campo electrico

(1)

FÍSICA II.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 3: EL CAMPO ELÉCTRICO.

CARGAS PUNTUALES.

Ing. Willians Medina.

(2)

3.1.- CARGAS PUNTUALES.

Campo eléctrico debido a una carga eléctrica.

Ejemplo 3.1. Problema 37 del Tipler. Sexta Edición. Página 723.

Una carga de 4.0C está en el origen. ¿Cuál es el módulo y sentido del campo eléctrico sobre el eje x en a) x6m y b) x10m? c) Hacer un esquema de la función E _x respecto a x, tanto para valores positivos como negativos de x. (Recuérdese que E es x negativo cuando E señala en el sentido negativo de las x.)

Solución.

Carga eléctrica: q4.0C

a) Distancia de separación entre la carga q y la carga de prueba q : r = 10 m. 0

Campo eléctrico. 2 r q k E  2 6 2 2 9 m) 6 ( C 10 4 C N.m 10 9      E N/C 1000  E

b) Distancia de separación entre la carga q y la carga de prueba q : r = 10 m. ₀

Campo eléctrico. 2 r q k E  E q 0 q 10 m E q 0 q 6 m

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2 6 2 2 9 m) 10 ( C 10 4 C N.m 10 9      E N/C 360  E c) ₂ r q k E 2 6 2 2 9 4 10 C C N.m 10 9 x E      2 36000 x E Ejercicios propuestos.

1. Determine el campo eléctrico producido por una carga puntual de 4.5C en un punto P ubicado a 14 cm de la misma.

Respuesta: E2.0663106N/C

2. ¿A qué distancia de una carga puntual q50C, el campo eléctrico posee una intensidad de 200 N/C?

Respuesta: r47.43m

3. [RH] ¿Qué magnitud tiene una carga puntual elegida de modo que el campo eléctrico a 75.0 cm de distancia posea la magnitud 2.30 N/C?

(4)

Respuesta: 144 pC

Relación entre la fuerza eléctrica y el campo eléctrico. Ejemplo 3.2.

Una carga q50C se encuentra en una región que posee un campo eléctrico uniforme k

j i

E2.5N/C 4N/C 10N/C . Determine la fuerza que dicho campo ejerce sobre la carga.

Solución.

Cuando se conoce el campo eléctrico en un punto del plano o del espacio, se puede conocer la fuerza eléctrica en dicho punto multiplicando el valor del campo eléctrico por la carga allí colocada. E q F  ) N/C 10 N/C 4 N/C 5 . 2 ( C 10 50 6 i j k F      N ) 10 5 10 2 10 25 . 1 ( 4i 4 j 4k F         Ejercicios propuestos.

4. ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza eléctrica sobre un electrón en un campo eléctrico uniforme de magnitud 1920 N/C que apunta hacia el este?

Respuesta: F 3.081016Ni

5. [RH] El aire húmedo se divide (sus moléculas se ionizan) en un campo eléctrico de N/C

10 0 .

3  6 . ¿Qué magnitud tiene la fuerza eléctrica en a) un electrón y b) en un ión (con un solo electrón faltante) en este campo?

Respuesta: E4.8065N/C

6. La fuerza eléctrica sobre una carga de 4.20C es F(7.22104N)j. ¿Cuál es el campo eléctrico en la posición de la carga?

Respuesta: E171.90N/C j

7. Determine la intensidad de un campo eléctrico uniforme para que produzca una fuerza

j i

F1.2104N 4.5104N

, sobre una carga q8C.

(5)

8. [TM] Cuando se coloca una carga testigo q₀ 2C en el origen, experimenta la acción de una fuerza de 8.010–4 N en la dirección positiva del eje de las y . a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen? b) ¿Cuál sería la fuerza que se ejercería sobre una carga de 4C situada en el origen? c) Si esta fuerza fuera debida a una carga situada en el eje y en

cm 3



y , ¿cuál sería el valor de dicha carga?

Respuesta: a) E(400N/C)j; b) F(1.6103 N)j

9. [RH] Dos grandes placas conductoras paralelas están separadas por una distancia de 12.0 cm y transportan cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. Un electrón colocado en la mitad entre ellas experimenta una fuerza de 3.901015N. Calcule el campo eléctrico en la posición del electrón.

Respuesta: E₁2.4341104 N/C

10. [RH] Una distancia de 11.7 cm separa dos cargas puntuales de magnitud q₁ 2.16C y q2 85.3nC. a) Obtenga la magnitud del campo eléctrico que una produce en el sitio de la otra. b) Obtenga la magnitud de la fuerza en ellas.

Respuesta: a) E₁1.4182106 N/C, E₂ 5.6003104 N/C; b) F0.1210N Campo eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas.

Ejemplo 3.3.

Dos cargas q y ₁ q cuando se combinan dan una carga total de 6.10₂ –6 C. Cuando están separadas 3 m, la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de 8.10–3 N. Determinar el campo eléctrico que actúa sobre cada carga.

Solución.

Carga total cuando están combinadas: C 10 6 6 2 1    q q (1) d = 3 m F = 810–3 N q F E

(6)

1 1 q F E  2 2 q F E 

Para determinar el campo eléctrico se debe conocer el valor de las cargas individuales. Ley de Coulomb. 2 2 1 2 1   d q q k F Al sustituir valores: 2 2 1 9 3 3 10 9 10 8    qq 12 2 1 8 10    q q (2)

Se debe resolver el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2).

De la ecuación (1): 1 6 2 6 10 q q     Al sustituir en la ecuación (2): 12 1 6 1(6 10 ) 8 10   _ _ _  q q 12 2 1 1 6 10 8 10 6  q q    0 10 8 10 6 1 12 6 2 1        q q

Al resolver la ecuación de segundo grado anterior: C 10 4 6 1    q , q₂ 2106C C 10 2 6 1    q , 2 4 10 6 C    q

Se toma el primer caso. C 10 4 6 1    q , q₂ 2106 C. Campo eléctrico debido a cada carga:

1 1 q F E  3  

(7)

N/C 2000 1  E 2 2 q F E  6 3 2 10 2 10 8      E N/C 4000 2  E

En caso de las cargas ser de signos diferentes. C 10 6 6 2 1    q q (1) 2 2 1 12 r q q k F  2 2 1 9 3 3 10 9 10 8    qq 12 2 1 8 10    q q (2) De la ecuación (1): 2 1 6 10 6    q q Al sustituir en la ecuación (2): 12 6 1 1( 6 10 ) 8 10   _ _   q q 12 1 6 2 1 6 10 8 10   _ _   q q 0 10 8 10 6 1 12 6 2 1        q q

Al resolver la ecuación de segundo grado anterior: C 10 1231 . 7 6 1    q , q₂ 1.1231106 C Campo eléctrico debido a cada carga:

1 1 q F E  6 3 1 10 1231 . 7 10 8      E N/C 11 . 1123 1  E

(8)

2 2 q F E  6 3 2 10 1231 . 1 10 8      E N/C 14 . 7123 2  E Ejemplo 3.4.

Dos cargas puntuales q₁ 3C y q₂ 9C, están separadas una distancia de 2 m. a) ¿En qué punto el campo eléctrico es cero?

b) Si q₂ 9C, ¿En qué punto el campo eléctrico sería cero?

Solución.

Cuando el signo de las cargas es diferente, la tercera carga debe colocarse fuera del espacio comprendido entre ellas, y más cerca de la carga más pequeña en valor absoluto.

Ubicamos la carga de prueba q una distancia x a la izquierda de ₀ q₁ . a)

Puesto que el campo eléctrico resultante sobre la carga q es nula: ₀ 0 2 1E  E 2 1 E E  Campo eléctrico. 2 r q k E  q  1 q q₂ 2 m x 1 E 2 E q0 1 q q₂ 2 m

(9)

2 2 2 ) 2 ( x q k E  

Al igualar los campos:

2 2 2 1 ) 2 ( x q k x q k   Al simplificar k: 2 2 2 1 ) 2 ( x q x q  

Reacomodando la expresión anterior:

1 2 2 2 ) 2 ( q q x x   1 2 2 2 q q x x        

Al tomar la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:

1 2 2 q q x x   C C x x   3 9 2   7321 . 1 2   x x

Finalmente se despeja x de la ecuación: x x 1.7321 2  x x 1.7321 2 x 7321 . 0 2 7321 . 0 2  x 7321 . 2  x

(10)

El campo eléctrico es nulo a una distancia de 2.7321 m de la carga de q₁3C y 4.7321 m de la carga q₂ 9C.

b) Cuando el signo de las cargas es igual, la tercera carga debe colocarse dentro del espacio comprendido entre ellas, y más cerca de la carga más pequeña en valor absoluto.

Ubicamos la carga de prueba q una distancia x a la derecha de ₀ q₁ .

Puesto que el campo eléctrico resultante sobre la carga q es nula: ₀ 0 2 1E  E 2 1 E E  Campo eléctrico. 2 r q k E  2 1 1 x q k E  2 2 2 ) 2 ( x q k E  

Al igualar los campos:

2 2 2 1 ) 2 ( x q k x q k   Al simplificar k: 2 2 2 1 ) 2 ( x q x q  

Reacomodando la expresión anterior:

2 2 ) 2 ( x q   1 E 1 q q₂ 2 E 2 m x 0 q

(11)

1 2 2 2 q q x x _       

Al tomar la raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación:

1 2 2 q q x x _  C C x x   3 9 2   7321 . 1 2   x x

Finalmente se despeja x de la ecuación: x x 1.7321 2  x x 1.7321 2 x 7321 . 2 2 7321 . 2 2  x 7321 . 0  x

El campo eléctrico es nulo a una distancia de 0.7321 m de la carga de q₁3C y 1.2679 m de la carga q₂ 9C.

Ejercicios propuestos.

11. [RH] Las cargas +q y –2q se encuentran fijas y separadas a una distancia d como se ve en la figura. Encuentre E en los puntos A, B y C.

Respuesta: i d q k E_A  ₂ , i d q k E_B 12 ₂ , i d q k E_B ₂ 2 3  

12. Dos cargas puntuales Q1 2C y Q2 5C se encuentran separadas por una

distancia de 5 cm. Si Q se encuentra a la izquierda de ₁ Q , diga en qué lugar (a la derecha, 2

q  d q 2  A B C d d d/2

(12)

a la izquierda o en el centro), el campo eléctrico producido por las dos cargas es nulo. Determine la distancia exacta con respecto a Q en que el campo se anula. ₁

Respuesta: A una distancia de 0.086 m de la carga de Q₁ y 0.136 m de la carga Q₂

13. [TM] Dos cargas puntuales, cada una de ellas de 4C están sobre el eje x, una en el origen y la otra en x = 8 m. Hallar el campo eléctrico sobre el eje x en a) x = –2 m, b) x = 2 m, c) x = 6 m. y d) x = 10 m. e) ¿En qué punto del eje x es cero el campo eléctrico? f) Hacer un esquema de E en función de x en el intervalo –3.0 < x < 11 m. _x

Respuesta: a) E(9360N/C)i, E(8000N/C)i; b) En el punto equidistante de las cargas

14. Tres partículas de carga qa 14nC, qb 26nC y qc 21nC están dispuestas en línea recta. La partícula b está entre a y c, a una distancia de 120 mm de la a y 160 mm de la c. Determine el campo eléctrico producido por las partículas a y c en la posición de la partícula b. Determine el campo eléctrico producido por las partículas a y b en la posición de la partícula c.

Respuesta: E(1365.29N/C)i, E(390.08N/C)i

15. Dos cargas de signos contrarios están separadas 12 cm. La magnitud de la intensidad eléctrica en el punto medio entre las cargas es de 5106 N/C. La suma algebraica de las dos cargas es de +4 µ C. Determine el valor de las cargas.

Respuesta: 1 3 10 6 C

  

q , q₂ 106 C

16. [MA] Se tienen dos cargas puntuales, 5C y 10C, distantes 1 m. a) Encontrar el módulo y la dirección del campo eléctrico en un punto situado a 0.6 m de la primera carga y a 0.8 m de la segunda. b) Hallar el punto donde el campo eléctrico de estas dos cargas es cero.

17. [RS] En la figura, determine el punto (distinto del infinito) en el cual el campo eléctrico es igual a cero.



1.00 m

(13)

Respuesta: A 1.8209 m de la carga q₁ 2.50C y 2.8209 m de la carga q₂ 6.00C

18. Dos cargas 3q y –7q están separadas 50 cm. Determinar: a) El punto (o puntos) donde la intensidad del campo eléctrico es cero. b) La intensidad del campo eléctrico en el punto (o puntos) donde es igual debido a cada carga.

Respuesta: a) A 94.78 m de la carga 3q y 144.78 m de la carga –7q; b) x19.78 cm

19. [RH] En la figura, localice el punto (o puntos) donde el campo eléctrico es cero.

Respuesta: A 2.7208 a de la carga 2q y 3.7208 a de la carga –5q

20. [TM] Una carga puntual de 5C está localizada en x3.0cm y una segunda carga puntual de 8C está localizada en x4.0cm. ¿Dónde debe situarse una tercera carga de 6C para que el campo eléctrico en x0 sea cero?

Respuesta: En x2.38cm

21. Una carga q de +8 µ C está ubicada en x = 0 y en x = 35 mm está ubicada otra carga ₁

2

q . La intensidad del campo eléctrico en x = 45 mm es de 2107 N/C con la misma dirección del eje x. Determine el punto en donde la intensidad del campo eléctrico es cero.

Respuesta: q₂ 1.7253107C, x76.02mm

22. Una carga q de +4 µ C está ubicada en x = 0 y en x = 45 mm está ubicada otra carga 1 2

q . La intensidad del campo eléctrico en x = 55 mm es de 3.5107 N/C con la misma dirección del eje x. Determine el punto en donde la intensidad del campo eléctrico es cero.

Respuesta: 2 2.5720 10 7C    q , x9.10mm q 5  a q 2  1 q q₂ 50 cm

(14)

23. [TM] Se colocan tres cargas puntuales de –5.00, +3.00 y 5.00 C sobre el eje x en los puntos x1.00cm, x0 y x1cm, respectivamente. Calcular el campo eléctrico en el eje x para x15cm. ¿Hay puntos donde el módulo del campo eléctrico es cero? Si es así, ¿qué puntos son?

Respuesta: 1.7357 106 N/C

1  

E , x6.95cm

24. [TM] Una carga de 3.0C está localizada en el origen; una segunda carga de C

0 .

4  está localizada en x0.2m, y0, y una tercera carga Q está situada en m

32 . 0



x , y0. La fuerza que actúa sobre la carga de 4.0C es 240 N, en dirección x positiva. a) Determinar la carga Q. b) Con esta configuración de tres cargas, ¿en qué punto a lo largo de la dirección x el campo eléctrico es cero?

Respuesta: Q9.7312105C, x0.0508cm Sistemas que involucran fuerza gravitacional. Ejemplo 3.5.

[MA] ¿Cuál debe ser la carga de una partícula de masa 2 g para que permanezca en reposo en el laboratorio al colocarse donde el campo eléctrico está dirigido hacia abajo y es de intensidad 500 N/C? Solución. 0 



Fy 0  P F_e P Fe  g m E q  m e F P

(15)

E g m q N/C 500 m/s 9.81 kg 10 2 3  2   q C 10 924 . 3  5  q Ejercicios propuestos.

25. [RS] ¿Cuál será la magnitud y la dirección del campo eléctrico que equilibre el peso de a) un electrón y b) un protón?

Respuesta: a) 55.8 pN/C abajo; b) 102 nN/C arriba

26. [RH] Una partícula alfa, el núcleo de un átomo de helio, tiene una masa de kg

10 64 .

6  27 y una carga de 2e. ¿Qué magnitud y dirección del campo eléctrico balancearán su peso?

Respuesta: E2.0328107 N/C

27. [RH] En un campo eléctrico uniforme cerca de la superficie terrestre una fuerza eléctrica de 3.0106N hacia abajo actúa sobre una partícula con una carga de

C 10 0 . 2  9

 . a) Determine el campo eléctrico. b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza eléctrica ejercida sobre un protón puesto en este campo? c) ¿Cuál es la fuerza gravitacional ejercida sobre el protón? d) ¿Cuál es la razón de la fuerza eléctrica a la gravitacional en este caso?

Respuesta: a) E1500N/C; b) F_e 2.401016N; c) 1.641026 N

g

F ; d) 1.461010

28. [TM] La Tierra tiene un campo eléctrico cerca de su superficie que es de, aproximadamente 150 N/C y que está dirigido hacia abajo. a) Comparar la fuerza eléctrica ascendente ejercida sobre un electrón con la fuerza gravitatoria dirigida hacia abajo. b) ¿Qué carga debería tener una moneda de 3 g para que el campo eléctrico equilibrase su peso cerca de la superficie de la Tierra?

Respuesta: a) Fe 2.401017 N, 8.94 10 N 30    g F ; b) q1.962104 C

(16)

29. [RH] En el experimento de Millikan, se balancea una gota de radio 1.64m y de una densidad 0.851 g/cm3 cuando se aplica un campo eléctrico de 1.92105N/C. Calcule la carga en la gota en términos de e.

Respuesta: 5 e

30. Una masa puntual “m” que posee una carga “q” se encuentra colgada de un hilo de masa despreciable. Si se establece un campo eléctrico uniforme en dirección horizontal tal y como se muestra en la figura y la masa se mantiene en equilibrio formando un ángulo  con la vertical, determine el ángulo que adquiere el hilo con respecto a la vertical. Tómese:

g 20



m , q2C, E2104N/C. ¿Qué pasa si se cambia el sentido del campo? ¿Qué pasa si se cambia el sentido de la carga?

Respuesta: 11.52º

31. Una esfera de masa “m” que posee una carga “q” se encuentra ubicada en un plano inclinado que forma un ángulo  con la horizontal como se muestra en la figura. Demuestre que para que la masa se mantenga en equilibrio se debe establecer un campo eléctrico uniforme en dirección horizontal y sentido oeste de valor i

q g m

E  tan .

32. [RS] Una pelota de corcho cargada con 1.00 g de masa está suspendida de un hilo muy ligero en un campo eléctrico uniforme, como se observa en la figura. Cuando

 q E  q E

(17)

N/C 10 ) 00 . 5 00 . 3 (   5  i j

E , la pelota está en equilibrio en  37.0º. Determine a) la carga sobre la pelota y b) la tensión en el hilo.

Respuesta: q10.9nC, T 5.44nN

33. [DF] Dos esferitas idénticas de masa m y cargas iguales y opuestas de magnitud q, están suspendidas por cuerdas ligeras de longitud L. Un campo uniforme se aplica en la dirección x y las dos esferitas se ubican en equilibrio cuando los hilos forman un ángulo . Determine la magnitud del campo eléctrico.

Respuesta: q g m L q k E   tan sen 4 2 2  

34. [RS] Una pelota de corcho de 1.00 g con una carga de 2.00C está suspendida verticalmente de un hilo ligero de 0.500 m de largo en un campo eléctrico uniforme dirigido hacia abajo, de magnitud E1.00105N/C. Si se desplaza ligeramente de la vertical, la pelota oscila como un péndulo simple. a) Determine el periodo de esta oscilación. b) ¿Deberán incluirse las fuerzas de la gravedad en el cálculo del inciso a? Diga por qué.

Respuesta: a) 0.307 s; b) Si

35. [TM] Se coloca un péndulo simple de 1.0 m de longitud y 5103 kg de masa en un campo eléctrico uniforme de masa E que se dirige verticalmente hacia arriba. La “lenteja”

 q E  q  E q

(18)

del péndulo tiene una carga q8.0C. El periodo del péndulo es 1.2 s. Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico.

Respuesta: E(2858.82N/C) j

Campo eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas en el plano. Ejemplo 3.6.

Dos cargas puntuales q1 6C y q2 6C, están ubicadas como muestra la figura.

a) ¿Cuál es la magnitud y dirección de E en el punto S?

b) ¿Cuál es la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P? Solución.

a) En el punto S.

Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0. 2 q 1 q P x y 4 cm 3 cm 3 cm S 6 cm

(19)

Campo eléctrico resultante.

2

1 E

E ER  

Puesto que los campos se encuentran en la misma dirección:

2

1 E

E ER  

Módulo de los campos individuales.

Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q . ₀

2 1 1 1 r q k E  2 2 6 2 2 9 1 m) 10 9 ( C 10 6 C N.m 10 9 _       E N/C 10 67 . 6 6 1   E

2 2 2 2 r q k E  2 2 6 2 2 9 2 m) 10 3 ( C 10 6 C N.m 10 9 _       E N/C 10 60 6 2   E 2 q 1 q P x y 4 cm 3 cm 3 cm S 6 cm 1 E 2 E 0 q

(20)

Campo eléctrico resultante. N/C 10 67 . 6 N/C 10 60 6   6  R E j E_R (53.33106 N/C) b) En el punto P.

2

1 E

E E_R  

Campo Componente x Componente y

1

E E₁ cos  E₁ sen 

2

E  E₂ cos  E₂ sen 

R

E E1 cos  E2 cos  E1 sen  E2 sen 

El campo eléctrico resultante se expresa como:

j E E i E E

E_R ( ₁ cos ₂ cos) ( ₁ sen  ₂ sen )

2 1 E E  j E ER 2 1 sen 

Módulo del campo eléctrico resultante.

Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q . 0 2 q 1 q P x y 4 cm 3 cm 3 cm S 6 cm r   R E 1 E 2 E 0 q

(21)

2 1 1 1 r q k E 

Distancia de separación entre la carga 1 y la carga de prueba q . ₀

2 2 2 2 ) m 10 4 ( ) m 10 3 (       r m 10 5 2  r 2 2 6 2 2 9 1 ) m 10 5 ( C 10 6 C N.m 10 9 _       E N/C 10 16 . 2 7 1   E

Ángulo que forma el campo eléctrico (E ) con la horizontal. ₁

r m 10 3 sen 2     m 10 5 m 10 3 sen ₂ 2       6 . 0 sen  

Campo eléctrico resultante. j ER 2 2.16 10 N/C 0.6 7      j E(2.592107 N/C)

Ejemplo 3.7. Problema 17 del Serway. Séptima Edición. Página 667.

En las esquinas de un cuadrado de lado a, como se muestra en la figura, existen cuatro partículas con carga. a) Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en la ubicación de la carga q. b) ¿Cuál es la fuerza eléctrica total ejercida sobre q?

a q 2 q 3 4q q

(22)

Solución.

Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0.

3 2

1 E E

E

E_R   

1 E E 1 0 2 E E₂ cos45º E₂ sen 45º 3 E 0 E 3 R E E₁  E₂ cos45º E₂ sen 45º E₃ El campo eléctrico resultante se expresa como:

j E E i E E E_R ( ₁  ₂ cos45º) ( ₂ sen 45º ₃ ) Módulo de los campos individuales.

2 2 2 1 1 1 2 ) ( 2 a q k a q k r q k E    a 1 q 2 q q3 4 q 1 E 2 E 3 E 45º

(23)

2 2 2 2 2 2 2 3 ) 2 ( 3 a q k a q k r q k E   

2 2 2 3 3 3 4 ) ( 4 a q k a q k r q k E   

j a q k a q k i a q k a q k ER                      ₂ ₂ ₂ 2 ₂ 2 2 2 3 2 2 2 3 2 j a q k i a q k ER                    4 4 2 3 4 2 3 2 ₂ 2                             i j a q k E_R 4 4 2 3 4 2 3 2 2 ) 0607 . 5 0607 . 3 ( 2 i j a q k E_R  

2 2 2 (3.0607) (5.0607)  a q k E_R 2 9142 . 5 a q k E_R 

Dirección del campo eléctrico resultante.

x R y R E E , , tan  0607 . 3 0607 . 5 tan  6534 . 1 tan  º 83 . 58  

Fuerza resultante sobre q . E

q F 

(24)

) 0607 . 5 0607 . 3 ( 2 i j a q k q F_R    ) 0607 . 5 0607 . 3 ( 2 2 j i a q k FR   2 2 9142 . 5 a q k FR 

La dirección de la fuerza es la misma del campo eléctrico.

Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L , según se ve en la figura. Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado está dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor E es _

       5 5 1 1 8 2 L q k . Solución.

Campo eléctrico en el punto medio de uno de los lados.

Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0. L q  q q q

(25)

Campo eléctrico resultante. 4 3 2 1 E E E E ER    

1 E  E₁ cos E₁ sen  2 E 0  E2 3 E 0  E3 4 E E₄ cos E₄ sen 

El campo eléctrico resultante se expresa como:

j E E E E i E E

ER ( 1 cos 4 cos) ( 1 sen  2  3  4 sen ) 4 1 E E  3 2 E E  j E E E E i E E

ER ( 1 cos 1 cos) ( 1 sen  2  2  1 sen )

j E E E_R (2 ₁ sen 2 ₂ ) j E E E_R 2( ₁ sen   ₂ )

Módulo de los campos individuales.

2 2 4 5 2 2 2 1 1 5 4 ) ( L q k L q k L L q k E     L 1 q 4 q q₃ 2 q 3 E 1 E E₄  2 E 0 q

(26)

Campo eléctrico ejercido por la carga 2 sobre la carga de prueba q . ₀ 2 2 4 1 2 2 1 2 4 ) ( L q k L q k L q k E   

5 1 ) ( sen 2 4 5 2 1 2 2 2 1 2 1     L L L L L 

Campo eléctrico resultante. j L q k L q k E_R _          ₂ 4 ₂ 5 1 5 4 2 j L q k E_R _         1 5 5 1 8 2 j L q k E_R _         1 25 5 8 2

El campo eléctrico tiene dirección a lo largo del eje vertical y sentido hacia la carga negativa. Su módulo es:

          25 5 1 8 2 L q k E_R Ejercicios propuestos.

36. [RS] Tres partículas con carga están alineadas a lo largo del eje x, según se muestra en la figura. Determine el campo eléctrico en a) la posición (2.00,0) y b) (0,2.00).

Respuesta: a) E(24.21N/C)i; b) E(4.21N/C)i(8.42N/C) j 3.00 nC x y 0.500 m 0.80 m 5.00 nC –4.00 nC

(27)

37. Tres cargas puntuales están ordenadas como se muestra en la figura. a) Encuentre el vector campo eléctrico que crean en el origen de manera conjunta las cargas de 6 nC y –3 nC. b) Encuentre el vector fuerza sobre la carga de 5 nC.

Respuesta: a) E(440.21N/C)i(674.07N/C) j; b) N ) 10 3703 . 3 10 2010 . 2 ( 6i 6 j F     

38. Dos cargas eléctricas q₁ 4105C y q₂ 3105 C están en los extremos de un triángulo rectángulo. Determinar la intensidad del campo eléctrico en: a) El punto C, b) El punto medio de la hipotenusa, c) Donde es nulo según la línea que une las cargas.

Respuesta: a) E(4.2129107i1.6852108 j)N/C; b) N/C ) 10 48 . 1 10 56 . 2 ( 8i 8 j E    ; c) A 59.71 cm de la carga q₂ y 68.95 cm de la carga 1

q sobre la línea que une q₁ y q₂

39. Tres partículas con cargas q_A35nC, q_B 25nC y q_C 40nC, están colocadas en las esquinas de un triángulo. La partícula A está en la esquina de 90 grados, a una distancia de 18 cm de la B y a 24 cm de C. Coloque el sistema de coordenadas centrado en

–3 nC 6 nC x y 0.2 m 0.35 m 5 nC 1 q C q2 8 cm 30º

(28)

A, B en el eje x y C en el eje y , determine a) el campo eléctrico producido por las partículas b y c en la posición de la partícula a, b) el campo eléctrico producido por las partículas a y b en la posición de c.

Respuesta: a) E_A (6934.84i6241.36j)N/C; b) E(1497.93i3463.95j)N/C

40. [RS] En los vértices de un triángulo equilátero existen tres cargas según se muestra en la figura. a) Calcule el campo eléctrico en la posición de la carga de 2.00C debido al campo de las cargas de 7.00C y de 4.00C. b) Utilice la respuesta del inciso a) para determinar la fuerza ejercida sobre la carga de 2.00C.

Respuesta: E(18.0103i218103 j)N/C

41. En un triángulo equilátero de lado 6 cm se colocan tres cargas eléctricas cuyos valores son: q 1 = 4.10–6 C, q 2 = –5.10–6 C, q 3 = –3.10–6 C. Determinar la intensidad del campo eléctrico en el punto medio del lado AC.

C 0 . 7  C 0 . 2  4.0C 60º 0.50 m 1 q q₃ 2 q A C B

(29)

42. Tres partículas con cargas iguales q están en las esquinas de un triángulo equilátero de lado d , determine el campo eléctrico en a) el centro del triángulo y b) en el punto medio de uno de sus lados.

Respuesta: a) 0; b) ₂ 3 4 d q k E

43. [TM] Dos partículas puntuales con carga q cada una de ellas se colocan en la base de un triángulo equilátero de lado L (Figura). Una tercera partícula puntual de carga 2q se coloca en el otro vértice. ¿Dónde deberíamos colocar una cuarta carga puntual q para que el campo eléctrico en el centro del triángulo fuera cero? (El centro está en el plano del triángulo y equidistante de los tres vértices).

Respuesta: A una distancia 3d desde el centro sobre la línea que une la carga 2 q con el centro y del lado opuesto a la carga 2 q

44. [TM] Dos partículas puntuales con carga q cada una de ellas se colocan en la base de un triángulo equilátero de lado L (Figura). Una tercera partícula puntual de carga 2q se coloca

L q q q 2 d q q q

(30)

en el otro vértice. Se coloca una cuarta carga puntual q´ en el punto medio de la base, de tal forma que el campo eléctrico en el centro del triángulo es cero. ¿Cuál es el valor de q´? (El centro está en el plano del triángulo y equidistante de los tres vértices).

Respuesta: q₃1q

45. a) Determine el campo eléctrico en el origen debido a las dos cargas en A y B. b) repita el inciso a) pero considerando ahora que la carga en B es de signo contrario.

Respuesta: a) ( 3 3 ) 2l2 i j q k E  ; b) ( 3 ) 2l2 i j q k E  

46. [PT] Dos cargas iguales y opuestas, +q y –q, están colocadas en las esquinas de la base de un triángulo equilátero cuyos lados tienen una longitud a. Muestre que la magnitud de la intensidad del campo eléctrico en el vértice superior es la misma, con o sin la presencia de una de las cargas. ¿Cuál es el ángulo entre los dos campos producidos de esta forma?

x y l Q Q l l B A O L q q q 2

(31)

Respuesta: ₂

a q k

E  , 60º

47. Se coloca una carga de magnitud q en cada uno de los vértices de un cuadrado de arista

a. Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto medio de uno de los lados. Suponga que q8.8C y a0.100m.

Respuesta: ₂ 5 5 16 a q k

E  , Dirigido hacia el centro del cuadrado. E1.1318107 N/C 48. Tres partículas con cargas positivas iguales q ocupan esquinas en un cuadrado de lado

d , determine el campo eléctrico a) en el centro del cuadrado, b) en la esquina vacante y c) en el punto medio de cada uno de los lados del cuadrado.

Respuesta: a) 2 ₂ (i j) d q k E   ; b) ( ) 4 2 1 ₂ i j d q k E _          ; c) Lado inferior:



i j



d q k E 2 5 5 4 2   , Lado derecho: _         i j d q k E 5 5 4 4 2

49. [RH] Determinar el campo eléctrico en el centro del cuadrado de la figura. Suponga que nC 8 . 11  q y que a5.20cm. d q q q

(32)

Respuesta: j a

q k

E 2 2₂ , E(1.1093105 j)N/C 50. [DF] Tres cargas puntuales 1 3 10 6C

    Q , 2 2 10 6 C    Q y 3 10 6C   Q están en las esquinas de un paralelogramo, cuyos lados son a3m y b2m, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el campo eléctrico resultante en la esquina vacante?

Respuesta: (1276i2330 j)N/C

Campo eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas en el plano cartesiano. Ejemplo 3.9. Problema 44 del Tipler. Sexta Edición. Página 724.

Dos cargas positivas iguales q están en el eje y; una está en y a y la otra en ya. a) Demostrar que el campo eléctrico en el eje x está dirigido a lo largo de dicho eje con

2 3 ) ( 2 2 2 a x x q k E_x 

 . b) Demostrar que en las proximidades del origen, donde x es mucho menor que a, 2 ₃

a x q k

E_x  . c) Demostrar que para x mucho mayor que a, 2 ₂ x

q k E_x  . Explicar por qué debería esperarse incluso antes de ser calculado. d) Demostrar que el

x y b a 1 Q 3 Q 2 Q 30º a q q  ₂_q q 2 

(33)

campo eléctrico para la distribución de cargas tiene su máximo valor en los puntos 2 a x y 2 a x . Solución.

Se realiza el diagrama de campos indicando la influencia de cada una de las cargas sobre la carga de prueba q0. 2 q 1 q 0 q x y x a a

(34)

2

1 E

E E_R  

1

E E₁ cos  E₁ sen 

2

E E2 cos E2 sen 

R

E E₁ cos  E₂ cos  E₁ sen  E₂ sen  El campo eléctrico resultante se expresa como:

j E E i E E

ER ( 1 cos 2 cos) ( 1 sen  2 sen )

j E E i E E E_R ( ₁  ₂ )cos ( ₁  ₂ )sen  2 1 E E  i E E_R 2 ₁ cos

Campo eléctrico ejercido por la carga 1 sobre la carga de prueba q . 0

q  1 E 2 q 1 q 0 q 2 E   x y x a a R E r

(35)

Distancia de separación entre la carga 1 y la carga de prueba q . ₀ 2 2 2 a x r   2 2 1 a x q k E  

2 2 cos a x x    i a x x a x q k E_R 2 2 2 2 2     i a x x q k E_R 2 3 ) ( 2 2 2   b) Si xa: x2 a2 a2 2 3 ) ( 2 2 a x q k E_R  3 2 a x q k E_R  c) Si xa: x2a2 x2 2 3 ) ( 2 2 x x q k ER  3 2 x x q k E_R  2 2 x q k ER 

El campo obtenido es el equivalente al campo existente debido a una carga puntual cuyo valor es q2 a una distancia x, esto es, el sistema se comporta como una carga puntual. d) 2 3 ) ( 2 2 2 a x x q k ER  

(36)

Para un valor máximo del campo eléctrico: 0 x d E d _R 3 2 2 2 2 2 3 2 2 ) ( ) 2 ( ) ( 2 ) ( 2 2 1 2 3 a x x a x x q k a x q k x d E d _R       3 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( 6 ) ( 2 2 1 2 3 a x a x x q k a x q k x d E d _R      3 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) 3 ( ) ( 2 2 1 a x x a x a x q k x d E d _R      2 5 ) ( ) 2 ( 2 2 2 2 2 a x x a q k x d E d R    0 2 2 2  x a 2 2 2x a 2 2 2 a x  2 a x Ejercicios propuestos.

51. [TM] Una carga puntual 5C está localizada en x4m, y2m. Una segunda carga puntual de 12C está localizada en x1m, y2m. a) Determinar el módulo y la dirección del campo eléctrico en x1m, y0. b) Calcular el módulo y la dirección de la fuerza sobre un electrón situado en x1m, y0. c) Determine el punto en el cual el campo eléctrico es igual a cero.

Respuesta: a) E1.2949104 N/C,  231.31º; b) F2.07471015N,  51.31º; c) m 2834 . 12  x , y9.2834m

52. [TM] Una carga puntual 5C está localizada en x1m, y3m y otra carga de C

4

(37)

sobre un protón en x3m, y1m. c) Determine el punto en el cual el campo eléctrico es igual a cero. Respuesta: a) E1938.90N/C,  226.91º; b) F 3.10651016N,  226.91º; c) m 4721 . 11  x , y49.3607m

53. Determinar el campo eléctrico resultante en el punto P(2,2) si se colocan dos cargas de igual magnitud 3.10–6 C en los puntos (2,0) y (2,0) en un sistema de coordenadas cartesianas.

Respuesta: (1205.81i7343.57j)N/C

54. Determinar el campo eléctrico resultante en el punto P(3,2) si se colocan tres cargas de igual magnitud q106 C en los puntos (3,0), (2,0) y (0,2) en un sistema de coordenadas cartesianas.

Respuesta: E(1802.49i3854.63j)N/C

55. [RH] En la figura, demuestre que, suponiendo yd, la magnitud de E en el punto P

está dada por ₂

0 2 4 1 y q Ey  __ .

56. [TM] Dos cargas iguales positivas de valor q₁ q₂ 6.0nC están sobre el eje y en puntos y3cm e y3cm. a) ¿Cuál es el valor y sentido del campo eléctrico sobre el eje x en x4cm. b) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre una tercera carga q0 2nC situada en el punto x4cm? Respuesta: E(3.4512104i)N/C x y q d q y

(38)

57. Determine el campo eléctrico en las siguientes distribuciones. q₁ 2C, q₂ 6C, C 6 3   q y q₄ 10C. Respuesta: a) E(2.7885107i5.1158107 j)N/C; b) N/C ) 10 3703 . 3 10 7975 . 1 ( 8i 7 j E    ; c) E(8.0387107i1.7201108 j)N/C

58. [TM] Dos cargas de 3.0C están localizadas en x0, y2.0m y en x0, m 0 . 2  

y . Otras dos cargas Q están localizadas en x4.0m, y2.0m y en x4.0m, m 0 . 2  

y . El campo eléctrico en x0, y0 es (4.0103 N/C)i. Determinar Q.

Respuesta: _Q4.98106C

Interacción entre múltiples cargas eléctricas en el espacio.

59. Una partícula con carga 5.8nC está colocada en el origen de coordenadas. a) Determine las componentes cartesianas del campo eléctrico producido en los puntos a)

) 0 , 0 , cm 15 ( , b) (15cm,15cm,0), c) (15cm,15cm,15cm) y d) (10cm,20cm,0). e) P 2 q 1 q ) cm ( x 1 q P y y y 2 q 3 q 2 q 1 q 3 q 4 q P ) cm ( x ) cm ( x

(39)

Respuesta: a) E(2316.79i)N/C, b) E(819.11i819.11j)N/C, c) N/C ) 87 . 445 87 . 445 87 . 445 ( i j k E   , d) E(466.25i932.49 j)N/C; e) 2316.79 N/C, 1158.40 N/C, 772.26 N/C, 1042.56 N/C

60. [RS] Considere la distribución de cargas que se muestra en la figura. a) Demuestre que la magnitud del campo eléctrico en el centro de cualquiera de las caras del cubo tiene un valor de ₂ 3 3 2 8 a q k

. b) ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico en el centro de la cara superior del cubo?

Respuesta: b) k

Dipolo eléctrico.

Un dipolo de momento 5e nm se coloca en el interior de un campo eléctrico uniforme de valor 4.0104 N/C. ¿Cuál es el valor del momento ejercido sobre el dipolo cuando a) el eje del dipolo es paralelo al campo eléctrico, b) el dipolo es perpendicular al campo eléctrico, y c) el dipolo forma un ángulo de 30º con el campo eléctrico. d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso.

Solución. x y z a A

(40)

C.nm 10 8 nm C) 10 6 . 1 ( 5 5    19   19  e p C.m 10 8 28  p a)    pEsen 0º sen N/C 10 0 . 4 C.m 10 8 28   4     0   Energía potencial. 0º cos N/C 10 0 . 4 C.m 10 8 28   4    U N.m 10 20 . 3  23  U b)    pEsen 90º sen N/C 10 0 . 4 C.m 10 8 28   4     N.m 10 20 . 3  23   Energía potencial. 90º cos N/C 10 0 . 4 C.m 10 8 28   4    U 0  U c) E q q a 2 E q q a 2

(41)

   pEsen 30º sen N/C 10 4 C.m 10 8 28   4     N.m 10 60 . 1  23   Energía potencial. 30º cos N/C 10 4 C.m 10 8 28   4    U N.m 10 77 . 2  23  U Ejercicios propuestos.

61. [RH] Calcule el momento dipolar de un electrón y de un protón separados por una distancia de 4.30 nm.

Respuesta: p6.891028C.m

62. [TM] Dos cargas puntuales q₁ 2pC y q₂ 2pC están separadas una distancia de 4 mm. ¿Cuál es el momento dipolar de este par de cargas? Haga un dibujo del par e indicar la dirección y sentido del momento dipolar.

Respuesta: p81015C.m dirigido de la carga negativa a la carga positiva

63. Un dipolo eléctrico de cargas q2106 C separadas 4 cm se coloca dentro de un campo eléctrico de 1.105 N/C. Determinar: a) El momento que ejerce el dipolo cuando forma un ángulo de 30º, b) ¿Qué cantidad de trabajo debe hacer un agente externo para girar el dipolo 60º?

Respuesta: a) 4103J; b) 4.103J

64. Un dipolo se coloca dentro de un campo externo de 1.105 N/C. Si las cargas tienen una magnitud de 1.10–6 C y están separadas 2 cm. Determinar: a) El momento que ejerce el campo en el dipolo cuando forma un ángulo de 30°, b) La cantidad de trabajo que debe

E q q a 2 30º

(42)

hacer un agente externo para dar al dipolo ½ vuelta a partir de la posición colineal del campo.

Respuesta: a) 103J; b) 2.103J

65. [RH] Se mantienen a una distancia de 15.2 cm dos cargas iguales y opuestas de magnitud 1.88107C. a) ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de E en un punto intermedio entre las cargas? b) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) operaría en un electrón puesto allí?

Respuesta: a) 585 kN/C, hacia la carga negativa; b) 93.6 fN, hacia la carga positiva

66. [RS] Considere el dipolo eléctrico que se ilustra en la figura.

a) Demuestre que el campo eléctrico en un punto sobre el eje x es i a x x a q k E ₂ ₂ ₂ ) ( 4    .

b) Demuestre que el campo eléctrico en un punto sobre el eje y es i a y a q k E 2 3 ) ( 2 2 2   .

c) Demuestre que el campo eléctrico en un punto distante sobre el eje x es 4 ₃ x

a q k E .

d) Demuestre que el campo eléctrico en un punto distante sobre el eje y es E 2kqa. x y q a 2 q  y q  q E

(43)

67. [RH] En la configuración de carga de la figura demuestre que, suponiendo que rd. )

(r

E en los puntos del eje horizontal está dado por 

       r d r q E 1 4 4 1 2 0  

[Sugerencia: la configuración de la carga puede concebirse como la suma de una carga aislada y de un dipolo]

68. Un dipolo tiene cargas de magnitud 1.10–6 C separadas una distancia de 2 cm. Determinar: a) El campo eléctrico en la línea que une las cargas a una distancia de 4 cm de la carga positiva, b) El campo eléctrico en la perpendicular bisectriz a la línea que las une a una distancia de 4 cm.

Respuesta: a) 1.69.107N/C; b) 8.35.106N/C

69. [MA] En un sistema de coordenadas rectangulares una carga de 25109C se coloca en el origen y otra carga de 25109C se coloca en el punto x = 6 m, y = 0. ¿Cuál es el campo eléctrico a) en x = 3 m, y = 0?, b) en x = 3 m, y = 4 m?

70. Un dipolo centrado en el origen está formado por dos partículas, una con una carga de C

10 16 19

 situada en z0.411010m, y la otra con igual carga pero negativa y a la misma distancia pero de lado contrario. Determine p (momento bipolar). Determine el

q  d q d P q r q q 2 cm

(44)

campo eléctrico producido por el dipolo en el plano x a una distancia de y 1m del origen. Resuelva el inciso anterior para una distancia de 2m.

Respuesta: p1.3121028C.m, E1.1791N/C, E0.1474N/C

71. Un dipolo con momento p2aqk está centrado en el origen. Determine E a lo largo del eje z en puntos alejados del dipolo, z >> a. Sugerencia: Utilice el desarrollo en serie de un binomio.

72. [RH] Un tipo de cuadripolo eléctrico se compone de cuatro cargas ubicadas en los vértices de un cuadrado de lado 2 . El punto P está a una distancia x del centro del a cuadripolo en una línea paralela a ambos lados del cuadrado, según se aprecia en la figura. Cuando xa, demuestre que el campo eléctrico en P está dado aproximadamente por

4 0 2 2 ) 2 ( 3 x a q E  

 . (Sugerencia: tratar el cuadripolo como dos dipolos).

73. [RH] La figura muestra un tipo de cuadripolo eléctrico. Lo constituyen dos dipolos cuyos efectos en los puntos externos no se cancelan del todo. Demuestre que el valor de E sobre el eje del cuadripolo en los puntos a una distancia x de su centro (suponga que x >> d)

está dado por ₄

0 4 3 x Q E  

 donde Q2 dq 2 es el momento cuadripolar de la distribución de carga. a 2 q  q q q x P

(45)

Movimiento de cargas en un campo eléctrico. Ejemplo 3.11.

[MA] Entre dos placas planas y paralelas cargadas con cargas iguales y de signos opuestos existe un campo eléctrico uniforme. Se libera un electrón de la superficie de la placa negativa y choca en la superficie de la placa opuesta, distante 2.0 cm de la primera, en un intervalo de 1.510–8 segundos. a) Calcular el campo eléctrico entre las placas, b) calcular la velocidad del electrón al chocar con la placa.

Solución. 0 0  v m 10 2 cm 2   2  y s 10 5 . 1  8  t ?  E ?  f v E q F  a m F  a m E q  q a m E 2 cm x y q d q  d x P

(46)

Aceleración del electrón. 2 2 1 0 at y y  0 0  y 2 2 1_a_t y 2 2 t y a 2 8 2 ) s 10 5 . 1 ( m 10 2 2       a 2 14 m/s 10 7778 . 1   a Campo eléctrico. C 10 602 . 1 m/s 10 7778 . 1 kg 10 1094 . 9 19 2 14 31        E N/C 78 . 1010  E

b) Velocidad final del electrón. t a v vf  0 0 0  v t a v_f  s 10 5 . 1 m/s 10 7778 . 1  14 2  8  f v m/s 10 6667 . 2  6  f v

Un electrón tiene una velocidad inicial de 2106 m/s en la dirección del eje de las x. Entra en el interior de un campo eléctrico uniforme E300N/C j que tiene la dirección y. a) Hallar la aceleración del electrón. b) ¿Cuánto tiempo tardará el electrón en recorrer 10 cm en la dirección x? c) ¿Cuál será el módulo y la dirección de la velocidad del electrón después de haber recorrido 10 cm en la dirección x?

(47)

j E300N/C a) a? b) t ? m 10 10 cm 10   2  x c) v? m 10 10 cm 10   2  x E q F  a m F  a m E q  m E q a kg 10 1094 . 9 N/C 300 C 10 602 . 1 31 19       a 2 13 m/s 10 2759 . 5   a b) xv₀_xt x v x t 0  m/s 10 0 . 2 m 10 10 6 2     t s 10 5 8  t c) v_x 2.0106 m/s t a vy  s 10 5 m/s 10 2759 . 5  13 2  8   y v

(48)

m/s 10 6379 . 2  6   y v m/s ) 10 6379 . 2 10 0 . 2 ( 6i 6 j V     Dirección de la velocidad. x y v v   tan 6 6 10 0 . 2 10 6379 . 2 tan     3190 . 1 tan  º 83 . 52 

 por debajo del eje horizontal. Ejemplo 3.13.

[MA] Se lanza un electrón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 5000 N/C dirigido verticalmente hacía abajo. La velocidad inicial del electrón es de 107 m/s y forma un ángulo de 30° por encima de la horizontal. a) Calcular el tiempo requerido para que el electrón alcance su altura máxima. b) Calcular la elevación máxima que alcanza a partir de su posición inicial. c) ¿Que distancia horizontal recorre el electrón para alcanzar su nivel inicial? d) Dibujar la trayectoria del electrón.

Solución. N/C 500  E m/s 107 0  v º 30   a) tmax ? b) y_max ? c) x? º 30

(49)

a v t  0sen 

Cálculo de la aceleración del electrón. E q F  a m F  a m E q  m E q a kg 10 1094 . 9 N/C 5000 C 10 602 . 1 31 19       a 2 14 m/s 10 7941 . 8   a Tiempo máximo. 2 14 7 m/s 10 7941 . 8 º 30 sen m/s 10 2     t s 10 1371 . 1  8  t b) a v y 2 sen2 2 0 max   ) m/s 10 7941 . 8 ( 2 º 30 sen ) m/s 10 ( 2 14 2 2 7 max    y m 0142 . 0 max  y cm 42 . 1 max  y c) xv₀cost Tiempo de vuelo. a v t 2 0sen  2 14 7 m/s 10 7941 . 8 º 30 sen m/s 10 2     t s 10 1371 . 1  8  t

(50)

Distancia horizontal recorrida. s 10 1371 . 1 º 30 cos m/s 107    8  x m 0985 . 0  x cm 85 . 9  x Ejercicios propuestos.

74. Determine la magnitud de la aceleración que experimenta un electrón en un campo eléctrico de 576 N/C. ¿Cómo depende la dirección de la aceleración de la dirección del campo en ese punto?

Respuesta: 14 2 m/s 10 01 . 1   a

75. [MA] Entre las placas de deflexión de un osciloscopio de rayos catódicos, existe un campo eléctrico de 30000 N/C. a) ¿Qué fuerza se ejerce sobre un electrón colocado en esta región? b) ¿Qué aceleración adquiere el electrón debido a esta fuerza? Compararla con la aceleración de la gravedad.

Respuesta: E4.80651015N, a5.27641015m/s2

76. [RH] Un arma, considerada en la defensa antimisiles, utiliza haces de partículas. Por ejemplo, un haz de protones que golpea un misil enemigo podría anularla por completo. Los haces pueden producirse en “armas” que se sirven de campos eléctricos para acelerar las partículas cargadas. a) ¿Qué aceleración experimentará un protón si el campo eléctrico es 2.16104N/C? b) ¿Qué velocidad alcanzará el protón si el campo actúa en una distancia de 1.22 cm?

Respuesta: a) a2.06901012m/s2; b) v2.2469105m/s

77. [RH] Un campo eléctrico acelera un electrón hacia el este a 1.84109m/s2. Determinar la magnitud y la dirección del campo.

Respuesta: E(1.0462102 N/C)i

78. ¿Cuál es la intensidad del campo eléctrico en un punto del espacio donde un protón experimenta una aceleración de 1.8 millones de la gravedad?

(51)

79. [TM] La aceleración de una partícula en un campo eléctrico depende de la relación carga/masa de la partícula. a) Calcular e/m para un electrón. b) ¿Cuál es el módulo y dirección de la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de valor 100 N/C. c) ¿Cuándo la velocidad de un electrón se aproxima a la velocidad de la luz c, debe utilizarse la mecánica relativista para determinar su movimiento; sin embargo, a velocidades bastante menores que c puede utilizarse la mecánica newtoniana. Calcular, con la mecánica de Newton, el tiempo que tarda un electrón, partiendo del reposo en un campo eléctrico de valor 100 N/C, en alcanzar una velocidad de 0.01c. d) ¿Qué distancia recorrerá el electrón en ese tiempo?

Respuesta: a) e/m1.75881011C/kg; b) 11 2 m/s 10 7588 . 1   a (opuesta al campo eléctrico); c) 1.7045107 s t ; d) d 0.2554m

80. [TM] La aceleración de una partícula en un campo eléctrico depende de su relación carga/masa. a) Calcular e/m para un protón y hallar su aceleración en un campo eléctrico uniforme de valor 100 N/C. b) Hallar el tiempo que tarda un protón inicialmente en reposo en dicho campo en alcanzar la velocidad de 0.01c (siendo c la velocidad de la luz). (Cuando la velocidad del protón se aproxima a la de la luz, debe usarse la cinemática relativista para calcular el movimiento, sin embargo, para una velocidad 0.01c o menor, la cinemática clásica es una suficiente aproximación.

Respuesta: a) e/m9.5788107C/kg; 9 2 m/s 10 5788 . 9   a ; b) t 3.1297104s

81. [MA] Una carga de 2.5108C. Se coloca en un campo eléctrico uniforme de intensidad 5.0104N/C dirigido hacia arriba. ¿Cuál es el trabajo que la fuerza eléctrica efectúa sobre la carga cuando ésta se mueve a) 45 cm hacia la derecha? b) 80 cm hacia abajo? c) 260 cm a un ángulo de 45º por encima de la horizontal?

82. [RH] Un electrón de 115 eV se dispara hacia una gran hoja plana de plástico cuya densidad de carga superficial es de 2.08C/m2. ¿De qué distancia debemos dispararlo, para que no golpee la hoja? (Prescinda de los efectos relativistas).

(52)

83. [RS] Un campo eléctrico uniforme existe en una región entre dos placas con carga contraria. Se libera del reposo un electrón en la superficie de una placa de carga negativa y 14.7 ns más tarde golpea la superficie de la placa contraria, a 1.95 cm de distancia. a) ¿Qué velocidad lleva el electrón al chocar contra la segunda placa? b) ¿Qué magnitud tiene el campo eléctrico?

Respuesta: a) v_f 2.6531106m/s; b) 1026.14 N/C

84. [RS] Un protón es proyectado en la dirección positiva de x al interior de una región de un campo eléctrico uniforme E6.00105iN/C en el instante t 0. El protón recorre una distancia de 7.00 cm antes de llegar al reposo. Determine a) la aceleración del protón, b) su rapidez inicial y c) el intervalo de tiempo en el cual el protón queda en reposo.

Respuesta: 17 2 m/s 10 0553 . 1   a ; b) v₀ 1.2155108 m/s; c) t 1.1518109s

85. Un electrón con una velocidad inicial v₀ 27.5106 m/s viaja paralelo a un campo eléctrico uniforme de magnitud E11.4103N/C. a) ¿Qué distancia recorrerá el electrón antes de detenerse? b) ¿qué tiempo pasará para que regrese al punto de partida?

Respuesta: a) d 0.1886m; b) t 1.3715108 s

86. [RH] Un electrón que se desplaza con una velocidad 4.86106m/s se dispara paralelamente a un campo eléctrico uniforme de magnitud 1030 N/C, dispuesto de modo que retrase el movimiento. a) ¿Qué distancia recorrerá el electrón en el campo antes de detenerse (momentáneamente) y b) ¿Cuánto tiempo transcurrirá? C) Si el campo electrico termina de modo abrupto al cabo de 7.88 mm, ¿qué fracción de su energía cinética perderá el electrón al atravesarlo?

Respuesta: a) 6.53 cm; b) 26.9 ns; c) 0.121

87. [TM] Un electrón partiendo del reposo, se acelera por la acción de un campo eléctrico uniforme E1.501010N/Cj. Después de que ele electrón recorra 1.0m, ¿cuál es su velocidad? Despreciar la fuerza gravitacional sobre el electrón.

(53)

88. [RS] Un protón se acelera a partir del reposo en un campo eléctrico uniforme de 640 N/C. Poco tiempo después su rapidez es de 1.20 Mm/s (no relativista, ya que v es mucho menor que la rapidez de la luz) a) Determine la aceleración del protón. b) ¿En qué intervalo de tiempo el protón alcanza esta rapidez? c) ¿Qué distancia recorre en ese intervalo de tiempo? d) ¿Cuál es su energía cinética al final del intervalo?

Respuesta: 13 2 m/s 10 13 . 6  ; b) 19.5s

89. [TM] Una masa de 2 g localizada en una región de campo eléctrico uniforme

i

E300N/C contiene una carga Q. La masa, liberada del reposo en x0, posee una energía cinética de 0.12 J en x0.50m. Determinar la carga Q.

Respuesta: Q8104 C

90. [RS] Los electrones en un haz de partículas tienen cada uno una energía cinética K. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico que detendrá a estos electrones en una distancia d?

Respuesta: K /ed en la dirección del movimiento

91. [RS] Entre dos placas paralelas separadas 4.00 cm existe un campo eléctrico uniforme de magnitud 640 N/C. De manera simultánea se libera un protón de la placa positiva y un electrón de la negativa. a) Determine la distancia a la placa positiva en el momento en que ambos se cruzan. (Ignore la atracción eléctrica entre el protón y el electrón). b) Repita el inciso a) ahora con un ión de sodio (Na+) y con un ión de cloro (Cl–).

Respuesta: a) 21.8m; b) 2.43 cm

92. [DF] Entre dos grandes placas metálicas paralelas separadas por una distancia cm

10



d existe un campo eléctrico uniforme. De la placa negativa se suelta un electrón y simultáneamente de la placa positiva se suelta un protón. Se desprecia la fuerza de interacción entre las dos partículas y la fuerza de gravedad. ¿En qué lugar se cruzan las dos partículas?

Respuesta: 5.45105 m

93. Un electrón es lanzado con una velocidad inicial de 1107 m/s dentro de un campo eléctrico uniforme. El electrón entra al campo eléctrico por un punto situado a igual