Apuntes de Mecánica de Fluidos

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Apuntes de Mec´

anica de Fluidos

Jos´

e Roberto Zenit Camacho

Instituto de Investigaciones en Materiales

Universidad Nacional Aut´onoma de M´exico

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Motivaci´

on

Me resulta dif´ıcil de entender porqué la Mecánica de Fluidos no es un tema ‘popular’ en las carreras de ingenier´ıa o f´ısica. El movimiento de fluidos está en todas partes. Es important´ısimo para una gran variedad de aplicaciones prácticas, sistemas biológicos y fenómenos naturales. Con estos apuntes busco acercar a los alumnos al tema.

Tener estos apuntes hace que la impartición de las clases Mecánica de Fluidos sea mas fácil para el instructor.

Con los apuntes es muy sencillo planear la distribuci´on de clases a lo largo del semestre.

A la par de las notas, planeo crear una base de datos de tareas, ejercicios y ex´amenes.

De manera similar, planeo crear una base de datos de ligas a fuentes de internet con material multimedia de diferentes temas de los cursos. Los apuntes están basados en varios libros clásicos [Por ejemplio Fox et al., 2003, White, 2008] pero son en general una visión personal de como se debe de ensañar la materia.

En los apuntes aparece texto con una fuente tipo: MMFM:Bondary layers. ´

Este se refiere a secciones del software multimedia de Homsy et al. [2009].

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´Indice general

´Indice general 1

1. Introducci´on 9

1.1. ¿Porqu´e Mec´anica de Fluidos? . . . 9

1.1.1. Mec´anica Cl´asica . . . 9

1.1.2. ¿Mec´anica no-Cl´asica? . . . 10

1.1.3. Estado Fluido . . . 10

1.1.4. Propiedades de un fluido . . . 12

1.1.5. Mec´anica de cuerpo r´ıgido . . . 15

1.1.6. Mec´anica de cuerpo fluido . . . 15

1.1.7. Enfoque integral . . . 16

1.2. Recuento Hist´orico de la Mec´anica de Fluidos . . . 17

2. Ecuaciones de movimiento 21 2.1. Cinemática . . . 22 2.1.1. Derivada material . . . 23 2.1.2. Velocidad y aceleración . . . 25 2.1.3. Campo de esfuerzos . . . 26 2.2. Leyes de conservación . . . 29 2.2.1. Conservación de masa . . . 29

2.2.2. Ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal . . . 34

2.2.3. Ecuaci´on de conservaci´on de energ´ıa . . . 37

2.3. Relaci´on constitutiva . . . 39 1

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2 ´INDICE GENERAL

2.4. Ecuaciones de Navier Stokes . . . 41

2.4.1. Ecuaciones de N-S para flujo incompresible . . . 42

2.4.2. Condiciones de contorno . . . 44 2.4.3. Casos especiales . . . 45 3. Hidrost´atica 49 3.1. Aplicaciones . . . 50 3.1.1. Vasos comunicantes . . . 50 3.1.2. Bar´ometro . . . 51

3.1.3. Man´ometro (Diferencia de presiones) . . . 52

3.1.4. Prensa hidr´aulica . . . 53

3.2. Presi´on hidrost´atica para un fluido compresible . . . 53

3.2.1. Liquidos . . . 54

3.2.2. Gases . . . 54

3.3. Fuerzas sobre superficies sumergidas . . . 55

3.3.1. Superficies planas . . . 55

3.3.2. Fuerza hidrost´atica sobre superficies curvas sumergidas 57 3.4. Fuerzas en objetos sumergidos . . . 58

3.4.1. Fuerza de flotaci´on, principio de Arqu´ımedes . . . 58

3.5. Fluidos con movimiento de cuerpo r´ıgido . . . 60

3.5.1. Ejemplo . . . 60 4. Ecuación de Bernoulli 63 4.1. Ecuación de Bernoulli . . . 63 4.2. Aplicaciones . . . 65 4.2.1. Descarga de un orificio . . . 65 4.2.2. Tubo de Pitot . . . 66 4.2.3. Sifón . . . 67 4.3. Flujo en tuber´ıas . . . 69

4.3.1. Soluci´on del flujo en una tuber´ıa circular usando Ber-noulli . . . 70

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´INDICE GENERAL 3

4.4. Una ecuaci´on de Bernoulli modificada . . . 74

4.4.1. P´erdidas mayores . . . 75

4.4.2. P´erdidas Menores . . . 77

4.5. Soluci´on de problemas de flujo en tuber´ıas . . . 79

4.5.1. Ecuaci´on general de flujo en tuber´ıas . . . 80

4.5.2. Bombas . . . 83

4.5.3. Redes de tuber´ıas . . . 84

4.5.4. Tuber´ıas de secci´on no-circular . . . 84

5. An´alisis de Volumen de Control 87 5.1. Definiciones b´asicas: sistema y volumen de control . . . 87

5.2. Ecuaciones de conservaci´on para un sistema . . . 88

5.3. Teorema de Trasporte de Reynolds . . . 90

5.4. Ecuaci´on de conservaci´on de masa . . . 94

5.4.1. Casos especiales . . . 94

5.4.2. Ejemplos . . . 95

5.5. Ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal . . . 95

5.5.1. Algunas observaciones . . . 96

5.5.2. Ejemplos . . . 97

5.6. An´alisis para un VC que se mueve a una velocidad constante . 97 5.6.1. Ejemplos . . . 98

5.7. Conservaci´on de momentum para un VC con aceleraci´on rec-til´ınea . . . 98

5.7.1. Ejemplos . . . 99

5.8. Primera ley de la termodin´amica . . . 99

5.8.1. Ejemplos . . . 100

6. Escalamiento y an´alisis dimensional 101 6.1. Introducci´on . . . 101

6.2. An´alisis Dimensional . . . 104

6.2.1. Dimensión de una variable f´ısica y Función Dimensión 104 6.2.2. Cantidades con dimensiones independientes . . . 107

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6.3. An´alisis Dimensional . . . 108

6.3.1. Homogeneidad Generalizada . . . 108

6.3.2. Teorema Π . . . 109

6.3.3. Ejemplos . . . 110

6.4. M´etodo de variables repetidas . . . 114

6.4.1. Algortimo del MVP . . . 115

6.5. Ecuaciones de Conservaci´on en Forma Adimensional . . . 119

6.5.1. N´umeros adimensionales relevantes en Mec´anica de Flui-dos . . . 120

6.6. Teor´ıa de Modelos y Similaridad . . . 122

6.6.1. Similaridad . . . 122

6.6.2. Teor´ıa de Modelos . . . 123

7. Flujo Viscoso: Soluciones Exactas a NS 127 7.1. Soluciones exactas a Navier-Stokes . . . 127

7.1.1. Flujo de corte simple o de Couette . . . 128

7.1.2. Flujo en una tuber´ıa o de Poiseuille . . . 131

7.1.3. Pel´ıcula de fluido que escurre sobre una pared inclinada 134 7.1.4. Otros problemas unidireccionales estacionarios . . . 137

7.1.5. Flujos no-estacionarios . . . 146

8. Flujo Viscoso: Capa l´ımite 155 8.1. Teor´ıa de capa l´ımite . . . 155

8.1.1. Ecuaciones de capa l´ımite laminar . . . 156

8.1.2. Soluci´on de Blasius . . . 162

8.1.3. Flujo de Falkner-Skan . . . 167

8.1.4. Forma integral de las ecuaciones de capa l´ımite . . . . 171

9. Flujo irrotacional ideal 177 9.1. Ecuaciones de Euler . . . 177

9.2. Ecuaci´on de Bernoulli . . . 178

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ÍNDICE GENERAL 5 9.3. Flujo potencial . . . 180 9.3.1. Vorticidad e irrotacionalidad . . . 180 9.3.2. Técnicas de solución . . . 182 9.3.3. Función de corriente . . . 183 9.4. Soluciones elementales en 2-D . . . 185 9.4.1. Superposición de soluciones . . . 190

9.4.2. Flujo alrededor de un cilindro . . . 201

9.4.3. M´etodo de im´agenes . . . 207

10.Turbulencia 209 10.1. Introducci´on . . . 209

10.2. Experimento de Reynolds . . . 210

10.3. Descripci´on f´ısica de la turbulencia . . . 212

10.4. Estabilidad y origen de la turbulencia . . . 213

10.4.1. Teor´ıa de la estabilidad . . . 214 10.4.2. Desarrollo de la turbulencia . . . 216 10.5. Turbulencia desarrollada . . . 218 10.5.1. Descomposición de Reynolds . . . 218 10.6. Ecuaciones de Conservación . . . 220 10.6.1. Conservación de masa . . . 220 10.6.2. Conservación de momentum . . . 221

10.6.3. Modelos emp´ıricos para turbulencia . . . 223

10.7. Capa limite turbulenta . . . 226

10.7.1. Estructura de un flujo turbulento . . . 227

10.7.2. Flujo de Couette turbulento . . . 228

10.8. Capa limite, forma integral . . . 232

10.9. Flujo turbulento en tuber´ıas . . . 235

11.Fuerzas hidrodin´amicas: arrastre y sustentaci´on 239 11.1. Flujo alrededor de objetos . . . 239

11.1.1. Fuerza de arrastre . . . 242

(10)

11.1.3. Perfiles aerodin´amicos . . . 251

11.1.4. Fuerza de sustentaci´on . . . 252

12.Flujo compresible 257 12.1. Repaso de termodin´amica de gases ideales . . . 258

12.2. Propagación de una perturbación pequeña de presión . . . 262

12.2.1. Emisi´on s´onica y tipos de flujo . . . 264

12.3. Flujo compresible unidimensional estacionario . . . 268

12.4. Relaciones para flujo isentr´opico de un gas ideal . . . 271

12.4.1. Propiedades isentr´opicas de estancamiento . . . 272

12.4.2. Propiedades s´onicas . . . 273

12.5. Flujos con cambio de ´area . . . 275

12.6. Tobera convergente-divergente . . . 277

12.7. Flujo ahogado . . . 278

12.8. Otros temas de inter´es en flujo compresible . . . 281

A. Repaso de algunos conceptos ´utiles de c´alculo vectorial 283 A.0.1. Funciones Escalares y Vectoriales . . . 283

A.0.2. Funciones . . . 286

A.0.3. Transformaci´on lineal . . . 286

A.0.4. Mas sobre funciones vectoriales . . . 294

A.0.5. Integrales de l´ınea . . . 301

A.0.6. Integrales de superficie . . . 302

A.0.7. Integrales de volumen . . . 303

A.0.8. Teorema de Divergencia . . . 305

A.0.9. Teorema de Green . . . 306

B. Series de ejercicios 309

C. Ecuaciones de conservaci´on 311

(11)

´INDICE GENERAL 7

(12)

(13)

Cap´ıtulo 1

Introducci´

on

1.1. ¿Porqu´

e Mec´

anica de Fluidos?

Como estudiantes de licenciatura rara vez nos preguntamos porque de-bemos tomar ciertas materias. Uno, como estudiante, no es capaz de cues-tionarse la razón fundamental de tener que someterse a ciertos cursos. En muchos casos es obvio: se toman clases de humanidades porque uno debe de saber otras cosas además de los temas técnicos; uno debe tomar clases de matemáticas porque todo el lenguaje técnico está en términos de modelos matemáticos que predicen el comportamiento de sistemas.

1.1.1. Mec´

anica Cl´

asica

1 Parte de la F´ısica que trata del equilibrio y del movimiento de los cuerpos sometidos a cualesquiera fuerzas. Se divide en tres sub-´areas:

Est´atica Cinem´atica

Din´amica. Estudia el movimiento en relaci´on con las fuerzas que lo producen.

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10 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ´ON

La mecánica clásica es la ciencia que estudia las leyes del comportamiento de cuerpos f´ısicos macroscópicos en reposo y a velocidades pequeñas compa-radas con la velocidad de la luz.

La ley fundamental de la mec´anica cl´asica es: ~

F = d

dt(m~v) (1.1)

donde m es la masa de cuerpo (r´ıgido) y ~v es su velocidad. ~F es la fuerza aplicada al cuerpo.

1.1.2. ¿Mec´

anica no-Cl´

asica?

Si existe un término llamado mecánica clásica, forzosamente debe de exis-tir algo llamado mecánica no-clásica ¿no? Si los cuerpo no son macroscópicos entonces se estudian con mecánica cuántica. Si los cuerpos se mueve a una velocidad comparable a la de la luz entonces se estudian con mecánica re-lativista. Nada de eso se ve en este curso.

1.1.3. Estado Fluido

El primer gran cambio que se debe considerar es dejar atr´as la conside-raci´on de cuerpo r´ıgido.

¿La ecuación es aplicable si el cuerpo no es r´ıgido? Deformación y Deformación Continua

Deformaci´on ∼ F A = τ

Deformaci´on continua. Forma del bloque de fluido cambia para diferentes instantes de tiempo.

(15)

1.1. ¿PORQU ´E MEC ´ANICA DE FLUIDOS? 11 F t=0 t=1 t=2 t=3 fluido

Figura 1.1: Fluido en deformación cortante. Fluidos viscosos y sólidos elásticos

Existen varias definiciones de fluido. La mayor´ıa son fenomenol´ogicas: 1 Substancia que se deforma continuamente a ser sometida a un esfuerzo

cortante (tangencial) sin importar que tan peque˜no sea.

2 Cuerpo cuyas moléculas cambias su posición relativa con facilidad. Ningu-na o poca cohesión entre moléculas.

3 Material que toma la forma del recipiente que lo contiene.

F

Figura 1.2: S´olido en deformaci´on cortante.

La definici´on formal de fluido que aceptaremos en este curso es: Un fluido es aquel material que se deforma de manera continua bajo la acci´on de un esfuerzo cortante.

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1.1.4. Propiedades de un fluido

Densidad

La densidad es un magnitud escalar que mide la cantidad de masa por unidad de volumen:

ρ = m

V (1.2)

donde m es la masa y V es el volumen.

La densidad tiene dimensiones [ML−3_{]. Esta notaci´on se usar´a a lo largo}

de las notas. Sus unidades en SI son kg/m3_.

La densidad puede cambiar como función de la temperatura, T , de la presión, P . En general, la densidad aumenta con la presión y disminuye con la temperatura. Obvio, hay excepciones (agua-hielo).

∂ρ

∂T ≤ 0 (1.3)

∂ρ

∂P ≥ 0 (1.4)

Ejemplo: ley de gas ideal

ρ = P

RT (1.5)

donde R es la constante del gas.

Una propiedad relacionada con la densidad es el peso espec´ıfico, δ = ρg. Mide el peso por unidad de volumen. En general, no hacemos distinci´on entre masa y peso. Esto es debido a que g es casi siempre constante.

Viscosidad

La viscosidad es una magnitud escalar que mide la oposici´on que presenta un fluido a fluir. Surge de la naturaleza molecular del l´ıquido; mide a afini-dad que tienen las mol´eculas a permanecer juntas. A mayor afiniafini-dad, mayor resistencia a fluir.

La definición formal de viscosidad se dará mas adelante (es la constante de proporcionalidad entre esfuerzo cortante y rapidez de deformación).

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1.1. ¿PORQU É MEC ÁNICA DE FLUIDOS? 13 Cuadro 1.1: Valores t´ıpicos de densidad de materiales comunes, a condiciones estandar. fluido ρ, kg/m3_. agua destilada 1000.0 gasolina 680.0 petroleo 800.0 etanol 810.0 sangre 1600.0 a 1800.0 mercurio 13580.0 aire 1.2 hidrógeno 0.1 dioxido de carbono 1.9 hule espuma 20.0 a 500.0 Tierra (planeta) 5540.0 Jupiter (planeta) 1330.0 Sol (estella) 1410.0 Estrella de neutrones _6×1017 Universo _1×10−26

La viscosidad solo se manifiesta cuando hay flujo. De otra manera, no es posible saber su valor. La manera mas directa de explicarla es considerando un flujo cortante simple. A ˜NADIR FIGURA.

Fr = µA

U

H (1.6)

donde Fres la fuerza cortante (fuerza de resistencia), A es el ´area de contacto,

U es la velocidad a la que se desplaza la placa superior y H es la distancia entre las placas. La expresi´on anterior se puede re-escribir de la siguiente manera:

τxy = µ

∂u

∂y (1.7)

donde µ es la viscosidad din´amica del liquido.

(18)

Cuadro 1.2: Valores t´ıpicos de viscosidad de fluidos comunes, a condiciones est´andar. fluido µ, Pa s. ν, m2_/s agua destilada _1.0×10−3 _1.0×10−6 miel 2 a 10 1.4 a 7.1 gasolina _{6.0 ×10}−3 _{8.8 ×10}−6 etanol _1.1×10−3 _1.4×10−6 sangre _{3.5 ×10}−3 _2.1×10−6 mercurio _1.5×10−3 _1.1×10−7 aire _18.3×10−6 _15.3×10−6 hidr´ogeno _8.8×10−6 _9.8×10−7 dioxido de carbono 14.8×10−6 _7.5×10−6 vidrio _1×1017 _4×1015 manto terrestre _1×1024 _4×1022

Existe otra medida de viscosidad, llamada viscosidad cinem´atica, ν, que se define como: ν = µ/ρ. Esta tiene dimensiones [L2_T−1_{] y sus unidades en}

SI son m2_/s.

Cuando un l´ıquido tiene una viscosidad constante, se dice que es newto-niano.

Tensi´on superficial

La tensión superficial es la propiedad de la interfaz entre dos fluidos que mide que tan diferentes son. Mide la es la fuerza que actúa tangencialmen-te por unidad de longitud en el borde de una superficie de un l´ıquido en equilibrio. Si mide la tensión entre un liquido y el aire se denomina tensión superficial; si mide la tensión entre dos l´ıquidos (o dos fluidos) se denomina tensión interfacial. A ÑADIR FIGURA.

La tensi´on superficial tiene dimensiones [F L−1_{]. Sus unidades en SI son}

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1.1. ¿PORQU É MEC ÁNICA DE FLUIDOS? 15 Cuadro 1.3: Valores t´ıpicos de tensión superficial de l´ıquidos comunes, a con-diciones estándar. fluido σ, N/m. agua destilada 0.072 etanol 0.022 mercurio 0.485 aceite 0.012 helio liquido _{3.7 ×10}−4

1.1.5. Mec´

anica de cuerpo r´ıgido

En el esquema original de mecánica clásica ten´ıamos un objeto r´ıgido y de tamaño finito.

~ F = d

dt(m~v) (1.8)

Esta ecuaci´on sigue siempre a la misma masa m. Todas las part´ıculas que conforman a la masa m se mueven a la misma velocidad. Es una ecuaci´on diferencial ordinaria de primer orden ¿se puede resolver?

¿Esta ecuaci´on es aplicable si el cuerpo es continuo? No.

1.1.6. Mec´

anica de cuerpo fluido

Cuando estudiamos un flujo, el objeto no es r´ıgido (obvio) y su tamaño es infinito (si no, al menos es muy grande). Entonces, el lugar de m consideramos ρ = m/V . Además, la velocidad de las part´ıculas del material fluido no es la misma para toda la masa: ~v = f (~x, t), dependen de la posición ~x y del tiempo.

La otra gran diferencia es que en vez de seguir a cada part´ıcula del medio, medimos la aceleración (o mas bien, cambio de momentum) de un cierto punto por donde pasa el flujo. Esta cambio de manera de describir la mecánica del sistema tiene consecuencias importantes, las cuales se discutirán en el cap´ıtulo siguiente.

(20)

Enfoque diferencial

Le segunda ley de Newton para un fluido simple es: −∇P + µ∇2~v + ρ~g = ρ ∂~v

∂t + (~v · ∇) ~v

(1.9) Si se resuelve nos puede dar la velocidad del flujo ~v en cada punto en el espacio. Es una ecuaci´on diferencial parcial no-lineal de segundo orden ¿se puede resolver?

1.1.7. Enfoque integral

La ecuaci´on (1.9) se puede escribir de manera alternativa, considerando un volumen de control:

L

Lo que resulta en: ~ Fvol+ ~Fsup= ∂ ∂t Z vol ρ~vdV + Z supρ~v(~v · ~ dA) (1.10) Los detalles del movimiento del fluido dentro del volumen de control no se resuelven. Solo obtenemos una descripci´on global.

(21)

1.2. RECUENTO HIST ´ORICO DE LA MEC ´ANICA DE FLUIDOS 17

1.2. Recuento Hist´

orico de la Mec´

anica de

Fluidos

Antes 300 A.C. Conocimientos emp´ıricos aislados 384 A.C. , Arist´oteles

• Leyes b´asicas de la mec´anica. Conceptos sobre vac´ıo, peso, estado natural, medio continuo

• Civilizaci´on griega

• Civilizaciones Olmeca y Teotihuacana 287 A.C. , Arqu´ımedes

• Hidrostática, flotación, concepto de presión, bomba de tornillo Hero de Alexandr´ıa, 300 A.C. aprox.

• primer ingeniero, m´aquina de vapor Edad Media (400 D.C. al siglo XV)

• No hubo avances en M.F.

• En M´exico, per´ıodo cl´asico, Mayas 1425-1519, Leonardo da Vinci

• Filosof´ıa, anatom´ıa, ´optica, ac´ustica. Ingenier´ıa de caminos, ca-nales y puentes. Dibujos de olas y flujos, Concepto intuitivo de continuidad y de arrastre.

• Renacimiento

• Per´ıodo poscl´asico, Aztecas, Conquista 1565- 1642, Galileo Galilei

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• Fundamentos de din´amica general (diferente a lo originalmente propuesto por Arist´oteles). Conceptos de inercia, momentum. Pro-porcionalidad entre fuerza y cambio de momentum.

• Renacimiento

• Conquista y ´Epoca Colonial. 1608- 1647, Evangelista Torricelli

• Conceptos de vac´ıo y presi´on 1623-1662 Blaise Pascal

• Teor´ıa hidrostática, presión barométrica y atmosférica. Principio de Pascal

1642-1747, Issac Newton

• Leyes de la mecánica. Cálculo infinitesimal. Resistencia en fluidos • Fin del renacimiento, inicio de la revolución industrial.

• Continua el per´ıodo colonial. 1700-1782, Daniel Bernoulli.

• Relación entre presión y el movimiento de los fluidos (ecuación de Bernoulli ?)

1707- 1783, Leonard Euler

• Fundador de la mec´anica de fluidos en forma diferencial. Geo-metr´ıa. Mec´anica. Conceptos de part´ıcula de fluido, l´ıneas de co-rriente. Primeras ecuaciones de balance.

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1.2. RECUENTO HIST ´ORICO DE LA MEC ´ANICA DE FLUIDOS 19 • Punto de vista alternativo para la el estudio del movimiento de

fluidos. Diferencial total. Potencial de velocidades. Propuso formalmente la ecuaci´on de Bernoulli. • Revoluci´on Francesa.

• Primeras insurrecciones independentistas en M´exico. 1717-1783 J.R. D ´Alambert.

Resistencia de un cuerpo en un flujo ideal. 1746-1822 G.B. Venturi.

1799-1869 Jean Poiseuille

• Flujo en tuber´ıas. Primeras comparaciones entre teor´ıa y experi-mentos.

• La revoluci´on Industrial en apogeo. • Independencia de M´exico.

1785-1836 Claude Louis Navier ; 1819-1903 George G. Stokes.

• Soluci´on al problema general de la viscosidad. Ecuaciones genera-les de balance.

• Guerra civil en Estados Unidos. Origen de las especies de Darwin. Canal de Suez. Torre Eiffel.

• Benito Ju´arez. Reforma. Porfiriato. 1900- Mec´anica de fluidos experimental 1905 L. Prandtl.

• Concepto de capa l´ımite. • Primeros aviones.

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• Revoluci´on mexicana.

1950- T. von Karman; G.I. Taylor • Estabilidad de flujos. Turbulencia. • Guerras Mundiales.

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Cap´ıtulo 2

Ecuaciones de conservaci´

on

El objetivo de este cap´ıtulo es re-derivar las ecuaciones de balance f´ısico, ampliamente conocidas, para el caso de un material que fluye.

Primero ¿porque se deben de rederivar las ecuaciones de conservaci´on? Se supone que las ecuaciones de masa, momentum y energ´ıa son universales e inviolables.

Las ecuaciones fundamentales de conservaci´on, como se conocen hasta ahora son:

Ecuaci´on de Conservaci´on de Masa: dM

dt = 0 La masa, M, de un sistema es constante.

Ecuaci´on de Conservaci´on de Momentum Lineal (2da Ley de Newton): d(M~v)

dt = ~F

Ecuación de Conservación de Energ´ıa (1a Ley de la Termodinámica): dE

dt = 0 21

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22 CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Hay dos elementos importantes a considerar. Primero, las ecuaciones de conservación están desarrolladas para un cuerpo r´ıgido. Es decir, todas las part´ıculas que conforman a la masa, M, responden de la misma manera bajo la aplicación de la la fuerza; todas se aceleran de la misma manera. Cuando el cuerpo es un sólido elástico o un fluido viscoso, éste se podrá acelerar a diferente tasa, en diferentes posiciones del cuerpo. Esta deformabilidad de-be tomarse en cuenta en la ecuación de conservación. El otro elemento de gran importancia es la descripción cinemática del movimiento y la mecánica. Mientras que en mecánica de cuerpo r´ıgido se rastrea la aceleración de las part´ıculas de masa, en el caso particular de un fluido no es relevante conocer las propiedades de part´ıculas espec´ıficas. Es mejor, conocer la velocidad o aceleración de puntos espec´ıficos del espacio por donde pase el fluido. Enton-ces, se deben de re-expresar las leyes de conservación para realizar el balance para este nuevo punto de vista.

Antes de proceder con las derivaciones se dará un breve repaso a algunos conceptos básicos de cinemática.

2.1. Cinem´

atica

Punto Lugar en el espacio.

Part´ıcula Elemento volumétrico infinitesimal parte del medio continuo. Configuración Identificación de las part´ıculas de un medio continuo con los

puntos en el espacio que ocupan en un tiempo t referidos a un sistema de ejes coordenados.

Deformación Cambio de forma de un medio continuo entre una configura-ción inicial (no deformada) y una configuraconfigura-ción final (deformada). Flujo Cambio continuo de la configuración de un medio continuo.

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2.1. CINEM ÁTICA 23 El movimiento de un medio continuo puede describirse en función de coordenadas materiales (descripción Lagrangiana)

xi = xi(X1, X2, X3, t) o ~x = ~x( ~X, t)

o en funci´on de coordenadas espaciales (descripci´on Euleriana) Xi = Xi(x1, x2, x3, t) o X = ~~ X(~x, t)

Descripci´on Lagrangiana Atenci´on fija sobre una part´ıcula espec´ıfica del fluido.

Descripci´on Euleriana Atenci´on fija sobre un punto en el espacio

Cualquier propiedad f´ısica puede describirse como funci´on de coordenadas materiales o espaciales. Por ejemplo:

ρ = ρ( ~X, t) = ρ( ~X(~x, t) = ρ∗(~x, t)

MMFM:kinematics:fields particles and reference frames

2.1.1. Derivada material

La raz´on de cambio temporal cualquier propiedad en un medio continuo con respecto a part´ıculas espec´ıficas del MC en movimiento se llama derivada material de esa propiedad.

La derivada material puede interpretarse como la tasa de cambio temporal que un observador medir´ıa viajando con una part´ıcula espec´ıfica.

MMFM:kinematics:material derivative

La posici´on instant´anea xi de una part´ıcula es en si una propiedad de la

part´ıcula. La derivada material de la posici´on es la velocidad instant´anea de la part´ıcula. vi = d dtxi = ˙xi o ~v = d~x dt = ˙~x

(28)

En general si Pij es una propiedad escalar, vectorial o tensorial de un MC

que pueda ser expresada como una funci´on puntual de coordenadas (descrip-ci´on lagrangiana):

Pij = Pij(X, t)

entonces la derivada material de dicha propiedad ser´a DPij

Dt =

∂Pij(X, t)

∂t

1 _{N´otese que las coordenadas X se mantiene fijas.}

Si la propiedad Pij se expresa en funci´on de las coordenadas (x) entonces

la derivada material estar´a dada por: DPij(x, t) Dt = cambio temporal z }| { ∂Pij(x, t) ∂t + cambio convectivo z }| { ∂Pij(x, t) ∂xk dxk dt Mas aun podemos escribir

DPij(x, t) Dt = ∂Pij(x, t) ∂t + vk ∂∂Pij(x, t) ∂xk

As´ı podemos definir un operador derivada material : D Dt = ∂ ∂t + vk ∂ ∂xk o D Dt = ∂ ∂t + ~v · ∇X Ejemplo:

Encontrar la raz´on de cambio de la temperatura.

Sabemos que T (z, t) y buscamos la tasa de cambio temporal: DT

Dt = ∂T

∂t + ~v · ∇T

Para este problema T 6= T (t) solo T = T (z). Tambi´en sabemos que es una ca´ıda puramente vertical: ~v = (0, 0, w). Entonces,

DT Dt = ∂T ∂t + u ∂T ∂x + v ∂T ∂y + w ∂T ∂z

1_{Para la derivada material adoptaremos la notaci´}_on D

(29)

2.1. CINEM ´ATICA 25 10 Km/hr 3000 m T z T= To - k z k=0.005 o_C/m entonces DT Dt = w ∂T ∂z = w(−κ) Finalmente DT Dt = (2.77m/s)(−0.005) = 0.014 o_C/s

2.1.2. Velocidad y aceleraci´

on

Sabiendo que vi = DxiDt y que xi = ui+ Xi, donde ui es el

desplaza-miento, podemos definir al vector velocidad como: vi ≡

Dxi

Dt = Dui

Dt

puesto que Xi es independiente del tiempo. Si el desplazamiento esta dado

en funci´on de las coordenadas Lagrangianas, i.e., ui = ui(X, t), entonces

tenemos vi = ˙ui = Dui(X, t) Dt = ∂ui(X, t) ∂t

(30)

Si por otro lado el desplazamiento esta dado en t´erminos de las coorde-nadas eulerianas, ui= ui(x, t), entonces tenemos

vi = ˙ui = Dui(x, t) Dt = ∂ui(x, t) ∂t + vk(x, t) ∂ui(x, t) ∂xk o en forma vectorial v(x, t) = v(x, t) · ∇Xu(x, t)

N´otese que aqu´ı la velocidad esta dada en forma impl´ıcita.

La función vi = vi(x, t) nos dá el campo de velocidades instantáneo.

La derivada material de la velocidad es la aceleraci´on. Si la velocidad esta dada en coordenadas lagrangianas entonces

ai ≡ ˙vi ≡

Dvi(X, t)

Dt =

∂vi(X, t)

∂t

Si por el contrario la velocidad est´a dada en t´erminos de coordenadas eulerianas, entonces tenemos

ai ≡ ˙vi ≡ Dvi(x, t) Dt = ∂vi(x, t) ∂t + vk(x, t) ∂vi(x, t) ∂xk

2.1.3. Campo de esfuerzos

Los esfuerzos en un continuo son el resultado de la acci´on de fuerzas sobre alg´un elemento superficial del fluido.

El concepto de esfuerzo es una forma de describir la manera en que las fuerzas que act´uan sobre las fronteras se transmiten a trav´es del medio.

Tanto la fuerza como el área son cantidades vectoriales. Por lo tanto, si el esfuerzo es la relación entre fuerza y área entonces el esfuerzo es una cantidad tensorial. Esto quiere decir que se necesitan 9 cantidades para conocer el estado de esfuerzos en un punto.

(31)

2.1. CINEM ´ATICA 27 Fuerzas de Superficie y Fuerzas de Volumen

Podemos considerar dos tipos de fuerzas que act´uan sobre un volumen dado.

Fuerzas volumétricas. Actúan sobre cada elemento del volumen (sin contacto f´ısico). Ejemplos de este tipo de fuerzas son la fuerza gravi-tacional, electromagnética, etc. En general, se considera que para un elemento diferencial de volumen la fuerza es

ρ−→f V

Fuerza de superficie. Act´uan sobre la superficie S del volumen por contacto directo. La fuerza superficial en un elemento diferencial de superficie se puede calcular del producto del esfuerzo y el ´area.

Esfuerzo en un punto

Consideremos el siguiente esquema: Sobre el elemento de ´area d~S en un

dS

dF

punto C actúa una fuerza d ~F . La magnitud de d~S es el área del elemento; su dirección es la del vector normal a la superficie en ese punto.

(32)

Si definimos el esfuerzo como

Esfuerzo = T = l´ım

|dS|→0

d ~F d~S

Note que la operaci´on cociente de dos vectores no esta definida para campos vectoriales. Analicemos esta operaci´on.

El vector d~S es:

d~S = ˆidSx+ ˆjdSy+ ˆkdSz.

En otras palabras, dSx es la componente x de d~S, etc. De la misma manera,

el vector fuerza es

d ~F = ˆiFx+ ˆjFy+ ˆkFz.

Entonces, para definir el esfuerzo en el punto CV debemos considerar que cada una de las componentes Fx, Fy, Fz puede actuar sobre las cada una de

las componentes dSx, dSy, dSz. Por lo tanto, para lograr describir el estado

de esfuerzos en un punto se deben considerar nueve posibilidades:    dFx/dSx dFx/dSy dFx/dSz dFy/dSx dFy/dSy dFy/dSz dFz/dSx dFz/dSy dFz/dSz   

As´ı, definimos al esfuerzo, utilizando notaci´on indicial como: Tij = l´ım |dSi|→0 dFi dSj Entonces, Σ = σij =    σxx τxy τxz τyx σyy τyz τzx τzy σzz   

Por ejemplo, τxy representa al fuerza en la direcci´on y que act´ua sobre el

plano x.

Los esfuerzos normales se denotan con σ y los esfuerzos con τ .

Por lo tanto, la fuerza de superficie sobre un elemento diferencial de ´area de S se puede escribir como:

(33)

2.2. LEYES DE CONSERVACI ´ON 29

2.2. Leyes de conservaci´

on

2.2.1. Conservaci´

on de masa

Consideremos el volumen euleriano, fijo en el espacio, mostrado en la figura

V

S

dS

El elemento diferencial de ´area es d~S = ~nds

V n

Consideremos:

la componente de ~v que acarrea material a trav´es de la superficie es ~v · ~n.

el flujo de masa a trav´es de un elemento infinitesimal de superficie dS (hacia fuera) es

(34)

el flujo total de masa a trav´es de toda la superficie S es Z

Sρ~v · ~ndS

Consideremos

para el elemento de volumen V , con densidad ρ, la masa total en V es Z

V

ρdV la raz´on de cambio de masa en V es

D Dt Z V ρdV = ∂ ∂t Z V ρdV = Z V ∂ρ ∂tdV

La raz´on de cambio de masa dentro del volumen V tiene que deberse al flujo neto de masa a trav´es de S (suponiendo que no hay fuentes ni sumideros dentro de V ). Por lo tanto:

Z V ∂ ∂tρdV = − Z Sρ~v · ~ndS ´

Esta es la ecuaci´on de conservaci´on de masa en forma integral. Para con-vertirla a la forma diferencial utilizaremos el teorema de la divergencia:

Z

Sρ~v · ~ndS =

Z

V ∇ · (ρ~v)dV

El teorema de la divergencia permite transformar a una integral de su-perficie en una integral de volumen.

Por lo tanto podemos escribir la ecuaci´on de conservaci´on de masa en forma integral de la siguiente manera

Z V ∂ ∂tρdV + Z V ∇ · (ρ~v)dV = 0 Z V ∂ ∂tρ + ∇ · (ρ~v) dV = 0

(35)

2.2. LEYES DE CONSERVACI ´ON 31 Para que esta integral sea cero para cualquier volumen V , la ´unica posi-bilidad es que el integrando sea cero:

∂

∂tρ + ∇ · (ρ~v)

dV = 0

Podemos simplificar la ecuaci´on anterior si consideramos que ∇ · (ρ~v) = ρ∇ · ~v + ~v · ∇ρ

entonces tenemos

∂ρ

∂t + ~v · ∇ρ + ρ∇ · ~v = 0.

y recordando la definici´on del operador derivada material, Dρ

Dt + ρ∇ · ~v = 0 (2.1)

que es la ecuaci´on de conservaci´on de masa en forma diferencial.

Esta ecuaci´on escrita en forma expl´ıcita, en coordenadas rectangulares, para ~v = (u, v, w), es:

∂ρ ∂t + u∂ρ ∂x+ y ∂ρ ∂y + w ∂ρ ∂z + ρ ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0 Caso especial: Fluido incompresible

SI consideramos el caso en que la densidad del fluido es constante (ρ 6= ρ(x, t)) entonces ∂ρ ∂t = 0 y ∇ρ = ˆi∂ρ_∂x + ˆj∂ρ ∂y + ˆk ∂ρ ∂z = 0 2

(36)

La ecuaci´on de conservaci´on de masa se reduce a ρ∇ · ~v = 0, y por lo tanto

∇ · ~v = 0 (2.2)

es la ecuación de conservación de masa para un fluido incompresible. En forma expl´ıcita esta ecuación es:

∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0

Derivación de la ecuación de conservación de masa, método alter-nativo

Consideremos un paralelep´ıpedo de volumen infinitesimal dxdydz: que

V dx dz dy 2 1 V=(u,v,w)

est´a fijo en un flujo ~v.

el flujo a trav´es de 1 es ρudydz el flujo a trav´es de 2 es      ρu+

Exp. serie Taylor z }| { ∂ ∂x(ρu)dx      dydz

(37)

2.2. LEYES DE CONSERVACI ´ON 33 el flujo neto a trav´es de 1 y 2 es:

+ (ρu) dydz − ρu + ∂ ∂x(ρu)dx dydz = −∂(ρu) ∂x dxdydz de manera an´aloga, el flujo entre 3 y 4 es

= −∂(ρv)_∂y dxdydz y el flujo entre 5 y 6 es

= −∂(ρw)_∂z dxdydz

Por lo tanto el flujo neto a trav´es del volumen dxdydz es: = −∂(ρu) ∂x − ∂(ρv) ∂y − ∂(ρw) ∂z dxdydz Ahora consideremos

la masa total dentro de dxdydz:

ρdxdydz

la tasa de cambio de masa dentro del volumen es ∂

∂t(ρdxdydz)

La masa dentro del volumen solo puede cambiar como resultado del flujo, entonces: − ∂(ρu)_∂x +∂(ρv) ∂y + ∂(ρw) ∂z dxdydz = ∂ ∂t (ρdxdydz) Simplificando tenemos: ∂ρ ∂t + ∂(ρu) ∂x + ∂(ρv) ∂y + ∂(ρw) ∂z que se puede escribir como

∂ρ

∂t + ∇ · (ρ~v) = 0 que, finalmente, se puede reescribir como:

Dρ

(38)

2.2.2. Ecuaci´

on de conservaci´

on de momentum lineal

Debemos re-expresar la Segunda Ley de Newton para un fluido (medio continuo):

Fuerza total sobre un cuerpo = Rapidez de cambio de momentum Consideremos, de nuevo, un volumen Euleriano fijo suspendido en un flujo cualquiera.

V

S

dS

Las fuerzas en un fluido son: ~

Ftotal = ~Fs+ ~Fv

donde ~Fs son las fuerzas de superficie y ~Fv son las fuerzas de volumen.

Cada una se puede definir como: ~ Fv =

Z

V

ρ ~f dV

donde ρ es la densidad y ~f es un campo de fuerzas (magn´eticas, gravitacio-nales, etc). Adem´as:

~ Fs =

Z

SΣ · ~ndS

donde Σ es el tensor de esfuerzos. Consideremos:

(39)

2.2. LEYES DE CONSERVACI ÓN 35 flujo de momentum a través de un elemento diferencial de área:

~vρ~v · ~ndS

flujo total de momentum a trav´es de toda la superficie S Z

S(~vρ)~v · ~ndS

el momentum total contenido en V es Z

V

~vρdV la raz´on de cambio de momentum en V es

D Dt Z V (~vρ)dV = ∂ ∂t Z V (~vρ)dV = Z V ∂ ∂t(~vρ) dV

el cambio total de momentum en V esta dado por el flujo a trav´es de S mas la raz´on de cambio de momentum dentro de V :

Z S(~vρ)~v · ~ndS + Z V ∂ ∂t(~vρ) dV

Entonces, la segunda ley de Newton queda expresada como: Z V ρ ~f dV + Z SΣ · ~ndS = Z S(~vρ)~v · ~ndS + Z V ∂ ∂t (~vρ) dV

que es la ecuaci´on de conservaci´on de momentum lineal en forma integral. Utilizando, de nuevo, el teorema de la divergencia podemos realizar la siguientes transformaciones:

Z

SΣ · ~ndS =

Z

(40)

36 CAP´ITULO 2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO y Z S(~vρ)~v · ~ndS = Z V ∇ · ((~vρ)~v)dV

A esta ´ultima integral la podemos expandir sabiendo que ∇ · ((~vρ)~v) = (~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)

Entonces podemos escribir la ecuaci´on de conservaci´on de momentum como: Z V ρ ~_{f + ∇ · Σ −} ∂ ∂t (~vρ) − ((~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)) dV = 0

Una vez mas, para que esto sea cierto, independientemente de la elecci´on de V , el integrando debe ser cero:

ρ ~_{f + ∇ · Σ −} ∂

∂t(~vρ) − ((~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ)) = 0 Podemos expandir el t´ermino _∂t∂ (~vρ):

∂ ∂t(~vρ) = ρ ∂~v ∂t + ~v ∂ρ ∂t Entonces, ρ ~_{f + ∇ · Σ = ρ}∂~v ∂t + ~v ∂ρ ∂t + (~vρ)∇ · ~v + ~v∇ · (~vρ) Podemos reeagrupar algunos t´erminos tal que:

ρ ~_{f + ∇ · Σ = ρ} ∂~v ∂t + ~v∇ · ~v + ~v ∂ρ ∂t + ∇ · (~vρ)

Del último término de esta expresión, la cantidad dentro del paréntesis es exactamente igual a la ecuación de conservación de masa (Ecuación 2.1), y por lo tanto es igual a cero.

La cantidad dentro del paréntesis del penúltimo término puede escribirse de manera compactar usando la definición de la derivada material.

(41)

2.2. LEYES DE CONSERVACI ´ON 37

ρ ~_{f + ∇ · Σ = ρ}D~v

Dt (2.3)

Esta es la ecuaci´on de conservaci´on de momentum en forma diferencial.

2.2.3. Ecuaci´

on de conservaci´

on de energ´ıa

De nuevo, el objetivo es reformular las ecuaciones generales de conserva-ci´on pero para el contexto de Mec´anica de Medios Continuos.

La ecuaci´on de conservaci´on de energ´ıa es dEt = ðQ + ðW

donde Et es la energ´ıa total, Q es el calor y W es el trabajo. El s´ımbolo ð

denote que las diferenciales de Q y W no son exactas.

Como nos interesa en cambio total de ´estas cantidades para un volumen euleriano fijo en el espacio escribimos:

DEt Dt = DQ Dt + DW Dt

La taza de cambio de energ´ıa total puede expresarse como (considerando cantidades por unidad de volumen):

DEt Dt = ρdV D Dt e + 1 2|~v · ~v| 2 − ~g · ~r

donde e es la energ´ıa interna por unidad de volumen, ~g es un campo gravi-tacional y ~r es el vector posición. Mas aún, podemos desarrollar la ecuación anterior como: DEt Dt = ρ De Dt + ~v D~v Dt − ~g · ~v dV La taza de transferencia de calor es

DQ

(42)

donde ~q es el flujo de calor, T es la temperatura y k es la conductividad t´ermica del material.

La taza de cambio de trabajo esta dada, para el caso de un fluido por DW

Dt = ∇ · (~v · Σ) dV

Entonces la ecuación de conservación de energ´ıa se puede escribir como: ρ De Dt + ~v D~v Dt − ~g · ~v = ∇ (k∇T ) + ∇ · (~v · Σ) El último término de esta ecuación se puede desarrollar:

∇ · (~v · Σ) = ~v(∇ · Σ) + Σ(∇ · ~v)

Recordando la ecuación de conservación de momentum (Ecuación 2.3) pode-mos reescribir como:

∇ · (~v · Σ) = ~v ρ D~v Dt − ~g + Σ(∇ · ~v) = ρ ~vD~v Dt − ~v · ~g + Σ(∇ · ~v)

Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación de conservación energ´ıa y simplificando términos tenemos finalmente:

ρDe

Dt = ∇ (k∇T ) + Σ(∇ · ~v) (2.4)

Ecuaciones de Estado

Se necesitan mas ecuaciones (hay mas inc´ognitas que ecuaciones): T = f1(P, ρ)

e = f2(P, ρ)

(43)

2.3. RELACI ´ON CONSTITUTIVA 39

2.3. Relaci´

on constitutiva

Podemos asociar a las componentes cortantes del esfuerzo (esfuerzos vis-cosos) con la disipación de energ´ıa. Supondremos entonces que el tensor de esfuerzos deviatórico Σ′ _{o τ ij es una función del el tensor rapidez de}

defor-maci´on D o Dij:

Σ′ = fij(L)

Si consideramos que la funci´on es lineal, entonces tenemos: Σ′ _{= κ(}1

2D)

donde κijpq es el tensor de coeficientes de viscosidad. N´otese que puesto que

Σ′ _{y D son ambos tensores de segundo orden, entonces κ debe ser un tensor}

de cuarto orden (¡24 _{componentes!).}

Afortunadamente, si consideramos materiales isotrópicos y homogéneos (tensores de esfuerzo y rapidez de deformación simétricos), únicamente sobre-viven dos coeficientes de viscosidad diferentes de cero. La relación constitutiva se reduce a:

Σ = −P I + λI(trD) + 2µD en notaci´on indicial tenemos

σij = −P δij + λδijDkk+ 2µDij (2.5)

´

Esta es la relaci´on constitutiva newtoniana. Notas:

Podemos definir el esfuerzo normal promedio: 1

3σii = −P + 1

3(3λ + 2µ)Dii = −P + κDii donde κ = λ + 2₃µ es el coeficiente de viscosidad volum´etrica.

(44)

Si consideremos los componentes deviat´oricos de los tensores de esfuer-zo y rapidez de deformaci´on podemos escribir las siguientes relaciones

τij = 2µDij′

σii = −3P + 3κDii

donde D′

ij = Dij − δijDkk/3 es el tensor rapidez de deformaci´on

de-viat´orico y τij = σij − δijσkk/3 es el tensor de esfuerzos deviat´orico.

En forma expl´ıcita para el caso de coordenadas rectangulares, tenemos: σxx = −P + λ(∇ · ~v) + 2µ ∂u ∂x σyy = −P + λ(∇ · ~v) + 2µ ∂v ∂y σxx = −P + λ(∇ · ~v) + 2µ ∂w ∂z τxy = τyx = µ ∂u ∂y + ∂v ∂x τxz = τzx= µ ∂u ∂z + ∂w ∂x τyz = τzy = µ ∂v ∂z + ∂w ∂y donde ∇ · ~v = ∂u ∂x+ ∂v ∂y + ∂w ∂z.

(45)

2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 41

2.4. Ecuaciones de Navier Stokes

Si sustituimos la relación constitutiva (Ecuación 2.5) en la ecuación de conservación de momentum lineal (Ecuación 2.3) tenemos:

ρD~v Dt = ρ ~f + ∇ · (−P I + λI(trD) + 2µD) Sabemos que D es Dij = 1 2 ∂vi ∂xj +∂vj ∂xi o en notaci´on vectorial D = 1 2(~v∇ + ∇~v)

entonces la ecuaci´on de conservaci´on de momentum se puede escribir como:

ρD~v Dt = ρ ~f − ∇P + (λ + µ)∇(∇ · ~v) + µ∇ 2_~v _(2.6) o en notaci´on indicial ρDvi Dt = ρfi− ∂P ∂xi + (λ + µ) ∂ ∂xj ∂vj ∂xi + µ ∂ 2_v i ∂xj∂xj

Estas ecuaciones (es una ecuaci´on vectorial, tres componentes) se conocen como las ecuaciones de Navier-Stokes.

(46)

coordenada, considerando coordenadas rectangulares y ~v = (u, v, w), tenemos ρ ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z = −∂P_∂x + (λ + µ) ∂ ∂x ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z +µ ∂ 2_u ∂x2 + ∂2_u ∂y2 + ∂2_u ∂z2 + ρgx; ρ ∂v ∂t + u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + w ∂v ∂z = −∂P_∂y + (λ + µ) ∂ ∂y ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z +µ ∂ 2_v ∂x2 + ∂2_v ∂y2 + ∂2_v ∂z2 + ρgy; ρ ∂w ∂t + u ∂w ∂x + v ∂w ∂y + w ∂w ∂z = −∂P_∂z + (λ + µ) ∂ ∂z ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z +µ ∂ 2_w ∂x2 + ∂2_w ∂y2 + ∂2_w ∂z2 + ρgz.

2.4.1. Ecuaciones de N-S para flujo incompresible

Para un flujo incompresible la ecuación de conservación de masa se reduce a ∇ · ~v = 0. En la ecuación de conservación de momentum (Ecuación 2.6), el esfuerzo viscoso extensional contiene un factor de ∇ · ~v, que puede ser eliminado. Por lo tanto las ecuaciones de N-S para un flujo incompresible se reducen a

ρD~v

Dt = ρ ~f − ∇P + µ∇

2_~v _(2.7)

En forma expl´ıcita, para coordenadas rectangulares, ´estas se escriben co-mo: ρ ∂u ∂t + u ∂u ∂x + v ∂u ∂y + w ∂u ∂z = −∂P ∂x + µ ∂2_u ∂x2 + ∂2_u ∂y2 + ∂2_u ∂z2 + ρgx; ρ ∂v ∂t + u ∂v ∂x + v ∂v ∂y + w ∂v ∂z = −∂P_∂y + µ ∂ 2_v ∂x2 + ∂2_v ∂y2 + ∂2_v ∂z2 + ρgy; ρ ∂w ∂t + u ∂w ∂x + v ∂w ∂y + w ∂w ∂z = −∂P ∂z + µ ∂2_w ∂x2 + ∂2_w ∂y2 + ∂2_w ∂z2 + ρgz.

(47)

2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 43 Ecuaciones de N-S para flujo incompresible en forma adimensional Podemos reescribir esta ecuaci´on en t´erminos adimensionales. Para esto debemos elegir cantidades caracter´ısticas:

(x∗, y∗, z∗) = (x/L, y/L, z/L) ~v∗ = ~v/Vo

P∗ = P/(ρV_o2 t∗ = t/(L/Vo)

donde L y Vo son la longitud y velocidad caracter´ıstica del flujo,

respectiva-mente.

Podemos as´ı hacer cambios de variable tal que ∂ ∂x = 1 L ∂ ∂x∗ ∂ ∂t = Vo L ∂ ∂t∗ etc...

Las ecuaciones de N-S se reescriben como: ∂ ~v∗ ∂t∗ + ( ~v ∗_{· ∇}∗_)~v∗ ₌ f~ VoL− ∇ ∗_P∗_{+ (} µ LVoρ(∇ ∗₎2_~v∗

Notamos que los grupos ~f /VoL y µ/LVoρ son adimensionales. Adem´as

podemos definirlos como

F r = f~ VoL

y

Re = LVoρ µ

que son el n´umero de Froude y el n´umero de Reynolds respectivamente. Entonces ∂ ~v∗ ∂t∗ + ( ~v∗· ∇ ∗_)~v∗ = F r − ∇∗P∗+ 1 Re(∇ ∗₎2_~v∗

(48)

El n´umero de Froude, F r, es una comparaci´on entre los efectos gravita-cionales y los efectos inerciales del flujo. Para F r < 1 se pueden despreciar los efectos gravitacionales.

El n´umero de Reynolds, Re, es una comparaci´on entre los efectos iner-ciales y los viscosos del flujo. En un flujo con Re < 1 los efectos viscosos dominan.

MMFM:dynamics:Reynolds number

2.4.2. Condiciones de contorno

En general se consideran dos clases de condiciones de frontera para un problema de fluidos:

1. Continuidad de la distribuci´on de velocidades Condici´on de no deslizamiento:

~v|pared = ~Upared

~v|pared fija = 0 2. Continuidad de la distribuci´on de esfuerzos

Interfaz entre dos fluidos

τ1 = τ2

Superficie libre

τsup.libre = 0 MMFM:dynamics:boudary conditions

(49)

2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 45

2.4.3. Casos especiales

Ecuaci´on de la hidroest´atica

Consideremos que la velocidad del fluido es cero en todos lados (fluido est´atico): ~v = 0. Las ecuaciones de N-S (Ecuaci´on 2.6 se reducen a:

0 = ρ ~_{f − ∇P}

Si consideramos el caso en que ~f = ~g = (0, 0, gz) entonces tenemos, para

las tres componentes de la ecuaci´on:

0 = ∂P ∂x 0 = ∂P ∂x ρgz = ∂P ∂z

Para las direcciones x − x′ _{y y − y}′ _{tenemos que P es constante. Para la}

direcci´on z − z′ _{vemos que la presi´on var´ıa en z de forma proporcional con}

ρgz. Si tanto ρ como gz son constantes, entonces podemos integrar

P (z) = Po+ ρgzz

donde Po es la presión de referencia en z = 0. Esta ecuación es la ecuación

de la hidrost´atica. Ecuaci´on de Euler

Para esta simplificaci´on suponemos que el fluido es ideal, que tiene visco-sidad nula. La ecuaci´on se reduce a

ρD~v

Dt = ρ ~f − ∇P (2.8) Nótese que al eliminar el término viscoso la ecuación diferencial reduce su orden. Esta simplificación tiene implicaciones matemáticas importantes (esta ecuación si se puede resolver para algunos casos). Sin embargo, es importante

(50)

saber que las soluciones que se obtienen de este sistema de ecuaciones tienen limitaciones importantes (resultados no f´ısicos o absurdos).

Uno de los resultados mas importantes que se pueden obtener a partir de las ecuaciones de Euler es la Ecuaci´on de Bernoulli.

Derivaci´on de la Ecuaci´on de Bernoulli. Si consideramos que ~g es un campo conservativo entonces se puede representar como

~g = ∇Φ

. Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el t´ermino ~v∇~v que aparece dentro de la derivada material de ~v:

(~v∇)~v = ∇ 1₂~v · ~v

− ~v × ∇ × ~v (esta identidad es la definici´on del triple producto cruz).

Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuaci´on de N-S para en la ecua-ci´on de Euler, tenemos:

∂~v ∂t + ∇ 1 2~v · ~v − ~v × ∇ × ~v = −1 ρ∇P + ∇Φ Rearreglando t´erminos podemos escribir

∂~v ∂t + ∇ P ρ + 1 2~v · ~v − Φ = ~v × ∇ × ~v

Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrota-cional ∇ × ~v = 0, entonces la expresi´on anterior se reduce a:

∇ P ρ + 1 2~v · ~v − Φ = 0

Una linea de corriente es aquella l´ınea que es tangente al vector velocidad en cada punto. De la definici´on de una linea de corriente sabemos que:

dx u = dy v = dz w

(51)

2.4. ECUACIONES DE NAVIER STOKES 47 Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente de

P

ρ+

1

2~v ·~v − Φ sea cero, la ´unica posibilidad es que este t´ermino sea constante:

P ρ +

1

2~v · ~v − Φ = constante

Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. En-tonces:

P ρ +

1

2~v · ~v + gz = constante (2.9) que se conoce como la ecuaci´on de Bernoulli.

Ecuaci´on de Stokes

Si para un flujo los efectos viscosos son mucho mas importantes que los efectos inerciales, entonces podemos despreciar los términos de aceleración de las ecuaciones de Navier-Stokes. Considerando también que el flujo es incompressible y que el campo gravitacional es despreciable, tenemos

0 = −∇P + µ∇2~v (2.10) Estas ecuaciones también se pueden resolver matemáticamente. Sus so-luciones si tienen significado f´ısico válido pero su aplicación es muy limitada (flujos muy viscosos y lentos).

Ecuaci´on de conservaci´on de vorticidad

Otra forma de caracterizar a un flujo es a trav´es de la vorticidad. La vorticidad se define como el rotacional de la velocidad

~ω = ∇ × ~v

F´ısicamente representa el giro de las part´ıculas de fluido, el cual est´a directamente relacionado con el momentum angular.

Si escribimos las ecuaciones de N-S para un fluido incompresible utilizan-do la definici´on del triple producto cruz (ver arriba), tenemos:

∂~v ∂t + ∇ 1 2~v · ~v − ~v × ∇ × ~v = −∇ P_ρ +µ ρ∇ 2 ~v + ∇Φ

(52)

Tambi´en se supone que el campo gravitacional es conservativo y por tanto se puede expresar como el gradiente de una funci´on escalar Φ.

Ahora podemos aplicar la operación rotacional a ambos lados de la ecua-ción anterior (∇×). Sabemos, también por una identidad vectorial, que el rotacional de cualquier gradiente es idéntico a cero. Por esto, la ecuación anterior se reduce a:

∂~ω

∂t − ∇ × ~v × ~ω = ν∇

2_~ω

donde ~ω = ∇ × ~v es la vorticidad y ν = µ/ρ es la viscosidad cinemática del fluido. Ésta es ahora la ecuación de conservación de vorticidad.

El t´ermino ∇ × ~v × ~ω puede expandirse:

∇ × ~v × ~ω = ~v(∇ · ~ω) − ~ω(∇ · ~v) − (~v · ∇)~ω + (~ω · ∇)~v

El t´ermino ∇ · ~ω = 0, puesto que la divergencia de cualquier gradiente es siempre cero. La ecuaci´on de vorticidad puede escribirse como:

∂~ω

∂t + ~ω(∇ · ~v) + (~v · ∇)~ω − (~ω · ∇)~v = ν∇

2_~ω

Si adem´as consideramos el caso de un fluido incompresible,∇ · ~v = 0, entonces, rearreglando t´erminos tenemos:

∂~ω

∂t + (~v · ∇)~ω = −~ω(∇ · ~v) + ν∇

2_~ω

que se puede escribir, finalmente, como: D~ω

Dt = −~ω(∇ · ~v) + ν∇

2_~ω _(2.11)

Esta ecuaci´on tiene la ventaja de que para resolverla no se requiere cono-cer el campo de presiones. Podemos, entonces, argumentar que los gradientes de presi´on no producen giro en la part´ıculas.

(53)

Cap´ıtulo 3

Est´

atica de Fluidos

El caso mas simple del estudio de mec´anica de fluidos es aquel en el cual la velocidad de las part´ıculas de fluido es cero en todos lados. As´ı, las ecuaciones de conservaci´on se simplifican enormemente.

Para este caso en particular, la presi´on puede calcularse en cualquier punto de fluido.

Ecuaci´on de la hidrost´atica

Consideremos que la velocidad del fluido es cero en todos lados (fluido est´atico): ~v = 0. Las ecuaciones de N-S (Ecuaci´on 2.6) se reducen a:

0 = ρ ~_{f − ∇P.} (3.1)

´

Esta es la ecuaci´on fundamental de la hidrost´atica.

Si consideramos el caso en que ~_{f = ~g = (0, 0, −g}z) entonces tenemos,

(54)

50 CAP´ITULO 3. HIDROST ´ATICA

para las tres componentes de la ecuaci´on: 0 = ∂P ∂x 0 = ∂P ∂x −ρgz = ∂P ∂z

Para las direcciones x y y tenemos que P es constante. Para la direcci´on z vemos que la presi´on var´ıa en z de forma proporcional con ρgz. Si tanto ρ

como gz son constantes, entonces podemos integrar

P (z) = Po+ ρgzz

donde Po es la presión de referencia en z = 0. Esta ecuación es la ecuación

de la hidrost´atica para un fluido incompresible.

3.1. Aplicaciones

3.1.1. Vasos comunicantes

Puesto que la presión únicamente cambia como función de la coordenada vertical, podemos decir que para un nivel z = constante la presión debe de ser igual. As´ı, en un contenedor de formas varias abierto a la atmósfera tenemos:

(55)

3.1. APLICACIONES 51

3.1.2. Bar´

ometro

El barómetro de Torricelli fue el primer aparato para medir la presión atmosférica.

Consideremos el siguiente esquema:

z=0 H

La ecuaci´on a considerar es: ∂P

∂z = −ρlg entonces,

P = −ρlgz + C1

Sabemos que P = Pvac= 0 en z = H, entonces

P = ρlg(H − z)

en z = 0, la presi´on es Patm. Por lo tanto

(56)

Si, ρl = 13600 kg/m3, entonces H = 760 mm, a nivel del mar.

Si, ρl = 1000 kg/m3, entonces H = 10300 mm.

3.1.3. Man´

ometro (Diferencia de presiones)

A B C h₁ h₂ h3 r₁ r₂

El objetivo es encontrar una relación entre la presión en A y la presión en b. Tomemos el punto C como referencia. Podemos calcular la presión en ese punto de cada lado del manómetro.

Lado izquierdo:

PC = PA+ ρ1(h3− h1) + ρ2H1

Lado derecho:

PC = PB+ ρ1(h3− h2) + ρ2H2

Igualando ambos lados:

PA+ ρ1(h3 − h1) + ρ2H1 = PB+ ρ1(h3− h2) + ρ2H2

por lo tanto

(57)

3.2. PRESI ´ON HIDROST ´ATICA PARA UN FLUIDO COMPRESIBLE53

3.1.4. Prensa hidr´

aulica

Puesto que la presión no depende del área, una de las aplicaciones práctica mas importantes de la hidrostática es la prensa hidráulica.

A1 A2

F1

F₂

Del lado izquierdo se aplica una fuerza de tama˜no F1 sobre un ´area A1.

Entonces, la presi´on en ese punto es simplemente P1 =

F1

A1

Si los lados a y 2 están comunicados, entonces, por el principio de vasos comunicantes, la presión del lado izquierdo debe de ser igual que la presión del lado derecho:

P1 = P2

Si, del lado derecho el ´area es A2, entonces la fuerza sobre el este lado

ser´a F2 = P2A2 = P1A2 Por lo tanto F2 = F1 A2 A1 Si A2 ≫ A1, entonces F2 ≫ F1.

3.2. Presi´

on hidrost´

atica para un fluido

com-presible

Aunque un fluido no tenga densidad constante, la ecuaci´on ∂P

∂z = −ρg puede integrarse para algunos casos

(58)

3.2.1. Liquidos

A altas presiones, la densidad de un liquido SI var´ıa con ésta. La densidad y la presión están relacionadas a través de una propiedad f´ısica llamada módulo de compresibilidad volumétrica, EV:

EV =

dP drho/ρ

Si consideramos que EV sea constante entonces podemos sustituir su

de-finición en la ecuación de la hidrostática: 1 ∂z EV ∂ρ ρ = ρg Por lo tanto EV ∂ρ ρ2 = d∂z

que puede integrarse tal que

−E_ρV = −gz + C1

Si consideramos que ρ = ρo en z = 0, entonces:

[− EV ρ − ρo = −gz o ρ = ρ0+ EV gz

Sustituyendo de nuevo el la ecuaci´on de la hidrost´atica tenemos, P = ρgz + EV ln z + C

3.2.2. Gases

Para un gas la relación entre presión, densidad y temperatura esta dada por una ley de estado. La mas comúnmente usada, obviamente, es la ley de gas ideal:

(59)

3.3. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 55 Sustituyendo esta relación en la ecuación de la hidrostática tenemos

∂(ρRT ) = −ρg∂z entonces, dρ ρ = −g RTdz Integrando, para T constante:

ln ρ = −g RTz + C1 Si ρ = ρo para z = 0, entonces ρ = ρoexp(− g RTz)

3.3. Fuerzas sobre superficies sumergidas

Puesto que podemos saber la presión en cada punto en un fluid0 en reposo, podemos también conocer la fuerza que se ejerce sobre cualquier superficie sumergida. Solo es necesario integrar la presión sobre la superficie de interés. Podemos estudiar las fuerzas que se producen debido a la presión. Pode-mos calcular,

Magnitud de la fuerza Direcci´on

L´ınea de acci´on

3.3.1. Superficies planas

Consideremos la siguiente figura

Para calcular la fuerza sobre la cara superior de la placa mostrada debe-mos calcular: ~ F = Z S P d~S = Z S P ~ndS

(60)

56 CAP´ITULO 3. HIDROST ´ATICA 0 vista lateral F_r CP dS h vista plana Sabemos que ∂P ∂h = ρg Si, P = Po = 0 en h = 0, entonces P = ρgh Entonces, ~ F = Z S (ρgh)~ndS

La geometr´ıa de la placa puede expresarse en t´erminos de x y y La pro-fundidad h puede expresarse en t´erminos de y

h = y sin θ Si

dS = dxdy = (1)dy

esto es considerando que la profundidad x es unitaria. As´ı,

~ F =

Z y2

y1

(ρgy sin θ)ˆj(1)dy En general podemos escribir

(61)

3.3. FUERZAS SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS 57 Fr = ρg sin θAYc donde Yc = Z s ydS es el primer momento de superficie.

Para calcular la posici´on y orientaci´on de la fuerza resultante debemos considerar que la suma de torques sea nula

X ~_{M = 0}

Tomando momentos con respecto a (y, z) = (0, 0) tenemos yCP · Fr = Z S yP dS entonces yCP · Fr = ρg sin θ Z S y2dS La integral intSy2dS

es en segundo momento del ´area.

3.3.2. Fuerza hidrost´

atica sobre superficies curvas

su-mergidas

La fuerza sobre un elemento diferencial de superficie es ∂ ~F = P ∂ ~S

por lo tanto la fuerza total resultante es ~

FR= ˆiFRx+ ˆjFRy+ ˆkFRz =

Z

S

P d~S Para cada componente tenemos:

FRx = Z SPˆi · d~ S = Z P cos θxdS = Z S P dSx

(62)

58 CAP´ITULO 3. HIDROST ´ATICA dAx dAz dAy x y z dA donde dSx = dS cos θx

es la proyecci´on de S sobre el plano yz. De igual manera FRy = Z S P dSy FRz = Z S P dSz

3.4. Fuerzas en objetos sumergidos

3.4.1. Fuerza de flotaci´

on, principio de Arqu´ımedes

Considere el siguiente objeto, de volumen V y densidad ρo sumergido por

completo el un fluido est´atico de densidad ρf.

Existirá una fuerza de superficie en cada punto de S del cuerpo debida a la presión hidrostática.

∂F = P dS

Suponga que los puntos 1 y 2 est´an situados de lados opuestos (arriba y abajo) en el mismo cuerpo. La diferencia de fuerzas entre los puntos 1 y 2 ser´a

(63)

3.4. FUERZAS EN OBJETOS SUMERGIDOS 59 S V H2 H1 dS P1 P2

si para ambos puntos la presión se ejerce sobre un elemento diferencial de área dS del mismo tamaño.

Sabemos que

P2 − P1 = ρfg(H2− H1)

entonces, si notamos que (H2− H1)dS = dV , tenemos

∂F = ρfg(H2− H1)dS = ρfgdV Por lo tanto Ftotal = Z ∂F = Z V ρfgdV si ρf es constante entonces Ff lotacion = ρfgV.

Esta ecuación es el principio de flotación o Arqu´ımedes: ‘Todo cuerpo sumer-gido en un liquid de densidad ρf experimenta una fuerza en dirección opuesta

a la gravedad que es igual al peso del volumen del liquido desplazado por el cuerpo’.

El peso del cuerpo sumergido es

(64)

Si la fuerza de flotaci´on y el peso se igualan, W = Ff lotacion

entonces el cuerpo se dice ser de flotaci´on neutra. Esto ocurre si y solo si ρo = ρf

3.5. Fluidos con movimiento de cuerpo r´ıgido

Un caso especial en el cual se puede aplicar la teor´ıa hidrostática para un fluido en movimiento es aquel en el cual todas las part´ıculas de fluido se mueve a la misma velocidad. Es decir el fluido se mueve sin deformarse (no existen esfuerzos constantes). Para este caso el único esfuerzo es la presión.

Consideremos la ley de Newton

d ~F = ~adm = ~aρdV De hidrost´atica sabemos que

d ~_{F = (−∇P ) + ρ~gdV} entonces

(−∇P ) + ρ~gdV = ~aρdV por lo tanto

ρ~a = −∇P ) + ρ~g.

Esta ecuación es, de hecho, la ecuación de la hidrostática pero para un caso general en el cual existe una aceleración ~a que hace que el gradiente de presión pueda tener componentes en direcciones diferentes a la gravedad.

3.5.1. Ejemplo

Un recipiente rectangular, que contiene un liquido, se mueve con una aceleraci´on horizontal (ver figura).

(65)

3.5. FLUIDOS CON MOVIMIENTO DE CUERPO R´IGIDO 61 L L D H g a y x

¿Cual ser´a la forma de la superficie una vez que el recipiente se acelere horizontalmente a una tasa ~a?

La ecuaci´on a resolver es:

ρ~a = −∇P ) + ρ~g. que expresada en componentes es

ρax = − ∂P ∂x + ρgx ρay = − ∂P ∂y + ρgy si ~g = (0, g) y ~a = (ax, 0) entonces ρax = − ∂P ∂x 0 = −∂P_∂y + ρg

Podemos calcular la diferencial de P de la siguiente manera: dP = ∂P

∂xdx + ∂P

(66)

Puesto que en la superficie libre la presión es constante (presión atmosféri-ca) entonces dP = 0: 0 = ∂P ∂xdx + ∂P ∂ydy por tanto 0 = ρaxdx + ρgdy Entonces dy dx = − ax g que es la pendiente de una recta.

La superficie libre estar´a dada por

(67)

Cap´ıtulo 4

Ecuaci´

on de Bernoulli y Flujo

en Tuber´ıas

Como se discutió en clase, las ecuaciones de Navier-Stokes representan la conservación de momentum lineal (segunda ley de Newton) para el caso de un fluido. Sin embargo, estas ecuaciones son de gran complejidad matemática y únicamente se pueden encontrar soluciones anal´ıticas para casos especiales. Si se supone que los esfuerzos viscosos son despreciables, puede encontrar-se una ecuación simplificada de una complejidad significativamente menor que si se puede resolver.

4.1. Ecuaci´

on de Bernoulli

Si consideramos que ~g es un campo conservativo entonces se puede repre-sentar como

~g = ∇Φ

. Podemos usar la siguiente identidad vectorial para simplificar el t´ermino ~v∇~v que aparece dentro de la derivada material de ~v:

(~v∇)~v = ∇ 1₂~v · ~v

− ~v × ∇ × ~v 63

(68)

64 CAP´ITULO 4. ECUACI ´ON DE BERNOULLI

(esta identidad es la definici´on del triple producto cruz).

Sustituyendo estas dos expresiones en la ecuaci´on de N-S para en la ecua-ci´on de Euler, tenemos:

∂~v ∂t + ∇ 1 2~v · ~v − ~v × ∇ × ~v = −1 ρ∇P + ∇Φ Rearreglando t´erminos podemos escribir

∂~v ∂t + ∇ P ρ + 1 2~v · ~v − Φ = ~v × ∇ × ~v

Si tomamos el caso de un flujo estacionario, ∂/∂t = 0, y un flujo irrota-cional ∇ × ~v = 0, entonces la expresi´on anterior se reduce a:

∇ P_ρ +1

2~v · ~v − Φ

= 0

Una linea de corriente es aquella l´ınea que es tangente al vector velocidad en cada punto. De la definici´on de una linea de corriente sabemos que:

dx u = dy v = dz w

Para que para cualquier campo de presiones y velocidades, el gradiente de

P

ρ+

1

2~v ·~v − Φ sea cero, la ´unica posibilidad es que este t´ermino sea constante:

P ρ +

1

2~v · ~v − Φ = constante

Para un campo gravitacional ordinario podemos escribir Φ = −gz. En-tonces, dividiendo en g:

P ρg +

1

2g~v · ~v + z = constante (4.1) que se conoce como la ecuaci´on de Bernoulli.

T´ermino a t´ermino:

P

ρg[=]F L

−2_M−1_L3_L−1_T2_[=]L

Carga de presiones, altura de una columna de fluido bajo la presi´on P contra la gravedad.

(69)

4.2. APLICACIONES 65 P₁ P2 v1 z₁ v₂ z₂ 1 2g~v · ~v[=]L2T−2L−1T2[=]L

Carga de velocidades, altura desde la cual una part´ıcula debe caer bajo la acci´on de g para adquirir una velocidad |~v|

z[=]L

Carga de presiones, altura del punto en una linea de corriente sobre una superficie de referencia arbitraria.

4.2. Aplicaciones

Dado que la ecuación de Bernoulli es muy simple, es fácil se pueden en-contrar soluciones a problemas de flujo de manera inmediata. A continuación se analizan algunos problemas clásicos.

4.2.1. Descarga de un orificio

Podemos f´acilmente calcular la velocidad a la salida de un orificio en la base de un tanque grande. Consideremos en siguiente dibujo:

La ecuaci´on a resolver es: V2

2 + P

ρ + gz = constante

Seleccionamos una l´ınea de corriente entre punto A y B y aplicamos la ecuaci´on de Bernoulli para estos puntos:

V2 A 2g + PA ρg + zA= V2 B 2g + PB ρg + zB

(70)

66 CAP´ITULO 4. ECUACI ´ON DE BERNOULLI H A B Note que: en A, VA≈ 0 en A, PA= Patm, zA= H en B, PB = Patm, zB = 0 por lo tanto, 0 + Patm ρg + H = 0 + Patm ρg + 0 y VB = p 2gH

Este resultado es una buena aproximación. Sin embargo, siempre debe tenerse en cuenta que la ecuación de Bernoulli se derivó despreciando las fuerzas viscosos. Para un flujo viscoso la velocidad ser´ıa

(VB)real= C

p 2gH donde C < 1.

4.2.2. Tubo de Pitot

Este aparato se utiliza para medir la velocidad en un flujo. Para este flujo, las presiones P1 y P2 se miden.

V2 1 2g + P1 ρg + z1 = V2 2 2g + P2 ρg + z2

(71)

4.2. APLICACIONES 67 P₁ v₁ P₂ Note que: z1 = z2

en 2, existe un punto de estancamiento (el fluido tiene velocidad cero), por tanto V2 = 0. por lo tanto, V2 1 2g + P1 ρg = 0 + P2 ρg entonces V1 = s 2(P1− P2) ρ .

4.2.3. Sif´

on

Podemos analizar las variaciones de velocidad y presi´on en un sif´on: Para encontrar la velocidad a la salida del chorro libre:

V2 1 2g + P1 ρg + z1 = V2 2 2g + P2 ρg + z2 Note que: P1 = P2 = Patm V1 ≈ 0

(72)

68 CAP´ITULO 4. ECUACI ´ON DE BERNOULLI h H A z1 = h, z2 = H Por lo tanto, 0 + Patm ρg + h = V2 2 2g + Patm ρg + H entonces V2 = p 2g(H − h)

Podemos tambi´en calcular la presi´on en l punto A: P2 = Patm

VA= V2, por conservaci´on de masa.