Modeling of Er 3+ doped fiber lasers

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Acknowledgements

I would like to express my sincere appreciation to my advisers Professor Miguel V. Andrés Bou and Dr. Yuri Barmenkov for the encouragement and understanding during the course of this work and throughout my postgraduate studies at UVEG.

Professor José Luis Cruz from the department of Applied Physic provided me with hours of fruitful discussions about mathematical and numerical aspects of fiber Bragg gratings and recorded Bragg gratings that were used in the experiments.

I have enjoyed collaborating with Dr A.V. Kir'yanov and have benefit from his scientific and technical expertise.

Both Dr. Ana Dinora Guzman-Chavez and Dr. V. Aboites from Centro de Investigaciones en Óptica, Loma del Bosque, León, Guanajuato, México, have performed part of the experimental work and have provided fruitful discussions about fiber Bragg gratings.

Professor Krasimir Stankov from ALFALAZ provided me with hours of discussions about the production of lasers and information about the temporal jitter in pulsed lasers.

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Resumen de la tesis

(escrito en castellano)

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Índice del Resumen

Capítulo 1 Introducción i

Capítulo 2 El modelo ix

2.1 El esquema de cinco niveles de un ion de Er3+ en la matriz de sílice ix

2.2 Ecuaciones de balance x

2.3 Balance energético en un segmento de fibra óptica activa xi

Capítulo 3 Resultados xvii

3.1 CW-EDFL xvii

3.2 DFB-EDFL xxi

3.3 QS-EDFL xxiv

(10)

(11)

Resumen

i

Capítulo 1 Introducción

La creciente industria de telecomunicaciones junto con la posibilidad de construir fuentes de radiación electromagnética coherente, capaces de concentrar una enorme cantidad de energía en un área muy pequeña, han provocado, a lo largo de los últimos treinta años, un crecimiento casi exponencial de las publicaciones científicas sobre láseres, y en particular sobre láseres basados en fibra óptica dopada con erbio. Hoy en día los láseres de fibra óptica son capaces de generar potencias de cientos de kilowatios de radiación continua y pulsos con potencia pico del orden de gigavatios.

Los láseres de fibra óptica (FL; ver en lo sucesivo el significado de las abreviaturas en la lista de abreviaturas de la página 5 de la memoria) (Fig. 1.1) normalmente poseen una cavidad muy larga, lo que los diferencia de los láseres de estado sólido, y una concentración de iones activos mucho más elevada que en los láseres de plasma. Estas características impiden, en la mayoría de los casos, la posibilidad de desarrollar formulas analíticas para una correcta descripción teórica de los procesos que tienen lugar durante el funcionamiento del láser de fibra óptica.

(12)

Stanislav Kolpakov Nikitin

ii

Fig. 1.1 Los elementos esenciales de un FL.

A lo largo de los últimos treinta años varios problemas han quedado sin resolver. A principio de los años noventa, Myslinski y colaboradores publicaron las primeras observaciones de pulsos Q-switch con una estructura de sub-pulsos bajo una envolvente suave en láseres de fibra óptica, conocido hoy como el efecto de “self-mode-locking” (Fig. 1.2). Sejka y sus colaboradores fueron los primeros en señalar que la teoría de láseres, que viene empleándose de forma generalizada, en la cual la distribución de ganancia y de potencia óptica a lo largo del resonador se considera uniforme, no es suficiente para poder explicar correctamente la forma de estos pulsos. Hasta la fecha ha habido varios intentos teóricos de abordar este fenómeno, pero no han tenido éxito. De esta manera, hasta la fecha ninguna aproximación teórica ha sido capaz de explicar correctamente todo el abanico de fenómenos que aparece como consecuencia del “self-mode-locking”.

Otro gran problema es el rendimiento de los FL dopados con erbio que funcionan en el régimen de emisión continua (CW-EDFL). Todos los modelos, existentes hasta la fecha predicen una eficiencia máxima de alrededor del 80%, mientras que el mejor rendimiento de un CW-EDFL real, bombeado con 980 nm, está cerca del 50%.

En muchas ocasiones la optimización de un FL supone una variación sistemática de una gran cantidad de parámetros, que si se ha de hacer experimentalmente aumenta el coste y el tiempo de ejecución de los proyectos de desarrollo. Este tipo de tareas es ideal para las simulaciones por ordenador, lo que permite ejecutar la optimización en varias horas o días ahorrando semanas, incluso en algunas ocasiones meses de trabajo experimental. Los experimentos hechos durante el periodo de preparación de esta tesis doctoral han demostrado,

(13)

Resumen

iii que la aproximación teórica que hemos considerado es muy realista y permite diseñar nuevos dispositivos con ayuda de un ordenador, reduciendo drásticamente el coste de la investigación.

Fig. 1.2 Pulso obtenido desde la salida de un QS-EDFL.

Así, las ideas plasmadas en esta tesis son un intento de ordenar la teoría de EDFL, existente hasta la fecha. El campo que hemos intentado abarcar en este manuscrito es realmente amplio y, obviamente, no puede ser investigado a conciencia durante un periodo de tiempo relativamente corto. De esta manera, nos hemos visto obligados a investigar solo algunas configuraciones; es concreto nos hemos limitado a láseres de fibra dopada con Er3+ (EDFL) en configuración lineal (geometría Fabry-Pérot (Fig. 1.3)). Esta configuración es interesante porque permite usar redes de Bragg (FBG) grabadas en la misma fibra óptica como espejos del láser. Dichas estructuras poseen una alta selectividad espectral a la hora de reflejar la emisión espontanea y permiten un fácil ajuste y montaje.

(14)

iv

Los modelos de FL que más se ajustan a la realidad, publicados en la bibliografía científica y existentes hasta la fecha, son modelos distribuidos que consideran que el segmento activo de la cavidad es suficientemente largo para que la ganancia y la absorción del bombeo sean variables a lo largo de la fibra activa. Los paquetes de simulación comerciales, que no hemos podido utilizar directamente y comparar con nuestros resultados, de acuerdo con los ejemplos facilitados (ver, por ejemplo, http://www.rp-photonics.com/RP_Q-switch.pdf) no reproducen correctamente algunas de las características importantes que muchos láseres pulsados de fibra óptica exhiben.

En comparación con la mayoría de los láseres basados en fibras ópticas dopadas con tierras raras, el EDFL tiene una característica peculiar: la absorción del estado excitado (ESA) la cual, dependiendo de la longitud de onda de bombeo, puede estar presente tanto para las longitudes de onda de la señal y de la emisión espontánea (SE), como para la longitud de onda del propio bombeo. Debido a esta característica los EDFL que emiten en el régimen de onda continua tienen una eficiencia bastante más baja que, por ejemplo, los láseres basados en las fibras ópticas dopadas con iterbio. La presencia de ESA dificulta notablemente la descripción matemática de los EDFL, haciendo imposible el uso de un modelo simplificado para su análisis cuantitativo. Entre otras razones porque las pérdidas inducidas por ESA dependen de la distancia a lo largo de la fibra activa (eje Z) de una forma bastante compleja.

Así, a lo largo de esta tesis hemos desarrollado y verificado experimentalmente un modelo numérico, basado en el sistema de ecuaciones que describe las poblaciones de los niveles del ion de erbio y las ecuaciones que detallan la propagación del bombeo, de las dos ondas de señal contra propagantes, y de las dos ondas contra-propagantes de emisión espontánea. El modelo tiene en cuenta las pérdidas singulares (pérdidas en las soldaduras entre las fibras ópticas y pérdidas en el modulador acousto-óptico (AOM)) y las pérdidas distribuidas, tales como las pérdidas remanentes (background loss), intrínsecas a la fibra. Nuestros resultados demuestran que las pérdidas, causadas por ESA se pueden considerar como unas pérdidas distribuidas, adicionales al background loss.

La solución del sistema de ecuaciones en el caso estacionario, cuando las derivadas respeto al tiempo se anulan, corresponde a láser que emite en régimen de onda continua. Por otro lado, la solución del sistema, teniendo en cuenta las derivadas temporales se ha usado para la

(15)

Resumen

v descripción del láser en el régimen de QS. El modelo presentado en esta tesis incluye el término que describe la emisión espontánea. El mismo sistema de ecuaciones, con las condiciones de frontera apropiadas, también puede ser utilizado para la descripción de láseres de realimentación distribuida (DFB) de fibra óptica.

En el caso del régimen de onda continua, hemos tenido en cuenta la distribución radial del campo electromagnético dentro del corazón de la fibra óptica, lo que nos permite satisfacer correctamente el balance de fotones. Hemos comparado la hipótesis de la distribución Gaussiana con el caso de la distribución plana y hemos concluido que, en el segundo caso, el balance de fotones no se cumple, lo que conduce a una sobreestimación del rendimiento cuántico del láser del orden del 40%, lo que lleva a un valor teórico del rendimiento energético del 80%. Sin embargo, cuando la distribución radial se tiene en cuenta, el rendimiento cuántico es de un 50%, lo que concuerda mejor con los datos experimentales. También hemos estudiado teóricamente la influencia de la ESA sobre el rendimiento del EDFL. Los datos experimentales disponibles han demostrado que la aproximación teórica es correcta, puesto que la concordancia entre los resultados experimentales y los resultados teóricos es muy buena.

Fig. 1.4 QS-EDFL implementado en configuración simétrica.

En el caso de los láseres QS (Fig. 1.4), cuando las derivadas temporales no pueden ser descartadas, hemos utilizado el método de las ondas propagantes, lo que es una variación del método de intervalos finitos, para resolver el sistema de ecuaciones. Los resultados de los cálculos teóricos, predicen varios efectos, tales como la aparición de una serie de sub-pulsos bajo una envolvente suave del pulso QS global (sub-modulación) y el estrechamiento temporal de los

(16)

vi

mismos bajo ciertas condiciones. Los resultados experimentales han confirmado incluso multitud de detalles de los resultados de las simulaciones. De esta manera nuestros resultados dejan patente que la sub-modulación de los pulsos QS (“self-mode-locking”) es debida a las oscilaciones del campo electromagnético dentro de la cavidad, consecuencia directa de la naturaleza distribuida de la ganancia y de las pérdidas del láser. También hemos explicado la relación y diferencias entre la forma del frente del pulso y la forma de la función de la apertura del AOM.

En base a la herramienta de simulación desarrollada, hemos diseñado un dispositivo láser, que denominamos láser de semilla o “seeder”, que es capaz de emitir un único pulso de forma cuasi-Gaussiana por cada ciclo de conmutación, de 17.5 ns y 75 W de potencia pico. Hasta la fecha, los pulsos de estas características solamente era posible generarlos con diodos láser montados en configuración láser-amplificador (MOPA). Los experimentos han confirmado el modelo prácticamente hasta el último detalle, tanto a la hora de ajustar el láser como a la hora de estudiar sus características. De esta forma hemos demostrado no solo la posibilidad de obtener pulsos QS sin sub-modulación y a demanda (on-demand pulses) de un dispositivo láser de fibra óptica, sino también hemos mostrado que las fluctuaciones temporales y de amplitud prácticamente se eliminan en esta configuración láser. Los parámetros técnicos de este dispositivo láser superan las características de los modelos de láseres de semilla presentes en el mercado actual.

Fig. 1.5 DFB-EDFL.

En esta tesis también hemos abordado con detalle el estudio de DFB-FL. Este tipo de láser está formado por una red de Bragg uniforme, grabada en una fibra óptica dopada con tierras raras. Para obtener la generación en una sola frecuencia, habitualmente se introduce un defecto

(17)

Resumen

vii en la fase de la modulación del índice con un valor de π radianes en el centro de la red (Fig. 1.5). Los DFB-FL suelen presentar emisión mono-modo, de ancho de banda muy estrecho y relación señal/ruido elevada. Para mantener la generación en un solo modo se debe controlar los efectos de polarización asociados a la birrefringencia. Una FBG grabada en la fibra óptica dopada, tiene una permisividad dieléctrica compleja. En otras palabras, estas estructuras son capaces de amplificar o absorber la radiación electromagnética. Si bien estas estructuras son bien conocidas y de uso común en diodos láser, un estudio exhaustivo de dichas estructuras realizadas en fibras ópticas es una tarea pendiente.

El método desarrollado para modelizar los DFB-FL es similar al que se usa para simular FBG grabadas en la fibra pasiva. Este método, denominado método de matrices de transmitancia (TMM), es una extensión del método de matrices ABCD. En el caso de un DFB-FL, la formulación debe modificarse ligeramente porque las propiedades del medio dependen del valor de las poblaciones de los niveles del dopante.

De esta manera, el modelo presentado en esta tesis, permite la optimización de los parámetros de un DFB-FL, en función de la posición del defecto y de la reflectividad de la red de Bragg, por ejemplo. El modelo tiene en cuenta las pérdidas distribuidas, que están presentes en la cavidad, incluidas las pérdidas originadas por ESA, resultando un modelo muy realista. Los cálculos demuestran que las pérdidas originadas por ESA son el mayor factor limitante de la potencia del DFB-FL construido con fibra dopada con Er3+, y que el rendimiento puede mejorarse un 60%, para las mismas condiciones de bombeo y la misma longitud de FBG, variando la posición del defecto.

Los datos experimentales que a lo largo de la tesis se han empleado para contrastar las simulaciones teóricas son el resultado de experimentos realizados por otros miembros del grupo investigador en el que el proyecto de tesis se ha desarrollado.

(18)

(19)

Resumen

ix

Capítulo 2 El modelo

2.1 El esquema de cinco niveles de un ion de Er3+ en la matriz de sílice

Hemos elegido un esquema simplificado de cinco niveles para la descripción del ion Er3+ en la matriz de sílice (Fig. 2.1). Para evitar procesos de Auger up-conversión propios de las EDF fuertemente dopadas, hemos elegido una fibra óptica con un dopaje bajo. El modelo tiene en cuenta todas las transiciones radiativas y no radiativas mostradas en Fig. 2.1. Las transiciones 4

I15/2→4I11/2 y 4I15/2→4I13/2 corresponden a la absorción del estado no excitado (GSA), de fotones con la longitud de onda del bombeo (p 977 nm) y de la señal (s 1550 nm); las transiciones

4

I11/2→4I15/2 y 4I13/2→ 4I15/2 corresponden a emisión estimulada (ASE) y la etiqueta (SE) significa que la transición corresponde a la longitud de onda de SE. La transición 4I11/2→4F7/2 describe ESA para el bombeo y 4I13/2→ 4I15/2 describe ESA para la longitud de onda de la señal. Estas transiciones se observan cuando los niveles “2” y”3” están poblados. Para simplificar el modelo, hemos considerado que los niveles 4F7/2, 2H11/2, y 4S3/2 forman un solo nivel “5”.

(20)

x

Fig. 2.1 Diagrama simplificado de los niveles energéticos del ion Er3+; las transiciones radiativas (inducidas por un fotón) están representadas con flechas continuas y las transiciones correspondientes a las relajaciones (asistidas por un fonón) – con flechas discontinuas; Los símbolos ij y ij indican secciones transversales y tiempos característicos de las transiciones

entre niveles i y j.

2.2 Ecuaciones de balance

En general, supondremos que las poblaciones de los niveles, la ganancia y otras variables utilizadas en el modelo dependen del tiempo, de la coordenada z a lo largo de la fibra y de la distancia radial al eje central de la fibra. La fibra activa se divide en una serie de pequeñas secciones de longitud z, que a su vez podemos dividir en coronas cilíndricas de grosor r

cuando se precise incluir en el modelo la dependencia radial, de tal manera que dentro de cada una de estas secciones las poblaciones de los niveles pueden considerarse constantes. Por lo tanto, para cada sección, las ecuaciones de equilibrio se pueden escribir de la forma:

(21)

Resumen xi 32 3 21 2 2 24 2 24 2 21 2 21 1 12 1 12 2               N N N h I N h I N h I N h I N h I N h I t N se se se s s s se se se s s s se se se s s s           (2.1) 43 4 3 35 32 3 3 31 1 13 3         N N h I N N h I N h I t N p p p p p p        (2.2) 54 5 43 4 2 24 2 24 4       N N N h I N h I t N se se se s s s       (2.3) 54 5 3 35 5    N N h I t N p p _    (2.4) 0 5 4 3 2 1 N N N N N N      (2.5)

donde Ni es la población del nivel i que depende del tiempo y la distancia radial desde el eje

central de la fibra. El símbolo h es la constante de Plank, p, s y se son las frecuencias del

bombeo, de la señal y de la emisión espontanea, ij es la sección transversal de la transición i→j.

El superíndice s indica que el parámetro corresponde a la longitud de onda de la señal. El superíndice se indica que el parametro coresponde a la longitud de onda de SE (1531 nm en nuestro caso), ij es el tiempo característico de la transición i→j; Ip, Is y Ise son las intensidades

del flujo de fotones con longitudes de onda del bombeo, la señal y la SE/ASE. N0 representa la concentración de iones en el núcleo de la fibra. Para simplificar las ecuaciones hemos supuesto que la distribución de iones dentro del núcleo de la fibra es homogénea y no hay iones de Er3+ fuera del corazón de la fibra.

2.3 Balance energético en un segmento de fibra óptica activa

La ganancia en un EDFL está determinada por la combinación de procesos de emisión (transición desde segundo nivel al nivel uno) y de absorción (la transición desde el estado fundamental al tercer nivel). Esta superposición determina las dependencias temporal y espacial de la distribución de la inversión de población. En particular, cuando el láser funciona en el régimen de CW, la inversión de población se mantiene constante en el tiempo y el valor de la misma está determinado por el balance de energía en cada segmento de la fibra (Fig. 2.2).

(22)

xii

El láser absorbe la energía en forma de fotones de bombeo, ricos en energía pero incoherentes y emite la mayor parte de la energía absorbida en forma de ondas electromagnéticas coherentes pero de menor frecuencia. Por lo tanto, la energía absorbida en cada segmento de la fibra es igual a la energía emitida por este segmento en forma de fotones y calor.

Fig. 2.2 Balance de energía en un segmento de fibra óptica.

De esta forma las ecuaciones diferenciales para las intensidades de bombeo, dos ondas contra-propagantes de la señal y dos ondas contra-propagantes de la ASE pueden escribirse de la siguiente manera: ) , ( ) , ( ) , (z t z t P z t P z t c n p p p p  _             _ (2.6) 2 0 4 ) , ( ) , ( ) , (z t g z t P z t P n P z t c n se sat se s s s s





              _ _ (2.7)

 

1 0 2 4 ) , ( ) , ( ) , (z t g z t P z t P n P z t c n se sat se se se se se







                 (2.8)

(23)

Resumen

xiii Seguidamente, hemos transformado el conjunto de ecuaciones aplicando las relaciones de la Tabla 2 – Apéndice A. De esta manera, el conjunto de ecuaciones (2.1)-(2.5) puede reescribirse como: 3 1 2 1 2 21 (s s )n (1 ( )s ( )s )n n t n se se se s s s se s                 (2.9) 4 2 3 1 1 3 21 (s n ( ( )s )n n t n p p p p             (2.10) 5 3 4 2 2 4 21 (s s )n n n t n se se s s           (2.11) 5 3 3 5 21 s n n t n p p        (2.12) 1 5 4 3 2 1n n n n  n (2.13)

donde ss es la potencia total de ambas ondas de señal contra-propagantes, normalizada a la

potencia de saturación de la señal (PPS), sse es la suma de las potencias de las ondas

contra-propagantes de ASE, normalizada a la potencia de saturación de ESA (PSESA) y finalmente sp

es la potencia del bombeo, normalizada con la potencia de saturación de bombeo (PPS). De la misma forma, ni = Ni/N0 son las poblaciones normalizadas del nivel i del ion de Er3+; s = 21s/12s, s = 24s/12s, p = 31/13, p = 35/13, y se = 21se/12se son los parámetros de ESA para las longitudes de onda de bombeo, señal y SE. Finalmente 1 = 21/32, 2 = 21/43, 3 =

21/54 son unos parámetros temporales relativos.

Las expresiones para la absorción del bombeo y las ganancias de la señal y de ASE pueden reescribirse de la forma:







p p



BG p p z t  n z t   n z t   ( , ) 0 1( , )  3( , )  (2.14)







s s



BG s s z t n z t n z t g ( , ) ₀   ₂( , ) ₁( , )3  (2.15)







se se



BG se se z t n z t n z t g ( , ) 0   2( , ) 1( , )  (2.16)

donde BG son las pérdidas remanentes de la fibra (background) medidas para las longitudes de

(24)

xiv

Para tener en cuenta la distribución radial del campo electromagnético dentro del corazón de la fibra (RIDM), la absorción del bombeo y la ganancia de la señal se expresan del siguiente modo:

















BG a p p p p p p p n r z n r z r w rdr A z            

_

0 2 3 1 0 2 / 2 exp ) , ( ) , ( 1 ) ( (2.17)













s





BG a s s s s s s n r z n r z r w rdr A z g          1

_

( , ) ( , )exp 2 / 2 ) ( 2 0 1 2 0 _(2.18)

donde p y s son factores de solapamiento entre el campo electromagnético y el núcleo de la

fibra para las longitudes de onda de bombeo y de señal, a es el radio del núcleo de la fibra y 2

2 , ,s ps p w

A  son las áreas efectivas del haz del bombeo (aquí se supone que hay dos haces, correspondientes a dos ondas contra-propagantes y por lo tanto se suman dos áreas iguales) y de la señal, siendo w2p,s sus correspondientes diámetros. El término que contiene p,s corresponde a

la absorción adicional debido a las pérdidas generadas por ESA. El cociente p0,s0/p,s describe la

absorción para señal débil en el material del núcleo de la fibra para las longitudes de onda correspondientes al bombeo y la señal, respetivamente. Las integrales

 

A rn r z



r wps



dr a i s p 2 ( , )exp( 2 / ) 2 , 0 1 ,



  _

representan unos factores efectivos de solapamiento entre la parte de la fibra con la población de iones activos y el haz para el nivel i.

La potencia de la SE generada por una sección z en el caso del modelo sin incluir la

dependencia radial (PIDM) se expresa del siguiente modo:

dz z n P w a dz a n N h z dP _sesat se se se se se ( ) 4 2 4 ) ( ₂ 2 0 2 21 2 0                  (2.19)

y en el caso de incluir la dependencia radial (RIDM):

rdr z r n dz A P rdr z r n dz N h z dP a se se sat se se a se se













( , )2 4 ( , )2 4 ) ( 0 2 0 0 2 21 0



  _   (2.20)

(25)

Resumen

xv De esta manera la ecuación para la propagación de ASE en la fibra, sin tener en cuenta la distribución radial del campo electromagnético, puede escribirse como:

dz z n w a z s z g z ds se se se se se se                     ) ( 4 2 ) ( ) ( ) ( ₂ 2 0   (2.21)

Si la distribución radial se tiene en cuenta, la misma ecuación se escribirá de la forma:

dz rdr z r n A z s z g z ds a se se se se se se            

_

  _  ( , )2 4 ) ( ) ( ) ( 0 2 0 (2.22)

Las ecuaciones para el bombeo y las dos ondas de señal serán:

) ( ) ( ) ( z s z dz z ds p p p __



(2.23) ) ( ) ( ) ( z s z g dz z ds s s s     (2.24)

(26)

(27)

Resumen

xvii

Capítulo 3 Resultados

3.1 CW-EDFL

En el estudio del láser de onda continua, la comparación de los resultados obtenidos con el modelo PIDM (sin dependencia radial) con los resultados obtenidos con el modelo RIDM (incluyendo la dependencia radial) demuestra que en el caso PIDM el balance de fotones no se cumple, lo que conduce a una sobreestimación de la potencia de salida del láser.

Por otra parte, los cálculos demuestran que las pérdidas asociadas a ESA y la reflectancia de la FBG de salida son los factores que más influyen en la eficiencia del CW-EDFL. Las simulaciones teóricas ponen de manifiesto que para el EDFL de 4m de longitud, que funciona con una potencia de bombeo de 200 mW, la reflectancia óptima de la FBG de salida tiene valor de 66%, si no se tiene en cuenta las pérdidas de ESA. Sin embargo, la reflectancia óptima tiene un valor del 11% en las mismas condiciones si se tiene en cuenta ESA (Fig. 3.1, (a)). En la figura (Fig. 3.1, (b)) se reflejado el desglose de gasto de la energía absorbida por la fibra activa.

(28)

xviii

Fig. 3.1 (a) La potencia del CW-EDFL en función de la reflectividad del espejo de salida (R2.); la línea vertical discontinua indica la reflectividad de un extremo de la fibra en aire para 1550 nm (3.4%). Las líneas discontinuas representan los resultados calculados para el PIDM, mientras las

líneas continuas indican los resultados obtenidos para el RIDM. (b) Número de fotones normalizados con el número de fotones de bombeo absorbidos para la señal emitida por láser

(29)

Resumen

xix La curva 1 indica el número de fotones normalizados con el número de fotones de bombeo absorbidos para la señal emitida por láser, la curva 2 – el numero de fotones perdidos por la absorción de estado excitado de los fotones de la señal y finalmente la curva 3 – el numero de fotones perdidos por la absorción de estado excitado de los fotones del bombeo tal y como lo predice el modelo en el cual la distribución radial se tiene en cuenta.

La Fig. 3.2 representa la grafica de la potencia del EDFL en función de la potencia de bombeo. La línea continua indica el resultado teórico, obtenido usando el modelo RIDM y los círculos muestran el resultado experimental. El láser tiene de 4 m de longitud de fibra activa y un umbral de ~ 4 mW. La línea discontinua es la extrapolación de la curva experimental para los valores de potencia de bombeo más bajos (<100 mW). Se puede apreciar que cuando la potencia de bombeo crece por encima de 100 mW, la ESA reduce el rendimiento del láser.

Fig. 3.2 Potencia del EDFL en función de la potencia de bombeo.

La Fig. 3.3 indica las dependencias experimental (círculos) y teórica (línea continua) del rendimiento del láser en función de la potencia de bombeo, para el láser implementado experimentalmente. Los valores teóricos son la razón entre la potencia de salida del láser y la potencia de bombeo absorbida por el tramo de la fibra óptica dopada con erbio. Hemos observado, que cuando las transiciones ESA no se tienen en cuenta, el máximo rendimiento del

(30)

xx

láser alcanza valor de  58% (curva 1). El máximo del rendimiento no alcanza el valor de 63%, que sería su valor máximo teórico, limitado solamente por las pérdidas de Stokes, debido a que no todo el bombeo se absorbe en la fibra dopada. Cuando se tiene en cuenta la ESA, el mejor rendimiento alcanza solamente el valor 27% para los valores de la potencia de bombeo 70-120 mW, para las potencias de bombeo más altas el rendimiento decae lentamente a medida que la potencia de bombeo crece (curva 2). Los valores teóricos coinciden con los resultados obtenidos experimentalmente y de esta forma hemos podido confirmar el RIDM.

Fig. 3.3 Rendimiento del EDFL en función de la potencia del bombeo; la línea continua representa los resultados teóricos, mientras que los círculos indican valores experimentales; la

curva 1 corresponde al caso, cuando no se tiene en cuenta la ESA, la curva 2 indica los resultados cuando todas las transiciones de ESA se consideran.

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Resumen

xxi 3.2 DFB-EDFL

En el capítulo dedicado a la descripción del DFB-EDFL, después de establecer las bases teóricas de un modelo basado en dos ondas contra-propagantes de la señal láser y en el modelo simplificado de cinco niveles de un ion de erbio, hemos presentado un algoritmo de optimización de este tipo de láseres.

Fig. 3.4 Dependencia de la potencia de salida de un ED-DFB-FL con la transmitancia de la FBG.

En primer lugar hemos demostrado, que la ESA es el factor limitante más relevante, a tener en cuenta, en relación a la eficiencia del láser. Es decir, las pérdidas, originadas por ESA disminuyen de una forma drástica la potencia de salida del láser. Hemos comparado los resultados de las simulaciones en tres casos (Fig. 3.4); primero sin considerar las transiciones de ESA y las pérdidas pasivas inherentes a la propia fibra (background loss) (Fig. 3.4, curva 1), después considerando solo pérdidas pasivas (Fig. 3.4, curva 2) y finalmente considerando todas las pérdidas distribuidas (ESA y pérdidas pasivas) (Fig. 3.4, curva 3). El presente modelo sobreestima ligeramente la potencia de salida del láser a la hora de compararla con los datos

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xxii

experimentales. Una posible explicación para esta sobreestimación podría radicar en el pequeño calentamiento que la fibra sufre en el funcionamiento del láser y por la existencia de pequeñas irregularidades de la red.

En todos los casos analizados el láser no alcanza el umbral para los valores de L

menores que 3.7, lo que corresponde a una transmitancia de la FBG de 26.4 dB a la longitud de onda de Bragg.

A continuación hemos optimizado el DFB-EDFL, es decir hemos encontrado la reflectividad óptima de la FBG para la cual la potencia de salida del láser alcanza su valor máximo, manteniendo constante la longitud de la FBG. Para realizar esta tarea hemos considerado todas las pérdidas presentes, abarcando el intervalo de longitudes entre 4 y 20 cm (Fig. 3.5).

Fig. 3.5 Dependencia de la transmitancia de la FBG a la longitud de onda de Bragg (curva 1) y de la potencia de la salida (curva 2) con la longitud de la red. Los círculos indican los datos

obtenidos durante la simulación y las líneas continuas representan las funciones ajustadas.

El factor L óptimo de la FBG decrece monótonamente desde L = 6.8 (T = -35 dB) para

(33)

Resumen

xxiii crece de una forma monótona desde 0.5 mW hasta 3.5 mW. La amplitud Δn de la modulación del índice de refracción de la red óptima varía en un intervalo entre 8.310-5 y 1.1510-5, mientras la longitud de la FBG crece desde 4 cm hasta 20 cm. Dichos valores son fácilmente realizables experimentalmente.

Finalmente hemos demostrado que la potencia de la salida de un DB-EDFL puede incrementarse en un 60%, aproximadamente, cambiando la posición del defecto con respecto al centro de FBG y simultáneamente aumentando la amplitud de modulación de la red (Fig. 3.6).

Fig. 3.6 Dependencia de la potencia de salida del DFB-FL, calculada para la salida derecha (curva 1) y para la salida izquierda (curva 2) en función del desplazamiento del defecto desde la

posición central hacia el extremo de la derecha. La curva 3 corresponde a la transmitancia de la FBG óptima a la longitud de onda de Bragg.

(34)

xxiv

3.3 QS-EDFL

En primer lugar, en el capítulo de la tesis, dedicado a la descripción de los láseres QS, hemos estudiado el esquema clásico de un QS-EDFL en la cual el modulador está montado cerca de una de las FBG. Estas simulaciones nos han proporcionado la explicación teórica del efecto de “self-mode-locking”. Cuando el tiempo de conmutación tr del modulador acousto-óptico (AOM) es

mucho mayor que el periodo de la cavidad, el pulso QS no presenta sub-modulación.

De esta forma, hemos puesto de manifiesto que los modelos de un punto, o sea aquellos que no tienen en cuenta la naturaleza distribuida del láser, no pueden dar cuenta de ese efecto de sub-modulación de los pulsos y que dichos modelos son un caso limite de nuestro modelo distribuido.

Fig. 3.7 Formas de los pulsos QS calculadas para diferentes valores del tiempo de conmutación del AOM: la curva 1 corresponde a tr = 5 ns; la curva 2 – a tr = 50 ns; la curva 3 – a tr = 300 ns;

(35)

Resumen

xxv También hemos estudiado la influencia de la posición del AOM en la cavidad en la forma y las características de los pulsos (Fig. 3.8). El pulso, emitido por el QS-EDFL cuando el AOM está situado cerca de la FBG de salida (posición a) está representada en todas las figuras con la línea continua. La situación en la que el AOM se coloca a una distancia de 119 cm de la FBG izquierda se muestra en Fig. 3.8, (a) (posición b). El escenario en el que el AOM está situado en el centro de la cavidad se muestra en Fig. 3.8, (b) (posición c). Finalmente, cuando el AOM se coloca en la distancia de 321 cm de la FBG izquierda de la cavidad está representado en la Fig. 3.8, (c) (posición d).

Fig. 3.8 Pulsos calculados para distintas posiciones del AOM en la cavidad para un láser implementado con una EDF de 4 metros de longitud.

Nuestra conclusión es que el término "self-mode-locking" debería usarse para la descripción de mecanismos intrínsecos al medio activo, mientras que en nuestros experimentos la posición del AOM y la longitud de la cavidad son los únicos factores que determinan la forma de pulsos.

(36)

xxvi

A continuación hemos dedicado una parte de la tesis a un QS-EDFL con una configuración simétrica. En esta configuración la cavidad del láser está formada por dos trozos de fibra activa de aproximadamente 4 metros de longitud cada uno. Esta configuración se eligió con la idea de demostrar el efecto de estrechamiento de los pulsos durante su propagación por la cavidad del láser, predicho por el modelo teórico como consecuencia de la propagación de los pulsos por un medio activo con ganancia.

Fig. 3.9 Forma temporal de un pulso QS obtenido en un láser implementado con la configuración simétrica; la línea continua corresponde a los datos obtenidos con la simulación numérica,

mientras que los círculos en blanco proporcionan la medida experimental.

La disminución de la separación entre los sub-pulsos de un pulso QS se ha observado experimentalmente y luego se ha confirmado con la simulación numérica (Fig. 3.9). La separación temporal entre sub-pulsos, que cabía esperar en una cavidad de 13.8 m de largo, es igual a 134 ns, pero en la realidad la separación observada entre sub-pulsos es un 15% menos. La separación, medida experimentalmente, entre el primero y el tercer sub-pulso es de 117 ns (115 ns en la simulación). La longitud de la cavidad que correspondería a estos valores es aproximadamente de 11,9 m en lugar de 13,8 m.

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Resumen

xxvii Fig. 3.10 SSQSS láser.

Esta diferencia es el resultado de una fuerte amplificación del frente del sub-pulso, lo que disminuye fuertemente la inversión de población en la fibra, provocando la absorción de la “cola” de sub-pulso. Este efecto también se ha observado recientemente en amplificadores saturados de fibra óptica dopada con erbio.

Finalmente hemos empleado el modelo desarrollado en esta tesis para diseñar un nuevo dispositivo QS (SSQSS) que es capaz de generar pulsos aislados con una forma muy cercana a la Gaussiana, ancho de 17.5 ns y potencia pico de 75 W. Este láser (Fig. 3.10) está implementado con la configuración Fabry-Pérot y opera en régimen QS activo, con distintos modos de funcionamiento en función de la función de modulación aplicada.

En Fig. 3.11 se presenta el régimen ordinario de pulsos QS. En este régimen se observan dos sub-grupos de pulsos (marcados con “1” y “2” en la grafica), pertenecientes a dos ondas contra-propagantes. Otro posible régimen de funcionamiento del SSQSS se expone en Fig. 3.12.

(38)

xxviii

Fig. 3.11 Régimen de QS ordinario; la función de modulación del AOM se dibuja en la esquina superior derecha de la grafica. Se observan dos grupos de pulsos, generados por dos ondas

contra-propagantes marcados con “1” y “2”, respectivamente.

Fig. 3.12 Régimen de QS especial generado con la función de modulación indicada en la esquina superior derecha de la gráfica. Dentro de cada serie de sub-pulsos hay dos grupos; el primer grupo está compuesto por un único pulso (marcado con “1”) y el otro grupo está compuesto por

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Resumen

xxix Fig. 3.13. Un pulso aislado generado por el SSQSS en el régimen de “pulsos a demanda”

Dentro de cada serie de pulsos hay dos grupos de sub-pulsos (marcados con 1 y 2 de la misma forma que en Fig. 3.11). El intervalo entre sub-pulsos en cada grupo corresponde al tiempo de “round trip” de la cavidad.

Finalmente el tercer régimen se muestra en la Fig. 3.13. En este caso el SSQSS genera un único pulso con una forma muy cercana a la Gaussiana. El ancho del pulso (medido a mitad altura) es aproximadamente siete veces menor que el tiempo del ciclo apertura/cierre del AOM.

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Resumen

xxxi

Capítulo 4 Conclusión

Para concluir este resumen, se presentan de forma breve las conclusiones principales del trabajo realizado. En primer lugar, debe destacarse que se ha conseguido implementar una herramienta de simulación de láseres de fibra óptica dopada con erbio realista, capaz de ser empleada para el diseño y verificada experimentalmente.

El modelo desarrollado se fundamenta en un esquema de cinco niveles del ion Er3+, lo que permite incluir las pérdidas por absorción del nivel excitado, tanto asociadas a la señal como al propio bombeo, incluye las pérdidas introducidas por componentes discretos y empalmes, considera la naturaleza distribuida de los láseres de fibra y, en consecuencia, la variación a lo largo de la fibra de los parámetros relevantes de la misma, teniendo en cuenta la existencia de dos ondas contra propagantes de señal, dos ondas contra propagantes de emisión espontánea y una onda propagante de bombeo. Así mismo puede incluir la distribución radial de las poblaciones de los niveles del Er3+. El modelo incluye la forma concreta de la función de modulación temporal de las pérdidas cuando el láser funciona en régimen de conmutación del factor de calidad.

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xxxii

Las simulaciones teóricas se han contrastado con datos experimentales de un láser de onda continua, con un láser de realimentación distribuida y con varios láseres de emisión pulsada en régimen Q-switch. Obteniendo en general muy buena concordancia.

Podemos concluir que las pérdidas por absorción del estado excitado limitan de forma muy severa la eficiencia de los láseres de fibra dopada con erbio. En el caso de los láseres pulsado tipo Q-switch, hemos podido verificar que el efecto llamado de “self-mode-locking” se deriva de la naturaleza distribuida de los láseres de fibra óptica y que no se origina en ningún mecanismo intrínseco de la fibra activa. Las simulaciones realizadas reproducen con gran detalle la estructura de sub-pulsos que experimentalmente se obtiene en este tipo de láseres.

Finalmente, cabe destacar que la herramienta de simulación nos ha permitido optimizar la implementación de láseres de realimentación distribuida de fibra óptica y nos ha permito diseñar y verificar experimentalmente un láser Q-switch capaz de emitir pulsos limpios, sin la estructura de sub-pulsos usual. Estos pulsos son aproximadamente Gaussianos, tienen una duración 17.5 ns y una potencia pico de 75 W. El láser opera en régimen “pulse on demand” y por sus características no presenta fluctuaciones temporales y de amplitud relevantes. Además el diseño de la cavidad, con una configuración simétrica, permite duplicar la longitud de fibra activa respecto a las configuraciones convencionales.

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Index

Chapter 1. Motivation of this work 1

1.1. Introduction ... 1 1.2. Outline of this volume ... 7

Bibliography 8

Chapter 2. Electronic and optical properties of the Er3+ ion in the silica host 13 2.1. Introduction ... 14 2.2. Up-Conversion ... 15 2.3. Transition 4I13/2→4I15/2 ... 18 2.4. 980-nm Pump Band ... 21 2.5. Five level model of the Er3+ ion in the silica host ... 22 2.6. Summary ... 24

Bibliography 24

Chapter 3. Mathematical formalism I: Fiber Bragg gratings 27

3.1. Introduction ... 28 3.2. The coupled wave theory ... 29 3.3. Transfer matrix method... 32 3.4. Uniform and chirped FBG ... 33 3.5. Summary ... 38

Bibliography 38

Chapter 4. Mathematical formalism II: EDFL 41

4.1. Introduction ... 42 4.2. Balance equations ... 43 4.3. Balance of energy in one fiber segment ... 44

(48)

4.4. The laser model ... 48 4.5. CW-EDFL ... 49 4.5.1. Boundary conditions in the case of CW laser ... 50 4.5.2. The steady state solution ... 51 4.6. Radial dependence of the pump, ASE and signal power ... 53 4.7. Boundary conditions for the all-fiber EDFL ... 57 4.7.1. The boundary conditions for the asymmetric Q-switch setup ... 57 4.7.2. The boundary conditions for the symmetric Q-switch laser ... 59 4.8. The traveling wave method, QS-EDFL ... 61 4.9. Summary ... 62

Bibliography 62

Chapter 5. CW regime of EDFL 65

5.1. Introduction ... 66 5.2. Numerical results ... 67 5.3. Comparison of experimental and modeling results and discussion ... 74 5.4. Summary ... 77

Bibliography 78

Chapter 6. Distributed feedback EDFL 81

6.1. Introduction ... 82 6.2. Gratings in the doped fibers and DFB structures ... 83 6.2.1. Rate equations... 84 6.2.2. The ED-DFB-FL equations ... 86 6.3. Dependence of the DFB output power on the grating strength ... 89 6.4. ED-DFB-FLs optimization ... 92

(49)

6.5. Summary ... 95

Bibliography 96

Chapter 7. QS-EDFL 101

7.1. Introduction ... 103 7.2. Asymmetric (classic) QS laser scheme ... 104 7.3. Short symmetric QS laser scheme ... 111 7.3.1. Influence of the AOM rising-time on the pulse shape ... 112 7.3.2. Evolution of the signal power in the QS-EDFL cavity ... 114 7.3.3. Dependence of the AOM position on the shape of the QS output pulses ... 116 7.3.4. Comparison of theoretical results with experimental data ... 119 7.4. Long symmetric QS laser scheme... 121 7.5. Smart symmetric QS seeder ... 129 7.6. Summary ... 135 Bibliography 135 Conclusions 139 Future work 143 Bibliography 145 Appendix A. Tables 147 Bibliography 152

Appendix B. List of publications 153

Communications 154

Other publications 154

Other conference proceedings 154

(50)

(51)

Acronyms and Abbreviations

The following acronyms and abbreviations are used throughout this thesis:

AOM: Acousto-optic modulator

ASE: Amplified spontaneous emission

CFBG: Chirped fiber Bragg grating

CW: Continuous wave

CW-EDFL: Continuous wave erbium doped fiber laser

CW-FL: Continuous wave fiber laser

DBR: Distributed Bragg reflector

DE: Diffraction efficiency

DFB: Distributed feedback

DP: Dispersion parameter

DPS: Dispersion parameter slope

EDF: Erbium doped fiber

EDFA: Erbium-doped fiber amplifier

EDFL: Erbium-doped fiber laser

ESA: Excited state absorption

FBG: Fiber Bragg grating

FFT: Fast Fourier transforms

GR: The grating ripple

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LIDAR: Light detection and ranging

LLPESA: Pump excited state absorption from the laser level

MOPA: Master oscillator with power fiber amplifier

MP: Master pulse

PB: Burst of pulses

PC: Polarization controller

PCL: The point intra cavity losses

PDE: Differential equations in partial derivatives

PESA: Pump photon exited state absorption

PL: Pulsed lasers

PIDM: Model with the plane intensity distribution

PSS: Power of the signal saturation

PPS: Power of the pump saturation

PSESA: Power of the exited state absorption saturation

QS-EDFL: Q-switched erbium doped fiber laser

QS-FL: Q-switched fiber lasers

QS-MOPA: Q-switched MOPA

RIDM: Model with the radial dependence of the intensity distribution

RF Radio frequency

SDE: System of differential equations

SE: Spontaneous emission

SESA: ESA at signal wavelength

SSQSS: Smart symmetric QS all-FL seeder

TMM: Transfer matrix method

(53)

Motivation of this work

1

Chapter 1. Motivation of this work

1.1. Introduction

Today the erbium-doped silica fibers are widely used in fiber laser industry as an active element in fiber amplifiers, continuous wave (CW) or pulsed lasers (PL) operating in the S, C and L communication bands (from 1480 to 1625 nm). The master oscillator with power fiber amplifier (MOPA) technology, reported for the first time by S.V. Kozlov and coworkers [1], and the erbium-doped fiber amplifier (EDFA) operating at 1.55 micrometers developed in 1987 [2] allow the generation of the extremely powerful, various hundreds of kilowatts peak power, and relatively short, pulses with duration of the order of nanoseconds, [3]. The fast implantation of this technology in the industry encourage the investigators to perform tenth of thousands of experiments in this area, making powerful Q-switched MOPA (QS-MOPA) lasers one of the fastest growing branch of the high-technology industry in the contemporaneous world.

Rare-earth-doped Q-switched FLs (QS-FL) operating in the eye-safe spectral range are used in many fields, such as laser marking and cutting [4-6], super-continuum generation [7],

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2

nonlinear frequency conversion [8, 9], light detection and ranging (LIDAR) [10], optical time-domain reflectometry [11], distributed fiber-optical sensing [12] and as a potential candidate for laser-initiated ignition [13].

The main problem of the existing MOPA configurations is the master oscillator performance. Actually, powerful pulsed laser diodes play this role, but these diodes have some strong inconveniences: the low (less than 1 W) peak power of the master pulse (MP) and a relatively long MP duration (for example: around 400 ns in the first industrial used erbium MOPA device). The diodes with a modulated output are capable to produce a very short pulse but with very low peak power, due to the optical damage that may be induced in the nonlinear cell used as a modulator. Besides that, laser diodes with current modulation can generate short and powerful pulses. Since the current modulation uses the transition process, the pulses have a notable jitter in time and amplitude. These devices have strong limitations in a wide range of applications.

QS-EDFLs constitute a suitable alternative to laser diodes. They are potentially powerful sources of MPs and have some attractive advantages as small size, low weight, and relatively simple designing concept [14, 15]. Fig. 1.1 shows the typical scheme of a EDFL laser in QS-MOPA configuration. In Fig. 1.1, FBG1 and FBG2 indicate the position of the distributed Bragg reflectors, AOM represents the acousto-optic modulator, WDM1 and WDM2 are the 980/1550 nm wavelength division multiplexers and EDF is the erbium doped fiber.

(55)

3 In addition to the fiber optic isolator used between the master oscillator and power amplifier to diminish an impact of the spontaneous emission on EDFA/MO performance, a wavelength filter (WF) prevents the ASE from the FL to reach the EDFA.

The QS-EDFL is capable of producing pulses with hundreds of Watts of peak power, but, as observed in many types of actively and passively QS-FLs, the output has a multi-peak shape, with a time interval between the neighboring peaks being approximately equal to the laser cavity round-trip period. The most common explanation of the origin of this multi-peak pulse structure is a partial “self-mode-locking” effect (see Fig. 1.2).

In the beginning of nineties, Myslinski and co-workers reported for the first time this sub-modulated Q-switch pulses in a relatively long EDFL; they also used the term “self-mode-locking” to explain this effect [16].

Fig. 1.2 Typical Q-switch “self mode-lock pulse” obtained from the output of a long asymmetric QS-EDFL.

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4

Then, Sejka and co-workers [17] reported that a “short cavity Q-switch model”, or “Q-switch point model”, that relies on the assumption that intra-cavity optical power is constant along the fiber, cannot predict a proper pulse shape for QS-FL with a long cavity.

Scientists have thoroughly attacked this problem, performing a great amount of experiments, varying the fiber length, fiber doping and operating regimes of the acousto-optic modulator (AOM), but the “self mode-lock” persistently appears in all experiments. The situation was discouraging: to generate a powerful and short pulse the QS-FL needs a long high-doped fiber, but the high level of doping leads to nonlinear effects in the laser and the effect of “self mode-locking” appears when the roundtrip period becomes comparable with the pulse duration. An alternative to the use of highly doped EDF is the use of long sections of EDF. However, it is physically impossible to make the active element in the cavity as long as one desires. The cavities with EDF that exceeds a length limited mostly by the fiber doping, become unstable, showing a chaotic or a self-oscillating regime, similar to the behavior of an amplifier with a positivefeedback.

The lack of a proper understanding of the “self mode-locking” effect leads to the wrong conclusion that QS-EDFL in particular and QS-FL in general are unsuitable as a MO due to its incapacity to produce a smooth clean and short pulse.

Over the last two decades a few attempts to explain the reason of the multi-peak shape of the QS-FL pulses were made (apart from a tentative assumption that this could be due to “self-mode-locking”). Some “distributed” models for active and passive QS-FL, where two waves are assumed to travel along the fiber in opposite directions (see Fig. 1.3) and therefore depopulate the excited active ions non-uniformly along the active fiber were proposed [18-22]. Some of them predict a multi-peak structure of QS-FL pulses, with the time intervals between “sub-peaks” being equal (it will be shown below that it is approximately correct for a relatively short cavity with a weak doping) to the cavity round-trip period.

Fig. 1.3 schematically shows the electromagnetic waves propagating through FL cavity. Symbol Pp+ represents the pump power that propagates in the positive direction, Ps± are powers

(57)

5 and Pse± are the amplified spontaneous emission (ASE) propagating from the left to the right (+)

and vice versa (-).

Fig. 1.3 The electromagnetic waves propagating through the FL cavity.

It is known that ESA constitutes a source of additional distributed losses in the FL cavity. The portion of energy that is dissipated by ESA with respect the overall laser energy losses strongly depends on the pump and signal powers.

Unfortunately, all previous models of the “distributed” QS-FL simulate the laser emission without taking into account the effect of the ESA. Practically all existing theoretical models treat ytterbium doped FLs where the ESA does not exist. The other theoretical challenge is the Q-switch cell opening function. Experiments and theoretical analysis show that the shape and duration of this function have a strong impact on the shape and duration of the Q-switch pulse. For example, one of our theoretical simulations was based on a very slow AOM with rise-time that is ten or more times greater than the laser cavity roundtrip time. The laser in this configuration can generate comparatively long (~ 300 ns) smooth giant Q-switch pulses without “self-mode-lock” sub-modulation [23]. In short, for a correct modeling of the QS-EDFL one needs to take into account all kind of intra-cavity losses (e.g., the ESA losses in EDFs), the optical and temporal properties of the AOM and all other laser elements.

The second problem is energy balance in the doped fiber. In theoretical simulations, the universal law of conservation of energy has to be satisfied. The successful check of energy

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6

balance will be the first indication that theoretical approach is correct. Up to now, the systematic investigation of this topic is pending. Before tackling the problem of energy balance in the dynamic (Q-switched) system, this basic physical principle will be discussed for a steady-state case. Energy balance can be checked in CW-FLs in this way: the pump energy that enters into the laser, must exit out of it in both radiative and non-radiative forms. As it will be shown below, when the FL operates in CW regime the Gaussian radial distribution of the fields inside the active fiber must be taken into account in order to keep balance of photons. The solution of this problem in the QS-EDFL is still pending due to its extreme complexity.

In order to study the photon balance in our laser model, modeling and experimental investigation of the continuous wave erbium doped FLs (CW-EDFLs) is performed. It is shown that saturation properties, spontaneous emission and other fiber parameters used in QS-EDFL modeling give good results for comparatively short (shorter than 5-6 meters) Thorlabs, M5-980-125, Er3+-doped fiber lasers. Thus, the exhaustive study of lasers with the largest active segments is still an important task.

In this thesis, a model for an actively QS-EDFL is developed; the model takes into account the distributed nature of the laser, the real function that describes an opening process of the Q-modulator and all the distributed and local losses that exist in the fiber cavity (including the ESA losses inherent in EDFs). The main system of differential equations (SDE) that describes the EDFL behavior will be solved in the steady state case that corresponds to the CW laser regime. The model of the CW-EDFL will be used to study the influence of the ESA on the laser performance. The direct comparison of theoretical values and the experimental data shows that the EDF parameters used in the modeling match with the electromagnetic field distribution across the fiber. Moreover, energy balance is satisfied by our simulations.

The numerical solution, which is corroborated by the experimental data, shows that the “self mode-lock” phenomenon is inconsistent and the source of the multi-peak structure of QS-EDFL pulses is the spatial-temporal oscillations of the electromagnetic field inside the cavity. In this case, the Q-modulator properties determine the shape of sub-peaks fronts, while the laser level depopulation dynamics defines the “exponential” shape of their rear-edges. Furthermore, the depopulation mechanism of the laser level is similar to the mechanism accepted for the description of pulse distortions in EDFAs [24].

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7 The correct modeling of the QS-EDFL, including the influence of the modulator rise-time and the intra-cavity point and distributed losses on the QS-EDFL pulse shape and energy, allows one to demonstrate that the distance between sub-peaks in the Q-switched pulse is not exactly equal to the cavity roundtrip time. This “pulse squeezing” effect was observed experimentally in Q-switched EDFLs and explained theoretically in Chapter 7. In addition, a similar effect was recently observed in EDF amplifiers.

After that, the way to improve the laser performance by doubling the active EDF length was theoretically predicted and the experimental EDF device was build. The performed experiments show a good agreement with the developed theory. This investigation helps to clarify the process of the pulse formation inside the laser cavity and to obtain intensities of the electromagnetic fields and distributions of the populations along the cavity. Moreover, it will be shown that a proper construction of the QS-EDFL permits to avoid the multi-peak structure of the Q-switch pulses and to control the Q-switch pulse width (from hundred nanoseconds down to ~ 10 nanoseconds). This makes the EDFL master oscillators versatile sources of laser radiation in comparison with the laser diodes used up to day.

Finally, we were able to test the simulations of a QS-EDFL, that is able to generate a powerful and short pulse, with experimental data.

1.2. Outline of this volume

The primary objective of this thesis was to develop a theoretical framework that allows modeling FLs with high accuracy. It is indispensable to use the distributed model for simulating the FLs with comparatively long cavity because the gain distribution along an active fiber is not uniform, whereas it is considered to be uniform in the point (zero-dimension) model [14]. It will be also shown that distributed feedback (DFB) lasers with the short cavity (~ 5-20 cm) demonstrate a strong non-uniform gain distribution along the active fiber due to the presence of a high reflectance FBG. This effect prevents the use of a point model for simulating DFB-FLs.