148 Matemáticas 1. Unidad IV. Álgebra Lineal

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148 – Matem´aticas 1

Unidad IV

´

(2)

149 – Matem´aticas 1 : ´Algebra Lineal

Cap´ıtulo 13

Espacios vectoriales reales

13.1 Espacios vectoriales

Definici´on 276.- Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre de “suma de vectores” y otra que recibe el nombre de “producto de vectores por n´umeros reales” o “producto por escalares”, que verifican las siguientes propiedades:

(1) u + v ∈ V ; ∀ u , v ∈ V . (2) u + v = v + u ; ∀ u , v ∈ V .

(3) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w ; ∀ u , v , w ∈ V .

(4) Existe un vector, llamado vector cero y denotado por 0 , tal que: 0 + u = u + 0 = u ; ∀ u ∈ V . (5) Para cada u ∈ V , existe un vector de V , llamado opuesto de u y denotado por −u , tal que

u + ( −u ) = 0 . (6) k u ∈ V ; ∀ k ∈ R y ∀ u ∈ V . (7) k( u + v ) = k u + k v ; ∀ k ∈ R y ∀ u, v ∈ V . (8) (k + l) u = k u + l u ; ∀ k, l ∈ R y ∀ u ∈ V . (9) (kl) u = k(l u ) ; ∀ k, l ∈ R y ∀ u ∈ V . (10) 1 u = u ; ∀ u ∈ V .

Por ser los escalares de R, se dice que V es un R-espacio vectorial. Se pueden considerar espacios vectoriales sobre otros cuerpos de escalares, como C.

Ejemplo Los conjuntos Rn, los conjuntos de polinomios Pn[X] = {P (X) ∈ R[X] : gr(P ) ≤ n} y los conjuntos

de matrices reales Mm×n = {matrices de tama˜no m×n } , con las operaciones usuales en cada uno de ellos, son

espacios vectoriales reales.

Propiedades 277.- Algunas propiedades que se deducen de las anteriores son:

(i) 0 u = 0 . (ii) k 0 = 0 . (iii) (−1) u = −u . (iv) k u = 0 ⇐⇒ k = 0 ´o u = 0 .

(v) El vector cero de un espacio vectorial es ´unico.

(vi) El vector opuesto de cada vector del espacio vectorial es ´unico. _.

13.2 Subespacios vectoriales

Definici´on 278.- Un subconjunto W de un espacio vectorial V se dice que es un subespacio vectorial de V , si W es un espacio vectorial con las operaciones definidas en V .

Como W ⊆ V , todos los vectores de W verifican las propiedades 2 a 5 y 7 a 10, por tanto es suficiente probar que las operaciones suma y producto por escalares son internas en W , es decir, que se verifican las propiedades (1) y (6) en W :

( 1∗) u + v ∈ W ; ∀ u , v ∈ W ( 6∗) k u ∈ W ; ∀ u ∈ W y ∀ k ∈ R Estas dos propiedades son equivalentes a la propiedad ´unica:

(3)

150 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 13.3 Base y dimensión

k u + l v ∈ W ; ∀ u , v ∈ W y ∀ k, l ∈ R. Nota: Es claro, que si W es un subespacio de V , entonces 0 ∈ W .

Ejemplo P2[X] es un subespacio de P4[X] , pues es un subconjunto suyo y si P (X), Q(X) ∈ P2[X] , el grado de

kP (X) + lQ(X) es gr(kP + lQ) = máx{gr(kP ), gr(lQ)} ≤ máx{gr(P ), gr(Q)} ≤ 2 , por lo que está en P2[X] .

Sin embargo, {P (X) : gr(P ) = 2} no es un subespacio de P4[X] , por dos razones: primero, porque no contiene

al polinomio cero; y segundo, no verifica la propiedad (1∗_{) ya que X}2 _{y 2X − X}2 _{son polinomios del conjunto}

pero su suma X2_{+ (2X − X}2_{) = 2X es un polinomio de grado 1 que no est´}_{a en el conjunto.}

4 Definici´on 279.- Se dice que un vector v ∈ V es una combinaci´on lineal de los vectores v1, v2, . . . , vn si,

y s´olo si, ∃ c1, c2, . . . , cn∈ R tales que v = c1v1+ c2v2 + · · · + cnvn.

Definici´on 280.- Dado un conjunto de vectores S = { v1, v2, . . . , vk} de un espacio vectorial V , llamaremos

subespacio lineal generado por S y que denotaremos por lin S ´o lin{ v1, v2, . . . , vk} , al conjunto de

todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los vectores de S : lin S = lin{ v1, v2, . . . , vk} =

n

c1v1+ c2v2+ · · · + ckvk : ∀ ci∈ R

o

y se dir´a que S genera lin S o que v1, v2, . . . , vk generan lin S .

Naturalmente lin S es un subespacio vectorial de V y, de hecho, es el m´as peque˜no que contiene a los vectores de S (ver ejercicio 13.217).

Definici´on 281.- Dado un conjunto S = { v1, v2, . . . , vk} de vectores del espacio vectorial V , la ecuaci´on

vectorial c1v1+ c2v2+ · · · + ckvk = 0 tiene al menos una soluci´on, a saber: c1= c2= · · · = ck= 0 . Si esta

soluci´on es ´unica, entonces se dice que S es un conjunto linealmente independiente (o que los vectores de S son linealmente independientes). Si existen otras soluciones, entonces se dice que S es linealmente dependiente (los vectores son linealmente dependientes).

Ejemplo El vector 2X − X2 de P2[X] est´a generado por los vectores X − 1 y X2− 2 :

2X − X2_{= λ(X − 1) + µ(X}2_{− 2) = λX − λ + µX}2_{− 2µ = (−λ − 2µ) + λX + µX}2_=⇒    −λ − 2µ = 0 λ = 2 µ = −1 luego 2X − X2_{= 2(X − 1) + (−1)(X}2_{− 2) .}

Ejemplo Los polinomios X + 2 y X2 de P2[X] son linealmente independientes: si λ(X + 2) + µX2 = 0 (al

polinomio cero), se tiene que 0 = λ(X + 2) + µX2 = 2λ + λX + µX2 =⇒ 2λ = 0 , λ = 0 y µ = 0 , ya que los

coeficientes de ambos polinomios deben coincidir. ₄

Nota: Si los vectores { v1, v2, . . . , vk} son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede escribir

como una combinación lineal de los restantes; y si son linealmente independientes ninguno de ellos puede ser generado por los restantes. Es decir, se tiene la siguiente caracterización para que un conjunto de dos o más vectores sea linealmente dependiente (ver ejercicio 13.218):

“Un conjunto de dos o más vectores es linealmente dependiente si, y sólo si, al menos uno de los vectores es una combinación lineal de los restantes.”

13.3 Base y dimensi´

on

Lema 282.- Si vn+1 = c1v1+ · · · + cnvn, entonces lin{ v1, . . . , vn, vn+1} = lin{ v1, . . . , vn} .

Es fácil asumir que este resultado es cierto, ya que cualquier combinacion lineal de los n + 1 vectores puede reconvertirse a una combinación lineal de los n primeros, por simple sustitución. En otras palabras, puede reducirse el número de generadores mientras haya dependencia lineal, lo que nos lleva a:

Definici´on 283.- Sean V un espacio vectorial y S un conjunto finito de vectores de V . Diremos que S es una base de V si:

(4)

Observaci´on: El comentario anterior a esta definici´on nos indica la manera de reducir un conjunto generador del espacio a una base.

Igualmente, podemos construir una base a partir de un conjunto linealmente independiente de vectores: si S es linealmente independiente y lin S 6= V , tomando v ∈ V pero que v /∈ lin S , el conjunto S ∪ { v } es linealmente independiente (ver el Lema 284 siguiente); y as´ı, se a˜naden vectores a S hasta generar V . Lema 284.- Si S es un conjunto linealmente independiente de vectores de V y v ∈ V −lin S , entonces S∪{ v }

es linealmente independiente. _.

De cierta forma, estamos diciendo que una base tiene el menor número posible de generadores y el mayor número posible de vectores linealmente independientes (ver Lema 285 siguiente); luego ¿no tendrá una base un número fijo de vectores? La respuesta la proporciona el Teorema de la base.

Lema 285.- Sean V un espacio vectorial y B una base de V formada por n vectores. Entonces cualquier conjunto { v1, v2, . . . , vm} de vectores de V, con m > n , es linealmente dependiente. . Teorema de la base 286.- Cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo n´umero de elemen-tos.

Demostraci´on:

La demostraci´on es muy sencilla si tenemos en cuenta el Lema anterior, pues si B1 es una base de n elementos

y B2 es una base de m elementos, por ser B1 base y B2 linealmente independiente, m 6> n y por ser B2 base

y B1 linealmente independiente n 6> m , luego n = m .

Definición 287.- Un espacio vectorial V se dice de dimensión finita si tiene un conjunto finito de vectores que forman una base, y llamaremos dimensión de V , dim V , al número de vectores de cualquier base de V .

Al espacio vectorial V = { 0 } le consideramos de dimensión finita, de dimensión cero, aún cuando no tiene conjuntos linealmente independientes.

Si no existe un conjunto finito de este tipo, se dice que V es de dimensi´on infinita (y no nos son ajenos pues R[X] es un espacio vectorial de dimensi´on infinita).

Ejemplo P2[X] = {P (X) ∈ R[X] : gr(P ) ≤ 2} tiene dimensi´on 3, pues B = {1, X, X2} forman una base. En

general, dim(Pn[X]) = n + 1 y B = {1, X, . . . , Xn} es una base suya.

Ejemplo 288 Los conjuntos Rn = R×R×· · ·×R = {(x1, . . . , xn) : xi ∈ R, ∀ i} con las operaciones

habi-tuales de suma y producto por escalares

x + y = (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1+ y1, . . . , xn+ yn)

λx = λ(x1, . . . , xn) = (λx1, . . . , λxn)

son espacios vectoriales con dim Rn

= n , ya que cualquier vector x ∈ Rn _{puede escribirse de la forma}

x = (x1, x2, . . . , xn) = x1(1, 0, . . . , 0) + x2(0, 1, . . . , 0) + · · · + xn(0, 0, . . . , 1)

y este conjunto de vectores

B =ne1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), . . . , en = (0, 0, . . . , 1)

o

es linealmente independiente. A esta base se la denomina base can´_{onica de R}n. ₄ Conocer a priori la dimensi´on de un espacio facilita la obtenci´on de bases:

Proposici´on 289.- Si V es un espacio vectorial, con dim V = n . Entonces, un conjunto de n vectores de V es base de V ,

a) si el conjunto es linealmente independiente, o b) si genera a V . .

13.3.1 Coordenadas en una base

Definici´on 290.- Sean V un espacio vectorial de dimensi´on finita y B = { v1, v2, . . . , vn} una base de V .

Para cada vector v ∈ V , se llaman coordenadas de v en la base B a los n ´unicos n´umeros reales c1, c2, . . . , cn tales que v = c1v1+ c2v2+ · · · + cnvn.

Fijando un orden para los vectores de la base, el vector de Rn_{, de las coordenadas de v en B se denota}

por ( v )B = (c1, c2, . . . , cn) y m´as usualmente por [ v ]B cuando lo escribimos como vector columna en las

(5)

Ejemplo Si B = { v1, v2, v3} es una base de V y v = v1− v2+ 2 v3, se tiene que

( v )B = (1, −1, 2) ( v1)B= (1, 0, 0) ( v2)B= (0, 1, 0) ( v3)B= (0, 0, 1) o tambi´en [v]B =   1 −1 2   [v1]B =   1 0 0   [v2]B=   0 1 0   [v3]B =   0 0 1   ₄

Nota: Al usar vectores de coordenadas, es imprescindible mantener el orden de los vectores. Si, en el ejemplo anterior, tomamos como base B1 = { v2, v3, v1} , tenemos que ( v )B1 = (−1, 2, 1) que es un vector de

coordenadas distinto de ( v )B = (1, −1, 2) .

Fijada una base, la unicidad de las coordenadas asigna a cada vector de V un ´_{unico vector de R}n_{, de manera}

que disponer de las coordenadas es, en el fondo, disponer del vector. Adem´as, se cumple (ver ejercicio 13.225): [ v + w ]B= [ v ]B+ [ w ]B y [λ v ]B= λ[ v ]B, luego [λ1v1+· · ·+λnvn]B = λ1[ v1]B+ · · · + λn[ vn]B

y con esto, no es dificil probar que:

v ∈ lin{v1, . . . , vk} ⊆ V ⇐⇒ [v]B ∈ lin{[v1]B, . . . , [vk]B} ⊆ Rn

{v1, . . . , vk} lin. independiente en V ⇐⇒ {[v1]B, . . . , [vk]B} lin. independiente en Rn

{v1, . . . , vn} base de V ⇐⇒ {[v1]B, . . . , [vn]B} base de Rn

por lo que se puede trabajar sobre las coordenadas en lugar de sobre los vectores.

13.3.2 Espacios de las filas y las columnas de una matriz

De lo anterior, tenemos que independientemente del espacio vectorial en que nos encontremos, fijada una base, podemos trasladar todo el trabajo operativo sobre los vectores de Rn_{; por lo que resulta muy interesante conocer}

esta secci´on.

Definici´on 291.- Consideremos la matriz Am×n =

     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... . . . ... am1 am2 . . . amn      .

Los m vectores de Rn: r1 = (a11, . . . , a1n) , r2 = (a21, . . . , a2n) , . . . , rm = (am1, . . . , amn) , se denominan

vectores fila de A y al subespacio lineal generado por ellos, Ef(A) = lin{ r1, r2, . . . , rm} , espacio de las

filas de A . Por supuesto Ef(A) ⊆ Rn.

Los n vectores de Rm: c1 = (a11, . . . , am1) , c2= (a12, . . . , am2) , . . . , cn = (a1n, . . . , amn) , se denominan

vectores columna de A y el subespacio lineal generado por ellos, Ec(A) = lin{ c1, c2, . . . , cn} , espacio de

las columnas de A . Por supuesto Ec(A) ⊆ Rm.

Proposici´on 292.- Si A es una matriz de tama˜no m×n , entonces las operaciones elementales sobre las filas (resp. columnas) de A no cambian el espacio de las filas (resp. columnas) de A .

Demostraci´on:

Puesto que hacer operaciones elementales sobre las filas es hacer combinaciones lineales de los vectores fila, el subespacio lineal generado es el mismo. (Igual para las columnas.)

Corolario 293.- Sea A una matriz, entonces:

a) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz A , forman una base de Ef(A) .

b) Los vectores no nulos de una forma escalonada de la matriz At, forman una base de Ec(A) .

Demostraci´on:

Basta probar que los vectores no nulos de una forma escalonada son linealmente independientes, pero eso se comprueba f´acilmente ya que debajo de cada elemento principal s´olo hay ceros.

(6)

153 – Matem´aticas 1 : ´Algebra Lineal 13.4 Cambios de base

Teorema 294.- Sea A una matriz de tama˜no m×n , entonces: dim(Ef(A)) = dim(Ec(A)) .

Demostraci´on:

El resultado es inmediato, teniendo en cuenta que rg(A) = rg(At_{) , y que el rango coincide con el n´}_{umero de}

vectores no nulos en la forma escalonada, as´ı como el resultado anterior.

Estos resultados nos permiten usar el m´etodo de Gauss, y por lo tanto nos ofrecen un operativo sencillo, para comprobar cuando un conjunto de vectores es linealmente independiente y para obtener bases.

Ejemplo ¿Los vectores X − 1 , X + 1 y X2− 1 de P2[X] son linealmente independientes?

Tomemos la base B = {1, X, X2_{} de P}

2[X] , entonces formamos por filas la matriz:

A =   (X − 1)B (X + 1)B (X2_{− 1)} B  =   −1 1 0 1 1 0 −1 0 1   F2+F1 F3−F1 −→   −1 1 0 0 2 0 0 −1 1   F3+12F2 −→   −1 1 0 0 2 0 0 0 1  

Por lo anterior, los vectores fila de la ´ultima matriz son linealmente independientes y dim Ef(A) = 3 . En

consecuencia, los tres vectores fila de la matriz A inicial que generan Ef(A) son tambi´en base, luego linealmente

independientes y los polinomios del enunciado tambi´en son linealmente independientes.

Adem´as, forman una base de P2[X] (¿por qu´e?). ₄

13.4 Cambios de base

Puesto que las coordenadas están referidas a una base, al cambiar la base de trabajo, habrá que cambiar a las coordenadas en la nueva base. Pero este proceso puede realizarse fácilmente, teniendo en cuenta lo siguiente:

Definici´on 295.- Sean B1 = { u1, u2, . . . , un} y B2 = { v1, v2, . . . , vn} son bases de un espacio vectorial

V . Recibe el nombre de matriz de transici´on o matriz de cambio de la base B1 a la base B2, la matriz

de dimensiones n×n , que por columnas es P =

[u1]B2 [u2]B2 · · · [un]B2

,

es decir, la columna i -´esima est´a constituida por las coordenadas en la base B2, del vector ui de la base B1.

En otras palabras, la matriz de cambio de base tiene por columnas las coordenadas en la base de llegada de los vectores de la base de partida.

El porqué la matriz de paso se contruye as´ı, puede observarse en la prueba de la proposición siguiente: Proposición 296.- Sea P la matriz de paso de una base B1 en otra base B2 de un espacio V . Entonces:

1.- ∀ x ∈ V se tiene que [ x ]B2 = P · [ x ]B1.

2.- P es inversible y su inversa, P−1, es la matriz de paso de la base B2 a la base B1.

Demostraci´on:

Sea B1= { u1, u2, . . . , un} y sea x = c1u1+ c2u2+ · · · + cnun. Entonces, Apartado 1:

P [x]B1= [u1]B2 [u2]B2 · · · [un]B2      c1 c2 .. . cn      = c1[u1]B2+ c2[u2]B2+ · · · + cn[un]B2 = [c1u1+ c2u2+ · · · + cnun]B2 = [x]B2

Apartado 2: como los vectores de la base B1 son linealmente independientes, sus vectores de coordenadas en

la base B2 tambi´en lo son. Luego las columnas de P son vectores linealmente independientes y rg(P ) = n ,

por lo que P es inversible.

Adem´as, [ x ]B2 = P [ x ]B1 =⇒ P −1_{[ x ]} B2 = P −1_{P [ x ]} B1 =⇒ P −1_{[ x ]} B2 = [ x ]B1 y P −1 _{es la matriz}

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154 – Matem´aticas 1 : ´Algebra Lineal 13.5 Espacios vectoriales con producto interior

Ejemplo Consideremos las bases B = {1, X, X2} y B1= {X − 1, X + 1, X2− 1} de P2[X] .

La matriz de paso de la base B1 a la base B ser´a:

P = [X − 1]B [X + 1]B [X2− 1]B =   −1 1 −1 1 1 0 0 0 1   y P−1 =   −1 2 1 2 −1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 1   la matriz de paso de B a B1.

Ejemplo Consideremos en R3 la base can´onica Bc= { e1= (1, 0, 0), e2= (0, 1, 0), e3= (0, 0, 1)} y la base

B1= { v1= (1, 0, −1), v2= (2, −1, 1), v3= (0, −1, 1)} .

Como v1 = 1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) − 1(0, 0, 1) = e1 − e3, se tiene que ( v1)Bc = (1, 0, −1) ; y lo mismo para

los otros vectores, luego la matriz de paso de la base B1 a la base Bc ser´a:

P = [v1]Bc [v2]Bc [v3]Bc =   1 2 0 0 −1 −1 −1 1 1   y P −1₌   1 2 0 0 −1 −1 −1 1 1   −1

la matriz de paso de la base Bc a la base B1. ₄

Nota: A la vista del ejemplo anterior, obtener las coordenadas de un vector de Rn en la base can´_{onica de R}n es inmediato, pues ( x )Bc= x . Pero ¡ciudado!, al trabajar con vectores de R

n _{no hay que confundir el vector}

con las coordenadas en una base, pues la igualdad anterior ´unicamente es cierta en la base can´onica.

13.5 Espacios vectoriales con producto interior

13.5.1 Producto interior. Norma. Distancia

Definición 297.- Un producto interior en un espacio vectorial real V es una función que a cada par de vectores u , v ∈ V le asocia un número real, que denotaremos por h u , v i , de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades:

1.- h u , v i = h v , u i ; ∀ u , v ∈ V .

2.- h u + v , w i = h u , w i + h v , w i ; ∀ u , v , w ∈ V . 3.- hk u , v i = kh u , v i ; ∀ u , v ∈ V y ∀ k ∈ R.

4.- h u , u i ≥ 0 ; ∀ u ∈ V y h u , u i = 0 ⇐⇒ u = 0 .

Otra propiedades que se deducen de las anteriores son:

1.- h 0 , u i = 0 2.- h u , v + w i = h u , v i + h u , w i 3.- h u , k v i = kh u , v i

Ejemplo Considerar en P2[X] , la funci´on hP (X), Q(X)i = P (1)Q(1) + P0(1)Q0(1) + P00(1)Q00(1) .

(1) hP (X), Q(X)i = P (1)Q(1) + P0(1)Q0(1) + P00(1)Q00(1) = Q(1)P (1) + Q0(1)P0(1) + Q00(1)P00(1) = hQ(X), P (X)i (2) hP (X) + R(X), Q(X)i =P (1) + R(1)Q(1) +P0(1) + R0(1)Q0(1) +P00(1) + R00(1)Q00(1) =P (1)Q(1)+P0(1)Q0(1)+P00(1)Q00(1)+R(1)Q(1)+R0(1)Q0(1)+R00(1)Q00(1) = hP (X), Q(X)i + hR(X), Q(X)i (3) hkP (X), Q(X)i = kP (1)Q(1) + kP0(1)Q0(1) + kP00(1)Q00(1) = kP (1)Q(1) + P0(1)Q0(1) + P00(1)Q00(1)= khP (X), Q(X)i

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155 – Matem´aticas 1 : ´Algebra Lineal 13.5 Espacios vectoriales con producto interior (4) hP (X), P (X)i = P (1)P (1) + P0(1)P0(1) + P00(1)P00(1) =P (1) 2 +P0(1) 2 +P00(1) 2 ≥ 0 .

Y, se da la igualdad si y s´olo si, P (1) = P0(1) = P00(1) = 0 . Entonces, sea P (X) = a + bX + cX2, de donde P0(X) = b + 2cX y P00(X) = 2c ; de las igualdades se tiene:

P (1) = P0(1) = P00(1) = 0 ⇐⇒ a + b + c = 0 b + 2c = 0 2c = 0    ⇐⇒ a = b = c = 0 ⇐⇒ P (X) = 0 .

Luego tenemos un producto interno definido en P2[X] . ₄

A partir de un producto interior sobre un espacio V se definen los conceptos de norma, distancia y ángulo. Definición 298.- Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud o módulo) de un vector v ∈ V se denota mediante k v k y se define como

k v k = +phv , v i.

La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante d( u , v ) y se define como d( u , v ) = k u − v k = +phu − v , u − v i.

Desigualdad de Cauchy-Schwarz 299.- Para todo u , v ∈ V, espacio con producto interior, se tiene hu, vi2_{≤ kuk}2

kvk2 o en la forma |hu, vi| ≤ kuk kvk . _. Propiedades b´asicas de la norma

300.-1.- k u k ≥ 0 ; ∀ u ∈ V 2.- k u k = 0 ⇐⇒ u = 0

3.- kk u k = |k| k u k ; ∀ u ∈ V y ∀ k ∈ R 4.- k u + v k ≤ k u k+k v k ; ∀ u , v ∈ V

Propiedades b´asicas de la distancia 301.-1.- d( u , v ) ≥ 0 ; ∀ u , v ∈ V

2.- d( u , v ) = 0 ⇐⇒ u = v 3.- d( u , v ) = d( v , u ) ; ∀ u , v ∈ V

4.- d( u , v ) ≤ d( u , w )+d( w , v ) ; ∀ u , v , w ∈ V La prueba de estas propiedades es an´aloga a la de las propiedades del m´odulo colplejo.

Observaci´on: Sean V un espacio con producto interior y B = { u1, . . . , un} una base de V . Tomemos dos

vectores v = a1u1 + · · · + anun y w = b1u1 + · · · + bnun, entonces hv, wi = ha1u1+ · · · + anun, wi = a1hu1, wi + · · · + anhun, wi = a1hu1, b1u1+ · · · + bnuni + · · · + anhun, b1u1+ · · · + bnuni = a1hu1, u1ib1+ · · · + a1hu1, unibn+ · · · + anhun, u1ib1+ · · · + anhun, unibn = a1 · · · an    hu1, u1i · · · hu1, uni .. . . .. ... hun, u1i · · · hun, uni       b1 .. . bn   = (v)BQB[w]B= [v] t BQB[w]B

luego, fijada una base, un producto interior se puede obtener a partir de las coordenadas en la base. La matriz QB obtenida se denomina matriz de Gram o matriz m´etrica. Por las propiedades del producto interior, QB

es sim´etrica y los elementos de la diagonal positivos.

13.5.1.1 El espacio eucl´_{ıdeo n -dimensional R}n

Definici´_{on 302.- Sobre el espacio vectorial R}n _{definimos la funci´}

on que a cada x , y ∈ Rn _{le asocia}

h x , y i = x · y = (x1, . . . , xn) · (y1, . . . , yn) = x1y1+ · · · + xnyn= n

P

i=1

xiyi

Como puede comprobarse f´acilmente dicha funci´on es un producto interior, el que se conoce como producto interior eucl´_{ıdeo o producto escalar eucl´ıdeo (ya usado en R}2

y R3_).

Este producto interior da lugar a la norma y distancia eucl´ıdeas, ya conocidas: k x k =px2

1+ · · · + x2n y d( x , y ) = k x − y k =p(x1− y1)2+ · · · + (xn− yn)2.

(9)

156 – Matem´aticas 1 : ´Algebra Lineal 13.5 Espacios vectoriales con producto interior

Nota: Si la matriz m´etrica del producto interior en la base B , QB, es la identidad, el producto interior se

reduce al producto escalar eucl´ıdeo de los vectores de coordenadas. Esto ocurre precisamente para las bases ortonormales que se estudian en la siguiente secci´on.

13.5.2 Ortogonalidad

Definici´on 303.- Si u y v son vectores distintos de cero de un espacio con producto interior, como conse-cuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que −1 ≤ _kh_uu_kk,v_vi_k ≤ 1 y, por tanto, existe un ´unico ´

angulo, θ , tal que

cos θ = h u , v i

k u k k v k, con 0 ≤ θ ≤ π

Definici´on 304.- En un espacio vectorial con producto interior, dos vectores u y v se dicen que son orto-gonales si h u , v i = 0 . Suele denotarse por u ⊥ v .

Si u es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W , se dice que u es ortogonal a W .

Se dice que S = { v1, v2, . . . , vk} es un conjunto ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos, es

decir, si vi ⊥ vj para todo i 6= j .

Ejemplo Los vectores de la base can´_{onica de R}3 con el producto escalar eucl´ıdeo son ortogonales entre si, pero no lo son si el producto interior definido es: h v , w i = v1w1+ v1w2+ v2w1+ 2v2w2+ v3w3. (Pru´ebese

que es un producto interior). En efecto: h e1, e2i = h(1, 0, 0), (0, 1, 0)i = 0 + 1 + 0 + 0 + 0 = 1 6= 0 . ₄

Nota: Si dos vectores son ortogonales, el ´angulo que forman es de π radianes (los famosos 90 grados). De hecho, en Rn con el producto escalar eucl´ıdeo, la ortogonalidad coincide con la perpendicularidad.

Una curiosidad:

Teorema general de Pit´agoras 305.- Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con producto interior, entonces

k u + v k2= k u k2+ k v k2.

Este resultado, de f´acil comprobaci´_{on, se reduce en R}2 _{con el producto escalar al Teorema de Pit´}_agoras.

Tambi´en es sencillo probar el resultado siguiente (ver ejercicio 13.232):

Proposici´on 306.- Si w ⊥ { v1, v2, . . . , vk} , entonces w ⊥ lin{ v1, v2, . . . , vk} .

Mucho m´as interesante es el siguiente, que relaciona ortogonalidad e independencia:

Teorema 307.- Si S = { v1, v2, . . . , vk} un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos,

entonces S es linealmente independiente. _.

13.5.2.1 Bases ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt

Definici´on 308.- Sean V un espacio vectorial de dimensi´on n con producto interior. Se dice que la base B = { v1, v2, . . . , vn} es una base ortonormal de V , si B es un conjunto ortogonal y k vik = 1 , ∀ i .

Ejemplo Las bases can´onica y B1=

n 1 √ 2, 1 √ 2 ,√−1 2, 1 √ 2 o

son ortonormales en R2 _{con el producto escalar}

eucl´ıdeo. La base B2= {(2, 0), (0, −

√

2)} es ortonormal para el producto interior hx, yi = x1y1

4 +

x2y2

2 . ₄

Teorema 309.- Si B = { v1, v2, . . . , vn} es una base ortonormal para un espacio V con producto interior,

entonces ∀ v ∈ V se tiene que ( v )B =

h v , v1i, h v , v2i, . . . , h v , vni . Es decir, v = h v , v1i v1+ h v , v2i v2 + · · · + h v , vni vn, Demostraci´on:

Si v = c1v1+ · · · + civi+ · · · + cnvn, para cada i , se tiene que

hv, vii = hc1v1+ · · · + civi+ · · · + cnvn, vii

= c1hv1, vii + · · · + cihvi, vii + · · · + cnhvn, vii = cihvi, vii = cikvik 2

(10)

157 – Matem´aticas 1 : ´Algebra Lineal 13.6 Ejercicios

Es decir, en una base ortonormal, la obtención de cordenadas puede resultar más sencilla. Pero no sólo eso, si no que también se tiene:

Teorema 310.- Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B1 a otra base ortonormal B2, entonces

P es una matriz ortogonal (es decir, P−1= Pt_).

La prueba es puramente operativa, usando la definici´on de matriz de paso y el apartado b) del ejercicio 13.235 (ver tambi´en el ejercicio 13.240).

Definici´on 311.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, W subespacio de V y B = { w1, w2, . . . , wk} una base ortonormal de W . Para cada v ∈ V , llamaremos proyecci´on ortogonal

de v sobre W al vector de W

Proy_W( v ) = h v , w1i w1 + h v , w2i w2+ · · · + h v , wki wk.

Al vector v −Proy_W( v ) se le llama componente ortogonal de v sobre W .

El vector proyección ortogonal no depende la base ortonormal elegida, es decir, tomando cualquier base or-tonormal se obtiene el mismo vector. La prueba puede encontrarse en el Anexo 1, pág. 157, tras la demostración del Lema 312 siguiente.

Lema 312.- Sean V un espacio vectorial con producto interior, W un subespacio de V y B una base orto-normal de W . Entonces para cada v ∈ V , el vector v − Proy_W( v ) es ortogonal a W . _.

Proceso de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt 313.- Sean V un espacio vectorial con producto interior y de dimensi´on finita. Vamos a describir este proceso que construye a partir de una base B = { v1, v2, . . . , vn}

una base ortonormal B∗= { u1, u2, . . . , un} .

Demostraci´on: 1a _{etapa.- Como v}

1 6= 0 por ser de B , el vector u1 =

v1

k v1k

tiene norma 1 y lin{ u1} = lin{ v1} .

2a etapa.- Sea W1 = lin{ u1} , por el Lema anterior, el vector v2 − ProyW1( v2) es ortogonal a W1, en

particular a u1, y es distinto del vector 0 pues ProyW1( v2) ∈ W1 y v2 ∈ W/ 1= lin{ v1} , entonces tiene que

u2 = v2− ProyW1( v2) v2− ProyW1( v2) = v2− h v2, u1i u1 k v2− h v2, u1i u1k ∈ lin{ v1, v2}

es ortogonal a u1 y tiene norma 1. Adem´as, lin{ u1, u2} = lin{ v1, v2} .

3a _{etapa.- Sea ahora W}

2 = lin{ u1, u2} , como antes, el vector v3 − ProyW2( v3) es ortogonal a W2, en

particular a u1 y u2, y es distinto del vector 0 , pues ProyW2( v3) ∈ W2 y v3 ∈ W/ 2 = lin{ v1, v2} ,

entonces se tiene que u3 = v3 − ProyW2( v3) v3 − ProyW2( v3) = v3 − h v3, u1i u1 − h v3, u2i u2 k v3 − h v3, u1i u1 − h v3, u2i u2k ∈ lin{ v1, v2, v3}

es ortogonal a u1 y u2, y tiene norma 1. Adem´as, lin{ u1, u2, u3} = lin{ v1, v2, v3} .

na etapa.- Con la repetici´on del proceso se ha construido un conjunto ortonormal de n vectores no nulos, B∗_{= { u}

1, u2, . . . , un} , tal que lin B∗= lin B = V . Luego B∗ es una base ortonormal de V .

13.6 Ejercicios

13.212 Determinar si son espacios vectoriales los siguientes conjuntos:

a) R2 _{con las operaciones: (x, y) + (x}0_{, y}0_{) = (x + x}0_{, y + y}0_{) y k(x, y) = (2kx, 2ky) .}

b) A = {(x, 0) : x ∈ R} con las operaciones usuales de R2_.

c) R2 _{con las operaciones: (x, y) + (x}0_{, y}0_{) = (x + x}0_{+ 1, y + y}0_{+ 1) y k(x, y) = (kx, ky) .}

d) El conjunto de los n´_{umeros reales estr´ıctamente positivos, R}+_{−{0} , con las operaciones: x+x}0_{= xx}0

(11)

13.213 ¿Cu´_{ales de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R}3 _´

o R4_? a) {(a, 1, 1) ∈ R3: a ∈ R} ⊆ R3 b) {(a, b, c) ∈ R3: b = a + c} ⊆ R3 c) {(a, b, c, d) ∈ R4 : a + 2d = 7} ⊆ R4 d) {(a, b, c, d) ∈ R4 : ba = 0} ⊆ R4

13.214 Sean v1 = (2, 1, 0, 3) , v2 = (3, −1, 5, 2) y v3 = (−1, 0, 2, 1) vectores de R4. ¿Cu´ales de los vectores

(2, 3, −7, 3) , (0, 0, 0, 0) , (1, 1, 1, 1) y (−4, 6, −13, 4) , est´an en lin{ v1, v2, v3} ?

13.215 ¿Para qu´e valores reales de λ los vectores v1 = (λ,−1₂ ,−1₂ ) v2 = (−1₂ , λ,−1₂ ) y v3 = (−1₂ ,−1₂ , λ) forman

un conjunto linealmente dependiente en R3?

13.216 Dados tres vectores linealmente independientes u , v y w , demostrar que u + v , v + w y w + u son tambi´en linealmente independientes.

13.217 Sea V un espacio vectorial y S = { v1, . . . , vk} un conjunto de vectores de V . Probar que:

a) lin S es un subespacio vectorial de V .

b) Si W es un subespacio de V que contiene a los vectores de S , entonces lin S ⊆ W .

13.218 Probar que si los vectores v1, . . . , vk son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede

escribir como una combinaci´on lineal de los restantes.

13.219 Determinar la dimensi´_{on de los siguientes subespacios de R}4: a) Todos los vectores de la forma (a, b, c, 0) .

b) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con d = a + b y c = a − b . c) Todos los vectores de la forma (a, b, c, d) con a = b = c = d .

13.220 Demostrar que los vectores soluci´on de un sistema no homog´eneo compatible, AX = B , de m ecuaciones con n inc´_{ognitas no forman un subespacio de R}n_{. ¿Qu´}_{e ocurre si el sistema es homog´}_{eneo, es decir, si}

B = 0 ?

13.221 Sean E y F subespacios de un espacio V . Probar que: E ∩ F = { v ∈ V : v ∈ E y v ∈ F } es un subespacio de V .

13.222 _{Considerar en R}4 los conjuntos de vectores:

A = {(1, 2, −1, 3), (0, 1, 0, 3)} B = {(1, −1, 1, 0), (2, 3, 1, 2), (0, 0, 0, 1)} a) Hallar las dimensiones de lin(A) y de lin(B) , y encontrar una base

b) Hallar las ecuaciones param´etricas de lin(A) y de lin(B) . c) Hallar las ecuaciones cartesianas de lin(A) y de lin(B) . d) Hallar la dimensi´on de lin(A) ∩ lin(B) .

13.223 _{Consideremos en el espacio vectorial R}3 _{la base B = { u}

1, u2, u3} . Sea E el subespacio engendrado por

los vectores

v1 = u1+ 3 u3, v2 = 2 u1− 3 u2+ u3, v3 = 4 u1 − 3 u2+ 7 u3.

Sea F el subespacio engendrado por los vectores

w1 = u1+ u2+ u3, w2 = 2 u1+ 3 u2+ 4 u3, w3 = 3 u1+ 4 u2+ 5 u3.

Hallar una base de E , una base de F , el subespacio E ∩ F y una base de E ∩ F .

13.224 Sea M2×2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden 2 sobre R y sea E el subconjunto de

M2×2 formado por las matrices de la forma

a b + c −b + c a

con a, b, c ∈ R. a) Demostrar que E es un subespacio vectorial.

b) Probar que las matrices A1=

1 0 0 1 , A2= 0 1 −1 0 y A3= 0 1 1 0

, forman una base de E . 13.225 Sea B una base de un espacio vectorial V de dimensi´on n . Demostrar que el conjunto { v1, v2, . . . , vn}

(12)

13.226 En una cierta base { u1, u2, u3, u4} de un espacio vectorial V , un vector w tiene por coordenadas

(3, 1, 2, 6) . Hallar las coordenadas de W en otra base { v1, v2, v3, v4} cuyos vectores verifican que

v1= u1+ u2, v2= 2 u4− u1, v3= u2− u3 y v4= 2 u1− u2.

13.227 _{En R}3 se consideran las bases B = { v1= (2, 0, 0), v2= (0, −1, 2), v3= (0, 0, −3)} y la base can´onica

Bc = { e1, e2, e3} . Hallar las coordenadas respecto de la base B del vector x = 4 e1+ e2 − 5 e3.

13.228 _{Se consideran en R}3 _{las bases B = { u}

1, u2, u3} y B0= { v1, v2, v3} , siendo

u1 = (−3, 0, −3) , u2 = (−3, 2, −1) , u3 = (1, 6, −1) y

v1 = (−6, −6, 0) , v2 = (−2, −6, 4) , v3 = (−2, −3, 7) .

a) Hallar la matriz de paso de B a B0.

b) Calcular la matriz de coordenadas, [ w ]B, siendo w = (−5, 8, −5) .

c) Calcular [ w ]B0 de dos formas diferentes

13.229 Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) . Determinar si h u , v i = u1v1− u2v2+ u3v3 define un producto

interior en R3.

13.230 _{a) Encontrar dos vectores de R}2 con norma eucl´ıdea uno y cuyo producto interior eucl´ıdeo con (−2, 4) sea cero.

b) Demostrar que hay un n´_{umero infinito de vectores en R}3 _{con norma eucl´ıdea uno y cuyo producto}

interior eucl´ıdeo con (−1, 7, 2) es cero. 13.231 Sean a = (√1 5, −1 √ 5) y b = ( 2 √ 30, 3 √

30) . Demostrar que { a , b } es ortonormal si R

2 _{tiene el producto}

interior h u , v i = 3u1v1+ 2u2v2 donde u = (u1, u2) y v = (v1, v2) , y que no lo es si R2 tiene el producto

interior eucl´ıdeo.

13.232 Sea V un espacio con producto interior. Demostrar que si w es ortogonal a cada uno de los vectores v1, v2, . . . , vk entonces es ortogonal a lin{ v1, v2, . . . , vk} .

13.233 _{Considera R}3 con el producto interior euclideo. Utiliza el proceso de Gram-Schmidt para transformar, en cada caso, la base { u1, u2, u3} en una base ortonormal.

a) u1 = (1, 1, 1) , u2 = (−1, 1, 0) , u3 = (1, 2, 1) .

b) u1 = (1, 0, 0) , u2 = (3, 7, −2) , u3 = (0, 4, 1) .

13.234 _{Sea R}3 _{con el producto interior h u , v i = u}

1v1+ 2u2v2+ 3u3v3. Utilizar el proceso de Gram-Schmidt

para transformar la base formada por los vectores u1 = (1, 1, 1) , u2 = (1, 1, 0) y u3 = (1, 0, 0) en una

base ortonormal.

13.235 Sea B = { v1, v2, v3} una base ortonormal de un espacio V con producto interior. Probar que:

a) k w k2= h w , v1i2+ h w , v2i2+ h w , v3i2; ∀ w ∈ V .

b) h u , w i = ( u )B· ( w )B= [ u ]tB[ w ]B; ∀ u , w ∈ V .

13.236 _{Tomemos en R}4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = (−1, 2, 6, 0) en la forma w = w1+

w2 donde, w1 est´e en el subespacio W generado por los vectores u1 = (−1, 0, 1, 2) y u2 = (0, 1, 0, 1) ,

y w2 sea ortogonal a W .

13.237 _{Suponer que R}4 _{tiene el producto interior euclideo.}

a) Hallar un vector ortogonal a u1 = (1, 0, 0, 0) y u4 = (0, 0, 0, 1) , y que forme ´angulos iguales con los

vectores u2 = (0, 1, 0, 0) y u3 = (0, 0, 1, 0) .

b) Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u1 y a u2, tal que el coseno del ´angulo entre x y

u3 sea el doble del coseno del ´angulo entre x y u4.

13.238 _{Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1) de R}4 al subespacio generado por los vectores v1 = (1, 1, 1, 0)

(13)

13.239 Dados los vectores x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3) de R3, demostrar que la expresi´on h x , y i =

2x1y1+ 2x2y2+ x3y3+ x1y2+ x2y1 define un producto interior.

Encontrar una base { u1, u2, u3} ortonormal respecto al producto interior anterior tal que u2 y u3

tengan igual direcci´on y sentido que los vectores (0, 1, 0) y (0, 0, 1) , respectivamente.

13.240 Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y s´olo si sus vectores fila forman un conjunto ortonormal en Rn_.

(14)

Cap´ıtulo 14

Aplicaciones lineales

14.1 Definici´

on. N´

ucleo e imagen

Definición 314.- Sea f : V −→ W una aplicación entre los espacios vectoriales reales V y W . Se dice que f es una aplicación lineal si:

(1) f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ); ∀ u , v ∈ V, (2) _{f (k u ) = kf ( u ); ∀ u ∈ V y ∀ k ∈ R.} Estas dos propiedades se pueden reunir en:

f (k u + l v ) = kf ( u ) + lf ( v ); ∀ u , v ∈ V, ∀ k, l ∈ R. y, en general, se tiene:

f (k1u1+ k2u2 + · · · + krur) = k1f ( u1) + k2f ( u2) + · · · + krf ( ur) ∀ ui ∈ V, ∀ ki∈ R

Si V = W la aplicaci´on lineal tambi´en se dice que es un operador lineal.

Ejemplos 315 Las siguientes aplicaciones son aplicaciones lineales 1.- f : V −→ V definida por f ( v ) = 2v : f (λ v + µ w ) = 2(λ v + µ w ) = λ2 v + µ2 w = λf ( v ) + µf ( w ) 2.- Dada A = 0 −1 1 1 0 −1 , la aplicaci´_{on f : R}3 −→ R2 _{con f ( x ) = A x =} 0 1 1 1 0 −1   x1 x2 x3  :

f (λ x + µ y ) = A(λ x + µ y ) = A(λ x ) + A(µ y ) = λA x + µA y = λf ( x ) + µf ( y ) ₄

Proposici´on 316.- Si f : V −→ W es una aplicaci´on lineal, entonces:

a) f ( 0 ) = 0 ; b) f (− v ) = −f ( v ); ∀ v ∈ V

Definición 317.- Dada una aplicación lineal f : V −→ W , se define el núcleo o ker(nel) de f , que se denota por ker(f ) ó ker f , como el conjunto:

ker f = { v ∈ V : f ( v ) = 0 }

y se define la imagen de f , que se denota por Img(f ) ´o Img f (a veces f (V ) ), como el conjunto Img f = { w ∈ W : ∃ v ∈ V tal que w = f ( v )}

El ker f es un subespacio vectorial de V y la Img f es subespacio vectorial de W (ver ejercicio 14.242). Definición 318.- Si f : V −→ W es una aplicación lineal, entonces la dimensión del núcleo se denomina la nulidad de f y la dimensión de la imagen de f se denomina el rango de f .

Proposici´on 319.- Sea f : V −→ W es una aplicaci´on lineal y B = { v1, v2, . . . , vn} una base de V , entonces

Img f = lin{f ( v1), f ( v2), . . . , f ( vn)}

Demostraci´on:

En efecto, todo v ∈ V puede escribirse como v = k1v1+ k2v2+ · · · + knvn, luego

f ( v ) = f (k1v1+ k2v2 + · · · + knvn) = k1f ( v1) + k2f ( v2) + · · · + knf ( vn)

(15)

162 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 14.2 Matrices de una aplicación lineal

Ejemplo Tomemos el ejemplo 2) de los Ejemplos 315 anteriores: ker f = { x ∈ R3

: f ( x ) = 0 } = { x ∈ R3_{: A x = 0 }}

luego son las soluciones del sitema de ecuaciones lineales AX = 0 . Como son los vectores de la forma (z, −z, z) , para cualquier valor de z ∈ R, se tiene que ker f = {(z, −z, z) ∈ R3

: z ∈ R} = lin{(1, −1, 1)}. Para la imagen: tomemos en R3 _{la base can´}_{onica, entonces}

Img f = lin{f ( e1), f ( e2), f ( e3)} = lin{A e1, A e2, A e3} = lin{(0, 1), (−1, 0), (1, −1)} = lin{(0, 1), (−1, 0)} = R2

pues (1, −1) = (−1)(0, 1) + (−1)(−1, 0) . Se tiene adem´as, que dim(ker f ) = 1 y dim(Img f ) = 2 . ₄ No por casualidad, sucede que _{dim(ker f ) + dim(Img f ) = 1 + 2 = 3 = dim R}3:

Teorema de la dimensi´on 320.- Si f : V −→ W es una aplicaci´on lineal entre espacios vectoriales, dim V = dim(ker f ) + dim(Img f )

Demostraci´on:

Si la dim(ker f ) = n = dim V , entonces ker f = V , y f ( v ) = 0 ∀ v ∈ V , luego Img f = { 0 } que tiene dimensi´on cero, por lo que se cumple

dim(ker f ) + dim(Img f ) = dim V ( n + 0 = n )

Si la dim(ker f ) = r < n , tomemos Bker= { u1, . . . , ur} una base del ker f ⊆ V que podemos completar con

n − r vectores hasta una base de V , BV = { u1, . . . , ur, vr+1, . . . , vn} , y el conjunto imagen ser´a por tanto

Img f = linnf (u1), . . . , f (ur), f (vr+1), . . . , f (vn) o = linn0, . . . , 0, f (vr+1), . . . , f (vn) o = linnf (vr+1), . . . , f (vn) o

Si probamos que el conjunto formado por esos n − r vectores es linealmente independiente, ser´a una base de la Img f y habremos probado que

dim(ker f ) + dim(Img f ) = dim V ( r + n − r = n ) como quer´ıamos. Veamoslo: por ser f una aplicaci´on lineal,

λr+1f ( vr+1) + · · · + λnf ( vn) = 0 ⇐⇒ f (λr+1vr+1+ · · · + λnvn) = 0 ⇐⇒ λr+1vr+1+ · · · + λnvn ∈ ker f

luego en la base Bker se expresa con λr+1vr+1+ · · · + λnvn = µ1u1+ · · · + µrur, para ciertos µi. Luego

−µ1u1− · · · − µrur + λr+1vr+1+ · · · + λnvn = 0

y −µ1 = · · · = −µr = λr+1 = · · · = λn = 0 por formar esos vectores una base de V . En particular, con

λr+1= · · · = λn= 0 se prueba que el conjunto {f ( vr+1), . . . , f ( vn)} es un conjunto linealmente independiente

de vectores, que por ser tambi´en generador de la Img f es una base de ella.

14.2 Matrices de una aplicaci´

on lineal

Teorema 321.- Sean V y W espacios vectoriales con dim V = n y dim W = m , y sea f : V −→ W , una aplicaci´on lineal. Si B1 = { v1, v2, . . . , vn} es una base de V y B2= { w1, w2, . . . , wm} una base de W ,

entonces la matriz

Am×n=

[f (v1)]B2 [f (v2)]B2 · · · [f (vn)]B2

es la ´unica matriz que verifica que [f ( v )]B2 = A[ v ]B1, para cada v ∈ V .

Demostraci´on:

Todo v ∈ V se escribe de forma ´unica como una combinaci´on lineal de los vectores de la base, v = k1v1+ k2v2+ · · · + knvn, luego su imagen f ( v ) = k1f ( v1) + k2f ( v2) + · · · + knf ( vn) .

Como los vectores f ( v1) , f ( v2) , . . . , f ( vn) son de W , sean sus coordenadas en la base B2:

             f (v1) B2 = (a11, a21, . . . , am1) f (v2) B2 = (a12, a22, . . . , am2) · · · · f (vn) B2 = (a1n, a2n, . . . , amn) ⇐⇒        f (v1) = a11w1+ a21w2+ · · · + am1wm f (v2) = a12w1+ a22w2+ · · · + am2wm · · · · f (vn) = a1nw1+ a2nw2+ · · · + amnwm

(16)

Entonces, sustituyendo en f ( v ) , se tiene

f (v) = k1(a11w1+ a21w2+ · · · + am1wm) + k2(a12w1+ a22w2+ · · · + am2wm)

+ · · · + kn(a1nw1+ a2nw2+ · · · + amnwm)

= (k1a11+ k2a12+ · · · + kna1n)w1+ (k1a21+ k2a22+ · · · + kna2n)w2

+ · · · + (k1am1+ k2am2+ · · · + knamn)wm

por tanto, las coordenadas de f ( v ) en la base B2 son

[f ( v )]B2=     k1a11+ k2a12+ · · · + kna1n k1a21+ k2a22+ · · · + kna2n · · · · k1am1+ k2am2+ · · · + knamn     =      a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... · · · ... am1 am2 · · · amn           k1 k2 .. . kn      = A[ v ]B1

y A , tiene por columnas las coordenadas en la base B2 de las im´agenes de los vectores de la base B1.

Definición 322.- Sean B1 una base de V , B2 base de W y f : V −→ W una aplicación lineal. A la única

matriz A , tal que [f ( v )]B2 = A[ v ]B1, para cada v ∈ V , se le llama matriz de f respecto de las bases

B1 y B2.

Si f : V −→ V es un operador lineal y consideramos que tenemos la misma base B en el espacio de partida y en el de llegada, entonces se habla de matriz de f respecto de la base B .

Ejemplo Sea f : P2[X] −→ P1[X] dada por f (P (X)) = P0(X) . Sean B1 = {1, X, X2} y B2 = {1, X} bases

respectivas de P2[X] y P1[X] . Entonces, como f (1) = 0 , f (X) = 1 y f (X2) = 2X se tiene que

A = [f (1)]B2 [f (X)]B2 [f (X 2_)] B2 = 0 1 0 0 0 2 es la matriz de f asociada a B1 y B2. En efecto f (a + bX + cX2_{) = b + 2cX} _y _{A[a + bX + cX}2_] B1 = 0 1 0 0 0 2   a b c  = b 2c = [b + 2cX]B2 4

Observaci´on 323.- Si f : V −→ W es una aplicaci´on lineal y A la matriz de f respecto de B1 y B2, entonces

ker f =nv ∈ V : f ( v ) = 0o=nv ∈ V : [f ( v )]B2= [ 0 ]B2

o

=nv ∈ V : A[ v ]B1= 0

o

luego las coordenadas en la base B1 de los vectores del ker f son las soluciones del sistema homog´eneo Ax = 0 .

w ∈ Img f = linnf ( v1), f ( v2), . . . , f ( vn) o ⇐⇒ [ w ]B2 ∈ lin n [f ( v1)]B2, [f ( v2)]B2, . . . , [f ( vn)]B2 o

luego el espacio de las columnas de la matriz A , Ec(A) , est´a compuesto por las coordenadas en la base B2 de

los vectores de la Img f . En consecuencia, dim(Img f ) = dim Ec(A) = rg(A) .

Ejemplo Sean B1 = { v1, v2, v3} base de V , B2 = { w1, w2, w3} base de W , f : V −→ W aplicaci´on

lineal y A =   1 0 1 −1 1 1 1 1 3 

 la matriz de f asociada a B1 y B2. Encontrar una base de ker f y otra de Img f .

Como A[ v ]B1 = [f ( v )]B2, v0 ∈ ker f ⇐⇒ A[ v0]B1 = 0 , luego resolviendo el sistema AX = 0 :

A =   1 0 1 −1 1 1 1 1 3  −→   1 0 1 0 1 2 0 1 2  −→   1 0 1 0 1 2 0 0 0  =⇒    x = −z y = −2z z = z =⇒ [v0]B1 =   x y z  = z   −1 −2 1  

el vector (−1, −2, 1) genera las coordenadas en B1 de los vectores del ker f . Luego ker f = lin{− v1−2 v2+ v3} .

Adem´as, dim(ker f ) = 1 luego dim(Img f ) = 3 − 1 = 2 = rg(A) . Y una base de la imagen se obtendr´a de una base del espacio de las columnas de A (para operar sobre las columnas de A , operamos es las filas de At_):

At=   1 0 1 −1 1 1 1 1 3   t =   1 −1 1 0 1 1 1 1 3  −→   1 −1 1 0 1 1 0 2 2  −→   1 −1 1 0 1 1 0 0 0  

luego los vectores (1, −1, 1) y (0, 1, 1) generan las coordenadas en la base B2 de los vectores de la Img f . En

(17)

Observaci´on 324.- Pueden obtenerse de una sola vez una base para ker(f ) y otra para la Img(f ) . Basta para ello, tener en cuenta que las operaciones elementales realizadas sobre las columnas de la matriz, son operaciones sobre los vectores imagen.

Ejemplo Sea A =     1 2 −1 1 0 1 −1 1 −2 2 1 0 2 −1 −1 −1 1 −1 1 6 −9 7 4 0    

la matriz de la aplicaci´on f : V −→ W , referida a las bases

B1 = { v1, v2, v3, v4, v5, v6} y B2 = { w1, w2, w3, w4} . Para obtener una base de la imagen, hacemos

operaciones elementales en las filas de At _{(en las columnas de A ):}

At=         1 −1 2 1 : C1 2 1 −1 6 : C2 −1 −2 −1 −9 : C3 1 2 −1 7 : C4 0 1 1 4 : C5 1 0 −1 1 : C6         F2−2F1 F3+F1 F4−F1 F6−F1 −→         1 −1 2 1 : C1 0 3 −5 4 : C2− 2C1 0 −3 1 −8 : C3+ C1 0 3 −3 6 : C4− C1 0 1 1 4 : C5 0 1 −3 0 : C6− C1         F2↔F6 −→         1 −1 2 1 : C1 0 1 −3 0 : C6−C1 0 −3 1 −8 : C3+C1 0 3 −3 6 : C4−C1 0 1 1 4 : C5 0 3 −5 4 : C2−2C1         F3+3F2 F4−3F2 F5−F2 F6−3F2 −→         1 −1 2 1 : C1 0 1 −3 0 : C6− C1 0 0 −8 −8 : C3+ C1+ 3(C6− C1) 0 0 6 6 : C4− C1− 3(C6− C1) 0 0 4 4 : C5− (C6− C1) 0 0 4 4 : C2− 2C1− 3(C6− C1)         F3↔F5 −→         1 −1 2 1 : C1 0 1 −3 0 : C6− C1 0 0 4 4 : C5− C6+ C1 0 0 6 6 : C4+ 2C1− 3C6 0 0 −8 −8 : C3− 2C1+ 3C6 0 0 4 4 : C2+ C1− 3C6         F4−32F3 F5+2F3 F6−F3 −→         1 −1 2 1 : C1 0 1 −3 0 : C6− C1 0 0 4 4 : C5− C6+ C1 0 0 0 0 : C4+1₂C1−3₂C6−3₂C5 0 0 0 0 : C3+ C6+ 2C5 0 0 0 0 : C2− 2C6− C5        

La matriz final es escalonada, luego las tres primeras filas son linealmente independientes, pero ´estas en realidad son: C1= [f ( v1)]B2, C6−C1= [f ( v6)]B2−[f ( v1)]B2 = [f ( v6− v1)]B2 y C5−C6+C1= [f ( v5− v6+ v1)]B2.

Por lo que nf ( v1), f ( v6− v1), f ( v5− v6+ v1)

o

es base de Img(f ) ( rg(A) = dim(Img f ) = 3 ). Las tres filas restantes de la matriz son cero, en realidad:

0 = C4+1₂C1−₂3C6−3₂C5= [f (v4+ 1₂v1− 3₂v6− 3₂v5)]B2

0 = C3+ C6+ 2C5= [f (v3+ v6+ 2v5)]B2

0 = C2− 2C6− C5= [f (v2− 2v6− v5)]B2

luego los vectores v4+1₂v1−3₂v6−3₂v5, v3+v6+2v5 y v2−2v6−v5 son vectores de ker(f ) . Como

son linealmente independientes (ver justificaci´on en Anexo 1, p´ag 185) y dim(ker f ) = 6 − dim(Img f ) = 3 , forman una base del ker(f ) .

Definici´_{on 325.- Si f : R}n−→ Rm _{es una aplicaci´}_{on lineal, a la matriz de f asociada a las bases can´}_{onicas de}

Rn y Rm, se le llama la matriz est´andar.

Definici´on 326.- Para cada matriz Am×n, la aplicaci´on f : Rn−→ Rm definida por f ( x ) = A x es lineal y A

es la matriz est´andar de f . Se dice que f es una aplicaci´on matricial.

14.2.1 Composici´

on de aplicaciones lineales

Aplicación y función tienen el mismo significado (aunque esta última denominación es la que suele usarse en los temas de Cálculo) por lo que la definición siguiente no debe plantear sorpresas:

Definición 327.- Sean f : V −→ W y g: W −→ U aplicaciones lineales. Llamaremos aplicación compuesta de f y g , a la aplicación g ◦ f : V −→ U definida por

(18)

165 – Matem´aticas 1 : ´Algebra Lineal 14.3 Teorema de Semejanza

Proposici´on 328.- Sean f : V −→ W y g: W −→ U aplicaciones lineales, con dim V = n , dim W = m y dim U = p , y sean B1, B2 y B3 bases de V , W y U , respectivamente. Entonces:

a) g ◦ f es una aplicaci´on lineal.

b) Si Am×n es la matriz asociada a f respecto de las bases B1 y B2, y Cp×m es la matriz asociada a g

respecto de B2 y B3, entonces CAp×n es la matriz asociada a g ◦ f respecto de las bases B1 y B3.

Demostraci´on:

a) (g ◦ f )(λu + µv) = g(f (λu + µv)) = g(λf (u) + µf (v)) = λg(f (u)) + µg(f (v)) = λ(g ◦ f )(u) + µ(g ◦ f )(v).

b) Teniendo en cuenta que [g( w )]B3= C[ w ]B2 y [f ( v )]B2 = A[ v ]B1,

[(g ◦ f )(v)]B3 = [g(f (v))]B3= C[f (v)]B2 = CA[v]B1; ∀ v ∈ V.

14.3 Teorema de Semejanza

Proposici´on 329.- Sea f : V −→ W una aplicaci´on lineal entre espacios vectoriales, B1 y B1∗ dos bases de V

y B2 y B2∗ dos bases de W . Si A1 es la matriz de f asociada a las bases B1 y B2, P la matriz de cambio

de base la base B∗₁ a la base B1 y Q la matriz de cambio de base de B2 a B2∗; entonces la matriz, A∗, de f

asociada a las bases B₁∗ y B₂∗ viene dada por

A∗= QAP Demostraci´on: QAP [ v ]B∗ 1 = QA[ v ]B1 = Q[f ( v )]B2= [f ( v )]B2∗= A ∗_{[ v ]} B∗ 2, ∀ v ∈ V . Luego A ∗_{= QAP .}

Teorema de semejanza 330.- Sean f : V −→ V , un operador lineal, A1 la matriz de f respecto de una base

B1 de V , A2 la matriz de f respecto de otra base B2 y P la matriz de paso de B2 a B1. Entonces

A2= P−1A1P

Observación: Una manera de recordar bien este proceso es tener en cuenta los diagramas siguientes, donde la obtención de las nuevas matrices se reduce a la búsqueda de caminos alternativos:

A∗= QAP V −→ Wf B1 A −→ B2 ↑ | P | ↓ Q B₁∗ A ∗ −→ B∗ 2 V −→ Vf B1 A1 −→ B1 ↑ | P | ↓ P−1 B2 A2 −→ B2 A2= P−1A1P

No hay que olvidar, que las matrices se operan en orden inverso (las matrices multiplican a los vectores por la izquierda, sucesivamente). Obviamente, el Teorema de Semejanza es un caso particular de la Proposici´on 329. Definici´on 331.- Dadas dos matrices A y B de orden n , se dice que A y B son semejantes si existe una matriz P inversible tal que B = P−1_{AP .}

Corolario 332.- Dos matrices A y B son semejantes si y s´olo si representan al mismo operador lineal respecto a dos bases.

(19)

14.4 Ejercicios

14.241 Determinar si las siguientes aplicaciones son o no lineales: a) f : R2_{−→ R}2 _{definida por f (x, y) = (}√3_x,√3_y) b) f : R3−→ R2 _{definida por f (x, y, z) = (2x + y, 3y − 4z) .} c) f : M2×2−→ R definida por f a b c d = a2_{+ b}2_.

14.242 Sea f : V −→ W una aplicaci´on lineal. a) Probar que ker f es un subespacio de V b) Probar que Img f es un subespacio de W

14.243 Sean V un espacio vectorial y T : V −→ V la aplicación lineal tal que T ( v ) = 3 v . ¿Cuál es el núcleo de T ? ¿Cuál es la imagen de T ?.

14.244 Sea A una matriz de tama˜no 5 × 7 con rango 4 .

a) ¿Cu´al es la dimensi´on del espacio de soluciones de Ax = 0 ?. b) ¿ Ax = b tiene soluci´_{on para todo b de R}5_{? ¿Por qu´}_e?.

14.245 _{Sea T : R}3_{−→ R}3 _{la aplicaci´}_{on lineal dada por la f´}_{ormula T (x, y, z) =}

  1 3 4 3 4 7 −2 2 0     x y z  .

a) Demostrar que el núcleo de T es una recta y encontrar sus ecuaciones paramétricas. b) Demostrar que la imagen de T es un plano y hallar su ecuación (cartesiana).

14.246 Sea B = { v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 5, 3), v3 = (1, 0, 10)} una base de R3 y f : R3 −→ R2 una aplicaci´on

lineal para la que f ( v1) = (1, 0) , f ( v2) = (0, 1) y f ( v3) = (0, 1) .

a) Encontrar una matriz de la aplicaci´on f indicando las bases a las que est´a asociada. b) Calcular f ( v3− v2− 2 v1) y f (1, 1, 1) .

14.247 Encontrar la matriz est´andar de cada una de las aplicaciones lineales siguientes:

a) f   x1 x2 x3  =   x1+ 2x2+ x3 x1+ 5x2 x3   b) f     x1 x2 x3 x4     =     x4 x1 x3 x1− x3     c) f     x1 x2 x3 x4     =   x4− x1 x1+ x2 x2− x3  

Encontrar una base del nucleo y otra de la imagen, para cada una de ellas 14.248 _{Sea T : R}3_{−→ W la proyecci´}

on ortogonal de R3 _{sobre el plano W que tiene por ecuaci´}_{on x + y + z = 0 .}

Hallar una f´ormula para T y calcular T (3, 8, 4) .

14.249 Se dice que una aplicación lineal es inyectiva si a cada vector de la imagen le corresponde un único original (es decir, si f ( u ) = f ( v ) =⇒ u = v ). Demostrar que f es inyectiva si y sólo si ker f = { 0 } . 14.250 _{Sea T : R}2−→ R3 _{la transformaci´}_{on lineal definida por T (x}

1, x2) = (x1+ 2x2, −x1, 0) .

a) Encontrar la matriz de la aplicaci´on T en las bases: B1= n u1= (1, 3), u2= (−2, 4) o y B2= n v1= (1, 1, 1), v2= (2, 2, 0), v3= (3, 0, 0) o . b) Usar la matriz obtenida en el apartado anterior para calcular T (8, 3) .

14.251 Sea f : M2×2−→ M2×2 definida por: f

a11 a12 a21 a22 = −1 2 0 1 a11 a12 a21 a22

y sean las bases Bc

(hace el papel de la can´onica) y B de M2×2:

Bc = 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 B = 1 0 0 0 , 0 2 1 0 , 0 1 2 0 , 0 0 0 1

(20)

a) Demostrar que f es lineal.

b) ¿Cuál será el tamaño de la matriz de f asociada a la base Bc? Hallarla.

c) Hallar el n´ucleo y la imagen de f as´ı como sus dimensiones y bases. d) Hallar la matriz de f respecto de la base B .

14.252 Sea A =   3 −2 1 0 1 6 2 1 −3 0 7 1 

 la matriz de la aplicaci´on lineal T : R4−→ R3 respecto de las bases: B =nv1= (0, 1, 1, 1), v2= (2, 1, −1, −1), v3= (1, 4, 1, −2), v4= (6, 9, 4, 2) o y B0=nw1= (0, 8, 8), w2= (−7, 8, 1), w3= (−6, 9, 1) o . a) Hallar [T ( v1)]B0, [T ( v₂)]_B0, [T ( v₃)]_B0 y [T ( v₄)]_B0. b) Encontrar T ( v1) , T ( v2) , T ( v3) y T ( v4) . c) Hallar T (2, 2, 0, 0) . 14.253 _{Sea T : R}2

−→ R2 _{la aplicaci´}_{on lineal definida por} _T x1

x2 = x1+ 7x2 3x1+ 4x2 .

Hallar la matriz de T respecto de la base B y aplicar el teorema de semejanza para calcular la matriz de T respecto de la base B0_{, siendo}

B =nu1 = (2, 2), u2 = (4, −1)

o

y B0=nv1 = (1, 3), v2 = (−1, −1)

o . 14.254 Probar que si A y B son matrices semejantes entonces det(A) = det(B) .

14.255 Probar que si A y B son matrices semejantes entonces A2 y B2 tambi´en lo son. 14.256 _{Dado el operador lineal T : R}3_{−→ R}3 _{tal que [T (x)]}

B = A[x]B siendo: A =   −2 a 1 1 −2a 1 1 a −2   y B = n u1 = (1, −1, 0), u2 = (0, 1, −1), u3 = (−1, 0, 0) o

a) Calcular los subespacios ker(T ) y Img(T ) seg´un los valores de a . b) Hallar la matriz est´andar de T .

14.257 Sean f : V −→ W una aplicaci´on lineal y S = { v1, v2, . . . , vn} un conjunto de vectores de V . Probar

que si el conjunto {f ( v1), f ( v2), . . . , f ( vn)} es linealmente independiente, entonces S es linealmente

independiente.

¿Es cierto el rec´ıproco? Justificar la respuesta.

14.258 _{Sea T : R}3_{−→ R}3 _{la aplicaci´}_{on lineal} _{T =}

  x1 x2 x3  =   λx1+ µx2+ x3 x1+ λµx2+ x3 x1+ µx2+ λx3  . Se pide:

a) Encontrar los valores de λ y µ para los cu´_{ales la imagen de T sea R}3. ¿Qui´en es en ese caso el n´ucleo?

b) Para λ = 1 , encontrar una base del n´ucleo. c) Sea λ = 1 y µ = 0 . Se pide:

(c.1) Encontrar la matriz de T respecto de la base B =nu1 = (−1, 0, 1), u2 = (0, 1, 0), u3 = (4, 1, 2) o . (c.2) Dada la base B1= n v1= (1, 1, 2), v2= (1, 1, 0), v3= (−1, 1, −1) o

, encontrar la matriz de paso de B a B1.

(c.3) Encontrar la matriz de T en la base B1 aplicando el teorema de semejanza.

14.259 _{Sea T : R}3_{−→ R}2 _{una aplicaci´}_{on lineal tal que:}

(i) ker(T ) = x + 2y + z = 0 2x + y + z = 0 (ii) T   0 0 1  = 0 1 (iii) T   1 0 1  = 2 1

(21)

a) Obtener una matriz asociada a T , indicando respecto a que bases.

b) Calcular las ecuaciones param´etricas de la imagen del subespacio x + y + z = 0 . 14.260 Sean Bp =

n

p1, p2, p3, p4

o

una base de P3[X] (polinomios de grado menor o igual a 3), B1=

n v1=

(0, 1, 0), v2= (1, 1, 1), v3= (0, 0, 1)

o

una base de R3 y f : P3[X] −→ R3 una aplicaci´on lineal verificando:

(i) f (p1) = f (2p2+p4) = f (p2−p3) (ii) f (p2) = v1+v3−v2 (iii) f (p4) = (3, 3, 2)

a) Encontrar Ap1 la matriz de la aplicaci´on f en las bases Bp y B1.

b) ¿Es   −1 1 0 1 0 0 −1 0 1 

 la matriz de paso, Pc1, de la base can´onica de R3 a B1? Justificar la respuesta

y, en caso negativo, hallar Pc1.

c) Sea Bq =

n

q1= X − X3, q2= X2− 1, q3= 1 − X, q4= X2+ X

o

otra base de P3[X] para la cu´al, las

matrices Mqp =     2 0 0 0 1 3 2 0 −1 −2 −1 0 0 0 0 −1     y Aq1 =   6 5 3 0 3 1 0 −3 3 3 2 1 

 son respectivamente, la matriz de

paso de Bq a Bp y la matriz de f en las bases Bq y B1. Con estos nuevos datos, ¿c´omo se puede

comprobar que la matriz Ap1 calculada antes es la correcta?

d) Hallar bases de ker(f ) e Img(f ) , obteniendo los vectores concretos que las forman. e) Probar que B2=

n

w1 = (−1, 2, 1), w2 = (0, −1, −1), w3 = (2, 1, 0)

o

es base de R3 _{y obtener la}

matriz de paso, P21, de la base B2 en la base B1.

f) A partir de las matrices anteriores, dar la expresión del cálculo de las matrices: ? Ap2 de la aplicación f en las bases Bp y B2

? Mpq de paso de la base Bp en la base Bq

? Aq2 de la aplicaci´on f en las bases Bq y B2

(22)

Cap´ıtulo 15

Diagonalizaci´

on

15.1 Valores y vectores propios

15.1.1 Planteamiento del problema

Problema general de diagonalización Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial V , nos planteamos el problema de cuándo es posible encontrar una base de V respecto de la cuál la matriz de f sea diagonal. Si A es la matriz del operador f con respecto a una determinada base B , el planteamiento anterior es equivalente a preguntarse cuándo existe un cambio de base tal que la matriz del operador en la nueva base B∗ sea diagonal. Esa nueva matriz viene dada por P−1AP , donde P es la matriz de paso de la nueva base B∗

a la base B (Teorema de Semejanza).

Problema de la diagonalización ortogonal Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial V con producto interior, nos planteamos el problema de cuándo es posible encontrar una base ortonormal de V respecto de la cuál la matriz de f sea diagonal. Si V es un espacio con producto interior y las bases son ortonormales entonces se tendrá que P será ortogonal.

Podemos pues formular los dos problemas anteriores en t´erminos de matrices.

1.- Dada una matriz cuadrada A , ¿existe una matriz P inversible tal que P−1AP sea diagonal? 2.- Dada una matriz cuadrada A , ¿existe una matriz ortogonal P tal que PtAP sea diagonal?

Definici´on 334.- Se dice que una matriz A cuadrada es diagonalizable si existe una matriz P inversible tal que P−1AP es diagonal. En ese caso se dice que P diagonaliza a la matriz A .

Si existe una matriz ortogonal P tal que P−1AP es diagonal, entonces se dice que A es diagonalizable ortogonalmente y que P diagonaliza ortogonalmente a A .

15.1.2 Valores y vectores propios

Supongamos que la matriz An×n es diagonalizable y sea D la matriz diagonal. Entonces:

∃ P inversible tal que P−1_{AP = D} _{o, equivalentemente,} _{∃ P inversible tal que AP = P D}

Si denotamos por p1, p2, . . . , pn a las columnas de P , las matrices son AP = A p1 p2 · · · pn = Ap1 Ap2 · · · Apn P D =      p11 p12 · · · p1n p21 p22 · · · p2n . . . ... . .. ... pn1 pn2 · · · pnn           λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 . . . ... . .. ... 0 0 · · · λn      =      λ1p11 λ2p12 · · · λnp1n λ1p21 λ2p22 · · · λnp2n . . . ... . .. ... λ1pn1 λ2pn2 · · · λnpnn      = λ1p1 λ2p2 · · · λnpn

y, como son iguales: A pi = λipi, para todo i = 1, . . . , n . Es decir, han de existir n vectores linealmente

independientes pi ( P es inversible) y n n´umeros λi que lo verifiquen.

Definici´on 335.- Si A es una matriz de orden n , diremos que λ es un valor propio, valor caracter´ıstico, eigenvalor o autovalor de A si existe alg´_{un p ∈ R}n_{, p 6= 0 , tal que A p = λ p .}

Del vector p diremos que es un vector propio, vector caracter´ıstico, eigenvector o autovector de A correspondiente al valor propio λ .

Del comentario anterior, obtenemos la primera caracterizaci´on para la diagonalizaci´on de la matriz: Teorema 336.- Sea A una matriz de orden n , entonces:

(23)

170 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 15.2 Diagonalización

Demostraci´on:

Por lo anterior, se tiene que: A es una matriz diagonalizable ⇐⇒ ⇐⇒ ∃ P inversible y D diagonal tal que AP = P D

⇐⇒ ∃ P inversible y D diagonal tal que AP = Ap1 Ap2 · · · Apn = λ1p1 λ2p2 · · · λnpn = P D ⇐⇒ existen n vectores linealmente independientes tales que A p1 = λ1p1, . . . , A pn = λnpn

⇐⇒ A tiene n vectores propios linealmente independientes

En consecuencia, el problema de la diagonalizaci´on se reduce a la busqueda de los vectores propios de la matriz, y comprobar si de entre ellos pueden tomarse n linealmente independientes.

15.2 Diagonalizaci´

on

La primera simplificaci´on de la b´usqueda se produce, no sobre los vectores propios, sino sobre los autovalores correspondientes:

Teorema 337.- Si A es una matriz de orden n , las siguientes proposiciones son equivalentes: a) λ es un valor propio de A .

b) El sistema de ecuaciones (λI − A) x = 0 tiene soluciones distintas de la trivial. c) det(λI − A) = 0 .

Demostraci´on:

λ es un valor propio de A ⇐⇒ existe un vector x ∈ Rn_{, x 6= 0 , tal que A x = λ x} _{⇐⇒ el sistema}

λ x − A x = (λI − A) x = 0 tiene soluciones distintas de la trivial ⇐⇒ |λI − A| = 0

Definici´on 338.- Sea A una matriz de orden n . Al polinomio en λ de grado n , P(λ) = |λI − A| , se le denomina polinomio caracter´ıstico de la matriz A .

Si λ un valor propio de A , llamaremos espacio caracter´ıstico de A correspondiente a λ al conjunto V (λ) =n_{x ∈ R}n _{: (λI − A) x = 0}o_{. Es decir, V (λ) es el conjunto formado por todos los vectores propios de}

A correspondientes a λ , m´as el vector cero.

As´ı pues, los autovalores son las raices del polinomio car´acter´ıstico y los vectores propios, los vectores distintos de cero del espacio caracter´ıstico asociado.

Observaci´on 339.- V (λ) es un subespacio y dim V (λ) ≥ 1 :

En efecto, es un subespacio por ser el conjunto de soluciones de un sistema homog´eneo y como λ es valor propio de A , existe x 6= 0 en V (λ) , luego lin{ x } ⊆ V (λ) y 1 = dim(lin{ x }) ≤ dim V (λ) .

Adem´as, dim V (λ) = dimn_{x ∈ R}n: (λI − A) x = 0o= n − rg(λI − A) .

Antes de seguir: en el estudio realizado hasta ahora, hemos buscado la diagonalización de matrices, separándolo del operador lineal que aparece en el planteamiento inicial del problema. Sin embargo, todo lo anterior (y lo siguiente) es válido y aplicable en los términos del operador. Pueden verse los resultados que lo justifican en el Anexo 1, pág 186.

Teorema 340.- Sean v1, v2, . . . , vk vectores propios de una matriz A asociados a los valores propios λ1,

λ2, . . . , λk respectivamente, siendo λi 6= λj, ∀ i 6= j . Entonces el conjunto de vectores { v1, v2, . . . , vk} es

linealmente independiente. _.

Corolario 341.- Una matriz de orden n con n autovalores distintos, es diagonalizable. Demostraci´on:

Si la matriz tiene n autovalores distintos λ1, λ2, . . . , λn y de cada espacio caracter´ıstico V (λk) podemos

tomar un vector propio vk 6= 0 , tenemos n vectores propios, v1, v2, . . . , vn que son, por el resultado

(24)

171 – Matemáticas 1 : Álgebra Lineal 15.2 Diagonalización

Proposici´on 342.- Sea A de orden n y λk un autovalor de A de multiplicidad mk. Entonces

1 ≤ dim V (λk) ≤ mk. .

Teorema fundamental de la diagonalizaci´on 343.- Sea A una matriz de orden n . Entonces A es diagonali-zable si y s´olo si se cumplen las condiciones:

1.- El polinomio caracter´ıstico tiene n raices reales. Es decir, |λI − A| = (λ − λ1)m1· · · (λ − λk)mk con

m1+ m2+ · · · + mk = n .

2.- Para cada espacio caracter´ıstico V (λi) , se cumple que dim V (λi) = mi. .

Aunque omitimos aqu´ı la demostración por ser demasiado técnica (puede verse en el Anexo 2), en ella se aporta el método para encontrar los n vectores propios linealmente independientes necesarios en la diagonalización:

Si dim V (λi) = mi para todo i = 1, . . . , k y m1+ · · · + mk = n , podemos tomar de cada V (λi) los mi

vectores de una base para conseguir el total de n vectores.

Ejemplo 344 Para la matriz A =   0 0 4 0 4 0 4 0 0 

, su polinomio caracter´ıstico es:

P (λ) = |λI − A| = λ 0 −4 0 λ − 4 0 −4 0 λ = (λ − 4) λ −4 −4 λ = (λ − 4)(λ2_{− 4}2_{) = (λ − 4)}2_{(λ + 4)}

luego los autovalores de A son λ1= 4 con m1 = 2 y λ2= −4 con m2 = 1 . Como λ1, λ2∈ R y m1+ m2 =

2 + 1 = 3 = n , se cumple la primera condici´on del Teorema.

Veamos el punto 2: como 1 ≤ dim V (−4) ≤ m2 = 1 la condici´on dim V (−4) = 1 se cumple de manera

inmediata (y se cumple siempre para cualquier autovalor con multiplicidad 1). Para el otro autovalor, λ1= 4 :

dim V (4) = 3 − rg(4I − A) = 3 − rg   4 0 −4 0 0 0 −4 0 4  = 3 − rg   4 0 −4 0 0 0 0 0 0  = 3 − 1 = 2 = m1

luego tambi´en se cumple y, en consecuencia, la matriz diagonaliza.

Como los elementos de V (4) son las soluciones del sistema homog´eneo (4I − A)X = 0 , tenemos que V (4) = lin{(1, 0, 1), (0, 1, 0)} ; y los elementos V (−4) las soluciones del sistema (−4I − A)X = 0 , tenemos que V (−4) = lin{(1, 0, −1)} . En consecuencia, los tres vectores son autovectores y linealmente independientes, cumpli´endose que:

P−1AP =   1 0 1 0 1 0 1 0 −1   −1  0 0 4 0 4 0 4 0 0     1 0 1 0 1 0 1 0 −1  =   4 0 0 0 4 0 0 0 −4  = D ₄ Ejemplo La matriz A =   0 2 4 0 4 0 4 2 0 

 tiene por polinomio caracter´ıstico P (λ) = (λ − 4)2(λ + 4) , luego tiene por autovalores λ1= 4 con m1= 2 y λ2= −4 con m2= 1 .

Como m1+ m2 = 2 + 1 = 3 se cumple el primer punto; y por ser m2 = 1 , tambi´en se cumple que

dim V (−4) = 1 . Veamos para el otro autovalor: rg(4I −A) = rg   4 −2 −4 0 0 0 −4 −2 4  = rg   4 −2 −4 0 0 0 0 −4 0 

= 2 = 3−dim V (4) luego dim V (4) = 3−2 = 1 6= m1= 2 .

En consecuencia, la matriz A no diagonaliza.

(Si dim V (4) = 1 y dim V (−4) = 1 de cada uno de ellos podemos conseguir, a lo m´as, un vector propio lineal-mente independiente; luego en total, podremos conseguir a lo m´as dos autovectores linealmente independientes. No conseguimos los tres necesarios, luego no diagonaliza.) ₄