PLANIFICACIÓN TEMPORAL DE PROYECTOS

(1)

DE PROYECTOS

1. Introducción

2. Notaciones gráficas

3. Grafos: conceptos básicos

4. Métodos de planificación temporal

5. Método PERT

5.1. Principios básicos

5.2. Construcción del grafo PERT

5.3. Asignación de tiempos a las actividades

5.4. Cálculo de los tiempos EET y LET

5.5. Conceptos de holgura y camino crítico

5.6. Calendario de ejecución del proyecto

5.7. El método PERT en un contexto aleatorio

6. Método CPM

6.1. Relación entre duración y coste de una actividad

6.2. Diferencias entre PERT y CPM

7. Método ROY

(2)

1. Introducción

O

Planificación temporal: Identificación de tareas,

asignación de tiempos y recursos a dichas tareas y

planificación de la secuencia de ejecución de forma que

el tiempo de desarrollo del proyecto sea mínimo.

– El objetivo del gestor del proyecto es definir todas las tareas del proyecto, identificar las que son críticas y hacerles un seguimiento para detectar de inmediato posibles retrasos.

– La planificación temporal distribuye el esfuerzo estimado a lo largo de la duración prevista del proyecto.

– La planificación evoluciona con el tiempo: durante las primeras etapas se desarrolla una planificación temporal macroscópica y a medida que el proyecto va progresando se refina obteniendose una planificación temporal detallada.

Tiempos Recursos Tiempos Recursos Secuencia de tareas Secuencia

de tareas Fecha de _comienzo Fecha de comienzo

(3)

Introducción

O

Principios de la planificación temporal:

– Compartimentación: descomposición del proyecto en un

número manejable de actividades y tareas.

– Interdependencia: Se deben determinar las

interdependencias de cada actividad o tarea compartimentada.

– Asignación de tiempo: A cada tarea que se vaya a

programar se le deben asignar un cierto número de unidades de trabajo, una fecha de inicio y otra de finalización.

– Validación del esfuerzo: A medida que se realiza la

asignación de tiempo, el gestor del proyecto se tiene que asegurar de que hay en plantilla el suficiente número de personas que se requiere en cada momento.

– Responsabilidades definidas: Cada tarea que se programe

debe asignarse a un miembro específico del proyecto.

– Resultados definidos: El resultado de cada tarea,

normalmente un producto, deberá estar definido. Los productos se combinan generalmente en entregas.

(4)

2. Notaciones gráficas

Comienzo T1 M1 T3 T2 M3 T6 M4 T9 M6 T11 M8 T12 Final M2 T7 T5 M7 T10 T4 M5 T8 4/7/96 8 días 15 días 15 días 15 días 10 días 10 días 5 días 20 días 25 días 15 días 7 días 10 días 14/7/96 25/7/96 25/7/96 18/7/96 4/8/96 11/8/96 25/8/96 5/9/96 19/9/96

Tarea Duración _(días) Dependencias

T1 8 T2 15 T3 15 T1 T4 10 T5 10 T2,T4 T6 5 T1,T2 T7 20 T1 T8 25 T4 T9 15 T3,T6 T10 15 T5,T7 T11 7 T9

O

Redes de Tareas: En ellas se representan las actividades

que deben ejecutarse en paralelo y las que deben llevarse

a cabo en secuencia debido a una dependencia respecto a

la actividad o actividades anteriores.

– Los nodos rectangulares representan las tareas.

(5)

Notaciones gráficas

O

Diagramas de barras o de Gantt: Representación gráfica

de las actividades sobre una escala de tiempos. Las

actividades se representan en forma de barra sobre dicha

escala manteniendo la relación de proporcionalidad entre

sus duraciones y su representación gráfica, y su posición

respecto del punto origen del proyecto.

– No permiten la representación de conexiones cruzadas que muestre directamente la dependencia de tareas.

– Tampoco permiten conocer claramente la lógica utilizada en la planificación.

4/7

4/7 11/7 18/7 25/7 1/8

_.

8/8 15/8 22/8 29/8 5/9 12/9 19/9

.

T4 T1 T2 Comienzo M1 T7 T3 M5 T8 M3

.

M2 T6

.

T5 M4

.

T9

.

(6)

3. Grafos: conceptos básicos

O

Los grafos son la base de la mayoría de los métodos de

planificación temporal.

O

Un grafo se puede definir por medio de dos conjuntos:

– Un conjunto X que representa n puntos del plano

denominados vértices.

– Un conjunto U que representa las relaciones que existen entre los elementos del conjunto X . Dichas relaciones se denominan arcos.

O

La relación entre dos vértices x

_i

y x

_j

se representa

mediante el arco u

_ij

, mientras que la relación en sentido

contrario se expresaría mediante el arco u

_ji

.

(7)

Grafos: conceptos básicos

O

Un grafo parcial de otro grafo se obtiene suprimiendo

algunos arcos y manteniendo todos los vértices.

O

Un subgrafo de un grafo dado se obtiene suprimiendo

algunos vértices y los arcos correspondientes.

(8)

Grafos: conceptos básicos

O

Camino de un grafo: sucesión de arcos tales que si un

arco muere en el vértice x

_i

, el arco siguiente de la sucesión

nace en ese mismo vértice.

O

Un caso especial de camino en el que el vértice inicial y

final coinciden se denomina circuito.

O

Longitud generalizada de un camino o de un circuito:

suma de los números asociados a los arcos del camino o

del circuito.

– La longitud generalizada del camino (x₁, x₂, x₃, x₄) del grafo de la figura 5 es:

6 + 6 + 5 = 17

– La longitud generalizada del circuito (x₁, x₂, x₄, x₁) del grafo de la figura 5 es:

(9)

4. Métodos de planificación temporal

O

Aunque los diagramas de Gantt se pueden utilizar como

técnica de planificación temporal, los métodos utilizados

para la planificación de grandes proyectos se basan en el

uso de redes de tareas. Algunos de estos métodos son:

– PERT (Program Evaluation & Review Technique):

» Creado para proyectos del programa de defensa del gobierno norteamericano entre 1958 y 1959.

» Se utiliza para controlar la ejecución de proyectos con gran número de actividades desconocidas que implican investigación, desarrollo y pruebas.

– CPM (Critical Path Method):

» Desarrollado para dos empresas americanas entre 1956 y 1958 por un equipo liderado inicialmente por James E. Kelley y Morgan R. Walker .

» Se utiliza en proyectos en los que hay poca

incertidumbre en las estimaciones.

– Método de ROY:

» Desarrollado en Europa entre 1958 y 1961 por un grupo de ingenieros encabezados por B. Roy y M. Simmonard.

(10)

Métodos de planificación temporal

– Método GERT (Graphical Evaluation & Review

Technique):

» Desarrollado por A. A. Pritsker tomando como base los trabajos de Eisner y Elmaghraby.

» El método GERT extiende la incertidumbre en la duración de las actividades a la propia programación, permitiendo considerar un número mayor de situaciones del proyecto que otros métodos.

» Las actividades precedentes de cada nudo pueden ser de naturaleza determinante o probabilística.

– Otros métodos:

» Método de secuencia mínima irreductible para

programas de mantenimiento.

» PEP (Program Evaluation Procedure) desarrollado por las Fuerzas Aéreas de EEUU.

» PERT-Coste: para el cálculo de la duración óptima a coste mínimo.

» PERT-Recursos: aplicable cuando existen limitaciones en los recursos.

(11)

5.1. Principios básicos

O

El método PERT parte de la descomposición del proyecto

en actividades. Entendiendo por actividad la ejecución de

una tarea que exige para su realización el uso de recursos.

O

Se establece también el concepto de suceso:

acontecimiento que indica el principio o fin de una

actividad o conjunto de actividades. No consume tiempo

ni recursos.

O

El método utiliza una estructura de grafo para la

representación gráfica de las actividades o tareas de un

proyecto, sus tiempos de comienzo y finalización y las

dependencias entre las distintas actividades.

– Las actividades se representan por líneas o flechas (arcos del grafo).

– Los sucesos se representan por círculos (vértices del grafo).

(12)

Principios básicos

O

Tipos de prelaciones entre las actividades:

– Prelaciones lineales: Para poder iniciar una determinada

actividad es necesario que haya finalizado una única actividad.

– Prelaciones que originan una convergencia: Para poder

iniciar una determinada actividad es necesario que hayan finalizado dos o más actividades.

– Prelaciones que originan una divergencia: Para poder

iniciarse un conjunto de actividades es necesario que haya finalizado una única actividad.

– Prelaciones que originan convergencia-divergencia: Para

poder iniciarse un conjunto de actividades es necesario que hayan finalizado dos o más actividades.

1 A 2 B 3 3 4 5 1 2 B C D A

(13)

Principios básicos

O

Actividades ficticias: son actividades que no consumen

tiempo ni recursos, sólo reflejan prelaciones existentes

entre distintas actividades del proyecto.

Se utilizan en dos casos:

– Cuando se presentan simultáneamente prelaciones lineales y de convergencia o divergencia:

– Con actividades paralelas:

1

2

4 A

B

5

6 C

D

3

3 1 2 B C A 5 E 6

(14)

5.2. Construcción del grafo PERT

O

Se comienza recogiendo de manera sistematizada toda la

información referente a las prelaciones entre las distintas

actividades. Existen dos procedimientos:

– Matriz de encadenamientos: matriz cuadrada cuya dimensión es igual al número de actividades en que se ha descompuesto el proyecto. Si en los puntos de cruce aparece una X indica que para poder iniciar la actividad de la fila tiene que haber terminado la correspondiente a la columna.

– Cuadro de prelaciones: tabla de dos columnas, en la primera se encuentran las actividades del proyecto y en la segunda figuran las actividades precedentes de su homologa en la primera columna.

A B C D E F A B C D E F X X X X X Actividades Precedentes A B C A, B D A E A F D Cuadro de prelaciones Matriz de encadenamientos

(15)

Construcción del grafo PERT

O

El grafo comienza en un vértice que representa el suceso

inicio del proyecto y termina en otro vértice que

representa el suceso fin del proyecto.

– Suceso inicio del proyecto: representa el inicio de una o

más actividades pero no representa el fin de ninguna.

– Suceso fin del proyecto: representa el fin de una o mas

actividades pero no representa el comienzo de ninguna.

– Actividades inicio del proyecto: no tienen ninguna

actividad precedente.

– Actividades fin del proyecto: no preceden a ninguna otra

actividad.

O

La numeración de los vértices del grafo debe cumplir

siempre la siguiente condición:

El número del vértice que represente el comienzo de cierta

actividad debe ser menor que el número del vértice que

represente el suceso fin de esa actividad.

(16)

Construcción del grafo PERT

3 1 B F A 5 4 2 E C D A B C D E F A B C D E F X X X X X Actividades Precedentes A B C A, B D A E A F D

(17)

Construcción del grafo PERT

O

Ordenación en niveles de un grafo (I)

Método gráfico:

– Se busca en el grafo un subconjunto de vértices de los que no nace ningún arco y se suprime junto con los arcos que llegan a ellos.

– Con el subgrafo obtenido se sigue el mismo proceso.

– La repitiendo el proceso hasta el final del grafo se podría recomponer ordenado por niveles, como se muestra en la figura 6.

(18)

Construcción del grafo PERT

O

Ordenación en niveles de un grafo (II)

Figura 6

. Ordenación en

nivele

s de u

(19)

Construcción del grafo PERT

O

Ordenación en niveles de un grafo (III)

Algoritmo matricial (algoritmo de Demoucron):

– Se construye una matriz asociada al grafo:

A todo grafo de n vértices se le puede asociar una matriz cuadrada de dimensión n. Un elemento a_ijde la matriz toma el valor 1 cuando existe un arco que une el vértice i con el vértice j, y toma el valor 0 cuando no exista un arco que una dichos vértices.

– Se amplia la matriz asociada al grafo mediante un vector columna V₁. Los elementos de ese vector son iguales a la suma de los elementos de cada fila de la matriz asociada.

– Se amplia nuevamente la matriz mediante un vector columna V₂. Los elementos de ese vector se obtienen restando a los elementos del vector V₁, los elementos homólogos de la(s) columna(s) que corresponden a los vértices que en dicho vector V₁ toman el valor cero. Cuando el minuendo y el sustraendo sean cero se coloca un aspa en el vector en lugar de un cero.

– Debajo de la columna correspondiente a cada vector se van colocando los números de los vértices con los que se obtienen elementos de valor cero en el vector.

(20)

Construcción del grafo PERT

O

Ordenación en niveles de un grafo (IV)

(21)

5.3. Asignación de tiempos a las actividades

O

El tiempo que se tarda en desarrollar una actividad no se

conoce con exactitud por lo que hay que realizar

estimaciones de tiempo. El método PERT considera tres

estimaciones de tiempo distintas:

– Estimación optimista (E_o): tiempo mínimo en que podría ejecutarse la actividad si no surgiera ningún contratiempo.

– Estimación más probable o estimación modal (E_m): tiempo que se empleará en ejecutar la actividad en circunstancias normales

– Estimación pesimista (E_p): tiempo máximo de ejecución de la actividad si las circunstancias son muy desfavorables.

O

El tiempo

PERT

(D) será la media o esperanza matemática:

E

_o

+ 4 E

_m

+ E

_p

D =

6

O

Varianza de una actividad:

V =

( )

6 E - E

o p

(22)

5.4. Cálculo de los tiempos EET y LET

O

Una vez construido el grafo del proyecto y asignados

tiempos de ejecución a las actividades, el siguiente paso

consistirá en calcular dos parámetros para cada suceso:

– EET (Earliest Even Time): representa el tiempo mínimo

para que comience un suceso.

El EET del suceso inicial es cero, para el resto de los sucesos el EET se calcula siguiendo las siguientes reglas:

» Seleccionar todas las actividades que llegan al suceso.

» Para cada actividad que entra, se suma la duración de la actividad y el EET de su suceso inicial.

» Seleccionar el EET más alto que se haya obtenido. t_j= max [t_i + t_ij] ∀i

– LET (Latest Even Time): representa lo más tarde que puede

comenzar una actividad, sin que afecte a la planificación del proyecto.

El suceso fin del proyecto tiene LET igual al EET, para el resto de los sucesos se aplican las reglas siguientes:

» Considerar todas las actividades que salen del suceso.

» Restar al LET del suceso final la duración de cada actividad.

(23)

Cálculo de los tiempos EET y LET

2 1 2 3 5 4 2 4 3 6 0 0 6 7 1 8 0 4 3 9 0 11 10 2 1 6 2 2 2 2 1 0 0 2 3 6 6 5 8 11 4 2 4 6 6 3 6 12 12 0 0 6 7 12 18 1 8 15 15 0 4 3 9 15 20 0 11 23 23 10 21 21 2 1 6 2

(24)

Cálculo de los tiempos EET y LET

O

Los parámetros EET y LET para grafos muy grandes se

calculan mejor mediante la matriz de Zaderenco:

– Se construye una matriz cuadrada cuya dimensión sea igual al número de vértices del grafo.

– Los elementos de esa matriz indican el tiempo de las actividades que nacen en el vértice correspondiente a la fila y terminan en el vértice correspondiente a la columna

ti i \ j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 2 2 4 3 6 3 0 2 6 4 6 1 8 5 0 4 12 6 0 3 12 7 2 15 8 0 6 15 9 1 21 10 2 23 11 t*j 0 2 6 6 11 12 18 15 20 21 23

(25)

5.5. Conceptos de holgura y camino crítico

O

La holgura de cierto suceso i (H

_i

) se define como la

diferencia entre los tiempos LET y EET:

H

_i

= t

*

i

- t

i

La holgura de un suceso indica el número de unidades de

tiempo en que puede retrasarse la realización del mismo,

de manera que la duración del proyecto no experimente

ningún retraso.

O

Holgura total de cierta actividad ij (H

T_ij

) se define como

el tiempo que resulta de restar el tiempo LET del suceso

final del EET del suceso inicial y la duración de esa

actividad:

H

T

ij

= t

*j

- t

i

- t

ij

La holgura total de una actividad indica el número de

unidades de tiempo en que puede retrasarse la realización

de la actividad con respecto al tiempo PERT previsto, de

manera que la duración del proyecto no se retrase.

O

Aquellas actividades cuya holgura total sea cero se

(26)

Conceptos de holgura y camino crítico

O

El camino crítico es el camino de longitud generalizada

máxima que va desde el vértice que representa el suceso

inicio del proyecto al vértice que representa el suceso fin

del proyecto.

O

Cuando existen varios caminos críticos se pueden aplicar

criterios estadísticos para establecer diferentes índices de

criticidad.

duración (holgura total) Suceso º ºº EETLET 2 2 2 1 0 0 2 (0) 3 6 6 5 8 11 4 2 (0) (3) 4 6 6 3 (1) 6 12 12 (0) 0 0 (0) (0) 6 7 12 18 1 (11) 8 15 15 0 (6) 4 (3) 3 (0) 9 15 20 0 (5) 11 23 23 10 21 21 2 (0) (5) 1 (0) 6 2 (6)

(27)

5.6. Calendario de ejecución del proyecto

O

En el calendario se establecen cuatro fechas para cada una

de las actividades:

– Fecha de comienzo más temprana:

∆

_ij

= t

_i

– Fecha de comienzo más tardía:

∆

*

ij

= t

i

+ H

Tij

= t

*j

- t

ij

– Fecha de finalización más temprana: ∇_ij = t_i + t_ij

– Fecha de finalización más tardía: ∇*

ij = t*j

O

En el caso de las actividades críticas las fórmulas

anteriores coinciden.

O

La holgura total de una actividad es igual a la diferencia

entre las fechas de comienzo más tardía y más temprana e

igual a la diferencia entre las fechas de finalización más

(28)

Calendario de ejecución del proyecto

(29)

5.7. El método PERT en un contexto aleatorio

O

Se trata de la aplicación del método PERT en un contexto

de riesgo en el que sólo se conoce la distribución de

probabilidad de la duración de las actividades.

O

En el método PERT se supone que esta distribución es

tipo beta:

– La función de densidad f (t) de una variable aleatoria t, que sigue una distribución de probabilidad tipo beta en un intervalo cerrado [a,b], es:

f (t) = 0

t

≤ a

f (t) = K (t - a)

α

_{(b - t)}

ϕ

_{a < t < b}

f (t) = 0

t

≥ b

– La campana no es simétrica como en las distribuciones normales pudiendo presentar asimetría:

» a la derecha: (a + b/2) > m (figura 9)

» a la izquierda: (a + b/2) < m (figura 10)

– Las curvas beta cortan al eje de abscisas en los puntos extremos de la distribución:

(30)

El método PERT en un contexto aleatorio

Figura 9. Distribución beta con asimetría a la derecha

Figura 3.1.

Pg

. 71

Figura 3.2.

(31)

El método PERT en un contexto aleatorio

O

Para distribuciones del tipo anterior las expresiones de

media y la varianza son las siguientes:

a + 4 m + b D =

6

O

El algoritmo PERT con probabilidad se basa en las

expresiones anteriores.

– a_i, m_i y b_i representan las estimaciones optimista, más probable y pesimista de la duración de una actividad i.

– D_i y v_i2 _{representan la media y la varianza de esa duración.}

– Si

ξ

_i representa la variable aleatoria que mide la duración de una actividad i que pertenece al camino crítico, la media y varianza de esa variable aleatoria serán:

a_i + 4 m_i + b_i D_i = 6

v

2

₌

( )

6 b - a

2

(32)

El método PERT en un contexto aleatorio

– Definimos una nueva variable aleatoria

η

que mide la duración del proyecto:

n

η

=

ξ

₁

+

ξ

₂

+ ... +

ξ

_i

+ ... +

ξ

_n

= ∑

ξ

_i

i=1

siendo n el número de actividades del camino crítico

– Cuando el número de actividades sea lo suficientemente elevado (n → ∞) la variable aleatoria que mide la duración del proyecto converge en distribución a una ley normal:

n n

η

→ N [ M = ∑ D

_i

; V

2

= ∑ v

i2

]

i=1 i=1

– A partir de la expresión anterior se puede determinar la probabilidad de terminación de un proyecto en un plazo no superior a un número de unidades de tiempo T:

(33)

6.1. Relación entre duración y coste de una actividad

O

Los fundamentos del método CPM son los mismos que

los del método PERT, sin embargo, uno de sus autores

(J.E.

Kelley) amplió el método CPM original

introduciendo la relación entre coste y duración de una

actividad dando lugar a la variante: programación de

proyectos a coste mínimo (MCE: Minimum Cost

Expediting).

O

En el método MCE para cada actividad ij del proyecto

existen dos tiempos de ejecución distintos, cada uno con

un coste asociado:

– T_ij = Tiempo normal de ejecución de la actividad ij

– C_ijT = Coste de ejecución de la actividad ij en el tiempo T_ij

– t_ij = Tiempo tope de ejecución de la actividad ij

– C_ijt = Coste de ejecución de la actividad ij en el tiempo t_ij

– x_ij = Duración de la actividad ij (incógnita del método MCE) O

Si se representan los costes frente a las duraciones de las

actividades tendremos los puntos:

(34)

Relación entre duración y coste de una actividad

O

Para simplificar el tratamiento, en lugar de trabajar con

funciones de coste no lineales, se puede considerar la

siguiente aproximación:

– Transformar las curvas coste-duración en líneas rectas.

– Introducir un coste suplementario S_ijt creciente, con

C_ijT- C_ijt

C_ij= C_ijt + (x_ij - t_ij)

T_ij - t_ij

(35)

Relación entre duración y coste de una actividad

S _ijt

=

C_ijt- CijT

La ecuación correspondiente a la recta coste suplementario-duración es:

– La pendiente de las rectas coste-duración y coste suplementario-duración representa el coste suplementario que se obtiene al reducir la duración del proyecto una unidad de tiempo. Se denomina coste unitario de reducción.

S _ijt

S_ij = S_ijt - (x_ij- t_ij )

(36)

6.2. Diferencias entre PERT y CPM

O

Asignación de tiempos a las actividades:

– PERT: tres estimaciones de tiempo

– CPM: una estimación única

O

Introducción en el método CPM de la relación que existe

entre el coste y la duración de una actividad: técnica de

programación de proyectos a coste mínimo.

O

Diferencias de notación

PERT

CPM

Suceso Nudo Actividad Trabajo Holguras Flotantes

Tiempo early Tiempo más bajo de_iniciación Tiempo last Tiempo más alto de_iniciación

(37)

Diferencias entre PERT y CPM

O

Cálculo de flotantes libres y flotantes independientes de

una actividad:

– Flotante libre de una actividad ij:

F

_ijL

_{= t}

j

- t

i

- t

ij

Representa la cantidad de flotante disponible después de haber realizado la actividad, si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos más bajos de iniciación.

– Flotante independiente de una actividad ij:

F

_ijI

_{= t}

j

- t

i*

- t

ij

Representa la cantidad de flotante disponible después de haber realizado la actividad, si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos más altos de iniciación.

(38)

7.1. Principios básicos

O

La diferencia básica entre el método ROY y los métodos

PERT y CPM reside en los principios de construcción del

grafo:

– Las actividades se representan por los vértices del grafo

– Las prelaciones existentes entre las actividades se representan mediante los arcos del grafo.

O

Representación de las prelaciones:

– Prelación lineal

– Prelaciones que originan convergencia

– Prelaciones que originan divergencia

A

B

A

B

C

D

B

C

A

(39)

Principios básicos

– Prelaciones que originan convergencia-divergencia

A

B

C

D

E

F

5 6 D E

ROY

PERT

(40)

Principios básicos

– Prelaciones lineales y de convergencia (o divergencia) simultáneas: – Actividades en paralelo:

A

B

C

D

ROY

PERT

3 4 1 2 B C D A 5 E 6

1

2

4 A

B

5

6 C

D

3 E

A

B

C

D

ROY

PERT

(41)

7.2. Construcción del grafo ROY

O

Para construir el grafo hay que introducir, en el conjunto

de actividades del proyecto, dos actividades adicionales:

las actividades inicio y fin del proyecto:

– La actividad inicio está representada por un vértice del que salen arcos que llegan a todas las actividades que no tienen actividades precedentes.

– La actividad fin de proyecto está representada por un vértice al que llegan arcos que proceden de los vértices que representan a todas las actividades que no tienen actividades siguientes.

O

Las actividades inicio y fin del proyecto son actividades

ficticias que no consumen tiempo ni recursos, se les

asigna un tiempo de ejecución igual a cero.

O

Si en el proyecto sólo existe una actividad sin

precedentes, esa actividad jugaría el papel de actividad

inicio del proyecto.

O

Si en el proyecto sólo existe una actividad sin siguientes,

esa actividad jugaría el papel de actividad fin del

proyecto.

(42)

Construcción del grafo ROY

Actividades

Precedentes

A -B -C A, B D A E A F D G D H G I F J E K C L H, I, J M K N M P L Q N, P R Q

(43)

7.3.

7.3. Cálculo de los tiempos mínimo y máximo

Cálculo de los tiempos mínimo y máximo

O

El tiempo mínimo de una actividad K representa lo más

pronto que se puede llegar a esa actividad:

T

_K

= max [T

_J

+ D

_J

]

∀ J

donde D_Jrepresenta la duración de la actividad J

O

El tiempo máximo de una actividad K representa lo más

tarde que se puede llegar a esa actividad:

T

_K*

_{= min [T}

L*

- D

K

] ∀ L

donde D_K representa la duración de la actividad J

O

Notación utilizada para dibujar el grafo:

D_K T_K K T_K*

(44)

Cálculo de los tiempos mínimo y máximo

O

Figura 5.8 pg. 114

Figura 15. Representación de tiempos mínimo y máximo en el grafo ROY

O

El cálculo de los tiempos mínimo y máximo se puede

calcular sin utilizar la estructura de grafo, construyendo

una matriz de encadenamientos en la que se han sustituido

las “X” por la duración de la actividad correspondiente a

la columna.

(45)

Cálculo de los tiempos mínimo y máximo

(46)

7.4.

7.4. Holguras y calendario de ejecución del proyecto

Holguras y calendario de ejecución del proyecto

O

Holgura total de cierta actividad K es la diferencia entre

sus tiempos máximo y mínimo:

H

_KT

_{= T}

K*

- T

K

Las actividades con holgura nula son actividades críticas.

O

La holgura libre de cierta actividad K viene dada por la

fórmula:

H

_KL

_{= min [T}

L

- T

K

- D

K

] ∀ L

O

A partir de los tiempos mínimo y máximo se puede

determinar el calendario de ejecución del proyecto:

– Fecha de comienzo más temprana:

∆

_K

= T

_K

– Fecha de comienzo más tardía:

∆

*

K

= T

K*

– Fecha de finalización más temprana: ∇_K = T_K+ D_K

– Fecha de finalización más tardía:

(47)

Ejercicios

O

Construir los grafos PERT y ROY y determinar el camino

crítico para un proyecto cuyas actividades y prelaciones

se recogen en el siguiente cuadro:

5 3 4 3 2 2 5 3 6 1 4 2 Duración J, K L D K I J D I G H D G E F G E -D B, H C A B -A Precedentes Actividades

(48)

Ejercicios

O

Construir el grafo ROY del siguiente proyecto:

El proyecto consiste en pintar un cuartel rectangular en

tres etapas: primero raspar la pintura vieja, después aplicar

la nueva pintura y finalmente acuchillar la pintura de los

cristales de las ventanas. Se dispone de 15 soldados y de 5

herramientas de cada clase (raspadores, brochas y

cuchillas).

Actividad Duración Actividad Duración

A Raspar cara 1 ₂ G Raspar cara 4 ₄

B Raspar cara 2 ₄ H Pintar cara 3 ₃

C Pintar cara1 ₃ I Acuchillar cara 2 ₂

D Raspar cara 3 ₂ J Pintar cara 4 ₆

E Pintar cara 2 ₆ K Acuchillar cara 3 ₁

(49)

Ejercicios

A B C D E F G H I J K L Duración A 2 B X 4 C X 3 D X 2 E X X 6 F X 1 G X 4 H X X 3 I X X 2 J X X 6 K X X 1 L X X 2

Solución

A B C D G H J K L Fin Ini . 0/ 0 0 2 2 3 4 4 2 2 6 3 3 4 6 1 2 2 6 0/ 0 2/2 2/3 6/9 6/6 12/18 8/11 12/12 15/15 15/20 21/21 23/23 A B C D G H J K L Fin Ini . 0/ 0 0 2 2 3 4 4 2 2 6 3 3 4 6 1 2 2 6 0/ 0 2/2 2/3 6/9 6/6 12/18 8/11 12/12 15/15 21/21 23/23

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BIBLIOGRAFÍA

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