Teoría de la Capa Límite Laminar por

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Teor´ıa de la Capa L´ımite Laminar

por

Miguel Hermanns y Francisco Higuera

1. Introducci´

on

Muchos movimientos de fluidos alrededor de cuerpos se caracterizan por el hecho de que el n´umero de Reynolds basado en la longitud caracter´ıstica del cuerpo L, la velocidad de la corriente incidente U y la viscosidad cinem´atica del fluido ν es grande frente a la unidad:

Re = U L

ν 1. (1)

Esto indica que en dichos flujos las fuerzas de viscosidad son mucho menos importantes que las fuerzas de presión y las aceleraciones del fluido, con lo que cabr´ıa esperar que las ecuaciones de Euler, que se obtienen de despreciar los términos viscosos en las ecuaciones de Navier-Stokes, describan de forma aproximada el flujo en estas condiciones. Aunque existen casos en los que esto es cierto, y las ecuaciones de Euler son capaces de describir con suficiente precisión el campo fluido resultante, existen muchos otros casos en los cuales no es as´ı. La disparidad entre las predicciones de las ecuaciones de Euler y lo que se observa en la realidad se debe a los siguientes dos motivos.

En primer lugar, las soluciones de las ecuaciones de Euler, que únicamente contienen derivadas primeras de las magnitudes fluidas, no pueden satisfacer la condición de no deslizamiento sobre la superficie sólida de un cuerpo. Considérese por ejemplo el flujo estacionario alrededor de un cuerpo romo. El movimiento del fluido, que por simplicidad se considera de densidad constante en esta lección, viene descrito por las ecuaciones de Euler para fluidos incompresibles:

∇ · v = 0, ρv · ∇v = −∇p, (2)

que habr´an de ser resueltas conjuntamente con la condici´on de contorno de impermeabi-lidad en la superficie Σ del cuerpo y las condiciones de contorno lejos del cuerpo:

x ∈ Σ : v · n = 0,

|x| → ∞ : v → U , p → p∞, (3)

donde n es el vector normal a la superficie del cuerpo. Una primera consecuencia de haber despreciado los t´erminos viscosos en las ecuaciones del movimiento es que resulta imposible imponer que la velocidad de deslizamiento del fluido sobre la superficie del cuerpo, ue(x) = v · t (donde t es un vector unitario tangente al cuerpo y x es la distancia

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D = 0 D = 0 D 6= 0

Figura 1: Diversas soluciones v´alidas de las ecuaciones de Euler para el flujo alrededor de un cuerpo romo tridimensional, donde las dos primeras predicen una fuerza nula sobre el cuerpo (paradoja de d’Alembert) y la ´ultima una fuerza no nula.

no viscosa. Por otra parte, la ecuación de Bernouilli, que, como se ha visto en una lección anterior, resulta de integrar la ecuación de conservación de cantidad de movimiento a lo largo de una l´ınea de corriente, proporciona una relación entre la velocidad de deslizamiento ue a lo largo de la superficie del cuerpo y la presión pe sobre el cuerpo:

pe+ 1 2ρu 2 e = p∞+ 1 2ρU 2_. ₍₄₎

En segundo lugar, las ecuaciones de Euler (2) admiten infinitas soluciones (débiles) para un conjunto de condiciones de contorno (3) dadas cuando se admite la posibilidad de superficies de discontinuidad tangencial en el seno del fluido, y no es posible saber a priori cuál de estas soluciones es la que se corresponde con la realidad. La Figura 1 muestra varios ejemplos de soluciones válidas para el flujo alrededor de un cuerpo romo tridimensional. Algunas de estas soluciones predicen una fuerza nula del fluido sobre el cuerpo (paradoja de d’Alembert), y otras en cambio no. En definitiva, las ecuaciones de Euler con las correspondientes condiciones de contorno no son capaces de proporcionar de manera automática la solución correspondiente al l´ımite de Re → ∞ de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Para resolver este dilema es necesario ver, como hizo Prandtl en 1904, que aunque los fenómenos de transporte debidos a la difusión sean despreciables en la mayor parte del campo fluido, cerca del cuerpo no lo son, y por tanto aparece una zona próxima al cuerpo, llamada capa l´ımite, en la cual la viscosidad juega un papel importante. Dicha capa l´ımite es la responsable de seleccionar la solución f´ısicamente correcta entre las infinitas soluciones de las ecuaciones de Euler, y por ello su análisis es esencial para el estudio de los flujos a altos números de Reynolds.

2. Deducci´

on de las ecuaciones de capa l´ımite

En lo que queda de lección se va a considerar por simplicidad que el flujo es bidimen-sional e incompresible. Anticipando que la capa l´ımite es una región delgada en torno a la superficie del cuerpo, conviene introducir para su análisis un sistema de coordenadas curvil´ıneas ortogonales, llamadas coordenadas de capa l´ımite, basadas en una familia de curvas paralelas al contorno del cuerpo y sus trayectorias ortogonales. En estas coordena-das, x es la distancia medida sobre la superficie del cuerpo desde su borde de ataque, o desde el punto de remanso anterior, e y es la distancia normal al cuerpo. Las coordenadas (x, y) no son cartesianas excepto si la superficie del cuerpo es plana, pero se comportan

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como tales a casi todos los efectos (excepto en la ecuación (9) más abajo) si y es pequeña frente al radio de curvatura R de la superficie, que se supondrá del orden de la longitud caracter´ıstica del cuerpo: R ∼ L.

En lo que sigue, u y v son las componentes x e y de la velocidad del fluido, L es la longitud caracter´ıstica del cuerpo, y δ, vc y ∆yp denotan valores caracter´ısticos del espesor

de la capa l´ımite, la velocidad transversal y las variaciones transversales de presión, que deben determinarse a partir de los balances entre los órdenes de magnitud de los términos dominantes de las ecuaciones del movimiento. La velocidad longitudinal debe variar a través de la capa l´ımite desde cero en la superficie del cuerpo a la velocidad de deslizamiento ue(x) proporcionada por la solución exterior no viscosa. La velocidad de deslizamiento es

del orden de la velocidad U de la corriente libre, y se admite por tanto que u ∼ U en la capa l´ımite. Las variaciones longitudinales de presi´on son ∆xp ∼ ρU2, impuestas por la

soluci´on exterior.

2.1. An´alisis de los ´ordenes de magnitud

Se comienza el análisis de los órdenes de magnitud del problema de la capa l´ımite me-diante la ecuación de conservación de la masa. Esta ecuación proporciona una estimación de la velocidad transversal caracter´ıstica, vc, que resulta ser mucho menor que la velocidad

exterior U : ∂u ∂x + ∂v ∂y = 0 (5) U L ∼ vc δ ⇒ vc ∼ U δ L U. (6)

El siguiente paso consiste en analizar la importancia relativa de los distintos términos de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según x, que permitirá obtener una estimación del espesor δ de la capa l´ımite:

u∂u ∂x + v ∂u ∂y = − 1 ρ ∂p ∂x + ν ∂2_u ∂x2 + ∂2u ∂y2 (7) U2 L ∼ U vc δ ∆xp ρL ν U L2 ν U δ2.

A partir de la reci´en estimada velocidad caracter´ıstica transversal vcse concluye que ambos

términos convectivos en el miembro izquierdo de la ecuación son del mismo orden. Por otro lado, la difusión de cantidad de movimiento por efecto de la viscosidad a lo largo de la capa l´ımite resulta ser despreciable frente a la difusión transversal a la misma. Dado que en la capa l´ımite los efectos viscosos no deben ser despreciados, el orden de magnitud del espesor de la capa l´ımite δ debe ser tal que el término de difusión transversal a la capa l´ımite sea importante y del mismo orden que los demás términos de la ecuación. Igualando su estimación a la de los términos convectivos se obtiene finalmente el espesor caracter´ıstico de la capa l´ımite,

δ ∼ r νL U = L Re1/2 L, (8)

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que teniendo que cuenta que el número de Reynolds de la corriente es grande, resulta ser muy pequeño frente al tamaño caracter´ıstico L del cuerpo.

Otro resultado que pone de manifiesto la ecuación de la cantidad de movimiento según x es que las variaciones longitudinales de la presión ∆xp ∼ ρU2 impuestas sobre la capa

l´ımite por la solución exterior no viscosa hacen que el término −1_ρ∂p_∂x sea tan importante como los términos convectivos. Por tanto, las fuerzas de presión juegan un papel importante en el movimiento del fluido tanto en la capa l´ımite como fuera de ella.

Para determinar el orden de magnitud de las variaciones de presión transversales a la capa l´ımite se analiza la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según y. Dado que los efectos métricos debidos a la curvatura de la superficie del cuerpo pueden llegar a ser importantes en esta ecuación, incluso en el caso de curvaturas moderadas R ∼ L, se incluyen estos en la estimación de los órdenes de magnitud:

u∂v ∂x + v ∂v ∂y + O u2 R = −1 ρ ∂p ∂y + ν ∂2_v ∂x2 + ∂2v ∂y2 (9) U vc L ∼ v_c2 δ U2 L ∆yp ρδ ν vc L2 ν vc δ2.

Nuevamente los dos primeros términos del miembro izquierdo de la ecuación son del mismo orden y la difusión longitudinal de cantidad de movimiento es despreciable frente a la difusión transversal. Pero ahora además la difusión transversal a la capa l´ımite resulta ser despreciable frente al término de curvatura de orden U2/L, con lo que finalmente la comparación del término de presiones con el término de curvatura proporciona el orden de magnitud de las variaciones transversales de la presión:

∆yp ∼ ρU2

δ L ρU

2 _{∼ ∆}

xp. (10)

Este resultado indica que en primera aproximación la presión en la capa l´ımite no var´ıa a través de la misma y es por tanto igual a la presión impuesta por la corriente exterior:

p(x, y) = pe(x). (11)

Este hecho simplifica considerablemente el problema a resolver, pues la presión deja de ser una incógnita para convertirse en un dato en el estudio de la evolución de la capa l´ımite. Resumiendo el análisis de los órdenes de magnitud se ha visto que el espesor carac-ter´ıstico de la capa l´ımite y la velocidad caracter´ıstica transversal resultan ser mucho menores que las correspondientes magnitudes a lo largo de la capa l´ımite, y que la presión, que ahora resulta ser dato del problema, var´ıa únicamente a lo largo de la capa l´ımite, y no a través de ella.

2.2. Ecuaciones de capa l´ımite

Atendiendo a las estimaciones de los órdenes de magnitud realizadas en el apartado anterior se está en disposición de simplificar las ecuaciones de Navier-Stokes para obtener el sistema de ecuaciones que describe el movimiento del fluido en la capa l´ımite:

∂u ∂x+ ∂v ∂y = 0, (12) u∂u ∂x + v ∂u ∂y = − 1 ρ dpe dx + ν ∂2u ∂y2. (13)

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Este sistema de ecuaciones es parabólico. Contiene derivadas segundas de u respecto a la coordenada transversal y, lo que permite imponer tanto la condición de no deslizamiento u = 0 sobre la pared como la condición de acoplamiento con la solución exterior no viscosa. En cambio las ecuaciones de capa l´ımite únicamente presentan derivadas primeras de la velocidad transversal v, por lo que únicamente se puede imponer sobre ella la condición de contorno de impermeabilidad v = 0 sobre la pared. Por tanto es de esperar que lejos de la pared, ya en la región exterior a la capa l´ımite, la velocidad transversal v no tienda al valor de la corriente exterior: v(x, y δ) 6= 0. En resumen, se tiene que

y = 0 : u = v = 0,

y → ∞ : u = ue(x). (14)

Adem´as de las condiciones de contorno anteriores es necesario imponer una condici´on inicial en el origen de la capa l´ımite, que proporcione el perfil inicial de velocidades:

x = 0 : u = u0(y). (15)

Por último, la presión exterior pe(x) que actúa sobre la capa l´ımite, está relacionada,

como ya se ha visto antes, con la velocidad de deslizamiento ue(x) de la soluci´on exterior

a través de la ecuación de Bernouilli (o de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según la pared):

pe+ 1 2ρu 2 e= p∞+ 1 2ρU 2 _⇔ _u e due dx = 1 ρ dpe dx. (16)

En el caso bidimensional que se analiza aqu´ı es posible reducir el problema planteado a una única ecuación empleando la función de corriente ψ(x, y) como incógnita del problema, con lo que la ecuación de continuidad se satisface automáticamente. Sustituyendo las expresiones que vinculan las componentes de la velocidad con la función de corriente

u = ∂ψ

∂y, v = − ∂ψ

∂x (17)

en la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según x se obtiene la siguiente ecuación diferencial de tercer orden para la función de corriente:

∂ψ ∂y ∂2_ψ ∂x∂y − ∂ψ ∂x ∂2_ψ ∂y2 = − 1 ρ dpe dx + ν ∂3_ψ ∂y3, (18)

que deber´a resolverse conjuntamente con las siguientes condiciones de contorno: y = 0 : ψ = ψy = 0,

y → ∞ : ψy = ue(x), (19)

x = 0 : ψy = u0(y).

2.3. Propiedades de las ecuaciones de capa l´ımite

El problema compuesto por las ecuaciones en derivadas parciales (12) y (13) y las condiciones de contorno (14) y (15) es parab´olico, como ya se ha dicho, a diferencia de las ecuaciones de Navier-Stokes originales, que son el´ıpticas. Este cambio se debe a que la

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presión ha dejado de ser una incógnita y la difusión de cantidad de movimiento a lo largo de la capa l´ımite ha sido despreciada, con lo que ahora la coordenada longitudinal x juega el papel de un pseudotiempo según el cual la información únicamente se puede propagar hacia valores crecientes de x.

Desde el punto de vista de su resolución numérica, el hecho de que las ecuaciones de capa l´ımite sean parabólicas presenta una enorme ventaja, pues el problema puede ser resuelto como si de un problema unidimensional de evolución se tratara. Por otro lado conviene indicar aqu´ı, que existen situaciones de interés en las que la evolución de la capa l´ımite da lugar a perturbaciones de presión que se transmiten a través de la corriente no viscosa exterior y vuelven a influir sobre el flujo en la capa l´ımite aguas arriba del punto donde tales pertrubaciones se originaron. Dichos casos no pueden ser estudiados mediante las ecuaciones de capa l´ımite presentadas en la sección anterior, y se hace necesario emplear teor´ıas más avanzadas tales como la teor´ıa de capa l´ımite interactiva.

Una propiedad de gran inter´es de las ecuaciones de capa l´ımite es que sus soluciones no dependen del n´umero de Reynolds del problema. Para ver esto es necesario adimensio-nalizar las ecuaciones empleando las siguientes magnitudes de referencia:

˜ u = u U, v =¯ v vc , x =˜ x L, y =¯ y δ, p =˜ p ρU2, (20)

donde recu´erdese que

vc = U √ Re, δ = L √ Re. (21)

Las ecuaciones (12) y (13) adimensionalizadas son por tanto ∂ ˜u ∂ ˜x + ∂ ¯v ∂ ¯y = 0, (22) ˜ u∂ ˜u ∂ ˜x+ ¯v ∂ ˜u ∂ ¯y = − d˜pe d˜x + ∂2u¯ ∂ ¯y2, (23)

con las condiciones de contorno siguientes: ¯ y = 0 : ˜u = ¯v = 0, ¯ y → ∞ : ˜u = ˜ue(˜x), (24) ˜ x = 0 : ˜u = ˜u0(¯y).

Se puede ver que este problema no depende de la viscosidad del fluido, sino ´unicamente de la forma del cuerpo en torno al cual se forma la capa l´ımite, que se manifiesta indirec-tamente a trav´es de la velocidad de deslizamiento ˜ue(˜x).

3. Resultados de inter´

es de las ecuaciones de capa l´ımite

Además de para conocer la distribución de velocidades en el interior de la capa l´ımite, las soluciones a las ecuaciones de capa l´ımite permiten determinar tres caracter´ısticas de la capa l´ımite de suma importancia, que son el punto de separación de la capa l´ımite, el esfuerzo de fricción que genera sobre la pared y su espesor a lo largo de la superficie del cuerpo.

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(a)

(b)

Figura 2: Visualización experimental del fenómeno de separación de la capa l´ımite debido a la presencia de gradientes de presión adversos. (a) Flujo alrededor de un cilindro circular a Re = 2000. (b) Flujo alrededor de un perfil NACA64A015 con un ángulo de ataque de 5◦.

3.1. Punto de separaci´on de la capa l´ımite

La solución del problema (12)-(15) determina la distribución de velocidad en la capa l´ımite. Como se verá más adelante, esta solución puede desarrollar una singularidad y dejar de existir aguas abajo de un cierto punto, cuando el gradiente de presión que actúa sobre la capa l´ımite es adverso (dpe/dx > 0). Esta singularidad se puede identificar con la

separación de la capa l´ımite y, cuando ocurre, es esencial determinar su posición, pues de ella depende la estructura del flujo exterior y la distribución de presión sobre el cuerpo. La Figura 2 muestra dos casos en los que la capa l´ımite, incapaz de afrontar el gradiente de presiones adverso impuesto por la corriente exterior, se separa de la superficie del cuerpo y modifica sustancialmente la solución exterior no viscosa. El resultado, a primera vista paradójico, es que el cálculo del fallo de la aproximación de capa l´ımite es el elemento más importante de la solución del problema obtenido con esta aproximación.

Conviene resaltar que la posición del punto de separación es independiente del número de Reynolds (en tanto en cuanto la capa l´ımite se mantenga laminar), y únicamente depende de la forma del cuerpo. Esto es consecuencia de la propiedad de las ecuaciones de capa l´ımite demostrada al final de la sección anterior.

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3.2. Esfuerzo de fricci´on en la pared

Como se ha visto en el apartado anterior, la determinación del punto de separación, resultado de tener en cuenta los efectos viscosos en la proximidad del cuerpo, resulta ser esencial para poder conocer la distribución de presiones sobre el cuerpo y con ello la fuerza de presión que el fluido ejerce sobre el mismo (la llamada resistencia de forma). Pero los efectos viscosos también tienen su contribución directa a la fuerza que experimenta el cuerpo. Puesto que en la capa l´ımite los esfuerzos viscosos son importantes, estos ejercerán un esfuerzo de fricción sobre la pared y por tanto proporcionan también una contribución a la fuerza que ejerce el fluido sobre el cuerpo. A partir de las estimaciones obtenidas para la velocidad u y para el espesor de la capa l´ımite δ, es inmediato estimar el orden de magnitud de estos esfuerzos viscosos:

τw = µ ∂u ∂y _y=0 ∼ µU δ ∼ ρU2 Re1/2. (25)

Esta estimación muestra que la contribución directa de la viscosidad a la fuerza ejercida por el fluido sobre un cuerpo romo es mucho menor que la proveniente de la presión, que es de orden ρU2. A pesar de ello, y como ya se ha recalcado anteriormente, la viscosidad juega un papel esencial en la determinación de las fuerzas aerodinámicas debido al fenómeno de separación de la capa l´ımite y su influencia sobre la distribución de presiones.

En el caso particular importante de un cuerpo aerodin´amico alineado con la corriente, la capa l´ımite puede permanecer adherida hasta muy cerca del borde de salida. En este caso las variaciones de presi´on son mucho menores que ρU2 _{sobre la mayor parte del cuerpo,}

y las contribuciones de la presi´on y de los esfuerzos viscosos a la fuerza sobre el cuerpo pueden ser del mismo orden.

3.3. Espesor de la capa l´ımite

Otro resultado importante del estudio de la capa l´ımite es su espesor y cómo éste var´ıa a lo largo de la pared. El conocimiento del espesor de la capa l´ımite permite calcular la corrección que la presencia de la capa l´ımite adherida introduce en la corriente exterior. Hasta ahora sólo se ha obtenido una estimación del orden de magnitud del espesor, que indica que éste es muy pequeño comparado con la longitud caracter´ıstica L del cuerpo:

δ ∼ L

Re1/2. (26)

Pero ser´ıa conveniente disponer de una defición más precisa del mismo. Una posible defini-ción consiste en tomar como espesor δ de la capa l´ımite aquella distancia de la pared para la cual el perfil de velocidades u(x) alcanza el 99 % de la velocidad ue(x) de la corriente

exterior:

u(x, y = δ(x)) = 0.99ue(x). (27)

Esta definición no deja de ser un tanto arbitraria, puesto que el porcentaje elegido podr´ıa ser también cualquier otro, por ejemplo el 95 %, el 98 % o el 99.99 %. Por ese motivo conviene buscar una definición con un trasfondo más f´ısico. La definición más conocida y

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x y = H

U

y = Y + δ∗

y = Y ue(x)

Figura 3: Esquema de la evoluci´on de una l´ınea de corriente en ausencia (l´ınea a trazos) y presencia (l´ınea continua) de la capa l´ımite (l´ınea a puntos).

´

util de las existentes es la del llamado espesor de desplazamiento δ∗ que tiene la siguiente expresi´on: δ∗ = Z ∞ 0 1 − u ue dy. (28)

El espesor de desplazamiento mide el desplazamiento que sufre una l´ınea de corriente próxima al cuerpo, pero fuera de la capa l´ımite, debido a la presencia de la capa l´ımite. Para comprobarlo basta considerar la evolución con x de una l´ınea de corriente que inicialmente (en x = 0) pase a una distancia H de la superficie, con δ H L. En ausencia de capa l´ımite (para un fluido estrictamente ideal), la velocidad entre esta l´ınea de corriente y la superficie del cuerpo será ue(x), y la evolución con x de la l´ınea de corriente ser´ıa la

indicada por la curva a trazos en la Figura 3. Cuando la viscosidad del fluido no es nula, la presencia de la capa l´ımite modifica esta velocidad y con ello la posici´on de la l´ınea de corriente, que pasa a ser la curva continua de la figura. Como el flujo que pasa entre la l´ınea de corriente y la pared es el mismo en ambos casos, se tiene que

U H = Z Y 0 ue(x) dy = Z Y +δ∗(x) 0 u dy, (29)

donde δ∗(x) es el desplazamiento sufrido por la l´ınea de corriente (distancia vertical entre la curva de trazos y la continua en la figura). Como Y es muy grande en comparación con el espesor de la capa l´ımite, el último término de esta ecuación puede escribirse como

Z Y +δ∗(x) 0 u dy = Z Y 0 u dy + Z Y +δ∗(x) Y u dy = Z Y 0 u dy + ue(x)δ∗(x), (30) y por tanto ue(x)δ∗(x) = Z Y 0 (ue− u) dy = Z ∞ 0 (ue− u) dy, (31)

donde la ´ultima igualdad refleja que el resultado es independiente del valor de Y porque u tiende exponencialmente a ue antes de alcanzar el l´ımite superior de la integral.

Otra definición más del espesor de la capa l´ımite que es de interés en ciertas aplicacio-nes, es el espesor de cantidad de movimiento δ∗∗ dado por

δ∗∗= Z ∞ 0 u ue 1 − u ue dy. (32)

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U

p∞ ≈

x y

Figura 4: Esquema del flujo incompresible alrededor de una placa plana, infinitamente delgada y de longitud semiinfinita, que se encuentra a ´angulo de ataque nulo en el seno de una corriente uniforme.

Puede demostrarse siguiendo pasos similares a los empleados para el espesor de desplaza-miento, que δ∗+ δ∗∗es la cantidad que hay que desplazar la superficie del cuerpo hacia el interior del fluido para que, suponiendo que todo el fluido se mueve a la velocidad exterior ue, pase el mismo flujo de cantidad de movimiento que pasa por la capa l´ımite real.

4. Capa l´ımite sobre una placa plana

Conviene, desde el punto de vista did´actico, comenzar viendo y analizando el caso m´as sencillo posible de capa l´ımite laminar, que resulta ser la que se forma sobre una placa plana semiinfinita de espesor nulo alineada con una corriente uniforme. La Figura 4 muestra el esquema del problema a estudiar. Al igual que se ha venido haciendo en todos los apartados anteriores, se va a suponer que la densidad y la viscosidad del fluido son constantes.

Dado que la viscosidad del fluido es peque˜na, sus efectos pueden despreciarse en la mayor parte del campo fluido, con lo que el flujo alrededor de la placa plana viene descrito en primera aproximaci´on por las ecuaciones de Euler incompresibles

∇ · v = 0, ρv · ∇v = −∇p, (33)

que deben ser completadas con las siguientes condiciones de contorno en el infinito y sobre la placa plana:

y → ∞ : u = U, v = 0, p = p∞,

x > 0, y = 0 : v = 0. (34)

Puesto que la placa plana se encuentra alineada con la corriente incidente y sobre ésta sólo se puede imponer que la velocidad normal a ella sea nula, la solución al problema es inmediata de obtener:

u = U, v = 0, p = p∞. (35)

En definitiva esta solución muestra que la corriente incidente no es afectada por la presencia de la placa plana en ausencia de efectos viscosos. Este resultado concuerda bastante bien con lo que se observa en la realidad. La Figura 5 muestra el flujo alrededor de una placa plana de longitud finita y a un número de Reynolds elevado. Las l´ıneas de corriente, visibles gracias a diminutas burbujas de aire, casi no se deflectan a su paso por la placa plana. Tan sólo muy cerca de la placa plana aparece una zona afectada que resulta ser muy delgada

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Figura 5: Visualización experimental del flujo incompresible alrededor de una placa plana a ángulo de ataque nulo y a un número de Reynolds de 104.

en comparaci´on con la longitud de la placa plana: son las capas l´ımite que se forman sobre ambas caras de la placa.

El movimiento dentro de estas capas l´ımite viene descrito por las ecuaciones de capa l´ımite deducidas anteriormente. Puesto que la corriente exterior a la capa l´ımite presenta una presión constante, pe= p∞, el término de presiones es idénticamente nulo, con lo que

las ecuaciones a resolver se reducen a ∂u ∂x+ ∂v ∂y = 0, (36) u∂u ∂x+ v ∂u ∂y = ν ∂2u ∂y2, (37)

con las siguientes condiciones de contorno sobre la placa plana y lejos de ella: x = 0 : u = U,

x > 0, y = 0 : u = v = 0, (38)

y → ∞ : u = U.

Análogamente, si se prefiere utilizar la función de corriente ψ(x, y) como incógnita del problema, la ecuación diferencial correspondiente también se simplifica en el caso particular del flujo alrededor de una placa plana, quedando finalmente de la manera siguiente:

∂ψ ∂y ∂2_ψ ∂x∂y− ∂ψ ∂x ∂2_ψ ∂y2 = ν ∂3_ψ ∂y3, (39)

que deber´a resolverse conjuntamente con las siguientes condiciones de contorno: x = 0 : ψy = U,

x > 0, y = 0 : ψ = ψy = 0, (40)

y → ∞ : ψy = U.

4.1. Soluci´on de Blasius

El problema planteado en el apartado anterior no admite solución anal´ıtica y por ello debe ser resuelto de forma numérica. A pesar de ello es posible simplificar considerable-mente el problema viendo que las ecuaciones de capa l´ımite a resolver admiten una solución

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de semejanza (Blasius 1908). La naturaleza parabólica de las ecuaciones combinada con la ausencia de una dimensión espacial caracter´ıstica (debida a la infinita delgadez de la placa y a su semiinfinita longitud) hacen que la posición x sobre la placa plana juegue el papel de longitud caracter´ıstica del problema.

La condición de que los términos convectivos y viscosos sean del mismo orden dentro de la capa l´ımite propociona el orden de magnitud del espesor δ(x) de la capa l´ımite y cómo éste evoluciona a lo largo de la placa plana:

u∂u ∂x + v ∂u ∂y = ν ∂2u ∂y2 U2 x ∼ U vc δ ∼ ν U δ2 ⇒ δ ∼ r νx U . (41)

Es interesante ver que la capa l´ımite va creciendo a medida que avanza sobre la placa plana, y que lo hace a un ritmo proporcional a la ra´ız cuadrada de x. Por tanto para cada sección x se tendrá un espesor caracter´ıstico δ distinto. Análogamente, la función de corriente, que va a ser la incógnita del problema, también tendrá un valor caracter´ıstico distinto en cada sección:

ψc∼ U δ ∼

√

νU x. (42)

Atendiendo a estas estimaciones de los ´ordenes de magnitud para δ y ψ se van a buscar soluciones de semejanza al problema de la capa l´ımite sobre una placa plana de la forma

η = y r U 2νx, ψ = √ 2νU xf (η). (43)

donde los factores 2 se introducen por conveniencia. Sustituyendo estas expresiones para la coordenada y y la función de corriente ψ en la ecuación (39) y en las correspondientes condiciones de contorno (40) se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria, llamada ecuación de Blasius, con las correspondientes condiciones de contorno:

f000+ f f00= 0, f (0) = f0(0) = 0, f0(∞) = 1. (44) La solución a este problema diferencial no-lineal, que forzosamente ha de obtenerse num´ eri-camente, resulta ser universal dado que ni en la ecuación ni en las condiciones de contorno aparece parámetro alguno. La Figura 6(a) muestra dicha solución y sus derivadas primera y segunda en función de la variable de semejanza η. Dado que las componentes de la velocidad vienen dadas en función de f (η) por las expresiones siguientes

u = U f0(η), v = r

νU 2x ηf

0_{− f}_, ₍₄₅₎

la Figura 6(a) muestra, entre otras cosas, el perfil de velocidades longitudinales u. Resulta conveniente comparar dicho perfil de velocidades con mediciones obtenidas experimen-talmente con el fin de evaluar cómo de bien aproximan las ecuaciones de capa l´ımite la realidad y como de buena es la solución de semejanza obtenida por Blasius. La Figura 6(b) muestra dicha comparación, en la cual queda de manifiesto la validez de las ecuaciones de capa l´ımite.

A partir del perfil de velocidades longitudinales u es posible calcular diversas mag-nitudes adicionales relacionadas con la capa l´ımite, su evoluci´on a lo largo de la placa

(13)

(a)

(b)

Figura 6: (a) Solución de semejanza de Blasius para la capa l´ımite que se forma sobre una placa plana semiinfinita alineada con una corriente uniforme. (b) Comparación de la solución de semejanza de Blasius con medidas experimentales.

(14)

plana y su impacto sobre la corriente exterior. Primeramente interesa obtener el espesor de desplazamiento δ∗, para lo cual se sustituyen las expresiones (45) en su definici´on (28), obteni´endose finalmente:

δ∗(x) = Z ∞ 0 1 − u U dy = r 2νx U Z ∞ 0 1 − f0 dη = r 2νx U [η − f (η)]η→∞= 1.721 r νx U = 1.721 x Re1/2x , (46)

donde por conveniencia se ha introducido el n´umero de Reynolds basado en la distancia x de desarrollo de la capa l´ımite sobre la placa plana:

Rex=

U x

ν . (47)

Además del espesor de desplazamiento interesa conocer el esfuerzo de fricción local que ejerce el fluido sobre la placa plana, que en este caso es el único responsable de la fuerza sobre el cuerpo. Nuevamente, sustitutiendo las expresiones (45) en la expresión para el esfuerzo de pared se obtiene:

τw = µ ∂u ∂y y=0 = µU r U 2νxf 00 (0) = 0.332µU r U νx = 0.332 ρU2 Re1/2x . (48)

Una manera conveniente de expresar este esfuerzo de fricción es adimensionalizándolo con la presión dinámica de la corriente 1₂ρU2, obteniéndose entonces el llamado coeficiente de fricción local : cf = τw 1 2ρU2 = 0.664 Re1/2x . (49)

En el caso de que la placa plana sea de longitud finita L, los resultados aqu´ı obtenidos siguen siendo v´alidos siempre que la coordenada x < L.

5. Efecto del gradiente de presiones

En la secci´on anterior se ha estudiado el caso particular de capa l´ımite en el cual la corriente exterior no impone gradiente de presiones alguno sobre ella. Pero en general la forma del cuerpo da lugar a distribuciones de presiones exteriores pe(x) que no son

constantes a lo largo de su superficie. En ese caso es necesario resolver las ecuaciones de capa l´ımite completas, tal como aparecen en (12) y (13):

∂u ∂x+ ∂v ∂y = 0, (50) u∂u ∂x + v ∂u ∂y = − 1 ρ dpe dx + ν ∂2u ∂y2. (51)

El flujo en la capa l´ımite ve el gradiente de presiones como una fuerza uniforme que, o bien acelera la corriente (gradiente de presiones favorable: dpe/dx < 0), o bien la frena

(15)

Figura 7: Efecto del gradiente de presiones sobre la evoluci´on de la capa l´ımite.

que se pueden dar. Para entender mejor esta figura conviene particularizar la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento según x justo en la pared:

∂2u ∂y2 y=0 = 1 µ dpe dx. (52)

Si el gradiente de presiones es nulo, como sucede en el caso de la placa plana estudiado en la sección anterior, entonces el perfil de velocidades presenta un punto de inflexión situado justo en la pared: Figura 7(b). Dicho punto de inflexión desaparece si el gradiente de presiones es favorable, como se muestra en la Figura 7(a). Si en cambio la capa l´ımite se encuentra con gradientes de presiones adversos, entonces el signo de∂_∂y2u2 debe cambiar entre

la pared y el exterior de la capa l´ımite, por lo que habrá al menos un punto de inflexión en el interior del fluido. Esto hace a la capa l´ımite más susceptible de volverse inestable, porque un punto de inflexión de la velocidad dentro del fluido equivale a un extremo de la vorticidad (ω ∼ −∂u_∂y en la aproximación de capa l´ımite) a una cierta distancia de la pared. Si el gradiente de presiones adverso actúa durante suficiente tiempo, entonces se alcanza un punto en el cual el esfuerzo de fricción en la pared se anula, tal como muestra la Figura 7(d): τw= µ ∂u ∂y y=0 = 0. (53)

El punto sobre la superficie del cuerpo en el cual se alcanza esta condición recibe el nombre de punto de separación de la capa l´ımite, y es de gran relevancia para el estudio de flujos a altos números de Reynolds, como ya se ha mencionado anteriormente.

Pasado el punto de separación de la capa l´ımite aparece un flujo inverso, mostrado en la Figura 7(e), que no puede ser descrito mediante las ecuaciones de capa l´ımite, puesto que éstas son parabólicas y no admiten que información viaje aguas arriba de la capa

(16)

πβ U

Figura 8: Flujo potencial alrededor de una cu˜na de ´angulo πβ.

l´ımite. Por tanto las ecuaciones de capa l´ımite describen correctamente la evolución de la capa l´ımite hasta que ésta llega al punto de separación, a partir del cual dejan de ser válidas.

El estudio de la singularidad de la solución de las ecuaciones (50) y (51) en el punto de separación se debe a Goldstein (1948). Un estudio más reciente de la capa l´ımite en torno al punto de separación, incluyendo el comienzo de la región de flujo inverso, ha sido llevado a cabo por Smith (1977) usando la teor´ıa de la capa l´ımite interactiva mencionada anteriormente.

5.1. Soluciones de Falkner-Skan

Para determinadas distribuciones de velocidades de deslizamiento ue(x), y por tanto

de presiones exteriores pe(x), es posible seguir encontrando soluciones de semejanza de las

ecuaciones de capa l´ımite. Estas soluciones, descubiertas por Falkner y Skan en 1931, y posteriormente calculadas numéricamente por Hartree en 1937, representan, entre otras, las capas l´ımite que se forman sobre cuñas tales como la representada en la Figura 8. El flujo potencial alrededor de una cuña de ángulo πβ da lugar a una distribución de velocidades de deslizamiento ue(x) a lo largo de la pared de la forma

ue(x) = Axm, (54)

donde el exponente m y el ángulo πβ de la cuña están relacionados entre s´ı a través de la expresión siguiente:

β = 2m

m + 1. (55)

Mediante el análisis dimensional es posible ver que el problema de la capa l´ımite sobre una cuña admite una solución de semejanza en términos de las variables

η = y r m + 1 2 ue(x) νx , ψ = r 2 m + 1νxue(x)f (η). (56)

Sustituyendo estas variables en la ecuación (18) para la función de corriente se obtiene el siguiente problema para la función f (η):

f000+ f f00+ β(1 − f02) = 0, f (0) = f0(0) = 0, f0(∞) = 1. (57) Este problema es muy similar al obtenido por Blasius para el caso de la capa l´ımite sobre una placa plana, y de hecho se reduce a él en el caso particular de β = 0. Al igual que sucede con la ecuación de Blasius, la solución a la ecuación (57) ha de obtenerse numéricamente,

(17)

Figura 9: Soluciones de semejanza de Falkner-Skan para la capa l´ımite que se forma sobre una cuña de ángulo πβ para diferentes valores del parámetro β.

aunque en este caso habrá que calcular toda una familia de soluciones en función del parámetro β.

La Figura 9 recoge varias de dichas soluciones para diferentes valores de β. Tal como se anticipaba en la discusión general del efecto del gradiente de presiones sobre el compor-tamiento de la capa l´ımite, valores positivos de β, que se corresponden con gradientes de presión favorables, hacen que la capa l´ımite se vuelva más delgada y dan lugar a perfiles de velocidades carentes de punto de inflexión. En cambio, valores negativos de β, que se corresponden con gradientes de presión adversos, hacen que el perfil de velocidades longi-tudinales u presente un punto de inflexión, lo cual hace a la capa l´ımite más susceptible a volverse inestable, como ya se ha comentado en la sección anterior. Finalmente, para el valor especial de β = −0.199 el esfuerzo de fricción es nulo en cualquier punto de la pared.

6. Efecto de la succi´

on/soplado

Se ha visto en las secciones anteriores que cuando el gradiente de presiones es adverso, la capa l´ımite se puede separar de la superficie del cuerpo, alterando significantivamente la solución exterior y con ello la distribución de presiones sobre el cuerpo. Una manera muy eficaz de evitar, o al menos retrasar, el fenómeno de separación de la capa l´ımite consiste en succionar a través de la pared la parte de la capa l´ımite más próxima a ella, en la cual las velocidades son bajas y por tanto es más sensible a los gradiente de presión adversos. La Figura 10 muestra una foto experimental tomada por Ludwig Prandtl en 1904 del efecto que tiene la succión sobre el flujo alrededor de un cilindro. En la parte inferior del cilindro, donde no se aplica succión alguna, se observa que la capa l´ımite se separa poco después de pasar por el punto extremo del cilindro, dando lugar a una elevada resistencia de forma. En cambio la capa l´ımite sobre la parte superior del cilindro permanece adherida hasta bien pasado el punto extremo gracias a la succión que se realiza a través de una delgada rendija visible en la foto experimental.

Este resultado tan espectacular hizo que ya durante la Segunda Guerra Mundial se investigara la posibilidad de emplear la succi´on con el fin de controlar la separaci´on de la capa l´ımite en las alas de los aviones militares. Por ejemplo, la Figura 11 muestra

(18)

experi-Figura 10: Foto experimental del flujo alrededor de un cilindro circular con succi´on de la capa l´ımite a trav´es de una delgada rendija situada en la parte superior del cilindro.

(a) (b)

Figura 11: Efecto de la succión en el desprendimiento de la capa l´ımite sobre el ala de un avión en configuración de aterrizaje (con los dispositivos hipersustentadores desplegados). (a) La capa l´ımite se deprende masivamente justo delante del flap. (b) La capa l´ımite permanece adherida al ala gracias a la succión realizada justo antes del dispositivo hipersustentador.

mentos realizados en vuelo por los ingenieros alemanes en el año 1940. Mediante el pegado de hilos o cintas a la superficie del ala puede visualizarse el estado adherido/separado de la capa l´ımite. En ausencia de succión la Figura 11(a) muestra cómo la capa l´ımite se desprende del ala al no ser capaz de seguir a los dispositivos hipersustentadores que se encuentran desplegados. Por otro lado la succión justo antes de dichos dispositivos hace que la capa l´ımite no se desprenda, tal como se ve en la Figura 11(b).

En general el estudio del efecto que tiene la succión o el soplado sobre la evolución de la capa l´ımite requiere resolver numéricamente las ecuaciones (12) y (13) con las siguientes condiciones de contorno:

y = 0 : u = 0, v = vw(x),

x = 0 : u = u0(y), (58)

y → ∞ : u = ue(x),

en las cuales la condición de impermeabilidad de la pared ha sido sustituida por una distribución de soplado vw(x) (succión si vw(x) < 0). La influencia del soplado o la succión

se manifiesta pues a trav´es de la condici´on de contorno en y = 0.

Para distribuciones generales de succión/soplado será necesario resolver el sistema de ecuaciones en derivadas parciales correspondiente, pero si se considera el caso particular de una placa plana a ángulo de ataque nulo con una distribución de succión/soplado vw(x)

(19)

de la forma

vw(x) = v∗w

U Re1/2x

, (59)

en la cual v_w∗ es una constante arbitraria, entonces es posible volver a encontrar soluciones de semejanza de las ecuaciones de la capa l´ımite, y por tanto reducir el problema a una ecuación diferencial ordinaria, cuya resolución numérica resulta ser mucho más sencilla que la del problema general.

Empleando las mismas variables de semejanza que para la soluci´on de Blasius de la secci´on 4, η = y r U 2νx, ψ = √ 2νU xf (η) (60)

se obtiene el siguiente problema diferencial, que salvo por el cambio de una de las condi-ciones de contorno sobre la placa, es id´entico al planteado por Blasius:

f000+ f f00= 0, f (0) = −√2v∗_w, f0(0) = 0, f0(∞) = 1.

Nuevamente la familia de soluciones función del parámetro libre v_w∗ ha de calcularse numéricamente. La Figura 12 muestra varias soluciones obtenidas para diferentes valo-res de v_w∗. Para valores negativos de v∗_w, que corresponden a succión, se puede ver que la capa l´ımite se vuelve más delgada. Aparte de hacer que ésta se vuelva más robusta frente al fenómeno de separación, el estrechamiento también tiene el efecto, a veces no desea-do, de aumentar los esfuerzos de fricción en la pared, dado que el gradiente de velocidad (τw = µ ∂u_∂y

y=0) ser´a mayor. En el extremo opuesto, para valores positivos de v ∗ w, que

corresponden a soplado, se puede ver en la Figura 12 que la capa l´ımite se vuelve más gruesa y aparece un punto de inflexión en el perfil de velocidades longitudinales u, lo cual hace que la capa l´ımite laminar sea menos robusta frente a la transición a la turbulencia. Por otro lado, al reducirse los gradientes de velocidades, los esfuerzos de fricción en la pared disminuyen. Si se sopla lo suficientemente fuerte, es incluso posible llegar a anular el valor de τw, lo que provoca la separación de la capa l´ımite. Esto sucede para el valor

(20)

Figura 12: Soluciones de semejanza de las ecuaciones que describen la capa l´ımite que se forma sobre una placa plana a trav´es de la cual se aplica una succi´on/soplado de la forma vw(x) =