Introducci´on
73 El conjunto Q de los n´umeros racionales, en su ordenamiento natu- ral, est´a densamente ordenado: entre cada dos n´umeros racionales existe un n´umero infinito de otros n´umeros racionales diferentes. Pero siendo nu- merable [31], Q tambi´en puede ser ω−ordenado: entre cada dos n´umeros racionales sucesivos no existe ning´un otro n´umero racional. El argumento que sigue se aprovecha de esta especie de esquizofrenia num´erica.
Discusi´on 1 2 3 4 5 Rect a r acional positiv a Q+ f N Q+ q = f(1) 1 q = f(2) 2 q = f(3) 3 q = f(4) 4 q = f(5) 5 Densamente ordenada w-ordenado w-ordenado Figura 6.1: ω-Ordenamiento de la recta racional positiva.
74 Por sencillez trataremos con el conjun- to Q+ de los racionales positivos mayores
que cero, que tambi´en es numerable y densa- mente ordenado. Sea entonces f una corres- pondencia biun´ıvoca entre el conjunto N de los n´umeros naturales y el conjunto Q+. Es evidente que f permite un ω-ordenamiento de Q+: gracias a f el conjunto de todos los
racionales positivos se puede escribir como {q1, q2, q3, . . . }, siendo qi= f (i), ∀i ∈N.
75 Sea ahora x una variable racional cuyo dominio es el intervalo racional (0, 1) y cuyo valor inicial xoes cualquier elemento de (0, 1). Consid´erese la
siguiente sucesi´on hDi(x)i de definiciones recursivas de x:
(
D1(x) = xo
Di(x) = m´ın(Di−1(x), |qi− q1|), i = 2, 3, 4, . . .
(1) donde Di(x) es la i-´esima definici´on de x y m´ın(x, |qi− q1|) el menor (en el
orden denso usual deQ) de los dos valores entre par´entesis, siendo |qi− q1|
el valor absoluto de qi− q1. Las sucesivas definiciones hDi(x)i definen a la
variable x como |qi− q1| si |qi− q1| es menor que Di−1(x), o como Di−1(x)
si no lo es.
34 —— El siguiente racional
76 Las definiciones, procedimientos y pruebas de infinitos pasos sucesivos, como la definici´on (1), son usuales en las matem´aticas infinitistas (v´eanse, por ejemplo, el argumento de Cantor de 1874 o el conjunto ternario de Cantor, m´as adelante en este libro). Por innecesaria que pueda parecer, impondremos a las sucesivas definiciones Di(x) la siguiente:
Restricci´on 76.-Cada definici´on Di(x) se llevar´a a cabo si, y
solo si, x queda definida como un n´umero racional de su dominio (0, 1).
En lo que sigue diremos que una definici´on Di(x) es posible si, y solo si,
cumple la restricci´on anterior.
77 Es inmediato probar que para todo n´umero natural v, las primeras v definiciones sucesivas hDi(x)ii=1,2,...v se pueden realizar. Evidentemente
D1(x) se puede realizar puesto que D1(x) = xo, y xo∈ (0, 1). Supongamos
que, siendo n cualquier n´umero natural, se pueden realizar las primeras n definiciones sucesivas hDi(x)ii=1,2,...n, lo que significa que x estar´a definida
con un cierto valor Dn(x) de su dominio (0, 1). Puesto que |qn+1− q1| es un
n´umero racional positivo bien definido, ser´a, o no, menor que Dn(x). Con-
secuentemente Dn+1(x) puede definir a x como |qn+1− q1| si este n´umero
es menor que Dn(x) o como Dn(x) si no lo es. En cualquier caso Dn+1(x)
define a x dentro de su dominio (0, 1). Por tanto, las primeras (n + 1) sucesivas definiciones hDi(x)ii=1,2,...n+1 tambi´en se pueden llevar a cabo.
En consecuencia, para cualquier n´umero natural v, es posible realizar las primeras v definiciones sucesivas hDi(x)ii=1,2,...v.
78 Empezaremos probando que una vez realizadas todas las posibles1
definiciones sucesivas hDi(x)i, el n´umero racional q1+ x no es el menor
racional mayor que q1. As´ı es, cualquiera que sea el valor de x una vez rea-
lizadas todas las posibles definiciones sucesivas hDi(x)i, el n´umero racional
q1+ 0,1x, por ejemplo, es mayor que q1 y menor que q1+ x. N´otese que
este argumento es una consecuencia del orden denso deQ+.
79 Probaremos ahora, sin embargo, que una vez realizadas todas las po- sibles definiciones hDi(x)i, el n´umero racional q1+ x es el menor racional
mayor que q1. Veamos que as´ı ha de ser. Supongamos que una vez reali-
zadas todas las posibles definiciones sucesivas hDi(x)i el n´umero racional
q1+ x no es el menor racional mayor que q1. En tal caso habr´ıa un n´umero
racional qv mayor que q1 y menor que q1+ x:
q1< qv< q1+ x (2)
1N´otese que si no fuera posible realizar todas las posibles definiciones sucesivas hDi(x)i,
Discusi´on —— 35
Por tanto, si restamos q1 a los tres miembros (todos ellos n´umeros racio-
nales propios) de las dos desigualdades tendremos:
0 < qv− q1< x (3)
lo que es imposible porque:
a) El ´ındice v de qv es un n´umero natural.
b) De acuerdo con 77, es posible realizar las primeras v definiciones sucesivas hDi(x)ii=1,2,...v.
c) Todas las posibles definiciones sucesivas Di(x) se han realizado.
d) Por tanto, las primeras v definiciones sucesivas hDi(x)ii=1,2,...v se
han realizado.
e) Como consecuencia de Dv(x), podemos afirmar que x ≤ qv− q1.
f) Es imposible entonces que x > qv− q1.
Por tanto nuestra hip´otesis inicial ha de ser falsa y q1+ x es el menor racio-
nal mayor que q1. N´otese que esta incre´ıble conclusi´on es una consecuencia
leg´ıtima del ω−orden de Q+ inducido por la biyecci´on f definida en 74. En efecto, es esa biyecci´on la que hace posible considerar sucesivamente y uno a uno, todos los elementos qi de Q+ y calcular uno a uno todos los
|qi− q1|.
80 Una vez completada la sucesi´on de todas las posibles definiciones hDi(x)i, la variable x podr´ıa haber sido definida un n´umero infinito de ve-
ces sin una ´ultima definici´on. Por lo tanto ser´ıa imposible conocer el valor actual de x una vez completada la sucesi´on definiciones hDi(x)i. Pero, en
cualquier caso, x continuar´a siendo una variable racional definida con un cierto valor dentro de su dominio (0, 1). Por lo tanto, y por muy indeter- minable que pueda ser ese valor, x seguir´a siendo una variable racional apropiadamente definida en su dominio racional (0, 1). Y eso es todo lo que necesitamos para que el argumento anterior sea conclusivo.
81 En caso contrario, si despu´es de completar la sucesi´on de todas las posibles definiciones hDi(x)i, la variable racional x hubiera perdido su con-
dici´on de variable racional apropiadamente definida dentro de su dominio (0, 1), tendr´ıamos que admitir que la compleci´on de una sucesi´on infinita de definiciones posibles tiene efectos arbitrarios adicionales sobre el objeto definido. Pero si ese fuera el caso, los mismos efectos arbitrarios adiciona- les se podr´ıan esperar de cualquier otra definici´on, procedimiento o prueba consistente en un n´umero infinito de sucesivos pasos, y entonces cualquier cosa podr´ıa esperarse de las matem´aticas infinitistas.
36 —— El siguiente racional
82 Podr´ıamos incluso temporizar la sucesi´on de definiciones hDi(x)i rea-
lizando cada definici´on Di(x) en el preciso instante ti de una sucesi´on
ω−ordenada y estrictamente creciente htni = t1, t2, t3. . . dentro del inter-
valo finito (ta, tb), cuyo l´ımite es tb. En estas condiciones, x solo podr´ıa
perder su condici´on de variable racional apropiadamente definida en su dominio (0, 1) en el preciso instante tb, el primer instante despu´es de ha-
ber completado la sucesi´on de definiciones hDi(x)i. En efecto, siendo tb el
l´ımite de htni tendremos:
∀t ∈ [ta, tb) : (4)
∃v : tv ≤ t < tv+1 (5)
∴ en el instante t, x est´a bien definida por Dv(x) (6) y por tanto en todo instante t de [ta, tb), x es una variable racional bien
definida en su dominio racional (0, 1). Por consiguiente, solo en el preciso instante tb podr´ıa x haber perdido su condici´on de variable racional apro-
piadamente definida en su dominio (0, 1). En consecuencia, tendr´ıamos que admitir no solo que completar una sucesi´on infinita de definiciones, todas ellas posibles, tiene efectos adicionales arbitrarios sobre el objeto definido, sino que adem´as esos efectos aparecen inesperadamente despu´es de com- pletar la sucesi´on de definiciones. Y lo mismo se aplicar´ıa a cualquier otra definici´on, procedimiento o prueba compuesta por una sucesi´on infinita de pasos, todos ellos posibles.
7.-La l´ampara de Thomson
Introducci´on
83 Aunque la cr´ıtica de Benacerraf al argumento de la l´ampara de Thom- son est´a bien fundada (v´ease m´as abajo), queda muy lejos de ser completa. Como veremos aqu´ı, es posible considerar una nueva l´ınea argumental, solo incidentalmente considerada por Benacerraf, que se basa exclusivamente en la definici´on formal de la l´ampara. Esa l´ınea argumental conduce a un re- sultado contradictorio que compromete la consistencia formal del ω−orden involucrado en todas las ω-supertareas.
Figura 7.1: Supertarea de Gre- gory.
84 Realizar una ω-supertarea (supertarea a partir de ahora) significa realizar una suce- si´on ω−ordenada de acciones (tareas) en un tiempo finito. Las supertareas son artefactos te´oricos de cierta utilidad en la filosof´ıa de las matem´aticas, particularmente en la discusio-
nes formales de ciertos problemas relacionados con el infinito.1Aunque sus
posibilidades e implicaciones f´ısicas tambi´en han sido discutidas.2Aqu´ı solo
trataremos con supertareas conceptuales.
85 Gregory of Rimini fue probablemente el primero en proponer c´omo se podr´ıa realizar una supertarea ([136], p. 53):
Si Dios quisiera hacer crecer una piedra a˜nadi´endole sucesivos metros c´ubicos de piedra -lo que ´El s´ı puede hacer- podr´ıa crear una piedra infinitamente grande. Para ello s´olo necesita agregar un pie c´ubico en alg´un instante, otro pie c´ubico media hora m´as tarde, otro un cuarto de hora m´as tarde, y as´ı sucesivamente ad infinitum. Entonces tendr´ıa ante ´El una piedra infinita al final de una hora.
1[191], [26], [48], [154], [18], [200], [154]
2[149], [150], [154], [165], [92], [94], [93], [150], [151], [152], [68], [153], [143], [5], [6], [155]
[200], [103], [66], [67], [143], [65], [174]
38 —— La l´ampara de Thomson
Pero el t´ermino ’supertarea’ fue introducido por J. F. Thomson en su se- minal art´ıculo de 1954 [191]. El art´ıculo de Thomson fue motivado por el argumento de Black [23] sobre la imposibilidad de realizar infinitas ac- ciones sucesivas y por las subsiguientes discusiones sobre ese argumento realizadas por R. Taylor [190] y J. Watling [198]. En su art´ıculo, Thom- son intent´o probar la imposibilidad de realizar supertareas. El argumento de Thomson fue, a su vez, criticado en otro art´ıculo seminal, en este caso de P. Benacerraf [17]. El ´exito de la cr´ıtica de Benacerraf finalmente mo- tiv´o la creaci´on de una nueva teor´ıa infinitista independiente de la teor´ıa de conjuntos: la teor´ıa de supertareas.
86 Las posibilidades de realizar una infinidad no contable de acciones fueron examinadas, y descartadas, por P. Clark y S. Read [48]. Las super- tareas han sido tambi´en consideradas desde la perspectiva del an´alisis no est´andar,3 aunque las posibilidades de realizar una hipertarea durante un
intervalo hiperreal de tiempo no han sido discutidas, a pesar de que los in- tervalos finitos hiperreales se pueden dividir en una infinidad hipercontable de intervalos infinitesimales (particiones hiperfinitas).4 Pero la mayor´ıa de
las supertareas son ω -supertareas, i.e. sucesiones ω−ordenadas de acciones realizadas durante un intervalo finito (o percibido como finito) de tiempo. 87 La idea b´asica de la cr´ıtica Benacerraf contra el argumento de Thom- son es la imposibilidad de derivar consecuencias formales sobre el estado final de la superm´aquina que realiza la supertarea, a partir de la sucesi´on de estados que la m´aquina atraviesa como consecuencia de la ejecuci´on de la supertarea. Pero, como veremos, el an´alisis de Benacerraf del argumento de la l´ampara de Thomson es incompleto.
88 En efecto, si el mundo continua siendo el mismo mundo que era antes de la ejecuci´on de una supertarea, y si se sigue permitiendo pensar en t´erminos racionales en el mismo marco de las leyes de la l´ogica, entonces el argumento de Thomson se pueden reorientar hacia la definici´on formal de la m´aquina que realiza la supertarea. Una definici´on que no depende del n´umero de tareas realizadas con esa m´aquina, una definici´on que, por consiguiente, tiene la misma validez antes durante y despu´es de realizar la supertarea. Asumimos pues que la ejecuci´on de una supertarea no cambia de forma arbitraria una definici´on leg´ıtima previamente establecida.
3[131], [130], [4], [119] 4[187], [84], [107], [99], etc.
La l´ampara de Thomson —— 39
La l´ampara de Thomson
89 Como hizo Thomson en 1954, en la siguiente discusi´on usaremos una de esas:
... l´amparas de lectura que tienen un bot´on en la base. Si la l´ampara est´a apagada y se presione el bot´on, la l´ampara se en- ciende, y si la l´ampara est´a encendida y se presione su bot´on la l´ampara se apaga. ([191], p. 5).
Completemos la definici´on de Thomson con las dos siguientes condiciones sobre el funcionamiento (te´orico) de la l´ampara:
1) La l´ampara de Thomson solo tiene dos estados: encendida y apa- gada
2) El estado de la l´ampara (encendida/apagada) cambia si, y solo si, se pulsa su bot´on.
3) Cada cambio de estado tiene lugar en un determinado y preciso instante.
4) La pulsaci´on del bot´on y el correspondiente cambio de estado (en- cendida/apagada) de la l´ampara son sucesos instant´aneos y si- mult´aneos.
Figura 7.2:La l´ampara de Thomson.
90 Supongamos ahora que se pulsa el bot´on de la l´ampara en cada uno de los infinitos instantes suce- sivos ti, y s´olo en ellos, de una sucesi´on estrictamen-
te creciente y ω−ordenada de instantes htni definidos
dentro de un intervalo finito de tiempo (ta, tb), sien-
do tb el l´ımite de la sucesi´on htni. En el instante tb
se habr´a completado una sucesi´on ω−ordenada hpni
de pulsaciones del bot´on de la l´ampara (cada pulsaci´on pi ejecutada en el
instante ti), y por tanto se habr´a completado una sucesi´on ω−ordenada
de cambios de estado de la l´ampara. O con otras palabras, en el instante tb se habr´a completado la supertarea de Thomson. Recu´erdese que esto es
un argumento puramente conceptual, de modo que no nos preocupan los detalles f´ısicos.
91 Thomson intent´o derivar una contradicci´on de su supertarea especu- lando sobre el estado final de la l´ampara en el instante tb en t´erminos de
la sucesi´on de pulsaciones del bot´on de la l´ampara completada a lo largo de la supertarea ([191], p. 5):
[La l´ampara] no puede estar encendida, porque nunca la en- cend´ı sin volverla a apagar. No puede estar apagada porque la
40 —— La l´ampara de Thomson
encend´ı la primera vez y luego nunca la apagu´e sin volverla a encender. Pero la l´ampara debe estar o encendida o apagada. Esto es una contradicci´on.
92 Es importante se˜nalar, como se acaba de ver, que Thomson bas´o su argumento en la sucesi´on de acciones llevadas a cabo con la l´ampara: nunca fue encendida sin apagarla despu´es, y viceversa. Lo que Thomson intentaba hacer es derivar el estado final de la l´ampara, el estado de la l´ampara en el instante tb, de la sucesi´on de estados sufridos por la l´ampara durante
la supertarea: la raz´on por la que la l´ampara no puede estar encendida es porque siempre fue apagada despu´es de encenderla. Y por la misma raz´on no puede estar apagada. Esta manera de argumentar fue severamente criticada por Benacerraf.
93 La cr´ıtica de Benacerraf al argumento de Thomson es la siguiente: ([17], p. 768):
Las ´unicas razones que Thomson da para suponer que su l´ampa- ra no estar´a apagada en el instante tb [= 1 p.m.] valen solo para
los instantes de tiempo anteriores a tb. Simplemente, las ins-
trucciones de Thomson no cubren el estado de la l´ampara en el instante tb, aunque nos dicen cual deber´a ser su estado en cada
uno de los instantes entre ta y tb (incluyendo ta). Ciertamen-
te, la l´ampara debe estar encendida o apagada (siempre que no haya desaparecido en una bocanada de humo metaf´ısico), pero nada de lo que se nos dice implica cu´al ha de ser ese estado. El argumento de que no puede estar en ninguno de ellos no viene al caso. Suponer que s´ı viene es suponer que una descripci´on del estado f´ısico de la l´ampara en el instante tb (con respecto a la
propiedad de estar encendida o apagada) es una consecuencia l´ogica de la descripci´on de su estado (con respecto a la misma propiedad) en instantes anteriores a tb.(ta y tb aparecen respec-
tivamente como t0 y t1 en el art´ıculo de Benacerraf).
94 En resumen, seg´un Benacerraf, el problema planteado por Thomson no est´a suficientemente descrito porque nada se indica sobre lo que sucede en tb[3]. Pero lo ´unico que ha de ocurrir en tbes que la l´ampara de Thomson
siga siendo la l´ampara de Thomson. O con otras palabras, que la ejecuci´on de una supertarea no cambie las definiciones formales de los artefactos te´oricos implicados en ella. Como veremos, el estado de la l´ampara en el instante tb no es una ’consecuencia l´ogica de la descripci´on de su estado
La l´ampara de Thomson —— 41
consecuencia l´ogica de ser una l´ampara de Thomson. Esa ser´a la clave de la argumentaci´on que sigue.
95 Consid´erese el instante tb, el l´ımite de la sucesi´on htni de instantes
en los que se llevan a cabo la sucesi´on de pulsaciones hpni del bot´on de la
l´ampara que constituyen la supertarea. Ese instante es, por tanto, el primer instante despu´es de completar la sucesi´on de encendidos y apagados de la l´ampara. El primer instante en el que ya no se pulsa el bot´on de la l´ampara. Sea ahora Sb el estado de la l´ampara en el instante tb. Siendo el estado de
una l´ampara de Thomson, s´olo puede ser encendida o apagada. Y esta conclusi´on no tiene nada que ver con el n´umero de encendidos/apagados que previamente se hayan llevado a cabo. La l´ampara estar´a encendida o apagada porque, siendo una l´ampara de Thomson, s´olo tiene esos dos estados.
96 Algunos infinitistas afirman, sin embargo, que en tb, despu´es de reali-
zar la supertarea de Thomson, la l´ampara puede estar en cualquier estado desconocido, incluso en un estado ex´otico. Pero una l´ampara que puede estar en un estado desconocido no es una l´ampara de Thomson: los ´unicos estados posibles de una l´ampara de Thomson son encendida y apagada. No hay otra alternativa sin violar arbitrariamente la leg´ıtima definici´on for- mal de la l´ampara de Thomson. Y suponemos que ninguna teor´ıa formal est´a autorizada a violar arbitrariamente una definici´on formal, ni, obvia- mente, a cambiar de forma arbitraria la naturaleza del mundo. Ni que decir tiene que si ese fuera el caso, cualquier cosa se podr´ıa esperar de esa teor´ıa. 97 Otros piensan que el estado Sb es la consecuencia de completar la
sucesi´on ω−ordenada de pulsaciones hpni del bot´on de la l´ampara, puesto
que esa sucesi´on de pulsaciones, y solo ella, se ha realizado. Pero si com- pletar la sucesi´on de pulsaciones hpni significa realizar todas y cada una
de las infinitas pulsaciones sucesivas pi, y s´olo ellas, entonces tenemos un
problema. El problema de que ninguna pulsaci´on pi de hpni origina Sb.
Ninguna. As´ı es, si pv es una pulsaci´on cualquiera de hpni, pv no puede ser
la causa de Sb porque en tal caso el bot´on de la l´ampara se habr´ıa pulsado
s´olo un n´umero finito v de veces. O en otros palabras, si quitamos de hpni
todas las pulsaciones que no originan Sb, entonces las quitar´ıamos todas.
98 En esas condiciones, ¿c´omo puede decirse que la compleci´on de la sucesi´on de pulsaciones hpni, ninguno de cuyos elementos origina Sb, ori-
gina precisamente Sb? ¿Es la compleci´on de la sucesi´on de pulsaciones una
42 —— La l´ampara de Thomson
ra el caso, la sucesi´on de pulsaciones realizadas ser´ıa (ω + 1)-ordenada en lugar de ω−ordenada, pero las ω-supertareas son ω−ordenadas, no (ω +1)- ordenadas.
99 En este punto algunos infinitistas proclaman que la l´ampara podr´ıa estar en el estado Sb por razones desconocidas. Pero, una vez m´as, esa con-
clusi´on viola la definici´on formal de la l´ampara: la l´ampara de Thomson cambia de estado exclusivamente pulsando su bot´on, haciendo clic en su bot´on. Por lo que una l´ampara que cambia de estado por razones descono- cidas no es, por definici´on, una l´ampara de Thomson.
100 En cualquier caso, la pregunta relevante sobre el estado Sb es: ¿en
qu´e instante adquiere la l´ampara de Thomson el estado Sb? Es inmediato
demostrar que ese instante s´olo puede ser el preciso instante tb. En efecto,
sabemos que la l´ampara est´a en el estado Sb en el instante tb, pero supon-
gamos que la l´ampara adquiere el estado Sb en un instante cualquiera t
anterior a tb. Puesto que tb es el l´ımite de la sucesi´on htni, tendremos: