Apuntes de teoría de consumo

(1)

APUNTES DE TEOR´

IA DE CONSUMO

Gonzalo Hern´andez Jim´enez

Dana Marcela Chah´ın Herrera

29 de octubre de 2008

1. Introducci´

on

La econom´ıa es una ciencia social que estudia c´omo los individuos y las sociedades eligen utilizar recursos escasos para producir bienes y servicios que satisfacen sus necesidades.

En especial, lo concerniente a la satisfacci´on de necesidades ser´a el punto de partida de estos apuntes sobre las teor´ıas del Consumo. Vamos a suponer que buena parte de las necesidades de los individuos y las sociedades son satisfechas gracias al consumo de bienes y servicios.

“El consumo es el único propósito final de toda producción: y el interés del productor deber´ıa ser atendido solamente en tanto pueda ser necesario para promover el del consumidor” (Smith, 1776).

Precisamente para hacer más clara la importancia del consumo como variable económica y comprender sus determinantes, la primera parte del actual curso de Macroeconom´ıa Avanzada I del Departamento de Econom´ıa de la Pontificia Universidad Javeriana se concentra en este tema de estudio. Además de la motivación derivada de la propia definición de Econom´ıa, el Consumo, como variable macroeconómica, es interesante por dos razones más:

1. El Consumo representa entre el 50 y el 70 por ciento del Producto Interno Bruto de los pa´ıses. En Colombia, por ejemplo, la participaci´on del Consumo en el PIB oscila alrededor de 65 por ciento.

(2)

Figura 1: El consumo como porcentaje del PIB

Las figuras 1 y 2 nos muestran datos para Colombia y para otros grupos de pa´ıses.

2. Comprender los determinantes del Consumo significa comprender tam-bién los determinantes del Ahorro, variable clave en la determinación del nivel de producto o la tasa de crecimiento del producto de largo plazo de acuerdo con varios modelos de crecimiento económico. Suele decirse que Consumo y Ahorro son dos caras de la misma moneda1_.

Debido a su participación en el PIB como componente de la Demanda Agregada y a su estrecha relación con el Ahorro, el Consumo es parte fun-damental de los análisis económicos tanto de corto como de largo plazo.

1

“Hasta lo que se, todo el mundo est´a de acuerdo en entender el ahorro como el exceso de ingreso sobre lo que es gastado en consumo´´(Keynes, 1936, cap´ıtulo 7, traducci´on libre).

(3)

Figura 2: El consumo como porcentaje del PIB y el crecimiento del consumo y del PIB real en Colombia

En concordancia con el curso de Macroeconom´ıa Avanzada I, en estos apuntes se discutirán fundamentalmente 4 aproximaciones para explicar el comportamiento del Consumo como variable macroeconómica: la función key-nesiana de consumo y tres modelos basados en elección intertemporal: el modelo de Fisher, la hipótesis de renta permanente y la hipótesis de ciclo de vida.

2. Funci´

on Keynesiana de Consumo

Para Keynes (1936), el objetivo final era comprender qué determina el volumen de empleo de una econom´ıa. Keynes construyó toda una teor´ıa al-ternativa a la teor´ıa clásica en la que el Consumo, como elemento de la función de demanda agregada cobraba un protagonismo especial.

(4)

En la Teor´ıa General, la siguiente ecuaci´on representa el comportamiento del Consumo:

Cw =χ(Yw) (2.1)

donde C es el consumo y Y es el ingreso neto2_.

Partiendo de esta ecuaci´on llegamos a especificaciones m´as modernas co-mo:

C =C(Y −T) (2.2)

donde (Y −T) es el ingreso disponible. Esta ecuaci´on en su versi´on lineal ser´ıa:

C =α+β(Y −T) α >0, 0< β <1 (2.3) donde α y β son coeficientes que representan el consumo aut´onomo y la propensi´on marginal a consumir respectivamente.

Esta ecuación recoge los determinantes del consumo que Keynes señalaba y la forma que deb´ıa tener la función de consumo. La forma funcional debe tener en cuenta los siguientes aspectos:

1. El consumo depende principalmente del ingreso agregado.

2. De acuerdo con una “ley sicológica” que él observaba, los hombres están dispuestos, como por una regla en promedio, a incrementar su consumo cuando el ingreso se incrementa, pero no tanto como se incrementó su ingreso ( dCw

dYw es positiva pero menor a 1). Para Keynes, las necesidades

subjetivas asociadas al consumo incluyen caracter´ısticas sicológicas de la naturaleza humana, prácticas sociales e instituciones que improba-blemente cambian en periodos cortos de tiempo, a menos que aparezcan circunstancias anormales o revolucionarias. Esto explica, por ejemplo, por qué en la función keynesiana de consumo la propensión marginal a consumir es un parámetro y no una variable.

2

Ambas variables para Keynes estaban medidas en t´ermino de unidades salariales y el ingreso neto consist´ıa en el ingreso que el consumidor ten´ıa en mente en el momento de decidir sobre su nivel de consumo.

(5)

3. Como regla, un nivel más alto de ingreso tenderá a ampliar la brecha entre ingreso y consumo. Es decir, cuando el ingreso se incrementa, las personas destinan una proporción más alta de su ingreso hacia el ahorro.

Para hacer evidente esta ´ultima conjetura, dividamos ambos lados de la ecuaci´on (2.3) por (Y −T)

C Y −T =

α

Y −T +β (2.4)

De esta manera tenemos al lado izquierdo la proporci´on del ingreso disponible destinado al consumo.

Si le restamos 1 a esta proporción, tenemos la proporción del ingreso disponible destinado al ahorro, que claramente es creciente a medida que el ingreso disponible aumenta. Esta participación también es conocida como la propensión media a ahorrar.

1− C

Y −T = 1− α

Y −T −β (2.5)

Se propone desarrollar el ejercicio 1 de la secci´on 9.

Emp´ıricamente, la funci´on keynesiana de consumo suele predecir bastan-te bien el comportamiento del consumo en series de tiempo para periodos cortos y en estudios de datos a nivel de hogares, sin embargo, falla en sus predicciones en series de tiempo para periodos largos. Esto se evidenci´o con algunos trabajos en los que se utilizaron los datos estad´ısticos para Estados Unidos recopilados en Kuznets (1946).

La figura 3 muestra la formaci´on de capital neto como porcentaje del ingreso nacional en Estados Unidos desde 1869 hasta 1928. Esta variable que est´a muy correlacionada con la tasa de ahorro y permanece constante a lo largo del tiempo sugiere que la tercera conjetura keynesiana no se cumple.

(6)

Figura 3: Formaci´on de capital neto como porcentaje del ingreso nacional en Estados Unidos

2.1. Funci´

on keynesiana de consumo: caso colombiano

Miremos las implicaciones de la función keynesiana en el caso colombiano. La figura 4 muestra la relación entre consumo e ingreso disponible para el periodo 1950-2005 y la figura 5 la propensión media al ahorro para el mismo periodo.

Como podemos ver, las dos primeras conjeturas parecen ajustarse a los datos, sin embargo, la propensión media al ahorro es relativamente cons-tante en el tiempo (con excepción del periodo post apertura económica que ha estado acompañado de una marcada disminución de la tasa de ahorro privada).

(7)

Figura 4: Consumo e ingreso disponible en Colombia

3. Algunos comentarios sobre la funci´

on

key-nesiana

Además de los problemas emp´ıricos al predecir la propensión media al ahorro, suele atribuirse como un problema teórico de la función keynesiana el que no se tenga en la cuenta que las decisiones de consumo y por lo tanto de ahorro pueden ser resultado de un problema intertemporal, en el que las personas deciden de acuerdo con expectativas sobre ingresos futuros y deciden el su consumo a lo largo del tiempo.

Aunque será muy interesante ver cómo los economistas pueden analizar a través de modelos estos temas, vale la pena aclarar que Keynes no evadió en su Teor´ıa General la intertemporalidad del consumo por ingenuidad o desco-nocimiento. Para Keynes, los cambios en la tasa de descuento y los precios relativos entre bienes presentes y futuros eran parte de algunos factores

(8)

obje-Figura 5: Tasa de ahorro en Colombia

tivos que influ´ıan en la propensi´on a consumir3_{, sin embargo, estos elementos}

intertemporales eran para Keynes irrelevantes en periodos cortos de tiempo4_.

Otro factor objetivo que para Keynes explicaba la propensión a consumir eran las expectativas sobre ingresos presentes y futuros. Keynes también dejó de lado este factor argumentando que aunque puede afectar la propen-sión a consumir de algún individuo en particular, es poco probable que lo

3

Keynes también hace referencia a factores subjetivos que motivan a las personas a con-sumir, como la búsqueda de independencia, la avaricia o el placer derivado de incrementar el gasto de consumo, entre muchos otros. Este tema es analizado en la actualidad por eco-nomistas y sicólogos que trabajan conjuntamente en la explicación de los determinantes del consumo de las personas.

4

“No hay mucha gente que alterar´a su forma de vida debido a que la tasa de inter´es ha ca´ıdo de 5 a 4 por ciento, si el ingreso agregado es el mismo que el de antes del cambio” (Keynes, 1936, cap´ıtulo 8).

(9)

haga con la comunidad como un todo. Adem´as, planteaba que era un tema con demasiada incertidumbre para ejercer demasiada influencia.

Keynes alcanzó, tal como lo pretend´ıa, una función de consumo “fairly stable” en la que se tuvieran en la cuenta los elementos que para él eran los más relevantes, dejando de lado aquellos, que siendo conocidos, introduc´ıan demasiado ruido en circunstancias ordinarias.

Las siguientes tres teor´ıas, basadas en lo conocido como fundamentales, partir´an del concepto de que las personas consumen porque de este consumo derivan utilidad. Weil (2005) se pregunta en sus notas sobre consumo ¿por qu´e las personas consumen? y responde: porque las hace felices.

4. Consumo y Felicidad

En la actualidad, se calcula para 95 pa´ıses un indicador subjetivo de fe-licidad. Al responder la pregunta ¿qué tanto disfruta su vida? las personas reportan su nivel de felicidad en una escala de 1 a 10, donde 10 representa el valor más alto nivel de satisfacción. De acuerdo con Veenhoven (2006), los factores que parecen explicar las diferencias entre los ´ındices de felicidad de los pa´ıses son la disponibilidad de bienes y servicios, la igualdad social, la libertad pol´ıtica, el acceso al conocimiento y algunas caracter´ısticas so-cioeconómicas como la prosperidad, el crecimiento económico, la seguridad económica y la igualdad del ingreso.

Aunque usualmente se muestra la correlación entre ingreso y felicidad, la figura 6 muestra la correlación entre consumo per-cápita y felicidad para diferentes pa´ıses5 en el periodo 1995-2005. Al igual que lo descrito por una función de utilidad convencional, los datos parecen describir concavidad. A mayor consumo, mayor felicidad, pero a medida que aumenta el consumo, cambios en el consumo provocan cambios cada vez menores en la felicidad.

Colombia reporta uno de los niveles m´as altos de felicidad a nivel mundial con un ´ındice de 8.1. Nos sentimos tan felices como los suizos que tienen un

5

La gráfica sólo contiene datos para 83 pa´ıses, ya que los datos de consumo per-cápita no estaban disponibles para los 12 pa´ıses restantes. Los pa´ıses que se excluyeron son: Angola, Bosnia, Cyprus, Irak, Ivory Coast, Malta, Montenegro, Nigeria, Singapur, Taiwan, Uzbekistan, South Korea

(10)

nivel de consumo per cápita 15 veces más alto y más felices que los peruanos o los rumanos que tienen un nivel de consumo promedio parecido al nuestro. Tal vez lo que ocurre es que somos optimistas o felices por naturaleza. Sin embargo, s´ı hay una tendencia: entre más ingreso o consumo, más felices en promedio.

Figura 6: Consumo y felicidad

Para modelar el supuesto de que el consumo hace felices a las personas, revisemos la funci´on de utilidad.

5. Funci´

on de Utilidad

Para poder representar la idea de que el consumo hace felices a las perso-nas, describamos una funci´on de utilidad que asigna valores a las diferentes cestas de consumo, dependiendo del placer que ´estas le generan a un agente

(11)

representativo. Es importante resaltar que esta funci´on de utilidad es ordi-nal y no cardiordi-nal, es decir, no nos interesa el valor que toma la funci´on de utilidad, sino el valor relativo cuando la comparamos con otras cestas de consumo.

De esta manera, trabajaremos con una funci´on de utilidad, tal que

U =U(C), cuya representaci´on gr´afica ser´ıa la que se aprecia en la figura 7.

Figura 7: Funci´on de utilidad

Esta función de utilidad debe cumplir con algunas caracter´ısticas im-portantes para nuestro análisis: utilidad marginal positiva pero decreciente, aditividad y aversión al riesgo.

5.1. Utilidad marginal decreciente

Como podemos apreciar en la figura 7, cuando el individuo aumenta su cantidad de consumo, su utilidad aumenta. Este aumento en la utilidad cau-sado por una unidad adicional de consumo es lo que llamamos utilidad mar-ginal. Nos damos cuenta tambi´en que el aumento que experimenta la utilidad es cada vez menor a medida que aumenta el consumo. Decimos, por tanto, que la utilidad marginal es decreciente. Una unidad adicional de consumo para un individuo que consum´ıa poco, aumenta m´as el nivel de utilidad que

(12)

en el caso de un individuo que ya ten´ıa un alto nivel de consumo. Por ello, para valores mayores de C, la gr´afica se ve cada vez m´as plana.

Matem´aticamente, debe cumplirse que ∂U ∂C >0 y

∂2_U

∂C2 <0 para garantizar

utilidad marginal positiva pero decreciente.

5.2. Aditividad de la funci´

on de utilidad

Otra caracter´ıstica que deberá tener la función de utilidad será la de adi-tividad. Es decir, que podamos sumar las funciones de utilidad instantáneas. Para la construcción de los modelos intertemporales que revisaremos más adelante, es necesario que podamos contar con una función de utilidad que represente la satisfacción del individuo por el consumo realizado en diferentes momentos de tiempo.

V =U(C1) +U(C2) +· · ·+U(Ct) (5.1)

En el caso de un individuo que debe decidir su senda de consumo para t pe-riodos, la utilidad total ser´a la suma de las funciones de utilidad instant´aneas.

5.3. Aversi´

on al riesgo

Todos los d´ıas nos enfrentamos a situaciones de incertidumbre. No sa-bemos si vamos a ganar la loter´ıa, si el precio de los alimentos va a subir, si va a haber un terremoto o si vamos a pasar macroeconom´ıa avanzada I6_.

Debido a que estos eventos afectan las decisiones de consumo, es importante que veamos qué implicaciones tiene nuestra función de utilidad cóncava.

Para enfrentar la incertidumbre, las personas se crean expectativas acer-ca de lo que va a ocurrir en el futuro. Los economistas abordamos la forma como se construyen estas expectativas a trav´es del concepto de utilidad es-perada. Esta utilidad esperada parecer´ıa poder ser calculada de dos maneras diferentes. Ahora veremos que s´olo una de esas formas es correcta.

Supongamos que el salario de un individuo depende del comportamiento del precio de las acciones. Por lo tanto, este individuo tiene incertidumbre acerca de la cantidad de dinero que puede ganar el siguiente mes. Supongamos

6

(13)

que con una probabilidad igual a 0.5, el individuo ganará un salario que le permitirá consumir 500 pesos y con una probabilidad igual a 0.5 el individuo ganará un salario que le permitirá consumir 1000 pesos.

Podr´ıamos calcular:

Utilidad esperada del consumo

EU(C) = 0,5U(500) + 0,5U(1000) o la

Utilidad del valor esperado del consumo

UE(C) =U(0,5∗500 + 0,5∗1000)

La primera forma es la que usaremos como nuestra función objetivo cuan-do hay incertidumbre. Veamos por qué es sensato que aceptemos esta defini-ción y descartemos la segunda.

En el ejemplo del individuo que enfrenta incertidumbre acerca de su con-sumo, podemos darnos cuenta claramente que los dos eventos que pueden ocurrir son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir al mismo tiempo. El individuo podrá consumir 500 o podrá consumir 1000, pero en ningún momento va a consumir una cantidad intermedia entre las dos.

Eso es precisamente lo que est´a mostrando la utilidad esperada del consumo, ya que con una probabilidad de 0.5 el individuo va a obtener utilidad por consumir 500 y con una probabilidad de 0.5 el individuo va a obtener utilidad por consumir 1000.

De esta manera se garantiza además la independencia entre los posibles resultados. Si uno de los dos eventos no ocurre, eso no debe perturbar en lo más m´ınimo al evento que s´ı sucede. En el caso en que el evento que ocurra sea el segundo (que el individuo consuma 1000), el hecho de que el individuo no consuma 500 no influirá de ninguna forma. Esta función de utilidad esperada es comúnmente conocida como Función de Utilidad Von Neumann-Mortgenstern.

(14)

Cuando las personas se enfrentan a estas situaciones de incertidumbre corren el riesgo de ganar o perder. Algunos individuos disfrutan ese riesgo, es decir son amantes al riesgo; otros son indiferentes, es decir son neutrales al riesgo; pero hay otros, la mayor´ıa, que hacen lo posible por evitarlo, es decir, son adversos al riesgo7_.

Si suponemos aversión al riesgo para los individuos, éstos tendrán una función de utilidad cóncava que cumple con la desigualdad de Jensen, es decir, se cumple que la utilidad del valor esperado del consumo es mayor que la utilidad esperada del consumo. Esta desigualdad puede verse con la figura 8. La utilidad de 750 (valor esperado del consumo) es mayor a

EU(C) = 0,5U(500) + 0,5U(1000).

Figura 8: Aversi´on al riesgo

De esta manera, vemos que la concavidad de la función de utilidad que describe la propiedad de utilidad marginal decreciente describe simultánea-mente aversión al riesgo.

7

Algunos estudiantes se consideran amantes al riesgo hasta el momento en que enfrentan la siguiente apuesta: si sale cara al lanzar una moneda usted obtendrá dos puntos más en su primer parcial (si sacó 3, por ejemplo, ahora tendrá 5), si sale sello se le restarán dos puntos a su examen (si sacó 3, por ejemplo, ahora tendrá 1). ¿Acepta la apuesta?

(15)

5.4. La Funci´

on de Utilidad CRRA

Una función de utilidad que cumple con las caracter´ısticas que hemos con-siderado importantes hasta el momento es la Función de Utilidad de Aver-sión Relativa al Riesgo Constante, CRRA.

U(Ct) =

C1−σ t

1−σ σ >0 (5.2)

Es una función con utilidad marginal positiva pero decreciente y además incorpora aversión al riesgo en las decisiones de consumo de los individuos.

Para probar que la CRRA tiene utilidad marginal positiva, miramos la primera derivada de la funci´on:

∂U(Ct) ∂Ct = 1−σ 1−σC −σ t ∂U(Ct) ∂Ct =C−σ t >0

La utilidad marginal es positiva: si aumenta el consumo en una unidad adi-cional, la utilidad tambi´en aumenta.

La segunda derivada de la funci´on respecto al consumo nos confirma que la utilidad marginal es decreciente:

∂2_U₍_C

t)

∂C2

t

=−σCt−(1+σ) <0

Dado que la segunda derivada es negativa (porque σ > 0) y la primera derivada positiva, entonces la utilidad marginal es positiva pero decreciente: si aumenta el consumo en una unidad adicional la utilidad va a aumentar, pero cada vez en una menor cuant´ıa.

El par´ametro de importancia en nuestra funci´on de utilidad CRRA es

(16)

riesgo8_{. Como es un parámetro que mide aversión, asumimos que entre más}

grande sea su valor m´as adverso al riesgo es el individuo. (Si σ = 0, se dice que el individuo es neutral al riesgo9_).

Recordemos que una manera de medir la aversión al riesgo de los indi-viduos es mirando la curvatura de la función de utilidad. Entre más curva es esta última, más adverso al riesgo es el individuo. σ es el parámetro que mide la curvatura de la función de utilidad.

Si graficamos la funci´on de utilidad CRRA en tercera dimensi´on (por la 8

Para la función CRRA podemos calcular dos ´ındices de aversión al riesgo. El primero de ellos es el´ındice de aversión absoluta al riesgo de Arrow-Pratt, el cual está dado por −U′′ U′ (5.3) lo cual es equivalente a −dU′ dC 1 U′ =−σC −σ₋1 1 C−σ =− −σ C = σ C (5.4)

El resultado de (5.4) muestra una propiedad interesante de la CRRA: a medida que el nivel de consumo es más alto la aversión absoluta al riesgo es menor. Esto puede explicar por ejemplo por qué personas con niveles altos de consumo están más dispuestas a enfrentar apuestas que personas con niveles bajos.

El segundo ´ındice de aversión al riesgo es el´ındice de aversión relativa al riesgo constante, el cual está dado por

−CU ′′ U′ (5.5) lo cual es equivalente a −dU′ dC C U′ =−σC −σ₋1 C C−σ = σ _(5.6)

Como podemos darnos cuenta, el ´ındice de aversi´on absoluta al riesgo de Arrow-Pratt de-pende del nivel de consumo, mientras que el ´ındice de aversi´on relativa al riesgo constante, como su nombre lo dice, no depende del nivel de consumo.

Desarrollar ejercicio 2 de la secci´on 9.

9

si σ _{= 0 la funci´}_{on CRRA se convierte en} U₍C_{) =} C_{. Gr´aficamente ser´ıa una l´ınea}

recta de pendiente positiva igual a 1. En este caso, la figura 8 mostrar´ıa que no se satisface la desigualdad de Jensen.

(17)

propiedad de aditividad), podemos apreciar que para valores mayores de σ, la funci´on se hace cada vez m´as curva.

La figura 9 nos muestra la funci´on de utilidad CRRA cuandoσ=0.3 y la figura 10 cuando σ=0.8.

Figura 9: Funci´on de utilidad CRRA cuando σ=0.3

Si giramos la funci´on de utilidad graficada en la figura 10 hasta desapa-recer el eje correspondiente a C2 vemos claramente la funci´on de utilidad cuando el consumo del periodo dos se mantiene constante. (Ver figura 11).

Si graficamos la función de utilidad CRRA en dos dimensiones, la figura 12 nos muestra que para valores mayores de σ, la concavidad de la función de utilidad CRRA es más marcada, haciendo más evidente la desigualdad de Jensen10_.

10_σ

es la elasticidad de la utilidad marginal con respecto al consumo que est´a dada por la siguiente ecuaci´on:

dU′ dC C U′ =C U′′ U′ =−σ (5.7)

A medida que σ _{aumenta en valor absoluto, la utilidad marginal se hace cada vez m´}_as

el´astica al consumo. Es decir, a medida que aumenta sigma, un aumento del consumo en 1 por ciento va a disminuir la utilidad marginal en m´as de 1 por ciento. Por eso, entre mayor esσ_{, mayor es la curvatura de la funci´}_{on de utilidad.}

(18)

Figura 10: Funci´on de utilidad CRRA cuando σ=0.8

Figura 11: Funci´on de utilidad CRRA

Al mirar la ecuaci´on (5.2), tambi´en podemos darnos cuenta que cuando

σ > 1, la CRRA se vuelve negativa. Sin embargo, gracias a que la CRRA describe utilidad marginal positiva, a medida que aumenta el consumo, la utilidad se hace cada vez menos negativa, es decir, aumenta. La figura 13 nos muestra esa situaci´on.

(19)

Figura 12: Funciones de utilidad CRRA

Como nos interesa la ordinalidad de la funci´on de utilidad basta como restricci´on para σ que sea mayor a cero.

5.4.1. CRRA con σ = 1

Un caso particular de la función de utilidad CRRA, se da cuandoσ = 1. La función CRRA queda convertida en una función logar´ıtmica. Veamos paso a paso cómo llegamos a esa conclusión.

Empecemos por replantear la funci´on de utilidad CRRA:

U(Ct) =

C1−σ

t −1

1−σ (5.8)

Esta transformaci´on simplemente afecta el nivel de la funci´on.

Si evaluamos el l´ımite cuando σ → 1, nos queda una expresi´on de la forma 0

0. En este caso, lo m´as conveniente ser´a utilizar la regla de L’Hospital.

Recordemos que ésta consiste en derivar con respecto al parámetro de interés, en este casoσ, tanto el numerador como el denominador. Sin embargo, derivar la ecuación (5.8) con respecto a σ parece complicado. Facilitemos entonces

(20)

Figura 13: Funci´on de Utilidad CRRA con σ >1

este procedimiento reexpresando la ecuaci´on (5.8).

U(Ct) = CtCt−σ −1 1−σ (5.9) que es igual a U(Ct) = Cte−σlnCt−1 1−σ (5.10)

Como nos interesa ver cu´al es el l´ımite de la anterior expresi´on cuandoσ→1: l´ım

σ→1

Cte−σlnCt −1

1−σ (5.11)

utilicemos L’Hospital y tenemos: l´ım σ→1 −Cte−σlnCtlnCt −1 (5.12) l´ım σ→1Cte −σlnCt lnCt (5.13)

(21)

Si evaluamos (5.13), tenemos finalmente que: l´ım

σ→1Cte

−σlnCt

lnCt= lnCt (5.14)

Hemos comprobado que la función de utilidad CRRA se convierte en la fun-ción logar´ıtimica cuandoσ →1. La función de utilidad logar´ıtmica será muy conveniente en los modelos de consumo intertemporal que veremos a conti-nuación.

6. Modelo de Fisher

Presentado seis años antes de la publicación de la Teor´ıa General, el modelo conocido como modelo de consumo de Fisher es el primero en forma-lizar el problema de elección intertemporal propuesto por Eugen von Böhm-Bawerk11_{. En el análisis de von Böhm-Bawerk, las elecciones a través del}

tiempo pod´ıan abordarse como cualquier problema económico en el que las personas deben decidir sobre la asignación de dos bienes que son escasos. De-cidir por ejemplo entre cañones o mantequilla12_{. En estas notas, la disyuntiva}

ser´a Consumo Hoy vs. Consumo Ma˜nana.

En su obra de 1930, The Theory of Interest, Irving Fisher mostró el fa-miliar plano cartesiano en el que el eje de las abscisas representa el consumo presente y el eje de las ordenadas el consumo futuro. As´ı, las curvas de in-diferencia representan las preferencias del agente económico representativo sobre su consumo intertemporal y en la restricción presupuestal las posibi-lidades de consumo presente y futuro que este agente puede alcanzar dados sus ingresos.

Revisemos la presentaci´on moderna de este modelo con sus diferentes variantes.

11

Economista austroh´ungaro cuya obra m´as importante fue Capital and Interest (1889)

12

Este trade-off mencionado casi siempre en los cursos de Principios de Econom´ıa fue resultado de un comentario de Joseph Goebbels, jefe de opini´on del r´egimen de Adolf Hitler.

(22)

6.1. Caso 1: Modelo de Fisher para dos periodos sin

tasa de inter´

es y sin tasa de descuento

intertem-poral

Supongamos inicialmente un agente que va a decidir cuánto consumir en el periodo 1 (hoy por ejemplo) y cuánto va a consumir en el periodo 2 (mañana por ejemplo). Este agente no tiene activos iniciales y de igual manera los activos son cero al culminar el periodo 2. Es decir no deja herencias (intencionales o no intencionales)13_{ni deudas. Sin embargo, recibe ingresos}

W1 en el periodo 1 e ingresos W2 en el periodo 2. Esos ingresos limitados

le permiten consumir. No va a ser relevante indagar sobre el origen de esos ingresos en este modelo.

Para el caso m´as sencillo, vamos a suponer que el precio relativo entre el consumo del periodo 1 y el consumo del periodo 2 es igual a 1. La tasa de inter´es es entonces igual a cero. Este supuesto se traduce en que los aho-rros hechos en el primer periodo no generan rentabilidad financiera, de igual manera, endeudarse no cuesta nada.

La función de utilidad para este agente es la suma de las funciones de utilidad instantáneas. Esto es posible gracias al supuesto de aditividad que discutimos en la sección 5.2. Además, para esta versión del modelo de Fisher, vamos a suponer que este agente no descuenta la utilidad del futuro.

V =U(C1) +U(C2) (6.1)

Este agente representativo ahorra la parte del ingreso que no consume. Por supuesto, este ahorro podr´ıa ser negativo. En ese caso estar´ıa consumiendo m´as que su ingreso del primer periodo.

S1 =W1−C1 (6.2)

En el periodo 2, debe consumir tanto el ingreso del periodo 2 como los ahorros realizados en el periodo anterior. Decimos “debe” porque de lo contrario violar´ıamos el supuesto inicial de activos cero al finalizar los dos periodos.

13

Es posible que las personas dejen herencias porque les importa la felicidad de sus hijos o nietos pero tambi´en es posible que las dejen porque simplemente la muerte los sorprende con activos positivos que iban a ser destinados al consumo en un horizonte de vida que habr´ıa podido ser m´as largo.

(23)

Si el ahorro fue negativo, deber´a por supuesto pagar su deuda. As´ı como los agentes no pueden dejar herencias tampoco dejan deudas.

C2 =S1 +W2 (6.3)

Reemplazando la ecuaci´on (6.2) en (6.3) obtenemos (6.4) que nos dice simple-mente que la suma de los ingresos debe ser igual a la suma de los consumos en ambos periodos. Esta igualdad nos confirma que la ´unica fuente de consumo son los ingresos de cada periodo y por lo tanto el supuesto de activos iguales a cero al iniciar y al terminar los dos periodos.

W1 +W2 =C1+C2 (6.4)

Teniendo presente que las funciones de utilidad instantáneas cumplen las caracter´ısticas de la sección 5, entonces podemos solucionar matemáticamen-te esmatemáticamen-te problema escribiendo el lagrangiano que en realidad es la función de utilidad restringida por la ecuación (6.4).

L=U(C1) +U(C2) +λ[W1+W2−C1−C2]

Las condiciones de primer orden son: 1. _∂C∂L 1 =U ′₍_C 1)−λ= 0⇒λ=U′(C1) 2. _∂C∂L 2 =U ′₍_C 2)−λ= 0⇒λ=U′(C2) 3. ∂L_∂λ =W1+W2−C1−C2 = 0

De la primera y la segunda condición de primer orden podemos deducir queC1 =C2. Si introducimos esta condición en la restricción presupuestaria,

obtenemos que

C1 =C2 =

W1+W2

2 (6.5)

El resultado de este problema es que el individuo suaviza completamente su consumo en ambos periodos. El consumo del periodo 1 es exactamente igual al consumo del periodo 2. La igualdad de las utilidades marginales tiene una explicaci´on intuitiva importante. Si el consumo del primer periodo fuera mayor al consumo del segundo periodo, entonces, U′₍_C

1) < U′(C2),

caso en el cual valdr´ıa la pena reducir el consumo del periodo 1 y aumentar el consumo del periodo 2 de tal manera que la utilidad total aumentar´ıa.

(24)

Figura 14: Optimizaci´on del Consumo

La suavización del consumo depende de la propiedad de utilidad marginal decreciente de la función de utilidad que estamos utilizando. Esta propiedad, como vimos en la sección 5, está estrechamente ligada con que los agentes son adversos al riesgo (aunque por ahora no se ha incluido ningún elemento de incertidumbre).

Si el ingreso de alguno de los periodos aumenta, la restricción presu-puestal se desplazará permitiendo que el individuo alcance una curva de indiferencia más alta. Independientemente de cuál ingreso cambie, el indivi-duo distribuirá el incremento de ingreso en el consumo de ambos periodos, persistiendo as´ı su preferencia por suavizar su consumo intertemporal.

El ahorro será el elemento clave para que el individuo pueda suavizar su consumo. Si el consumo óptimo del primer periodo es mayor al ingreso del primer periodo, el agente se endeudará (se convierte en prestatario) y luego en el periodo 2 saldará sus deudas. Si el consumo óptimo del primer periodo es menor al ingreso del primer periodo, el agente, convertido en prestamista, utilizará sus ahorros para su consumo del segundo periodo.

(25)

6.2. Caso 2: ahora con tasa de inter´

es

El modelo presentado en el caso 1 puede complementarse incluyendo una tasa de interés como remuneración a los activos financieros de los presta-mistas o un costo de financiación para los prestatarios. Las ecuaciones que representan este modelo ser´ıan las siguientes:

V =U(C1) +U(C2) (6.6)

S1 =W1−C1 (6.7)

pero ahora el consumo del segundo periodo est´a dado por:

C2 = (1 +r)S1+W2 (6.8)

Y al combinar las ´ultimas dos ecuaciones obtenemos la siguiente restricci´on presupuestal, que nos dice que el valor presente de los ingresos debe ser igual al valor presente de los consumos en ambos periodos:

W1+

W2

1 +r =C1+ C2

1 +r (6.9)

La funci´on de utilidad restringida ser´a ahora:

L=U(C1) +U(C2) +λ[W1+ ₁₊W2_r −C1−₁₊C2_r]

La solución a este problema de optimización estará determinada por la siguiente condición:

U′₍_C

1) =U′(C2)(1 +r) (6.10)

Esta condición muy parecida a la condición obtenida en el caso 1 refleja el efecto sustitución que la tasa de interés tendrá sobre las decisiones de con-sumo. Sin embargo, para conocer el efecto de un incremento o reducción de la tasa de interés sobre los niveles de consumo de ambos periodos, es impor-tante recordar que además del efecto sustitución, los cambios en los precios relativos también generan un efecto ingreso. Mientras el efecto sustitución es independiente de que el individuo sea prestamista o prestatario, la condición inicial será esencial para determinar el efecto ingreso.

(26)

Figura 15: Optimizaci´on del consumo con tasa de inter´es

6.2.1. Efecto sustituci´on y efecto ingreso de un aumento en la tasa de inter´es en el caso de un prestatario

Empecemos por analizar el caso de un prestatario, es decir, de una perso-na cuyo ahorro en el primer periodo es negativo y por lo tanto pide prestado.

Efecto sustitución:Al aumentar la tasa de interés es preferible susti-tuir consumo del periodo uno por consumo del periodo dos, ya que los intereses que debe pagar sobre el dinero que pide prestado en el primer periodo son mayores con la subida de la tasa de interés.

Efecto ingreso:Al aumentar la tasa de inter´es, el individuo tendr´a que contar con una ca´ıda generalizada de su ingreso que lo hace menos rico. Por lo tanto hay incentivos para disminuir el consumo en ambos periodos.

Como podemos ver en la figura 16, el efecto sustitución y el efecto ingreso van en la misma dirección para el primer periodo, por lo que el efecto final en el periodo uno es una disminución del consumo. En el periodo dos, el efecto final sobre el consumo depende de si el efecto sustitución prima sobre el efecto ingreso o el efecto ingreso prima sobre el efecto sustitución. Para

(27)

conocer las magnitudes de estos efectos ser´a necesario contar con una funci´on de utilidad expl´ıcita.

Figura 16: efecto sustituci´on y efecto ingreso para el caso de un prestatario

La figura 17 muestra el caso de un prestatario que aumenta su consumo del periodo dos ya que el efecto sustituci´on prima sobre el efecto ingreso.

La figura 18 muestra el caso de un prestatario que disminuye su consumo del periodo dos ya que el efecto ingreso prima sobre el efecto sustituci´on.

6.3. Efecto sustituci´

on y efecto ingreso de un aumento

en la tasa de inter´

es en el caso de un prestamista

Efecto sustitución:Al aumentar la tasa de interés es preferible susti-tuir consumo del periodo uno por consumo del periodo dos, ya que los intereses que recibe por el dinero que presta en el primer periodo son mayores con la subida de la tasa de interés.

(28)

Figura 17: El caso de un prestatario que aumenta su consumo del periodo dos cuando aumenta la tasa de inter´es

Efecto ingreso: Al aumentar la tasa de interés, el individuo con-tará con un aumento generalizado de su ingreso que lo hace más ri-co. Por lo tanto hay incentivos para aumentar el consumo en ambos periodos.

Como podemos ver en la figura 19, el efecto sustitución y el efecto ingreso van en la misma dirección para el segundo periodo, por lo que el efecto final en el periodo dos es un aumento del consumo. En el periodo uno, el efecto final sobre el consumo depende de si el efecto sustitución prima sobre el efecto ingreso o el efecto ingreso prima sobre el efecto sustitución.

La figura 20 muestra el caso de un prestamista que disminuye su consumo del periodo uno ya que el efecto sustituci´on prima sobre el efecto ingreso.

La figura 21 muestra el caso de un prestamista que aumenta su consumo del periodo uno ya que el efecto ingreso prima sobre el efecto sustituci´on.

(29)

Figura 18: El caso de un prestatario que disminuye su consumo del periodo dos cuando aumenta la tasa de inter´es

En el trabajo de Juan Nicolás Hernández (2006), en el que se hace una revisión de los determinantes macroeconómicos del consumo total de los ho-gares en Colombia, se comprueba que la elasticidad del consumo a la tasa de interés real es negativa. En la revisión de la literatura del trabajo de Hernández (2006) se referencia el trabajo de Leonardo Duarte (2003) quien encuentra que cuando la tasa de interés disminuye en un punto porcentual, el consumo aumenta en 0.13 puntos porcentuales. En otro trabajo, el realizado por López, Gómez y Rodr´ıguez (1996) se encuentra que ante una disminución de la tasa de interés en un punto porcentual, el consumo per cápita aumenta entre 0.6 y 1 punto porcentual.

(30)

Figura 19: efecto sustituci´on y efecto ingreso para el caso de un prestamista

6.4. Caso 3: incluyendo una tasa de descuento

inter-temporal

Tanto en el caso 1 como en el caso 2 del modelo de Fisher que hemos presentado, la función de utilidad corresponde a una suma de las funciones de utilidad instantáneas en la que U(C1) y U(C2) tienen la misma impor-tancia. Sin embargo, podemos modelar unos agentes económicos que suelen ser impacientes y descuentan la utilidad del consumo futuro.

Si les preguntamos a los lectores de estos apuntes ¿cuándo prefiere tener vacaciones? ¿hoy o en dos meses? (manteniendo todo lo demás constante, como tasa de interés, salarios, etcétera, es decir, si nos interesa únicamente que nos revele su preferencia sobre el consumo presente vs el consumo futuro), en la mayor´ıa de los casos la respuesta ser´ıa que prefiere las vacaciones hoy.

Esta “impaciencia” puede ser modelada incluyendo un factor que descuen-te la utilidad futura en relaci´on con la utilidad de consumir en el presendescuen-te.

(31)

“im-Figura 20: El caso de un prestamista que disminuye su consumo del periodo uno cuando aumenta la tasa de inter´es

paciencia” son tan variados como interesantes. El libro Time and Decision (2003) es una excelente referencia para quienes quieran profundizar en este tema. En este libro se citan diferentes trabajos, por ejemplo, el de algunos filósofos para los cuales descontar la utilidad futura es resultado de la débil relación que podemos establecer entre nuestro yo actual y nuestro yo futuro. Pensar en nuestra utilidad futura puede ser como pensar en la utilidad de otra persona, por lo tanto se justifica asignarle mayor importancia al presente, es decir, a lo que podemos sentir y no es tan dif´ıcil de imaginar.

De igual manera, neurólogos y sicólogos se han preocupado siempre por explicar las diferencias en los niveles de paciencia. Entre las explicaciones está que las personas con daños en la corteza pre-frontal del cerebro no tie-nen en la cuenta las consecuencias futuras de sus acciones y sus elecciones sólo dependen de premios o remuneraciones inmediatas. As´ı mismo, en expe-rimentos con animales, se ha identificado que algunos componentes qu´ımicos, como el Prozac, pueden elevar el grado de paciencia.

(32)

Figura 21: El caso de un prestamista que aumenta su consumo del periodo uno cuando aumenta la tasa de inter´es

Para nuestro modelo, no será esencial conocer todos los posibles determi-nantes del descuento intertemporal, sin embargo, vale la pena reconocer estos elementos como una fuente inagotable de estudio en la que la ciencia económi-ca y la sicolog´ıa pueden converger y trabajar juntas. Además, estos aportes interdisciplinarios confrontan constantemente los supuestos que manejamos los economistas al describir el comportamiento y la toma de decisiones de nuestros agentes económicos.

Matem´aticamente, por ahora, veamos c´omo podemos incorporar el des-cuento intertemporal en nuestro modelo de Fisher. Utilizando la tasa de descuento θ, vamos a decir que la utilidad total, para dos periodos, es igual a:

V =U(C1) +

U(C2)

(33)

Esta funci´on para T periodos de tiempo ser´ıa igual a: V =U(C1) + U(C2) 1 +θ + U(C3) (1 +θ)2 +. . .+ U(CT) (1 +θ)T−1 (6.12)

Esta función de utilidad con descuento intertemporal fue presentada por Paul Samuelson en 1937 en el art´ıculo “A note on Measurement of Utility” y ha sido acogida en muchos trabajos por su sencillez. Podemos observar que si las preferencias de un agente son descritas por esta función, este individuo valora menos la utilidad futura que la utilidad presente. Además, el descuento entre el periodo 1 y el periodo 2 es exactamente igual al descuento aplicado entre los periodos 2 y 3 o entre los periodos T −1 y T. Esta caracter´ıstica es especialmente criticada por economistas y sicólogos que de acuerdo con sus estudios consideran que las personas pueden ser más pacientes al tener que decidir sobre su asignación de consumo entre periodos lejanos de tiempo que cuando tienen que decidir en periodos cercanos de tiempo. Si tenemos que elegir entre vacaciones hoy o el próximo año, somos más impacientes que si tenemos que decidir hoy entre unas vacaciones en 10 años o en 11 años. El descuento exponencial utilizado en la función de Samuelson no puede describir ese fenómeno mientras que una función con descuento hiperbólico s´ı.

Este caso, en el que los niveles de paciencia cambian en el tiempo, no es el ´unico problema de la funci´on de utilidad con la que trabajaremos14 _y

aunque en cursos más avanzados se trabajará con funciones más complejas, por ahora, consideremos esta primera aproximación para ser incluida en el modelo de Fisher.

Para el modelo de dos periodos, el lagrangiano quedar´ıa igual a:

L=U(C1) + U₁₊(C_θ2)+λ[W1+₁₊W2_r−C1− ₁₊C2_r]

La restricci´on presupuestal no cambia y las condiciones de primer orden ser´ıan: 1. _∂C∂L₁ =U′₍_C 1)−λ= 0 2. _∂C∂L₂ = U′(C2) 1+θ − λ 1+r = 0 14

(34)

3. ∂L ∂λ =W1+ W2 1+r −C1− C2 1+r = 0

Que al ser organizadas nos permiten llegar a la expresi´on:

U′₍_C 1) U′₍_C 2) = 1 +r 1 +θ (6.13)

Esta última expresión que sólo se diferencia de (6.10) en el factor de des-cuento, describe los incentivos que tendrá el individuo para sustituir consumo presente o futuro de acuerdo con la interacción entre la tasa de interés y la tasa de descuento intertemporal. La tasa de descuento intertemporal es la tasa a la que el individuo quiere descontar la utilidad futura y la tasa de interés es la tasa a la que puede. Si la tasa a la que puede (r) es mayor a la tasa a la que quiere (θ) entonces seguramente tendrá incentivos para susti-tuir consumo presente por consumo futuro. A diferencia del caso 2 en el que la tasa de descuento intertemporal era igual a cero, ahora esta tasa podr´ıa anular el efecto de la tasa de interés.

6.5. Restricciones crediticias

El modelo de Fisher puede considerar otras variantes que hacen más rea-lista su descripción. Por ejemplo, podemos incluir el que los agentes enfrenten restricciones crediticias. Si los consumidores no tienen acceso al mercado de crédito, por asimetr´ıa de información o carencia de colaterales, no podrán financiar un consumo presente que exceda el ingreso del primer periodo.

Las personas que se enfrentan a restricciones crediticias son personas con bajos ingresos que no pueden acceder a un crédito en un banco o personas que han dejado de pagar sus obligaciones en el pasado y son castigados con la negación de nuevos créditos.

Esta consideraci´on ser´a capturada en el modelo dependiendo de dos esce-narios:

1. Cuando la restricci´on crediticia no es relevante. 2. Cuando la restricci´on crediticia s´ı es relevante.

El primer caso se da cuando la persona que enfrenta la restricci´on crediti-cia es un ahorrador. Esto significa que este individuo no estaba interesado en

(35)

Figura 22: Restricci´on presupuestaria con restricci´on crediticia relevante

pedir dinero prestado para financiar sus necesidades, por lo que su decisi´on de consumo no se va a ver afectada.

El segundo caso, se da si la decisión óptima de consumo, sin restricciones, hace que el individuo sea un prestatario. En este caso, la restricción crediticia evita que el individuo pueda consumir más que su ingreso del primer periodo, por lo tanto, la restricción crediticia s´ı es relevante y le costará al individuo en términos de utilidad. Podrá como máximo consumir su ingreso del primer periodo y no podrá suavizar su consumo tanto como esperaba. La figura 22 muestra las limitaciones en las posibilidades de consumo impuestas por la restricción crediticia.

Cuando las restricciones crediticas son relevantes, un aumento del ingreso presente será acompañado seguramente por un incremento del consumo del primer periodo. En esta situación el comportamiento del consumo será bas-tante parecido al que predice la función keynesiana de consumo con excepción de que la propensión marginal a consumir será igual a 1.

Claramente, las restricciones crediticias relevantes limitan las elecciones de un consumidor en un modelo intertemporal.

(36)

Para el caso colombiano, se ha encontrado evidencia emp´ırica que sopor-ta la influencia de las restricciones crediticias en las decisiones de consumo a largo plazo. Juan Nicolás Hernández comprueba en su trabajo del 2006 que en presencia de restricciones crediticias, la elasticidad del consumo al ingreso es mayor que en ausencia de dichas restricciones. Esto nos hace corroborar que para el caso colombiano, las restricciones crediticias hacen que los con-sumidores se comporten como lo predice la función keynesiana de consumo, impidiendo as´ı, que los individuos suavicen su consumo completamente. En ese trabajo, se toma como proxy de las restricciones crediticias las ventas y avances con tarjetas de crédito.

6.6. Tasa de colocaci´

on vs. tasa de captaci´

on

Aunque con frecuencia trabajamos con una sola tasa de interésr, si vamos a un banco a pedir un préstamo seguramente la tasa de interés sobre la cual nos van a prestar el dinero (tasa de colocación) es mucho más alta que la tasa de interés sobre la cual nos pagar´ıa ese mismo banco si depositamos nuestro dinero en una cuenta de ahorros (tasa de captación).

Recordemos que la pendiente de la restricción presupuestal es igual a (1 +r). Si la tasa de interés de pedir dinero prestado es mayor a la tasa de interés de prestarlo, la restricción presupuestal tomar´ıa la forma que se muestra en la figura 23.

Como nos muestra la gr´afica, en el segmento donde el ingreso del indivi-duo es menor a su consumo, es decir, cuando el indiviindivi-duo pide prestado, la pendiente de la restricci´on presupuestal es mayor que cuando el individuo es un ahorrador.

La restricción crediticia de la sección anterior puede verse como un caso particular en el que la tasa de interés de pedir prestado es infinita.

6.7. Modelo de Fisher para m´

as de dos periodos

Luego de haber entendido el análisis económico del modelo de Fisher para dos periodos podemos extenderlo para T periodos conservando el análisis discreto de las secciones anteriores.

(37)

Figura 23: Restricci´on presupuestaria con tasa de inter´es diferenciable

Consideremos una persona que desea planear su consumo para los perio-dos comprendiperio-dos entre 0 y T −1. Esta persona obtiene utilidad de acuerdo a la funci´on de utilidad: V = T−1 X t=0 U(Ct) (1 +θ)t (6.14)

Conservando los supuestos del modelo para dos periodos, esta persona em-pieza y termina su vida con activos igual a cero. Es decir, A0 = 0 y AT = 0.

Esto ´ultimo quiere decir que dicha persona gasta todos sus ingresos, incluidos sus activos acumulados, antes de morir. No deja herencias ni deudas.

Para construir la restricci´on presupuestal, miremos los activos en cada periodo de tiempo. En el periodo 1 los activos ser´an iguales a:

A1 = (1 +r)(W0−C0) (6.15)

Los activos en el periodo 2 ser´an iguales a:

(38)

Si continuamos hasta el periodo T, los activos del individuo estar´ıan dados por la siguiente ecuaci´on:

AT = (1 +r)(WT−1−CT−1) + (1 +r)2(WT−2−CT−2) +· · ·+ (1 +r)T(W0−C0)

(6.17) Donde AT debe ser igual a cero para satisfacer el supuesto de activos

iguales a cero al finalizar la vida.

Dividiendo ambos lados de la ecuaci´on (6.17) por (1 + r)T _{y teniendo en}

cuenta que AT = 0 tenemos que:

0 = WT−1−CT−1 (1 +r)T−1 +

WT−2−CT−2

(1 +r)T−2 +· · ·+ (W0−C0) (6.18)

Si expresamos la ecuaci´on (6.18) en sumatorias obtenemos que: 0 = T−1 X t=0 Wt−Ct (1 +r)t (6.19)

Podemos reorganizar los términos de la sumatoria para finalmente llegar a nuestra restricción presupuestal, que muestra, como esperábamos, que el valor presente de los ingresos es igual al valor presente de los consumos.

T−1 X t=0 Wt (1 +r)t = T−1 X t=0 Ct (1 +r)t (6.20)

Una vez tenemos la función de utilidad y la restricción presupuestal pro-cedemos a calcular los consumos óptimos.

L= T−1 X t=0 U(Ct) (1 +θ)t +λ "_T₋₁ X t=0 Wt−Ct (1 +r)t #

Las condiciones de primer orden en este ejercicio de T periodos ser´an calcu-ladas para dos periodos adyacentes: t y t+ 1.

1. ∂L ∂Ct = U′₍_Ct) (1+θ)t − λ (1+r)t = 0 2. _∂C∂L_t₊₁ = U′(Ct₊₁) (1+θ)t₊₁ − λ (1+r)t₊₁ = 0 3. ∂L_∂λ =PT−1 t=0 W t₋Ct (1+r)t = 0

(39)

Igualandoλencontramos la expresi´on que resume la condici´on de optimalidad del consumo. U′₍_C t)(1 +θ)t+1 U′₍_C_t₊₁_{)(1 +}_θ₎t = (1 +r)t+1 (1 +r)t (6.21) U′₍_C t) U′₍_C t+1) (1 +θ) = (1 +r) (6.22) U′₍_C t) U′₍_C t+1) = 1 +r 1 +θ (6.23)

La explicación económica de esta ecuación es idéntica a la utilizada para el modelo de Fisher de dos periodos.

6.7.1. Condici´on de optimalidad con una funci´on de utilidad CRRA

Si trabajamos con una funci´on de utilidad de la forma U(Ct) = lnCt

(CRRA conσ = 1), podemos obtener la condici´on de optimalidad, aplicando la ecuaci´on (6.23). 1 Ct 1 Ct+1 = 1 +r 1 +θ (6.24)

Reorganizando la ecuación obtenemos que la condición de optimalidad para este tipo de función de utilidad está dada por

Ct+1

Ct

= 1 +r

1 +θ (6.25)

Para la funci´on de utilidad CRRA conσ 6= 1 la ecuaci´on (6.23) ser´ıa igual a:

C−σ t C−σ t = 1 +r 1 +θ (6.26) Ct+1 Ct σ = 1 +r 1 +θ (6.27) Ct+1 Ct = 1 +r 1 +θ σ1 (6.28) En este caso, σ funciona como un parámetro que matiza las diferencias entre tasa de interés y tasa de descuento intertemporal. Este resultado no es sorprendente cuando recordamos que σmide la aversión al riesgo y explica la tendencia a suavizar el consumo que tiene el individuo. As´ır sea muy grande frente a θ un valor muy alto de σ ser´ıa suficiente para que Ct+1 sea muy

(40)

6.8. La restricci´

on presupuestal en tiempo continuo:

para generalizar el modelo de Fisher

La evoluci´on de los activos en el caso continuo est´a determinada por la

ecuaci´on diferencial lineal de primer orden:

dA(t)

dt = ˙A=rA(t) +w(t)−c(t) (6.29)

La forma general de este tipo de ecuaciones diferenciales es: ˙

x−A(t)x=b(t) donde x=x(t).

En el caso que estamos estudiando, a(t) es constante y corresponde a la tasa de interés. Aunque es posible también considerar la tasa de interés como una variable que depende del tiempo, trabajaremos por ahora el caso más sencillo.

La ecuaci´on puede ser re-escrita de la siguiente forma: ˙

A−rA(t) = w(t)−c(t) (6.30) Para solucionar esta ecuaci´on, utilizaremos el factor de descuento e−rt_{que es}

conocido como factor integrante. ˙

Ae−rt₋_rA₍_t₎_e−rt _{= [}_w₍_t₎₋_c₍_t_)]_e−rt _(6.31)

Puede observarse que el lado izquierdo de la ecuaci´on corresponde a dA(t_dt)e−rt, entonces,

dA(t)e−rt

dt = [w(t)−c(t)]e

−rt _(6.32)

Antes de integrar, vale la pena hacer un cambio de variable con el fin de evitar m´as adelante una confusi´on. Pensemos entonces que:

˙

F(s) =f(s). Podemos decir entonces que:

F(s) =F(0) +

Z t

0

(41)

Integrando y evaluando la integral en el intervalo [0, s] llegamos a:

A(s)e−rs₌_A_{(0) +} Z s

0

[w(t)−c(t)]e−rt_dt _(6.33)

donde A(0) es la constante de integraci´on.

Despejando A(s) y haciendo uso del supuesto de que los activos en el periodo 0 son 0, A(0) = 0:

A(s) =

Z s

0

[w(t)−c(t)]er(s−t)_dt _(6.34)

Ahora, si s=T, donde T es el periodo final:

A(T) =

Z T

0

[w(t)−c(t)]er(T−t)_dt _(6.35)

Pero adem´as, se sabe que A(T) = 0, ya que otro supuesto del modelo es que no se dejan activos (positivos o negativos) al final del periodo 15

Z T 0 w(t)er(T−t)_dt₌ Z T 0 c(t)er(T−t)_dt _(6.36)

Si dividimos ambos lados de la ecuaci´on porerT _{(en el caso discreto, dividimos}

por (1 +r)T _{llegamos a la expresi´on de la restricci´on presupuestal para el}

caso continuo donde el valor presente de todos los flujos de ingreso es igual al valor presente de todos los flujos de consumo.

Z T 0 w(t)e−rt_dt₌ Z T 0 c(t)e−rt_dt _(6.37)

6.9. Tasa de crecimiento del consumo usando la

fun-ci´

on de utilidad CRRA

Una vez definida la restricci´on presupuestal para el caso continuo revise-mos ahora la tasa de crecimiento del consumo (caso continuo) si trabajarevise-mos con una funci´on de utilidad CRRA.

15

Este supuesto es consistente con la función de utilidad utilizada en el modelo de Fisher. No hay razones por la cuales un agente racional deje de consumir por completo sus activos. Las herencias, por ejemplo, no generan utilidad. Además, debido a la restricción presupuestaria, el agente (representativo) no puede consumir más que el total de sus activos, dejando as´ı deudas.

(42)

Empecemos por definir la tasa de crecimiento del consumo ˙ C C = l´ım∆t→0 Ct_+∆t₋Ct ∆t C (6.38) ˙ C C = l´ım∆t→0 Ct+∆t Ct −1 ∆t (6.39) donde Ct+∆t Ct = " 1 +r 1 +θ ∆t# 1 σ (6.40) Esta última expresión puede ser obtenida de la condición de optimalidad del modelo de Fisher para más de dos periodos cuando solucionamos el lagran-giano para los periodos adyacentes t y t+ ∆t.

Teniendo en cuenta que para valores peque˜nos de x, ln(1 + x) ≃ x o alternativamente 1+x≃ex_{podemos reescribir la ecuaci´on (6.40) (asumiendo}

valores peque˜nos para r y θ).

Ct+∆t Ct = " er eθ ∆t# 1 σ (6.41) reorganizando los t´erminos tenemos que

Ct+∆t

Ct

=e(r−σθ)∆t (6.42)

Si reemplazamos la anterior ecuaci´on en la ecuaci´on (6.39), obtenemos que ˙

C

C = l´ım∆t→0

e(r−σθ)∆t −1

∆t (6.43)

Al pretender calcular el l´ımite nos encontramos con una expresi´on 0₀. Apli-cando la regla de L’Hospital, obtenemos:

˙ C C = l´ım∆t→0 e(r−σθ)∆tr−θ σ 1 (6.44)

Si evaluamos lo anterior cuando ∆t → 0 obtenemos finalmente la tasa de crecimiento del consumo dada por la siguiente ecuaci´on

˙

C

C =

1

(43)

La tasa a la que el consumo crece o decrece depende de la diferencia entre r y θ.

Por otra parte,σ, el par´ametro que mide la curvatura de la funci´on de utili-dad, matiza la tasa de crecimiento del consumo.

Ver ejercicios del 3 al 14 de la secci´on 9.

7. Hip´

otesis del Ingreso Permanente

Este modelo fue desarrollado por el premio nobel de econom´ıa Milton Friedman. La clave es la descomposici´on del ingreso en dos componentes: el ingreso permanente y el ingreso transitorio.

Y =YP +YT (7.1)

donde YP representa el ingreso permanente y YT representa el ingreso

tran-sitorio.

El ingreso permanente, como su nombre lo indica, es la parte del ingreso que persiste a lo largo de toda la vida. El ingreso transitorio es un componente inesperado del ingreso. Un ejemplo del ingreso permanente es el salario que gana un empleado por su trabajo. Un ejemplo de ingreso transitorio es el ingreso que recibe una persona cuando gana la loter´ıa.

El argumento principal de Friedman es que el consumo es una funci´on que depende fundamentalmente del ingreso permanente y no del ingreso transito-rio. Esto no significa que los individuos no consuman su ingreso transitorio, significa que cambios en el comportamiento del consumo ser´an fundamen-talmente explicados por cambios en el ingreso permanente. Por lo tanto, se asume que el consumo no responde significativamente ante cambios en el ingreso en el corto plazo.

Dado este razonamiento, una funci´on de consumo que logra expresar las ideas de Friedman es

C =αYP (7.2)

donde α representa la proporci´on del ingreso permanente que es dedicada al consumo. Llevando al extremo la ecuaci´on (7.2) (α= 1) tenemos:

(44)

Tal como se plantea en Romer (2001) miremos qu´e ocurre si especificamos una regresi´on lineal en la que el consumo es la variable dependiente y el ingreso corriente es la variable explicativa. Este ingreso corriente es el que puede ser descompuesto en transitorio y permanente.

Ci=a+bYi+ei (7.4)

El ingreso transitorio será definido como las desviaciones del ingreso perma-nente respecto a su media suponiendo que el valor esperado de estas desvia-ciones es igual a cero. As´ı mismo, supongamos que el ingreso permanente y el ingreso transitorio no están correlacionados. Este supuesto también es bas-tante intuitivo ya que por ejemplo, el hecho de ganarse la loter´ıa, no depende en absoluto del salario recibido mensualmente.

Volviendo a nuestra regresión del consumo, podemos darnos cuenta que la regresión está hecha sobre una sola variable, en este caso, el ingreso corriente. Por lo tanto, el estimador deb, es decir, del coeficiente de la variable indepen-diente es igual al cociente entre la covarianza de las variables indepenindepen-diente y dependiente y la varianza de la variable independiente.

ˆ

b = Cov(Y, C)

V ar(Y) (7.5)

Como el ingreso corriente es igual al ingreso permanente m´as el ingreso tran-sitorio, reemplazamos esa condici´on tanto en el numerador como en el deno-minador.

ˆ_b₌ Cov(YP +YT, C)

V ar(YP +YT)

(7.6) Recordemos tambi´en que definimos el consumo como una funci´on del ingre-so permanente, de tal forma que C = YP. Por lo tanto, al reemplazar esa

expresi´on en (7.6) obtenemos: ˆ

b = Cov(YP +YT, YP)

V ar(YP +YT)

(7.7) El numerador de (7.7) puede ser reescrito teniendo presente la definici´on de covarianza.

(45)

Multiplicando y teniendo en cuenta el supuesto ¯YT = 0 obtenemos lo

siguien-te:

Cov(YP +YT, YP) =E[YP2−2YPY¯P + ¯Y_P2] (7.9)

que es igual a

Cov(YP +YT, YP) =E[(YP −Y¯P)2] =V ar[YP] (7.10)

por lo tanto podemos reescribir la ecuaci´on (7.7) como: ˆ_b₌ V ar(YP)

V ar(YP) +V ar(YT)

(7.11) Como nos damos cuenta, usando los supuestos de la teor´ıa de ingreso perma-nente, la pendiente de la funci´on estimada de consumo, es decir, ˆb, depende de la variaci´on relativa del ingreso permanente y del transitorio. Intuitiva-mente podemos interpretar este resultado de la siguiente manera: ya que ˆb

representa en cuánto cambia el consumo cuando cambia el ingreso corrien-te, un aumento en el ingreso corriente irá acompañado de un aumento en el consumo únicamente cuando la variación del ingreso permanente sea más grande en relación con la del ingreso transitorio.

As´ı mismo, vemos que si la variación del ingreso transitorio es bastante alta en relación con la variación del ingreso permanente, el coeficiente esti-mado de la pendiente se hará más pequeño, es decir, cambios en la renta corriente no cambiarán en gran medida el consumo, pues éstos no fueron acompañados de grandes cambios en el ingreso permanente.

Volviendo a nuestra regresi´on, tambi´en es importante que estimemos la cons-tante del modelo, la cual puede ser calculada de la siguiente manera:

ˆ

a= ¯C−ˆbY¯ (7.12) Dado que el consumo es igual al ingreso permanente, la media del consumo es igual a la media del ingreso permanente. De igual manera, dado que el ingreso corriente es igual al ingreso permanente m´as el ingreso transitorio, la media del ingreso corriente es igual a la media del ingreso permanente m´as la media del ingreso transitorio.

ˆ

(46)

Por ´ultimo, recordemos que la media del ingreso transitorio es igual a cero, por lo que la constante estimada de nuestra regresi´on es igual a:

ˆ

a= (1−ˆb) ¯YP (7.14)

Analicemos algunos casos de acuerdo con la regresi´on (7.4).

Consideremos primero la econom´ıa de un hogar expuesta fuertemente a un evento inesperado. El ingreso corriente de los hogares depende de muchos factores inesperados, por ejemplo, el desempleo. En este caso el componente transitorio puede ser relativamente más importante que el componente per-manente. Entonces el coeficiente estimado de la pendiente de la función de consumo será menor a 1, ya que las variaciones del ingreso transitorio son mucho más grandes en relación con las variaciones del ingreso permanente. De esta manera, la constante estimada de nuestra regresión va a ser mayor que cero y la gráfica de la función estimada de consumo se verá como lo muestra la figura 24.

Figura 24: Funci´on estimada de consumo para econom´ıas dom´esticas

Si analizamos ahora el caso de una econom´ıa nacional en el largo plazo, es de esperarse que las variaciones del ingreso transitorio no tengan tanta importancia como en el caso de las econom´ıas dom´esticas en el corto plazo. En una econom´ıa nacional, los cambios en el ingreso corriente se deben sus-tancialmente a cambios en el ingreso permanente, es decir, a cambios en la

(47)

cantidad de recursos, capital o capacidad productiva que posee la econom´ıa. En el largo plazo, los cambios en el ingreso transitorio tienen relativamente poca importancia. Por lo tanto, nuestro coeficiente estimado de la pendien-te de la función de consumo va estar muy cercano a la unidad, ya que la variación del ingreso transitorio se aproximará a cero. De esta manera, la constante estimada de la regresión se aproximará a cero y la función de con-sumo estimada se verá como lo muestra la figura 25.

Figura 25: Funci´on estimada de consumo para econom´ıas nacionales

Emp´ıricamente si la regresi´on (7.4) est´a bien especificada el estimador ˆ

b nos permitirá analizar si el consumo se encuentra más determinado por choques permanentes o choques transitorios. Además, la constante â nos permite encontrar diferencias en el nivel de consumo para distintos grupos poblacionales. El ejemplo de Romer (2001) sobre blancos y negros se refiere precisamente a este coeficiente. Aunque el valor de ˆb puede ser similar para ambos grupos el valor de â para los blancos es usualmente más alto. Esto significa que la pendiente es la misma mientras que los niveles de consumo son diferentes. (Ver figura 26).

Vale la pena aclarar que todas las posibilidades mostradas por la regresión (7.4) no se refieren a la hipótesis de ingreso permanente. La hipótesis de ingreso permanente sólo se cumple cuando ˆb es muy cercano a 1.

(48)

Figura 26: Funci´on estimada de consumo para blancos y negros

8. Modelo del ciclo vital

El modelo basado en la Hipótesis de Ciclo Vital de Franco Modigliani, premio Nobel en 1985, es el último de los modelos que presentaremos en estos apuntes. Al igual que el modelo de Fisher y el de Ingreso Permanente, la Hipótesis de Ciclo Vital parte del supuesto de que los agentes deciden intertemporalmente su consumo y además que desean suavizarlo, supuesto compatible con las funciones de utilidad que hemos considerado en nuestros análisis previos.

Si suponemos, por sencillez, que la tasa de inter´es es igual a la tasa de descuento intertemporal, entonces nuestro agente representativo suaviza per-fectamente su consumo a lo largo del tiempo. La gr´afica del consumo en el tiempo ser´ıa como se describe en la figura 27.

Vamos a suponer que el ingreso crece de acuerdo con una funci´on lineal desde el momento en que el individuo nace hasta que se retira. (Figura 28).

De esta manera, hay un momento de la vida en la que el ingreso es superior al consumo y por lo tanto el individuo ahorra y dos momentos en los que desahorra: al comenzar su vida y en su vejez. (Figura 29).

(49)

Figura 27: El consumo en el ciclo de vida

Figura 28: El ingreso en el ciclo de vida

la vida sean iguales a cero.

T X t=0 Ct (1 +r)t = T X t=0 Wt (1 +r)t (8.1)

Nuevamente, como en los otros modelos presentados en estos apuntes, el ahorro es la clave para que el individuo pueda suavizar su consumo. Los

(50)

Figura 29: El ahorro en el ciclo de vida

niveles de ahorro ser´an iguales a los niveles de desahorro de este agente econ´omico.

Aunque las conclusiones son similares a las de los otros modelos, la iden-tificación del ciclo de vida por parte de Modigliani, permite identificar cuál es el nivel de ahorro de una persona de acuerdo con su edad o el momento del ciclo de vida en el que se encuentre. Por ejemplo, para un pa´ıs cuya población es en promedio bastante joven, se esperar´ıan tasas de ahorro más altas que para un pa´ıs cuya población es relativamente más vieja, ceteris paribus.

Sin embargo, para el caso colombiano, no se ha encontrado evidencia emp´ırica que soporte la hipótesis del ciclo de vida. En el trabajo realiza-do por Melo, Zárate y Téllez (2006) se realiza un análisis microeconómico de corto plazo, en el que se estudian los perfiles de ingreso, gasto total y ahorro para diferentes generaciones, simulando as´ı el ciclo vital. Al final, el trabajo sugiere que la hipótesis del ciclo de vida no se ajusta para el caso colombiano. Según los autores, este resultado puede estar comprometido por “las diferentes preferencias y oportunidades que tienen los hogares, los cam-bios demográficos y el desarrollo de los sistemas de seguridad social y de los mercados de capitales”.

Además del análisis de corto plazo realizado en el trabajo citado anterior-mente, se realiza un análisis de largo plazo, que busca precisar cuáles son los

(51)

principales determinantes de la tasa de ahorro para el caso colombiano. La econometr´ıa practicada por Melo, Zárate y Téllez (2006) es otro ejemplo de la utilización de los modelos básicos con algunas adaptaciones que introducen el efecto de otras variables explicativas. En este trabajo los autores estable-cen como determinantes de la tasa de ahorro el PIB per cápita, los términos de intercambio, los impuestos directos como porcentaje del PIB y M2 como porcentaje del PIB. De este grupo de variables son novedosas los términos de intercambio y M2 como porcentajes del PIB. Respecto a los términos de intercambio, los autores encuentran una relación positiva que justifican haciendo uso del efecto Harberger-Laursen-Metzler, que plantea que “un me-joramiento de los términos de intercambio afectar´ıa positivamente el ahorro y mejorar´ıa la cuenta corriente”16_{. En el caso de M2 como porcentaje del PIB,}

proxy de profundización del sistema financiero, el efecto de la regresión no fue el esperado. La relación negativa entre M2 y la tasa de ahorro, sugiere según los autores que la mayor intermediación ha favorecido el acceso al crédito de los hogares en lugar de estimular el ahorro. Los resultados econométricos también estiman que la elasticidad de la tasa de ahorro al PIB per cápita oscila entre 0.40 por ciento y 1.83 por ciento.

Ver ejercicio 15 de la secci´on 9.

9. Ejercicios propuestos

En esta secci´on, encontrar´an ejercicios de repaso de cada uno de los temas que estudiamos en estas notas de clase.

1. Usted tiene la siguiente informaci´on de la familia Batman:

Ingreso disponible Gasto en consumo (dólares por año) (dólares por año)

0 5.000 10.000 10.000 20.000 15.000 30.000 20.000 40.000 25.000 16