacio vectorial de 𝕍 es un subconjunto 𝔽 ⊂ 𝕍, con las siguientes propiedades (Lages, 1998, p.10):
1. 0 ∈ 𝔽.
2. Si 𝑢, 𝑣 ∈ 𝔽, entonces 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝔽.
3. Si 𝑣 ∈ 𝔽, entonces ⩝ 𝛼 ∈ 𝕂, 𝛼 𝑣 ∈ 𝔽.
Proposición 2.2.2.1. Un subconjunto 𝕎 ≠ 𝜙 de 𝕍 es un subespacio si, y solo si (𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) ∈ 𝕎, ⩝ 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂 y 𝑢, 𝑣 ∈ 𝕎 (Lázaro, 2005, p. 97).
Demostración:
Sea 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂 y 𝑢, 𝑣 ∈ 𝕎 , se tiene que 𝛼𝑢 ∈ 𝕎 y 𝛽𝑣 ∈ 𝕎, por propiedad 3, luego por propiedad 2 se tiene que (𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) ∈ 𝕎. Tomando 𝛼 = 𝛽 = 0 se tiene que
(0𝑢 + 0𝑣) = 0 ∈ 𝕎, luego 𝛼 = 𝛽 = 1 se tiene que (1𝑢 + 1𝑣) = (𝑢 + 𝑣) ∈ 𝕎, luego se toma 𝛽 = 0 así se tiene (𝛼𝑢 + 0𝑣) = 𝛼𝑢 + 0 = 𝛼𝑢 ∈ 𝕎 .
20 Más generalmente, dados 𝑣1, … , 𝑣𝑚 ∈ 𝔽 y 𝛼1, … , 𝛼𝑚 ∈ 𝕂 se tiene que:
𝛼1𝑣1+, … , +𝛼𝑚𝑣𝑚 ∈ 𝔽.
La proposición anterior, es un resultado que proporciona una condición necesaria y suficiente, para que un subconjunto de un espacio vectorial sea subespacio. A continuación Lages (1998), plantea 5 ejemplos de subespacio vectorial:
Ejemplo 2.2.2.1. El conjunto {0} y todo el espacio 𝕍, son ejemplos triviales de subespacios de 𝕍. Todo subespacio vectorial es, en sí mismo, un espacio vectorial.
Ejemplo 2.2.2.2. Sea 𝑣 ∈ 𝕍 un vector no nulo. El conjunto 𝔽 = {𝛼𝑣/ 𝛼 ∈ ℝ} de todos los múltiplos de 𝑣 es un subespacio vectorial de 𝕍, llamado la recta que pasa por el origen y contiene a 𝑣.
Ejemplo 2.2.2.3. Sea 𝕍 = ℱ(ℝ, ℝ) el espacio vectorial vectorial de las funciones reales de una variable real 𝑓: ℝ ⟶ ℝ. Para cualquier 𝑘 ∈ ℕ, el conjunto ∁𝑘(ℝ) de las funciones 𝑘 veces continuamente derivables es un subespacio vectorial de 𝕍.
Según Lages (1998), afirma: “quetambién son los subespacios de 𝕍 el conjunto ∁0(ℝ) de las funciones continuas, el conjunto ∁∞(ℝ) de las funciones infinitamente derivables, el conjunto 𝒫(ℝ) el conjunto de todos los polinomios 𝑝(𝑥) = 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 y el conjunto 𝒫𝑛 de todos los polinomios de grado ≤ 𝑛”. Cuales quiera 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ, se tiene:
∁𝟎(ℝ) ⊃ ∁𝒌(ℝ) ⊃ ∁𝒌+𝟏(ℝ) ⊃ ∁∞(ℝ) ⊃ 𝓟(ℝ) ⊃ 𝓟 𝒏
Se observa que el conjunto de los polinomios de grado 𝑛 no es un subespacio vectorial de 𝕍 pues la suma de dos polinomios de grado 𝑛 puede tener grado < 𝑛 (Lages, 1998, p. 11).
21 Ejemplo 2.2.2.5. Sea 𝔼 un espacio vectorial y 𝐿 un conjunto de índices. Si, para cada 𝜆 ∈ 𝐿, 𝔽𝜆 es un subespacio vectorial de 𝔼, entonces la intersección ⋂𝜆∈𝐿𝔽𝜆 es un subespacio vectorial.
Se toma un tiempo para demostrar este ejemplo. En efecto, para probar que ⋂𝜆∈𝐿𝔽𝜆 sea un subespacio vectorial, debe verificar las 3 propiedades de subespacio: i) Como 0 ∈ 𝔽𝜆⩝ 𝜆 ∈ 𝐿, luego 0 ∈ ⋂𝜆∈𝐿𝔽𝜆.
ii) Sea 𝑢, 𝑣 ∈ ⋂𝜆∈𝐿𝔽𝜆 se tiene que 𝑢 ∈ 𝔽𝜆 y 𝑣 ∈ 𝔽𝜆⩝ 𝜆 ∈ 𝐿, entonces 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝔽𝜆⩝ 𝜆 ∈ 𝐿, así pues 𝑢 + 𝑣 ∈ ⋂𝜆∈𝐿𝔽𝜆.
iii) Sea 𝑣 ∈ ⋂𝜆∈𝐿𝔽𝜆 , entonces 𝑣 ∈ 𝔽𝜆⩝ 𝜆 ∈ 𝐿, sea 𝛼 ∈ 𝕂, luego 𝛼𝑣 ∈ 𝔽𝜆⩝ 𝜆 ∈ 𝐿, así pues tenemos 𝛼𝑣 ∈ ⋂𝜆∈𝐿𝔽𝜆.
Definición 2.2.2.2. Sea 𝑣1, … , 𝑣𝑚 un conjunto de vectores pertenecientes al espacio vectorial 𝔼. Se dice que el vector 𝑣 ∈ 𝔼, es combinación lineal de los vectores 𝑣1, … , 𝑣𝑚, si existen escalares 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼𝑚 únicos, tales que (Lages, 1998, p.12):
𝑣 = 𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚
Definición 2.2.2.3. Sea 𝑋 un subconjunto del espacio vectorial 𝔼. El subespacio vectorial de 𝔼 generado por 𝑋 es, por definición, el conjunto de todas las combinaciones lineales
𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2 + ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚 , de vectores 𝑣1, … , 𝑣𝑚 ∈ 𝑋, esto es (Lages, 1998, p.12):
𝑆(𝑋) = {∑ 𝛼𝑖𝑣𝑖 𝑚
𝑖=1
/𝛼𝑖∈ 𝕂, 𝑣𝑖∈ 𝑋 }
Se ve fácilmente que el conjunto de todas las combinaciones lineales que es posible formar con los vectores del conjunto 𝑋 es un subespacio vectorial, denotado con el símbolo 𝑆(𝑋).
Observaciones:
1. El subespacio 𝑆(𝑋), generado por el conjunto 𝑋 ⊂ 𝔼, contiene al conjunto 𝑋, y además es el menor subespacio de 𝔼 que contiene a 𝑋. En otras palabras, si 𝔽 es un subespacio vectorial de 𝔼 y 𝑋 ⊂ 𝔽 entonces 𝑆(𝑋) ⊂ 𝔽.
2. Si 𝑋 es ya un espacio vectorial, entonces 𝑆(𝑋) = 𝑋.
22 Definición 2.2.2.4. Sea 𝑋 ⊂ 𝔼 un espacio vectorial. Cuando el subespacio 𝑆(𝑋) coincide con 𝔼, se dice que 𝑋 es el conjunto de generadores de 𝔼 (Lages, 1998, p.12).
Definición 2.2.2.5. Si 𝑋 es un conjunto de generadores del espacio vectorial 𝔼, si todo vector 𝑤 ∈ 𝔼 puede expresarse como combinación lineal.
𝑤 = 𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚
De vectores 𝑣1, … , 𝑣𝑚 pertenecientes a 𝑋 (Lages, 1998, p.12).
A continuación Lages (1998), plantea 3 ejemplos de cómo se define la combinación lineal y los conjuntos generadores.
Ejemplo 2.2.2.6. Sea 𝔼 = 𝕂[𝑥] es un espacio vectorial de las funciones polinómicas de 𝕂 en 𝕂 y se 𝑋 = {𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥𝑛; 𝑛 ∈ ℕ}. Entonces, 𝔼 es un subespacio generado por 𝑋.
Ejemplo 2.2.2.7. Los llamados vectores canónicos 𝑒1 = (1,0,0, … ,0)
𝑒2 = (0,1, … ,0)
⋮
𝑒𝑛 = (0,0,0, … ,1)
Constituyen un conjunto de generadores del espacio ℝ𝑛. En efecto, dado 𝑣 = (𝛼1, … , 𝛼𝑛) ∈ ℝ𝑛, se tiene 𝑣 = 𝛼
1𝑒1+ ⋯ + 𝛼𝑛𝑒𝑛.
Ejemplo 2.2.2.8. Los monomios 1, 𝑥, … , 𝑥𝑛, …(en números infinitos) forman un conjunto de generadores del espacio 𝒫 de los polinomios reales. Asimismo, los 𝑛 + 1 primeros de ellos, a saber, 1, 𝑥, … , 𝑥𝑛 constituyen un conjunto de generadores de 𝒫𝑛, espacio vectorial de los polinomios de grado ≤ 𝑛.
Teorema 2.2.2.1. Sea 𝑋 un subconjunto de un espacio vectorial 𝔼, entonces 𝑆(𝑋) es un subespacio vectorial de 𝔼 (Lázaro, 2005, p. 107).
Demostración:
i)0 ∈ 𝑆(𝑋), puesto que 0 = 0𝑣1+ 0𝑣2+ ⋯ + 0𝑣𝑚.
23 En efecto:
Si 𝑢 ∈ 𝑆(𝑋), entonces existe 𝛼𝑖 ∈ 𝕂 tal que:
𝑢 = 𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚
Luego
Si 𝑤 ∈ 𝑆(𝑋), entonces existe 𝛽𝑖 ∈ 𝕂 tal que:
𝑤 = 𝛽1𝑣1+ 𝛽2𝑣2+ ⋯ + 𝛽𝑚𝑣𝑚
Luego se tiene:
𝑢 + 𝑤 = (𝛼1+ 𝛽1)𝑣1+ (𝛼2+ 𝛽2)𝑣2+ ⋯ + (𝛼𝑚+ 𝛽𝑚)𝑣𝑚
Esta igualdad implica que 𝑢 + 𝑤 ∈ 𝑆(𝑋).
iii) Sea 𝑘 un escalar y 𝑢 ∈ 𝑆(𝑋). Se debe probar que 𝑘𝑢 ∈ 𝑆(𝑋). En Efecto:
Si 𝑢 ∈ 𝑆(𝑋), entonces existe 𝛼𝑖 ∈ 𝕂 tal que 𝑢 = 𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚, luego 𝑘𝑢 = (𝑘𝛼1)𝑣1+ (𝑘𝛼2)𝑣2+ ⋯ + (𝑘𝛼𝑚)𝑣𝑚, esta igualdad implica que 𝑘𝑢 ∈ 𝑆(𝑋).
□
Teorema 2.2.2.2. Sea 𝑣1, … , 𝑣𝑚, 𝑣𝑚+1, 𝑚 + 1 vectores pertenecientes a un espacio vectorial 𝕍. Si 𝑣1, … , 𝑣𝑚, generan a 𝕍, entonces 𝑣1, … , 𝑣𝑚, 𝑣𝑚+1 también genera a 𝕍 (Lázaro, 2005, p. 108).
Demostración:
Se debe demostrar que 𝑢 ∈ 𝕍 ⟹ ∃ 𝛼𝑖 ∈ 𝕂 tal que:
𝑢 = 𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2+, … , +𝛼𝑚𝑣𝑚+ 𝛼𝑚+1𝑣𝑚+1
Sea 𝑤 ∈ 𝕍 ⟹ ∃ 𝛼𝑖 ∈ 𝕂 tal que 𝑤 = 𝛼1𝑣1+ 𝛼2𝑣2+, … , +𝛼𝑚𝑣𝑚, como 𝑣𝑚+1 ∈ 𝕍, entonces ∃ 𝛽𝑖 ∈ 𝕂 tal que se expresa:
𝑣𝑚+1= 𝛽1𝑣1+ 𝛽2𝑣2+, … , +𝛽𝑚𝑣𝑚
0 = 𝛽1𝑣1+ 𝛽2𝑣2+, … , +𝛽𝑚𝑣𝑚− 𝑣𝑚+1
Luego:
𝑤 = 𝑤 + 0 = (𝛼1+ 𝛽1)𝑣1+ (𝛼2+ 𝛽2)𝑣2+, … , +(𝛼𝑚+ 𝛽𝑚)𝑣𝑚− 𝑣𝑚+1.
24 2.2.3. SUMA DIRECTA DE DOS ESPACIOS VECTORIALES
En esta sección se define la suma directa de dos espacios vectoriales, y se plantea una pregunta de abstracción en la cual se expone: ¿Se puede sumas espacios vectoriales? Su importancia es definitiva en este trabajo, pues ayuda a generar nuevos subespacios vectoriales de un espacio vectorial, se propone algunos resultados más adelante.
Definición 2.2.3.1. Sea 𝐹1 y 𝐹2 subespacio vectoriales de 𝔼. El subespacio vectorial de 𝔼 generado por la reunión 𝐹1⋃𝐹2 es, como se ve fácilmente, el conjunto de todas las sumas 𝑣1+ 𝑣2, donde 𝑣1 ∈ 𝐹1 y 𝑣2 ∈ 𝐹2. Se le denota (Lázaro, 2005, p.118):
𝐹1+ 𝐹2 = {𝑣1+ 𝑣2; 𝑣1∈ 𝐹1 , 𝑣2 ∈ 𝐹2}
Observación: Mas general, dados los subconjunto 𝑋, 𝑌 ⊂ 𝔼, se denota con 𝑋 + 𝑌 al conjunto cuyo elementos son la suma 𝑢 + 𝑣, tales que 𝑢 ∈ 𝑋 y 𝑣 ∈ 𝑌. Cuando 𝑋 = {𝑢} se reduce a un único elemento 𝑢, se escribe 𝑢 + 𝑌 en vez de {𝑢} + 𝑌. Se dice que 𝑢 + 𝑌 resulta de Y por la translación de 𝑢.
Definición 2.2.3.2. Sea 𝐹1, 𝐹2 ⊂ 𝔼, cuando los subespacio tienen en común sólo el elemento 0, se escribe 𝐹1⨁𝐹2 en vez de 𝐹1+ 𝐹2 y se dice que 𝐹 = 𝐹1⨁𝐹2 es la suma directa de 𝐹1, 𝐹2 (Lages, 1998, p.15).
2.2.4. BASE Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
Sea 𝕍 un espacio vectorial, y se le asocia un subconjunto finito que genera a dicho espacio vectorial, y a cada vector de ese subconjunto no se pueda expresar en combinación lineal de los otros, entonces se origina la idea de dimensión, donde se debe recordar que el objeto de estudio es el espacio vectorial, pues tiene una estructura algebraica simple. Lages (1998), dice: “Una vez fijada una base en un espacio vectorial de dimensión 𝑛, los vectores de la base, con coeficientes unívocamente determinados”.
25 Observación:
1. Para abreviar la simbología, se usa L.I. en vez de linealmente independiente. 2. Si 𝑋 tiene un único elemento 𝑣 ≠ 0, se dice que 𝑋 es L.I. por definición.
3. Cuando 𝑋 es L.I. se dice también que los elementos de 𝑋, son vectores linealmente independientes.
4. Cuando el conjunto 𝑋 es L.I., sus elementos son todos ≠ 0, pues el vector nulo es combinación lineal de otros cualesquiera: 0 = 0𝑣1+ ⋯ + 0𝑣𝑚. (Si no hay “otros”, 𝑋 = {𝑣}, 𝑣 ≠ 0).
Un criterio muy útil para verificar la independencia lineal de un conjunto, es dado por el teorema siguiente:
Teorema 2.2.4.1. Sea X un conjunto L.I. en el espacio vectorial 𝔼. Si 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚 = 0 con 𝑣1, … , 𝑣𝑚 ∈ 𝑋 sí y solo si 𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑚 = 0 (Lages,
1998, p.27).
Demostración:
⇒]
Por reducción al absurdo se tiene 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚 = 0 con 𝑣1, … , 𝑣𝑚 ∈ 𝑋 tales que no todos los 𝛼𝑖 son nulos. Por simplicidad, sea 𝛼1 ≠ 0. Entonces tenemos:
𝑣1 = −(𝛼2/𝛼1)𝑣2− ⋯ − (𝛼𝑚/𝛼1)𝑣𝑚
Los que expresa que 𝑣1 como combinación lineal de los elementos de 𝑋, lo cual es una contradicción.
⇐]
El reciproco, se demuestra de la misma manera por el absurdo, Si 𝑋 no fuese L.I., algunos de sus vectores sería combinación lineal de los demás:
𝑣 = 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚 . Luego se tiene 1. 𝑣 − 𝛼1𝑣1− ⋯ − 𝛼𝑚𝑣𝑚= 0
Que es una combinación lineal nula de vectores en 𝑋, en la cual por lo menos el primer coeficiente es diferente de cero.
26 Corolario 2.2.4.1. Si 𝑣 = 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚 = 𝛽1𝑣1 + ⋯ + 𝛽𝑚𝑣𝑚 y los vectores 𝑣1, … , 𝑣𝑚∈ 𝑋 son L.I., entonces 𝛼1 = 𝛽1 = ⋯ = 𝛼𝑚 = 𝛽𝑚 (Lages, 1998, p.28).
Demostración:
En efecto se tiene en este caso:
𝑣 = 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚
𝑣 = 𝛽1𝑣1+ ⋯ + 𝛽𝑚𝑣𝑚
Restando se tiene:
0 = (𝛼1− 𝛽1)𝑣1+ ⋯ + (𝛼𝑚− 𝛽𝑚)𝑣𝑚
Por el Teorema 2.2.4.1 se tiene que:
𝛼1 = 𝛽1, … , 𝛼𝑚= 𝛽𝑚
□
Lages (1998), proporciona un ejemplo de un subconjunto L.I., a continuación que aclara la idea de independencia lineal:
Ejemplo 2.2.4.1. Los vectores canónicos 𝑒1 = (1,0, … ,0),…, 𝑒𝑛 = (0,0, … ,1) en ℝ𝑛 son L.I. En efecto, 𝛼1𝑒1+ ⋯ + 𝛼𝑛𝑒𝑛 = 0 significa (𝛼1, … , 𝛼𝑛) = 0, luego 𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0. Análogamente, los monomios 1, 𝑥, … , 𝑥𝑛 en 𝓟
𝒏 son L.I. pues 𝑎0+ 𝑎1𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑝(𝑥) es el vector nulo en 𝒫
𝑛 solo si 𝑝(𝑥) es la función idénticamente nula, esto es, 𝑝(𝑥) = 0 para todo 𝑥 ∈ ℝ. Esto implica 𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0; pues un polinomio no nulo de grado 𝑘 tiene como máximo 𝑘 raíces reales. Esta observación nos permite inferir que 𝑋 = {1, 𝑥, … , 𝑥𝑛, … } ⊂ 𝓟 es un conjunto infinito L.I.
Teorema 2.2.4.2. Sean 𝑣1, … , 𝑣𝑚 vectores no nulos del espacio vectorial 𝔼. Si ninguno de ellos es combinación lineal de los anteriores, entonces el conjunto 𝑋 = {𝑣1, … , 𝑣𝑚} es L.I (Lages, 1998, p.28).
27 Por reducción al absurdo, se toma una combinación lineal de los vectores dados, con coeficientes no todos nulos, sea igual a cero. Se toma 𝑣𝑟 ∈ 𝑋, 𝑟 ≤ 𝑚 y sea la combinación lineal:
0 = 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑟𝑣𝑟, con 𝛼𝑟 ≠ 0. De esto se obtendría lo siguiente:
𝑣𝑟 = − 𝛼1 𝛼𝑟
𝑣1− ⋯ −
𝛼𝑟−1 𝛼𝑟
𝑣𝑟−1
Luego 𝑣𝑟 sería combinación lineal de los elementos anteriores a él en la lista 𝑣1, … , 𝑣𝑚.
□
Observación:
Evidentemente, se cumple un resultado análogo con “posteriores” en vez de “anteriores”.
Definición 2.2.4.2. Un conjunto 𝑋 ⊂ 𝔼 se dice linealmente dependiente, si no es L.I (Lages, 1998, p.29).
Observación:
1. Se utiliza L.D., es vez de Linealmente dependiente para evitar las complicaciones.
2. Esto significa que alguno de los vectores 𝑣 ∈ 𝑋 es combinación lineal de los otros elementos de 𝑋.
3. Si 𝑋 = {0}, por definición es L.D.
4. Para que 𝑋 sea L.D., es necesario y suficiente que exista una combinación lineal nula 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚 = 0 de vectores 𝑣1, … , 𝑣𝑚 ∈ 𝑋, con algún coeficiente 𝛼𝑖 ≠ 0.
5. Si 𝑋 ⊂ 𝑌 y 𝑋 es L.D. entonces 𝑌 también es L.D. Si 0 ∈ 𝑋, entonces el conjunto 𝑋 es L.D.
28 Ejemplo 2.2.4.2. Los vectores 𝑢 = (1,2,3), 𝑣 = (4,5,6), 𝑤 = (7,8,9) en ℝ3, son L.D. pues 𝑤 = 2𝑣 − 𝑢.
Ejemplo 2.2.4.3. Cuando los vectores 𝑣1, … , 𝑣𝑚 son L.D., ello no significa que cualquiera de ellos sea combinación lineal de los demás. Por ejemplo si 𝑢 = (1,2), 𝑣 = (3,4) y 𝑤 = (4,8), entonces, {𝑢, 𝑣, 𝑤} ⊂ ℝ2es un conjunto L.D. pues 𝑤 = 4𝑢 + 0𝑣, pero 𝑣 no es combinación lineal de 𝑢 y 𝑤.
Definición 2.2.4.3. Una base de un espacio vectorial 𝓑 ⊂ 𝔼 linealmente independiente que genera 𝔼 (Lages, 1998, p.29).
Esto significa que todo vector 𝑣 ∈ 𝔼 se expresa, de modo único, como combinación lineal 𝑣 = 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚 de elementos 𝑣1, … , 𝑣𝑚 de la base 𝓑. Si 𝓑 = {𝑣1, … , 𝑣𝑚} es una base de 𝔼 y 𝑣 = 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑣𝑚 entonces se dice que los números 𝛼1, … , 𝛼𝑚 son las coordenadas del vector 𝑣 en la base 𝓑 (Lages, 1998, p. 29).
Ejemplo 2.2.4.4. Los vectores 𝑒1 = (1,0, … ,0),…, 𝑒𝑛 = (0,0, … ,1) constituye una base {𝑒1, … , 𝑒𝑛} de ℝ𝑛, llamada base canónica. Análogamente, los polinomios 1, 𝑥, … , 𝑥𝑛, forman una base para el espacio vectorial 𝓟
𝒏 de los polinomios de grado ≤ 𝑛 (Lages, 1998, p. 33).
Ejemplo 2.2.4.5. El conjunto {1, 𝑥, … , 𝑥𝑛, … } de los monomios de grado arbitrarios constituye una base (infinita) para el espacio vectorial 𝓟 de todos los polinomios reales. Conviene observar, mientras tanto, que el conjunto 𝑋 = {𝑒̅ , … , 𝑒1 ̅̅̅, … } ⊂ ℝ𝑛 ∞ , donde 𝑒̅̅̅ = (0, … ,0,1,0, … )𝑛 es la sucesión cuyo enésimo término es 1 y los demás son iguales a cero, es un conjunto infinito L.I., pero no es una base de ℝ∞, porque no lo genera (Lages, 1998, p. 35).
Se da un aporte a continuación: Si un espacio vectorial 𝔼 admite una base con 𝑛 elementos entonces todas las bases de 𝔼 tienen el mismo número 𝑛 de elementos. Al número 𝑛 se le llama dimensión de 𝔼.
29 Lema 2.2.4.1. Todo sistema lineal homogéneo cuyo número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones admite una solución no trivial (Lages, 1998, p.31).
Demostración:
Se considera el siguiente sistema
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0 𝑎21𝑥1+ 𝑎22𝑥2+ ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0
⋮
𝑎𝑚1𝑥1+ 𝑎𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0
(∗)
De 𝑚 ecuaciones con 𝑛 incógnitas, donde 𝑚 < 𝑛. Se usa la inducción sobre el número 𝑚 de ecuaciones. Es decir, para 𝑚 = 1, se tiene una única ecuación.
𝑎11𝑥1+ 𝑎12𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0
Con 𝑛 > 1 incógnitas. Uno de los coeficientes 𝑎1𝑖 ≠ 0. Cambiando, si fuere necesario, los nombres de las incógnitas, supóngase que 𝑎1𝑛≠ 0. La ecuación equivale a:
𝑥𝑛 = − (𝑎11 𝑎1𝑛𝑥1+
𝑎12
𝑎1𝑛𝑥2+ ⋯ + 𝑎1𝑛−1 𝑎1𝑛−1𝑥𝑛−1)
Dando valores arbitrarios no nulos a las 𝑛 − 1 incógnitas 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1 y calculando 𝑥𝑛 por medio de esta última expresión, se obtiene una solución no trivial (𝑥1, … , 𝑥𝑛) para la ecuación dada. Para completar la inducción, se lleva a la suposición de que el lema es verdadero para un sistema de 𝑚 − 1 ecuaciones. Al cambiar, si fuera necesario, el orden de las ecuaciones y los nombres de las incógnitas, se admite que en el sistema (∗) dado, se tiene 𝑎𝑚𝑛 ≠ 0. Entonces, de la m-ésima ecuación resulta
𝑥𝑛 = − ( 𝑎𝑚1 𝑎𝑚𝑛
𝑥1+ ⋯ +
𝑎𝑚𝑛−1 𝑎𝑚𝑛
𝑥𝑛−1)
30
𝛼𝑛 = − (
𝑎𝑚1 𝑎𝑚𝑛
𝛼1+ ⋯ +
𝑎𝑚𝑛−1 𝑎𝑚𝑛
𝛼𝑛−1)
Se obtiene una solución no trivial (𝛼1, … , 𝛼𝑛−1, 𝛼𝑛) del sistema propuesto (∗).
□
Teorema 2.2.4.3. Si los vectores 𝑣1, … , 𝑣𝑚 generan el espacio vectorial 𝔼, entonces cualquier conjunto con más de 𝑚 vectores en 𝔼 es L.D (Lages, 1998, p.32).
Demostración
Dados los vectores 𝑤1, … , 𝑤𝑛 en 𝔼, con 𝑛 > 𝑚, para cada 𝑗 = 1, . . , 𝑛 se tiene
𝑤𝑗 = 𝛼1𝑗𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑗𝑣𝑚
Como 𝑣1, … , 𝑣𝑚 generan 𝔼. Para probar que los vectores 𝑤𝑗 son L.D., se debe encontrar coeficientes 𝑥1, … , 𝑥𝑛, no todos iguales a cero, tales que
𝑥1𝑤1+ ⋯ + 𝑥𝑛𝑤𝑛 = 0
Sustituyendo los 𝑤𝑗 por sus expresiones en términos de los 𝑣𝑖, esta igualdad significa que:
(∑ 𝑥𝑗𝛼1𝑗 𝑛
𝑗=1
) 𝑣1+ (∑ 𝑥𝑗𝛼2𝑗 𝑛
𝑗=1
) 𝑣2+ ⋯ + (∑ 𝑥𝑗𝛼𝑚𝑗 𝑛
𝑗=1
) 𝑣𝑚 = 0
Ciertamente, esta última condición satisface cuando todas las sumas dentro de los paréntesis sean nulas, o sea, cuando (𝑥1, … , 𝑥𝑛) sea una solución no trivial del sistema homogéneo
𝛼11𝑥1+ 𝛼12𝑥2+ ⋯ + 𝛼1𝑛𝑥𝑛 = 0 𝛼21𝑥1+ 𝛼22𝑥2+ ⋯ + 𝛼2𝑛𝑥𝑛 = 0
⋮
𝛼𝑚1𝑥1+ 𝛼𝑚2𝑥2+ ⋯ + 𝛼𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0
Tal solución existe, por el Lema 2.2.4.1., pues 𝑛 > 𝑚. Luego los vectores 𝑤1, … , 𝑤𝑛 son L.D.
31 Corolario 2.2.4.2. Si los vectores 𝑣1, … , 𝑣𝑚 generan el espacio vectorial 𝔼 y los vectores 𝑢1, … , 𝑢𝑛 son L.I. entonces 𝑛 ≤ 𝑚 (Lages, 1998, p. 33).
Demostración
Por reducción al absurdo se demuestra este corolario, supóngase que 𝑛 > 𝑚, por el Teorema 2.2.4.3., se tiene que el conjunto de vectores 𝑢1, … , 𝑢𝑛 es L.D. por lo cual se obtiene una contradicción.
□
Corolario 2.2.4.3. Si el espacio vectorial 𝔼 admite una base 𝓑 = {𝑢1, … , 𝑢𝑛} con 𝑛 elementos, cualquier otra base de 𝔼 posee también 𝑛 elementos (Lages, 1998, p.33).
Demostración
Para demostrar, este corolario se tiene que llegar a la conclusión que 𝑛 = 𝑚, es decir, basta probar que 𝑛 ≤ 𝑚 y 𝑛 ≥ 𝑚. En efecto sea 𝓑′ = {𝑣1, … , 𝑣𝑚} otra base de 𝔼. Como 𝓑′ genera a 𝔼 y 𝓑 es L.I., se tiene por el Corolario 2.2.4.2., que 𝑛 ≤ 𝑚. Por otra parte, como 𝓑 genera a 𝔼 y 𝓑′ es L.I., por el mismo Corolario 4.1.3.2., se concluye que 𝑚 ≤ 𝑛.
□
Se recuerda que un espacio vectorial 𝔼 tiene dimensión finita si admite una base 𝓑 = {𝑣1, … , 𝑣𝑛} con un número finito 𝑛 de elementos.
Observaciones:
1. Este número, que es el mismo en todas las bases de 𝔼, se llama la dimensión del espacio vectorial.
2. Si 𝔼 = {0}, la dimensión del espacio vectorial 𝔼 es cero.
El siguiente corolario afirma que si la dimensión de un espacio vectorial concuerda con un conjunto que generan dicho espacio, entonces dichos vectores deben ser L.I., y viceversa.
32
Demostración
⇒]
Sea 𝑋 = {𝑣1, … , 𝑣𝑛} genera ha 𝔼 y que 𝑋 no es L.I., es decir que sea L.D., entonces existe 𝛼𝑖∈ 𝕂, no todo de ellos nulos tal que:
𝑣𝑛 = 𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑛−1𝑣𝑛−1, (por simplicidad), se tiene que 𝑛 − 1 vectores general a 𝔼, pero por hipótesis 𝑛 vectores generan a 𝔼, y por el Teorema 2.2.4.3 sería una contradicción.
⇐]
Sea 𝑋 = {𝑣1, … , 𝑣𝑛} L.I. y sea 𝑣 ∈ 𝔼 tal que 𝑣 ∉ 𝑋, luego por el Teorema 2.2.4.3., el conjunto {𝑣1, … , 𝑣𝑛, 𝑣} es L.D., entonces existen 𝛼𝑖∈ 𝕂 no todos nulos tal que:
0 = 𝛼1𝑣1+, … , +𝛼𝑛𝑣𝑛+ 𝛼𝑛+1𝑣
Luego:
𝑣 = − 𝛼1
𝛼𝑛+1𝑣1−, … , − 𝛼𝑛 𝛼𝑛+1𝑣𝑛
De los cual se tiene que 𝑋 genera a 𝔼.
□
Teorema 2.2.4.4. Sea 𝔼 un espacio vectorial de dimensión finita 𝑛. Entonces (Lages, 1998, p.34):
a) Todo conjunto 𝑋 = {𝑢1, … , 𝑢𝑛} de generadores de 𝔼 contiene una base. b) Todo conjunto L.I. {𝑤1, … , 𝑤𝑚} ⊂ 𝔼 está contenida en una base. c) Todo subespacio vectorial 𝔽 ⊂ 𝔼 tiene dimensión finita, que es ≤ 𝑛. d) Si la dimensión del subespacio 𝔽 ⊂ 𝔼 es 𝑛 entonces 𝔽 = 𝔼.
Demostración
33 II){𝑢𝑗, 𝑢𝑖1, … , 𝑢𝑖𝑙} sea L.D, ∀ 𝑗 ∈ {1, … , 𝑛}.
Sea 𝑖1 ∈ {1, … , 𝑛} tal que 𝑢𝑖1 ≠ 0. Entonces {𝑢𝑖1} es L.I. Si satisface II. El proceso termina. Si no satisface II. Entonces existe 𝑖2 ∈ {1, … , 𝑛} tal que {𝑢𝑖1, 𝑢2} es L.I. Como este proceso es finito, como máximo se tiene 𝑛 etapas, obteniendo {𝑢𝑖1, … , 𝑢𝑖𝑙} ⊂ {𝑢1, … , 𝑢𝑛} que satisfaga I y II.
Se prueba ahora que {𝑢𝑖1, … , 𝑢𝑖𝑙} es una base de 𝔼.
Como {𝑢𝑗, 𝑢𝑖1, … , 𝑢𝑖𝑙} es L.D, existen escalares 𝜆1(𝑗), … , 𝜆𝑛(𝑗) tales que: 𝑢𝑗 = 𝜆1(𝑗)𝑢𝑖1+ ⋯ + 𝜆(𝑗)𝑛 𝑢𝑖𝑙, para todo 𝑗 = 1, … , 𝑛
Sea 𝑣 ∈ 𝔼 como {𝑢1, … , 𝑢𝑛} genera al espacio 𝔼, existen escalares 𝜆1, … , 𝜆𝑛, tales que:
𝑣 = 𝜆1𝑢1+ ⋯ + 𝜆𝑛𝑢𝑛. Luego,
𝑣 = ∑ 𝜆𝑗𝑢𝑗 𝑛
𝑗=1
= ∑ 𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
∑ 𝜆(𝑗)𝑘 𝑢𝑖𝑘 𝑙
𝑘=1
= ∑ (∑ 𝜆𝑗𝜆𝑘
(𝑗) 𝑛
𝑗=1
) 𝑢𝑖𝑘 𝑙
𝑘=1
Esto afirma que 𝑣 es una combinación lineal de los vectores {𝑢𝑖1, … , 𝑢𝑖𝑙}, luego {𝑢𝑖1, … , 𝑢𝑖𝑙} es una base de 𝔼.
b) Se debe probar que existe un conjunto de vectores {𝑤1, … , 𝑤𝑚, 𝑤𝑚+1, … , 𝑤𝑚+𝑘} tal que:
I) Es L.I.
II){𝑤1, … , 𝑤𝑚, 𝑤𝑚+1, … , 𝑤𝑚+𝑘, 𝑤} no es L.I., ∀𝑤 ∈ 𝔼.
Si el conjunto L.I. {𝑤1, … , 𝑤𝑚} no satisface II., entonces existe 𝑤𝑚+1∈ 𝔼. Tal que {𝑤1, … , 𝑤𝑚, 𝑤𝑚+1} es L.I.
Si {𝑤1, … , 𝑤𝑚, 𝑤𝑚+1} no satisface II., entonces existe 𝑤𝑚+2∈ 𝔼 tal que {𝑤1, … , 𝑤𝑚, 𝑤𝑚+1, 𝑤𝑚+2} es L.I., este proceso es finito, con máximo hasta 𝑛 − 𝑚 etapas, pues todo subconjunto L.I. de 𝔼 tienen máximo 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝔼 elementos.
Como {𝑤1, … , 𝑤𝑚, 𝑤𝑚+1, … , 𝑤𝑚+𝑘} satisface I y II, tenemos que este conjunto es L.I. y {𝑣, 𝑤1, … , 𝑤𝑚, 𝑤𝑚+1, … , 𝑤𝑚+𝑘} no es L.I., ∀𝑣 ∈ 𝔼, luego existen escalares 𝜆1, … , 𝜆𝑚, 𝜆𝑚+1, … , 𝜆𝑚+𝑘 tal que:
34 Luego {𝑤1, … , 𝑤𝑚, 𝑤𝑚+1, … , 𝑤𝑚+𝑘} es una base de 𝔼 que contiene al conjunto L.I. {𝑤1, … , 𝑤𝑚}.
c) Supóngase que 𝔽 ≠ {0}.
Se debe probar que existen vectores 𝑣𝑖 ∈ 𝔽, 𝑖 = 1, … , 𝑘 tal que: I){𝑣1, … , 𝑣𝑘} es L.I.
II){𝑣, 𝑣1, … , 𝑣𝑘} no es L.I., ∀𝑣 ∈ 𝔽. Como 𝔽 ≠ ∅, entonces existe 𝑣1 ≠ 0 en 𝔽.
Entonces el conjunto {𝑣1} es L.I. Si {𝑣1} no satisface II., existe 𝑣2 ∈ 𝔽 tal que {𝑣1, 𝑣2} es L.I., como todo conjunto L.I., de 𝔼 tiene como máximo 𝑛 = 𝑑𝑖𝑚𝔼 elementos, el proceso para en algún 𝑘 ≤ 𝑛. Se debe probar que {𝑣1, … , 𝑣𝑘} es una base de 𝔽.
Como {𝑣, 𝑣1, … , 𝑣𝑘} no es L.I., ∀𝑣 ∈ 𝔽, existen escalares 𝜆1, … , 𝜆𝑘tal que: 𝑣 = 𝜆1𝑣1+ ⋯ + 𝜆𝑘𝑣𝑘
Luego {𝑣1, … , 𝑣𝑘} es una base de 𝔽 con 𝑑𝑖𝑚𝔽 = 𝑘 ≤ 𝑛.
d) Si la dimensión 𝑑𝑖𝑚𝔽 = 𝑑𝑖𝑚𝔼 = 𝑛 y {𝑣1, … , 𝑣𝑛} es una base de 𝔽, como es un conjunto de generadores y L.I., por el Corolario 2.2.4.4. genera a 𝔼, por lo tanto es una base también, luego 𝔽 = 𝔼.
□
Uno de los resultados que se trata en este trabajo de investigación es la dimensión de un espacio vectorial, preferentemente con espacios vectoriales de dimensión finita. Un espacio vectorial 𝔼 tiene dimensión infinita si no tiene dimensión finita, esto es, cuando ningún subconjunto finito de 𝔼 es una base. Como todo subconjunto finito diferente del vector 0 contiene un subconjunto L.I., que genera el mismo subespacio, se dice que el espacio vectorial 𝔼 tiene dimensión
infinita si, y sólo si, no es generado por un conjunto finito de vectores. Lages (1998), proporciona 3 ejemplos para concretizar la idea, a continuación:
35 Ejemplo 2.2.4.7. El espacio vectorial ℝ(∞), pues admite la base infinita {𝑒̅ , 𝑒1 ̅ , … , 𝑒2 ̅̅̅, … }𝑛 , donde 𝑒̅̅̅ = (0, … ,0,1,0, … )𝑛 es la sucesión infinita cuyo n-ésimo término es 1 y los demás son ceros.
Ejemplo 2.2.4.8. El espacio vectorial 𝑀(𝑚 × 𝑛), de las matrices 𝑚 × 𝑛, tiene dimensión finita, igual a 𝑚 ∙ 𝑛. Una base para 𝑀(𝑚 × 𝑛) es formada por matrices 𝒆𝑖𝑗, cuyo ij-ésimo elemento (en la intersección de la i-ésima fila con la j-ésima columna) es igual a 1 y los demás elementos son iguales a cero.
Teorema 2.2.4.5. Sea {𝑣1, . . , 𝑣𝑘} un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio generado vectorial 𝕍 de dimensión finita sobre un cuerpo 𝕂. Si {𝑣1, … , 𝑣𝑘} no es una base de 𝕍 entonces existen otros vectores 𝑣𝑘+1, … , 𝑣𝑛, tal que {𝑣1, … , 𝑣𝑛} es una base de 𝕍 (Antón, 1986, p. 184).
Demostración:
Por ser 𝕍 un espacio vectorial generado de dimensión finita, se tiene una base {𝑏1, … , 𝑏𝑛}, por el Teorema 2.2.4.4., se sabe que el cardinal de cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en 𝕍 no puede exceder al cardinal de generadores de 𝕍. Sea 𝕍 = 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑏1, … , 𝑏𝑛} se debe tener que 𝑘 ≤ 𝑛.
Caso I: Si 𝑘 = 𝑛
Cada {𝑣1, … , 𝑣𝑛, 𝑏𝑖} debe ser un conjunto linealmente dependiente por el Teorema 2.2.4.3., entonces cada 𝑏𝑖 se puede expresar en combinación lineal de 𝑣1, … , 𝑣𝑛, entonces de hecho {𝑣1, … , 𝑣𝑛} es linealmente independiente, y como genera al espacio 𝕍, es una base.
Caso II: Si 𝑘 = 𝑛 − 1
Entonces algunos 𝑏𝑖 ∉ 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑣1, … , 𝑣𝑛−1} de lo contrario todos los 𝑏𝑖 estarían en 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑣1, … , 𝑣𝑛−1} y entonces {𝑣1, … , 𝑣𝑛−1} sería un conjunto linealmente independiente de 𝑛 − 1 vectores que generan al espacio vectorial 𝕍 = 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑏1, … , 𝑏𝑛} de dimensión 𝑛 que es algo imposible. Pero entonces {𝑣1, … , 𝑣𝑛, 𝑏𝑖} un conjunto linealmente generando a 𝕍 y por lo tanto sería una base de 𝕍.
36 La hipótesis de la inducción del teorema se mantiene cada vez que la diferencia entre la dimensión dim𝕍 y el número de vectores {𝑣1, … , 𝑣𝑘} es menor que 𝑛 − 𝑘. Como el 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑣1, … , 𝑣𝑘} ≠ 𝕍, tiene que haber algún vector de la base 𝑏𝑖 ∉ 𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑣1, … , 𝑣𝑘}. Entonces como {𝑣1, … , 𝑣𝑘, 𝑏𝑖} es un conjunto linealmente independiente de vectores 𝑘 + 1, puede extenderse a una base para 𝕍, luego:
𝑛 − (𝑘 + 1) = 𝑛 − 𝑘 − 1 < 𝑛 − 𝑘
Se puede así completar el conjunto {𝑣1, … , 𝑣𝑘, 𝑏𝑖} a una base {𝑣1, … , 𝑣𝑘, 𝑏𝑖, 𝑏𝑖+𝑘+1, … , 𝑏𝑛} de 𝕍. Esto {𝑣1, … , 𝑣𝑘} entonces completa a la base de 𝕍.
□
2.2.5. ESPACIO COCIENTE
Esta sección describe la importancia de un espacio cociente, el concepto de Espacio Cociente es una idea muy teórica, ya que surge cuando se le proporciona una relación de equivalencia. A continuación se define el espacio cociente, un subespacio dotado de ricas propiedades y brinda ayuda en esta investigación.
Definición 2.2.5.1. Sea 𝕍 un 𝕂 – espacio vectorial y 𝕍′ un subespacio de 𝕍. Se dice que dos vectores 𝑢 y 𝑣 pertenecientes a 𝕍 son equivalentes modulo 𝕍′, si (𝑢 − 𝑣) pertenece a 𝕍 (Lázaro, 2005, p.101).
Definición 2.2.5.2. Sea 𝑣 un vector fijo del espacio vectorial 𝕍 y 𝕍′ un subespacio de 𝕍. El conjunto 𝑣̅ = {𝑢 ∈ 𝕍; 𝑢 ∼ 𝑣} es la clase de equivalencia de 𝑣 (Lázaro, 2005, p.101).
𝑣̅ = {𝑢 ∈ 𝕍; 𝑢 ∼ 𝑣} = {𝑢 ∈ 𝕍; (𝑢 − 𝑣) ∈ 𝕍′} = 𝑣 + 𝕍′ = {𝑣 + 𝑣′; 𝑣′ ∈ 𝕍′}
Observación:
1. La relación ∼ es de equivalencia.
2. La relación ∼ para que sea de equivalencia debe ser reflexiva, simétrica y transitiva.
37 Definición 2.2.5.3. Dado el espacio vectorial 𝕍 el subespacio vectorial 𝕍′ ⊂ 𝕍, definimos el espacio cociente 𝕍 𝕍⁄ ′ es el conjunto de las clases de equivalencia (Lázaro, 2005, p.102).
Esto es:
𝕍 𝕍⁄ ′= {𝑣̅ 𝑣 ∈⁄ 𝕍}
En resumen, el conjunto de las clases laterales de 𝕍′ en 𝕍 es denotado por: 𝕍 𝕍⁄ ′ = {𝑣 + 𝕍′⁄𝑣 ∈𝕍}
Es llamado el espacio cociente de 𝕍 modulo 𝕍′ . El conjunto 𝕍 𝕍′⁄ es un subespacio vectorial bien definido dotado de las operaciones de un subespacio.
2.2.6. TRANSFORMACIONES LINEALES.
En el curso de Calculo I, se estudia a las funciones, la regla de correspondencia, dominio, rango, la relación entre el domino y rango. Esta idea familiar aclara los que consiste una transformación lineal. En el Álgebra Lineal las trasformaciones, que realmente se consideran funciones entre dos espacios vectoriales, preservando siempre dos operaciones, la suma y la multiplicación por un escalar, nos proporciona una multiplicidad de propiedades, que estudiaremos y utilizaremos en esta sección.
Definición 2.2.6.1. Sea 𝔼, 𝔽 espacios vectoriales. Una transformación lineal 𝐴: 𝔼 ⟶ 𝔽 es una correspondencia que a cada vector 𝑣 ∈ 𝔼 le asigna un vector 𝐴(𝑣) = 𝐴 ∙ 𝑣 = 𝐴𝑣 ∈ 𝔽 tal que, para cualesquiera 𝑢, 𝑣 ∈ 𝔼 y 𝛼 ∈ ℝ, se cumplan las relaciones (Lages, 1998, p.43):
1) 𝐴(𝑢 + 𝑣) = 𝐴𝑢 + 𝐴𝑣
2) 𝐴(𝛼 ∙ 𝑢) = 𝛼 ∙ 𝐴𝑢
Observación:
1) Si 𝐴: 𝔼 ⟶ 𝔽 es una Transformación Lineal, entonces 𝐴 ∙ 0 = 0.
3) Además, si 𝐴: 𝔼 ⟶ 𝔽 es una Transformación Lineal, entonces dados 𝑢, 𝑣 ∈ 𝔼 y 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ, se tiene que 𝐴(𝛼𝑢 + 𝛽𝑣) = 𝐴(𝛼𝑢) + 𝐴(𝛽𝑣) = 𝛼 ∙ 𝐴𝑢 + 𝛽 ∙ 𝐴𝑣
38 Ejemplo 2.2.6.1. Sea a = [aij] una matriz m × n sobre el cuerpo 𝕂. Entonces:
𝑇: 𝕂𝑛×1 ⟶ 𝕂𝑚×1
𝑋 ⟼ 𝐚X y
𝑇: 𝕂𝑛 ⟶ 𝕂𝑚
𝑋 ⟼ 𝐚X = (𝐚𝒕𝑋𝑡)𝑡
Son transformaciones lineales.
Ejemplo 2.2.6.2. Sea 𝕍 = 𝒞([a, b]; ℝ) el espacio vectorial de las funciones reales continuas de [a, b] enℝ. Entonces, la transformación T: 𝕍 ⟶ 𝕍 definida por:
𝑇: 𝕍 ⟶ 𝕍
𝑓 ⟼ 𝑇(𝑓) = 𝑇𝑓 Donde
𝑇𝑓[𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ
𝑥 ⟼ 𝑇𝑓 = ∫ 𝑓(𝑠)𝑑𝑠𝑎𝑥
Ejemplo 2.2.6.3. Sea 𝕍 el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en el cuerpo 𝕂. Entonces la transformación derivación T: 𝕍 ⟶ 𝕍, definida por f ⟼ Df:
(𝐷𝑓) = 𝑐1+ 2𝑐2𝑥 + ⋯ + 𝑛𝑐𝑛𝑥𝑛−1
Donde 𝑓(𝑥) = 𝑐0+ 𝑐1𝑥 + ⋯ + 𝑐𝑛𝑥𝑛, es lineal.
Definición 2.2.6.2. Sea 𝔼 y 𝔽 dos espacios vectoriales, ℒ(𝔼; 𝔽) es el conjunto de las transformaciones lineales de 𝔼 en 𝔽 (Lages, 1998, p.44).
El conjunto ℒ(𝔼; 𝔽) define un espacio vectorial. Si 𝔼 = 𝔽, se usa la notación ℒ(𝔼) en vez de ℒ(𝔼; 𝔼) a continuación.
Definición 2.2.6.3. Se llama operador lineal 𝐴: 𝔼 ⟶ 𝔼, a la transformación lineal que va del espacio vectorial 𝔼 en sí mismo (Lages, 1998, p.44).
Lages (1998), da una conclusión sobre una trasformación lineal 𝐴: 𝔼 ⟶ 𝔽: “Es un tipo particular de función que tiene como dominio al espacio vectorial 𝔼 y como contradomino al espacio 𝔽. Lo que hace muy manejables las transformaciones lineales es que, para conocer A ∈ ℒ(𝔼; 𝔽), basta conocer los valores 𝐴 ∙ 𝑣 que A asume en los valores 𝑣 ∈ ℬ, donde ℬ es una base de 𝔼”.
El siguiente teorema habla sobre la existencia de una única transformación entre dos espacios vectoriales.
39 w1, … , wn vectores en 𝕎. Entonces existe una única transformación lineal 𝐿: 𝕍 ⟶ 𝕎, tal que 𝐿(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖, para todo 𝑖 = 1, … , 𝑛(Lages, 1998, p.45).
Demostración:
Se debe demostrar la unicidad y la existencia de dicha transformación.
Unicidad:
Sea 𝐿: 𝕍 ⟶ 𝕎 y 𝑇: 𝕍 ⟶ 𝕎 transformaciones lineales tales que
𝐿(𝑣𝑖) = 𝑇(𝑣𝑖) = 𝑤𝑖, para todo i = 1, … , n.
Sea v ∈ 𝕍 un vector arbitrario. Como {𝑣1, … , 𝑣𝑛} es una base de 𝕍, existen escalares únicos 𝜆1, … , 𝜆𝑛 ∈ 𝕂 tal que 𝑣 = 𝜆1𝑣1+ ⋯ + 𝜆𝑛𝑣𝑛.
𝐿(𝑣) = 𝐿 (∑ 𝜆𝑖𝑣𝑖 𝑛
𝑖=1
) = ∑ 𝜆𝑖𝐿(𝑣𝑖) 𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝜆𝑖𝑇(𝑣𝑖) 𝑛
𝑖=1
= 𝑇 (∑ 𝜆𝑖𝑣𝑖 𝑛
𝑖=1
) = 𝑇(𝑣)
𝐿 = 𝑇
Existencia:
Sea 𝑣 = 𝑥1𝑣1+ ⋯ + 𝑥𝑛𝑣𝑛 ∈ 𝕍 un vector arbitrario. Definamos la transformación
𝐿: 𝕍 ⟶ 𝕎 por
𝐿(𝑣) = 𝑥1𝑤1+ ⋯ + 𝑥𝑛𝑤𝑛
Afirmación: 𝐿 es Lineal.
En efecto sea 𝑣 = 𝑥1𝑣1+ ⋯ + 𝑥𝑛𝑣𝑛 y 𝑤 = 𝑦1𝑣1+ ⋯ + 𝑦𝑛𝑣𝑛 vectores de 𝕍 y 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂, entonces 𝛼𝑣 + 𝛽𝑤 = (𝛼𝑥1+ 𝛽𝑦1)𝑣1+ ⋯ + (𝛼𝑥𝑛+ 𝛽𝑦𝑛)𝑣𝑛 ∈ 𝕍 y
𝐿(𝛼𝑣 + 𝛽𝑤) = (𝛼𝑥1+ 𝛽𝑦1)𝑤1+ ⋯ + (𝛼𝑥𝑛+ 𝛽𝑦𝑛)𝑤𝑛
= 𝛼𝑥1𝑤1+ 𝛽𝑦1𝑤1+ ⋯ + 𝛼𝑥𝑛𝑤𝑛 + 𝛽𝑦𝑛𝑤𝑛
= 𝛼(𝑥1𝑤1+ ⋯ + 𝑥𝑛𝑤𝑛) + ⋯ + 𝛽(𝑦1𝑤1+ ⋯ + 𝑦𝑛𝑤𝑛)
= 𝛼𝐿(𝑣) + 𝛽𝐿(𝑤)
40
□
2.2.7. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN.
En esta sección se da el concepto de Núcleo e Imagen de una transformación Lineal y su relación que tiene con la dimensión de un espacio vectorial, esto se resume en un teorema.
Toda transformación lineal A: 𝔼 ⟶ 𝔽 están asociados dos subespacio vectoriales indispensables para estudiar el comportamiento de A: el núcleo de A, que es un subespacio de 𝔼; y la imagen de A, que es un subespacio de 𝔽 (Lages, 1998, p.65).
Definición 2.2.7.1. La imagen de 𝐴 es el subconjunto 𝐼𝑚(𝐴) ⊂ 𝔽, formado por todos los vectores 𝑤 = 𝐴𝑣 ∈ 𝔽 que son imágenes de elementos de 𝔼 por la transformación 𝐴 (Lages, 1998, p.65).
La noción de imagen tiene sentido para toda función 𝐴: 𝔼 ⟶ 𝔽, lineal o no. Si 𝐴 es lineal, entonces 𝐼𝑚(𝐴) es un subespacio vectorial de 𝔽 como se ve fácilmente.
Observación:
1) Si 𝐼𝑚(𝐴) = 𝔽, se dice que la transformación 𝐴 es sobreyectiva.
2) Sea 𝑋 ⊂ 𝔼 un conjunto de generadores del espacio vectorial 𝔼. La imagen de la transformación lineal 𝐴: 𝔼 ⟶ 𝔽, es el espacio vectorial de 𝔽 generado por los vectores 𝐴𝑣, 𝑣 ∈ 𝑋.
3) Se define la imagen de la siguiente manera:
𝐼𝑚(𝐴) = {𝑤 ∈ 𝔽 ∃ 𝑣 ∈ 𝔼; 𝐴(𝑣) = 𝑤⁄ }
Definición 2.2.7.2. El núcleo de la transformación lineal A: 𝔼 ⟶ 𝔽, es el conjunto de los vectores 𝑣 ∈ 𝔼 tales que 𝐴𝑣 = 0. Se usa la notación 𝒩(𝐴), para representar el núcleo de A (Lages, 1998, p.65).
Observación:
1) Algunos autores definen al núcleo de una transformación 𝐴, como 𝐾𝑒𝑟(𝐴). 2) Se define el núcleo de la siguiente manera:
41 La notación para definir una transformación, en adelante será variada, y se utiliza letras mayúsculas. Lázaro (2005), concluye que la imagen y el núcleo son subespacios, y lo plantea en la siguiente proposición.
Proposición 2.2.7.1. Sea 𝐿: 𝕍 ⟶ 𝕎 una transformación lineal entre dos espacio vectorial (Lages, 1998, p.68).
1) 𝐼𝑚(𝐿) es un subespacio de 𝕎. 2) 𝒩(𝐿) es un subespacio de 𝕍.
Demostración:
1) Sea 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂 y 𝑤1, 𝑤2 ∈ 𝐼𝑚(𝐿) ⊂ 𝕎 , entonces existen 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝕍 tal que 𝐿(𝑣1) = 𝑤1 y 𝐿(𝑣2) = 𝑤2 luego.
𝐿(𝛼𝑣1+ 𝛽𝑣2) = 𝛼𝐿(𝑣1) + 𝛽𝐿(𝑣2) = 𝛼𝑤1+ 𝛽𝑤2
Luego 𝛼𝑤1+ 𝛽𝑤2 ∈ 𝕎, luego por la Proposición 4.1.6.1, se tiene que 𝐼𝑚(𝐿) es un subespacio.
2) Sea 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂 y 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝒩(𝐿) ⊂ 𝕍, entonces 𝐿(𝑣1) = 𝐿(𝑣2) = 0 luego. 𝐿(𝛼𝑣1+ 𝛽𝑣2) = 𝛼𝐿(𝑣1) + 𝛽𝐿(𝑣2) = 0
Luego 𝛼𝑣1+ 𝛽𝑣2 ∈ 𝒩(𝐿), es un subespacio de 𝕍 por la Proposición 2.2.2.1.
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Teorema 2.2.7.1. Una transformación lineal T: 𝕍 ⟶ 𝕎 es inyectiva si, y sólo si, su núcleo 𝒩(T) tiene como único elemento al vector nulo (Lages, 1998, p.68).
Demostración:
⇒]
Para demostrar que 𝒩(𝑇) tiene como único elemento al vector nulo, se toma un vector arbitrario, 𝑣 ∈ 𝒩(𝑇) entonces 𝑇(𝑣) = 0 = 𝑇(0), como 𝑇 es inyectiva, se tiene que 𝑣 = 0.
42
Supóngase que 𝒩(𝑇) = {0}, si 𝑇(𝑣) = 𝑇(𝑤), entonces se tiene que 𝑇(𝑣 − 𝑤) = 𝑇(𝑣) − 𝑇(𝑤) = 0, luego 𝑣 − 𝑤 ∈ 𝒩(𝐿) entonces 𝑣 − 𝑤 = 0, luego
𝑣 = 𝑤.
□
Teorema 2.2.7.2. Una transformación lineal es inyectiva si, y sólo si, lleva vectores L.I. en vectores L.I (Lages, 1998, p.68).
Demostración
⇒]
Por hipótesis se tiene que 𝑇: 𝕍 ⟶ 𝕎 es inyectiva y se 𝑣1, … , 𝑣𝑛 ∈ 𝕍 vectores L.I., se debe probar 𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛) son L.I.
En efecto dada la siguiente combinación lineal con 𝛼𝑖∈ 𝕂 para cada𝑖: 1, … , 𝑛:
𝛼1𝑇(𝑣1) + ⋯ + 𝛼𝑛𝑇(𝑣𝑛) = 0 𝑇(𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛) = 0
Luego como T es inyectiva se tiene:
𝛼1𝑣1+ ⋯ + 𝛼𝑛𝑣𝑛 = 0
Como 𝑣1, … , 𝑣𝑛 es L.I., se tiene 𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑛 = 0, por lo tanto 𝑇(𝑣1), … , 𝑇(𝑣𝑛) es L.I.
⇐]
Por Hipótesis se tiene que 𝑇: 𝕍 ⟶ 𝕎 lleva vectores L.I, en vectores L.I., se debe probar que 𝑇 es inyectiva.
En efecto, se elige un vector arbitrario sea 𝑣 ∈ 𝑇 como 𝑇 es LI. Entonces se tiene que 𝑇(𝑣) es L.I., y demás 𝑇(𝑣) ≠ 0, lo cual 𝑣 ∉ 𝒩(𝑇) luego decimos que 𝒩(𝑇) solo tiene el elemento nulo, es decir 𝒩(𝑇) = {0}, y por el Teorema 2.2.7.1., se tiene que 𝑇 es inyectiva.
