Geometria IVbimestre

INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA

R.D.R. Nº 052-2007

En Primaria y Secundaria

MATEMÁTICA-GEOMETRÍA

ARQUITECTURA DEL CONOCIMIENTO: MARCO

CONCEPTUAL-3ro

VIII. ÁREAS DE LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS

Temporalización:

(Del 09 de Octubre al 02 de Noviembre)

12.2.Relaciones de áreas 12.3.Área de la región polígono regular 12.4.Área de la regiones circulares IX.

SÓLIDOS

GEOMÉTRICOS

Temporalización: (Del 05 de Noviembre al 30 de Noviembre)

13.

Sólidos Geométricos. 13.1. Definición. 13.2. Determinación del plano 13.3. Poliedros 13.4. Prisma y Pirámide 13.5. Cilindro y Cono 13.6. Esfera

13.7.

Ejercicios aplicando las propiedades

.

h

l

l

B

C

A

l

ÁREAS TRIANGULARES

REGIÓN: Es aquella parte de una superficie plana

delimitada por una línea.

ÁREA: Es el número que indica la medida de una

región, es decir es igual al número de veces que se utiliza la región unitaria.

ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES

A continuación daremos una serie de

fórmulas para calcular las áreas de diversas

regiones triangulares.

Fórmula básica

Triángulo equilátero



Fórmula de Herón

Por el Inradio

Expresión Trigonométrica

PROPIE DADES:

RELACIÓN DE ÁREAS ENTRE DOS

TRIÁNGULOS:

Si dos triángulos tienen la misma altura,

entonces la relación entre sus áreas será

igual a la relación entre sus bases.

A =

p(pa)(pb)(pc)

A =

2 h x b

b

h

b

h

b

h

c

a

b

r

_{A = P . r}

P =

2 c b a  a b 

A =

ab₂

Sen



OBSERVACIONES:

1. En todo triángulo se trazan las tres medianas, se determinan seis triángulos equivalentes

2. En todo triángulo si se une el baricentro con sus tres vértices, se determinan tres triángulos parciales equivalentes.

3. En todo triángulo si se une el baricentro con los puntos medios de los tres lados se generan tres regiones equivalentes.

4. En todo triángulo si se unen los puntos medios de sus tres lados se determinan cuatro

triángulos parciales equivalentes.

MATERIAL DE CLASES

1. Calcular el área de la región triangular ABC, si: BC=15, AC=17, AB=8.

Rpta.: ... 2. En la figura. Calcular el área de la región

triangular ABC.

Rpta.: ...

3. En el gráfico: AM es mediana, S1 = 19, S2 = 11. Calcular Sx

Rpta.: ... 4. En el gráfico: calcular el área de la región

triangular ABC.

Rpta.: ...

5. En el gráfico, calcular la relación entre las áreas de las regiones sombreadas y no sombreadas.

S

b

b

*

*

S

S S

S

S

S

S

A

A

A

A

Rpta.: ... 6. En el gráfico, calcular el área de la región

triangular ABH.

Rpta.: ... 7. En la figura, calcular el área de la región

sombreada. Si ABCD es un rectángulo, AE = 4, BE = 6.

Rpta.: ...

8. En el gráfico: calcular el área de la región DFC; si: AD = DC, DF = 6.

Rpta.: ... 9. En el gráfico: si el área de la región triangular

ABC es 22√ 2u2 _{. Calcular a.}

Rpta.: ...

10. Si ABC es un triángulo equilátero; calcular su área en función de r.

11. En el gráfico. Si: AB = CD = 4. Calcular el área de la región sombreada.

Rpta.: ...

12. En el gráfico. Si: OA = OB = √5 y PH = 2(EF). Calcular el área de la región sombreada

Rpta.: ...

13. En el gráfico 𝐴𝐵̅̅̅̅: Diámetro. Calcular: (S1 + S2); si, R = 4u.

Rpta.: ...

14. En un trapecio rectángulo ABCD se tiene que la base menor 𝐵𝐶̅̅̅̅ mide 3u. En la altura 𝐴𝐵̅̅̅̅ se ubica el punto F; tal que el ángulo AFD es el doble del

ángulo BCF y FD = 8u. Calcular el área del triángulo CFD.

Rpta.: ...

15. En el gráfico. Calcular el área de la región sombreada.

Rpta.: ...

16. En el gráfico: Calcular el área de la región sombreada, si: AH=4, HC=12.

Rpta.: ...

17. En la figura: calcular AC. Si el área de la región triangular ABC es 12. Si: BH = 3(AC). Calcular AC.

18. El área de la región triangular ABC es 4√3. Calcular su perímetro.

Rpta.: ...

19. En el gráfico: si BC = 10, calcular el área de la región triangular ABC.

Rpta.: ...

20. En la figura, BP = 4, AC = 10. Calcular el área de la región sombreada.

MATERIAL DE CLASES

1. En el gráfico. Calcular el área de la región cuadrada ABCD; si: CE=ED

Rpta.: ...

2. En el gráfico: calcular el área de la región romboidal si: QR = 9, RS = 4 y MS = 7.

Rpta.: ...

3. Calcular el área de una región rombal sabiendo que la longitud de su lado es 13 y de su diagonal mayor es 24.

Rpta.: ...

4. Un rectángulo está inscrito en una circunferencia 9 de radio 5, si uno de los lados del rectángulo tiene como longitud 8. Calcular el área de la región rectangular.

Rpta.: ...

5. Calcular el área de la región limitada por un trapecio isósceles cuyas bases miden 2 y 8 respectivamente, los ángulos adyacentes a la base mayor mide 53° cada uno.

Rpta.: ...

6. Calcular el área de una región cuadrada, si las longitud de sus diagonales 8√2 .

Rpta.: ...

7. En el gráfico: ¿qué valor debe tomar x, para que el área del triángulo ABE sea la mitad del área del trapecio BCDE?

Rpta.: ...

8. Un terreno de forma rectangular tiene un perímetro igual a 46, siendo su diagonal igual a 17 ¿calcular el área del terreno?

Rpta.: ...

9. Uno de los ángulos interiores de un rombo mide 150º, el perímetro de su región es 24. Calcular el área de dicha región rombal.

Rpta.: ...

10. En el gráfico: calcular el área de la región trapecial.

Rpta.: ...

11. En el gráfico: calcular el área de la región trapezoidal de FOCD si el área de las regiones triangulares BOC y AOF tienen valores 9 y 25 respectivamente, 𝐴𝐷̅̅̅̅//𝐵𝐶̅̅̅̅.

Rpta.: ...

12. En el gráfico: calcular el área de la región mostrada, si: AB=12, BC=5, CD=4, DE=13.

Rpta.: ...

13. En el gráfico: calcular el área de la región cuadrangular APQC. Si: 𝑃𝑄̅̅̅̅ es base media, AC=8, QH= 6 .

Rpta.: ...

14. El perímetro de una región rectangular es 60 además el largo es el doble de su ancho. Calcular su área.

Rpta.: ...

15. En un trapecio rectángulo ABCD, recto en A y en B, se sabe que: BC=6, AD=8. Si el área de la región trapecial es 35. Calcular AB.

16. En el cuadrado ABCD, M y N son puntos medios y calcular el área de la región ABPD; de mayor perímetro. (Sx)

}

Rpta.: ...

17. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de área 144u2 _{y de centro}

O.

Rpta.: ...

18. En la figura, ABCD es un trapecio, 𝐵𝐶̅̅̅̅ // 𝐴𝐷̅̅̅̅, S(BPC)=4, S(APD)=9. Calcular S(ABCD)

Rpta.: ...

19. En el gráfico: calcular el área de una región romboidal ABCD.

Rpta.: ...

TAREA DOMICILIARIA

1. Determine el área de un rectángulo cuyos lados miden 1,2m y 96cm. ( en

m

2) . A) 11,52 B) 0,1152 C) 1,152 D) 1,232 E) 1.23

2. Halle el área de un rectángulo, si su perímetro es 50 m, siendo la medida de uno de sus lados de 11 m.

A) 100

m

2 B) 108

m

2 C) 112

m

2 D) 154

m

2 E) 164

m

2

3. La diagonal de un rectángulo ABCD mide 15, el lado BC mide 12. Determine el área de ese rectángulo.

A) 108 B) 120 C) 180 D) 135 E) 90

4. Halle el área de un cuadrado, sabiendo que una de sus diagonales mide 10.

A) 50 B) 100 C) 50

2

D) 100

2

E) N.A.

5. En la figura: ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12. Determine el área del cuadrilátero AMDO.

A) 144 B) 72 C) 108

D) 36 E) 100

6. Halle el área de un paralelogramo ABCD cuyos lados miden 12 y 8, se sabe además que una de sus alturas mide 9.

A) 80 B) 90 C) 76

C) 72 E) 78

7. Se tiene un trapecio rectángulo ABCD, cuyos ángulos A, B y D miden 90°, 90° y 45° respectivamente. Halle el área del trapecio si

AB

= 3, y la base menor BC mide 4. A) 16,5 B) 33 C) 22,5

D) 45 E) 64

8. Halle el área de un rombo cuyas diagonales miden 15 y 22.

A) 165 B) 156 C) 330 D) 235 E) 135

9. Si las diagonales AC y DB de un cuadrilátero ABCD son mutuamente perpendiculares, Determine su área si: AB = 12 y BD = 20. A) 120 B) 240 C) 150 D) 180 E) N.A.

10. Se tiene un trapecio ABCD de bases que miden: BC = b, y AD = 3b. Si: M y N son puntos medios de las diagonales, ¿qué porcentaje del área del trapecio es el área del triángulo MND? A) 12,8% B) 25% C) 20% D) 12,5% E) 10%

M

A

B

_C

D

O

11. En la figura que se muestra: determine la relación que existe entre las partes sombreada y no sombreada, ABCD es encuadrado y “O”, su centro.

A) 5: 8 B) 3: 8 C) 3:5 D) 8: 3 E) 5: 3

12. Determine el área del rombo ABCD si su perímetro es de 64.

A) 160 B) 320 C) 120 D) 240 E) N.A.

13. En la figura: las habitaciones tienen forma cuadrada, la sala tiene una extensión de 27

2

m

, la de la oficina es de 12

m

2. ¿Cuál es la extensión del salón de actos?

A) 70

m

2 B) 85

m

2 C) 60

m

2 D) 75

m

2 E) 90

m

2

14. En la figura: ABCD es un rectángulo. ¿Cuál debe ser el valor de “x” para que el área del triángulo ABE sea la mitad del área del trapecio AECD?

A) 16/3 B) 8/3 C) 3/16 D) 3/8 E) 5

15. En la figura, halle la relación entre las áreas del triángulo AMR y el paralelogramo ABCD.

A) 1/2 B) 3/4 C) 1/3 D) 1/4 E) 2/3

CIRCUNFERENCIAS

MATERIAL DE CLASES

1. En el gráfico: calcular el área de la región sombreada. Si O1 y O2 son centros, r = 2 y R = 5.

Rpta.: ... 2. En el gráfico O es centro: calcular el área del

sector circular.

Rpta.: ... 3. En el gráfico O es centro, A es punto de

tangencia: calcular el área de la corona circular. AB = 4. Rpta.: ...

A

B

C

D

O

C

A

B

5

D

Salón de

actos

Sala

Ofic.

M

B

A

D

R

C

A

B

x

E

_C

D

2

4

4. En el gráfico O es centro: calcular el área Del segmento circular sombreado AOB.

Rpta.: ... 5. En el gráfico: calcular el área de la región

sombreada. Si O y Q son centros OB = 4.

Rpta.: ... 6. En el gráfico: calcular el área de la región

sombreada.

Rpta.: ... 7. En el gráfico: calcular el área de la región

sombreada. Si 𝐴𝐵̅̅̅̅ es diámetro y además AO = OB = 3; m𝐴𝑀̂  60º

Rpta.: ...

8. En el gráfico: calcular el área del círculo si está inscrito en el sector circular. Si O es centro.

Rpta.: ...

9. Calcular el área de un círculo inscrito a un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 8 y 15. Rpta.: ... 10. En la figura: calcular el área de la región

sombreada. Si: AB = 6, BC = 8. Si O es centro.

Rpta.: ... 11. En el gráfico: Calcular el área del círculo. Si:

AB = BC = 5 y AC = 6. M, N, P son puntos de tangencia, si: O es centro.

Rpta.: ... 12. En el gráfico: calcular el área de la corona

circular.

Rpta.: ... 13. Si: AB=4, OA=R, OP=r. Además: P es punto de

tangencia.

14. En el gráfico: m 𝐴𝐵̂ = 90º, AB = 6√2. Calcular el área del círculo. Si: O es centro.

Rpta.: ...

15. En el gráfico: ABCD es un cuadrado, AB = 2√ 2 . Calcular el área de la región

sombreada. Si: O1 y O2 son centros.

Rpta.: ... 16. En el gráfico O es centro: calcular el área del

sector circular AOB. Si OA = 6.

Rpta.: ...

17. En el gráfico P y O son centros: calcular el área de la región sombreada.

Rpta.: ...

18. En el gráfico: calcular R; si O es centro y el área de la región sombreada es 10 .

Rpta.: ... 19. En el gráfico. Calcular el área de la región

sombreada. Si: BC = 4, O es centro y OBCD es un cuadrado (B y D son puntos de tangencia).

Rpta.: ... 20. En el gráfico: el área del círculo es 9 . Calcular

el área de la región cuadrada. R: Radio.

Rpta.: ... TAREA DOMICILIARIA

1. Halle el área de un círculo sabiendo que su radio mide 5.

A) 10



B) 15



C) 20



D) 25



E) 36



2. Encuentre la longitud del radio de un círculo cuya área es de 36



unidades cuadradas.

A) 12 B) 6 C) 5

D) 10 E) N.A.

3. Determine el área correspondiente a un cuarto de círculo cuyo radio mide 12.

A) 90



B) 72



C) 36



4. Determine el área de la región circular de la figura: BD mide 12

A) 12



B) 18



C) 24



D) 36



E) N.A.

5. En la figura: Halle el área de la región sombreada sabiendo que AB = 16, “O” es el centro.

A) 12



B) 8



C) 16



D) 9



E) N.A.

6. En la figura, determine el área de la región limitada por: OA, OB, OD y las curvas AB y CD, se sabe además que: OC = CB = OD = 6.

A) 27



B) 36



C) 45



D) 54



E) 30



7. En la figura: determine el área de la región sombreada.

A) 16



B) 8



C) 32



D) 16 (4 –



) E) N.A.

8. Encuentre el área de la región sombreada: “O” es el centro del sector cuyo radio mide 6

A) 6



B) 12



C) 9



D) 3( 2



- 3

3

) E) N.A.

9. En la figura, determine al área de la región sombreada, se sabe que ABCD es un cuadrado cuya área es de 64 unidades cuadradas.

A) 32



B) 32 C) 16

D) 16



E) 24

10. Determine el área de la región sombreada, se sabe que ABCD es un rectángulo cuyo perímetro es de 20.

A) 4(4 +



) B) 4(4 -



) C) 8(4 -



) D) 5(4 -



) E) N.A.

11. En la figura, halle el área de la parte sombreada: ABCD es un cuadrado cuyo perímetro es 32.

A) 16(



- 2) B) 32(



-2) C) 48(



-1) D) 24(



+2) E) N.A.

A

B

D

C

O

A

B

60°

30°

A

O

B

C

D

O

₄

A

B

C

D

60°

O

A

B

A

B

C

D

A

B

_C

D

12. Se tiene una circunferencia cuya longitud es de 12



. Determine el área de su círculo.

A) 24



B) 12



C) 36



D) 64



E) 18



13. Halle el área de la región sombreada, se sabe que el hexágono es regular y su lado mide 6.

A) 18(2



-3) B) 24(3



-2) C)36(2



-3) D) 24(2



-3) E) N.A.

14. Determine el área de la región sombreada, el cuadrado tiene un perímetro de 16 unidades.

A) 4(4 -



) B) 8 (



-2) C)4(



- 2) D) 4(



- 2) E) 8(



+ 2)

15. Halle el área de la región sombreada: AB = 12 y BC = 8, AB, BC y AC son diámetros. Determine el área de la región sombreada

A) 50



B) 60



C) 40



D) 45



E) 54



SÓLIDOS POLIEDROS

Son aquellos poliedros cuyas caras son polígonos regulares. Solamente existen 5 poliedros regulares:

CONVEXO NO CONVEXO CARA VERTICE ARISTA C = 5 V = 6 A = 9 TEOREMA DE EULER C = 6 V = 6 A = 10 C + V = A + 2  Siendo: C: N° de caras V: N° de vértices A: N° de aristas TETRAEDRO OCTAEDRO ICOSAEDRO HEXAEDRO (Cubo) DODECAEDRO FORMA DE LA CARA C V A 4 4 8 6 20 12 6 8 12 20 TETRAEDRO REGULAR a h h Altura: h =  a 6 a 2 A = a 32 _{V =} 3 12

d Diagonal del sólido a 2 A = 2a 32 _{V =} 3 3 d = a 2 OCTAEDRO REGULAR 3 a TETRAEDRO REGULAR a h h Altura: h =  a 6 a 2 A = a 32 _{V =} 3 12

d Diagonal del sólido a 2 A = 2a 32 _{V =} 3 3 d = a 2 OCTAEDRO REGULAR 3 a

A

B

C

Observación

Paralelepípedo rectangular (rectoedro u ortoedro)

MATERIAL DE CLASES

1. Determine el número de caras laterales de un prisma que tiene un total de 11 caras.

A) 11 B) 10 C) 8

D) 9 E) 7

2. Determine la cantidad de aristas laterales de un prisma que tiene un total de 14 caras.

A) 10 B) 12 C) 8

D) 15 E) N.A.

3. Encuentre el área lateral de un cubo cuya arista lateral mide 8

A) 32 B) 128 C) 256

D) 512 E) 424

4. Halle el área total de un cubo, sabiendo que la diagonal de cada una de sus caras mide 10.

A) 600 B) 300 C) 500

D) 1500 E) 900

5. Las dimensiones de un ladrillo son: 18 cm, 12 cm y 8 cm. Determine el volumen de este ladrillo en

3

cm

.

A) 456 B) 912 C) 1728

D) 1546 E) 980

6. Un fabricante decide vender su harina en cajas de forma rectangular, cuyas dimensiones son: 10 cm, 6 cm y 3 cm. Determine la cantidad de harina (en

cm

3) que contiene cada uno de estos paquetes.

A) 150 B) 210 C) 120

D) 180 E) 250

7. En el problema anterior determine el costo de cada uno de estos paquetes, si el comerciante compra la harina a S/. 6 cada kilo el que ocupa 1000

cm

3.

A) S/. 1,2 B) S/. 1,1 C) S/. 1,05 D) S/. 1,02 E) S/. 1,08

8. Un pintor cobra S/. 7 por cada metro cuadrado de su trabajo. Cuánto es lo que debe cobrar por pintar una habitación que tiene dimensiones 4 m, 2,5 m y 2,4 m de alto.

A) S/. 277 B) S/. 310 C) S/. 256 D) S/. 246 E) S/. 298

9. Una piscina tiene por dimensiones; 10 m, 7 m, y 2,5 m. Si ésta se encuentra llena en sus 3/5 partes, determine la cantidad de

m

3 de agua que se necesita para llenarla.

A) 110 B) 35 C) 70

D) 140 E) 50

10. Encuentre la cantidad de vértices de un prisma que posee 12 caras laterales.

A) 24 B) 18 C) 12

D) 20 E) 15

11. Encuentre la longitud de la mayor diagonal en una de las caras laterales de un prisma rectangular cuyas dimensiones son de 12; 16 y 10.

A) 25 B) 26 C) 14

D) 20 E) 23

12. En un recipiente de base rectangular, lleno parcialmente con agua, se introducen dos bloques cuyos volúmenes son de 1/4 de metro cúbico cada uno. Si las dimensiones del recipiente son 2 m, 4 m, y 1,8 m de alto. Indique

HEXAEDRO REGULAR (CUBO)

D a A = 6a2 D = a 3 V = a3 a

D

c

a

b

A = 2(ab + ac + bc)

D = a + b + c

2 2 2 2

V = abc

en qué nivel (en cm.) se eleva la altura del recipiente.

A) 8 B) 6,25 C) 9,6

D) 14 E) 10,4

13. Se sabe que un cubito de 6 cm de arista pesa 40 g. Determine el peso de un cubo hecho del mismo material y con una arista de 15 cm.

A) 100 B) 600 C) 625

D) 720 E) 1000

14. Encuentre la longitud de la diagonal de un prisma rectangular cuyas caras tiene dimensiones: 12 m, 4 m, y 3 m.

A) 13 B) 15 C) 16

D) 17 E) 14

16. Para llenar un recipiente de base rectangular con medidas de 5 m. 2 m, y 1,4 m de alto se utilizan baldes de 0,16

m

3. Si ya se han echado 40 de estos baldes, ¿hasta qué altura se encuentra ocupado el recipiente?

A) 80 cm B) 72 cm C) 56 cm D) 64 cm E) 45 cm

17. En el problema anterior, determine qué cantidad de baldes hace falta agregar para llenar el recipiente.

A) 48 B) 72 C) 36

D) 40 E) N.A.

18. Determine la altura de una caja cuyo volumen es de 9

m

3. Las bases tienen por dimensiones 3 m y 2 m.

A) 1,2 B) 1,8 C) 0.9

D) 1,4 E) 1,5

19. Halle el área total de una caja de zapatos con medidas de 36 cm, 25 cm y 20 cm. (en

m

3).

A) 0,3 B) 0,03 C) 0.003

D) 0.25 E) 0.025

PRISMA – PIRÁMIDE

Observación

Si las bases son polígonos regulares entonces el Prisma es regular.

PIRÁMIDE

A' _B' C' A _B C Bases ABC y A'B'C'   Aristas laterales AA' , BB' , CC' Aristas básicas AB , BC , AC Caras laterales ABB'A', BB'C'C, ACC'A' h Área lateral (A ) ABASE L Área total (A )_T V = A Altura_Base x Volumen (V) A = A + 2A_T A =_L Perímetro_Base x h L Base ABASE

h: Altura del prisma

Vértice o cúspide

Arista lateral

Arista básica

Base

V =

A x h

3

B

h

PIRÁMIDE REGULAR ÁREA LATERAL (A_L) ÁREA TOTAL (A_T) VOLUMEN (V) MATERIAL DE CLASES

1. Si una pirámide tiene un total de trece caras, determine la cantidad de aristas laterales.

A) 10 B) 11 C) 14

D) 14 E) 12

2. Para el problema anterior, determine la cantidad total de aristas de la pirámide.

A) 18 B) 25 C) 24

D) 36 E) 27

3. Si una pirámide tiene un total de 10 caras, encuentre la cantidad de vértices de ese sólido.

A) 10 B) 9 C) 11

D) 15 E) 8

4. En un prisma, se sabe que su volumen es de 480

3

m

. Si el área de una de sus caras es de 96

2

m

, determine la longitud de una de sus aristas.

A) 12 B) 8 C) 10

D) 5 E) 6

5. Halle el área lateral de una pirámide cuadrangular regular si las aristas de la base miden 12 m cada una, mientras que la apotema de cada cara mide 10 m.

A) 120

m

2 B) 240

m

2 C) 360

m

2

D) 480

m

2 E) N.A.

6. Para el problema anterior, determine el área total de dicha pirámide.

A) 296

m

2 B) 384

m

2 C) 360

m

2 D) 484

m

2 E) 366

m

2

7. Con respecto al problema número 5, si la altura de dicha pirámide mide 8 m, halle el volumen de esta pirámide.

A) 384

m

3 B) 360

m

3 C) 298

m

3 D) 310

m

3 E) 280

m

3

8. Se quiere guardar líquido en dos recipientes de la misma capacidad: uno de ellos tiene la forma de un prisma cuadrangular, mientras que el otro es piramidal regular. Si el recipiente prismático tiene por dimensiones: 10 cm, 6 cm y 4 cm. determine la altura del recipiente piramidal si la arista de su base mide 12 cm.

A) 6cm B) 4cm C) 5cm

D) 8c, E) N.A.

9. Para el sólido de la figura: tiene por base un cubo de arista 6 cm y remata en una pirámide de 5 cm de apotema. Determine el área de la pieza.

A) 135

cm

2 B) 220

cm

2 C) 240

cm

2 D) 160

cm

2 E) 280

cm

2

10. Para el problema anterior, determine el volumen de este sólido.

A) 264

cm

3 B) 296

cm

3 C) 320

cm

3 D) 280

cm

3 E) N.A.

11. Con respecto al problema anterior, determine el peso de esta pieza, sabiendo que cada

cm

3 pesa 2,5 g. A) 660 g B) 740 g D) 800 g D) 700 g E) 625 g

O : Vértice

h : Altura

OM: Ap = Apotema

de la pirámide

O C B h O D M A

A = p Ap

_{L Base} x

p semiperímetro

A = A + A

_T

_L

_BASE

Base

A h

x

1

3

V =

12. Se tiene un recipiente cuya base tiene forma rectangular y lleno con suficiente cantidad de agua. Las dimensiones de la base son: 60 cm y 40 cm, si en él se introduce dos pirámides iguales con volumen de 2400

cm

3 cada una. Determine hasta qué altura sube el nivel de agua si inicialmente tenía 20cm de altura.

A) 25 cm B) 22 cm C) 24 cm D) 30 cm E) N.A.

13. El volumen de una pirámide es de 960

cm

3. Si la altura mide 16 cm, determine el área de su base.

A) 210

cm

2 B) 220

cm

2 C) 180

cm

2 D) 160

cm

2 E) 270

cm

2

15. Halle la apotema de una pirámide de base exagonal regular, si el área lateral mide 360

cm

2 y la arista de la base mide 12 cm.

A) 10 cm B) 15 cm C) 9 cm D) 16 cm E) 12 cm

16. En la figura, se muestra un sólido en el cual ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 24 cm. Determine el área de este sólido si la apotema mide 15 cm.

A) 960 B) 840 C) 720

cm

2 D) 660

cm

2 E) 750

cm

2

17. En el problema anterior, se sabe que EF mide 32 cm. Determine el volumen de este sólido. A) 7220

cm

3 B) 6840

cm

3 C) 8400

cm

3 D) 6144

cm

3 E) 6645

cm

3

18. Las áreas de las caras laterales de un prisma pentagonal regular son de 68

cm

2 cada una. Si la arista lateral mide 9 cm, determine el área lateral de dicho prisma.

A) 360

cm

2 B) 280

cm

2 C) 320

cm

2 D) 380

cm

2 E) 340

cm

2

19. Para el problema anterior, determine el perímetro de la base del prisma.

A) 41,2 cm B) 37,8 cm C) 38,7 cm D) 40,6 cm E) 36,6 cm

20. Un prisma y una pirámide tiene igual volumen. Determine la altura de la pirámide si el prisma tiene base rectangular con medidas de 24 cm y 15 cm, su altura mide 12 cm. Mientras que la pirámide tiene por área de la base 720

cm

2.

A) 20cm B) 18cm C) 24cm

D) 15cm E) 21cm

21. Se desea construir una pieza metálica que pese 720 g. Si el peso de cada

cm

3 es de 3,6 g, qué altura deberá tener una pieza de base rectangular de 6 cm de largo y 4cm de ancho. A) 9 cm B) 7,2 cm C) 8,33 cm D) 10,2 cm E) N.A.

22. Según el problema anterior, determine el costo de dicha pieza, si se cobra S/ 0,25 por cada gramo. A) S/. 80 B) S/. 360 C) S/. 240 D) S/. 180 E) S/. 250

B

C

D

A

E

F

Cilindros

Cilindro recto de revolución

MATERIAL DE CLASES

1. Calcular el volumen del cilindro recto, si el área de la base es 16 u 2_{AD = 4 u.}

Rpta.: ...

2. Si el diámetro de la base del cilindro recto mide 4u. Calcular el área de la superficie total.

Rpta.: ...

3. El área de la superficie lateral de un cilindro es 62 _{su volumen 3u}3 _{. Calcular el área}

de su superficie total.

Rpta.: ...

4. Calcular el volumen de un cilindro circular recto cuya área de su superficie lateral es 100 y su altura es igual al diámetro de su base.

Rpta.: ...

5. Calcular el área de la superficie total del cilindro recto:

Rpta.: ...

6. En un cilindro recto, el área de su base es

81  u2_{. Si la generatriz es el doble del}

diámetro. Hallar el área de la superficie lateral.

Rpta.: ...

7. Calcular el área de la superficie total del cilindro recto. Si AB=2 u, “O” centro de la base.

Rpta.: ...

8. La altura de un cilindro recto mide 6 u y el área de su superficie lateral es 36 u 2_. Calcular su volumen.

Rpta.: ...

9. Un cilindro está lleno de agua hasta la mitad, se suelta un pedazo metálico entonces el nivel de agua aumenta en 3,5cm. Si el diámetro del cilindro es de 8cm. Determine el volumen del pedazo metálico.

Rpta.: ... Área lateral (A )_L Área total (A )_T Volumen (V) A = A + 2A_{T L Base} A = 2 rg_L  G en er at riz r g V = r g 2 g : Generatriz

r : Radio de las bases ABASE

10. La figura muestra un tarro de leche cuya altura es 12u y el radio de la base mide 4u. Hallar el área de la etiqueta. (Suponer que la etiqueta cubre todo el área lateral)

Rpta.: ...

CONO CIRCULAR RECTO DE

REVOLUCIÓN

ÁREA LATERAL (A_L)

ÁREA TOTAL (A_T)

VOLUMEN (V)

Desarrollo lateral del cono

ESFERA

HUSO Y CUÑA ESFÉRICA

CASQUETE ESFÉRICO

(zona esférica de una base)

h

r

Vértice

Generatriz

Altura

g

h

r

g

h

O

g

r

g

A = r.g

_L



A = r . (g + r)

_T





r . h

1

3

V =

2

h

r

g

g

g



2 r



2

g



r



=

R 2R R Círculo menor Círculo mayor o máximo A = 4 R2 V = 4 3R 3 R R R v  HUSO CUÑA R R  R 90° A =H 2 V =_270°R 3 C

A = 2 R.h

_C



R

h

SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE

MATERIAL DE CLASES

1. Demostrar que el volumen de la esfera inscrita en un cilindro circular recto es los 2/3 del volumen delcilindro.

Rpta.: ... 2. Calcular el volumen de la esfera. Si el área

de la región sombreada es 4  u2 _{. “O”}

centro de la esfera.

Rpta.: ... 3. En el gráfico: Calcular el área de la

superficie esférica. OB =Radio, CB = 4u

Rpta.: ... 4. Calcular el volumen del cono, “O” centro de

la base.

Rpta.: ...

5. Calcular el volumen y el área de la superficie total de un cono recto, si su generatriz mide 6, la cual forma con la base un ángulo que mide 60°.

Rpta.: ... 6. Calcular el volumen de una esfera cuya área

de su superficie esférica es 144  u2 _. Rpta.: ... 7. Calcular la razón entre el área de la

superficie lateral del cono y el área de su base. “O” centro de la base.

Rpta.: ...

8. Calcular la longitud del radio de la semiesfera, si el área de la superficie esférica es 48 u2 _{. R=Radio.}

Rpta.: ... 9. Calcular el volumen y el área de la

superficie esférica. Si el área de la región sombreada es 36 u2 _{. “O” es centro de la}

esfera. Rpta.: ...

V

SE

=



₂

h

2 ₂

R

h

+ r

h

3

r

10. Calcular el área de la superficie total del cono circular recto, si el radio de su base mide 4u, r: Radio.

Rpta.: ... 11. El área de la superficie lateral de un cono de

revolución es igual a 65u2 _{y el área de su}

base es 25 u2 _{. Calcular el volumen del} cono.

Rpta.: ... 12. Calcular el radio de la esfera inscrita en un

cubo, cuya área de su superficie total es 24u2_.

Rpta.: ... 13. Una esfera se encuentra inscrita en un

cilindro recto. Calcular la relación entre el volumen de la esfera y el volumen del cilindro.

Rpta.: ... 14. En el gráfico: Calcular la relación entre los

volúmenes de la semiesfera y el cono. O y Q son centros.

15. Una esfera cuyo radio mide 3u es equivalente a un cono circular recto cuyo radio de la base mide 2 u. Calcular la medida de la altura del cono.

Rpta.: ... 16. Calcular el volumen de una esfera

circunscrita a un cubo cuya área de la superficie total es 288 u2 _.

Rpta.: ...

17. Calcular el volumen del cono que se

muestra en el gráfico. “O” centro de la base.