IMPLEMENTACIÓN DEL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO EXTENDIDO PARA EL ESTUDIO DE LA PROPAGACIÓN DE GRIETAS

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IMPLEMENTACIÓN

DEL

MÉTODO

DEL

ELEMENTO

FINITO

EXTENDIDO PARA EL ESTUDIO DE LA PROPAGACIÓN DE GRIETAS

Marco Aurelio Fernández Torres Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (ESIA), Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional “Adolfo López Mateos” Zacatenco

Av. Juan de Dios Batiz s/n Edifcio 12, 3er Piso Email: maft1830@hotmail.com

Dr. Norberto Domínguez Ramírez Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (ESIA), Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional “Adolfo López Mateos” Zacatenco

Av. Juan de Dios Batiz s/n Edifcio 12, 3er Piso Email: norberto.dominguez@necs.fr

Resumen:

La simulación de propagación de grietas es el proceso de modelar la evolución de la grieta en una estructura a través del tiempo o con incrementos de carga. Esto abarca todos los aspectos del proceso de modelado desde preparación inicial de datos hasta visualización de resultados. Y su aplicación en la predicción de crecimiento de grieta y evaluación de la integridad estructural.

La implementación de un método numérico llamado X-FEM se presenta, con el objetivo de simular la propagación cuasi-estática de grietas. Basado en el método de partición de la unidad, X-FEM enriquece la aproximación del campo de desplazamientos clásico de elemento finito con funciones especiales, una función de Heaviside para representar la abertura en el medio y un conjunto de funciones que generan el campo asintótico cercano a la punta de la grieta.

Palabras clave: Elementos finitos, grietas, partición-de-la-unidad.

1. Introducción

La aparición de grietas en los cuerpos mecánicos y estructurales ya sea por la fabricación, construcción o suscitadas durante el servicio ha generado la necesidad de analizar su efecto en el comportamiento. (González, 2004).

Figura 1. a) Fotografía de Presa en Austin Pennsylvania (1911), b) Barco T2 tanker Schenectady (1943), c) reconstrucción de la piel de la aeronave De Havilland DH Comet 106 (1954), d) Accidente de Boeing 737 de Aloha

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La complejidad de estos problemas, ha sido y es sin lugar a dudas uno de los principales motivos para el desarrollo e investigación de nuevas herramientas que ayuden a comprender, analizar y evaluar los fenómenos presentes con mayor apego a la realidad, de una forma eficiente y eficaz.

1.1 Planteamiento del problema

La simulación numérica en computadora, es una de las herramientas más modernas y es una opción (de grandes ventajas) para la evaluación de grietas y de su propagación.

Basándose en métodos de discretización espacial, como por ejemplo el Método de los Elementos Finitos, puede ayudar a resolver estos problemas. Sin embargo, el analizar la propagación de grietas con esta herramienta aun nos conduce a múltiples problemas particulares difíciles de resolver. Entre éstos, resalta el famoso problema de remalleo que consiste en reactualizar la malla del modelo a medida que la fisura se propaga, y en redistribuir el campo de esfuerzos. Ver figura 2.

Figura 2. Malla de elementos finitos representando la aplicación del MEF clásico para la modelación de grietas

Figura 3. Malla de elementos finitos con nodos enriquecidos, con función discontinua (nodos marcados circulares azules), y con las funciones de campo asintótico (nodos marcados con cuadros de color rojo)

En gran medida lo anterior se debe a que el MEF convencional está basado en aproximaciones con polinomios diferenciables a pasos, por lo cual no es muy apropiado para problemas con soluciones discontinuas y/o singulares. (Nguyen, 2005).

En general la problemática actual con respecto a las simulaciones numéricas de crecimiento de grietas es que se requiere:

 actualizar el modelo geométrico, incluyendo la grieta conforme este fenómeno se propaga a través del sistema,

 habilidad para discretizar y analizar el modelo,

 habilidad para analizar resultados del Post tratamiento,

 habilidad para incorporar los resultados dentro del diseño o evaluación.

Elementos conformando geometría de

grieta

Malla de elementos finitos Grieta

Punta de grieta

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2. Metodología

El método X-FEM básicamente es una extensión del MEF, la esencia del método está en subdividir un modelo en dos partes distintas: la generación de la malla para el dominio (donde se excluya las fronteras internas); y enriqueciendo la aproximación de elementos finitos por medio de funciones adicionales que modelan dichas fronteras internas, la incorporación de estas funciones se realiza explotando la propiedad de la partición de la unidad de los elementos finitos. (Melenk y Babuška, 1996; Duarte y Oden, 1995).

Bajo las hipótesis de la Mecánica de Fractura Lineal Elástica, en un modelado de grietas en dos dimensiones, la aproximación de los desplazamientos enriquecidos (Moës et al. 1999), se escribe como:

 

x

 

x u

   

x x a

 

x

 

x b        asinto disc K aK K K J J J J I I I h N N H N B u N N N 4 1 ~ ~   (2.1) donde, N es el grupo de nodos convencionales (no enriquecidos), disc

N es el grupo de nodos enriquecidos con enriquecimiento discontinuo y asinto

N el grupo de nodos enriquecidos con enriquecimiento asintótico, ver figura 3.

 

x

J

H es la función paso de Heaviside modificada la cual toma el valor de 1 arriba de la grieta y 1 debajo de la grieta:

 

          x x- * e 0 0 e * x-x x n n si si H 1 1 (2.2)

donde, x es un punto muestra ubicado dentro del cuerpo, x * (esta sobre la grieta) es la proyección del punto más cercano de x , y e n es un vector unitario normal a la grieta en x *,

I

u

, es un vector con las incógnitas de los grados de libertad de desplazamientos estándar asociados con los nodos I, a J son los coeficientes enriquecidos desconocidos asociados con la función de enriquecimiento discontinuo HJ.

Finalmente, b aK son los grados adicionales enriquecidos asociados con la función enriquecida

K

B , activa en el nodo K las funciones B se derivan de los desplazamientos asintóticos exactos cerca de una punta de grieta en un cuerpo sujeto a carga en modo mixto en dos dimensiones. Las funciones B de enriquecimiento de punta de grieta en elasticidad isotrópica son un conjunto de cuatro funciones que generan los campos mencionados, (Fleming et al., 1997),

 



cos

 2 cos , 2 , 2 cos , 2 , , , 2 3 4

1 B B B rseno r rseno seno r

B

x

B

(2.3) donde, r y

representan las coordenadas polares en el sistema coordenado local de punta de grieta.

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3. Análisis de resultados

La implementación de la teoría X-FEM se llevo a cabo dentro del código de elementos finitos FEAP, desarrollado por el Prof. R.L. Taylor de la Universidad de Berkeley, California. (Taylor, 2001) a través del desarrollo de diferentes algoritmos, entre los más importantes resaltan: algoritmo que evalúa la interacción entre la grieta y la malla, elemento finito enriquecido con función modificada de Heaviside.

El objetivo dentro de esta primera etapa de programación consistió en hacer que el programa reconozca una condición crítica y sea capaz de realizar un enriquecimiento automático con la función de Heaviside para un nuevo incremento de grieta, que si bien no representará el campo asintótico, si dará paso una incorporación del elemento finito enriquecido con las funciones asintóticas. GRIETA Malla elementos finitos Incremento Malla elementos finitos GRIETA a) b)

Figura 4. Modelo de elementos finitos de placa de estudio con: a) grieta inicial, b) grieta inicial más incremento

El elemento que se tomó como base para el desarrollo de este elemento enriquecido es un elemento rectangular bidimensional de cuatro nodos.

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4. Conclusiones

El enriquecimiento de elementos finitos con funciones discontinuas es una solución de grandes ventajas puesto que permite el análisis de grietas con una sola malla fija y la representación de la geometría de la grieta solamente por medio de un algoritmo que determina su alojamiento dentro de la malla.

El proceso de implementación es la parte más pesada del trabajo, además de que puede llevar cierto tiempo comparable a la realización de una simulación utilizando técnicas de liberación nodal, pero tiene la ventaja que una vez listo, este puede emplearse a diferentes casos de estudio, es decir, grietas inclinadas, diferente longitud, etc.

Lo anterior expuesto, hace ver la importancia del desarrollo de un elemento enriquecido con funciones que generen el campo asintótico para representar completamente el efecto que provoca la grieta. Paso que se realizara en posteriores desarrollos e investigaciones.

5. Bibliografía

Belytschko, T., y Black, T., (1999), Elastic Crack Propagation in Finite Elements with Minimal Remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 45: 601-620.

Duarte, C., y Oden, J., (1995), HP Clouds – A Meshless Method to Solve Boundary Value Problems. Technical Report TICAM.

Fleming, M., Chu, Y., Moran, B. y Belytschko, T., (1997), Enriched element-free Galerkin

methods for singular fields. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40:1483-1504.

González, J., (2004), Mecánica De Fractura, Editorial Limusa S. A., México.

Ingraffea, A., (2004), Computational Fracture Mechanics. DRAFT 4/21/04 Cornell Theory Center, Cornell University, Ithaca New York, USA.

Melenk, JM. And Babuška, I, (1996), The Partition of Unity Finite Element Method: Basic Theory and Applications. Computer methods in Applied Mechanics and Engineering, 39:289-314.

Moës, N., Dolbow, J. y Belytschko, T., (1999), A Finite Element Method for Crack Growth

Without Remeshing. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 46: 131-150.

Nguyen, V. P., (2005), An Object Oriented Approach to the XFEM with Applications to Fracture Mechanics. Tesis de Maestría, EMMC-Hochiminh University of Technology, Vietnam.

Taylor R. L., (2001), FEAP - A Finite Element Analysis Program, Versión 7.4 - Example Manual, Programmer Manual, Theory Manual y User Manual. Berkeley, California.

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ANEXO

EXPERIENCIA PROFESIONAL

Dr. Norberto Domínguez Ramírez

Profesor Colegiado de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación.

Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (ESIA), Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional “Adolfo López Mateos” Zacatenco

Director de tesis

Marco Aurelio Fernández Torres

Alumno de la Maestría en Ciencias con especialidad en Estructuras, Sección de Estudios de Posgrado e Investigación,

Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura (ESIA), Instituto Politécnico Nacional

Titulo de tesis: Implementación del método del elemento finito extendido para el estudio de propagación de grietas.

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