Introducci´on
55 La paradoja de Cantor no es una paradoja sino una verdadera in- consistencia relacionada con el conjunto de todos los cardinales. Por esta raz´on, ese conjunto se rechaza de manera expl´ıcita en las modernas teor´ıas axiom´aticas de conjuntos. La siguiente discusi´on demuestra, sin embargo, que no solo el conjunto de todos los cardinales es inconsistente, prueba que en la teor´ıa informal de conjuntos de Cantor (naive set theory) cada con- junto de cardinalidad C origina por lo menos 2C conjuntos inconsistentes
(cada uno de sus subconjuntos origina una totalidad inconsistente en ese marco no axiomatizado de la teor´ıa primitiva de conjuntos).
56 Aunque Burali-Forti fue el primero en publicar [27], [79] la prueba de una inconsistencia derivada de la existencia de un conjunto infinito, Cantor fue el primero en descubrir una de esas inconsistencias infinitistas: la paradoja del m´aximo cardinal [79], [56]. No hay acuerdo sobre la fecha en la que Cantor descubri´o su paradoja [79] (el rango de fechas propuesto va desde 1883 [156] a 1896 [87]). La paradoja (inconsistencia) de Burali-Forti del conjunto de todos los ordinales y la de Cantor del conjunto de todos los cardinales est´an relacionadas con el tama˜no de las totalidades consideradas, tal vez demasiado grandes para ser consistentes seg´un Cantor. Parece algo ir´onico que un conjunto infinito puede ser inconsistente precisamente por su excesivo tama˜no. Por cierto, n´otese el eufemismo de llamar paradoja a lo que realmente es una inconsistencia, es decir, un par de resultados contradictorios que seguramente derivan de una suposici´on previa com´un. ¿De qu´e suposici´on? nos podr´ıamos tambi´en preguntar. ¿Tal vez de la hip´otesis de que los conjuntos infinitos existen como totalidades completas? 57 En efecto, la explicaci´on m´as simple para ambas paradojas es que sean realmente inconsistencias derivadas de la hip´otesis del infinito actual, es decir de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas. Pero nadie se ha atrevido a analizar esa alternativa. Finalmente
28 —— Extensi´on de la Paradoja de Cantor
fue aceptado que existen algunas totalidades infinitas (como la totalidad de los n´umeros reales) mientras que otras (como la totalidad de los cardinales, o la totalidad de los ordinales, o el conjunto todos los conjuntos) no existen porque conducen a contradicciones.
La paradoja de Cantor
58 La versi´on m´as sencilla y breve de la paradoja1 de Cantor es la si-
guiente: Sea a U el conjunto de todos los conjuntos, el llamado conjunto universal2 y P (U ) su conjunto potencia, el conjunto de todos sus subcon-
juntos. Denotemos por |U | y |P (U )| sus respectivos cardinales. Siendo U el conjunto de todos los conjuntos debe contener a todos los conjuntos, podemos, pues, escribir:
|U | ≥ |P (U )| (1)
Por otra parte, y teniendo en cuenta el teorema de Cantor sobre el conjunto potencia [35], se verifica:
|U | < |P (U )| (2)
lo que contradice (1). Esta es nuestra versi´on simplificada de la inconsis- tencia o paradoja de Cantor.
59 Como es bien sabido, Cantor no le dio importancia [75] a su paradoja y zanj´o la cuesti´on asumiendo la existencia de dos tipos de totalidades infinitas, las consistentes y las inconsistentes [33]. Como se indic´o m´as arriba, en opini´on de Cantor la inconsistencia de esas totalidades infinitas ser´ıa debida a su excesivo tama˜no. Estar´ıamos ante la madre de todos los infinitos, el infinito absoluto que, seg´un Cantor, conduce directamente a Dios, siendo precisamente la naturaleza divina de esa infinitud absoluta lo que la hace inconsistente para nuestras pobres mentes humanas [33].
60 Como veremos de inmediato, es posible extender la paradoja de Can- tor a otros conjuntos mucho m´as modestos que el conjunto de todos los conjuntos. Pero ni Cantor ni sus sucesores consideraron tal posibilidad. Lo haremos aqu´ı. Ese es precisamente el objetivo de la discusi´on que sigue. Una discusi´on que se llevar´a a cabo en el marco de la teor´ıa informal, y por tanto no axiomatizada, de conjuntos de Cantor.
1Para un an´alisis detallado v´ease [79, pp. 66-74]. Por muy usual que pueda ser, la expresi´on
’Paradoja de Cantor’ es como m´ınimo confusa, puesto que no es una paradoja sino una verdadera contradicci´on.
2La teor´ıa informal de conjuntos (como la teor´ıa de Cantor) admite conjuntos como el
Una extensi´on de la Paradoja de Cantor —— 29
Una extensi´on de la Paradoja de Cantor
61 Puesto que los elementos de un conjunto en la teor´ıa informal de conjuntos pueden ser conjuntos, conjuntos de conjuntos, conjuntos de con- juntos de conjuntos y as´ı sucesivamente, vamos a comenzar por definir la siguiente relaci´on binaria R entre dos conjuntos: diremos que el conjunto A est´a R-relacionado con el conjunto B, escrito A R B, si B contiene al me- nos un elemento que forma parte de la definici´on de al menos un elemento de A. Por ejemplo, si:
A = { {{a, {b}}}, {c}, d, {{{{e}}}}, f } (3)
B = {1, 2, b} (4)
C = {1, 2, 3} (5)
entonces A est´a R-relacionado con B porque el elemento b de B forma parte de la definici´on del elemento {{a, {b}}} de A, pero A no est´a R- relacionado con C porque ning´un elemento de C interviene en la definici´on de los elementos de A.
62 En esas condiciones sea X un conjunto cualquiera no vac´ıo, e Y uno de sus subconjuntos. A partir de Y se define el conjunto TY¯ de acuerdo
con:
TY¯ = {Z |¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ Z R V )} (6)
TY¯ es, por tanto, el conjunto de todos los conjuntos Z que no est´an R-
relacionados con conjuntos V que contengan uno o m´as elementos del con- junto Y . N´otese que si Y = ∅ entonces TY¯ es el inconsistente conjunto
universal.
63 Es f´acil demostrar que TY¯ es un conjunto infinito. En efecto, sea n un
n´umero natural finito cualquiera y supongamos que |TY¯| = n. Tendremos:
TY¯ = {T1, T2, . . . Tn} (7)
Consideremos ahora el conjunto A = {{...
n{{T1}}...n}}. Puede ser que A sea
diferente de todos los Ti de TY¯, o puede ser que A = Tk para un cierto
k. Pero en el ´ultimo caso tendr´ıa que existir un ´ındice h < n tal que B = {{...
h{{T1}}
...
h}} sea diferente de todos los Ti de TY¯, en caso contrario
tendremos |TY¯| > n. En consecuencia o bien A o bien B ser´a diferente de
todos los Ti de TY¯. Por otra parte, A y B son conjuntos cuyos elementos
no est´an R-relacionados con conjuntos que contienen uno o m´as elementos del conjunto Y . Por lo tanto ambos pertenecen a TY¯, y entonces |TY¯| > n.
30 —— Extensi´on de la Paradoja de Cantor
64 Sea ahora el conjunto P (TY¯), el conjunto potencia de TY¯. Los elemen-
tos de P (TY¯) son todos ellos subconjuntos de TY¯ y por tanto conjuntos de
conjuntos que no est´an R-relacionados con conjuntos que contengan alg´un elemento del conjunto Y :
∀D ∈ P (TY¯) : ¬∃V (V ∩ Y 6= ∅ ∧ D R V ) (8)
Consecuentemente, se verifica:
∀D ∈ P (TY¯) : D ∈ TY¯ (9)
Y entonces:
P (TY¯) ⊆ TY¯ (10)
Podemos, pues, escribir:
|P (TY¯)| ≤ |TY¯| (11)
65 Por otro lado, y de acuerdo con el teorema de Cantor, tenemos:
|P (TY¯)| > |TY¯| (12)
Nuevamente una contradicci´on. Pero ahora X es cualquier conjunto no vac´ıo, e Y uno cualquiera de sus subconjuntos. Hemos probado, por tanto, el siguiente:
Teorema 65 (de la Paradoja de Cantor).-En la teor´ıa de conjuntos de Cantor, cada conjunto de cardinal C da lugar a por lo menos 2C conjuntos infinitos inconsistentes
66 El argumento anterior no s´olo demuestra que el n´umero de totalidades infinitas inconsistentes es mucho mayor que el n´umero de las consistentes, tambi´en sugiere que el tama˜no excesivo de los conjuntos podr´ıa no ser la causa de la inconsistencia. Consideremos, por ejemplo, el conjunto X de todos los conjuntos cuyos elementos se definen exclusivamente por medio del n´umero natural 1:
X = {1, {1}, {1, {1}, {1, {1}}}, {{{1}}}, {{ 1, {1} }} . . . } (13) Un argumento similar a 62/65 probar´ıa que es una totalidad inconsistente, aunque en comparaci´on con el conjunto universal es una totalidad insigni- ficante.3
67 N´otese que los conjuntos como el conjunto X definido en (13) son in- consistentes solo cuando se los considera desde el punto de vista del infinito 3Recordemos, por ejemplo, que entre dos n´umeros reales cualesquiera existe un n´umero
infinito no numerable (2ℵo) de otros n´umeros reales diferentes. Lo que, como seguramente
Una extensi´on de la Paradoja de Cantor —— 31
actual. Es decir, cuando se los considera como totalidades completas. Y re- cu´erdese que, desde el punto de vista del infinito potencial, estos conjuntos no tienen sentido porque desde esta perspectiva las ´unicas totalidades com- pletas son las totalidades finitas, tan grandes como se quiera, pero siempre finitas.
68 Si hubi´eramos sabido de la existencia de tantas totalidades infinitas inconsistentes y no necesariamente tan enormes como el infinito absoluto, tal vez la teor´ıa transfinita de Cantor habr´ıa sido recibida de una manera diferente. Tal vez la noci´on de infinito actual habr´ıa sido puesta en cuesti´on en t´erminos de la teor´ıa de conjuntos; y quiz´as habr´ıamos descubierto la manera de probar su inconsistencia. Pero, como sabemos, ese no fue el caso.
69 La historia de la recepci´on de la teor´ıa de conjuntos y la manera de tratar sus inconsistencias (todas ellos derivadas de la hip´otesis de infinito actual y de la autorreferencia) es bien conocida. Desde los inicios del siglo XX se ha venido realizando un gran esfuerzo para fundar la teor´ıa de con- juntos sobre una base formal libre de inconsistencias. Aunque el objetivo solo pudo alcanzarse con la ayuda del adecuado parcheo axiom´atico. Desde entonces se han desarrollado al menos media docena de teor´ıas axiom´ati- cas de conjuntos.4 Varios cientos de p´aginas son necesarias para expli-
car en detalle todas las restricciones axiom´aticas de las modernas teor´ıas axiom´aticas de conjuntos. Justo lo contrario de lo que cabr´ıa esperar de la fundamentaci´on axiom´atica de una ciencia formal.
70 Como se se˜nal´o anteriormente, la explicaci´on m´as simple de las in- consistencias de Cantor y de Burali-Forti es que sean verdaderas contra- dicciones derivadas de la inconsistencia de la hip´otesis del infinito actual. Lo mismo se aplica al conjunto de todos los conjuntos y al el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de s´ı mismos (paradoja de Russell), aunque en este caso hay una causa adicional de inconsistencia relacionada con la autorreferencia. Todos los conjuntos involucrados en las paradojas de la teor´ıa informal de conjuntos fueron eliminados de la teor´ıa mediante las oportunas restricciones axiom´aticas. Nadie se atrevi´o ni si- quiera a sugerir la posibilidad de que esas paradojas fueran contradicciones derivadas de la hip´otesis del infinito actual; es decir, derivadas de asumir la existencia de conjuntos infinitos como totalidades completas.
4Se han producido tambi´en algunos intentos contempor´aneos por recuperar la teor´ıa
32 —— Extensi´on de la Paradoja de Cantor
71 Lo cierto es que el conjunto de Cantor de todos cardinales, el conjunto de Burali-Forti de todos los ordinales, el conjunto de todos los conjuntos y el conjunto de Russell de todos los conjuntos que no son miembros de s´ı mismos, son todos ellos totalidades inconsistentes cuando se les conside- ra desde la perspectiva de la hip´otesis del infinito actual. Incluso el famoso problema de la parada de Turing est´a relacionado con la hip´otesis del infi- nito actual porque tambi´en se asume aqu´ı la existencia de todos los pares (programas, inputs) como una totalidad infinita completa [192]. Bajo la hip´otesis del infinito potencial, por otro lado, ninguno de esas totalida- des tiene sentido porque desde esa perspectiva s´olo se pueden considerar totalidades finitas, indefinidamente extensibles, pero siempre finitas.
72 Como se indic´o m´as arriba, la Paradoja de Cantor (o la de Burali- Forti) no es una paradoja sino una inconsistencia, un par de resultados
contradictorios:
|U | ≥ |P (U )|
|U | < |P (U )| (14)
Recu´erdese que estamos discutiendo en el marco de la teor´ıa cantoriana de conjuntos, en la que ninguna restricci´on axiom´atica hab´ıa sido hecha a´un. En esas condiciones, dos resultados contradictorios (14) solo pueden derivarse de alguna hip´otesis previa inconsistente. Pero la ´unica hip´otesis necesaria para llegar a (14) es la hip´otesis del infinito actual. Resulta en- tonces chocante la conclusi´on de Cantor de que (14) es una consecuencia de la excesiva infinitud del conjunto implicado. Cualquier cosa antes que poner en cuesti´on sus profundas convicciones infinitistas, tan firmes como una roca.