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MATEMÁTICAS
GRADO 6º
UNIDAD 1
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LOGRO
: Reconocer las propiedades de la lógica y los conjuntos
aplicando este conocimiento a la cotidianidad e identificando la estrecha relación entre ambas teorías
INDICADORES DE LOGRO
: Reconoce las diferencias entre los diferentes conectivos lógicos
Identifica la utilización de la lógica en su cotidianidad
Determina el valor de verdad de proposiciones compuestas
Propone ejemplos relacionados con su contexto para identificar
conjuntos
Representa un conjunto por extensión y por comprensión
Reconoce y aplica las operaciones que se pueden dar entre
conjuntos
Soluciona problemas de su cotidianidad relacionados con
conjuntos
¿QUÉ SIGNIFICA PARA TI TRABAJAR
LOGICAMENTE?
¿QUÉ ENTIENDES CUANDO TE DICEN QUE
POR LÓGICA DEBES HACER ALGO?
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ACTIVIDAD: Discute con tus compañeros y concluyan la mejor
definición para los siguientes conceptos y la escriben en los espacios en frente:
¿Qué es la lógica?
_____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________
¿Qué es una proposición?
_____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________
¿Qué es una negación?
_____________________________________________________ _____________________________________________________ _____________________________________________________
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NUESTRO
APRENDIZAJE
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RESEÑA HISTÓRICA
La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con las ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
La lógica matemática no es la "lógica de las matemáticas" sino la "matemática de la lógica". Incluye aquellas partes de la lógica que
pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
(http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica) El año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la teoría de conjuntos. El estudio de los infinitos por parte de Cantor fue considerado por Kronecker con una locura matemática. Creyendo que la matemática sería llevada al manicomio bajo la dirección de Cantor, Kronecker lo atacó vigorosamente con toda las armas que tuvo en su
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POCO DE
CONOCIMIENTO
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mano, con el trágico resultado de que no fue la teoría de conjuntos la que cayó en el manicomio, sino el propio Cantor.
Cantor murió en Halle (ciudad del centro de Alemania), el 6 de enero de 1918, teniendo 73 años de edad. Ya le habían sido concedidos múltiples honores y su obra había logrado ser reconocida.
(http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/cantor.htm).
¿Qué es una proposición? Una proposición es una expresión que se puede calificar de verdadera o falsa; no es necesario que sea verdadera para decir que es una proposición.
En nuestro día a día, decimos un sin número de frases tales como “el cafecito está caliente”, “el bus está demorado” las cuales pueden calificarse de verdaderas o falsas con elativa facilidad; hay otras frases de las que se dicen a diario que no son tan fácilmente evaluables, por ejemplo “¿cuánto te demoras de la casa al colegio?”, “¿mi amor, tu si me quieres?”, “¡no te demores por favor!”, etc.
Las proposiciones matemáticas pueden ser simples o compuestas, las proposiciones simples se simbolizan con letras minúsculas como p, q, r, s, etc.
Ejemplo:
p: “Dos es un número primo”
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ACTIVIDAD: Diga cuáles de las siguientes oraciones son proposiciones y si es una proposición, diga si es verdadera o falsa: ¿Tienes hambre?
El colegio Cooperativo de Barbosa forma gente de bien
3 es divisor de 7
¡Hay que trabajar más! 7 es un número primo Uribe es mortal
Hay más de 2 estudiantes en la clase de matemáticas 2 + 2
Existe vida en otros planetas
Todas las vacas tienen cuatro patas
Ahora escribe en tu cuaderno 5 proposiciones falsas y 5 proposiciones verdaderas; además escribe 5 oraciones que no sean proposiciones.
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Las proposiciones compuestas se forman uniendo las proposiciones simples con conectivos lógicos.
Entonces se puede decir que una proposición compuesta es una oración, proposición o enunciado que se puede descomponer en varias proposiciones.
¿Y qué son conectivos lógicos?
Los conectivos lógicos son partículas de enlace que se utilizan en el lenguaje cotidiano y en la lógica para enlazar proposiciones dando una coherencia a lo que se dice:
Ejemplo:
Tres es un número primo y cinco es un número impar Está lloviendo o está haciendo sol
El lápiz es rojo y el borrador es blanco o negro
“Las partículas de enlace o conectivos lógicos entre proposiciones pueden considerarse como las operaciones, ya que transforman dos proposiciones simples en una proposición compuesta”. (LOGROS MATEMÁTICOS 6, 1996)
¿Qué es el valor de verdad? Ya dijimos que una proposición es una expresión que se puede calificar de verdadera o falsa, pues bien ese valor que se le da a la proposición es su valor de verdad. Este valor de verdad de las proposiciones es único ya que una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.
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¿Qué es una negación? La negación es una operación que cambia
el valor de verdad de una proposición y se denota por el símbolo . Entonces si una proposición es verdadera, su negación será falsa y al contrario.
EJEMPLOS
P: Don Carlos está terminando su bachillerato P: Don Carlos no está terminando su bachillerato La negación también puede ser dada por
P: No es cierto que don Carlos esté terminando su bachillerato q: La piña es una fruta
q: No es cierto que la piña es una fruta q: la piña no es una fruta
¿Qué es una conjunción? Una conjunción es una proposición
compuesta conectada por el conector lógico “Y” y se denota como p
^
q; para que una proposición compuesta por una conjunción sea verdadera es necesario que ambas proposiciones simples que la componen sean verdaderas, así pues, se da la siguiente tabla que ayudará a reconocer cuando una proposición compuesta por la conjunción es verdadera o falsa:p q p ^q V V V V F F F V F F F F Ejemplos:
p: “La mayoría de los Barboseños son católicos” (V) q: “Los Barboseños no son paisas” (F)
r: “La principal fuente económica de Barbosa es la agricultura” (V) Entonces la combinación de estas proposiciones nos debe dar como valor de verdad (F)
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Mirémoslo
“La mayoría de los Barboseños son católicos y Los barboseños no son paisas”
p
^
q = (F) V^
F= (F) Ahora“La mayoría de los Barboseños son católicos y La principal fuente económica de Barbosa es la agricultura”
p
^
q = (V) V^
V= (V)ACTIVIDAD: Escriba en su cuaderno 5 proposiciones simples con su valor de verdad y luego escribe su negación con su respectivo valor de verdad, recuerde de simbolizar todas las oraciones.
En grupo con sus compañeros de clase tome las 5 proposiciones simples y conviértalas en el cuaderno en 5 proposiciones compuestas con la conjunción y escribe su valor de verdad con su simbolización.
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¿Qué es una disyunción?: Es la proposición compuesta que surge
de conectar dos proposiciones simples con el conectivo lógico “o” y en lógica esa “o” se simboliza “v”
Ejemplo: Analicemos el valor de verdad de las siguientes proposiciones simples y luego las unimos por medio del conectivo lógico “o” y analizamos nuevamente su valor de verdad.
p: “Uribe y santos son amigos” (V)
q: “Uribe y Obama se odian” (F)
r: “Santos y Chávez son amigos” (V) Ahora unámoslas
“Uribe y santos son amigos o Santos y Chávez son amigos”
Es verdadero que pasa una cosa o pasa la otra, por lo tanto si una sola es verdadera entonces es suficiente para decir que la disyunción es verdadera.
“Uribe y santos son amigos o Santos y Chávez son amigos”
Es verdadero que pasa una cosa o pasa la otra, por lo tanto como en este caso pasan ambas cosas, también podemos decir que la conjunción es verdadera.
A continuación se presenta una tabla que nos muestra el valor de verdad de las proposiciones compuestas con la conjunción, según el valor de cada proposición simple.
p q p v q V V V V F V
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ACTIVIDAD: Escriba en el cuaderno 5 proposiciones simples con su simbolización y su respectivo valor de verdad y, en grupo, toman esas proposiciones simples y las convierten en compuestas con la conjunción y determinan su valor de verdad con su simbolización.
¿Qué es una proposición condicional?: Las proposiciones
compuestas “si hace buen clima, sale buena cosecha”; “si está lloviendo entonces te pones saco para ir al colegio”, tienen en común la forma como se enuncian: “si…, entonces…”. Las expresiones que tienen esta forma se llaman CONDICIONALES y
la simbolización más utilizada para el “si…, entonces…” es ( .
Estos enunciados que establecen como una cosa se concluye de otra son muy utilizados en la formación lógica y coherente de las matemáticas. F V V F F F
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Ejemplo:
p: “hoy es Martes” q: “ayer fue Lunes”
Utilizando el condicional pueden resultar las siguientes proposiciones compuestas:
p( q: “si hoy es Martes, entonces ayer fue Lunes”
q( p: “si ayer fue Lunes, entonces hoy es Martes”
¿Qué es una proposición bicondicional? En el ejemplo anterior se pudo observar que la condicional se cumplía en ambos sentidos,
es decir p( q y q( p, cuando esto pasa se dice que la
proposición es bicondicional y se puede cambiar el “si…, entonces…” por un “ si y solo si”.
Los valores de verdad de la proposición condicional y bicondicional dependen también de los valores de verdad de las proposiciones simples que las componen:
p q p q V V V V F F F V F F F V P q p q V V V V F F F V V F F V
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ACTIVIDAD:
1. Escriba en su cuaderno con sus compañeros de clase 10
proposiciones condicionales y 10 bicondicionales hallando su respectivo valor de verdad.
2. Forma el condicional y el bicondicional de las siguientes expresiones hallando el valor de verdad.
a. p: “Hay un abogado que se llama Juan” (V)
q: “Juan estudió derecho” (V)
b. p: “los libros de astronomía son interesantes” (V)
q: “El quijote de la mancha es un libro de ciencia” (F)
c. p: “4+3=7” (V)
q: “4-3=7” (F)
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3. Dadas las siguientes proposiciones simples con su respectivo
valor de verdad, encuentra el valor de cada proposición compuesta: P (F), q(V), r(F) a. p ^r b. p v q c. q p d. r q e. p q f. q V r g. q ^r h. (p q) V r
Preséntale a tu profesor un trabajo escrito con los siguientes puntos resueltos para que corrija tus dudas y afiance tu aprendizaje.
1. Analiza las siguientes proposiciones y resuelve lo que se te pide al final de acuerdo a tu análisis:
a. El ratón es un roedor
b. 3+7=9
RECOLECTEMOS LO
SEMBRADO
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c. Un triángulo es más grande que un cuadrado
d. 8+8=16
e. La cosecha de café empieza en Octubre
f. Barbosa está cumpliendo 215 años
g. Nuestro actual presidente es Antanas Mockus
h. ¿Tienes hambre?
i. El campeón del mundial fue España
i. identificar cuáles son y cuales no son
proposiciones
ii. Hacer su representación (por ejemplo p V q)
iii. Decir su valor de verdad
iv. Niega las proposiciones que encontraste y hallas
su nuevo valor de verdad
v. Niega nuevamente las proposiciones ya negadas
y revisa su valor de verdad sacando tus propias conclusiones.
2. Analiza las siguientes proposiciones y resuelve lo que se te pide al final de acuerdo a tu análisis:
a. Juan Pablo segundo fue papa o presidente
b. Iván Ramiro Córdoba es ganador de la Champions
league entonces es futbolista. c. El sol sale si y sólo si está de dia
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e. Barbosa es un municipio aledaño a Don Matías y
Girardota
f. Wildeman te enseña por lo tanto es tu profesor
g. Las proposiciones son simples o compuestas
h. Dios es piadoso y misericordioso por lo tanto nos
perdona
i. Identificar su conectivo lógico
ii. Hacer su representación (por ejemplo p V q)
iii. Separar en proposiciones simples
iv. Clasificarlas según su conectivo lógico
v. Reescríbelas de forma que aparezcan claramente
las proposiciones que forman
3. Si p, q son proposiciones falsas y r, s son proposiciones falsas, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.
a. p V q b. p q c. p v q ^ r d. r v s
