5
Ejercicios resueltos
1. Demostrar que para cualquier n´umero real a se tiene que a = −(−a).
• Por el axioma de existencia del inverso aditivo, tenemos que existe −a n´umero real tal que a + (−a) = 0
• Puesto que −a es un n´umero real, por el axioma de existencia del inverso aditivo, tenemos que existe −(−a) n´umero real tal que (−a) + (−(−a)) = 0.
Por lo tanto, tenemos que a+(−a) = 0 = (−a)+(−(−a)). Por el axioma de conmutabilidad para la adici´on tenemos que (−a) + a = (−a) + (−(−a)). Si se suma a en ambos lados de la igualdad, tenemos que:
a + ((−a) + a) = a + ((−a) + (−(−a))) por el axioma de la asociatividad para la suma tenemos que
(a + (−a)) + a = (a + (−a)) + (−(−a)) por el axioma de la existencia del inverso aditivo se tiene que
0 + a = 0 + (−(−a)) por el axioma de la existencia del neutro aditivo se tiene que
a = −(−a)
2. Encontrar el conjunto de n´umeros reales que satisfagan |x| = 7. Puesto que |x| = ( x si x ≥ 0 −x si x ≤ 0
Tenemos que, por tricotom´ıa de los n´umeros reales, para cualquier x n´umero real se tiene que cumplir que 0 = x, 0 < x ´o x < 0:
• Si x = 0 entonces, por la definici´on de valor absoluto, se tiene que |x| = 0, lo cual no cumple con lo que se est´a buscando.
• Si x < 0 entonces, por la definici´on de valor absoluto, se tiene que |x| = −x, buscamos que |x| = −x = 7, por lo que tendremos que (−1) · (−x) = (−1) · (7), por el resultado anterior, x = −7.
• Si 0 < x entonces, por la definici´on de valor absoluto, se tiene que |x| = x, buscamos que |x| = x = 7, por lo que tendremos que x = 7.
Entonces, el conjunto de n´umeros reales que cumplen |x| = 7 es {−7, 7}.
3. Demostrar que para cualquier n´umero real a se tiene que a · 0 = 0. Sea a un n´umero real, entonces:
a · 0 = a · (0 + 0) por axioma de existencia del neutro aditivo = a · 0 + a · 0 por el axioma de distributividad
Por lo que a · 0 = a · 0 + a · 0. Dado que 0 y a son n´umeros reales, por axioma de cerradura del producto, a · 0 es un n´umero real y (por el axioma de existencia del inverso aditivo) existe −(a · 0) tal que a · 0 + (−(a · 0)) = 0. Entonces, al sumar −(a · 0) en ambos lados de la igualdad
−(a · 0) + a · 0 = −(a · 0) + (a · 0 + a · 0) por asociatividad de la adici´on tenemos que
−(a · 0) + a · 0 = (−(a · 0) + a · 0) + a · 0 por conmutabilidad de la adici´on (en ambos lados), tenemos que a · 0 + (−(a · 0)) = (a · 0 + (−(a · 0)) + a · 0 por existencia del inverso aditivo
0 = 0 + a · 0 por la existencia del neutro aditivo
4. Demostrar que 0 < 1.
Por la tricotoma de los n´umeros reales, se debe cumplir una y solamente una de las siguientes relaciones: 1 = 0, 0 < 1 ´o 1 < 0.
Recordemos que, por el axioma de la existencia del neutro para el producto, 1 = 0 no puede ser posible.
Supongamos que 1 < 0, entonces para cualquier a n´umero real tal que 0 < a tenemos que, por el axioma de producto preserva la desigualdad bajo el producto de un n´umero positivo tenemos que: Si 1 < 0 y 0 < a entonces a · 1 < a · 0.
Puesto que a · 1 = a por axioma de existencia del neutro multiplicativo y a · 0 = 0 por el ejercicio anterior, se tiene que a = a · 1 < a · 0 = 0; es decir a < 0, pero no puede ser posible, dado que iniciamos con 0 < a.
Por lo que 0 < 1 es la ´unica opci´on que puede ser verdadera.
5. Encontrar el conjunto de n´umeros reales que satisfagan |x − 3/4| < 1
Nuevamente, por tricotoma de los n´umeros reales tenemos los siguientes casos: 5.1) x − 3/4 = 0
Si x − 3/4 = 0 entonces |x − 3/4| = 0 y, puesto que 0 < 1, |x − 3/4| < 1; es decir, cuando x − 3/4 = 0 se cumple la propiedad. Eso pasa cuando x = 3/4.
5.2) x − 3/4 < 0
Si x − 3/4 < 0 entonces |x − 3/4| = −(x − 3/4) = −x + 3/4.
Buscamos que −x + 3/4 = |x − 3/4| < 1 y que a la vez cumplan x − 3/4 < 0; es decir, x < 3/4.
x + (−x + 3/4) < x + 1 por el axioma la suma preserva orden de la desigualdad (x + (−x)) + 3/4 < x + 1 por el axioma de asociatividad de la adici´on
0 + (3/4) < x + 1 por el axioma de existencia del inverso aditivo 3/4 < x + 1 por el axioma de existencia del neutro aditivo
3/4 + (−1) < (x + 1) + (−1) por el axioma la suma preserva orden de la desigualdad 3/4 + (−1) < x + (1 + (−1)) por el axioma de asociatividad de la adici´on
−1/4 < x + 0 por el axioma de existencia del inverso aditivo −1/4 < x por el axioma de existencia del neutro aditivo Por lo que la soluci´on de este caso es el conjunto de n´umeros reales que cumplan x < 3/4 y −1/4 < x.
Por lo tanto el conjunto es el formado por los n´umeros reales x tales que −1/4 < x < 3/4
5.3) 0 < x − 3/4
Si 0 < x − 3/4 entonces |x − 3/4| = x − 3/4.
Buscamos que x − 3/4 = |x − 3/4| < 1 y que a la vez cumplan 0 < x − 3/4; es decir, 3/4 < x.
(x − 3/4) + (3/4) < 1 + (3/4) por el axioma la suma preserva orden de la desigualdad x + ((−3/4) + 3/4) < 1 + 3/4 por el axioma de asociatividad de la adici´on
x + 0 < 7/4 por el axioma de existencia del inverso aditivo x < 7/4 por el axioma de existencia del neutro aditivo
Por lo que la soluci´on de este caso es el conjunto de n´umeros reales que cumplan 3/4 < x y x < 7/4.
Por lo tanto el conjunto es el formado por los n´umeros reales x tales que 3/4 < x < 7/4
As´ı , el conjunto de n´umeros reales x que cumplen con la propiedad |x − 3/4| < 1 es x = 3/4, −1/4 < x < 3/4, 3/4 < x < 7/4; es decir, −1/4 < x < 7/4.
6. Si a, b y c son n´umeros reales y a + b = a + c, entonces b = c. A este resultado tambi´en se le conoce como la ley de cancelaci´on para la suma.
Puesto que a es un n´umero real, tenemos que existe −a n´umero real tal que a + (−a) = 0 y, por el axioma de conmutatividad, (−a) + a = 0. De la igualdad, tenemos que:
(−a) + (a + b) = (−a) + (a + c) por axioma preserva el orden de la igualdad ((−a) + a) + b = ((−a) + a) + c por axioma asociatividad de la adici´on
0 + b = 0 + c por axioma de la existencia de inverso aditivo b = c por axioma de la existencia de neutro aditivo
7. Si a + b = 0, entonces b = (−a). Este resultado demuestra que el inverso aditivo de un n´umero real es ´unico.
Puesto que a es un n´umero real, por axioma de la existencia del inverso aditivo, tenemos que existe −a n´umero real tal que a + (−a) = 0. Por hip´otesis tenemos que a + b = 0, por lo que
a + (−a) = a + b
Por la ley de cancelaci´on para la adici´on tenemos que (−a) = b.
8. Demostrar que −(a + b) = (−a) + (−b) para cualesquiera a y b n´umeros reales.
Por el axioma de cerradura para la adici´on, tenemos que a + b es un n´umero real; esto implica que existe su inverso aditivo que es el n´umero real que denotamos como −(a + b) y cumple:
(a + b) + (−(a + b)) = 0 Por otro lado, tenemos que:
(a + b) + ((−a) + (−b)) = a + (b + (−a)) + (−b) por asociatividad de la adici´on = a + ((−a) + b) + (−b) por conmutatividad de la adici´on = (a + (−a)) + (b + (−b)) por asociatividad de la adici´on = 0 + 0 por la existencia del inverso aditivo = 0 por la existencia del neutro aditivo Por lo que,
(a + b) + (−(a + b)) = 0 = (a + b) + ((−a) + (−b)) Con el uso de la ley de cancelaci´on para la adici´on tenemos que
9. Demostrar que a · (−b) = (−a) · b = −(a · b).
Por axioma de cerradura del producto, puesto que a y b son n´umeros reales, a · b es un n´umero real; por ende, existe un n´umero real que es su inverso bajo la adici´on que denotamos como −(a · b) y cumple que:
a · b + (−(a · b)) = 0 Ahora, recordemos que:
(a) Para cualquier c n´umero real tenemos que c · 0 = 0.
(b) Si c es un n´umero real existe un n´umero real −c tal que c + (−c) = 0.
a · 0 = 0 Por (9a) b · 0 = 0
a · (b + (−b)) = 0 Usando (9b) y sustituyendo en lo anterior b · (a + (−a)) = 0 a · b + a · (−b) = 0 Por distributividad b · a + b · (−a) = 0
Por conmutabilidad del producto a · b + (−a) · b = 0 Por lo tanto, se tiene que
a · b + (−(a · b)) = 0 = a · b + a · (−b) a · b + (−(a · b)) = 0 = a · b + (−a) · b Y por la ley de cancelaci´on para la adici´on se tiene que
−(a · b) = a · (−b) = (−a) · b
10. Demostrar que para cualesquiera n´umeros reales a y b se cumple que (−a) · (−b) = a · b. Puesto que a es un n´umero real, por la existencia de inversos aditivos, tenemos que existe un n´umero real −a tal que a + (−a) = 0.
Por la cerradura del producto tenemos que (−a) · b es un n´umero real, pues ambos lo son y, por el ejercicio anterior (−a) · b = −(a · b).
Por un lado, −(a · b) + a · b = 0 Por otro lado
−(a · b) + (−a) · (−b) = (−a) · b + (−a) · (−b) por el ejercicio anterior = (−a) · (b + (−b)) por distributividad
= (−a) · 0 por axioma existencia del inverso aditivo = 0 por un ejercicio que ya hemos probado Entonces, −(a · b) + (−a) · (−b) = 0 = −(a · b) + a · b. La ley de la cancelaci´on para la adici´on implica que (−a) · (−b) = a · b.
11. Encontrar el conjunto de n´umeros reales x que satisfacen |3 · x − 1| < 2 · x + 5.
Primero que algo, recordemos que el valor absoluto de un n´umero real no puede ser nega-tivo, por lo que en este caso necesitamos que 0 ≤ 2x − 5; es decir:
0 + 5 ≤ (2 · x + (−5)) + 5 puesto que la adici´on preserva desigualdades 0 + 5 ≤ 2 · x + ((−5) + 5) por la asociatividad de la adici´on
0 + 5 ≤ 2 · x + 0 por la existencia del inverso aditivo 5 ≤ 2 · x por la existencia del neutro aditivo
2−1· 5 ≤ 2−1· (2 · x) puesto que 0 6= 2 existe 2−1 tal que 2 · 2−1= 1, adem´as 0 < 2−1 y el producto por un n´umero positivo preserva la desigualdad 2−1· 5 ≤ (2−1· 2) · x por la asociatividad del producto
2−1· 5 ≤ (2 · 2−1) · x por la conmutabilidad del producto 2−1· 5 ≤ 1 · x por la existencia de inverso del producto 2−1· 5 ≤ x por la existencia de neutro del producto
Por lo que, los n´umeros reales para los que la desigualdad tendr´a sentido son los n´umeros x tales que 52 ≤ x.
Ahora, consideremos los siguientes dos casos: 0 ≤ 3 · x − 1 y 3 · x − 1 ≤ 0.
(a) Si 0 ≤ 3 · x − 1 entonces |3 · x − 1| = 3 · x − 1, por lo que 3 · x − 1 = |3 · x − 1| < 2 · x + 5 (3 · x − 1) + ((−2 · x) + 1) < (2 · x + 5) + ((−2 · x) + 1) puesto que la adici´on
preserva desigualdades 3 · x + ((−1) + (−2 · x)) + 1 < 2 · x + (5 + (−2 · x)) + 1 puesto que la adici´on
es asociativa
3 · x + ((−2 · x) + (−1)) + 1 < 2 · x + ((−2 · x) + 5) + 1 puesto que la adici´on es conmutativa (3 · x + (−2 · x)) + ((−1) + 1) < (2 · x + (−2 · x)) + (5 + 1) puesto que la adici´on
es asociativa (3 · x + (−2 · x)) + 0 < 0 + (5 + 1) por la existencia
del inverso aditivo 3 · x + (−2 · x) < 5 + 1 por la existencia
del neutro aditivo
(3 + (−2)) · x = 1 · x < 6 por
distributividad
x < 6 por la existencia
del neutro del producto Entonces, para este caso el conjunto de n´umeros reales que lo cumple es x < 6 e intersectando con el conjunto de puntos para los que la desigualdad tiene sentido, tenemos que el conjunto de puntos que satisfacen este caso es:
5
2 ≤ x < 6
(b) Si 3 · x − 1 ≤ 0 entonces |3 · x − 1| = −(3 · x − 1) = (−3) · x + 1, por lo que (−3) · x + 1 = |3 · x − 1| < 2 · x + 5
((−3) · x + 1) + (3 · x + (−5)) < (2 · x + 5) + (3 · x + (−5)) puesto que la adici´on preserva desigualdades (−3) · x + (1 + 3 · x) + (−5) < 2 · x + (5 + 3 · x) + (−5) puesto que la adici´on
es asociativa
(−3) · x + (3 · x + 1) + (−5) < 2 · x + (3 · x + 5) + (−5) puesto que la adici´on es conmutativa ((−3) · x + 3 · x) + (1 + (−5)) < (2 · x + 3 · x) + (5 + (−5)) puesto que la adici´on
es asociativa 0 + (1 + (−5)) < (2 · x + 3 · x) + 0 por la existencia
del inverso aditivo 1 + (−5) < 2 · x + 3 · x por la existencia
del neutro aditivo −4 < (2 + 3) · x = 5 · x por
distributividad
5−1· (−4) < 5−1· (5 · x) puesto que 0 6= 5, existe 5−1 0 < 5−1
5−1· (−4) < (5−1· 5) · x por que le producto es asociativo
5−1· (−4) < 1 · x por la existencia
del inverso bajo el producto −4
5 < x por la existencia
del neutro bajo el producto Entonces, para este caso el conjunto de n´umeros reales que lo cumple es −4/5 < x
e intersectando con el conjunto de puntos para los que la desigualdad tiene sentido, tenemos que el conjunto de puntos que satisfacen este caso es:
5 2 ≤ x
Por lo que el conjunto de n´umeros reales x que cumplen |3 · x − 1| < 2 · x + 5 es 5
2 ≤ x < 6
12. Encontrar el conjunto de n´umeros reales x que satisfacen |8 · x + 12| > x + 3.
En este ejercicio, conocer si x + 3 es positivo o negativo no representa un problema, dado que de ser negativo |8 · x + 12| siempre ser´a mayor que x + 3.
Por lo que solo es necesario considerar los siguientes casos: (a) Si 0 ≤ 8 · x + 12 entonces |8 · x + 12| = 8 · x + 12.
(x + 3) + ((−x) + (−12)) < (8 · x + 12) + ((−x) + (−12)) puesto que la adici´on preserva desigualdades x + (3 + (−x)) + (−12) < 8 · x + (12 + (−x)) + (−12) puesto que la adici´on
es asociativa
x + ((−x) + 3) + (−12) < 8 · x + ((−x) + 12) + (−12) puesto que la adici´on es conmutativa (x + (−x)) + (3 + (−12)) < (8 · x + (−x)) + (12 + (−12)) puesto que la adici´on
es asociativa 0 + (3 + (−12)) < (8 · x + (−x)) + 0 por la existencia
del inverso aditivo 3 + (−12) < 8 · x + (−x) por la existencia
del neutro aditivo −9 < (8 + (−1)) · x = 7 · x por
distributividad
7−1· (−9) < 7−1· (7 · x) puesto que 0 6= 7, existe 7−1 y 0 < 7−1
7−1· (−9) < (7−1· 7) · x porque el producto es asociativo 7−1· (−9) < 1 · x por la existencia
del inverso bajo el producto
7−1· (−9) < x por la existencia
del neutro bajo el producto Por lo que para este caso, el conjunto de n´umeros reales x que satisfacen es −97 < x.
(b) Si 8 · x + 12 ≤ 0 entonces |8 · x + 12| = −(8 · x + 12) = −8 · x + (−12).
(x + 3) + (8 · x + (−3)) < (−8 · x + (−12)) + (8 · x + (−3)) puesto que la adici´on preserva desigualdades x + (3 + 8 · x) + (−3) < −8 · x + ((−12) + 8 · x) + (−3) puesto que la adici´on
es asociativa
x + (8 · x + 3) + (−3) < −8 · x + (8 · x + (−12)) + (−3) puesto que la adici´on es conmutativa (x + 8 · x) + (3 + (−3)) < (−8 · x + 8 · x) + ((−12) + (−3)) puesto que la adici´on
es asociativa (x + 8 · x) + 0 < 0 + ((−12) + (−3)) por la existencia
del inverso aditivo x + 8 · x < (−12) + (−3) por la existencia
del neutro aditivo 1 · x + 8 · x < (−12) + (−3) por la existencia
del neutro del producto 1 · x + 8 · x = (1 + 8) · x = 9 · x < −15 por distributividad
9−1· (9 · x) < 9−1· (−15) puesto que 0 6= 9, existe 9−1 y 0 < 9−1
(9−1· 9) · x < 9−1· (−15) por que el producto es asociativo
1 · x < 9−1· (−15) por la existencia
del inverso bajo producto x < 9−1· (−15) por la existencia
