CAPITULO 4 FILTRAJE ESPACIAL

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CAPITULO 4

FILTRAJE ESPACIAL

4.1 Introducción

En este capítulo se discute como aplicar el concepto de frecuencias espaciales, en el plano de Fraunhofer. Para así obtener un sistema óptico que sirva para realizar filtrado espacial de imágenes. La discusión se ilustra con un ejemplo y se muestra el filtrado del patrón de difracción de la rejilla circular para obtener el ánulo luminoso que finalmente representa el axicón.

Con la ayuda de un procesador óptico de imágenes, como el que se muestra en la figura 4.1, es posible realizar operaciones de filtraje espacial en una imagen. Como se vio en el capitulo anterior, cualquier función periódica puede ser aproximada por medio del calculo adecuado de los coeficientes en su serie de Fourier y cada coeficiente de esta serie equivale a una frecuencia en el espacio de frecuencias o también llamado plano de Fraunhofer. Por lo que si se elimina una frecuencia se elimina la parte espacial correspondiente.

4.2 Transformación de Fourier

Se expresa a la distribución de amplitud compleja de una onda como la superposición lineal de ondas planas del tipo

) ( ) , (x y =eik Lx+My ψ , ( 4.1)

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En donde el vector de posición en el plano z=0 es k j y i x rr = ˆ+ ˆ+(0)ˆ. ( 4.2) El vector de propagación es ) ˆ ˆ ˆ (Li Mj Nk k kr = + + . ( 4.3)

Las variables L, M y N son conocidas como los cosenos directores. Por lo que las ondas planas en la ecuación 4.1 se puede expresar también como

r k i e y x, )= r⋅r ( ψ ) ( 2 Lx My i e π λ +λ = ) ( 2 x y i e πν +µ = . ( 4.4)

En la ecuación 4.4 se emplea la notación

λ

ν = L ,

λ

µ = M . ( 4.5)

Las variables ν y µ son conocidas como las frecuencias espaciales.

Plano Objeto Plano de Fraunhofer Lente Convergente Z x´ x y´ f f y

Figura 4.1. Dispositivo óptico para visualizar el patrón de difracción de Fraunhofer

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En el plano de Fraunhofer una onda plana con vector de propagación como en la ecuación 4.3 se visualiza como una mancha luminosa centrada en las coordenadas (x´,y´), como se indica en la figura 4.1, tal que

x Lf = ′ , Mf = y′. ( 4.6) Por lo que f x L λ λ ν = = ′ , f y M λ λ µ = = ′ . ( 4.7)

Ahora bien, la integral de superposición toma en cuenta pesos relativos a cada onda

plana, con frecuencias espaciales(ν,µ). En términos matemáticos se tiene que

∫ ∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − + = ψ ν µ ν µ ψ π ν µ d d e y x, ) ~( , ) i2 (x y ) ( ( 4.8) Plano Objeto Plano de Fraunhofer Lente Convergente

Figura 4.2. Computadora óptica coherente

y´ x´ f Z x´´ y´´ f f x f y

Es la integral de superposición que se denota como a la transformada de Fourier inversa; a la onda plana se le denota como el kernel de la transformación; y al factor de peso representa la amplitud compleja de la onda plana.

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Es importante mencionar que si el sistema óptico mostrado en la figura 4.1 se le complementa de forma simétrica, entonces se obtiene al sistema óptico que se muestra en la figura 4.2

Físicamente, la segunda mitad del sistema óptico de la figura 4.2 realiza la operación inversa a la realizada por la primera mitad de dicho sistema. Es decir, los puntos luminosos que focalizan a la onda plana se reconvierten en la onda plana. En términos matemáticos se tiene que

∫ ∫

∞ ∞ − ∞ ∞ − ′ ′′ + ′ ′′ _′ _′ ′ ′ = ′′ ′′ y x y e dxdy x , ) ~( , ) i2 (xx yy) ( ψ π ψ . ( 4.9)

Si se coloca un objeto con transmitancia T(x,y) en el plano objeto y es iluminado con una onda plana que viaja en dirección del eje z. Dado que el objeto es iluminado uniformemente, la amplitud compleja en el plano del mismo debe ser proporcional a su transmitancia, lo anterior es esquematizado en la figura 4.3.

xo

Periodo

x Transmitancia

1

Figura 4.3 Tren de pulsos cuadrado y su amplitud

Por ejemplo, si se tiene una transmitancia formada por tren de pulsos cuadrados, como se muestra en la figura 4.3 y representado por la función 4.10,

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∑

− = − = 1 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( n x nd x rect a y rect a x rect x T , ( 4.10)

Teniendo en cuenta lo anterior, es posible filtrar espacialmente una imagen que esté formada por diferentes periodos con ayuda de una computadora óptica coherente, mostrada en la figura 4.2. Esto se debe a que cada serie de puntos que forman la imagen es representada por una frecuencia específica en el plano frecuencial o plano de Fraunhofer.

4.3 Filtraje espacial

El filtraje espacial puede ser explicado en 3 simples pasos. Primeramente se obtiene el patrón de difracción de Fraunhofer de la imagen a filtrar usando la primer parte de la computadora óptica coherente, figura 4.4.

t f ft Patrón de Fraunhofer Lente Rejilla

Figura 4.4. Obtención del patrón de Fraunhofer de la imagen

A continuación se coloca un filtro espacial elegido de tal manera que solamente deje pasar la frecuencia escogida y finalmente se reconstruye la imagen con una segunda lente positiva, como se ve en la figura 4.5.

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i

f f_i

Figura 4.5. Obtención de la imagen una vez filtrada

Ejemplo 1 Filraje espacial de una imagen 2D

En la figura 4.6 se muestra la imagen a filtrar la cual fue impresa en escala de grises con la finalidad de que la computadora le asigne una densidad de puntos diferente a cada escala de gris, como se muestra en la imagen 4.7. Cabe notar que existe una restricción en campo visual de los resultados debido a que se utilizó una cámara CCD de

0.5cm2 para grabarlos.

Figura 4.6 Imagen a filtrar

Figura 4.7 Ampliación de 60x de la imagen a filtrar

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El patrón de Fraunhofer de esta imagen se muestra en la figura 4.8. Se denomina una matriz de puntos cuyo centro es la coordenada (0,0).

Fig. 4.8 Patrón de Fraunhofer de la imagen a filtrar

La frecuencia espacial mas baja de la figura 4.6 es representada en patrón de difracción de Fraunhofer con en el centro del patrón denominado el orden cero, (0,0). Las demás frecuencias espaciales por las que esta formada la figura 4.6 son representadas por los puntos luminosos restantes. En donde su distancia al centro del patrón es proporcional a su frecuencia. Por lo que las frecuencias altas se encuentran lejos del centro del patrón de Fraunhofer y las frecuencias más bajas (periodos mas grandes) cerca de él.

Se define el ruido como los puntos en la imagen con periodo que tienda a infinito, por lo que éste contribuye al orden cero en el patrón de difracción. Sin embargo si se filtra solamente el orden cero se puede observar que su naturaleza es la de una constante ya que ésta es de periodo infinito.

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Fig. 4.10 Filtraje del orden (0,0) Fig. 4.9 Imagen filtrada con el orden (0,0)

En la imagen anterior se puede observar como es que la imagen a filtrar esta formada en su mayoría por ruido, figura 4.9. Debido a que se sigue formando la imagen después de haber filtrado el orden (0,0) más una pequeña vecindad; sin dejar pasar el siguiente orden, figura 4.10.

A continuación se pueden apreciar las diferentes frecuencias por la que esta formada

la imagen. Dejando pasar los órdenes (±1, ±1):

Fig. 4.12 Filtraje de los órdenes (±1, ±1) Fig. 4.11 Imagen filtrada con los órdenes

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Y finalmente los órdenes (0, ±2) y (±2,0):

Fig. 4.14 Filtraje de los órdenes (0,

±2) y (±2,0) Fig. 4.13 Imagen filtrada con los órdenes

(0, ±2) y (±2,0)

Después de haber visto que es factible el filtrado espacial de una imagen se puede proseguir a una de las partes primordiales de esta tesis. El filtrado del patrón de Fraunhofer que se forma al iluminar uniformemente una rejilla circular; se discute a continuación.

4.4 Filtraje espacial de la rejilla circular

Debido a las necesidades de evitar la mayor pérdida de energía posible en el patrón de difracción de Fraunhofer y ahorrar espacio sobre la mesa óptica es necesaria la implementación del sistema óptico que se muestra en la figura 4.15.

Se tiene una rejilla circular binaria que está formada por un tren de pulsos cuadrados

de simetría radial colocada inmediatamente detrás de la lente, L1, y su patrón de

difracción, figura 4.16, es formado en el plano donde se forma la imagen de la fuente puntual.

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Rejilla circular Plano de Fraunhofer 2f1 f2 x´ z L1 L2

Haz objeto y y´

x

Figura 4.15 Sistema óptico para estudiar el patrón de difracción producido por una rejilla circular

Antes del filtraje espacial se realiza un barrido del perfil de intensidad del patrón de difracción con un sensor de luz (Pasco, M.R.), figura 4.17, para poder determinar el radio de los ánulos concéntricos.

El radio del primer ánulo o primer orden es de 2.1 x 10-3m y 4.2 x 10-3m para el

segundo ánulo o tercer orden; ya que como se vio en capítulos anteriores, el segundo orden es suprimido.

x

Figura 4.16 Patrón de difracción de Fraunhofer de la rejilla circular

r1

r2

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Figura 4.17 Perfil de irradiancia axial en x del patrón de difracción de la rejilla circular Ir radianc ia ( % ) Posición (m) r₂ r₁ Ir radianc ia ( % ) Posición (m) r₂ r₁

El filtraje espacial de los diferentes ordenes y combinaciones entre estos se muestra en la tabla 4.1. Colocando la tabla horizontalmente, la columna de la izquierda denota el orden del patrón de Fraunhofer filtrado y en la siguiente columna se ve su imagen. En la tercer columna se muestra la imagen es que formada el filtrado correspondiente y en la siguiente el barrido de su perfil de irradiancia.

No es posible notar que la imagen formada por un ánulo esté formada por una función Bessel de clase uno y orden cero como se esperaba. Debido a que la manera en que es posible de medir el perfil de irradiancia de las imágenes es sobre su fotografía y el CCD con el que fueron tomadas se encuentra saturado. Sin embargo, su geometría es suficiente para mostrar que se logra la generación de una rejilla no-binaria.

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Perfil de irra

diancia

Imagen filtrada

Patrón de Fraunhofer

Orden _filtrado Cero

, un o, t res Cero Uno

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Perfil de irra

diancia

Imagen filtrada

Patrón de Fraunhofer

Orden _filtrado tres Cero y uno

Uno y tres

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Dados los resultados experimentales se muestra claramente que una imagen pierde información al filtrarle cualquier orden de su patrón de difracción de Fraunhofer.

En cuanto a las estructuras binarias, se puede observar que las frecuencias más altas son las que contribuyen a la formación de los bordes del pulso cuadrado del que está formada dicha estructura.

También se puede observar que el perfil de irradiancia con la geometría deseada para representar el CHG del axicón se obtiene al dejar pasar el orden uno. Debido a que se genera una rejilla no binaria de círculos concéntricos.

A continuación se estudian 3 rejillas circulares con diferente periodo con el fin de seleccionar la rejilla que produzca el patrón de difracción adecuado para representar el elemento óptico novedoso que será grabado en película holográfica.

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Referencias

[1] J. Goodman, “Introduction to Fourier optics”, McGraw-Hill, San Francisco, 1968 [2] J. Dyson, “Circular and spiral diffraction gratings”, Royal Soc. of London, 93-106 (1958)

[3] E. Hecht, “Optics”, Addison-Wesley, EUA, 1989.

[4] O. Brygdahl, “Radial and circular fringe interferogramas”, J. Opt. Soc., 9, 1098-1104, (1973)

[5] A. Burvall, “Axicon imaging by scalar diffraction theory”, Royal Institute of Technology, Tesis Doctoral, Suecia, (2004)

[6] J. H. Mcleod, “The axicón: a new type of optical element”, J. Opt. Soc. Am. 44, 592 (1954)