Antonio Le´on
El fin del infinito
Selecci´on de argumentos sobre el infinito matem´atico
Primera edici´on 2011. Segunda edici´on 2013 Tercera edici´on Septiembre 2014. Salamanca
Impreso en Espa˜na / Printed in Spain Printed by Bubok Publishing S.L.
INTERCIENCIA
Registro legal S.C. Cod. 1401099791982
Todos los derechos reservados. Ninguna parte de este libro se puede reproducir, almacenar o transmitir en forma alguna sin el correspondiente permiso del propietario de los derechos de
´Indice general
1. Introducci´on 1
2. Convenciones 7
3. El infinito actual 9
Introducci´on . . . 9
Infinito actual y potencial . . . 11
El axioma del infinito . . . 13
Cardinales y ordinales. . . 15
4. Reinterpretaci´on de las paradojas de la reflexividad 21 Introducci´on . . . 21
¿Paradojas o contradicciones?. . . 22
5. Extensi´on de la Paradoja de Cantor 27 Introducci´on . . . 27
La paradoja de Cantor . . . 28
Una extensi´on de la Paradoja de Cantor . . . 29
6. El siguiente racional 33 Introducci´on . . . 33 Discusi´on. . . 33 7. La l´ampara de Thomson 37 Introducci´on . . . 37 La l´ampara de Thomson . . . 39 La m´aquina de contar . . . 44
8. Revisi´on del argumento de Cantor de 1874 47 Introducci´on . . . 47
Argumento de Cantor de 1874 . . . 47
Versi´on racional del argumento de Cantor . . . 50
Una variante del argumento de Cantor de 1874. . . 52
9. Intercambios num´ericos 57 ω -Intercambios . . . 57
Argumento de la supertarea . . . 58
Argumento Modus Tollens . . . 59
La alternativa del infinito potencial . . . 60
10.La diagonal de Cantor 61 Introducci´on . . . 61
Teorema del n-´esimo decimal . . . 61
Cantor contra Cantor . . . 62
Antidiagonales racionales . . . 64
Un nota final. . . 68
11.Intervalos racionales 69 Introducci´on . . . 69
iv—— ´Indice general
Una partici´on cantoriana . . . 69
Un intervalo racional menguante . . . 72
Discusi´on. . . 73
12.Particiones no contables 75 Introducci´on . . . 75
La prueba de Cantor de 1885 . . . 75
Particiones en la recta real . . . 76
13.Cajas y conjuntos 81 Introducci´on . . . 81
Vaciando cajas y conjuntos . . . 81
Capturando una falacia . . . 83
Magia infinitista . . . 85
14.Una fuente irracional de n´umeros racionales 87 N´umeros n-expofactoriales . . . 87
Una fuente irracional de n´umeros racionales . . . 89
Discusi´on. . . 95
Ep´ılogo. . . 95
15.Substracci´on de cardinales 97 Introducci´on . . . 97
Problemas con la sustracci´on de cardinales . . . 98
El argumento de Faticoni . . . 100
16.Alef-cero 103 Introducci´on . . . 103
El menor cardinal transfinito . . . 104
17.Singularidades aritm´eticas de alef zero 109 Introducci´on . . . 109
¿Es ℵo un n´umero primo?. . . 109
Alef-cero y la potencia del continuo . . . 115
18.Reinterpretaci´on del teorema de la reordenaci´on de Riemann 119 Definiciones. . . 119
Discusi´on. . . 119
19.Inconsistencia de los conjuntos anidados 123 Teorema de la intersecci´on vac´ıa . . . 123
Inconsistencia de los conjuntos anidados . . . 127
20.Dicotom´ıas de Zen´on 131 Definiciones introductorias. . . 131
Dicotom´ıa II de Zen´on . . . 133
Dicotom´ıa I de Zen´on . . . 135
Conclusi´on . . . 136
21.La m´aquina de Hilbert 137 El Hotel de Hilbert . . . 137
Definiciones. . . 138
La contradicci´on de la m´aquina de Hilbert. . . 139
Discusi´on. . . 140
22.Curvas de Jordan infinitas 143 Introducci´on . . . 143
Partici´on infinita de una curva de Jordan. . . 144
23.Infinito uno a uno 147 El sistema de numeraci´on unario . . . 147
´Indice general —— v
24.Temporizando el infinito 155
Introducci´on . . . 155
Definiciones recursivas. . . 155
Una definici´on conflictiva . . . 156
25.Divisibilidad del espaciotiempo 159 El menor ordinal infinito . . . 159
Dicotom´ıas del espaciotiempo. . . 161
Divisibilidad del espaciotiempo . . . 163
Ap´endices A. El problema del cambio 169 Introducci´on . . . 169
El problema del cambio . . . 172
Un modelo discreto: aut´omatas celulares . . . 174
B. Sugerencias para una teor´ıa natural de conjuntos 179 Introducci´on . . . 179
Una definici´on natural de conjunto . . . 180
Conjuntos y n´umeros . . . 183
Conjuntos finitos . . . 186
Conjuntos potencialmente infinitos . . . 188
C. Platonismo y biolog´ıa 191 Los seres vivos como objetos extravagantes . . . 191
Conocimiento abstracto y biolog´ıa . . . 192
Referencias 207
1.-Introducci´
on
Algunos de los problemas m´as relevantes de la filosof´ıa contempor´anea fueron ya planteados por los fil´osofos presocr´aticos en el siglo VII a.C. (en parte quiz´a sugeridos o directamente tomados de los precedentes culturales desarrolladas en las culturas neol´ıticas fluviales.1) Entre esos problemas,
hay tres que merecen especial consideraci´on: el problema del cambio, el infinito, y la autorreferencia. El primero de ellos es sin duda el m´as dif´ıcil, y al mismo tiempo el m´as relevante, de los problemas planteados por el hombre. Resulta por eso sorprendente la poca atenci´on que se presta en la actualidad a ese fascinante problema, especialmente si se la compara con la atenci´on prestada a los otros dos.
Despu´es de m´as de veinte siete siglos, el problema del cambio sigue sin resolverse. A pesar de su aparente simplicidad, nadie ha sido capaz de ex-plicar, por ejemplo, c´omo se realiza un simple cambio de posici´on. La f´ısica, la ciencia del cambio (la ciencia de la sucesi´on regular de eventos, como Maxwell la llam´o [127, p´ag. 98]) parece haber olvidado su problema m´as fundamental. A su vez, algunos fil´osofos como Hegel2 defendieron que el
cambio es un concepto inconsistente; mientras que otros, como McTaggart, llegaron a la misma conclusi´on que Parm´enides [147] sobre la imposibili-dad de cambio [132]. Quiz´as la (aparente) insolubilidad del problema del cambio tenga que ver con el continuum espaciotiempo donde todas las solu-ciones han sido buscadas. Como se muestra en el Ap´endice A, el problema del cambio podr´ıa encontrar una soluci´on en el marco de un espaciotiempo discreto.
Mientras que el cambio es una caracter´ıstica evidente de nuestro universo en continua evoluci´on, tanto el infinito como la autorreferencia son nociones te´oricas, sin relaci´on aparente con el mundo natural. Cantor y G¨odel (los pr´ıncipes del infinito y la autorreferencia respectivamente) fueron dos en-1[21], [169], [144], [183]
2[96], [98], [133], [146], [158], [196]
2 —— Introducci´on
tusiastas plat´onicos de escasa devoci´on a las ciencias naturales y de enorme influencia en las matem´aticas contempor´aneas.3Para ilustrar las profundas
convicciones teoplat´onicas de Cantor, recordemos algunas de sus palabras: . . . en mi opini´on la realidad y absoluta legalidad de los n´ ume-ros enteume-ros es mucho mayor que la del mundo sensorial. El que as´ı sea, tiene una ´unica y muy simple raz´on, a saber, que los n´umeros enteros existen en el grado sumo de realidad, tanto se-parados como en su totalidad actualmente infinita, en la forma de ideas eternas in Intellectus Divinus. ([134]; citado en [76]) . . . yo solo soy un instrumento al servicio del alt´ısimo, un instru-mento que seguir´a actuando mucho despu´es de m´ı, de la misma forma que ya lo hizo antes hace miles de a˜nos con Euclides y Arqu´ımedes. . . . ([41, pp 104-105])
. . . No puedo referirme a ellos [los ´atomos] como existentes, ya sea en concepto o en realidad, no importa cu´antas cosas hasta cierto punto ´utiles se hayan logrado mediante esa ficci´on. ([40, p 78], traducci´on inglesa [33])
Veintisiete siglos de debates no fueron suficientes para probar la consis-tencia (o la inconsisconsis-tencia) de la hip´otesis del infinito actual,4 que
final-mente tuvo que ser legitimada por la v´ıa expeditiva de los axiomas.5 Las
matem´aticas contempor´aneas est´an fundadas en la creencia de que los con-juntos infinitos existen como totalidades completas.6
La teor´ıa de conjuntos es una teor´ıa estrictamente infinitista, una teor´ıa basada en, e inspirada por, la hip´otesis del infinito actual. Para Georg Cantor, uno de sus m´as relevantes fundadores, el infinito actual no era una simple hip´otesis sino una firme convicci´on plat´onica.7 La teor´ıa de
con-juntos contiene, sin embargo, los instrumentos apropiados para poner en cuesti´on la consistencia formal de la hip´otesis del infinito actual. Aunque hasta ahora nunca han sido utilizados con esas intenciones cr´ıticas. Como veremos aqu´ı, ese es el caso de ω, el menor de los ordinales infinitos, y de las sucesiones y los conjuntos ω−ordenados. En este libro haremos un uso 3Para el caso de Cantor v´ease [56], [134], [42, pag. 141]; para el de G¨odel [81, pags.
235-236], [83, pag. 359], [73], [58] [140], [100], [85]
4La existencia de colecciones infinitas como totalidades completas.
5Axioma del Infinito en las modernas teor´ıas de conjunto, que, en pocas palabras,
esta-blece la existencia de un conjunto infinito numerable.
6Por ejemplo, la lista ordenada de los n´umeros naturales existir´ıa como una totalidad
completa a pesar de que ning´un ´ultimo n´umero la complete.
7Tan firme como una roca en las propias palabras de Cantor (carta de Cantor a Heman,
Introducci´on —— 3
extensivo de ellos.
La auto-referencia en el lenguaje formal y coloquial es tambi´en una noci´on te´orica sobre la que no hay acuerdo general.8 Las paradojas de la
autorre-ferencia han sido y siguen siendo una fuente interminable de discusiones. Una de esas paradojas, la paradoja del mentiroso,9 conduce (v´ıa Paradoja
de Richard, como el propio G¨odel reconoci´o [82, p. 56]) al c´elebre primer teorema de incompletitud de G¨odel. Muchos l´ogicos lo consideran como el teorema m´as importante de todos los tiempos. Desde nuestra perspectiva de las ciencias naturales eso suena algo exagerado.
Por decirlo en pocas palabras, heredamos de los presocr´aticos, entre otras cosas, un desaf´ıo prometedor (el problema del cambio) y dos conceptos cuestionables (la autorreferencia y el infinito actual). Con el paso del tiem-po hemos ido olvidando el desaf´ıo y convirtiendo al infinito y a la auto-rreferencia en pilares fundamentales e incuestionables de la l´ogica y de las matem´aticas contempor´aneas. No todo el mundo est´a de acuerdo con esa elecci´on, aunque la cr´ıtica militante es casi inexistente. Este libro est´a prin-cipalmente dedicado a poner en cuesti´on el m´as molesto de esos conceptos: el infinito actual.
Debemos recordar en este momento que la ciencia es excesivamente auto-reverente y escasamente autocr´ıtica. Poner las convicciones y los intereses personales en frente del conocimiento objetivo de la realidad resulta m´as frecuente de lo que se podr´ıa esperar. En esas condiciones, no es f´acil poner en cuesti´on un supuesto fundamental bien asentado, incluso si ese supuesto es sospechoso de ser inconsistente. En mi opini´on el Axioma del Infinito es uno de esos supuestos fundacionales inconsistentes.
Las consecuencias de las matem´aticas infinitistas son desastrosas porque promueven un modelo anal´ogico, y por tanto continuo, del mundo f´ısico que est´a claramente en conflicto con la naturaleza digital revelada hasta ahora por todas las observaciones f´ısicas: materia ordinaria, part´ıculas ele-mentales, energ´ıa, cargas el´ectricas y no el´ectricas, parecen ser todas ellas entidades discretas con m´ınimos indivisibles. Es sorprendente la guerra de los f´ısicos contra los infinitos. Pagan un alto precio en la forma de intermi-nables y tediosos c´alculos para conseguir librarse de ellos. Mientras que, por otra parte, no dedican ni un solo minuto de su tiempo a poner en cuesti´on 8Adem´as de lenguaje y metalenguaje (lenguaje sobre el lenguaje) tendr´ıamos tambi´en
auto-lenguaje, el lenguaje hablando aut´onomamente de s´ı mismo.
4 —— Introducci´on
la consistencia formal de la hip´otesis del infinito actual que los fundamenta. Gracias a la supuesta existencia del infinito actual, las ciencias experimen-tales se ven obligadas a explicar un realidad que parece ser esencialmente discreta por medio de matem´aticas indiscretas. Una tarea que podr´ıa ser imposible en ciertos niveles b´asicos donde la discreci´on resulta esencial, como es el caso del nivel cu´antico. La tragedia del infinito es que no hemos desarrollado unas matem´aticas discretas adecuadas para explicar un mun-do que parece ser esencialmente discreto. Incluso las matem´aticas discretas que hemos desarrollado se han desarrollado en t´erminos de matem´aticas indiscretas. Aparte de ciertas aplicaciones particulares, las matem´aticas discretas suelen interpretarse como meras aproximaciones del verdadero mundo continuo de las matem´aticas infinitistas. El problema es que no parece existir ning´un mundo continuo.
En cualquier caso, la hip´otesis del infinito actual es s´olo una hip´otesis, y uno tiene el derecho y el deber de ponerla en cuesti´on. Ese es el objetivo principal de este libro. Una colecci´on de argumentos cr´ıticos sobre la hip´ ote-sis del infinito actual desarrollados durante los ´ultimos veinte a˜nos. Cada cap´ıtulo consta de un argumento completo e independiente, por lo que pueden ser le´ıdos en cualquier orden.10 Incluye tambi´en tres ap´endices, el
primero trata sobre el problema del cambio para ilustrar las consecuencias de asumir la existencia del continuum espaciotiempo. El segundo introduce una alternativa no plat´onica a las actuales teor´ıas de conjuntos. El tercero es una breve cr´ıtica del esencialismo plat´onico (la cuna del infinito actual) desde la perspectiva de la biolog´ıa contempor´anea.
Aunque las discusiones sobre el infinito matem´atico pueden parecer in-timidantes al lector no especializado, este libro es cualquier cosa menos intimidante. Es un libro de ciencia b´asica. La ciencia que se aprende y se ense˜na en el bachillerato y primeros cursos de la Universidad. El problema es que se aprende y se ense˜na como una especie de catecismo libre de toda cr´ıtica. La ciencia b´asica raramente se pone en tela de juicio porque los cient´ıficos trabajan algunos pasos m´as all´a. Pero la ciencia b´asica tambi´en debe ser, al menos peri´odicamente, cuestionada. Como ya se ha indicado, aqu´ı cuestionamos una de sus hip´otesis b´asicas, la hip´otesis del infinito actual.
10Obviamente, la independencia de los cap´ıtulos tiene un coste narrativo en t´erminos de
Convenciones —— 5
En la mayor´ıa de los cap´ıtulos, el infinito en cuesti´on ser´a el infinito nu-merable (el m´as peque˜no de los infinitos11) subsumido en el Axioma del
Infinito. Pero tambi´en el infinito que legitima las sucesiones de infinitos crecientes12. Por lo tanto, demostrar la inconsistencia del menor de los
in-finitos implica la invalidaci´on de todos los dem´as.
Existe un acuerdo general en que una contradicci´on es suficiente para de-mostrar la inconsistencia de la hip´otesis de la que se deducen los resultados contradictorios. Excepto en el caso del infinito actual. Y esto no es una bro-ma: en palabras de Cantor, algunas totalidades infinitas son inconsistentes debido a su excesiva infinitud [33]. Una raz´on adicional para tratar exclu-sivamente con el menor de los infinitos.
11El infinito del conjunto de los n´umeros naturales. 12La sucesi´on de los alefs: ℵo, ℵ
1, ℵ2 . . . , y la de las potencias ℵo, 2ℵo, 22 ℵo
2.-Convenciones
1 Para facilitar las discusiones, todos los p´arrafos de este libro apare-cer´an numerados consecutivamente (como este mismo). Los p´arrafos ser´an referidos mediante sus correspondientes n´umeros sin par´entesis, tal como aparecen al principio de cada p´arrafo. Por la misma raz´on todas las ecua-ciones ser´an numeradas consecutivamente dentro de cada cap´ıtulo, aun-que en este caso los n´umeros ir´an entre par´entesis y a la derecha de cada ecuaci´on. Para referirnos a las ecuaciones usaremos sus correspondientes n´umeros entre par´entesis.
2 Los teoremas, definiciones, conclusiones, etc ser´an numerados con el mismo n´umero del p´arrafo en el que son enunciados. Por ejemplo, si un teorema se enuncia en el p´arrafo 153 nos referimos a ´el como Teorema 153. 3 La mayor´ıa de las sucesiones y conjuntos que usaremos ser´an ω−or-denados (como la sucesi´on 1,2,3, . . . de los n´umeros naturales en su orden natural de precedencia). En unos pocos casos ser´an ω∗−ordenados (como
la sucesi´on creciente de los enteros negativos . . . -3, -2, -1). En muchos argumentos tambi´en haremos uso de sucesiones de instantes dentro de intervalos finitos de tiempo, esas sucesiones ser´an siempre estrictamente crecientes y convergentes, siendo siempre el l´ımite de la sucesi´on el extremo derecho del correspondiente intervalo de tiempo.
4 En la mayor´ıa de los casos se utilizar´a la palabra ’numerable’ para referirnos a la infinitud del conjunto N de los n´umeros naturales y a la de cualquier otro conjunto o sucesi´on que se puede ponerse en correspondencia uno a uno con N. La palabra ’enumerable’ tambi´en se puede utilizar con el mismo significado. Aunque la palabra ’contable’ suele ser usada para referirse a conjuntos finitos o infinitos numerables, aqu´ı no la utilizaremos con el fin de evitar confusiones. Por ´ultimo, los t´erminos ’no-contable’ o ’no-numerable’ se utilizar´an para referirse a los infinitos mayores que el infinito numerable.
5 En todos las discusiones y argumentos, el tiempo y la distancia se
8 —— Convenciones
pondr´an eucl´ıdeas. Todas las supertareas se supondr´an realizadas en un intervalo finito de tiempo (ta, tb), las sucesivas acciones ai de cada
super-tarea se supondr´an realizadas en los sucesivos instantes ti, y solo en ellos,
de una sucesi´on ω−ordenada y estrictamente creciente de instantes htni
dentro del intervalo (ta, tb), siendo tb el l´ımite de la sucesi´on.
6 Huelga decir que todos los argumentos de este libro son de car´acter con-ceptual, incluso cuando hagan uso de artefactos materiales como m´aquinas, cajas, bolas y cosas similares, todas las cuales deber´an ser entendidas como dispositivos te´oricos para facilitar las discusiones.
3.-El infinito actual
Introducci´on
7 Este libro se ocupa exclusivamente del infinito actual, aunque algunas referencias al infinito potencial ser´an inevitables. Empezaremos entonces introduciendo la distinci´on entre el infinito actual y el potencial. Una vez introducida, definiremos el infinito actual en t´erminos conjuntistas y la distinci´on entre cardinales y ordinales infinitos. Eso es todo lo que nece-sitamos para seguir los argumentos sobre la hip´otesis de infinito actual que se exponen en el resto del libro. La mayor´ıa de esos argumentos est´an relacionados con ω, el menor de los ordinales infinitos; el ordinal del con-junto N de los n´umeros naturales en su orden natural de precedencia: N ={1, 2, 3, . . . } (v´ease m´as abajo).
8 ’Infinito’ es una palabra com´un que usamos para referirnos a la cali-dad de ser enorme, inmenso, ilimitado etc. En este sentido, y de acuerdo con Gauss1 el infinito es una manera de hablar. Pero la palabra ’infinito’
tambi´en tiene un significado matem´atico preciso: un conjunto es infinito si se puede poner en correspondencia uno a uno con alguno de sus sub-conjuntos propios. Esta es la conocida definici´on de Dedekind que, junto con los trabajos de Cantor sobre los n´umeros transfinitos, inauguraron la moderna matem´atica transfinita a finales del siglo XIX. Aunque la historia del infinito matem´atico hab´ıa comenzado veintisiete siglos antes.
9 Afortunadamente existe una excelente literatura sobre la historia del infinito,2. No dar´e ni siquiera un sumario de esa historia, aunque podr´ıamos
elegir arbitrariamente tres de sus protagonistas m´as relevantes como refe-rencias hist´oricas:
1) Zen´on de Elea (490-430 A.C.), fil´osofo presocr´atico que utiliz´o por primera vez el infinito matem´atico para defender la tesis de Par-m´enides sobre la imposibilidad de cambio. Sabemos del trabajo 1C.F. Gauss, carta al astr´onomo H.C. Shumacher, 12 de julio de 1831
2Por ejemplo: [208], [124], [171], [22], [163], [50], [116], [135], [138], [110], [111], [1], [136],
[49], [197], [14].
10 —— El infinito actual
de Zen´on (cerca de cuarenta argumentos, incluyendo sus famosas paradojas contra la posibilidad de cambio [2], [51]) a trav´es de su dox´ografos (Plat´on, Arist´oteles, Diogenes Laertius o Simplicius [51]). El infinito en los argumentos de Zen´on parece ser el infini-to actual y contable, aunque obviamente Zen´on no est´a haciendo matem´aticas infinitistas sino argumentaciones l´ogicas en las que aparecen colecciones infinitas de puntos y de instantes. Los argu-mentos de Zen´on funcionan correctamente s´olo si esas coleccio-nes se consideran como totalidades infinitas completas (v´ease el Cap´ıtulo 20 sobre las Dicotom´ıas de Zen´on).
2) Arist´oteles (384-322 A.C.), uno de los pensadores m´as influyentes en la cultura occidental. Fil´osofo y naturalista, introdujo la no-ci´on de correspondencia uno a uno precisamente cuando trataba de resolver algunas de las paradojas de Zen´on. Luego introdujo la distinci´on fundamental entre el infinito potencial y el infini-to actual, que aqu´ı analizaremos en t´erminos conjuntistas en la siguiente secci´on.
3) Georg Cantor (1845-1918), matem´atico alem´an cofundador, junto con R. Dedekind y G. Frege, de la teor´ıa de conjuntos. Su trabajo sobre los n´umeros transfinitos (cardinales y ordinales) fundamen-ta las modernas matem´aticas transfinitas. Cantor inaugur´o el lla-mado para´ıso del infinito actual en el que, seg´un D. Hilbert, los infinitistas habitar´an para siempre.
10 De Zen´on a Arist´oteles el ´unico infinito fue el infinito actual, aun-que esa noci´on estaba lejos de ser claramente establecida. De Arist´oteles a Cantor encontramos defensores de ambos tipos de infinitos (actual y potencial) aunque con una cierta hegemon´ıa del infinito potencial, parti-cularmente desde el siglo XIII, una vez que Arist´oteles fue ’cristianizado’ por los escol´asticos medievales. En esos tiempos preinfinitistas, se pod´ıan utilizar los mismos argumentos en apoyo de una o de la otra hip´otesis (por ejemplo los argumentos basados en la correspondencia entre los puntos de una circunferencia y los puntos de uno de sus di´ametros). Pero no hay todav´ıa una teor´ıa del infinito matem´atico propiamente dicha. La primera teor´ıa matem´atica del infinito propiamente dicha aparece al final del siglo XIX, siendo Dedekind, Bolzano y, especialmente, Cantor, sus creadores m´as relevantes. Desde Cantor hasta la actualidad la hegemon´ıa del infinito actual ha sido casi absoluta y, adem´as, libre de cr´ıticas serias.
Infinito actual y potencial —— 11
Infinito actual y potencial
11 La distinci´on entre el infinito actual y el infinito potencial la propuso Arist´oteles [11], [10]. La explicaremos a continuaci´on, aunque en los t´ermi-nos m´as modernos de la teor´ıa de conjuntos. Huelga decir que el ´unico infinito de las matem´aticas transfinitas contempor´aneas, incluyendo la de-finici´on fundacional de Dedekind de los conjuntos infinitos, es el infinito actual.
12 Consid´erese la lista ordenada de los n´umeros naturales en su orden natural de precedencia: 1, 2, 3, . . . De acuerdo con la hip´otesis del infinito actual esa lista existe como una totalidad completa, es decir como una totalidad que contiene en el acto a todos los n´umeros naturales. La elipsis (. . . ) en:
N= {1, 2, 3, . . . } (1)
representa a todos los n´umeros naturales. N´otese que la lista ordenada de los n´umeros naturales existe como una totalidad completa a pesar de que no existe un ´ultimo n´umero que complete la lista.
13 Para subrayar ese sentido de completitud consideremos la tarea de contar los n´umeros naturales 1, 2, 3,. . . De acuerdo con la hip´otesis del infinito actual es posible contar todos los n´umeros naturales en un tiempo finito realizando la siguiente supertarea:3
Cu´entese cada uno de los sucesivos n´umeros naturales 1, 2, 3,. . . en cada uno de los sucesivos instantes t1, t2, t3,. . . de una
sucesi´on estrictamente creciente de instantes en el intervalo fi-nito (ta, tb), siendo tb el l´ımite de la sucesi´on. Por ejemplo la
sucesi´on cl´asica:
tn= ta+ (tb− ta)
2n− 1
2n (2)
En esas condiciones, en el instante tb se habr´an contado todos los n´umeros
naturales. ¡Todos!
14 La tarea anterior de contar todos los n´umeros naturales es un ejemplo de supertarea. Se discutir´an m´as adelante en este libro. Mientras tanto, n´otese que el hecho de emparejar los elementos de dos sucesiones infinitas no prueba que ambas sucesiones existan como totalidades completas. Las sucesiones podr´ıan ser tambi´en potencialmente infinitas.
15 La alternativa a la hip´otesis del infinito actual es la hip´otesis del infi-3Un resumen de la noci´on de supertarea puede verse, por ejemplo, en [154]. V´ease tambi´en
12 —— El infinito actual
nito potencial, que rechaza la existencia de totalidades infinitas completas y por tanto la posibilidad de contar todos los n´umeros naturales. Desde esa perspectiva, los n´umeros naturales resultan del proceso interminable de contar: siempre es posible contar n´umeros mayores que cualquier otro n´umero dado. Pero es imposible completar el proceso de contarlos todos, de modo que la lista completa de n´umeros naturales no tiene sentido alguno. 16 En resumen, la hip´otesis del infinito actual establece que las totali-dades infinitas son totalitotali-dades completas, incluso sin que exista un ´ultimo elemento que las complete, como es el caso de la lista ordenada de los n´umeros naturales. Desde esta perspectiva, es posible completar una suce-si´on de pasos en los que no existe un ´ultimo paso que complete la sucesi´on, o incluso sin un primer paso que la inicie, como en el caso de las suce-siones ω∗−ordenadas (v´ease m´as abajo), por ejemplo la sucesi´on creciente
de los enteros negativos . . . , -3, -2, -1. Desde la perspectiva del infinito potencial ambas posibilidades son imposibles. Desde esta perspectiva, las ´
unicas totalidades completas son las totalidades finitas. Tan grandes como se quiera, pero siempre finitas.
17 El infinito potencial (el infinito ’impropio’ o ’no genuino’, como Cantor lo llamaba [40, p. 70]) nunca ha merecido la atenci´on de los matem´aticos contempor´aneos. El infinito en la definici´on de Dedekind de los conjuntos infinitos es el infinito actual. Los infinitos elementos de un conjunto infi-nito existen todos a la vez, como una totalidad completa. La definici´on de Dedekind est´a, por tanto, basada en la violaci´on del viejo axioma eucl´ıdeo del todo y la parte [71]. La teor´ıa de conjuntos se ha construido sobre esa violaci´on.
18 La hegemon´ıa del infinito actual en las matem´aticas contempor´aneas es casi absoluta. Tan absoluta como la sumisi´on de la f´ısica a las matem´ ati-cas infinitistas. Tengo la impresi´on de que un n´umero significativo de f´ısicos creen que se ha demostrado formalmente la existencia de totalidades in-finitas completas. Obviamente, si ese fuera el caso no ser´ıa necesario el Axioma del Infinito para legitimar esas totalidades (v´ease m´as abajo). La hip´otesis del infinito actual es s´olo una hip´otesis.
19 Las tres pruebas m´as influyentes sobre la existencia de totalidades infinitas actuales (las de Bolzano, Dedekind y Cantor) son ilustrativas de lo que podr´ıa llamarse infinitismo naif. Tambi´en explican por qu´e las ma-tem´aticas infinitistas tuvieron finalmente que establecer la existencia de los conjuntos infinitos actuales en t´erminos axiom´aticos.
El axioma del infinito —— 13
20 La prueba de Bolzano es como sigue (tomada de [136, p 112]): Una verdad es la proposici´on: Plat´on era griego. Ll´amese a esta proposici´on p1. Pero hay otra verdad p2, a saber, que la
propo-sici´on p1 es verdadera [Pero hay otra verdad p3, a saber, que la
proposici´on p2es verdadera]. Y as´ı ad infinitum. Por lo tanto, el
conjunto de las verdades es infinito.
El problema aqu´ı es que la existencia de un proceso sin fin (p1 es
verda-dera, por tanto p2 es verdadera, por tanto p3 es verdadera, por tanto . . . )
de ninguna manera prueba la existencia de su resultado final como una totalidad completa.
21 La prueba de Dedekind es muy parecida (tomada de [136, p 113]): Dado alg´un pensamiento arbitrario s1, hay un pensamiento
in-dependiente s2, a saber que s1 puede ser objeto del pensamiento
[hay un pensamiento independiente s3, a saber, que s2 puede
ser objeto del pensamiento ]. Y as´ı ad infinitum. Por tanto el conjunto de pensamientos es infinito.
El comentario anterior a la prueba de Bolzano es tambi´en aplicable aqu´ı. Dedekind dio otra prueba algo m´as detallada, aunque con el mismo defecto formal que la se acaba de citar, basada en su definici´on de conjunto infinito [59, p. 112].
22 Y finalmente la ’prueba’ de Cantor ([95, p 25], [136, p. 117]): Cada infinito potencial presupone un infinito actual.
O bien ([38, p. 404] traducci´on inglesa [164, p. 3]):
... en verdad el infinito potencial tiene solo una realidad prestada [derivada], en tanto que como tal concepto de infinito potencial siempre se˜nala a un concepto previo y superior de infinito actual, de cuya existencia depende.
Queda claro ahora por qu´e la existencia de un conjunto infinito actual tuvo que ser finalmente establecida por medio de un axioma.
El axioma del infinito
23 Nada en la naturaleza parece ser realmente infinito. Hasta ahora, todas las cosas que hemos sido capaces de observar y medir han sido finitas. Veintisiete siglos de discusiones, por otra arte, no fueron suficientes para probar la existencia de infinitos actuales. De modo que, finalmente, los infinitistas no tuvieron m´as remedio que declarar su existencia en t´erminos axiom´aticos mediante el llamado Axioma del Infinito, uno de los axiomas fundacionales en todas las teor´ıas axiom´aticas de conjuntos (v´ease m´as
14 —— El infinito actual
abajo). La teor´ıa de conjuntos es entonces la puerta de entrada del infinito en las matem´aticas contempor´aneas.
24 Puesto que los conjuntos estar´an presentes en casi todos nuestros ar-gumentos, parece conveniente hacer la siguiente consideraci´on sobre las diferentes formas en las que un elemento puede pertenecer a un conjunto. Solemos asumir que un determinado elemento pertenece o no pertenece a un conjunto determinado, aunque tambi´en podr´ıamos considerar los llama-dos conjuntos difusos [205], [64], cuyos elementos pueden tener diferentes grados de pertenencia. En este libro, sin embargo, trataremos exclusiva-mente con la pertenencia completa, i.e con conjuntos cuyos elementos le pertenecen de forma completa.
25 Dicho lo cual, recordemos que el Axioma del Infinito establece:
∃N (∅ ∈ N ∧ ∀x ∈ N (x ∪ {x} ∈ N )) (3)
que se lee: existe un conjunto N tal que ∅ pertenece a N y para todo elemento x de N el elemento x ∪ {x} tambi´en pertenece a N . De una forma menos abstracta tambi´en se podr´ıa escribir:
∃N (0 ∈ N ∧ ∀x ∈ N (s(x) ∈ N )) (4)
donde s(x) es el sucesor de x. En t´erminos aritm´eticos podr´ıamos escribir:
s(0) = 1; s(1) = 2; s(2) = 3; . . . (5)
De modo que, puesto en t´erminos informales, el Axioma del Infinito dice: existe un conjunto infinito numerable, donde numerable significa que se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjuntoN= {1, 2, 3 . . . } de los n´umeros naturales,4 e infinito significa infinito actual: todos los
ele-mentos de ese conjunto existen en el acto.
26 Por innecesario que pueda parecer, debemos recordar que un axioma es solo un axioma. Es decir, un enunciado que se puede aceptar o recha-zar. Aunque la elecci´on tendr´a consecuencias significativas en la teor´ıa resultante. En el caso de la hip´otesis del infinito actual algunos autores relevantes como Kronecker, Poincar´e, Brouwer, Wittgenstein, Kleene, en-tre otros, la rechazaron. Otra cosa es la cr´ıtica contra el infinito actual una vez que la teor´ıa de conjuntos qued´o axiom´aticamente establecida y formalmente desarrollada. Esa cr´ıtica ha sido b´asicamente inexistente du-rante los ´ultimos sesenta a˜nos, y los pocos intentos que se hicieron fueron 4De dos conjuntos que se pueden poner en correspondencia uno a uno se dice que son
Cardinales y ordinales —— 15
siempre ingenuos y frecuentemente basados en concepciones equivocadas de los n´umeros transfinitos.
Cardinales y ordinales
27 Por la misma raz´on que necesitamos axiomas y leyes fundamentales en la ciencia,5 tambi´en necesitamos conceptos primitivos en el lenguaje,
es decir, conceptos que no pueden ser definidos en t´erminos de otros con-ceptos, sin caer en definiciones circulares (los diccionarios son finitos). La mayor´ıa de los conceptos matem´aticos b´asicos pertenecen a esta categor´ıa: n´umero, punto, l´ınea, plano, conjunto, y algunos otros. Por lo tanto, decir que el cardinal de un conjunto es el n´umero de sus elementos es no decir nada. No obstante, todo el mundo sabe lo que queremos decir cuando de-cimos que el conjunto {a, b, c} tiene tres elementos, o que su cardinal es tres. Incluso lo que queremos decir cuando decimos que el cardinal de un conjunto numerable, como el conjunto N de los n´umeros naturales, es ℵo
(Alef-cero).
28 Aunque en t´erminos informales, diremos que el cardinal C de un con-junto X es el n´umero de sus elementos; en s´ımbolos C = |X|. Por razones obvias, los cardinales de los conjuntos finitos se llaman finitos, y los cardi-nales de conjuntos infinitos se denominan infinitos. Aunque no lo haremos aqu´ı, se puede demostrar f´acilmente que el n´umero de subconjuntos de un conjunto cuyo cardinal es C, es precisamente 2C (incluyendo el propio
conjunto y el conjunto vac´ıo).
29 Cantor dio por sentada la existencia de la totalidad de los cardinales finitos (n´umeros naturales) [39, pgs. 103-104]:
El primer ejemplo de un agregado transfinito viene dado por la totalidad de los n´umeros cardinales finitos v; llamamos a su n´umero cardinal ’Alef-cero’ denotado por ℵo, definimos pues:
ℵo= {v}
donde {v} es la notaci´on de Cantor para el cardinal del conjunto {v} de todos los cardinales finitos (|N| en notaci´on moderna). Obviamente ℵo es
un cardinal infinito. Cantor demostr´o que es el menor cardinal mayor que todos los cardinales finitos [39, § 6] (v´ease el Cap´ıtulo 16).
30 los sucesivos n´umeros naturales 1, 2, 3, . . . se pueden definir como los cardinales de los sucesivos conjuntos finitos de la sucesi´on de conjuntos S = {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, . . . , o como los cardinales de cualquier sucesi´on 5La aristot´elica regresi´on infinita de argumentos [9].
16 —— El infinito actual
de conjuntos finitos cuyos sucesivos t´erminos sean equipotentes con los su-cesivos t´erminos de S (v´ease la definici´on operacional de Von Neumann de los n´umeros naturales en el Ap´endice B). Los n´umeros naturales se pueden seguir usando en t´erminos informales como los n´umeros de contar 1, 2, 3,. . . Al fin y al cabo decimos que el cardinal finito de un conjunto es n despu´es de contar sus elementos, o despu´es de emparejarlos con los elemen-tos de un conjunto que han sido previamente contados, o sucesivamente considerados de alguna manera, o incluso aritm´eticamente calculados o procesados.
31 Todos los conjuntos numerables, por otra parte, tienen el mismo car-dinal ℵo. As´ı, como ya se ha indicado, el cardinal del conjunto N de los
n´umeros naturales es ℵo. El cardinal del conjunto potencia P (N), el
con-junto de todos los subconcon-juntos de N (incluyendoN y el conjunto vac´ıo), no es ℵo sino 2ℵo, que es tambi´en el cardinal del conjuntoR de los n´
ume-ros reales. El cardinal del conjunto P (P (N)) de todos los subconjuntos de P (N) no es 2ℵo sino 22ℵo. Lo mismo vale para el conjunto P (P (P (N))) de todos los subconjuntos de P (P (N)) y as´ı sucesivamente. Tenemos entonces una sucesi´on creciente de cardinales infinitos:
ℵo< 2ℵo < 22
ℵo
< 222ℵo < . . . (6)
En este libro trataremos exclusivamente con ℵo, excepto en un peque˜no
n´umero de argumentos en el que aparecer´a el cardinal 2ℵo, llamado potencia del continuo.
32 Los n´umeros ordinales son algo m´as sutiles. Un ordinal es el tipo de orden de un conjunto bien ordenado.6 Todos los conjuntos finitos con el
mismo n´umero de elementos tienen el mismo ordinal, por ejemplo, el ordi-nal del conjunto {a, b, c} es el mismo que el ordiordi-nal del conjunto {2, 3, 1} debido a que sus elementos s´olo pueden ordenarse como primero, segundo y tercero (independientemente de qu´e elemento es el primero, el segundo y el tercero). Y lo mismo se aplica a cualquier conjunto finito de n ele-mentos. Los cardinales y ordinales de los sucesivos conjuntos finitos est´an representados por los siguientes numerales (s´ımbolos):
{} : Cardinal 0. Ordinal 0 (7)
{0} : Cardinal 1. Ordinal 1 (8)
{0, 1} : Cardinal 2. Ordinal 2 (9)
6Un conjunto con una relaci´on de orden total entre sus elementos y de tal manera que
Cardinales y ordinales —— 17
{0, 1, 2} :Cardinal 3. Ordinal 3 (10)
..
. ... ...
Esta es una caracter´ıstica importante de los conjuntos finitos: tienen un s´olo cardinal y un solo ordinal, y usamos el mismo s´ımbolo (numeral) para ambos. De acuerdo con la terminolog´ıa de Cantor los ordinales finitos son llamados ordinales de la primera clase.
33 Las cosas son muy diferentes con los conjuntos infinitos. Todos los con-juntos numerables, por ejemplo, tienen el mismo cardinal ℵo, pero pueden
ser bien-ordenados de infinitas maneras diferentes: {1, 2, 3, . . . } Ordinal ω {2, 3, 4, . . . 1} Ordinal ω + 1 {3, 4, 5, . . . 1, 2} Ordinal ω + 2 {1, 3, 5, . . . 2, 4, 6, . . . } Ordinal ω2 {1, 4, 7, . . . , 2, 5, 8, . . . 3, 6, 9 . . . } Ordinal ω3 .. . ... siendo ω < ω + 1 < ω + 2 < . . . < ω2 < ω2 + 1 < . . . < ω3 < . . .
34 Los n´umeros ordinales de los conjuntos numerables se denominan ordi-nales de la segunda clase. Hay dos tipos de n´umeros ordinales de la segunda clase:
1) Ordinales de la primera especie: ordinales α que tienen un prede-cesor inmediato α′ tal que α = α′+1, donde ’1’ es el primer ordinal
finito. Todos los ordinales de la primera especie pueden escribirse, por tanto, en la forma α + n, siendo α infinito y n finito.
2) Ordinales de la segunda especie: estos ordinales son l´ımites de sucesiones infinitas de ordinales finitos o de ordinales infinitos de la primera especie. Por ejemplo:
ω = l´ım n (n); n = 1, 2, 3, . . . (11) ω2 = l´ım n (ω + n); n = 1, 2, 3, . . . (12) ω7 = l´ım n (ω6 + n); n = 1, 2, 3, . . . (13)
Casi todos los argumentos de este libro ser´an argumentos sobre ω, el primer ordinal de la segunda clase, segunda especie; el m´as peque˜no de los n´umeros ordinales infinitos.
35 Por claridad y sencillez, en el resto del libro, diremos que un conjunto, o una sucesi´on, es α-ordenada para expresar que se trata de un
conjun-18 —— El infinito actual
to (o sucesi´on) bien ordenado, cuyo ordinal es α, siendo α alg´un ordinal transfinito, que casi siempre ser´a ω.
36 Los ordinales de la segunda clase definen un conjunto nuevo: el con-junto de todos los ordinales de la segunda clase (o concon-junto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵo), cuyo cardinal es ℵ1
[39, Teorema 16-F]. A su vez, el conjunto de todos los ordinales cuyos con-juntos tienen el mismo cardinal ℵ1 es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ2. El
conjunto de todos los ordinales cuyos conjuntos tienen el mismo cardinal ℵ2
es otro conjunto cuyo cardinal es ℵ3. Y as´ı sucesivamente. De acuerdo con
Cantor, existen entonces dos sucesiones crecientes de cardinales infinitos: ℵo< 2ℵo < 22
ℵo
< 222ℵo < . . . (Sucesi´on de las potencias) ℵo< ℵ1< ℵ2< ℵ3< . . . (Sucesi´on de los alefs)
La famosa (y a´un no resuelta) hip´otesis del continuum afirma: ℵ1= 2ℵo. La
versi´on generalizada afirma que, para todo i, el i-´esimo t´ermino de la pri-mera sucesi´on es igual al i-´esimo t´ermino de la segunda. Afortunadamente no tendremos que abordar esa cuesti´on en este libro.
37 Obviamente esto no es m´as que una breve y esquem´atica introducci´on a la teor´ıa de Cantor de los n´umeros transfinitos [39]. Pero es todo lo que necesitamos saber para seguir los argumentos que desarrollaremos aqu´ı. Como se se˜nal´o anteriormente, nuestra atenci´on se centrar´a de forma casi exclusiva en los objetos ω−ordenados (conjuntos y sucesiones), es decir en objetos cuyos elementos se ordenan de la misma manera que los n´umeros naturales en su orden natural de precedencia. Objetos como, por ejemplo, la sucesi´on a1a2a3, . . . Este tipo de orden (ω−orden de ahora en adelante)
se caracteriza por:
1) Existe un primer elemento a1.
2) Cada elemento an tiene un predecesor inmediato an−1, excepto el
primero a1.
3) Cada elemento an tiene un sucesor inmediato an+1.
4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an, an+1 no existe
ning´un otro elemento.
5) No existe ´ultimo elemento, a pesar de lo cual los objetos ω−orde-nados se consideran totalidades completas.
38 Ocasionalmente, tambi´en trataremos con objetos ω∗−ordenados,
obje-tos cuyos elemenobje-tos se ordenan de la misma forma que la sucesi´on creciente de los n´umeros enteros negativos: . . . , -3, -2, -1. Este tipo de orden
usa-Cardinales y ordinales —— 19
remos la notaci´on an∗ para referirnos al n-´esimo elemento por la cola. El
ω∗−orden se caracteriza por:
1) Existe un ´ultimo elemento a1∗.
2) Cada elemento an∗ tiene un sucesor inmediato a(n−1)∗, excepto el
´
ultimo a1∗.
3) Cada elemento an∗ tiene un predecesor inmediato a(n+1)∗.
4) Entre dos elementos sucesivos cualesquiera, an∗, a(n+1)∗ no existe
ning´un otro elemento.
5) No existe primer elemento, a pesar de lo cual los objetos ω∗
−or-denados se consideran totalidades completas.
39 Como ya se ha indicado, todos los n´umeros transfinitos (cardinales y ordinales) se basan en la suposici´on de que existe un conjunto numerable ω−ordenado. Por eso, casi todos los argumentos que siguen se ocupar´an ´
unicamente de objetos ω−ordenados. Si se demostrara que esa hip´otesis infinitista es inconsistente, todo el edificio de las matem´aticas transfinitas se vendr´ıa abajo como un castillo de naipes.
4.-Reinterpretaci´
on de las paradojas de la reflexividad
Introducci´on
40 Si despu´es de emparejar cada elemento de un conjunto A con un elemento diferente de otro conjunto B, todos los elementos de B resultan emparejados, decimos que ambos conjuntos tienen la misma cardinalidad (el mismo n´umero de elementos). Pero si uno o m´as elementos de B resultan no emparejados y B es infinito, no se nos permite afirmar que ambos conjuntos tienen diferente cardinalidad. En este cap´ıtulo se discute por qu´e no se nos permite hacerlo. Como veremos, la existencia de inyecciones1
exhaustivas y no exhaustivas entre dos conjuntos infinitos podr´ıa estar indicando que ambos conjuntos tienen y no tienen la misma cardinalidad. As´ı, la distinci´on arbitraria de las inyecciones exhaustivas en detrimento de las no exhaustivas podr´ıa estar ocultando una contradicci´on fundamental en la teor´ıa de conjuntos.
41 La mayor´ıa de las paradojas relacionadas con el infinito resultan de la violaci´on del Axioma eucl´ıdeo del Todo y la Parte,2entre ellas las llamadas
paradojas de la reflexividad, en las que los elementos de un todo son em-parejados con los de una de sus partes propias.3 La paradoja de Galileo4
es un ejemplo muy conocido de paradoja reflexiva. Autores como Proclus, J. Filop´on, Thabit ibn Qurra al-Harani, R. Grosseteste, G. de Rimini, W. of Ockham etc. encontraron otros muchos ejemplos [171].
42 La estrategia de emparejar los elementos de dos conjuntos no es pre-cisamente una invenci´on moderna, Arist´oteles ya la us´o para tratar de 1Una inyecci´on es una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos A y B de
tal manera que todos y cada uno de los elementos de A se emparejan con un elemento diferente de B.
2La hip´otesis de que el todo es m´as que la parte es una de las nociones comunes que
aparecen en el primer libro de los Elementos de Euclides [71, pag. 19].
3[171], [62].
4Los elementos del conjunto de los n´umeros naturales se pueden emparejar con los
ele-mentos de uno de sus subconjuntos propios: el subconjunto de sus cuadrados: 1 ↔ 12,
2 ↔ 22, 3 ↔ 32, 4 ↔ 42, 5 ↔ 52. . . [78].
22 —— Reinterpretaci´on de las paradojas de la reflexividad
resolver la Dicotom´ıa de Zen´on (en sus dos variantes).5 Y desde entonces
ha sido usada de forma extensiva por numerosos autores con diferentes prop´ositos discursivos, aunque antes de Dedekind y Cantor (incluyendo el caso de Bolzano [25]) nunca se usaron como un instrumento para consu-mar la violaci´on del viejo axioma eucl´ıdeo. Por supuesto, la existencia de una biyecci´on entre dos conjuntos infinitos no prueba que ambos conjuntos sean infinitos actuales, porque tambi´en podr´ıan ser infinitos potenciales.
43 Las cosas empezaron a cambiar con Dedekind, que estableci´o la de-finici´on de conjunto infinito precisamente sobre la base de esa violaci´on: un conjunto es infinito si sus elementos se pueden emparejar con los ele-mentos de alguno de sus subconjuntos propios [59]. Dedekind y Cantor inauguraron el llamado para´ıso del infinito actual, en el que las inyecciones exhaustivas (biyecciones o correspondencias uno a uno) juegan un papel capital.
¿Paradojas o contradicciones?
44 Una inyecci´on exhaustiva entre dos conjuntos A y B es una correspon-dencia entre los elementos de ambos conjuntos en la cual cada elemento de A queda emparejado con un elemento diferente de B, y todos los elemen-tos de A y B resultan emparejados. Cuando al menos un elemento de B resulta no emparejado la inyecci´on se llama no exhaustiva. Las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas pueden usarse para comparar la cardinali-dad de los conjuntos finitos. Pero si los conjuntos comparados son infinitos entonces solo se permiten las inyecciones exhaustivas. Ninguna raz´on ha sido dada nunca para justificar esa arbitraria distinci´on (v´ease m´as abajo 47-50) salvo que, por definici´on, los conjuntos infinitos violan el axioma eucl´ıdeo.
45 Pero, puesto que las definiciones tambi´en pueden ser inconsistentes,6
los conjuntos infinitos podr´ıan haber sido definidos de manera inconsisten-te sobre la base de uno de los t´erminos de una contradicci´on: existe una inyecci´on exhaustiva entre un conjunto infinito y una de sus subconjuntos propios. La otra parte de la contradicci´on ser´ıa: existe una inyecci´on no exhaustiva entre el conjunto y el mismo subconjunto propio. Nadie ha ex-plicado nunca por qu´e tener una inyecci´on exhaustiva con un subconjunto propio y al mismo tiempo tener una inyecci´on no exhaustiva con el mismo 5Arist´oteles acab´o rechazando el m´etodo de los emparejamientos, proponiendo la
distin-ci´on entre infinito potencial e infinito actual [11], [10].
6Especialmente cuando la definici´on est´a basada en la violaci´on de un axioma b´asico,
¿Paradojas o contradicciones? —— 23
subconjunto propio no es contradictorio. Simplemente se ha ignorado el problema y sobre la base de esa ignorancia se ha construido la teor´ıa de conjuntos.
46 Si la noci´on de conjunto es primitiva (como parece ser) entonces s´olo podr´ıamos realizar definiciones operativas de conjunto. Y si los conjuntos pueden tener diferentes cardinalidades, deber´ıamos establecer un m´etodo b´asico adecuado para comparar cardinalidades antes de definir los tipos de conjuntos que podr´ıan definirse en funci´on de sus cardinales, especialmente si el m´etodo de comparaci´on forma parte de la propia definici´on, como es el caso de la definici´on de conjunto infinito. Emparejar los elementos de dos conjuntos es el ´unico m´etodo conocido para lograr este objetivo, antes de poder definir cualquier otra operaci´on aritm´etica o conjuntista. Es en este nivel fundamental de la teor´ıa de conjuntos donde vamos a discutir si las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas son m´etodos apropiadas para sacar conclusiones sobre la cardinalidad de dos conjuntos cualesquiera. Por lo tanto, dilucidar esta cuesti´on deber´ıa ser un requisito necesario antes de intentar cualquier definici´on que implique cardinalidades, como la definici´on de conjunto infinito.
47 Parece razonable asumir que si despu´es de emparejar cada elemento de un conjunto A con un elemento diferente de un conjunto B todos los elementos de B resultan emparejados, entonces A y B tienen el mismo n´umero de elementos. Pero tambi´en parece razonable asumir, y por las mismas razones elementales, que si despu´es de emparejar cada elemento de A con un elemento diferente de B uno o m´as elementos del conjunto B quedan sin emparejar, entonces A y B no tienen el mismo n´umero de ele-mentos. Es destacable que las inyecciones exhaustivas y las no exhaustivas hacen uso del mismo m´etodo b´asico de emparejar elementos, sin llevar a ca-bo ninguna operaci´on aritm´etica finita o transfinita. No estamos contando sino emparejando elementos, estamos discutiendo en el nivel fundacional m´as b´asico de la teor´ıa de conjuntos.
48 Conviene recordar en este punto que las singularidades aritm´eticas de los cardinales infinitos como ℵo = ℵo + ℵo y cosas por el estilo, se derivan
todas ellas de la hipot´etica existencia (Axioma del Infinito) de los con-juntos infinitos, cuyos elementos, por definici´on, se pueden emparejar con los elementos de alguno de sus subconjuntos propios. As´ı, y bajo pena de razonamiento circular, de la existencia deducida de esas ’peculiaridades’ aritm´eticas (que podr´ıan ser usadas para justificar la existencia de inyec-ciones exhaustivas y no exhaustivas entre un conjunto infinito y alguno de
24 —— Reinterpretaci´on de las paradojas de la reflexividad
sus subconjuntos infinitos), no podemos inferir la existencia de los conjun-tos que permiten deducir esas peculiaridades aritm´eticas de los cardinales infinitos. Aqu´ı estamos simplemente discutiendo si el m´etodo de emparejar los elementos de dos conjuntos es apropiado para comparar sus respecti-vas cardinalidades; y si lo es, por qu´e las inyecciones no exhaustirespecti-vas son rechazadas, porque ese rechazo podr´ıa estar ocultando una contradicci´on fundamental.
49 Las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas deber´ıan tener la misma validez como instrumentos para comparar la cardinalidad de los conjuntos infinitos porque ambas usan exactamente el mismo m´etodo de compara-ci´on. Sin embargo, solo las inyecciones exhaustivas pueden usarse con ese prop´osito. El problema aqu´ı es que la existencia de inyecciones exhaustivas y no exhaustivas entre dos conjuntos infinitos podr´ıa estar indicando la existencia de una contradicci´on elemental (que ambos conjuntos tienen y no tienen la misma cardinalidad), en ese caso la distinci´on de las inyeccio-nes exhaustivas ser´ıa la distinci´on de un t´ermino de una contradicci´on en detrimento del otro.
50 Como m´ınimo, la alternativa de considerar inconsistente a un conjunto porque existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas con los elementos del mismo subconjunto propio es tan leg´ıtima como la alternativa de con-siderar consistente a ese conjunto. Como m´ınimo, la selecci´on arbitraria de una alternativa deber´ıa declararse expl´ıcitamente en el nivel fundacional de la teor´ıa, lo que no es el caso en las actuales teor´ıas de conjuntos. En esas teor´ıas se ignora sistem´aticamente la primera alternativa. Se podr´ıa argumentar que la definici´on de Dedekind implica asumir la existencia de conjuntos para los cuales existen inyecciones exhaustivas y no exhaustivas con al menos uno de sus subconjuntos propios, pero una simple definici´on no garantiza que el objeto definido sea consistente, y entonces la alternati-va de la inconsistencia ha de ser tambi´en considerada. La propuesta de esa consideraci´on es el principal objetivo de esta discusi´on. Una consideraci´on que, hasta donde yo s´e, nunca ha sido seriamente planteada.
51 Sup´ongase, solo por un momento, que las inyecciones exhaustivas y no exhaustivas fueran instrumentos v´alidos para comparar la cardinalidad de dos conjuntos cualesquiera. En esas condiciones, sea B un conjunto in-finito. Por definici´on, existe un subconjunto propio A de B y una inyecci´on exhaustiva f de A en B que prueba que ambos conjuntos tienen el mismo n´umero de elementos. Consid´erese ahora la inyecci´on g de A en B definida
¿Paradojas o contradicciones? —— 25 12 12 22 22 32 32 42 42 1 1 2 4 3 9 4 16 … … … … f(n ) = n2 g(n ) = n2 2 2,3 5,6,7,8 10,11,12 … S N S N
Todos emparejados Todos emparejados No emparejados Emparejados
Figura 4.1: El sospechoso poder de la elipsis: los conjunto S y N tienen (izquierda) y no tienen (derecha) el mismo n´umero de elementos.
por:
g(x) = x, ∀x ∈ A (1)
que, evidentemente, no es exhaustiva (los elementos del conjunto no vac´ıo B-A quedan sin emparejar). Las inyecciones f y g estar´ıan demostrando que A y B tienen (f ) y no tienen (g) el mismo n´umero de elementos, i.e. que los conjuntos infinitos son inconsistentes.
52 Hemos de decidir, por tanto, si las inyecciones exhaustivas y no ex-haustivas tienen la misma validez como instrumentos para comparar la cardinalidad de dos conjuntos cualesquiera. Si la tienen, entonces los con-juntos infinitos son inconsistentes. Si no la tienen, se deber´ıa dar alguna raz´on (no circular) para explicar por qu´e no la tienen. Y si no se pude dar ninguna raz´on, entonces la distinci´on arbitraria a favor de las inyecciones exhaustivas deber´ıa ser declarada arbitrariamente por un nuevo axioma ad hoc. Hasta entonces, la fundamentaci´on de la teor´ıa de conjuntos descansa sobre la base de uno de los t´erminos de una posible contradicci´on.7
53 Como cabr´ıa esperar de una teor´ıa con tales fundamentos, las in-consistencias aparecieron nada m´as iniciarse el desarrollo de la teor´ıa: se demostr´o que el conjunto de todos los ordinales (Burali-Forti) [28] y el conjunto de todos los cardinales (Cantor) eran inconsistentes. Seg´un Can-tor esos conjuntos eran inconsistentes por su excesiva infinitud.8 Se puede
ser infinito, pero solo dentro de cierto l´ımites. Mediante las restricciones axiom´aticas apropiadas, fue finalmente establecido que ciertas totalidades 7Por incre´ıble que pueda parecer, la fundamentaci´on axiom´atica de la teor´ıa de conjuntos
ha ignorado siempre este problema.
26 —— Reinterpretaci´on de las paradojas de la reflexividad
infinitas, como la totalidad de los cardinales o la de los ordinales, no exis-ten porque conducen a contradicciones. Es f´acil probar, como se ver´a en el cap´ıtulo siguiente, que en una teor´ıa infinitista e informal (sin restric-ciones axiom´aticas) de conjuntos, como la teor´ıa de conjuntos de Cantor, cada conjunto de cardinalidad C origina nada menos que 2C totalidades
infinitas inconsistentes.
54 En el Cap´ıtulo 18 veremos que el teorema de la reordenaci´on de Rie-mann tambi´en puede ser reinterpretado como una prueba de la inconsis-tencia de la hip´otesis del infinito actual. En el resto del libro se desarrollan m´as de veinte argumentos, todos ellos sugiriendo la misma conclusi´on.
5.-Extensi´
on de la Paradoja de Cantor
Introducci´on
55 La paradoja de Cantor no es una paradoja sino una verdadera in-consistencia relacionada con el conjunto de todos los cardinales. Por esta raz´on, ese conjunto se rechaza de manera expl´ıcita en las modernas teor´ıas axiom´aticas de conjuntos. La siguiente discusi´on demuestra, sin embargo, que no solo el conjunto de todos los cardinales es inconsistente, prueba que en la teor´ıa informal de conjuntos de Cantor (naive set theory) cada con-junto de cardinalidad C origina por lo menos 2C conjuntos inconsistentes
(cada uno de sus subconjuntos origina una totalidad inconsistente en ese marco no axiomatizado de la teor´ıa primitiva de conjuntos).
56 Aunque Burali-Forti fue el primero en publicar [27], [79] la prueba de una inconsistencia derivada de la existencia de un conjunto infinito, Cantor fue el primero en descubrir una de esas inconsistencias infinitistas: la paradoja del m´aximo cardinal [79], [56]. No hay acuerdo sobre la fecha en la que Cantor descubri´o su paradoja [79] (el rango de fechas propuesto va desde 1883 [156] a 1896 [87]). La paradoja (inconsistencia) de Burali-Forti del conjunto de todos los ordinales y la de Cantor del conjunto de todos los cardinales est´an relacionadas con el tama˜no de las totalidades consideradas, tal vez demasiado grandes para ser consistentes seg´un Cantor. Parece algo ir´onico que un conjunto infinito puede ser inconsistente precisamente por su excesivo tama˜no. Por cierto, n´otese el eufemismo de llamar paradoja a lo que realmente es una inconsistencia, es decir, un par de resultados contradictorios que seguramente derivan de una suposici´on previa com´un. ¿De qu´e suposici´on? nos podr´ıamos tambi´en preguntar. ¿Tal vez de la hip´otesis de que los conjuntos infinitos existen como totalidades completas? 57 En efecto, la explicaci´on m´as simple para ambas paradojas es que sean realmente inconsistencias derivadas de la hip´otesis del infinito actual, es decir de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas. Pero nadie se ha atrevido a analizar esa alternativa. Finalmente
28 —— Extensi´on de la Paradoja de Cantor
fue aceptado que existen algunas totalidades infinitas (como la totalidad de los n´umeros reales) mientras que otras (como la totalidad de los cardinales, o la totalidad de los ordinales, o el conjunto todos los conjuntos) no existen porque conducen a contradicciones.
La paradoja de Cantor
58 La versi´on m´as sencilla y breve de la paradoja1 de Cantor es la
si-guiente: Sea a U el conjunto de todos los conjuntos, el llamado conjunto universal2 y P (U ) su conjunto potencia, el conjunto de todos sus
subcon-juntos. Denotemos por |U | y |P (U )| sus respectivos cardinales. Siendo U el conjunto de todos los conjuntos debe contener a todos los conjuntos, podemos, pues, escribir:
|U | ≥ |P (U )| (1)
Por otra parte, y teniendo en cuenta el teorema de Cantor sobre el conjunto potencia [35], se verifica:
|U | < |P (U )| (2)
lo que contradice (1). Esta es nuestra versi´on simplificada de la inconsis-tencia o paradoja de Cantor.
59 Como es bien sabido, Cantor no le dio importancia [75] a su paradoja y zanj´o la cuesti´on asumiendo la existencia de dos tipos de totalidades infinitas, las consistentes y las inconsistentes [33]. Como se indic´o m´as arriba, en opini´on de Cantor la inconsistencia de esas totalidades infinitas ser´ıa debida a su excesivo tama˜no. Estar´ıamos ante la madre de todos los infinitos, el infinito absoluto que, seg´un Cantor, conduce directamente a Dios, siendo precisamente la naturaleza divina de esa infinitud absoluta lo que la hace inconsistente para nuestras pobres mentes humanas [33].
60 Como veremos de inmediato, es posible extender la paradoja de Can-tor a otros conjuntos mucho m´as modestos que el conjunto de todos los conjuntos. Pero ni Cantor ni sus sucesores consideraron tal posibilidad. Lo haremos aqu´ı. Ese es precisamente el objetivo de la discusi´on que sigue. Una discusi´on que se llevar´a a cabo en el marco de la teor´ıa informal, y por tanto no axiomatizada, de conjuntos de Cantor.
1Para un an´alisis detallado v´ease [79, pp. 66-74]. Por muy usual que pueda ser, la expresi´on
’Paradoja de Cantor’ es como m´ınimo confusa, puesto que no es una paradoja sino una verdadera contradicci´on.
2La teor´ıa informal de conjuntos (como la teor´ıa de Cantor) admite conjuntos como el
Una extensi´on de la Paradoja de Cantor —— 29
Una extensi´on de la Paradoja de Cantor
61 Puesto que los elementos de un conjunto en la teor´ıa informal de conjuntos pueden ser conjuntos, conjuntos de conjuntos, conjuntos de con-juntos de concon-juntos y as´ı sucesivamente, vamos a comenzar por definir la siguiente relaci´on binaria R entre dos conjuntos: diremos que el conjunto A est´a R-relacionado con el conjunto B, escrito A R B, si B contiene al me-nos un elemento que forma parte de la definici´on de al meme-nos un elemento de A. Por ejemplo, si:
A = { {{a, {b}}}, {c}, d, {{{{e}}}}, f } (3)
B = {1, 2, b} (4)
C = {1, 2, 3} (5)
entonces A est´a R-relacionado con B porque el elemento b de B forma parte de la definici´on del elemento {{a, {b}}} de A, pero A no est´a R-relacionado con C porque ning´un elemento de C interviene en la definici´on de los elementos de A.
62 En esas condiciones sea X un conjunto cualquiera no vac´ıo, e Y uno de sus subconjuntos. A partir de Y se define el conjunto TY¯ de acuerdo
con:
TY¯ = {Z |¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ Z R V )} (6)
TY¯ es, por tanto, el conjunto de todos los conjuntos Z que no est´an
R-relacionados con conjuntos V que contengan uno o m´as elementos del con-junto Y . N´otese que si Y = ∅ entonces TY¯ es el inconsistente conjunto
universal.
63 Es f´acil demostrar que TY¯ es un conjunto infinito. En efecto, sea n un
n´umero natural finito cualquiera y supongamos que |TY¯| = n. Tendremos:
TY¯ = {T1, T2, . . . Tn} (7)
Consideremos ahora el conjunto A = {{...
n{{T1}}...n}}. Puede ser que A sea
diferente de todos los Ti de TY¯, o puede ser que A = Tk para un cierto
k. Pero en el ´ultimo caso tendr´ıa que existir un ´ındice h < n tal que B = {{...
h{{T1}}
...
h}} sea diferente de todos los Ti de TY¯, en caso contrario
tendremos |TY¯| > n. En consecuencia o bien A o bien B ser´a diferente de
todos los Ti de TY¯. Por otra parte, A y B son conjuntos cuyos elementos
no est´an R-relacionados con conjuntos que contienen uno o m´as elementos del conjunto Y . Por lo tanto ambos pertenecen a TY¯, y entonces |TY¯| > n.
30 —— Extensi´on de la Paradoja de Cantor
64 Sea ahora el conjunto P (TY¯), el conjunto potencia de TY¯. Los
elemen-tos de P (TY¯) son todos ellos subconjuntos de TY¯ y por tanto conjuntos de
conjuntos que no est´an R-relacionados con conjuntos que contengan alg´un elemento del conjunto Y :
∀D ∈ P (TY¯) : ¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ D R V ) (8)
Consecuentemente, se verifica:
∀D ∈ P (TY¯) : D ∈ TY¯ (9)
Y entonces:
P (TY¯) ⊆ TY¯ (10)
Podemos, pues, escribir:
|P (TY¯)| ≤ |TY¯| (11)
65 Por otro lado, y de acuerdo con el teorema de Cantor, tenemos:
|P (TY¯)| > |TY¯| (12)
Nuevamente una contradicci´on. Pero ahora X es cualquier conjunto no vac´ıo, e Y uno cualquiera de sus subconjuntos. Hemos probado, por tanto, el siguiente:
Teorema 65 (de la Paradoja de Cantor).-En la teor´ıa de conjuntos de Cantor, cada conjunto de cardinal C da lugar a por lo menos 2C conjuntos infinitos inconsistentes
66 El argumento anterior no s´olo demuestra que el n´umero de totalidades infinitas inconsistentes es mucho mayor que el n´umero de las consistentes, tambi´en sugiere que el tama˜no excesivo de los conjuntos podr´ıa no ser la causa de la inconsistencia. Consideremos, por ejemplo, el conjunto X de todos los conjuntos cuyos elementos se definen exclusivamente por medio del n´umero natural 1:
X = {1, {1}, {1, {1}, {1, {1}}}, {{{1}}}, {{ 1, {1} }} . . . } (13) Un argumento similar a 62/65 probar´ıa que es una totalidad inconsistente, aunque en comparaci´on con el conjunto universal es una totalidad insigni-ficante.3
67 N´otese que los conjuntos como el conjunto X definido en (13) son in-consistentes solo cuando se los considera desde el punto de vista del infinito 3Recordemos, por ejemplo, que entre dos n´umeros reales cualesquiera existe un n´umero
infinito no numerable (2ℵo) de otros n´umeros reales diferentes. Lo que, como seguramente
Una extensi´on de la Paradoja de Cantor —— 31
actual. Es decir, cuando se los considera como totalidades completas. Y re-cu´erdese que, desde el punto de vista del infinito potencial, estos conjuntos no tienen sentido porque desde esta perspectiva las ´unicas totalidades com-pletas son las totalidades finitas, tan grandes como se quiera, pero siempre finitas.
68 Si hubi´eramos sabido de la existencia de tantas totalidades infinitas inconsistentes y no necesariamente tan enormes como el infinito absoluto, tal vez la teor´ıa transfinita de Cantor habr´ıa sido recibida de una manera diferente. Tal vez la noci´on de infinito actual habr´ıa sido puesta en cuesti´on en t´erminos de la teor´ıa de conjuntos; y quiz´as habr´ıamos descubierto la manera de probar su inconsistencia. Pero, como sabemos, ese no fue el caso.
69 La historia de la recepci´on de la teor´ıa de conjuntos y la manera de tratar sus inconsistencias (todas ellos derivadas de la hip´otesis de infinito actual y de la autorreferencia) es bien conocida. Desde los inicios del siglo XX se ha venido realizando un gran esfuerzo para fundar la teor´ıa de con-juntos sobre una base formal libre de inconsistencias. Aunque el objetivo solo pudo alcanzarse con la ayuda del adecuado parcheo axiom´atico. Desde entonces se han desarrollado al menos media docena de teor´ıas axiom´ati-cas de conjuntos.4 Varios cientos de p´aginas son necesarias para
expli-car en detalle todas las restricciones axiom´aticas de las modernas teor´ıas axiom´aticas de conjuntos. Justo lo contrario de lo que cabr´ıa esperar de la fundamentaci´on axiom´atica de una ciencia formal.
70 Como se se˜nal´o anteriormente, la explicaci´on m´as simple de las in-consistencias de Cantor y de Burali-Forti es que sean verdaderas contra-dicciones derivadas de la inconsistencia de la hip´otesis del infinito actual. Lo mismo se aplica al conjunto de todos los conjuntos y al el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de s´ı mismos (paradoja de Russell), aunque en este caso hay una causa adicional de inconsistencia relacionada con la autorreferencia. Todos los conjuntos involucrados en las paradojas de la teor´ıa informal de conjuntos fueron eliminados de la teor´ıa mediante las oportunas restricciones axiom´aticas. Nadie se atrevi´o ni si-quiera a sugerir la posibilidad de que esas paradojas fueran contradicciones derivadas de la hip´otesis del infinito actual; es decir, derivadas de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas.
4Se han producido tambi´en algunos intentos contempor´aneos por recuperar la teor´ıa
32 —— Extensi´on de la Paradoja de Cantor
71 Lo cierto es que el conjunto de Cantor de todos cardinales, el conjunto de Burali-Forti de todos los ordinales, el conjunto de todos los conjuntos y el conjunto de Russell de todos los conjuntos que no son miembros de s´ı mismos, son todos ellos totalidades inconsistentes cuando se les conside-ra desde la perspectiva de la hip´otesis del infinito actual. Incluso el famoso problema de la parada de Turing est´a relacionado con la hip´otesis del infi-nito actual porque tambi´en se asume aqu´ı la existencia de todos los pares (programas, inputs) como una totalidad infinita completa [192]. Bajo la hip´otesis del infinito potencial, por otro lado, ninguno de esas totalida-des tiene sentido porque totalida-desde esa perspectiva s´olo se pueden considerar totalidades finitas, indefinidamente extensibles, pero siempre finitas.
72 Como se indic´o m´as arriba, la Paradoja de Cantor (o la de Burali-Forti) no es una paradoja sino una inconsistencia, un par de resultados
contradictorios:
|U | ≥ |P (U )|
|U | < |P (U )| (14)
Recu´erdese que estamos discutiendo en el marco de la teor´ıa cantoriana de conjuntos, en la que ninguna restricci´on axiom´atica hab´ıa sido hecha a´un. En esas condiciones, dos resultados contradictorios (14) solo pueden derivarse de alguna hip´otesis previa inconsistente. Pero la ´unica hip´otesis necesaria para llegar a (14) es la hip´otesis del infinito actual. Resulta en-tonces chocante la conclusi´on de Cantor de que (14) es una consecuencia de la excesiva infinitud del conjunto implicado. Cualquier cosa antes que poner en cuesti´on sus profundas convicciones infinitistas, tan firmes como una roca.
6.-El siguiente racional
Introducci´on
73 El conjunto Q de los n´umeros racionales, en su ordenamiento natu-ral, est´a densamente ordenado: entre cada dos n´umeros racionales existe un n´umero infinito de otros n´umeros racionales diferentes. Pero siendo nu-merable [31], Q tambi´en puede ser ω−ordenado: entre cada dos n´umeros racionales sucesivos no existe ning´un otro n´umero racional. El argumento que sigue se aprovecha de esta especie de esquizofrenia num´erica.
Discusi´on 1 2 3 4 5 Rect a r acional positiv a Q+ f N Q+ q = f(1) 1 q = f(2) 2 q = f(3) 3 q = f(4) 4 q = f(5) 5 Densamente ordenada w-ordenado w-ordenado Figura 6.1: ω-Ordenamiento de la recta racional positiva.
74 Por sencillez trataremos con el conjun-to Q+ de los racionales positivos mayores
que cero, que tambi´en es numerable y densa-mente ordenado. Sea entonces f una corres-pondencia biun´ıvoca entre el conjunto N de los n´umeros naturales y el conjunto Q+. Es evidente que f permite un ω-ordenamiento de Q+: gracias a f el conjunto de todos los
racionales positivos se puede escribir como {q1, q2, q3, . . . }, siendo qi= f (i), ∀i ∈N.
75 Sea ahora x una variable racional cuyo dominio es el intervalo racional (0, 1) y cuyo valor inicial xoes cualquier elemento de (0, 1). Consid´erese la
siguiente sucesi´on hDi(x)i de definiciones recursivas de x:
(
D1(x) = xo
Di(x) = m´ın(Di−1(x), |qi− q1|), i = 2, 3, 4, . . .
(1) donde Di(x) es la i-´esima definici´on de x y m´ın(x, |qi− q1|) el menor (en el
orden denso usual deQ) de los dos valores entre par´entesis, siendo |qi− q1|
el valor absoluto de qi− q1. Las sucesivas definiciones hDi(x)i definen a la
variable x como |qi− q1| si |qi− q1| es menor que Di−1(x), o como Di−1(x)
si no lo es.